湖北省襄阳市第五中学学高二数学月月考试题理-精

湖北省襄阳市第五中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．若向量)a =r 是直线l 的一个方向向量，则直线l 的倾斜角为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．“治国之道，富民为始.”共同富裕是社会主义的本质要求，是中国式现代化的重要特征，是人民群众的共同期盼.共同富裕是全体人民通过辛勤劳动和相互帮助最终达到丰衣足食的生活水平，是消除两极分化和贫穷基础上的普遍富裕．请你运用数学学习中所学的统计知识加以分析，下列关于个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ） A ．平均数小，方差大 B ．平均数小，方差小 C ．平均数大，方差大D ．平均数大，方差小3．双曲线C ：222112x y a -=的左右焦点分别为1F ，2F ，0y +=，若点M 在双曲线C 上，且15MF =，则2MF =（ ） A ．7B ．9C ．1或9D ．3或74．已知事件,A B ，且()()0.2,0.8P A P B ==，则下列说法正确的是（ ） A ．若A B ⊆，则()0.2P A B =U B ．若()0.6P AB =，则()0.4P A B =U C ．若A 与B 相互独立，则()0P AB = D ．若()1P A B ⋃=，则A 与B 对立5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11A D 的中点，则（ ） A ．//EF 平面11BB D B ．//EF 平面11B CD C ．EF ⊥平面1A BDD ．EF ⊥平面1BC D6．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，且满足()11DE xDA yDC x y DD =++--u u u r u u u r u u u r u u u u r，则DE u u u r 的最小值是（ ）A ．13B C D ．237．已知圆222212:(5)1,:(5)225x y C C x y ++=-+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u r u u u u r，则CM u u u u r 的最大值为（ ）A ．B ．C ．4D ．8．过点12P ⎛ ⎝⎭作斜率为k k ⎛≠ ⎝⎭的直线l 交圆22:2E x y +=于A ，B 两点，动点Q 满足PA QA PBQB=，若对每一个确定的实数k ，记PQ 的最大值为max d ，则当k 变化时，max d 的最小值是（ ）A ．1B C ．2D ．二、多选题9．下列说法错误的是（ ）A ．若,,,ABCD 是空间任意四点，则有0AB BC CD DA +++=uu u r uu u r uu u r uu u r rB ．若//a b r r ，则存在唯一的实数λ，使得a b λ=r rC ．若,AB CD u u u r u u u r共线，则//AB CDD ．对空间任意一点O 与不共线的三点,,A B C ，若OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（其中,,R x y z ∈），则,,,P A B C 四点共面10．某次考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（ ）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是16C ．丙同学随机选择选项（即随机选1个、2个、3个或者4个选项），能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．双曲线22221x y a b-=的离心率为1e ，双曲线22221y x b a -=的离心率为2e ，则12e e +的值可能是（ ）A ．3B ．C ．145 D ．5212．过椭圆22:184x y C +=外一点()00,P x y 作椭圆C 的两条切线，切点分别为,A B ，若直线,PA PB 的斜率之积为m （m 为大于0的常数），则点P 的轨迹可能是（ ）A ．两条直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．双曲线的一部分三、填空题13．已知圆221:1C x y +=，圆222:(4)25C x y -+=，则两圆公切线的方程为.14．已知12,F F 分别为椭圆222:1(40)16x yC b b+=>>的左，右焦点，A 为椭圆C 的上顶点，且12AF F △为等边三角形；过1F 且垂直于2AF 的直线与椭圆C 交于,D E 两点，则ADE V 的周长为．15．已知有3个男生和7个女生，其中3个男生的平均身高为170cm ，方差为30；这10人的平均身高为163cm ，方差为58．则这7个女生身高的方差为．16．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为．四、解答题17．已知两条直线()12:40,:10l ax by l a x y b -+=-++=，求分别满足下列条件的,a b 的值： (1)直线1l 过点()4,1--，并且直线1l 与直线2l 垂直； (2)直线1l 与直线2l 平行，并且坐标原点到12,l l 的距离相等．18．已知双曲线C 与221416y x -=有相同的渐近线，()为C 上一点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)设双曲线C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 且倾斜角为45o 的直线与C 相交于A 、B 两点，求2ABF △的面积.19．2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为15，甲赢丙的概率为14，丙赢乙的概率为13．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．20．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程． 21．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足90AB CB AD CD ABC ====∠=︒，棱PD 上的点E 满足直线//CE 平面PAB ．(1)求PEED；(2)若PB PD ==PA PC =，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为8，且椭圆经过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，过点(P的直线l与椭圆C交于,A B两点，试问直线y=N，使NAB△为正三角形，若存在，求出相应的直线l的方程；若不存在，请说明理由.。

