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数列专题（一）——等差数列1．等差数列定义：⇔∈=-+为常数d N n d a a n n ),(*1数列}{n a 为等差数列。
2．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 3．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 4．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=；（4）n S 为等差数列}{n a 的前n 项和，则数列,...,,232m m m m m S S S S S --也是等差数列. 基础题1.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.82.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
3.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若2,11952-=+-=a a a ，则当n S 取最小值时，n 等 于（ ） A. 9 B. 8 C. 7 D. 64.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=5.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．116.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，36,963==S S ，则._______987=++a a a 提高题1.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．2.已知等差数列}{n a 中，若,0,031110119<⋅<+a a a a 且数列}{n a 的前n 项和n S 有最大值，那么n S 取得最小正值时n 等于（ ） A. 20 B. 17 C. 19 D. 213.已知等差数列}{n a 中，其前n 项和为n S ，且满足35124,2a a a a a n n n -=-=++，则7S =（ ） A. 7 B. 12 C. 14 D. 214.在等差数列}{n a 中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 125.设n n T S ,分别是等差数列}{},{n n b a 的前n 项和，且5959=T S ，则35b a的值为_________.6.（15年福建文科）等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．7.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬∙⎩⎭的前n 项和为21nn +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设()12n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .一、等差数列3．等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-； 2．等差数列的前n 项和：公式1：2)(1n n a a n S +=；公式2：1(1)2n n n S na d -=+； 3．等差数列的性质公式： （1）()n m a a n m d =+-；n ma a d n m-=-，如：855(85),(5)n a a d a a n d =+-=+-等；（2）若q p n m +=+，则q p n m a a a a +=+，如11038a a a a +=+； （3）若2m n p +=，则2m n p a a a +=，如11162a a a +=. 基础题2.已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若12,261=-=S a ，则6a 的值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 答案：C5.（15年安徽文科）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前 9项和等于 。
高二数学第一讲等差数列数学讲义一、知识梳理1、等差数列的定义：数列{an}满足：anan1d(n≥2,nN某)（d是与n 的取值的常数）；2、等差数列的通项公式：（1）ana1d；（2）anamd(n,mN)；3、等差中项：三个数a,A,b组成等差数列，A叫做a,b的等差中项，且A=；4、等差数列前n项和的公式：Sn＝；5、等差数列{an}的常用性质：（1）数列{an}是等差数列，则数列{anp}、{pan}（p是常数）都是等差数列；（2）在等差数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,ank,an2k,an3k为等差数列，公差为kd（3）若mnpq，则特别地当pq2m时，（4）Sn,S2nSn,S3nS2n仍是等差数列，其公差为（5）两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，则等差数列anS2n1．bnT2n1二、典例研习类型一、等差数列的判断与证明例1、已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bnSn(nN)，求证：数列{bn}是等差数列n-1-变式1、已知数列{an}中，a11，an1an(nN某)2an11（1）求证数列为等差数列；an（2）求数列{an}的通项公式方法点拨：等差数列的判定方法：①定义法：即证明an1and（d是常数，nN某）。
②中项公式法：即证明2an1anan2(nN某)。
类型二、等差数列的基本运算例2、已知等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a97,S20155，求：a11及S10变式2、（1）已知{an}为等差数列，且a72a41，a30，则公差d（）11B．C．D．2221（2）若数列{an}为等差数列，公差为，且S100145，则a2a4a100的值为（）2A．2A．60B．85C．1452D．其它值项重要的量，是解题的关键。
