2017-2018年山东省临沂市某重点中学高二(上)期中数学试卷和答案(文科)

高二英语月考试题（文科）2014.12第I卷（共95分）第一部分:听力(共两节，满分30分)第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

例：How much is the shirt?A. ￡19.15.B. ￡9.18.C. ￡9.15.答案是C。

1. What does the woman want to do?A. Find a place.B. Buy a map.C. Get an address.2. What will the man do for the woman?A. Repair her car.B. Give her a ride.C. Pick up her aunt.3. Who might Mr. Peterson be?A. A new professor.B. A department head.C. A company director.4. What does the man think of the book?A. Quite difficult.B. Very interesting.C. Too simple.5. What are the speakers talking about?A. Weather.B. Clothes.C. News.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6. Why is Harry unwilling to join the woman?A. He has a pain in his knee.B. He wants to watch TV.C. He is too lazy.7. What will the woman probably do next?A. Stay at home.B. Take Harry to hospital.C. Do some exercise.听第7段材料，回答第8、9题。

2017-2018学年度第一学期模块监测高二数学（文科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知b a >，d c >，那么下列不等式一定正确的是（ ）A ．bc ad >B ．bd ac >C ．d b c a ->-D ．c b d a ->-2.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S （ ）A ．5B ． 7C ． 9D ．113.若ABC ∆的三个内角满足13:11:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆（ ）A ．一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4.设}{n a 是等比数列，下列说法一定正确的是（ ） A ．931,,a a a 成等比数列 B ．632,,a a a 成等比数列 C. 842,,a a a 成等比数列 D ．963,,a a a 成等比数列5. 若关于x 的不等式mx x x >+-2212的解集为)2,0(，则实数m 的值是（ ） A ．1 B ．2 C. 3 D ．46.《莱茵德纸草书》是世界最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的71是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）A ．35B ．310 C. 65 D ．6117.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y ，则y x z +=2的最大值为（ ）A ． 4B ．3 C. 2 D ．18.设}{n a 是等差数列，下列结论中正确的是（ ）A ．若031<+a a ，则021<+a a B ．若210a a <<，则312a a a > C.若031>+a a ，则021>+a a D ．若01<a ，则0))((3212>--a a a a9.在等腰ABC ∆中，内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，32=a ，0120=∠A ，则此三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为（ ）A ．4和2B ．4和32 和332- D ．2和332+10.若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且b a ,2,-这三个数依次成等比数列，a b ,,2-这三个数依次成等差数列，则=pq （ ）A ．4B ． 5 C. 9 D ．2011.设b a x x f <<=0,ln )(，若)(ab f p =，)2(b a f q +=，))()((21b f a f r +=，则下列关系中正确的是（ ）A ． q r p >=B ．q r p <= C. p r q <= D ．p r q >=12.已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，且n n T n S n )237()1(+=+，则使得n nb a 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ． 2B ． 3 C. 4 D ．5第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数)3(31>-+=x x x y 的最小值为 ． 14.已知数列}{n a 是递减等比数列，且274=a ，36=a ，则数列 }{n a 的通项公式=n a ．15.已知ABC ∆中，满足060=B ，2=c 的三角形有两解，则边长b 的取值范围为 ．16.寒假期间，某校长委员会准备租赁B A ,两种型号的客车安排900名学生到重点高校进行研学旅游，B A ,两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1200元/辆和1800元/辆，家长委员会为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为 元．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 解下列关于x 的不等式：（1）321≥-+x x ；（2）0222≤--a ax x )(R a ∈.18. 已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且满足B A B A sin sin 2)cos(=-.（1）判断ABC ∆的形状；（2）若3=a ，6=c ，CD 为角C 的平分线，求BCD ∆的面积.19. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知231-=+a a ，7515=S ，)(*N n ∈. （1）求9S ； （2）若数列)4)(4(11++=+n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .20. 已知ABC ∆的内角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，且b A c C a B =+)cos cos (cos 2.（1）求B ；（2）若1=+c a ，求b 的取值范围.21. 潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑，某班同学准备测量观光塔AE 的高度H （单位：米），如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度4=h 米，已知α=∠ABE ，β=∠ADE .（1）该班同学测得βα,一组数据：31.1tan ,35.1tan ==βα，请据此算出H 的值；（2）该班同学分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到观光塔的距离d （单位：米），使α与β的差较大，可以提高测量精确度，若观光塔高度为136米，问d 为多大时，)tan(βα-的值最大？22.已知数列}{n a 的前n 项和n S ，n n S n 22+=.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）令n n n a b 2=，设数列}{n b 的前n 项和为n T ，求n T . （3）令π)1cos(1+=+n a a c n n n ，若221tn c c c n ≥+++ 对*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围.试卷答案一、选择题：1-5 D A C D A 6-10 A B B C D 11-12 B C二、填空题：13. 5 14.n -73 15. (3,2) 16. 27600三、解答题17.（本小题满分10分）解：（I ）将原不等式化为0272≤--x x ，即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x 所以原不等式的解集为7{2}.2x x <≤ （II ）当0a =时，不等式的解集为{0}；当0a ≠时，原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤，因此 当0a >时，2a a -<， 2,a x a ∴-≤≤当0a <时，2a a ->， 2,a x a ∴≤≤-综上所述，当0a =时，不等式的解集为{0}，当0a >时，不等式的解集为，{2}x a x a -≤≤,当0a <时，不等式的解集{2}.x a x a ≤≤-18. （本小题满分12分）解：（I ）由B A B A sin sin 2)cos(=-，得 B A B A B A sin sin 2sin sin cos cos =+,0sin sin cos cos =-∴B A B A ,0)cos( =+∴B A .︒=∴90 C , 故ABC ∆为直角三角形.(II)由（I ）知︒=90C ，又6,3==c a ，∴3322=-=a c b ，︒=∠︒=105,30ADC A ,由正弦定理得ADC AC A CD ∠=sin sin ,26329214263330sin 105sin 33 -=⨯+=︒⨯︒=∴CD ，.439274sin 32632921sin 21 -=⋅⋅-⋅=∠⋅⋅⋅=∴πBCD a CD S19. （本小题满分12分）解：（I ）设数列}{n a 的公差为d ，则{112221510575a d a d +=-+=，即 {1111510575a d a d +=-+=， …2分解得{211-==a d ，所以9989(2)1182S ⨯=⨯-+⨯=.（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I ）知21(1)3n a n n =-+⋅-=-，2111)2)(1(1)4)(4(11+-+=++=++=+n n n n a a b n n n ，∴=++++=n nb b b b T 321)2111()4131()3121(+-++-+-n n .422121+=+-=n n n20. （本小题满分12分）解：(I ）由已知及正弦定理得，B A C C A B sin )cos sin cos (sin cos 2=+,即B C A B sin )sin(cos 2=+,B B B sin sin cos 2 =∴,在ABC ∆中，可得,21cos =B 所以3π=B .(II ）∵1a c +=，即1c a =-，1cos 2B =，∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-⋅，即2222()313(1)b a c ac a c ac a a =+-=+-=--2113(),24a =-+∵01a <<，∴211,4b ≤<则1 1.2b ≤<21. （本小题满分12分）解：（I ）由αtan H AB =，βtan h BD =，βtan H AD =, 及AD BD AB =+，得ββαtan tan tan H h H =+， 解得tan 4 1.35135tan tan 1.35 1.31h H ααβ⨯===--,因此算出观光塔的高度H 是135m.(II ）由题设知AB d =，得d H =αtan ，由ββtan tan h H BD AD AB -=-=得d h H -=βtan ， 所以)(2)(tan tan 1tan tan )tan(h H H h d h H H d h -≤-+=+-=-βαβαβα.当且仅当d d H H d )(-=，即()136(1364)41122()d H H d m -=⨯-=时， 上式取等号，所以当m d 11224=时)tan(βα-最大.22.（本小题满分12分）解：(I)当2≥n 时，,12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n当1=n 时，31=a ，适合上式， ∴12+=n a n （*∈N n ）.(II)n n nb 212+=，则n n n T 21221322122211232++++⨯++⨯++⨯= ，143221221)1(2213221222112 21++++-⨯+++⨯++⨯++⨯=n n n n n T ，-得1322122222222321++-++++=n n n n T ，125225++-=n n.n n n T 2525 +-=∴ .(III)ππ)1cos()32)(12()1cos(1+++=+=+n n n n a a c n n n ,当n 为奇数时，1)1cos(=+πn ，=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n, 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴,75)731(726722++=++≤∴n n n t 2.t ∴≤当n 为偶数时，1)1cos(-=+πn ，=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴,62 n t --≤∴.5 -≤∴t综上所述， 5.t ≤-2017—2018学年度第一学段模块监测高二数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5 D A C D A 6-10 A B B C D 11-12 B C二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分)答案填写在答题卡相应的位置上.13. 5 14.n -73 15. (3,2) 16. 27600三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，把正确答案填在答题卡中的对应位置上）.17.