2023-2024学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期12月月考数学试卷1.写出数列的一个通项公式（）A ．B ．C ．D ．2.某人忘记了电话号码的最后一个数字，随意拨号（拨过的号码后面不再重复拨），则拨号不超过三次而接通电话的概率为（）A ．B ．C ．D ．3.等差数列的公差，且，则数列的通项公式是（）A ．B ．C ．D ．4.若且，则的值为（）A ．4B ．-4C ．1D ．-15.直线：与直线：互相垂直，则（）A ．0B ．1C ．2D ．-16.已知等差数列的前项和为，，，则（）A ．65B ．75C ．80D ．857.已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（）A ．B ．C ．D ．8.在平面直角坐标系中，为坐标原点，是椭圆上的两个动点，动点满足，直线与直线斜率之积为，已知平面内存在两定点，使得为定值，则该定值为（）A ．B ．C ．4D ．9.下列命题是真命题的有（）A ．A ，B ，M ，N 是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么A ，B ，M ，N 共面B ．直线l 的方向向量为，直线m 的方向向量为，则l 与m 垂直C ．直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥αD ．平面α经过三点是平面α的法向量，则10.已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A．若与互斥，则B．若与相互独立，则C．若，则事件与相互独立D．若，则11.已知数列的前项和为，若，则（）A．4是数列中的项B．当最大时，的值只能取5C．数列是等差数列D．当时，的最大值为1112.已知抛物线的焦点为，过点作直线交抛物线于点，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，线段的中点为，则有（）A．B．C．D．13.有分别写着数字1~12的12张卡片，若从中随机取出一张，则这张卡片上的数字是2或3的倍数的概率为_____．14.已知等差数列的前n项和为，若，则_________.15.已知数列的通项公式为，则数列中的最小项的值为__________．（用具体数字作答）16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M，N两点（点M位于第一象限），的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为___________.17.已知数列为等差数列，且．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和的最大值18.已知圆，直线l过点．(1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．19.甲、乙、丙三人去某地务工，其工作受天气影响，雨天不能出工，晴天才能出工．其计酬方式有两种，方式一：雨天没收入，晴天出工每天250元；方式二：雨天每天120元，晴天出工每天200元；三人要选择其中一种计酬方式，并打算在下个月（30天）内的晴天都出工，为此三人作了一些调查，甲以去年此月的下雨天数（10天）为依据作出选择；乙和丙在分析了当地近9年此月的下雨天数（n）的频数分布表（见下表）后，乙以频率最大的n值为依据作出选择，丙以n的平均值为依据作出选择．n8910111213频数312021(1)试判断甲、乙、丙选择的计酬方式，并说明理由；(2)以上面表格中的频率作为概率，求未来三年中恰有两年，此月下雨不超过11天的概率．20.如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以EB为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．(1)证明：平面PAB⊥平面PAE；(2)求二面角的正弦值．21.对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为P数列．(1)若的前n项和，试判断是否是P数列，并说明理由；(2)设数列是首项为-1公差为的等差数列，若该数列是P数列，求的取值范围．22.如图，分别是矩形四边的中点，，.(1)求直线与直线交点的轨迹方程；(2)过点任作直线与点的轨迹交于两点，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，求面积的最小值.。

一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则为（ ）A. B. C. D. 2. 下列命题中错误的是A ．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”B ．若x 、y ∈R ，则“”是成立的充要条件C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题：，使，则，则3. 在中，内角的对边分别是，若且，则的值为A ． B. C ． D. 4. 已知函数（），正项等比数列满足，则1299(ln )(ln )(ln )f a f a f a +++= ( ) A ．101B ．99C ．D ．5. 已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和（ ）A.12B.32C.60D.1206. 若222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 已知()231231xxx f --+=,则的值域是A.B.C.D.8. 已知抛物线()10222222=->=by a x p px y 与双曲线有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且轴，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D.9.