②等差数列{an}中，当项数为2n(nN)时，有SaS偶S奇nd,偶n1；S奇an-2-类型三、等差数列性质的运用例3、若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，求这个数列的项数n。
等差数列公式的原理(一)等差数列公式的原理解析什么是等差数列等差数列是数学中常见的一种数列，其特点是每个数与它的前一个数的差值都是相等的。
例如：1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列的表示假设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ。
则，等差数列的通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d推导等差数列通项公式我们可以通过数学归纳法来推导等差数列的通项公式。
首先，我们假设当n=1时，等差数列的第一项为a₁。
这是一个已知条件。
然后，我们假设当n=k时，等差数列的第k项为aₙ。
这也是一个已知条件。
接下来，我们来推导等差数列的第k+1项aₙ₊₁。
根据等差数列的定义，第k+1项与第k项之间的差值为公差d。
所以，第k+1项为aₙ + d。
因此，我们可以得到等差数列的通项公式：aₙ = a₁ + (n-1)d这个公式能够表示等差数列中任意一项的值。
等差数列的求和公式除了通项公式，等差数列还有一个常用的求和公式，可以用来求等差数列前n项的和。
设等差数列前n项的和为Sₙ。
根据等差数列的性质，可将等差数列分别从首项到末项以及从末项到首项相加，得到：2Sₙ = (a₁ + aₙ) + (a₂ + aₙ₋₁) + (a₃ + aₙ₋₂) + … + (aₙ + a₁)由于每一对括号中的两项相加都等于公差d，所以可以将上式变为：2Sₙ = n(a₁ + aₙ)进一步整理，得到等差数列的求和公式：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)这个公式可以依据等差数列的首项、末项和项数，轻松求得等差数列前n项的和。
总结等差数列的公式是数学中常见且重要的工具，通过通项公式，我们可以快速计算等差数列中任意一项的值。
而求和公式则帮助我们轻松求得等差数列前n项的和。
掌握了等差数列的公式，可以帮助我们更好地理解和应用数学。
以上就是等差数列公式的原理的相关解析。
参考资料： - 等差数列 - 等差数列通项公式推导 - 等差数列求和公式的推导。
等差数列的计算方法
1、等差数列基本公式：末项=首项+（项数-1）*公差项数=（末项-首项）÷公差+1首项=末项-（项数-1）*公差和=（首项+末项）*项数÷2末项：最后一位数首项：第一位数项数：一共有几位数和：求一共数的总和。
2、Sn=na(n+1)/2n为奇数
sn=n/2(An/2+An/2+1)n为偶数
3、等差数列如果有奇数项，那么和就等于中间一项乘以项数，如果有偶数项，和就等于中间两项和乘以项数的一半，这就是中项求和。
4、公差为d的等差数列｛an｝，当n为奇数是时，等差中项为一项，即等差中项等于首尾两项和的二分之一，也等于总和Sn除以项数n。
将求和公式代入即可。
当n为偶数时，等差中项为中间两项，这两项的和等于首尾两项和，也等于二倍的总和除以项数n。
唐山海港开发区学校 庞志全
课题：3.2等差数列（一）
教学目标1.能准确理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式，会运用等差数列求等
差数列的公差及通项公式。
2.学会用定义判断数列是否为等差数列；会运用等差数列通项公式，由a 1,d,n,a n
中的三个量，求另外一个量。
3.培养学生应用数学的意识及函数与方程思想。
教学重点、难点：等差数列的定义的理解及等差数列的通项公式灵活运用。
教学过程： 一知识回顾：
1设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ，(n ∈N ＋)，则f(n ＋1)－f(n)等于( D )
A ．12n ＋1
B ．12n ＋2
C ．12n ＋1＋12n ＋2
D ．12n ＋1－1
2n ＋2
2数列{a n }的通项公式a n ＝3n 2－28n ，则数列各项中最小项是( B )
A ．第4项
B ．第5项
C ．第6项
D ．第7项
3数列3，5，9，17，33，…的通项公式n a 等于（B
） A ．n 2
B ．12+n
C ．12-n
D ．12+n
4数列{}n a 的通项公式是1
1++
=
n n a n ，若前n 项的和为10，则项数n 为（C ） A ．11
B ．99
C ．120
D ．121
5若数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，则（ A
）
A ．12-=n a n
B ．12+=n a n
C ．12--=n a n
D ．12+-=n a n
6引例：观察下列数列，思考这些数列有何共同特征？
4，5，6，7，8，9，10，……； ① 3，0，3-，6-，……， ②
110
，
210
，
310
，
410
，…… ③
对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于1； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3-； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于
110
；
规律：从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数。
二等差数列与通项公式：
1等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 思考：下列说法正确吗？ ①数列21，2
121，22，2
122
，23，2
123
，24，2
124
，…因为21-2
121
＝22-2
122
＝23-2
123
＝…＝-2
1，故这个数列是等差数列。
②数列{}n a 中，每一项与前一项的差都是一个常数，则{}n a 是等差数列；
③数列1，2，3，5，7，9，11是等差数列； ④0，0，0，0，……，0，……不是等差数列。
（分析：①说法错误，这个数列是等差数列，但原因不对；②中说法也不对，没有强调等差条件是同一常数；③说法不对；④说法不对，这个数列是等差数列。
） 注意事项：①定义中公差是从第二项起，每一项与它前一项的差，②公差是同一常数。
2等差数列的通项公式的推导：
