高数试卷下07

2007年河南省普通高等学校 选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试《高等数学》试卷一. 单项选择题（每题2分，共计50分）在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后 面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.1.集合}5,4,3{的所有子集共有 （ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解：子集个数D n⇒==8223。

2.函数x x x f -+-=3)1arcsin()(的定义域为 （ ） A. ]3,0[ B. ]2,0[ C. ]3,2[ D. ]3,1[解： B x x x ⇒≤≤⇒⎩⎨⎧≥-≤-≤-2003111。

3. 当0→x 时，与x 不等价的无穷小量是 ( )A.x 2B.x sinC.1-xe D.)1ln(x + 解：根据常用等价关系知，只有x 2与x 比较不是等价的。

应选A 。

4.当0=x 是函数xx f 1arctan )(= 的 （ ）A.连续点B. 可去间断点C.跳跃间断点D. 第二类间断点解：21arctan lim 0π=+→x x ；C x x ⇒π-=-→21arctan lim 0。

5. 设)(x f 在1=x 处可导，且1)1(='f ，则h h f h f h )1()21(lim 0+--→的值为（ ）A.-1B. -2C. -3D.-4解：C f h f h f h h f h f h h ⇒-='-=+'--'-=+--→→3)1(3)1()21(2[lim )1()21(lim 00 。

6.若函数)(x f 在区间),(b a 内有0)(,0)(<''>'x f x f ，则在区间),(b a 内，)(x f 图形 （ ）A ．单调递减且为凸的B ．单调递增且为凸的C ．单调递减且为凹的D ．单调递增且为凹的 解：⇒>'0)(x f 单调增加；⇒<''0)(x f 凸的。

大学高数下册试题及答案,第7章第七章多元函数微分学作业1多元函数 1．填空题已知函数，则；的定义域是；的定义域是；函数的连续范围是全平面；函数在处间断. 2．求下列极限；解：. 解：由于。

故 3．讨论极限是否存在. 解：沿着曲线,有因而异，从而极限不存在4．证明在点分别对于每个自变量或都连续，但作为二元函数在点却不连续. 解：由于从而可知在点分别对于每个自变量或都连续，但沿着曲线,有因而异，从而极限不存在，故作为二元函数在点却不连续.作业2偏导数 1．填空题设，则；设，则；设，则；曲线在点处的切线与轴正向的倾角是. 2．设。

证明. 证:因为所以3. 设，求，. 解从而4．设，证明.解：因为所以 5．设函数. 试求的偏导函数；解：当，当，考察偏导函数在点处是否连续. ，故在点处连续，不存在，从而在点处不连续作业3全微分及其应用 1．填空题在点处偏导数存在是在该点可微的必要条件；函数在点处，当时有全增量，全微分；设在点处的全增量为，全微分为，则在点处的全增量与全微分的关系式是；在点处的； ,则； ,则； ,则. 2．证明：在点处连续，与存在，但在处不可微. 证：由于从而但是不存在，从而在处不可微.3．设函数试证：函数在点处是可微的；证：因为又所以函数在点处是可微的函数在点处不连续. 证：当不存在，故在点处不连续作业4 多元复合函数的求导法则 1．填空题设，则；设，则；设，则；设，则. 2．求下列函数的偏导数设其中具有一阶连续偏导数，求和；解：设，其中均可微，求和. 解：因为从而所以 3．验证下列各式设，其中可微，则；证：因为所以设，其中可微，则. 证：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，求. 解：因为所以4．设其中函数具有二阶连续偏导数，试证：. 证：因为从而左边作业5隐函数求导法 1．填空题已知，则；已知，则；已知，则；已知，则；已知，其中具有一阶连续偏导数，则 . 2．设其中具有二阶连续偏导数，求．解：3．求由方程组所确定的及的导数及. 解：由已知4．设函数，又方程确定是的函数，其中与均可微；连续，且. 试证：. 证：因为。