已知某几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A. B. C. D.10. 已知是椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．11. 如果执行右面的程序框图，那么输出的（ ）A ．2450B ．2500C ．2550D ．2652 12. 设不等式组表示的平面区域为表示区域D n 中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=( )A ．1012B ．2012C ．3021D ．4001二、填空题：13. 已知nn n x a x a x a a x x x x ++++=++++++++ 221032)1()1()1()1(，且126210=++++n a a a a ，那么的展开式中的常数项为 .14. 从6名候选人中选派出3人参加、、三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加活动，则不同的选派方法有 种. 15. 已知函数⎪⎭⎫⎝⎛+-=21log )(2x ax x f a 在上恒正，则实数的取值范围是 16. 已知点是锐角的外心，8123AB AC A π===，，. 若，则三、解答题： 17. 在△ABC 中，三个内角是的对边分别是，其中，且（1）求证：△ABC 是直角三角形； （2）设圆过三点，点P 位于劣弧AC 上，，求四边形的面积.18. 如图,的外接圆O 的半径为, O 所在的平面, , ,, 且,.（1）求证: 平面ADC 平面BCDE .（2）试问线段DE 上是否存在点M , 使得直线AM 与平面ACD 所成角的正弦值为？若存在,确定点M 的位置, 若不存在, 请说明.19. 抛掷三枚不同的具有正、反两面的金属制品，假定正面向上的概率为，正面向上的概率为，正面向上的概率为t(0<t<1)，把这三枚金属制品各抛掷一次，设表示正面向上的枚数。

2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列程序框图中表示判断框的是（）A．B．C．D．2．（5分）我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样3．（5分）椭圆x2+4y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（）A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤05．（5分）已知＝（2，2，1），＝（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）6．（5分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）＝0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A．97.5%B．95%C．90%D．无充分根据7．（5分）一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．9．（5分）已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，52），则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A．6830套B．9540套C．8185套D．9755套10．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若＝3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）若直线l：y＝﹣+m与曲线C：y＝有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A．B．（1，）C．（1，+1）D．（2，+1）12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+3，集合M＝{（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N＝{（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（）A．B．C．πD．二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．（5分）所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅或{0}＝∅；③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．14．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是．（用数字作答）15．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＝1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为．16．（5分）某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．（用最简分数表示）三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a＝1，b+c＝2，f（A）＝，求△ABC的面积．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，P A⊥平面ABC，E是PC的中点，，P A＝AC＝1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．20．（12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a k＝1；出现“×”，则记a k＝﹣1，令S n＝a1+a2+•+a n．（Ⅰ）当p＝q＝时，记ξ＝|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p＝，q＝时，求S8＝2且S i≥0（i＝1，2，3，4）的概率．21．