（本小题满分10分）解：（I ）将原不等式化为0272≤--x x ， …………………2分即),2(0)2)(72(≠≤--x x x ,272 ≤<∴x …………………4分 所以原不等式的解集为7{2}.2x x <≤ ………… …………………5分 （II ）当0a =时，不等式的解集为{0}； ……………………6分当0a ≠时，原不等式等价于()(2)0x a x a +-≤，因此 当0a >时，2a a -<， 2,a x a ∴-≤≤当0a <时，2a a ->， 2,a x a ∴≤≤- ……… ……………………9分综上所述，当0a =时，不等式的解集为{0}，当0a >时，不等式的解集为，{2}x a x a -≤≤,当0a <时，不等式的解集{2}.x a x a ≤≤- ……… ……… …………10分18. （本小题满分12分）解：（I ）由B A B A sin sin 2)cos(=-，得 B A B A B A sin sin 2sin sin cos cos =+, … ………………2分0sin sin cos cos =-∴B A B A ,0)cos( =+∴B A . ……… …………4分︒=∴90 C , 故ABC ∆为直角三角形. …………………………6分(II)由（I ）知︒=90C ，又6,3==c a ，∴3322=-=a c b ，︒=∠︒=105,30ADC A , … …………8分由正弦定理得ADC AC A CD ∠=sin sin ,26329214263330sin 105sin 33 -=⨯+=︒⨯︒=∴CD ， ………………10分.439274sin 32632921sin 21 -=⋅⋅-⋅=∠⋅⋅⋅=∴πBCD a CD S ………12分19. （本小题满分12分）解：（I ）设数列}{n a 的公差为d ，则{112221510575a d a d +=-+=，即 {1111510575a d a d +=-+=， …2分解得{211-==a d ， ……………………………………4分 所以9989(2)1182S ⨯=⨯-+⨯=. ……………………………………6分 （也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I ）知21(1)3n a n n =-+⋅-=-， ……… ………… ………7分 2111)2)(1(1)4)(4(11+-+=++=++=+n n n n a a b n n n ， ………………9分∴=++++=n n b b b b T 321)2111()4131()3121(+-++-+-n n.422121+=+-=n n n ……………… ………………12分20. （本小题满分12分）解：(I ）由已知及正弦定理得，B A C C A B sin )cos sin cos (sin cos 2=+,即B C A B sin )sin(cos 2=+,B B B sin sin cos 2 =∴, 在ABC ∆中，可得,21cos =B 所以3π=B . ……………………6分(II ）∵1a c +=，即1c a =-，1cos 2B =， ∴由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-⋅，即2222()313(1)b a c ac a c ac a a =+-=+-=--2113(),24a =-+∵01a <<，∴211,4b ≤<则1 1.2b ≤< …………………………12分21. （本小题满分12分）解：（I ）由αtan H AB =，βtan h BD =，βtan H AD =, ………………2分 及AD BD AB =+，得ββαtan tan tan H h H =+， ……………………3分 解得tan 4 1.35135tan tan 1.35 1.31h H ααβ⨯===--, ………… ………………5分因此算出观光塔的高度H 是135m. ………………6分(II ）由题设知AB d =，得d H =αtan ，由ββtan tan h H BD AD AB -=-=得d h H -=βtan ， ………………8分 所以)(2)(tan tan 1tan tan )tan(h H H h d h H H d h -≤-+=+-=-βαβαβα.………………10分当且仅当d d H H d )(-=，即()136(1364)41122()d H H d m -=⨯-=时， 上式取等号，所以当m d 11224=时)tan(βα-最大. ………………12分22.（本小题满分12分）解：(I)当2≥n 时，,12)]1(2)1[(2221+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n …………2分当1=n 时，31=a ，适合上式， ∴12+=n a n （*∈N n ）. …………3分百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 (II)n n n b 212+=，则n n n T 21221322122211232++++⨯++⨯++⨯= ，……………4分 143221221)1(2213221222112 21++++-⨯+++⨯++⨯++⨯=n n n n n T ， ………5分-得 1322122222222321++-++++=n n n n T ， ………………………6分125225++-=n n .n n n T 2525 +-=∴ . ………… ………………………………………7分(III)ππ)1cos()32)(12()1cos(1+++=+=+n n n n a a c n n n , ………………8分 当n 为奇数时，1)1cos(=+πn ，=+⨯+++⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n .7624)1)(82(415)12117(4532++=-+⨯+=++++⨯+⨯n n n n n, 2tn T n ≥ ,762 22tn n n ≥++∴ ,75)731(7267 22++=++≤∴n n n t 2.t ∴≤ ………………………10分 当n 为偶数时，1)1cos(-=+πn ，=+⨯+-+⨯-⨯+⨯-⨯=+++)32()12(11997755321n n c c c n.62)121395(42n n n --=+++++⨯-, 2tn T n ≥ ,62 22tn n n ≥--∴ ,62 n t --≤∴.5 -≤∴t 综上所述， 5.t ≤- ………………………………………12分。

高二级上学期期中考试题数学本试卷共8页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。

第一部分选择题（共60分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( )A ．0B ．－1C ．0或1D ．0或－12．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( )A.2π B ．22π C ．2πD ．4π3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 5．下列命题中，正确的是( )A ．任意三点确定一个平面B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( )A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 37．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上， 则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．410．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+=B ．30x y +-=C ．20x y -=D ．10x y --=12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，BC =CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6第二部分非选择题（90分）三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______________．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．15．若直线:l y kx =与曲线:1M y =+有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程．18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值；(2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l 与圆C 相离，求a 的取值范围．20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点．(1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．21. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.22. (本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点? 若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.高二级上学期期中考试题 数学答案及说明一、选择题：1.D ，2.A ，3.C ，4.B ，5.C ，6.B ，7.D ，8.A ，9.BCD ，10.ACD ，11.ABC ，12.BC.二、填空题：13.0x ∀<，2210x x --≤；14.y ＝－2x －2；15.13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭；16.36π.题目及详细解答过程：一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1．已知直线l 1：2x ＋my ＝2，l 2：m 2x ＋2y ＝1，且l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．0 B ．－1 C ．0或1 D ．0或－1 解析：因为l 1⊥l 2，所以2m 2＋2m ＝0，解得m ＝0或m ＝－1. 答案：D2．若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为( ) A.2π B ．22π C ．2π D ．4π 解析：设底面圆的半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，r ＝h ＝22l ，则12(2r )2＝1，r ＝1，l ＝2.所以圆锥的侧面积为πrl ＝2π. 答案：A3．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析：当三棱锥D ­ABC 体积最大时，平面DAC ⊥平面ABC .取AC 的中点O ，则∠DBO 即为直线BD 和平面ABC 所成的角．易知△DOB 是等腰直角三角形，故∠DBO ＝45°.答案：C4．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限， 则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=.由题意可得()()22221a a a -+-=，可得2650a a -+=，解得1a =或5a =，所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心到直线的距离均为121132555d ⨯--==； 圆心到直线的距离均为22553255d ⨯--== 圆心到直线230x y --=的距离均为22555d -==； 所以，圆心到直线230x y --=25. 故选：B ．5．下列命题中，正确的是( ) A ．任意三点确定一个平面 B ．三条平行直线最多确定一个平面C ．不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D ．一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行 解析：由线面垂直的性质，易知C 正确． 答案：C6．已知M (3，23)，N (－1，23)，F (1，0)，则点M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．23 C ． 22D ．3 3解析：易知NF 的斜率k ＝－3，故NF 的方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0. 所以M 到NF 的距离为|33＋23－3|（3）2＋12＝2 3. 答案：B7．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是正方形，且侧棱垂直于底面)高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )A ．20πB ．16πC ．32πD ．24π解析：由题意知正四棱柱的底面积为4，所以正四棱柱的底面边长为2，正四棱柱的底面对角线长为22，正四棱柱的对角线为2 6.而球的直径等于正四棱柱的对角线，即2R ＝2 6.所以R ＝ 6.所以S 球＝4πR 2＝24π. 答案：D8．直线:20l x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ ） A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦，【答案】A 【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则22AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1202222d ++==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦，则[]22122,62ABP S AB d d ==∈△.故答案为A.二、多选题(每题5分，共20分)9．若220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，则实数a 的值可以是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BCD【解析】：由220x x --<，解得12x -<<．又220x x --<是2x a -<<的充分不必要条件，(1∴-，2)(2-，)a ，则2a ．∴实数a 的值可以是2，3，4．故选：BCD ．10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥ B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m n C ．若m α⊥，m β⊥，则//αβ D ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ 【答案】ACD 【解析】若m α⊥，则,a b α∃⊂且a b P =使得m a ⊥，m b ⊥，又//m n ，则n a ⊥，n b ⊥，由线面垂直的判定定理得n α⊥，故A 对； 若//m α，n αβ=，如图，设m AB =，平面1111D C B A 为平面α，//m α，设平面11ADD A 为平面β，11A D n αβ⋂==，则m n ⊥，故B 错；垂直于同一条直线的两个平面平行，故C 对；若,//m m n α⊥，则n α⊥，又n β⊥，则//αβ，故D 对； 故选：ACD ．11．若直线过点(1,2)A ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( ) A ．10x y -+= B ．30x y +-= C ．20x y -= D ．10x y --=【答案】ABC【解析】：当直线经过原点时，斜率为20210k -==-，所求的直线方程为2y x =，即20x y -=； 当直线不过原点时，设所求的直线方程为x y k ±=，把点(1,2)A 代入可得12k -=，或12k +=，求得1k =-，或3k =，故所求的直线方程为10x y -+=，或30x y +-=； 综上知，所求的直线方程为20x y -=、10x y -+=，或30x y +-=． 