已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，怎样求n a ？
（法一）（归纳法） 由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，……∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，…… 所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-．
（法二）（累（叠）加法）21a a d -=①，②32a a d -=②，43a a d -=③，……d a a n n =--1（n-1），①+②+③+……+（n-1）得，d n a a n )1(1-=-，
所以1(1)n a a n d =+-。
（法三）（迭代法）a n =a n-1+d=a n-2+d+d=a n-3+d+d+d=…=a n-(n-1)+d+d+d+…+d=a 1+(n-1)d ； (法四)（累差法）a n =(a n-1-a n-1)+(a n-1-a n-2)+…+(a 2-a 1)+a 1=d+d +…+d+a 1=a 1+(n-1)d ； 等差数列通项公式1(1)n a a n d =+-
3等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：
（1）当d 0>时，等差数列{}n a 为递增数列，（2）当0d =等差数列{}n a 为常数列，（3）当0d <等差数列{}n a 为递减数列。
三典例分析：
例1.已知数列{}n a 中a n =3n-8,(1)这个数列是递增数列还是递减数列？前多少项和小？ 解析：因为数列{}n a 中，a n - a n-1＝3，所以这个数列是递增数列，且前2项和最小。
例2．（1）求等差数列8，5，2，……的第20项；
（2）401-是不是5-，9-，13-，……的项？如果是，是第几项？ 解析：（1）由18a =，3d =-，20n =得 208(201)(3)49a =+-⨯-=- （2）由15a =-，4d =-得这个数列的通项公式：54(1)n a n =---，
由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得40154(1)n -=---成立，
解得100n =，即401-是这个数列的第100项。
点拨：无论是求数列中的某一项，或判断某一些数值是不是数列中的项，或正数项、负数项、以及项的总数，都与通项公式有关，因此求出通项公式是解决这类问题的核心。
例3．在等差数列{}n a 中，已知510a =，1231a =，求首项1a 与公差d ．
解析：由题意可知：11
410
1131a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得12a =-，3d =，
即这等差数列的首项是2-，公差是3．
点拨：运用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程思想方法。
例4．梯形的最高一级宽33cm ，最低一级宽110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度。
解：用{}n a 表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列， 由已知得：133a =，12
110a
=，12n =，
由通项公式得：121(121)a a d =+-， 即1103311d =+， ∴7d =，
所以，240a =，347a =，454a =，561a =，668a =，
775a =，882a =，989a =，1096a =，11103a =．
答：梯形中间各级的宽度从上而下依次是40cm ，47cm ，
54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm ．
例5．已知数列的通项公式为n a pn q =+，其中p ，q 是常数，且0p ≠，那么这个数列
是否一定是等差数列？若是，求它的首项与公差。
解析：取数列{}n a 中的任意相邻两项1n a -与n a （2n ≥）， 1()[(1)]n n a a pn q p n q --=+--+p =，
∵p 是一个与n 无关的常数，故{}n a 是等差数列，且公差是p ，
所以，这个等差数列的首项是1a p q =+，公差是p ．
例6．在1-与7中间插入三个数a ，b ，c ，使得这5个数成等差数列，求a ，b ，c ． 解：用{}n a 表示这5个数所成的等差数列， 由已知得：57a =，11a =- ， ∴71(51)d =-+-，2d =，
所以，1a =，3b =，5c =．
四小结：1．能准确叙述等差数列的定义； 2．会求等差数列的公差及通项公式； 3．能用
定义判断数列是否为等差数列。
4注意方程思想的运用
五练习与作业：118P 习题3.2 第1，2，4，5题
1在数列{}n a 中，122,211=-=+n n a a a ，则101a 的值为（D ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
2若数列{}n a 的前n 项和为2
n S n =，则（ A
） A ．12-=n a n B ．12+=n a n
C ．12--=n a n
D ．12+-=n a n
3等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（ B ）
A ．40
B ．53
C ．63
D ．76
4已知等差数列{}n a 满足011321=+++a a a a ，则有（C ）
A ．0111>+a a
B ．0102<+a a
C ．093=+a a
D ．66=a
5在等差数列{}n a 中，已知2054321=++++a a a a a ，那么3a 等于 4 6等差数列{}n a 中，已知33,4,3
1521==+=
n a a a a ，试求n 的值（n=50）
7．已知等差数列{}n a 满足3712a a ⋅=-，464a a +=-，求数列{}n a 的通项公式； （a n =2n-12或a n = -2n+8）
8．在等差数列{}n a 中，已知470a =，21100a =-，（1）首项1a 与公差d ，并写出通项公式；（2）
{}n a 中有多少项属于区间[]18,18-？ ((1)a 1
=100 ,d=-10 , a n
=110-10n
(2)有3项；是第10，11，12项）。