（12分）如图，椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y ＝x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l 与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求证：MA⊥MB：（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的最小值．22．（12分）设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．2016-2017学年湖北省襄阳五中高二（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）下列程序框图中表示判断框的是（）A．B．C．D．【解答】解：判断框是菱形框故选：D．2．（5分）我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是（）A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样【解答】解：∵学生人数比较多，∵把每个班级学生从1到最后一号编排，要求每班编号尾数为5的同学留下进行交流，这样选出的样本是采用系统抽样的方法，故选：D．3．（5分）椭圆x2+4y2＝1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+＝1，得到a＝1，b＝，则c＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝．故选：A．4．（5分）已知命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题是（）A．∀a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0B．∀a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0C．∃a，b∈R，如果ab＜0，则a＜0D．∃a，b∈R，如果a≤0，则ab≤0【解答】解：命题的逆否命题是条件与结论交换并且否定，故命题“∀a，b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的逆否命题“∀a，b∈R，如果a≤0，则ab ≤0“故选：B．5．（5分）已知＝（2，2，1），＝（4，5，3），则下列向量中是平面ABC的法向量的是（）A．（1，2，﹣6）B．（﹣2，1，1）C．（1，﹣2，2）D．（4，﹣2，1）【解答】解：设平面ABC的法向量是＝（x，y，z），则，∴，取x＝1，解得y＝﹣2，z＝2．∴＝（1，﹣2，2）．故选：C．6．（5分）某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如表：根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）＝0.025，则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为（）A．97.5%B．95%C．90%D．无充分根据【解答】解：∵根据表中数据得到 5.059，因为p（K2≥5.024）＝0.025，∴认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约为1﹣0.025＝97.5%故选：A．7．（5分）一个三位自然数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a ＞b且c＞b时称为“凹数”．若a，b，c∈{4，5，6，7，8}，且a，b，c互不相同，任取一个三位数，则它为“凹数”的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，当且仅当a＞b且c＞b时称为“凹数”，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数组成三位数，有A53＝60种取法，在{4，5，6，7，8}的5个整数中任取3个不同的数，将4放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A42＝12种情况，将5放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A32＝6种情况，将6放在十位上，再排2个数排在百、个位上，有A22＝2种情况，根据分类计数原理可得12+6+2＝20种，故它为“凹数”的概率是＝．故选：D．8．（5分）已知O、A、B三地在同一水平面内，A地在O地正东方向2km处，B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘，O地为一磁场，距离其不超过km的范围内会测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（）A．1﹣B．C．1﹣D．【解答】解：由题意，△AOB是直角三角形，OA＝OB＝2，所以AB＝2，O地为一磁场，距离其不超过km的范围为个圆，与AB相交于C，D两点，作OE⊥AB，则OE＝，所以CD＝2，所以该测绘队员能够得到准确数据的概率是1﹣＝1﹣．故选：A．9．（5分）已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量，在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ）和（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%，95.4%和99.7%．某大型国有企业为10000名员工定制工作服，设员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，52），则适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约要定制（）A．6830套B．9540套C．8185套D．9755套【解答】解：∵员工的身高（单位：cm）服从正态分布N（173，52），即服从均值为173cm，方差为25的正态分布，∵适合身高在163～183cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.4%，身高在168～178cm范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：68.3%从而得出适合身高在163～178cm范围内，概率为：＝81.85%，适合身高在163～178cm范围内员工穿的服装大约套数是：10000×81.85%＝8185套故选：C．