2007年普通高等学校招生全国统一考试试题卷(全国卷Ⅱ)理科数学（必修+选修Ⅱ）注意事项：1． 本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，总分150分，考试时间120分钟．2． 答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在本试题卷指定的位置上．3． 选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．4． 非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚 5． 非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答．超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效． 6． 考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题）本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(012)k k n kn n P k C p p k n -=-=，，，…， 一、选择题1．sin 210=（ ）AB．-C ．12D ．12-2．函数sin y x =的一个单调增区间是（ ） A ．ππ⎛⎫- ⎪44⎝⎭， B ．3ππ⎛⎫ ⎪44⎝⎭，C ．3π⎛⎫π ⎪2⎝⎭，D ．32π⎛⎫π⎪2⎝⎭，3．设复数z 满足12ii z+=，则z =（ ） A ．2i -+B ．2i --C ．2i -D ．2i +4．下列四个数中最大的是（ ） A ．2(ln 2) B ．ln(ln 2) C．D ．ln 25．在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．13- D ．23-6．不等式2104x x ->-的解集是（ ） A ．(21)-，B ．(2)+∞，C ．(21)(2)-+∞ ，， D ．(2)(1)-∞-+∞ ，， 7．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则1AB 与侧面11ACC A 所成角的正弦值等于（ ） A．4B．4C．2D．28．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．129．把函数e x y =的图像按向量(23)=，a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．3e2x -+ B ．3e2x +- C ．2e3x -+ D ．2e3x +-10．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（ ） A ．40种 B ．60种 C ．100种 D ．120种11．设12F F ，分别是双曲线2222x y a b-的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）ABCD12．设F 为抛物线24y x =的焦点，A B C ，，为该抛物线上三点，若FA FB FC ++=0，则FA FB FC ++=（ ）A ．9B ．6C ．4D ．3第Ⅱ卷（非选择题）本卷共10题，共90分二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．821(12)x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ．（用数字作答）14．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1)(0)N σσ>，．若ξ在(01)，内取值的概率为0.4，则ξ在(02)，内取值的概率为 ．15．一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm ，那么该棱柱的表面积为 cm 2．16．已知数列的通项52n a n =-+，其前n 项和为n S ，则2lim nn S n ∞=→ ．全国卷Ⅱ理科数学（必修+选修Ⅱ）二．请把填空题答案写在下面相应位置处：13. 14 15． 16.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在ABC △中，已知内角A π=3，边BC =B x =，周长为y ．（1）求函数()yf x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值．18．（本小题满分12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，求ξ的分布列．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形， 侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点． （1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小． 20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线4x =相切． （1）求圆O 的方程；（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求PA PB的取值范围．AEBCFSD21．（本小题满分12分） 设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==，，，，，，…． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n b a =1n n b b +<，其中n 为正整数．22．（本小题满分12分）已知函数3()f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程；（2）设0a >，如果过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，证明：()a b f a -<<．2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题（必修+选修Ⅱ）参考答案评分说明：1． 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2． 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度．可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3． 解答右侧所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4． 只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题1．D 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．C 10．B 11．B 12．B二、填空题13．42- 14．0.815．2+16．52-三、解答题17．解：（1）ABC △的内角和A B C ++=π，由00A B C π=>>3，，得20B π<<3．应用正弦定理，知sin 4sin sin sin BC AC B x x A ===3， 2sin 4sin sin BC AB C x A π⎛⎫==- ⎪3⎝⎭． 因为y AB BC AC =++，所以224sin 4sin 03y x x x ππ⎛⎫⎫=+-+<< ⎪⎪3⎝⎭⎭，（2）因为14sin cos sin 2y x x x ⎛⎫=+++ ⎪ ⎪2⎝⎭5s i n 3x x ππππ⎛⎫⎫=++<+< ⎪⎪6666⎝⎭⎭，所以，当x ππ+=62，即x π=3时，y取得最大值18．解：（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故 01()()P A P A A =+012122()()(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）ξ的可能取值为012，，． 若该批产品共100件，由（1）知其二等品有1000.220⨯=件，故2802100C 316(0)C 495P ξ===． 1180202100C C 160(1)C 495P ξ===． 2202100C 19(2)C 495P ξ===． 所以ξ的分布列为19（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等 腰直角三角形．取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ， 所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠=== 所以二面角A EF D --的大小为． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系xyz ．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(00)B a a C a ，，，，，， 00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，， 则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．EF 中点AEBCFSD H G M111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥ 又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA 的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos MD EA MD EA MD EA <>==，． 所以二面角A EF D --的大小为20．解：（1）依题设，圆O 的半径r 等于原点O到直线4x =的距离，即2r ==． 得圆O 的方程为224x y +=． （2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，，，．由24x =即得(20)(20)A B -，，，．设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得22x y =+，即 222x y -=． (2)(2)PA PB x y x y =----- ，，22242(1).x y y =-+=-由于点P 在圆O 内，故222242.x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩，由此得21y <．所以PA PB 的取值范围为[20)-，． 21．解：（1）由132342n n a a n --==，，，，…， 整理得 111(1)2n n a a --=--．又110a -≠，所以{1}n a -是首项为11a -，公比为12-的等比数列，得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭（2）方法一：由（1）可知302n a <<，故0n b >．那么，221n nb b +- 2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由（1）知0n a >且1n a ≠，故2210n n b b +->，因此1n n b b n +<，为正整数．方法二：由（1）可知3012n n a a <<≠，，因为132n n a a +-=， 所以1n n b a ++==．由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭两边开平方得32na a - 即 1n nb b n +<，为正整数．22．解：（1）求函数()f x 的导数；2()31x x f '=-． 曲线()y f x =在点(())M t f t ，处的切线方程为： ()()()y f t f t x t '-=-，即23(31)2y t x t =--．（2）如果有一条切线过点()a b ，，则存在t ，使 23(31)2b t a t =--．于是，若过点()a b ，可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根．记 32()23g t t at a b =-++，则 2()66g t t at '=- 6()t t a =-． 当t 变化时，()()g t g t '，变化情况如下表：当0a b +=时，解方程()0g t =得302at t ==，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at t a =-=，，即方程()0g t =只有两个相异的实数根．综上，如果过()a b ，可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则0()0.a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即 ()a b f a -<<．。