故选：ABC ．12．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为矩形，侧面PCD ⊥平面ABCD ，23BC =，26CD PC PD ===.若点M 为PC 的中点，则下列说法正确的为（ ）A ．BM ⊥平面PCDB ．//PA 面MBDC ．四棱锥M ABCD -外接球的表面积为36π D ．四棱锥M ABCD -的体积为6 【答案】BC【解析】作图在四棱锥P ABCD -中：为矩形，由题：侧面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，底面ABCDBC CD ⊥，则BC ⊥平面PCD ，过点B 只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC 交BD 于O ，连接MO ，PAC ∆中，OM ∥PA ，MO ⊆面MBD ，PA ⊄面MBD ，所以//PA 面MBD ，所以选项B 正确；四棱锥M ABCD -的体积是四棱锥P ABCD -的体积的一半，取CD 中点N ，连接PN ，PN CD ⊥，则PN平面ABCD ，32PN =，四棱锥M ABCD -的体积112326321223M ABCD V -=⨯⨯⨯⨯=所以选项D 错误.矩形ABCD 中，易得6,3,3AC OC ON ===，PCD 中求得：16,2NM PC ==在Rt MNO 中223MO ON MN =+=即： OM OA OB OC OD ====，所以O 为四棱锥M ABCD -外接球的球心，半径为3， 所以其体积为36π，所以选项C 正确， 故选：BC三、填空题(每题5分，共20分)13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，， 则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．14．已知直线l 1的方程为23y x =-+，l 2的方程为42y x =-，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，则直线l 的斜截式方程为________________．解析：由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又l ∥l 1，所以l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，所以l 在y 轴上的截距b ＝－2.由斜截式方程可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.答案：y ＝－2x －215．若直线:l y kx =与曲线()2:113M y x =+--有两个不同交点，则k 的取值范围是________________．解析：曲线M ：y ＝1＋1－（x －3）2是以(3，1)为圆心，1为半径的，且在直线y ＝1上方的半圆．要使直线l 与曲线M 有两个不同交点，则直线l 在如图所示的两条直线之间转动，即当直线l 与曲线M 相切时，k 取得最大值34；当直线l 过点(2，1)时，k 取最小值12.故k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 答案：13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的体积为____________．解析：如图，连接OA ，OB .由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥SC .又由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，知OA ⊥平面SCB . 设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，所以三棱锥S ­ABC 的体积为311323r V SC OB OA ⎛⎫=⨯⋅⋅= ⎪⎝⎭，即r 33＝9.所以r ＝3.所以3344336.33=O V r πππ=⨯=球答案：36π四、解答题(每题5分，共70分)17．(本小题满分10分)已知直线l 1的方程为x ＋2y －4＝0，若l 2在x 轴上的截距为32，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1与l 2的交点坐标；(2)已知直线l 3经过l 1与l 2的交点，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍，求l 3的方程． 解：(1)设l 2的方程为2x －y ＋m ＝0，..........1分因为l 2在x 轴上的截距为32，所以3－0＋m ＝0，m ＝－3，即l 2：2x －y －3＝0.....3分联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2x －y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.所以直线l 1与l 2的交点坐标为(2，1)．..........5分 (2)当l 3过原点时，l 3的方程为y ＝12x ..........6分当l 3不过原点时，设l 3的方程为12x y a a +=...........7分 又直线l 3经过l 1与l 2的交点，所以2112a a+=， 得52a =，l 3的方程为2x ＋y －5＝0...........8分 综上，l 3的方程为y ＝12x 或2x ＋y －5＝0...........10分18．(本小题满分12分)四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 为直角梯形，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝12CD ＝1，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝ 3.(1)求证：PD ⊥AB ；(2)求四棱锥P-ABCD 的体积．18.解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，..........1分又因为AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，..........3分 所以AB ⊥平面PAD ，..........4分又PD ⊂平面PAD ，..........5分所以AB ⊥PD ...........6分 (2)解：S 梯形ABCD ＝12(AB ＋CD )·AD ＝332，.......8分又PA ⊥平面ABCD ，..........9分所以V 四棱锥P-ABCD ＝13×S 梯形ABCD ·PA ＝13×332×3＝32...........12分19．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心坐标为(a ，0)，且圆C 与y 轴相切． (1)已知a ＝1，M (4，4)，点N 是圆C 上的任意一点，求|MN |的最小值； (2)已知a ＜0，直线l 的斜率为43，且与y 轴交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.若直线l与圆C 相离，求a 的取值范围．19.解：(1)由题意可知，圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1...........2分又|MC |＝（4－1）2＋（4－0）2＝5，..........4分 所以|MN |的最小值为5－1＝4...........5分(2)因为直线l 的斜率为43，且与y 轴相交于点20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以直线l 的方程为y ＝43x －23.即4x －3y －2＝0..........7分因为直线l 与圆C 相离，所以圆心C (a ，0)到直线l 的距离d ＞r . 则224243a a ->+.........9分又0a <，所以245a a ->-，解得2a >-..........11分 所以a 的取值范围是(－2，0)．.........12分20．(本小题满分12分)在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，点D 是线段AB 上的动点． (1)当点D 是AB 的中点时，求证：AC 1∥平面B 1CD ；(2)线段AB 上是否存在点D ，使得平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1？若存在，试求出AD 的长度；若不存在，请说明理由．20.解：(1)证明：如图，连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE ，则点E 是BC 1的中点，又点D 是AB 的中点，由中位线定理得DE ∥AC 1，.........1分 因为DE ⊂平面B 1CD ，.........2分AC 1⊄平面B 1CD ，.........3分所以AC 1∥平面B 1CD ..........4分(2)解：当CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1........5分 证明：因为AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以AA 1⊥CD ..........6分又CD ⊥AB ，AA 1∩AB ＝A ，.........7分所以CD ⊥平面ABB 1A 1，因为CD ⊂平面CDB 1，.........8分 所以平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1，.........9分故点D 满足CD ⊥AB 时，平面ABB 1A 1⊥平面CDB 1......10分 因为AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，所以AC 2＋BC 2＝AB 2， 故△ABC 是以角C 为直角的三角形， 又CD ⊥AB ，所以AD ＝95..........12分22. (本小题满分12分) 如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，060ABC ∠=，FA ⊥平面ABCD ，//,2 2.FA ED AB FA ED ===求二面角F BC A --的大小的正切值；求点E 到平面AFC 的距离；求直线FC 与平面ABF 所成的角的正弦值.21.解： 作于点G ，连接FG ， 四边形ABCD 是菱形,,，为等边三角形,,-----1分平面ABCD ，平面ABCD ，，又，，平面AFG ，BC FG ∴⊥-----2分 G∴为二面角的平面角，------3分----------------------------4分连接AE ，设点E 到平面AFC 的距离为h ， 则， ----------------------5分即，也就是，--------------------6分解得：； ------------------------------------------------7分(3)作CH AB ⊥于点H ，连接FH ，ABC ∆为等边三角形，H ∴为AB 的中点，221,3,5,AH CH FH FA AH ===+= FA ⊥平面ABCD ，CH ⊂平面ABCD ，FA CH ∴⊥，----8分 又,CH AB AB AF A ⊥⋂=，CH ∴⊥平面ABF ，-----9分CFH ∴∠为直线FC 与平面ABF 所成的角，-------10分36sin 422CH CFH CF ∴∠===．-----------------12分 22.(本小题满分12分)已知圆22+=9：O x y ，过点()0,2P -任作圆O 的两条相互垂直的弦AB 、CD ，设M 、N 分别是AB 、CD 的中点，（1）直线MN 是否过定点?若过，求出该定点坐标，若不过，请说明理由； （2）求四边形ACBD 面积的最大值，并求出对应直线AB 、CD 的方程.22.解：（1）当直线AB CD 、的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为:()()()112220,,,,y kx k A x y B x y =-≠------------1分由2229+=y kx x y =-⎧⎨⎩得：()221450k x kx +--=--------------------2分 点()0,2P -在圆内,故0∆>. 又 1212222422,21211M M Mx x k k x x x y kx k k k +∴+=∴===-=-+++ 即 2222,11kM k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭--------------------3分AB CD ⊥以1k -代换k 得22222,11k k N k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭22222222111.22211MNk k k k k k k k k k -+-++∴==+++---------------4分∴直线MN 的方程为：222212121k k y x k k k -⎛⎫+=- ⎪++⎝⎭化简得2112k y x k-=-，故直线MN 恒过定点()01-，--------------------5分 当直线AB CD 、的斜率不存在或为0时，显然直线MN 恒过定点()01-， 综上，直线MN 恒过定点()01-，--------------------.6分 (2) 解法一:圆心O 到直线AB的距离1d =AB ==分 （或由第（1）问得：21AB x =-==以1k -代换k 得CD =）AB CD ⊥∴以1k -代换k 得:CD =分12ACBD S AB CD ∴=⋅==分14=≤= 当且仅当221,1k k k==±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=-----------12分 解法二：设圆心O 到直线AB 、CD 的距离分别为12,d d 、则22222211229,9AB r d d CD r d d =-=-=-=---------------------7分AB CD ⊥222124d d OP ∴+==--------------------8分()()()2222121221991821818414ACBD S AB CD d d d d OP ∴=⋅=≤-+-=-+=-=-=--------------------10分当且仅当12d d =，即1k =±时,取等号,故四边形ACBD 面积的最大值为14，--------------------11分对应直线AB 、CD 分别为2,2y x y x =-=--或2,2y x y x =--=---------12分。