10．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A、B，为抛物线上两点，若＝3，O为坐标原点，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，根据抛物线的定义，不难求出，|AB|＝2|AE|，由抛物线的对称性，不妨设直线的斜率为正，所以直线AB的倾斜角为60°，直线AB的方程为y＝（x﹣1），联立直线AB与抛物线的方程可得A（3，2），B（，﹣），所以|AB|＝＝，而原点到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝，当直线AB的倾斜角为120°时，同理可求．故选：B．11．（5分）若直线l：y＝﹣+m与曲线C：y＝有且仅有三个交点，则m的取值范围是（）A．B．（1，）C．（1，+1）D．（2，+1）【解答】解：由题意作图象如下，y＝的图象由椭圆的一上部分与双曲线的上部分构成，故直线l：y＝﹣+m与曲线C：y＝有且仅有三个交点的临界直线有，当y＝﹣+m过点（2，0）时，即0＝﹣1+m，故m＝1；当直线y＝﹣+m与椭圆的上部分相切，即y′＝＝﹣，即x＝，y＝时，此时，m＝．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝x2﹣4x+3，集合M＝{（x，y）|f（x）+f（y）≤0}，集合N＝{（x，y）|f（x）﹣f（y）≥0}，则集合M∩N面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：因为f（x）＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，f（y）＝（y﹣2）2﹣1，则f（x）+f（y）＝（x﹣2）2+（y﹣2）2﹣2，f（x）﹣f（y）＝（x﹣2）2﹣（y﹣2）2．∴M＝{（x，y）＝（x﹣2）2+（y﹣2）2≤2}，N＝{（x，y）||y﹣2|≤|x﹣2|}．故集合M∩N所表示的平面区域为两个扇形，其面积为圆面积的一半，即为π．故选：C．二、填空题（本大题4小题，每题5分，共20分）13．（5分）所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②{x|x2+1＝0，x∈R}＝∅或{0}＝∅；③对于命题：“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为③④．【解答】解：对于①，原命题的逆命题是“对角线互相平分的四边形是菱形”，对角线互相平分的四边形不一定是菱形，故错对于②，{0}中有一个元素0，∅中一个元素都没有，故错；对于③，若p、q中只要有一个是假，则“p且q”为假，故正确；对于④，满足有两条边相等且有一个内角为60°的三角形一定为等边三角形，等边三角形一定满足两条边相等且有一个内角为60°，故正确．故答案为：③④14．（5分）已知b为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式（﹣）6的展开式中的常数项是﹣540．（用数字作答）【解答】解：第一次循环：b＝3，a＝2；第二次循环得：b＝5，a＝3；第三次循环得：b＝7，a＝4；第四次循环得：b＝9，a＝5；不满足判断框中的条件输出b＝9．∵（﹣）6＝的展开式的通项为：＝令3﹣r＝0得r＝3∴常数项为＝﹣540．故答案为：﹣540．15．（5分）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＝1（a＞b＞0）的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为e＝2﹣5．【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a2﹣10ac﹣c2＝0即e2+10e﹣3＝0，解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2＝1，F'（，0）．延长TO交圆O于N，易知直线A 1B1斜率为1，TM＝MO＝ON＝1，，设T（x′，y′），则，y′＝x′+1，由割线定理：TB2×TA1＝TM×TN，，（负值舍去），易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：令y′＝0，即F横坐标即原椭圆的离心率e＝．故答案：．16．（5分）某情报站有A，B，C，D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．（用最简分数表示）【解答】解：第一周使用A，第二周使用A的概率P2＝0，第三周使用A的概率P3＝，依此类推，第四周使用A的概率P4＝（1﹣）•＝，第五周使用A的概率P5＝（1﹣）•＝，第六周使用A的概率P6＝（1﹣P5）•＝，第七周使用A的概率P7＝（1﹣P6）•＝．故答案为．三、解答题：（本大题6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数f（x）＝sin（2x﹣）+2cos2x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a＝1，b+c＝2，f（A）＝，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）因为＝＝＝所以函数f（x）的单调递增区间是〔〕（k∈Z）（Ⅱ）因为f（A）＝，所以又0＜A＜π所以从而故A＝在△ABC中，∵a＝1，b+c＝2，A＝∴1＝b2+c2﹣2bc cos A，即1＝4﹣3bc．故bc＝1从而S△ABC＝18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝，a n+1＝，n∈N+．（1）求证：数列{﹣2}是等比数列，并且求出数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【解答】解：（1）证明：由a1＝，a n+1＝，n∈N+，取倒数，可得＝＝+，即﹣2＝（﹣2），所以数列{﹣2}是以为首项，为公比的等比数列，可得﹣2＝•（）n﹣1＝（）n；所以数列{a n}的通项公式为a n＝，n∈N*；（2）＝n•（）n+2n，设T n＝1•（）+2•（）2+…+n•（）n，T n＝1•（）2+2•（）3+…+n•（）n+1，两式相减得T n＝+（）2+…+（）n﹣n•（）n+1，＝（1﹣）﹣n•（）n+1，所以T n＝﹣，又2+4+6+…+2n＝n2+n，所以前n项和S n＝﹣+n2+n．