2007（2）工科高数考试试卷一、填空题（每小题3分，共计15分）(,)(0,0)22211lim______.2sin ________.3ln()________.4''6'100________.5()2[,)10()0()x y xx y xyz z y x y x yx y dxdy y y y f x x f x xx f x πππππ→+≤=∂=++=∂∂+-+=---≤<⎧=⎨≤<⎩⎰⎰、、设则、二重积分的符号为、微分方程的通解为、设为周期为的周期函数，它在上的表达式为若的傅立叶级()(0)()________.2s x s s π+=数的和函数为，则二、选择题（每小题3分，共计15分）11011110011110001(,)()(,)()(,)()(,)()(,)x x x y y dx f x y dy A dy f x y dxB dy f x y dxC dy f x y dxD dy f x y dx-----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、二次积分等于（ ）2221132222000212133202:1,0,()4sin cos ()sin ()sin cos ()sin cos x y z z I zdVA d d r drB d d r drC d d r drD d d r drππππππππθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθϕϕϕΩΩ++≤≥=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰、设则三重积分等于（ ）1131131()(1)()(1)sin11()(1)()(1)(sin)6nnn n nnnn n n A B n n C D nπ∞∞==∞∞==--+--∑∑∑∑、下列数项级数中为条件收敛的级数是（ ）4(,)(,)()()()()()()()()LD D DDD L L P x y Q x y D Pdx Q dy PQ QP A dxdyB dxdyyx yx PQ QP C dxdy D dxdyxy xy+=∂∂∂∂--∂∂∂∂∂∂∂∂--∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 、设有界闭区域由分段光滑曲线所围成，取正向，函数，在上具有一阶连续偏导数，则（ ）12125()'()()0()''()'()0()''()'()()()''()'()0y y y y A y p x y q x B y p x y q x y C y p x y q x y f x D y p x y q x +++=++=++=++=、下列方程中，设，是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ）三、求解下列问题（每小题7分，共计49分）1322()().i j k i j k αβαβααβ=--=+-⋅-⨯、已知向量和，求2222(,)42008.z z x y x y z z dz =++-=、设函数由方程所确定，求2233352(,1,)24z x y =----、已知小山的高度为，那么在处登山，最陡的方向是多少？2114.yxdx edy -⎰⎰、计算二次积分22225(0)(0).x y z a a z h h a zdS ∑∑++=>=<<⎰⎰、设为球面被平面截得的顶部，计算211(2)6(1)21n nn x n +∞=--+∑、求级数的收敛域。

《高等数学》（下）试题（A）闭卷（7）适合专业年级：07环科、电商、计算机、食工、电气、贪质、建环;水利、农机；木科、土管（农）、环规；地理、土管（测）；生态、城管等姓名_学号专业______________ 班级____________木试题•一共五道大题，共4页，满分100分，考试时间120分钟。