2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣43．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．44．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ） A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．126．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．567．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x 2m 2+y 2n 2=1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)被直线方程2x ﹣y +9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（ ） A ．x 28+y 24=1 B ．x 232+y 216=1C ．x 28+y 24=1或y 28+x 24=1D ．x 232+y 216=1或y 232+x 216=18．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB ＝100米，拱高OP ＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（ ）米．（注意：√10取3.162）A ．6.48B ．4.48C ．2.48D ．以上都不对二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ ．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ ． 15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 ．16．如图，已知菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝120°，E 为边BC 的中点，将△ABE 沿AE 翻折成△AB 1E （点B 1位于平面ABCD 上方），连接B 1C 和B 1D ，F 为B 1D 的中点，则在翻折过程中，AE 与B 1C 的夹角为 ，点F 的轨迹的长度为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C ，E ，D ，G 在同一平面内，且CG＝DG ．（1）证明：平面BFD ⊥平面BCG ；（2）若直线GC 与平面ABG 所成角的正弦值为√105，求平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值．22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）：步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一定点，记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F（即折叠后图中的点A与点F重合）；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE的交点为P；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F到圆心E的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF的中点为原点，线段EF所在直线为x轴建立平面直角坐标系xOy，记动点P的轨迹为曲线C．（1）求C的方程；（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B，的动点，设PB交直线x＝4于点T，连结AT交轨迹C于点Q．直线AP、AQ的斜率分别为k AP、k AQ．（ⅰ）求证：k AP•k AQ为定值；（ⅱ）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标．2023-2024学年山东省普高联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知点A （3，2，3），B （1，1，4），则A 、B 的中点的坐标为（ ） A ．(1，12，−12)B ．(2，32，72)C ．（4，3，7）D ．(−1，−12，12)解：因为A （3，2，3），B （1，1，4），所以中点M(3+12，2+12，3+42)=(2，32，72)． 故选：B ．2．已知直线l 1：2x +2y ﹣5＝0，l 2：4x +ny +1＝0，若l 1∥l 2，则n 的值为（ ） A ．﹣6B ．6C ．4D ．﹣4解：因为l 1∥l 2，所以42=n 2≠1−5⇒n =4．故选：C ．3．过点A （1，1）的直线l 与圆M ：x 2+y 2﹣6x ＝0相交的所有弦中，弦长最短为（ ） A ．5B ．2C ．√5D ．4解：将A （1，1）代入x 2+y 2﹣6x ，得到12+12﹣6×1＜0，所以点A 在圆内， 再根据x 2+y 2﹣6x ＝0可得圆心坐标M （3，0），可知当l 与AM 垂直时，弦长最小， 因为AM =√5，即最短弦长为的一半为√32−(√5)2=2，所以最短弦长为2×2＝4． 故选：D ．4．已知空间四边形OABC ，其对角线是OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝3GN ，用基底向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →应是（ ）A ．OG →=18OA →+38OB →+38OC →B ．OG →=18OA →−38OB →+38OC →C ．OG →=16OA →+13OB →+13OC →D ．OG →=16OA →−13OB →+13OC →解：∵OG →=OM →+MG →=OM →+34MN →=OM →+34(MO →+OC →+CN →)=OM →+34MO →+34OC →+34×12CB →=14OM →+34OC →+38(OB →−OC →)=18OA →+38OB →+38OC → 故选：A ．5．已知实数x ，y 满足方程x 2+y 2﹣2x ＝0，则y+1x+1的最大值是（ ）A ．34B ．43C ．0D ．12解：C 的方程x 2+y 2﹣2x ＝0可化为（x ﹣1）2+y 2＝1， 它表示圆心（1，0），半径为1的圆，y+1x+1表示圆上的点与点P （﹣1，﹣1）的连线的斜率k ， 设过圆上点与点P （﹣1，﹣1）的直线方程为y +1＝k （x +1）， 则圆心（1，0）到直线y +1＝k （x +1）的距离d =|2k−1|√k +1≤1，可得0≤k ≤43，即最大值为43，故选：B ．6．战国时期成书《经说》记载：“景：日之光，反蚀人，则景在日与人之间”．这是中国古代人民首次对平面镜反射的研究，体现了传统文化中的数学智慧．在平面直角坐标系xOy 中，一条光线从点（2，3）射出，经y 轴反射后与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．−43或−34B ．17C ．57D ．56解：根据题意，设B 与点（2，3）关于y 轴的对称，则B 的坐标为（﹣2，3）， 则反射光线经过点B ，且与圆x 2﹣6x +y 2+4y +12＝0相切，设反射光线所在直线的方程为：y﹣3＝k（x+2），即kx﹣y+2k+3＝0，圆x2﹣6x+y2+4y+12＝0的标准方程为（x﹣3）2+（y+2）2＝1，则圆心为（3，﹣2），半径r＝1，由圆心（3，﹣2）到反射光线的距离等于半径可得：√1+k2=1，即12k2+25k+12＝0，解得k=−43或k=−34．故选：A．7．已知中心在原点，半焦距为4的椭圆x2m2+y2n2=1(m＞0，n＞0，m≠n)被直线方程2x﹣y+9＝0截得的弦的中点横坐标为﹣4，则椭圆的标准方程为（）A．x28+y24=1B．x232+y216=1C．x28+y24=1或y28+x24=1D．x232+y216=1或y232+x216=1解：设直线2x﹣y+9＝0与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，由{x12m2+y12n2=1x22 m2+y22n2=1，得(x1+x2)(x1−x2)m2+(y1+y2)(y1−y2)n2=0，得k=y1−y2x1−x2=−n2m2×x1+x2y1+y2=2，弦的中点坐标是M（﹣4，1），直线AB的斜率k＝2，所以n2m2=12，m2=2n2，又m2﹣n2＝16，所以m2＝32，n2＝16，椭圆的标准方程为x232+y216=1．故选：B．8．苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度AB＝100米，拱高OP＝10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米．（注意：√10取3.162）A．6.48B．4.48C．2.48D．以上都不对解：以O为原点，以AB所在直线为x轴，以OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标（0，a），P（0，10），A（﹣50，0），则圆拱所在圆的方程为x 2+（y ﹣a ）2＝r 2， ∴{(10−a)2=r 2(−50)2+a 2=r 2，解得a ＝﹣120，r 2＝16900， ∴圆的方程为x 2+（y +120）2＝16900．将x ＝﹣30代入圆方程，得：900+（y +120）2＝16900， ∵y ＞0，∴y =40√10−120≈40×3.162﹣120＝6.48． 故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．空间直角坐标系中，已知O （0，0，0），OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，OC →=(2，3，−1)，则（ ） A ．|AB →|=2B ．△ABC 是直角三角形C ．与OA →平行的单位向量的坐标为(√66，−√63，−√66)D ．{OA →，OB →，OC →}可以作为空间的一组基底 解：因为OA →=(−1，2，1)，OB →=(−1，2，−1)，所以AB →=OB →−OA →=(0，0，−2)，所以|AB →|=2，选项A 正确； 又因为OC →=(2，3，−1)，所以BC →=OC →−OB →=(3，1，0)， 所以AB →⋅BC →=0，所以△ABC 是直角三角形，选项B 正确； 因为|OA →|=√1+4+1=√6， 所以与OA →平行的单位向量的坐标为：±OA →|OA →|=±(√66，−√63，−√66)，选项C 错误； 假设OA →，OB →，OC →共面，则存在唯一的有序数对（x ，y ）使OA →=xOB →+yOC →，即（﹣1，2，1）＝x （﹣1，2，﹣1）+y （2，3，﹣1）＝（﹣x +2y ，2x +3y ，﹣x ﹣y ）， 所以{−1=−x +2y 2=2x +3y 1=−x −y ，此方程组无解，故OA →，OB →，OC →不共面，故可作为空间一组基底，选项D 正确． 故选：ABD ．10．在如图所示的三棱锥O ﹣ABC 中，OA ＝OC ＝OB ＝1，OA ⊥面OBC ，∠BOC =π3，下列结论正确的为（ ）A ．直线AB 与平面OBC 所成的角为45° B ．二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为√33C ．O 到面ABC 的距离为√217D ．异面直线OC ⊥AB解：选项A ，因为OA ⊥面OBC ，故∠ABO 为直线AB 与平面OBC 所成的角， 又OA ＝OC ＝OB ＝1，所以tan ∠ABO ＝1，故直线AB 与平面OBC 所成的角是45°，故A 正确； 选项B ，取BC 中点为D ，连接OD ，AD ，因为OA ＝OB ＝OC ＝1，OA ⊥平面OBC ，∠BOC =π3，所以AB =AC =√2，BC =1，OD ⊥BC ，AD ⊥BC ， 因为OD ∩AD ＝D ，所以BC ⊥平面AOD ，故∠ODA 为二面角O ﹣BC ﹣A 的平面角，则tan ∠ODA =OA OD =2√33， 故二面角O ﹣BC ﹣A 的正切值为2√33，故B 错误；选项C ，因为AB =AC =√2，BC =1，所以AD =√72，设O 到面ABC 的距离为h ，则由V A ﹣OBC ＝V O ﹣ABC ，可得：13×√34×1=13×12×√72×ℎ，解得ℎ=√217，故C 正确；选项D ，若OC ⊥AB ，又OC ⊥OA ，且AB ∩OA ＝A ，则OC ⊥面OAB ， 则有OC ⊥OB ，与∠BOC =π3矛盾，故D 错误．故选：AC ．11．已知直线l ：kx ﹣y +2k ＝0（k ∈R ）和圆O ：x 2+y 2＝8，则（ ） A ．直线l 恒过定点（2，0）B ．存在k 使得直线l 与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直C ．直线l 与圆O 相交D ．若k ＝1，则圆O 上到直线l 的距离为√2的点有四个解：由直线l ：kx ﹣y +2k ＝0，整理成k （x +2）﹣y ＝0，则直线恒过定点（﹣2，0），故A 错误； 若直线l ：kx ﹣y +2k ＝0与直线l 0：x ﹣2y +2＝0垂直， 则k +2＝0，解得k ＝﹣2，故B 正确；因为（﹣2）2+0＝4＜8，所以定点（﹣2，0）在圆O ：x 2+y 2＝8内部， 所以直线l 与圆O 相交，故C 正确； 当k ＝1时，直线l 化为x ﹣y +2＝0， 圆心O 到直线的距离d =|2|√2=√2，圆O 半径2√2， 因为d ＜r 且d =12r ，所以圆O 到直线l 距离为√2的点有三个，故D 错误．故选：BC ．12．已知抛物线y 2＝4x ，焦点F ，过点P （1，1）作斜率互为相反数的两条直线分别交抛物线于A ，B 及C ，D 两点．则下列说法正确的是（ ） A ．抛物线的准线方程为x ＝﹣1 B ．若|AF |＝5，则直线AP 的斜率为1 C ．若PA →=3BP →，则直线AB 的方程为y ＝xD ．∠CAP ＝∠BDP解：对于选项A ：因为抛物线方程为y 2＝4x ，可得该抛物线的准线方程为x ＝﹣1，故选项A 正确； 对于选项B ：不妨设A （x 0，y 0），因为|AF |＝5，所以x 0+p2=x 0+1=5，x 0=4，解得y 0＝±4， 又P （1，1），则直线AP 的斜率为4−14−1=1或−4−14−1=−53，故选项B 错误； 对于选项C ：不妨设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），因为P （1，1），所以BP →=(1−x 2，1−y 2)，PA →=(x 1−1，y 1−1)， 因为PA →=3BP →，所以{3(1−x 2)=x 1−13(1−y 2)=y 1−1，得{x 1=4−3x 2y 1=4−3y 2．因为y 12=4x 1，所以(4−3y 2)2=4(4−3x 2)，即3y 22−8y 2=−4x 2， 因为y 22=4x 2，所以4y 22−8y 2=0，y 2=0或y 2＝2，当y 2＝0时，x 2＝0，解得x 1＝4，y 1＝4； 当y 2＝2时，x 2＝1，解得x 1＝1，y 1＝﹣2，此时直线AB 的斜率不存在，直线CD 的斜率为0，不符合题意；则A （4，4），B （0，0），此时直线AB 的方程为y ＝x ，故选项C 正确． 对于选项D ：易知直线AB ，CD 的斜率存在，不妨设直线AB ：y ＝k （x ﹣1）+1， 则直线CD ：y ＝﹣k （x ﹣1）+1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）， 联立{y =k(x −1)+1y 2=4x ，即{x =1k (y −1)+1y 2=4x，消去x 并整理得y 2−4k y +4k −4=0，因为P （1，1）在抛物线内部，所以Δ＞0， 由韦达定理得y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4k−4，因为|AP|=√1+1k 2|y 1−1|，|BP|=√1+1k2|y 2−1|， 所以|AP|⋅|BP|=(1+1k 2)|(y 1−1)(y 2−1)|=(1+1k2)|y 1y 2−(y 1+y 2)+1| =(1+1k 2)|4k −4−4k +1|=3(1+1k2)， 同理得|CP|⋅|DP|=3[1+1(−k)2]=3(1+1k 2)，所以|AP |•|BP |＝|CP |•|DP |，即|AP||DP|=|CP||BP|，又∠CP A ＝∠BPD ，所以△APC ∽△BPD ，则∠CAP ＝∠BDP ，故选项D 正确． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°，那么实数a ＝ 1 ． 解：过P （﹣1，a ）、Q （a +1，4）两点的直线的倾斜角为45°， 则k PQ ＝tan45°＝1，又k PQ =4−aa+2=1⇒a =1． 故答案为：1．14．a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)，若a →，b →，c →共面，则实数k ＝ 2 ． 解：因为a →，b →，c →共面，所以存在x ，y ∈R ，使得c →=xa →+yb →， 又因为a →=(1，−1，2)，b →=(−2，1，0)，c →=(−3，1，k)， 所以（﹣3，1，k ）＝x （1，﹣1，2）+y （﹣2，1，0）， 所以{−3=x −2y1=−x +y k =2x ，解得x ＝1，y ＝2，k ＝2．故答案为：2．15．古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法．如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为4，侧面积均为2√5π．记过两个圆锥轴的截面为平面α，平面α与两个圆锥侧面的交线为AC ，BD ．已知平面β平行于平面α，平面β与两个圆锥侧面的交线为双曲线C 的一部分，且C 的两条渐近线分别平行于AC ，BD ，则该双曲线C 的离心率为 √5 ．解：以AC ，BD 的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为y 轴，在平面β内与x轴垂直的直线为x轴，建立平面直角坐标系．根据题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1（a＞0，b＞0）．∵两个圆锥的底面直径均为4，则底面半径为2，又侧面积均为2√5π，∴一个圆锥的母线长为√5．则双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，即ba=2．∴双曲线的离心率为e=ca=√c2a2=√a2+b2a2=√1+(ba)2=√5．故答案为：√5．16．如图，已知菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，将△ABE沿AE翻折成△AB1E （点B1位于平面ABCD上方），连接B1C和B1D，F为B1D的中点，则在翻折过程中，AE与B1C的夹角为90°，点F的轨迹的长度为π2．解：在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，E为边BC的中点，所以AE⊥BC，在翻折过程中，有AE⊥B1E，AE⊥CE，因为B1E∩CE＝E，B1E、CE⊂平面B1CE，所以AE⊥平面B1CE，又B1C⊂平面B1CE，所以AE⊥B1C，即AE与B1C的夹角为90°；分别取AB ，AB 1的中点M 和N ，连接EM ，EN ，FN ，因为N ，F 分别为AB 1和B 1D 的中点， 所以FN =12AD ，FN ∥AD ，又E 为BC 的中点，所以CE =12BC =12AD ，CE ∥AD ，所以FN ＝CE ，FN ∥CE ，所以点F 的轨迹与点N 的轨迹相同，即从点M 到点N 的轨迹，因为AE ⊥平面B 1CE ，所以点B 1的轨迹是以E 为圆心，BE 为半径的圆， 所以点N 的轨迹是以AE 的中点为圆心，BE 2为半径的圆， 所以点N 的轨迹长度为12×2π×BE2=π×12=π2，即点F 的轨迹长度为π2．故答案为：90°，π2．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知点A （1，2，﹣1），B （2，k ，﹣3），C （0，5，1），向量a →=(−3，4，5)． （1）若AB →⊥a →，求实数k 的值；（2）求向量AC →在向量a →方向上的投影向量．解：（1）由题意，AB →=(1，k −2，−2)，a →=(−3，4，5)， 因为AB →⊥a →，所以AB →⋅a →=0，即﹣3+4k ﹣8﹣10＝0，得k =214． （2）由题意，AC →=(−1，3，2)，a →=(−3，4，5)，所以向量AC →在向量上a →上的投影向量为：(AC →⋅a →|a →|)a →|a →|=3+12+10√9+16+253√210，2√25，√22)=(−32，2，52)．18．（12分）已知△ABC 的顶点A （5，1），B （1，3），C （4，4）． （1）求AB 边上的高所在直线的方程；（2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）∵A （5，1），B （1，3）， ∴直线AB 的斜率k AB =1−35−1=−12， ∴AB 边上的高所在直线的斜率为2， ∵AB 边上的高所在直线过点C （4，4），∴AB 边上的高所在直线的方程为y ﹣4＝2（x ﹣4），即2x ﹣y ﹣4＝0． （2）∵CA →=(1，−3)，CB →=(−3，−1)， ∴CA →⋅CB →=0，即△ABC 为以角C 为直角的直角三角形， 故△ABC 的外接圆以AB 中点（3，2）为圆心，|AB|2=12√(1−5)2+(3−1)2=√5为半径，∴△ABC 的外接圆的方程为（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝5．19．（12分）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为BB 1上一点，已知BM ＝2，CD ＝3，AD ＝4，AA 1＝5．（1）求直线A 1C 和平面ABCD 的夹角； （2）求点A 到平面A 1MC 的距离．解：（1）依题意：AA 1⊥平面ABCD ，连接AC ，则A 1C 与平面ABCD 所成夹角为∠A 1CA ，∵AA 1＝5，AC =√32+42=5， ∴△A 1CA 为等腰三角形， ∴∠A 1CA =π4，∴直线A 1C 和平面ABCD 的夹角为π4，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A （0，0，0），C （3，4，0），A 1（0，0，5），M （3，0，2）， ∴AC →=（3，4，0），A 1C →=（3，4，﹣5），MC →=（0，4．﹣2）， 设平面A 1MC 的法向量n →=（x ，y ，z ），由{n →⋅A 1C →=3x +4y −5z =0n →⋅MC →=4y −2z =0，可得n →=（2，1，2）， ∴点A 到平面A 1MC 的距离d =|AC →⋅n →||n →|=3×2+4×1√2+1+2=103．20．（12分）已知定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）求AB 的中点C 的轨迹方程；（2）若过定点P(12，−2)的直线l 与C 的轨迹交于M ，N 两点，且|MN|=√3，求直线l 的方程．解：定点A （1，﹣2），点B 为圆（x +1）2+（y +4）2＝4上的动点． （1）设点C 的坐标为（x ，y ），则点B 的坐标为（2x ﹣1，2y +2）， ∵点B 为圆（x +1）2+（y +2）2＝4上的动点，∴（2x ﹣1+1）2+（2y +2+4）2＝4，即x 2+（y +3）2＝1， ∴AB 的中点C 的轨迹方程为x 2+（y +3）2＝1；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+2=k(x−12 )，∵圆的半径r＝1且|MN|=√3，∴圆心到直线的距离d=1 2，∴d=|1−k2|√1+k=12，解得k=34，∴直线l的方程为y+2=34(x−12)，即6x﹣8y﹣19＝0；当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1 2，此时|MN|=√3，满足条件；综上，直线l的方程为x=12或6x﹣8y﹣19＝0．21．（12分）如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成．C，E，D，G在同一平面内，且CG＝DG．（1）证明：平面BFD⊥平面BCG；（2）若直线GC与平面ABG所成角的正弦值为√105，求平面BFD与平面ABG所成角的余弦值．解：（1）证明：如图，连接CE，DG，因为该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，CG＝DG，所以∠ECD＝∠DCG＝45°，所以∠ECG＝90°，所以CE⊥CG，因为BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF 为平行四边形， 所以BF ∥CE ， 所以BF ⊥CG ，因为BC ⊥平面ABF ，BF ⊂平面ABF ， 所以BC ⊥BF ，因为BC ，CG ⊂平面BCG ，BC ∩CG ＝C ， 所以BF ⊥平面BCG ， 因为BF ⊂平面BFD ， 所以平面BFD ⊥平面BCG ．（2）如图，以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AF ＝2，AD ＝t ，则A （0，0，0），B （0，2，0），F （2，0，0），D （0，0，t ），G （﹣1，1，t ），C （0，2，t ），则AB →=(0，2，0)，AG →=(−1，1，t)，GC →=(1，1，0)， 设平面ABG 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)， 则{m →⋅AB →=0，m →⋅AG →=0，所以{m →⋅AB →=(x ，y ，z)⋅(0，2，0)=2y =0m →⋅AG →=(x ，y ，z)⋅(−1，1，t)=−x +y +tz =0，令z ＝1，y ＝0，x ＝t ，所以m →=(t ，0，1)，记直线GC 与平面ABG 所成的角为θ，则sinθ=|cos〈GC →，m →〉|=|GC →⋅m →||GC →||m →|=|t|√2×√t +1=√105，解得t ＝2（负值舍去），即AD ＝2，设平面BFD 的一个法向量为n →=(x′，y′，z′)，FB →=(−2，2，0)，FD →=(−2，0，2)，则{n →⋅FB →=0n →⋅FD →=0即{−2x ′+2y ′=0−2x′+2z′=0，令x ′＝1，则n →=(1，1，1)， 所以cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=√2+1⋅√1+1+1=35×3=√155，所以平面BFD 与平面ABG 所成角的余弦值为√155． 22．（12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学知识，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）： 步骤1：设圆心是E ，在圆内异于圆心处取一定点，记为F ；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F （即折叠后图中的点A 与点F 重合）； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕，记折痕与AE 的交点为P ； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕．现取半径为4的圆形纸片，设点F 到圆心E 的距离为2√3，按上述方法折纸．以线段EF 的中点为原点，线段EF 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，记动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）设轨迹C 与x 轴从左到右的交点为点A ，B ，点P 为轨迹C 上异于A ，B ，的动点，设PB 交直线x ＝4于点T ，连结AT 交轨迹C 于点Q ．直线AP 、AQ 的斜率分别为k AP 、k AQ ． （ⅰ）求证：k AP •k AQ 为定值；（ⅱ）证明直线PQ 经过x 轴上的定点，并求出该定点的坐标．解：（1）因为|PE|+|PF|=|PA|+|PE|=4＞|EF|=2√3， 所以点P 的轨迹是以E ，F 为焦点，且长轴长2a ＝4的椭圆， 焦距2c =|EF|=2√3， 此时b 2＝a 2﹣c 2＝1， 则轨迹C 方程为x 24+y 2=1；（2）证明：（i ）不妨设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），T （4，m ）， 由题可知A （﹣2，0），B （2，0），第21页（共21页） 则k AP =y 1x 1+2，k AQ =k AT =m−04−(−2)=m 6， 因为k BP =k BT =y 1x 1−2=m 2， 所以m =2y 1x 1−2， 所以k AP ⋅k AQ =y 1x 1+2⋅m 6=y 1x 1+2⋅y 13(x 1−2)=y 123(x 12−4)，① 因为点P 在椭圆上，所以x 124+y 12=1，② 联立①②，解得k AP •k AQ =−112， 故k AP •k AQ 为定值；（ii ）证明：不妨设直线PQ 的方程为x ＝ty +n ，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立{x =ty +nx 24+y 2=1，消去x 并整理得（t 2+4）y 2+2tny +n 2﹣4＝0， 由韦达定理得{y 1+y 2=−2tn t 2+4y 1y 2=n 2−4t 2+4， 由（i ）知k AP ⋅k AQ =−112， 即y 1x 1+2⋅y 2x 2+2=y 1y 2(ty 1+n+2)(ty 2+n+2)=−112， 整理得n 2−44n 2+16n+16=−112， 解得n ＝1或n ＝﹣2（舍去），所以直线PQ 的方程为x ＝ty +1，故直线PQ 经过定点（1，0）．。