19．（12分）如图，AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点，P A⊥平面ABC，E是PC的中点，，P A＝AC＝1．（1）求证：AE⊥PB；（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．【解答】证明：（1）∵P A⊥平面ABC，BC⊂平面ABC∴P A⊥BC，又AB是圆O的直径，C是圆O上不同于A，B的一点∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又P A∩AC＝A∴BC⊥平面P AC，又AE⊂平面P AC∴BC⊥AE…（3分）∵P A＝AC，E是PC的中点∴AE⊥PC，又BC∩PC＝C∴AE⊥平面PBC，又PB⊂平面PBC∴AE⊥PB．…（6分）解：（2）过A作AF⊥PB交PB于F，连接EF又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF＝A∴PB⊥平面AEF，又EF⊂平面AEF∴PB⊥EF，又AF⊥PB∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角…（9分）∵在Rt△P AC中，P A＝AC＝1，则，在Rt△P AB中，P A＝1，，同理得∴在Rt△AEF中，故二面角A﹣PB﹣C的正弦值为．…（12分）20．（12分）一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为q，若第k次出现“○”，则记a k＝1；出现“×”，则记a k＝﹣1，令S n＝a1+a2+•+a n．（Ⅰ）当p＝q＝时，记ξ＝|S3|，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）当p＝，q＝时，求S8＝2且S i≥0（i＝1，2，3，4）的概率．【解答】解：（I）∵ξ＝|S3|的取值为1，3，又，∴P（ξ＝1）＝，P（ξ＝3）＝（4分）∴ξ的分布列为（5分）∴Eξ＝1×+3×＝．（6分）（II）当S8＝2时，即前八秒出现“○”5次和“×”3次，又已知S i≥0（i＝1，2，3，4），若第一、三秒出现“○”，则其余六秒可任意出现“○”3次；若第一、二秒出现“○”，第三秒出现“×”，则后五秒可任出现“○”3次．故此时的概率为（12分）21．（12分）如图，椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y＝x2﹣b截得的线段长等于C1的短轴长，C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l 与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于点D、E．（Ⅰ）求C1、C2的方程；（Ⅱ）求证：MA⊥MB：（Ⅲ）记△MAB，△MDE的面积分别为S1，S2，若＝λ，求λ的最小值．【解答】（I）解：离心率＝，∴a2＝2c2＝2b2，又x轴被曲线C2：y＝x2﹣b截得的线段长2＝2b，解得b＝1．∴a2＝2．∴曲线C2的方程为：y＝x2﹣1；曲线C1的方程为：＝1．（II）证明：设直线AB的方程为：y＝kx，A（x1，y1），B（x2，y2）．M（0，﹣1）．联立，化为：x2﹣kx﹣1＝0，∴x1+x2＝k，x1•x2＝﹣1．∴＝x1x2+（y1+1）（y2+1）＝（k2+1）x1•x2+k（x1+x2）+1＝﹣（k2+1）+k•k+1＝0．∴MA⊥MB．（III）解：设直线MA的方程：y＝k1x﹣1；MB的方程为：y＝k2x﹣1，且k1k2＝﹣1．联立，解得，或，∴A．同理可得B．S1＝|MA|•|MB|＝|k1|•|k2|．，解得，或，∴D．同理可得：E，∴S2＝＝•．∴＝λ＝＝，所以λ的最小值为，此时k＝1或﹣1．22．（12分）设命题p：（4x﹣3）2≤1；命题q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，（1）p是q的什么条件？（2）求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为￢p是￢q的必要而不充分条件，其逆否命题是：q是p的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件；…（5分）（2）∵|4x﹣3|≤1，∴．解x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，得a≤x≤a+1．因为┐p是┐q的必要而不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，即由命题p成立能推出命题q成立，但由命题q成立不推出命p成立．∴[，1]⊊[a，a+1]．∴a≤且a+1≥1，得0≤a≤．∴实数a的取值范围是：[0，]．…（10分）。

2023-2024学年湖北省襄阳市第五中学高二下学期5月月考数学试卷1.已知离散型随机变量的分布列如下表：0123若离散型随机变量，则（）A．B．C．D．2.若的展开式中第3项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（）A．252B．70C．D．3.某中学举行“十八而志，青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A和歌唱类节目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）A．15B．45C．60D．754.随机变量服从正态分布.若，则（）A．B．C．D．5.中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设为整数，若和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，，则b的值可以是（）A．2019B．2020C．2021D．20226.已知随机事件，发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A．若，则，相互独立B．若，相互独立，则C．若，则D．若，则7.