总分题号—‘二三四五阅卷人题分1012125610核分人得分注：1.答题前，请准确、清楚地填各项，涂改及模糊不清者、试卷作废。

2.试卷若有雷同以零分计。

一.是非题（每小题2分，共10分.正确打人错误打X.） 1、limw n=0是级数$人收敛的充要条件.zt=l7. ¥级数含一^x"的收敛半径n=\ (- 3)'1A. ¥8. 3 C. 2 D. 1A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9、若曲而27:x2 + y2 +^2= a2，则孙？ +/ +ZZ 2)dS =(级数a (-i) Zl-\fn是绝对收敛.3、若V为W的体积一半，则dxdydz = 2V .4、常微分方程;v it 4），= 0的特征根是土2 .5、若向量场，则旋度^+―^+―& 拽V二、选择填空（每小题3分，共12分.）6、f(x,y)dy =C. ^dy^f(x,y)dx B. ' f(x,y)dxD. ' f(x,y)dxA. pa4B. 2pa4C. 4pa4D. 6pa4三、填空（每小题4分，共12分）0办= __________________ 10、若户^，”，^（人:^在^巧平而内积分与路径无关，则$/^+11、c os«是有向曲面S在处的法向量的方向余弦，由两类曲面积分关系，有虫科P cos adS = ____________12、对于微分方程y it f （y, y），若令尸= ________ ，y & _____________ ，则化为降阶可解.四、解答题（每小题7分，共56分）A xds ,其中，L是上半岡周x2+y2=2x, 0.13、i in6 [e、cosx_ y]dx-^- [e y sinx+ y- x]dy ,其中，L 力4x2 + 9），2 = 36 在14、计算 / =第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.2 215、I = x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy ,其中，S ：—7+ -p- 1，外侧.c16、计算/= cos yjx2 + y2 dxdy,其中，D:x2 y2P2.1)17、计算/=龄斗(x2+ >,2 + z2- z)dxdydz，其屮，W: x2 + + z2a2.~ x n+118、求¥级数x? ( 1,1)的和阑数S(x). H=I n20、求微分方程x2/ + xy = y2,刈）=-1的特解.五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x）= /（0^+2,（1）求/（x），（2）把/（x）展开成又的¥级数.07级《高等数学》（下）试题A参考答案和评分标准（2007-2008学年第2期）一、是非题（毎小题2分，共10分.正确打V，错误打X.） XXV XX二、选择填空（每小题3分，共12分.）DBAC三、填空（毎小题4分，共12分）2 2 215、计算/ — 觀 x 2dydz + y 2dzdx + z,2clxdy , s:*+fr+fr=i ，外侧‘解根据高斯公式及三重积分的对称性质，得 /=齦 x 2dydz + y 2dzdx+ z 2dxcly =虫科（2x+ 2y+ 2z ）dv= 016、计算/=虫科 cos^/x 2+)，2 dxdy ，其中 £>:x 2+y解极坐标计算< dJ () cosr ?rJr 2p ?[r sin r cosrj = -4p (7 分)四、解答题（毎小题7分，共56分）13、计算义也，£是上半圆周X2+），2=2X ,0.z , ,x = 1 + cosf，z 解令. (0 < z < ^), y = sin t(3分)则虫,(1 + cos t)yj(- sinz)2 + (cos ，)2t/z = p（7分）14、计算/= 6IX C0SA '- y]dx+ [e y sinx+ y- x]dy , K 中 L 为 4x 2+9y 236在第一象限中的部分，从点（3,0）到（0,2）.解由于#=fcosx- 1=所以曲线积分与路径无关.选择折线路径(3,0)(0,0) (0,2)（3分）d K cosx- y]dx+ [e ysinx+ y- x}dyos xdx + ydy= 2 - sin 3（7分）（7分）a'2P 217、计算/=虫科(x2+ )’2+ z2- ^)dxdydz ,其•中，V : %2 + V2 + z2a2解山球平.标和对称性I =虫柳科^2+/+ z2）dxdydz-嫩zd 又dydz （3分）dJ siny dj（7分）°° w+i18、求幂级数, jv? （ 1，1）的和函数只x）./?=!x n解令久⑴二刃二，X?（ 1，1），逐项求导得, trr noo'1=1n=l 1-X（3分）因此，5,(x)= Q ------- d t= - ln(l- x)，x? ( 1，1)z o1所以，S(x) = xS} (%) = -x ln(l -x), xe (-1J) （7分）19、/（x）周期是2p,—个周期闪/（%）= •x2，（-/? < x /?），把/（x）展开成企弦级数.解：6Z0 = —x2dx= -^―2 P 7a、、=— A cos nxdx =4l)n—,(H= 1,2,3,L)显然，b n= 0，（n= 1，2，L ）（5分）*7 2f(x) = —+ cosnx= —+ (- l)n— cosnx , x? ( ?，) (7 分)2 n=i3 M=i n20、求微分方程x2/ + ;vy = y2, }<1)= - 1的特解.解(1)变形得 Bernoulli 方程y0+ x J y= Z 2y2两端同除以y2，令还-/2z，i ； - ] - 2 o - I - 2-Z x z= X ! z X z= - Xx [（ix11+ 2Cx 2clx+ c =——+ Cx= ------------2x 2x由 y （l ）=- 1，得 C=3， （6分）所求特解为v= （7分）1- 3x 2五、综合题（本题10分）21、已知/（0）=0, /<x ）= Q 綾八 f （f ）dt+ 2, （1）求/0），（2）把/0）展开成x 的¥级数.解⑴ /如）=2，- /（x ）,记尸/（x ），得yiib ），= 2e\y （0）= 0，y （0）= 2 ①（2 分）特征方程r 2+ 1= 0,特征根r, 2 = i对应齐次方程通解y= C, cos%+ C 2sin%（4分）2x3 y=I7^’ 由）’（卜1 得（6分）所求特解>，=2x1- 3x 2（7分）解（2）将原方程变形，得// \22、义/XUdxu+ x —^代入上式，得clu X ——=U dxdx2- 2u（3分）分离变W:积分得u — 2 2 "" y ~2 C?,即Cx（3分）因为/ = 1不是特征根，可设特解代入方程①得A = 1)，(0) = 0, ><0) = 2 得 = - 1，C 2 = 1 所以 /(x)= sinx • cosx+ e x （7分）(2) /(%)= sinx- cosx+ e x s_丄人丄人丄•V + —X' 3! 5!7! X 7 + LT丄义2 + 2! 4! 6! x 6 + L+ %+ — 4- —x 3 + —x 4 + —x 5 + —x 6 + —%7L $2! 3! 4! 5! 6! 7!A '9+io!x ，° +L 4zi+l (4n+ 2)! 4n+2Z（10 分）。