2025届山东省临沂市某重点中学高三第二次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”（ 注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数），在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则3a b -<的概率是（ ） A ．15B ．415C ．13D ．252．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金（ ） A ．多1斤B ．少1斤C ．多13斤 D ．少13斤 3．函数()()241xf x x x e =-+⋅的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-345．已知数列{}n a 的通项公式是221sin 2n n a n π+⎛⎫=⎪⎝⎭，则12312a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．0B ．55C ．66D ．786．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种 B ．36种C ．24种D ．18种7．81x x ⎛⎫-⎪⎝⎭的二项展开式中，2x 的系数是（ ） A ．70B ．-70C ．28D ．-28 8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则输入的整数的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．639．已知函数2()e (2)e xx f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）A ．1B ．12或0 C ．1或0 D ．2或010．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度11．下列函数中，在区间()0,∞+上为减函数的是（ ）A ．1y x =+B ．21y x =-C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．2log y x =12．2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为A ．18B ．14C ．16D ．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是36．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为211．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．012．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最大值是2−4√3二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x+1xy的最小值为 ．14．已知f(x)=x 3+1x ，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为 ．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 ． 16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x (x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 ． 四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集； （2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，ab取值范围；（2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围． 19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．20．已知关于x 的不等式kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集为M ． （1）若M ＝R ，求实数k 的取值范围；（2）若存在两个实数a ，b ，且a ＜0，b ＞0，使得M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，求实数k 的取值范围； （3）李华说集合M 中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．2023-2024学年山东省临沂市临沂一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“＜”和“＞”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是（ ） A ．若a ＞b ＞0，则ac 2＞bc 2 B ．若a ＜b ＜0，则a +1b ＜b +1a C ．若0＜a ＜b ＜c ，则ba ＜b+c a+cD ．若a ＞0，b ＞0，则b 2a+a 2b≤a +b解：对于A ，若c ＝0，则ac 2＝bc 2＝0，故A 错误；对于B ，(a +1b )−(b +1a )=a −b +a−bab =(a −b)(1+1ab )， 由于a ＜b ＜0，故a ﹣b ＜0，1+1ab ＞0，所以(a +1b )−(b +1a )＜0，即a +1b ＜b +1a，B 正确； 对于C ，ba −b+c a+c=c(b−a)a(a+c)，由于0＜a ＜b ＜c ，故ba−b+c a+c =c(b−a)a(a+c)＞0，即b a＞b+c a+c，C 错误；对于D ，根据基本不等式，可知b 2a+a +a 2b+b ≥2√b 2a ⋅a +2√a 2b⋅b =2a +2b ，当b 2a=a 且a 2b=b ，即a ＝b 时取得等号，因此b 2a+a 2b≥a +b ，故D 错误．故选：B ．2．已知a 1，a 2∈（0，1），记M ＝a 1a 2，N ＝a 1+a 2﹣1，则M 与N 的大小关系是（ ） A ．M ＜NB ．M ＞NC ．M ＝ND ．不确定解：由M ﹣N ＝a 1a 2﹣a 1﹣a 2+1＝（a 1﹣1）（a 2﹣1）＞0，故M ＞N ， 故选：B ．3．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（ ） A ．甲方案B ．乙方案C ．一样D ．无法确定解：设两次加油的油价分别为x ，y （x ，y ＞0，且x ≠y ），甲方案每次加油的量为a （a ＞0），乙方案每次加油的钱数为b （b ＞0）， 则甲方案的平均油价为：ax+ay 2a=x+y 2，乙方案的平均油价为：2bbx +by=2xy x+y，因为x+y 2−2xy x+y=(x−y)22(x+y)＞0，所以x+y 2＞2xy x+y，即乙方案更经济．故选：B ．4．不等式（1﹣x ）（2+x ）＞0的解集为（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ＞1} B ．{x |﹣2＜x ＜1}C ．{x |x ＜1或x ＞2}D ．{x |﹣1＜x ＜2}解：由（1﹣x ）（2+x ）＞0，得（x ﹣1）（x +2）＜0，解得﹣2＜x ＜1， 所以不等式的解集为{x |﹣2＜x ＜1}． 故选：B ．5．下列关于基本不等式的说法正确的是（ ） A ．若0＜x ＜13，则x （1﹣3x ）的最大值为112B ．函数y =x 2+3x+3x+1(x ＞−1)的最小值为2C ．已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，则12x+12y的最小值为54D ．若正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，则3x +y 的最小值是3 解：对于A ：由于0＜x ＜13，所以13•3x （1﹣3x ）≤13•（3x+1−3x 2）2=112，当且仅当x =16时，等号成立，故A 正确；对于B ：由于x ＞﹣1，故x +1＞0，所以y =x 2+3x+3x+1=(x+1)2+(x+1)+1x+1=（x +1）+1x+1+ 1≥2√(x +1)⋅1x+1=2+1＝3，当且仅当x ＝0时，等号成立，故B 错误；对于C ：已知x +y ＝1，x ＞0，y ＞0，所以1＝x +y ≥2√xy ，整理得1xy≥4，12x+12y≥2√12x ⋅12y =√1xy≥2，当且仅当x ＝y =12时，等号成立，故C 错误； 对于D ：正数x ，y 满足x 2+xy ﹣2＝0，整理得y =2x −x ，所以3x +2x −x ＝2x +2x ≥2√2x ⋅2x=4，当且仅当x ＝1时取等号，故D 错误． 故选：A ．6．关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0解集为{x |﹣2＜x ＜3}，不等式cx 2﹣bx +a ＜0解集是（ ） A ．(−∞，−12)∪(13，+∞) B ．(−∞，−13)∪(12，+∞) C ．(−12，13)D ．(−13，12)解：关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣2＜x ＜3}， ∴a ＜0，且﹣2，3是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两个实数根，∴b a=−(−2+3)=−1，ca=−6，即b ＝﹣a ，c ＝﹣6a ，a ＜0，∴不等式cx 2﹣bx +a ＜0化为﹣6ax 2﹣ax +a ＞0， 化为6x 2﹣x ﹣1＜0，解得−13＜x ＜12． 因此不等式的解集为{x|−13＜x ＜12}． 故选：D ．7．不等式（a ﹣2）x 2+（a ﹣2）x ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，2）B ．（﹣2，2]C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞）解：当a ＝2时，﹣1＜0恒成立，符合题意， 当a ≠2时，依题意得：{a −2＜0△=(a −2)2+4(a −2)＜0，解得：﹣2＜a ＜2，综上，实数a 的取值范围为（﹣2，2]， 故选：B ．8．已知a ，b ∈（0，+∞），且a 2+3ab +4b 2＝7，则a +2b 的最大值为（ ） A ．2B ．3C ．2√2D ．3√2解：∵7＝（a +2b ）2﹣ab ＝（a +2b ）2−12a •2b ≥（a +2b ）2−12（a+2b 2）2=7(a+2b)28， 则（a +2b ）2≤8，即|a +2b |≤2√2， 又a ，b ∈（0，+∞），所以0＜a +2b ≤2√2 当且仅当a ＝2b =√2时取等号， ∴a +2b 的最大值为2√2． 故选：C ． 二、多选题9．下列命题为真命题的是（ ） A ．若a ＜b ，1a ＜1b ，则ab ＜0B ．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则ea−c＞e b−dC ．若c ＞a ＞b ＞0，则a c−a＞b c−bD ．若a ＞b ＞c ＞0，则a b＞a+c b+c解：对于A ，若a ＜b ，1a ＜1b，则1a−1b=b−a ab＜0，所以ab ＜0，即A 正确；对于B ，若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＞0，则a ﹣c ＞0，b ﹣d ＞0，b ﹣a ＜0，c ﹣d ＜0， 所以e a−c −e b−d =e(b−d)−e(a−c)(a−c)(b−d)=e(b−a+c−d)(a−c)(b−d)＜0，所以e a−c＜e b−d，即B 错误；对于C ，若c ＞a ＞b ＞0，则c ﹣a ＞0，c ﹣b ＞0，a ﹣b ＞0， 所以a c−a−b c−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=c(a−b)(c−a)(c−b)＞0，即C 正确；对于D ，若a ＞b ＞c ＞0，则a ﹣b ＞0， 所以ab −a+c b+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=c(a−b)b(b+c)＞0，即D 正确．故选：ACD ．10．已知正数x ，y 满足x +y ＝2，则下列说法错误的是（ ） A ．2√xy 的最大值为2 B ．x 2+y 2的最大值为2C ．√x +√y 的最小值为2D ．4xy x+y的最小值为2解：因为x +y ＝2，x ＞0，y ＞0，所以2√xy ≤x +y ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，A 正确； x 2+y 2≥2×(x+y 2)2=2，即最小值为2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，B 错误； （√x +√y ）2＝x +y +2√xy ≤2+2＝4，当且仅当x ＝y ＝1时取等号， 所以√x +√y ≤2，即最大值为2，C 错误；4xy x+y=41x +1y=8(1x +1y)(x+y)=82+y x +x y≤82+2=2，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，即最大值为2，D 错误．故选：BCD ．11．已知关于x 的不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，则a 的取值可以是（ ） A ．﹣6B ．﹣5C ．﹣1D ．0解：不等式x 2﹣4x ﹣a ﹣1≥0在x ∈[1，4]上有解，等价于a ≤（x 2﹣4x ﹣1）max ， 设f （x ）＝x 2﹣4x ﹣1，x ∈[1，4]，则f （x ）＝（x ﹣2）2﹣5，而f （1）＝﹣4，f （4）＝﹣1， 故f （x ）在[1，4]上的最大值为﹣1，故a ≤﹣1，所以a 的取值可以是﹣6，﹣5，﹣1． 故选：ABC ．12．下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x ＞0)的最小值是2B ．2√x 2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x的最大值是2−4√3解：由基本不等式可知，x ＞0时，x +1x ≥2，当且仅当x =1x 即x ＝1时取等号，故A 正确； B ：2√x 2+2=√x 2+2≥√2，当x ＝0时取得等号，故B 正确； C ：2√x 2+4=√x 2+4+√x 2+4，令t =√x 2+4，则t ≥2，因为y =t +1t 在[2，+∞）上单调递增，当t ＝2时，取得最小值52，故C 错误； D ：2−(3x +4x )在x ＜0时，没有最大值，故D 错误． 故选：AB ．二、填空题（本题共4小题，每小题0分，共32分．将答案填在题后的横线上） 13．已知x ，y 为正实数，且x +y ＝2，则1x +1xy 的最小值为 1+√32 ． 解：∵x ，y 为正实数，且x +y ＝2，∴x+y 2=1 ∴1x +1xy=1x+x+y 2xy=12y+32x=12（12y+32x）•（x +y ）＝1+12（x 2y+3y 2x）≥1+√x 2y ⋅3y2x =1+√32， 当且仅当x2y=3y 2x，即y =√3−1，x ＝3−√3时取等号，∴1x +1xy的最小值为1+√32．故答案为：1+√32．14．已知f(x)=x 3+1x，若正数m ，n 满足f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，则1m+1n的最小值为32+√2 ．解：因为f(x)=x 3+1x定义域为{x |x ≠0}， 且f(−x)=(−x)3+1−x =−(x 3+1x)=−f(x)，所以f （x ）为奇函数， 因为f （2m ）+f （n ﹣2）＝0，所以2m +n ﹣2＝0，即2m +n ＝2， 因为m ＞0，n ＞0， 所以1m+1n =(1m +1n)(2m +n)⋅12=12(n m+2m n+3)≥32+√2，当且仅当n m=2mn，即m =2−√2，n =2√2−2时取等号．故答案为：32+√2．15．已知函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1，若对于任意x ∈[m ，m +1]都有f （x ）＜0，则实数m 的取值范围为 （−√22，0） ．解：∵二次函数f （x ）＝x 2+mx ﹣1的图象开口向上，对于任意x ∈[m ，m +1]，都有f （x ）＜0成立，∴{f(m)=2m 2−1＜0f(m +1)=(m +1)2+m(m +1)−1＜0，即 {−√22＜m ＜√22m(2m +3)＜0，解得−√22＜m ＜0，故答案为：（−√22，0）．16．若存在常数k 和b ，使得函数F （x ）和G （x ）对其公共定义域上的任意实数x 都满足：F （x ）≥kx +b 和G （x ）≤kx +b 恒成立（或F （x ）≤kx +b 和G （x ）≥kx +b 恒成立），则称此直线y ＝kx +b 为F （x ）和G （x ）的“隔离直线”．