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（）A．0.8B．0.6C．0.5D．0.38.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．9.已知，则（）A．B．C．D．的最大值为10.下列命题中，正确的是（）．A．随机变量X服从二项分布，若，，则B．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为C．从3个红球2个白球中，一次摸出3个球，则摸出红球的个数X服从超几何分布，D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当且仅当时概率最大11.函数，下列结论正确的是（）A．时，有两个零点B．时，在处取极小值C．时，恒成立D．若只有一个零点，则12.现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，则至少有一件瑕疵品的概率为_________.13.研究珠海市农科奇观的某种作物，其单株生长果实个数服从正态分布,且,从中随机抽取株，果实个数在的株数记作随机变量,假设服从二项分布，则的方差为__________．14.若，则的最小值为______.15.已知函数f(x)=.（1）若函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=4x+m，求实数a，m的值；（2）当a=1时，求函数f(x)在区间上的最值.16.一组学生共有人.（1）如果从中选出人参加一项活动，共有多少种选法？（2）如果从中选出男生人，女生人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有种，问该组学生中男、女生各有多少人？17.一箱24瓶的饮料中有3瓶有奖券，每张奖券奖励饮料一瓶，小明从中任取2瓶，(1)小明的这2瓶饮料中有中奖券的概率；(2)若小明中奖后兑换的饮料继续中奖的话可继续兑换，兑换时随机选取箱中剩余的饮料，求小明最终获得饮料瓶数的分布列和期望．18.教育部门最近出台了“双减”政策.即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）.“双减”政策的出合对校外的培训机构经济效益产生了严重影响.某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2021年前200名报名学员的消费金额进行了统计整理，其中数据如表.消费金额（千元）人数305060203010(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2021年所有学员的消费金额可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数x以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）.①试估计该机构学员2021年消费金额为的概率（保留一位小数）；②若从该机构2021年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的方差.参考数据：；若随机变量，则，，.19.已知函数.(1)当时，讨论的单调性；(2)若是的极小值点，求实数的取值范围.。

高二年级12月月考数学理试卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

) 1. 如果直线l 过点P(1，2)，且l 不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是（ ）A ．[0，2]B 、[0，1]C 、10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D 、1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2. 某班有60名学生，一次考试后数学成绩ξ～N （110，102），若P （100≤ξ≤110）=0.35，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 3. 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C ．D4. 在8(2x -的展开式中，常数项是 A ．－28 B ．－7C ．7D ． 285. 函数y =）A.(),1-∞B. (],1-∞C. (]0,1D []0,16. 在数列{}n a 中，若对于任意的n N *∈均有12n n n a a a ++++为定值，且79982,3,4a a a ===，则数列{}n a 的前100项的和100S =（ ）A ．132B ．299C ．68D ．997. 在△ABC 中，∠ABC = 60°，AB = 2，BC ＝6，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为( )A ．16B ．13C ．12D ．238. 已知函数的图象与直线y=m 有三个交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3（x 1＜x 2＜x 3），那么x 1+2x 2+x 3的值是（ ）A ．B ．C ．D.9. 已知ABC 的三内角,,A B C 所对的边的长分别为,,a b c ，M 为该三角形所在平面内一点，若0aMA bMB cMC ++=,则M 是ABC 的（ ） A.内心 B.重心 C.垂心 D.外心10. 函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧--+≤⎪=⎨->⎪⎩，直线y m =与函数()f x 的图像相交于四个不同的点，从小到大，交点横坐标依次标记为,,,a b c d ，下列说法错误的是（ ）A. [)3,4m ∈B. )40,abcd e ⎡∈⎣C. 562112,2a b c d e e e e ⎡⎫+++∈+-+-⎪⎢⎣⎭D.若关于x 的方程()f x x m +=恰有三个不同的实根，则m 取值唯一二．填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015-2016学年湖北省襄阳五中高二5月月考数学（理）试题一、选择题1．