高数第七章考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，意味着：A. 对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εB. 对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-L|<εC. 对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<=εD. 对于任意的ε>0，存在δ>0，使得当|x-a|<=δ时，|f(x)-L|<ε答案：B2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B3. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=x^2+1D. f(x)=x^3-1答案：B4. 定积分∫(0到1) x dx的值为：A. 0B. 1/2C. 1D. 2答案：B5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1+1/2+1/4+1/8+...B. 1-1/2+1/4-1/8+...C. 1+1/2+1/3+1/4+...D. 1-1/3+1/5-1/7+...答案：A6. 函数f(x)=sin(x)的不定积分为：A. -cos(x)+CB. cos(x)+CC. sin(x)+CD. -sin(x)+C答案：B7. 以下哪个函数的导数为f'(x)=2x？A. f(x)=x^2B. f(x)=x^3C. f(x)=e^xD. f(x)=ln(x)答案：A8. 函数f(x)=e^x的不定积分为：A. e^x+CB. e^x-CC. -e^x+CD. -e^x-C答案：A9. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=sin(x)C. f(x)=ln(x)D. f(x)=e^x答案：B10. 函数f(x)=ln(x)的导数为：A. 1/xB. xC. -1/xD. -x答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2+3x+4的导数为________。

一、填空题（每小题4分，共24分） 1）设432z x y x =+，则()1,2dz =3412dx dy+。

2）曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为0x a y za c-==。

3）已知()()()()2222,0,0,0x y xyx y f x y x y x y ⎧-⎪≠=+⎨⎪=⎩，则()0,xf y =y-。

4）函数22z x y =+在点()01,2P 沿从点()01,2P到点(12,2P+方向的方向导数是1+。

5）设L 为取逆时针方向的圆周229x y +=，则曲线积分()()2224Lxy y dx xx dy -+-=⎰ 18π-。

6）设L 为直线y x =上点()0,0到点()1,1之间的一段，则曲线积分2Lxy ds =⎰4。

二、（本题7分）计算二重积分222x yDxy e d σ⎰⎰，其中D是由1,,0y x x ===所围成的区域。

解：三、（本题7分）计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由222222x y z z x y ⎧++≤⎪⎨≥+⎪⎩所确定。

四、（本题7分）计算()()22222xz dydz x y z dzdx xy y z dxdy ∑+-++⎰⎰，其中∑为半球面z =五、（本题7分）计算()1x y dS ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面()()221012z x y z =+≤≤。

六、（本题7分）求22u x y z =-+在约束条件2221x y z ++=下的最大值和最小值。

七、（本题7分）设,x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，f 具有连续的二阶偏导数，求2,z z x x y ∂∂∂∂∂。

八、（本题7分）求微分方程()20xy x e dx xdy -+-=的通解。

九、（本题8分）设()f x 具有二阶连续的导数，()()00,01f f '==，且()()()()20xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=⎡⎤⎣⎦是全微分方程，求()f x 及此全微分方程的通解。