已知函数f （x ）＝﹣x 2（x ∈R ），g(x)=1x(x ＞0)，若函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ，则实数b 的取值范围是 [94，2√3] ． 解：因为函数f （x ）和g （x ）之间存在隔离直线y ＝﹣3x +b ， 所以当﹣x 2≤﹣3x +b 时，可得﹣x 2+3x ﹣b ≤0 对任意的x ∈R 恒成立， 则b ≥﹣x 2+3x ，即 b ≥﹣（x −32）2+94， 所以b ≥94，当1x ≥−3x +b 时，可得对x ＞0恒成立，即3x 2−bx+1x≥0，令t （x ）＝3x 2﹣bx +1，则有t （x ）＝3x 2﹣bx +1≥0 对x ＞0恒成立，所以{b 6＞0b 2−12≤0，解得−2√3≤b ≤2√3 或b ＞0，即b ∈（0，2√3]，综上所述，实数b 的取值范围是94≤b ≤2√3．故答案为：[94，2√3]．四．解答题17．设函数f （x ）＝x 2﹣ax +b ，已知不等式f （x ）＜0的解集是{x |1＜x ＜2}． （1）求不等式bx 2﹣ax +1＞0的解集；（2）对任意x 1，x 2∈R ，比较f(x 1+x 22)与f(x 1)+f(x 2)2的大小．解：（1）因为不等式x 2﹣ax +b ＜0的解集是{x |1＜x ＜2}， 所以x ＝1，x ＝2是方程x 2﹣ax +b ＝0的解， 由韦达定理得：a ＝3，b ＝2，故不等式bx 2﹣ax +1＞0为2x 2﹣3x +1＞0， 解得其解集为{x|x ＜12或x ＞1}； （2）由（1）知，f （x ）＝x 2﹣3x +2， 所以f(x 1+x 22)−f(x 1)+f(x 2)2=(x 1+x 22)2−3⋅x 1+x 22+2−x 12−3x 1+2+x 22−3x 2+22=(x 1+x 22)2−x 12+x 222=−(x 1−x 2)24≤0，所以f(x 1+x 22)≤f(x 1)+f(x 2)2． 18．（1）已知2＜a ＜6，1＜b ＜3，求a ﹣2b ，a b取值范围； （2）已知1≤a +b ≤5，﹣1≤a ﹣b ≤3，求3a ﹣2b 的取值范围．解：（1）因为1＜b ＜3，由不等式的性质可得﹣3＜﹣b ＜﹣1，则﹣6＜﹣2b ＜﹣2， 又2＜a ＜6，故﹣4＜a ﹣2b ＜4． 又13＜1b＜1，2＜a ＜6，故23＜ab＜6．综上a ﹣2b ∈（﹣4，4），a b∈(23，6)；（2）令3a ﹣2b ＝m （a +b ）+n （a ﹣b ），（m ，n ∈R ），即3a ﹣2b ＝（m +n ）a +（m ﹣n ）b ， 则{m +n =3m −n =−2，解得{m =12n =52． 则12≤12(a +b)≤52，−52≤52(a −b)≤152，所以−52+12≤52(a −b)+12(a +b)≤152+52，即﹣2≤3a﹣2b ≤10．综上3a ﹣2b ∈[﹣2，10]．19．设函数f （x ）＝ax 2+（b ﹣2）x +3（a ∈R ），（1）若不等式f （x ）＜0的解集为（1，3），求函数f （x ）的解析式； （2）若b ＝﹣a ﹣3，求不等式f （x ）＞﹣4x +2的解集． （3）若f （1）＝4，b ＞﹣1，a ＞0，求1a +a b+1的最小值．解：（1）由不等式f （x ）＜0的解集为（1，3）可得：方程ax 2+（b ﹣2）x +3＝0的两根为1，3且a ＞0，由根与系数的关系可得：a＝1，b＝﹣2，所以：f（x）＝x2﹣4x+3；（2）由f（x）＞﹣4x+2得ax2+（b﹣2）x+3＞﹣4x+2，又因为b＝﹣a﹣3，所以不等式f（x）＞﹣4x+2，化为ax2﹣（a+1）x+1＞0，即（x﹣1）（ax﹣1）＞0，当a＝0时，原不等式变形为﹣x+1＞0，解得x＜1；当a＜0时，1a ＜1，解得1a＜x＜1．若a＞0，原不等式⇔(x−1a)(x−1)＞0．此时原不等式的解的情况应由1a 与1的大小关系决定，故当a＝1时，不等式(x−1a)(x−1)＞0的解为x≠1；当a＞1时，1a ＜1，不等式(x−1a)(x−1)＞0，解得x＜1a或x＞1；当0＜a＜1时，1a ＞1，不等式(x−1a)(x−1)＞0⇔x＜1或x＞1a，综上所述，不等式的解集：当a＜0时，{x|1a＜x＜1}；当a＝0时，{x|x＜1}；当0＜a＜1时，{x|x＞1a或x＜1}；当a＝1时，{x|x≠1}；当a＞1时，{x|x＜1a或x＞1}．（3）由已知得f（1）＝4，a+（b+1）＝4，又b＞﹣1，则1a +ab+1≥14+2√b+14a⋅ab+1=14+1=54．当且仅当2a=b+1=83时等号成立．20．已知关于x的不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集为M．（1）若M＝R，求实数k的取值范围；（2）若存在两个实数a，b，且a＜0，b＞0，使得M＝{x|x＜a或x＞b}，求实数k的取值范围；（3）李华说集合M中可能仅有一个整数，试判断李华的说法是否正确？并说明你的理由．解：（1）不等式kx2﹣2kx﹣k+1＞0的解集M＝R，①当k ＝0时，1＞0恒成立，符合题意；②当k ≠0时，则{k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＜0，解得0＜k ＜12， 综上，实数k 的取值范围为{k |0≤k ＜12}；（2）因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0 的解集为M ＝{x |x ＜a 或x ＞b }，且a ＜0，b ＞0，所以关于x 的方程 kx 2﹣2kx ﹣k +1＝0 有一正一负两个实数根a ，b ，可得{ k ＞0Δ=4k 2−4k(1−k)＞01−k k ＜0，解得k ＞1， 综上，实数k 的取值范围为{k |k ＞1}．（3）李华的说法不正确，理由如下：若解集M 中仅有一个整数，则有k ＜0，二次函数 y ＝kx 2﹣2kx ﹣k +1，开口向下，对称轴为 x ＝1， 因为不等式 kx 2﹣2kx ﹣k +1＞0的解集中仅有一个整数，所以这个整数必为1．则{k −2k −k +1＞0−k +1≤0，解得k ∈∅． 即M 中不可能仅有一个整数，李华的说法不正确．。

高二理科数学12月月考试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟，考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回,试卷不用交回。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、给出命题：“已知a 、b 、c 、d 是实数，若,a b c d a c b d ≠≠+≠+且则”.对原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，其中真命题（ ） A.0个 B.1个 C.2个 D.4个2.在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则该三角形一定是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形3．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率是（ ） A.23B. 5C.23 或 25 D. 23或5 4．数列{}na 中,372,1a a ==,且数列1{}1na +是等差数列,则11a 等于（ ）A ．25-B ．12C ．23D ．55．已知,06165:,09:22>+->-x x q x p 则p 是q 的 ( )A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．公比为2的等比数列a n 的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )A ．4B ．5C ．6D ．77．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( ) R2970 A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)8．一条线段的长等于10，两端点A 、B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且AM →＝4MB→，则点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋16y 2＝64 B ．16x 2＋y 2＝64 C ．x 2＋16y 2＝8 D ．16x 2＋y 2＝89．设x ，y >0，且x ＋2y ＝3，则1x ＋1y 的最小值为( ) A ．2 B.32 C ．1＋223 D ．3＋2 210．锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2C A =，则ca的取值范围是(A)(B)1,（(C)2） (D)1,2（）11．若不等式012≥++ax x 对于一切)21,0(∈x 成立，则a 的最小值是 （ ）A.0B.-2C. 25- D.-312. 设P 是双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1(a ＞0 ,b ＞0)上的点，F 1、F 2是焦点，双曲线的离心率是54 ，且∠F 1PF 2＝90°，△F 1PF 2面积是9，则a + b ＝（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13．设变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+113y y x y x ,则目标函数y x z 24+=的最大值为14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是y =，它的一个焦点与抛物线216y x =的焦点相同，则双曲线的方程为 .15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若,,a b c 成等差数列， 030B =，ABC ∆的面积为32，则b =16．已知数列｛n a ｝满足⎪⎩⎪⎨⎧-=+.(,2a (,21为奇数）为偶数），n n n nn a n a a a 若13=a ，则1a 的所有可能的取值为三、解答题：本大题共6小题，共74分.17．(本小题12分)已知命题p ：关于x 的不等式01)1(2≤+-+x a x 的解集为空集φ；命题q ：函数xa y )1(-=为增函数，若命题q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求实数a 的取值范围.18．(本小题12分)在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、且bcB A 2tan tan 1=+. （1）求角A ；（2）已知6,27==bc a ，求b c +的值.19．(本小题12分) 已知函数9()(3)3f x x x x =+>- （I ）求函数()f x 的最小值； （II ）若不等式()71tf x t ≥++恒成立，求实数t 的取值范围。

高二数学理科阶段性检测 2014.12一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．(2013·福建高考)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ⊆B ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.双曲线()2210x y a a-=>a 的值是 （ ）A. 123．设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∈B B ．⌝p ：∃x ∉A,2x ∈BC ．⌝p ：∃x ∈A,2x ∉BD ．⌝p ：∀x ∉A,2x ∉B4. 过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）A. 10B. 8C. 6D. 4 5.以下有关命题的说法错误的是A. 命题“若0232=+-x x ，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”.B. “1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件.C. 若q p ∧为假命题，则p 、q 均为假命题.D. 对于命题0:p x R ∃∈，使得20010x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，则210x x ++≥. 6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ）A.54B.53C.52 D.517．抛物线2ax y =的准线方程是1=y ，则a 的值为（） A ．4 B ．4- C ．41-D ．41 8.已知双曲线22212(y x e y -==的离心率为，且抛物线的焦点坐标为,则p 的值为（）A ．－2 B ．－4C ．2D ．49.已知命题p ：∃01,200≤+∈mx R x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p ∧q为真命题，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2,0)C ．(－2,0)D ．(0,2)10.已知直线上一抛物线和直线x y x l y x l 4,1:0634:221=-==+- 21l l p 和直线到直线动点的距离之和的最小值是（） A.2B.3C.23D.25二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分）11.若命题“04,2≤++∈∃c cx x R x ”为假命题，则实数c 的取值范围是.12. 椭圆x 225＋y 29＝1上的点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为13.双曲线x 225－y 224＝1上的点P 到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为 .14. 已知动圆M 经过点A (3,0)，且与直线l ：x ＝－3相切，则动圆圆心M 的轨迹方程.15.给出如下四个命题：①方程01222=+-+x y x 表示的图形是圆；②椭圆12322=+y x 的离心率35=e ；③抛物线22y x =的准线方程是81-=x ；④双曲线1254922-=-x y 的渐近线方程是x y 75±=.其中所有假命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知0a >，设命题p : 函数xy a =在R 上单调递增；命题q : 不等式210ax ax -+>对x R ∀∈恒成立，若p 且q 为假，p 或q 为真，求a 的取值范围.17.设P 是椭圆x 225＋y 2754＝1上一点，F 1、F 2是椭圆的焦点，若∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．18.设集合A ＝{x |－x 2＋x ＋6≤0}，关于x 的不等式x 2－ax －2a 2＞0的解集为B (其中a ＜0)．(1)求集合B ；(2)设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，且⌝ p 是⌝q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．19.设双曲线)0(12222>>=-b a by a x 的半焦距为c ，直线l 过点)0),(b o a ，和（，已知原点到l 的距离为c 43，求双曲线的离心率.20.