2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣2．（5分）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i4．（5分）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln25．（5分）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣6．（5分）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）7．（5分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．8．（5分）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．9．（5分）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣310．（5分）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种11．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为．14．（5分）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为．15．（5分）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．16．（5分）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．18．（12分）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．20．（12分）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；，其中n为正整数．（2）设，求证b n＜b n+122．（12分）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）2007年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）求值sin210°=（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】通过诱导公式得sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°得出答案．【解答】解：∵sin 210°=﹣sin（210°﹣180°）=﹣sin30°=﹣故答案为D2．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）函数y=|sinx|的一个单调增区间是（）A．B．C．D．【分析】画出y=|sinx|的图象即可得到答案．【解答】解：根据y=|sinx|的图象，如图，函数y=|sinx|的一个单调增区间是，故选C．3．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设复数z满足=i，则z=（）A．﹣2+i B．﹣2﹣i C．2﹣i D．2+i【分析】将复数z设a+bi，（a，b∈R），代入复数方程，利用复数相等的条件解出复数z．【解答】解：设复数z=a+bi，（a，b∈R）满足=i，∴1+2i=ai﹣b，，∴z=2﹣i，故选C．4．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）以下四个数中的最大者是（）A．（ln2）2B．ln（ln2）C．ln D．ln2【分析】根据lnx是以e＞1为底的单调递增的对数函数，且e＞2，可知0＜ln2＜1，ln（ln2）＜0，故可得答案．【解答】解：∵0＜ln2＜1，∴ln（ln2）＜0，（ln2）2＜ln2，而ln=ln2＜ln2，∴最大的数是ln2，故选D．5．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点∵=2，=，∴=，∴λ=，故选A．6．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）不等式的解集是（）A．（2，+∞）B．（﹣2，1）∪（2，+∞） C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【分析】首先不等式的分母可化为（x+2）（x﹣2），不等式的分子和分母共由3个一次因式构成．要使得原不等式大于0，可等同于3个因式的乘积大于0，再可根据串线法直接求解．【解答】解：依题意，原不等式可化为等同于（x+2）（x﹣1）（x﹣2）＞0，可根据串线法直接解得﹣2＜x＜1或x＞2，故答案应选B．7．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【分析】根据正三棱柱及线面角的定义知，取A1C1的中点D1，∠B1AD1是所求的角，再由已知求出正弦值．【解答】解：取A1C1的中点D1，连接B1D1，AD1，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1D1⊥面ACC1A1，则∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，∴，故选A．8．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．【分析】根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．【解答】解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．9．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，得到y=f（x）的图象，则f（x）=（）A．e x﹣3+2 B．e x+3﹣2 C．e x﹣2+3 D．e x+2﹣3【分析】平移向量=（h，k）就是将函数的图象向右平移h个单位，再向上平移k个单位．【解答】解：把函数y=e x的图象按向量=（2，3）平移，即向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后得到y=f（x）的图象，∴f（x）=e x﹣2+3，故选C．10．（5分）（2009•湖北）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种【分析】分2步进行，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，分别计算其情况数目，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有C52种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有A32种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有C52A32=60种，故选B．11．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（）A．B．C．D．【分析】由题设条件设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2，，由此可以求出双曲线的离心率．【解答】解：设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点．若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=t，|AF1|=3t，（t＞0）双曲线中2a=|AF1|﹣|AF2|=2t，t，∴离心率，故选B．12．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若++=，则的值为（）A．3 B．4 C．6 D．9【分析】先设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，再依据=0，判断点F是△ABC重心，进而可求x1+x2+x3的值．最后根据抛物线的定义求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）抛物线焦点坐标F（1，0），准线方程：x=﹣1∵=，∴点F是△ABC重心则x1+x2+x3=3y1+y2+y3=0而|FA|=x1﹣（﹣1）=x1+1|FB|=x2﹣（﹣1）=x2+1|FC|=x3﹣（﹣1）=x3+1∴|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+x2+1+x3+1=（x1+x2+x3）+3=3+3=6故选C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）（1+2x2）（x﹣）8的展开式中常数项为﹣42．【分析】将问题转化成的常数项及含x﹣2的项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0，﹣2求出常数项及含x﹣2的项，进而相加可得答案．【解答】解：先求的展开式中常数项以及含x﹣2的项；由8﹣2r=0得r=4，由8﹣2r=﹣2得r=5；即的展开式中常数项为C84，含x﹣2的项为C85（﹣1）5x﹣2∴的展开式中常数项为C84﹣2C85=﹣42故答案为﹣4214．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，2），若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．【分析】根据ξ服从正态分布N（1，），得到正态分布图象的对称轴为x=1，根据在（0，1）内取值的概率为0.4，根据根据随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，得到随机变量ξ在（0，2）内取值的概率．【解答】解：∵测量结果ξ服从正态分布N（1，），∴正态分布图象的对称轴为x=1，在（0，1）内取值的概率为0.4，∴随机变量ξ在（1，2）内取值的概率与ξ在（0，1）内取值的概率相同，也为0.4，∴随机变量ξ在（0，2）内取值的概率为0.8．故答案为：0.815．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．【分析】本题考查的知识点是棱柱的体积与表面积计算，由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，我们根据球的直径等于棱柱的对角线长，我们可以求出棱柱的各棱的长度，进而得到其表面积．【解答】解：由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2．故答案为：2+416．（5分）（2007•全国卷Ⅱ）已知数列的通项a n=﹣5n+2，其前n项和为S n，则=．【分析】由通项公式知该数列是等差数列，先求出首项和公差，然后求出其前n 项和，由此能得到的值．【解答】解：∵数列的通项a n=﹣5n+2，∴a1=﹣3，a2=﹣8，d=﹣5．∴其前n项和为S n，则=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2007•全国卷Ⅱ）在△ABC中，已知内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y（1）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（2）求y的最大值．【分析】（1）由内角A=，边BC=2，设内角B=x，周长为y，我们结合三角形的性质，△ABC的内角和A+B+C=π，△ABC的周长y=AB+BC+AC，我们可以结合正弦定理求出函数的解析式，及自变量的取值范围．（2）要求三角函数的最值，我们要利用辅助角公式，将函数的解析式，化为正弦型函数的形式，再根据正弦型函数的最值的求法进行求解．【解答】解：（1）△ABC的内角和A+B+C=π，由得．应用正弦定理，知，．因为y=AB+BC+AC，所以，（2）∵=，所以，当，即时，y取得最大值．18．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P（A）=0.96．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率P（B）．【分析】（1）有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，取出的2件产品中至多有1件是二等品包括无二等品和恰有一件是二等品两种情况，设出概率，列出等式，解出结果．（2）由上面可以知道其中二等品有100×0.2=20件取出的2件产品中至少有一件二等品的对立事件是没有二等品，用组合数列出结果．【解答】解：（1）记A0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，A1表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则A0，A1互斥，且A=A0+A1，故P（A）=P（A0+A1）=P（A0）+P（A1）=（1﹣p）2+C21p（1﹣p）=1﹣p2于是0.96=1﹣p2．解得p1=0.2，p2=﹣0.2（舍去）．（2）记B0表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有100×0.2=20件，故．19．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点（1）求证：EF∥平面SAD（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．【分析】法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．要证EF∥平面SAD，只需证明EF平行平面SAD内的直线AG即可．（2）取AG中点H，连接DH，说明∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角，解三角形求二面角A﹣EF﹣D的大小．法二：建立空间直角坐标系，平面SAD即可证明（1）；（2）求出向量和，利用，即可解答本题．【解答】解：法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．连接，又，故为平行四边形．EF∥AG，又AG⊂平面SAD，EF⊄平面SAD．所以EF∥平面SAD．（2）不妨设DC=2，则SD=4，DG=2，△ADG为等腰直角三角形．取AG中点H，连接DH，则DH⊥AG．又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB∩AG=A，所以DH⊥面AEF．取EF中点M，连接MH，则HM⊥EF．连接DM，则DM⊥EF．故∠DMH为二面角A﹣EF﹣D的平面角．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），，．取SD的中点，则．平面SAD，EF⊄平面SAD，所以EF∥平面SAD．（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，0），S（0，0，2），，．EF中点，，，又，，所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．．所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．20．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线：x﹣y=4相切（1）求圆O的方程（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求的取值范围．【分析】首先分析到题目（1）中圆是圆心在原点的标准方程，由切线可直接求得半径，即得到圆的方程．对于（2）根据圆内的动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，列出方程，再根据点P在圆内求出取值范围．【解答】解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线的距离，即．得圆O的方程为x2+y2=4．（2）不妨设A（x1，0），B（x2，0），x1＜x2．由x2=4即得A（﹣2，0），B（2，0）．设P（x，y），由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得，两边平方，可得（x2+y2+4）2﹣16x2=（x2+y2）2，化简整理可得，x2﹣y2=2．=x2﹣4+y2=2（y2﹣1）．由于点P在圆O内，故由此得y2＜1．所以的取值范围为[﹣2，0）．21．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）设数列{a n}的首项a1∈（0，1），a n=，n=2，3，4…（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求证b n＜b n+1，其中n为正整数．【分析】（1）由题条件知，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，由此可知（2）方法一：由题设条件知，故b n＞0．那么，b n+12﹣bn2=an+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）=由此可知b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由题设条件知，所以．由此可知b n＜b n+1，n为正整数．【解答】解：（1）由，整理得．又1﹣a1≠0，所以{1﹣a n}是首项为1﹣a1，公比为的等比数列，得（2）方法一：由（1）可知，故b n＞0．那么，b n+12﹣bn2=a n+12（3﹣2a n+1）﹣a n2（3﹣2a n）==又由（1）知a n＞0且a n≠1，故b n+12﹣bn2＞0，因此b n＜b n+1，n为正整数．方法二：由（1）可知，因为，所以．由a n≠1可得，即两边开平方得．即b n＜b n+1，n为正整数．22．（12分）（2007•全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=x3﹣x（1）求曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程（2）设a＞0，如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，证明：﹣a＜b ＜f（a）【分析】（1）求出f′（x），根据切点为M（t，f（t）），得到切线的斜率为f'（t），所以根据斜率和M点坐标写出切线方程即可；（2）设切线过点（a，b），则存在t使b=（3t2﹣1）a﹣2t3，于是过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线即为方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，求出其导函数=0时t的值，利用t的值分区间讨论导函数的正负得到g（t）的单调区间，利用g（t）的增减性得到g（t）的极值，根据极值分区间考虑方程g（t）=0有三个相异的实数根，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证．【解答】解：（1）求函数f（x）的导函数；f'（x）=3x2﹣1．曲线y=f（x）在点M（t，f（t））处的切线方程为：y﹣f（t）=f'（t）（x﹣t），即y=（3t2﹣1）x﹣2t3；（2）如果有一条切线过点（a，b），则存在t，使b=（3t2﹣1）a﹣2t3．于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程2t3﹣3at2+a+b=0有三个相异的实数根．记g（t）=2t3﹣3at2+a+b，则g'（t）=6t2﹣6at=6t（t﹣a）．当t变化时，g（t），g'（t）变化情况如下表：）由g（t）的单调性，当极大值a+b＜0或极小值b﹣f（a）＞0时，方程g（t）=0最多有一个实数根；当a+b=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根；当b﹣f（a）=0时，解方程g（t）=0得，即方程g（t）=0只有两个相异的实数根．综上，如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（t）=0有三个相异的实数根，则即﹣a＜b＜f（a）．。