（本小题满分13分）已知抛物线y 2＝2x ，(1)设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，0，求抛物线上距离点A 最近的点P 的坐标及相应的距离|P A |；(2)在抛物线上求一点P ，使P 到直线x －y ＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．21.（本小题满分14分）已知椭圆C:)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率为21，以原点O 为圆心，相切（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程（Ⅱ）若直线L ：m kx y +=与椭圆C 相交于A 、B 两点，求证：AOB ∆的面积为定值高二数学理科参考答案 2014.12一选择题：1.A2.A 3.C 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.C 10.A 二、填空题：11.410<<c 12.4 13. 21 14.x y 122=15.①②④ 16.若p 真，则1>a ；若p 假，则10≤<a ；若q 真，则40<<a ；若q 假，则4≥a .∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴当p 真q 假时，4≥a ；当p 假q 真时，10≤<a .综上，p 且q 为假，p 或q 为真时，a 的取值范围是),4[]1,0(+∞ 17. 由椭圆方程知，a 2＝25，b 2＝754，∴c 2＝254，∴c ＝52，2c ＝5.在△PF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 即25＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|.① 由椭圆的定义得10＝|PF 1|＋|PF 2|， 即100＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|.② ②－①，得3|PF 1|·|PF 2|＝75，所以|PF 1|·|PF 2|＝25，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2534. 18. (1)x 2－ax －2a 2＞0⇔(x －2a )(x ＋a )＞0，解得x ＞－a 或x ＜2a .故集合B ＝{x |x ＞－a 或x ＜2a }．(2)法一 若⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，则⌝q ⇒⌝p ，由此可得p ⇒q ，则A ＝{x |x 2－x －6≥0}＝{x |(x －3)(x ＋2)≥0}＝{x |x ≥3或x ≤－2}由p ⇒q ，可得A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＜3－2＜2a，⇒01-<<a法二 A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，∁U A ＝{x |－2＜x ＜3}，而∁U B ＝{x |2a ≤x ≤－a }，由⌝p 是⌝q 的必要不充分条件，可得⌝q ⇒⌝p ，也即∁U B ⊆∁U A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＞－2－a ＜3，⇒01-<<a19.332（新学案132页例题2）20.【自主解答】 (1)设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋2x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋13.∵x ≥0，且在此区间上函数单调递增，∴当x ＝0时，|P A |min ＝23， 距点A 最近的点的坐标为(0,0)．(2)法一 设点P (x 0，y 0)是y 2＝2x 上任一点， 则P 到直线x －y ＋3＝0的距离为d ＝|x 0－y 0＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 202－y 0＋32＝|(y 0－1)2＋5|22，当y 0＝1时，d min ＝522＝524，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.法二 设与直线x －y ＋3＝0平行的抛物线的切线为x －y ＋t ＝0，与y 2＝2x 联立，消去x 得y 2－2y ＋2t ＝0，由Δ＝0得t ＝12，此时y ＝1，x ＝12，∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，两平行线间的距离就是点P 到直线的最小距离， 即d min ＝524.21.解：（Ⅰ）由题意得，b ==12c a =，又222a b c +=，到直线m kx y +=.。

2017—2018学年第二学期八县（市）一中高二文科数学期末考试卷 第 1 页 共 3 页2017—2018学年度第二学期八县(市)一中期中联考 高中二年数学科（文科）试卷完卷时间：120分钟 满 分：150分第Ⅰ卷一、选择题（每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若212(1),1z i z i =+=-，则12z z 等于( ) A ．1i + B ．1i -+ C ．1i - D ．1i --2、在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是（ ） A. 100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B. 1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有3、下图是解决数学问题的思维过程的流程图：在此流程图中，①、②两条流程线与“推理与证明” 中的思维方法匹配正确的是( ) A ．①—综合法，②—反证法 B ．①—分析法，②—反证法 C ．①—综合法，②—分析法 D ．①—分析法，②—综合法4、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以20a >”，你认为这个推理（ ） A ．大前题错误 B ．小前题错误 C ．推理形式错误 D ．是正确的5、已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数2, 1.5x y ==，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）A ．y=3x ﹣4.5B ．y=﹣0.4x+3.3C ．y=0.6x+1.1D ． y=﹣2x+5.5 6、极坐标方程2cos4sin ρθθ=所表示的曲线是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一条抛物线D ．一条双曲线7、甲、乙、丙三位同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．不确定8、如右图所示，程序框图输出的所有实数对(x ，y )所对应的点都在函数( ) A ．y ＝x ＋1的图象上 B ．y ＝2x 的图象上 C ．y ＝2x 的图象上 D ．y ＝2x -1的图象上 9、定义运算a bad bc c d=-，若1201812z i i =（i 为虚数单位）且复数z满足方程14z z -=，那么复数z 在复平面内对应的点P 组成的图形为（ ）A. 以（-1，-2）为圆心，以4为半径的圆B. 以（-1，-2）为圆心，以2为半径的圆C. 以（1，2）为圆心，以4为半径的圆D. 以（1，2）为圆心，以2为半径的圆10、若下列关于x 的方程24430x ax a +-+=，2220x ax a +-=，22(1)0x a x a +-+= （a 为常数）中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(,1)2-- B ．3(,0)2- C ．3(,][1,)2-∞-⋃-+∞ D ．3(,][0,)2-∞-⋃+∞ 11、以下命题正确的个数是（ ）①在回归直线方程82^+=x y 中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量^y 平均增加2个单位； ②已知复数21,z z 是复数，若221121z z z z z z ⋅=⋅=，则；③用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于060”时，应假设“三个内角都大于060”；④在平面直角坐标系中，直线x y l 6:=经过变换⎩⎨⎧==yy x x ''23：ϕ后得到的直线'l 的方程：x y =； A ．1B ．2C ．3D ．412、《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

山东省临沂市兰临沂第四中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线,若,则( )A.-1或2B.1C.1或-2D.-22.过点的直线与线段MN 相交，，则的斜率的取值范围为( )A.B.C.或D.或3.在三棱柱中,记,点满足,则( )A. B. C. D.4.已知点关于直线对称，则对称点的坐标为( )A. B. C. D.5.已知向量,若共面,则( )A.4B.2C.3D.16.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )7.下列命题中正确的是( )A.点关于平面对称的点的坐标是B.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则C.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为12:20,:2(1)20l ax y l x a y +-=+++=12//l l a =(3,3)P l (2,3),(3,2)M N ---l k 1665k ≤≤566k ≤≤65k ≤6k ≥16k ≤65k ≥111ABC A B C -1,,AA a AB b AC c === P 12BP PC =AP = 121333a b c -+ 212333a b c ++212333a b c +-121333a b c ++(2,1)P -10x y -+=(0,1)-(0,2)-(1,1)-(2,1)-(2,1,3),(1,4,2),(1,3,)a b c λ=-=--=,,a b c λ=(2,1)P --:(13)(1)240(R)l x y λλλλ+++--=∈310x y -+=40x y +-=250x y +-=310x y -+=(3,2,1)M yOz (3,2,1)--l (1,1,2)e =- α(6,4,1)m =-l α⊥l α120︒l α30︒D.已知为空间任意一点,四点共面，且任意三点不共线，若，则8.在空间直角坐标系中,,点在平面ABC 内,则当|OH |取最小时，点的坐标是( )A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则( )A.若，则B.若，则C.若,则D.若,则向量在向量上的投影向量10.下列说法正确的是( )A.直线的倾斜角的取值范围是B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件C.过点且在轴,轴截距相等的直线方程为D.经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程.11.已知正方体的棱长为1,E 为线段的中点,点和点分别满足,其中,则下列说法正确的是( )A.平面AECB.AP 与平面所成角的取值范围为C.D.点到直线的距离的最小值为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.O ,,,A B C P 12OP mOA OB OC =-+12m =-O xyz -(1,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C H H 211,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,1,1)(2,1,1),(1,,2)a x b y ==-1,24x y ==-ab ‖1,1x y ==a b⊥1,12x y ==cos ,a b <>= 1,12x y ==ab 112,,333c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 20x y α++=θπ3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭1a =-210a x y -+=20x ay --=(1,2)P x y 30x y +-=()()1122,,,x y x y ()()()()211211x x y y y y x x --=--表示1111ABCD A B C D -1B C F P 11111,D F D C D P D B λμ==,[0,1]λμ∈BP ⊥11BDD B 45,60︒︒⎡⎤⎣⎦PE PF +P 1B C PE =12.在直线上求一点,使它到直线的距离等于原点到的距离,则此点的坐标为________________.13.已知空间向量两两夹角为,且,则__________________.14.如图,两条异面直线a,b 所成的角为,在直线a,b 上分别取点,和点A,F,使,且.已知,则线段的长为_____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)如图,三棱柱中,底面边长和侧棱长都等于1,.(1)设,用向量表示,(2)并求出的长度;(3)求异面直线与所成角的余弦值.16.(15分)已知点,_________________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处,并作答(1)求直线的方程;(2)求直线关于直线的对称直线的方程条件①:点关于直线的对称点的坐标为；条件②:点的坐标为，直线过点且与直线PM 平行;210x y -+=:320l x y +-=l ,,a b c 60︒||||||1a b c === |2|a b c -+= θA 'E AA a '⊥AA b '⊥,,A Em AF n EF l '===AA '111ABC A B C -1160BAA CAA ︒∠=∠=1,,AA a AB b AC c === ,,a b c1BC 1BC 1AB 1BC (1,3)P 1l 2:250l x y +-=1l P 1l 1P (1,1)-M (6,2)-1l (2,4)-条件③:点N 的坐标为,直线过点且与直线PN 垂直.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.（15分）已知直线.(1)若坐标原点到直线,求的值;(2)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程.18.(17分)如图,在四棱锥中,底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,,分别为线段AD,DC,PB 的中点.(1)证明：平面PEF//平面GAC ；(2)求直线GC 与平面PCD 所成角的正弦值.19.(17分)如图1所示中,分别为PA,PB 中点.将沿DC 向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得。