2007-2008学年第二学期《高等数学》期末试卷一、填空题（每小题3分，共36分）1. 一平面通过点()3,2,1M 且平行于平面1032=++z y x ，它的方程为 。

2. xOy 坐标面上曲线y y x 222=+绕y 轴的旋转曲面方程为 。

3. 设函数yx xy z +=，则全微分=dz 。

4. 函数()22,y xy x y x f +-=在点()1,1处的梯度为 。

5. 设()y x z z ,=为由方程z xy e e z +=-所确定的隐函数，则=∂∂yz 。

6. 二次积分()dy y x f dx x ⎰⎰+02210的极坐标形式为 。

7. 设周期为2的函数()x f 在一个周期内的表达式为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<<=5.01,115.0,x x x x f ，它的傅立叶级数的和函数为()x S ，则()=-5.3S 。

8. 设L 的方程为29x y --=，则曲线积分()⎰=+L ds y x 22 。

9. 幂级数()∑∞=-12n n n x的收敛区间是 。

10. 函数()x x x f sin =的麦克劳林级数为 。

11. 已知二阶常系数线性齐次微分方程的特征根全为1，则其对应的微分方程为 。

12. 微分方程x xy y =+'2满足条件()211=y 的特解为 。

二、计算题（每小题6分，共24分）1. 设函数()y x z z ,=为由方程()0,=--z y z x f 所确定的隐函数，其中()v u f ,具有连续的偏导数且0≠∂∂+∂∂v f u f 。

求yz x z ∂∂+∂∂的值。

2. 求微分方程x x y y x ln =+'的通解。

3. 计算二重积分⎰⎰D d y x σsin ，其中D 是以直线x y =和曲线3x y =为边界的曲边三角形区域（第一象限）。

4. 计算曲线积分()dz y x ydy xdx Γ 1-+++⎰，其中Γ是由点()1,1,1到点()3,2,1的直线段。

高等数学(工本)真题2007年下半年(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.在空间直角坐标系中，点P(-1，2，-3)关于oyz坐标面的对称点是( ) A．(1，-2，3) B．(1，2，-3)C．(-1，2，3) D．(-1，-2，-3)（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：2.设函数f(x，y)满足f x(x0，y0)=(x0，y0)=0，则函数f(x，y)在点(x0，y0)处( ) A．一定连续 B．一定有极值C．一定可微 D．偏导数一定存在（分数：3.00）A.B.C.D. √解析：3.设区域D是由直线y=2x，y=3x及x=1所围成，则二重积[*]=( )[*]（分数：3.00）A.B. √C.D.解析：4.已知二阶常系数线性齐次微分方程y"+y'+qy=0的通解为y=e x(C1sin2x+C2cos2x)，则常数p和q分别为( )A．-2和5 B．2和-5C．2和3 D．-2和-3（分数：3.00）A. √B.C.D.解析：5.若无穷级数[*]收敛于S，则无穷级数[*]收敛于( )A．S B．2SC．2S-u1 D．2S+u1（分数：3.00）A.B.C. √D.解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设函数z=arctan(x+y)，则[*]= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：7.设区域D：0≤x≤1，|y|≤2，则二重积[*]的值等于 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：8.已知sinxdx+cosydy是某个函数u(x，y)的全微分，则u(x，y)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：siny-cosx+C）解析：9.微分方程[*]的阶数是 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：二）解析：10.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[-π，π]上表达式为[*]，s(x)是f(x)的傅里叶级数的和函数，则s(π)= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求过点P1(1，2，-4)和P2(3，1，1)的直线方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线的方向向量为[*]所以所求直线方程为[*])解析：12.设函数[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*])解析：13.已知方程x2+y2+z2-8z=0确定函数z=z(x，y)，求[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设F(x，y，z)=x2+y2+z2-8z则F x=2x，F y=2y，F z=2z-8[*])解析：14.求函数f(x，y)=2xy-x2-y2在点(1，2)处，沿与x轴正向成60°角的方向z的方向导数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*][*][*])解析：15.求曲面z=2x2+3y2在点(1，1，5)处的切平面方程．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设F(x，y，z)=2x2+3y2-z，则F x=4x F y=6y F z=-1从而F x(1，1，5)=4 F y(1，1，5)=6 F z(1，1，5)=-1于是，所求切平面方程为4(x-1)+6(y-1)-(z-5)=0即4x+6y-z-5=0)解析：16.计算二次积分[*]．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(交换积分次序得[*] [*])解析：17.计算三重积分[*]，其中Ω是由平面x=1，y=1，z=1及坐标面所围成的区域．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：18.计算对弧长的曲线积分[*]，其中L是抛物线[*]上由点(1，[*])到点(2，2)的一段弧．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*])解析：19.计算对坐标的曲线积分[*]，其中L为图中的有向折线ABO．[*]（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：20.已知可导函数f(x)满足[*]，求函数f(x)．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(两边对x求导得f'(x)=xf(x)即[*]积分得[*][*])解析：21.求幂级数[*]的收敛半径和收敛域．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]∴收敛半径R=2[*]∴收敛域为(-2，2])解析：22.判断无穷级数[*]的敛散性．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*][*] [*])解析：四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数f(x，y)=x3-4x2+2xy-y2+1的极值．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(∵f x(x，y)=3x2-8x+2y=0f y(x，y)=2x-2y=0∴得驻点为(0，0)，(2，2)而f xx(x，y)=6x-8 f xy(x，y)=2 f yz(x，y)=-2对于(0，0)，有B2-AC=-12＜0，A=-8＜0所以(0，0)是f(x，y)的极大值点，极大值为f(0，0)=1对于(2，2)，有B2-AC=12＞0，所以(2，2)不是f(x，y)的极值点．综上所述，f(x，y)在(0，0)处取得极大值为1．)解析：24.求由平面x=0，y=0，z=0，x+y=1及抛物面z=x2+y2所围成的曲顶柱体的体积．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设D：x≥0，y≥0，x+y≤1[*])解析：25.将函数[*]展开成x的幂级数．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：。