已知复数212iz i+=-，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -【答案】D【解析】试题分析：根据复数的运算法则可得212i z i +=-()()()()212512125i i i i i i ++===-+，所以z 的共轭复数z =i -，故选D.【考点】复数的运算.2．下列命题错误的是（ ）A ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1B ．设ξ～2(0,)N σ，且1(1)4P ξ<-=，则1(01)4P ξ<<= C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高 D ．已知函数()f x 可导，则“'0()0f x =”是“0x 是函数()f x 极值点”的充要条件 【答案】D【解析】试题分析：对于选项A,根据相关系数的意义可知A 选项公式正确的；而对于B 选项，根据正态分布的特征可知其是正确的；对于C ，根据残差的几何意义可知其也是正确的；对于D 选项，已知函数()f x 可导，则“'0()0f x =”是“0x 是函数()f x 极值点”的既不充分也不必要条件，例如()3f x x =在0x =处有()00f '=，但是()00f =不是()3f x x =的极值，事实上()3f x x =不存在极值，所以“'0()0f x =”不是“0x 是函数()f x 极值点”的充分条件；另一方面，“'0()0f x =”也不是“0x 是函数()f x 极值点”的必要条件，例如函数()f x x =，在0x =处有极小值0但是，()0f '不存在，所以“'0()0f x =”不是“0x 是函数()f x 极值点”的必要条件，所以选项D 是错误的，综上故选D.【考点】1、相关系数；2、正态分布；3、残差；4、极值，极值点.3．函数32()23125f x x x x =--+在[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．5，-15 B ．5，-4 C ．-4，-15 D ．5，-16 【答案】A【解析】试题分析：对函数32()23125f x x x x =--+求导得()()()26612621f x x x x x '=--=-+，由于[]0,3x ∈，所以()f x 在[]0,2上是减函数，在[]2,3上是增函数，而()()()0534,215f f f =>=-=-，所以()f x 在[0,3]上的最大值和最小值分别是5,15-，故选A.【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间，极值.4．当23k <<时，曲线22123x y k k +=--与曲线22132x y +=有相同的（ ） A ．焦点 B ．准线 C ．焦距 D ．离心率【答案】C【解析】试题分析：23,20,30k k k <<∴-<-> 并且曲线22123x y k k +=--可化为22132y x k k -=--，其表示焦点在y 轴上的双曲线，并且焦距为2=，而曲线22132x y +=表示焦点在x 轴上的椭圆，其焦距为2=，所以曲线22123x y k k +=--与曲线22132x y +=有相同的焦距，故选C. 【考点】1、椭圆及其焦距；2、双曲线及其焦距.5．一条线段夹在一个直二面角的两个半平面内，它与两个半平面所成的角都是30 ，则这条线段与二面角的棱所成角的大小为（ ） A ．30 B ．45 C ．60 D ．90 【答案】B【解析】试题分析：如图所示，平面MNOP MNRQ ⊥平面，,A B 分别在两个平面内，1AA MN ⊥，1BB MN ⊥，1111,CA BB CA BB = ，设11AA =，则由题意可知，11112,1,,AB BB AC A B BC ====所以在直角三角形ABC 中，可得c o s A B ∠=，所以45ABC ∠= ，故选B.R【考点】1、二面角；2、异面直线所成的角.6．函数21()21x m e f x x ++=+在0x =处的切线与直线20x y -=垂直，则m =（ ）A ．12 B ．1 C ．32D ．2 【答案】B【解析】试题分析：()()()()21212221221x x e x m e f x x +++-+'=+，由条件可知()02,1f m '=-∴=，故选B.【考点】导数的几何意义.7．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．46π+B ．86π+C ．412π+D ．812π+ 【答案】B【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个半圆柱合一个四棱锥的组合体，其中四棱锥的底面与半圆柱的轴截面重合，半圆柱的底面半径为2，高为3，棱柱的高是2，所以该几何体的体积是86π+. 【考点】1三视图；2、棱锥，圆柱.8．若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0,2)F ，直线37y x =+与椭圆相交所得弦中点的纵坐标为1，则该椭圆的方程为（ ）A ．2211620x y += B ．2211216x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 【答案】D【解析】试题分析：设椭圆的方程为22221y x a b+=，直线37y x =+与椭圆相交所得弦设为()()1122,,,,A B A x yB x y ，联立22221y x a b+=，37y x =+消y 可得()2222222942490ab x b x b a b +++-=，由条件知124x x +=-，所以222222242494b a bc a b c ⎧-=-⎪+⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2212,8a b ==，所以椭圆的方程为221812x y +=，故选D. 【考点】1、椭圆；2、直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题是一个关于直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据条件设出椭圆的标准方程，然后将直线方程与椭圆方程进行联立，再根据韦达定理，可以得出,,a b c 的一个关系式，再结合222a b c =+，以及椭圆的一个焦点为(0,2)F ，即可解得椭圆的方程.9．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则异面直线11AC 与1AB 间的距离为（ ）A ．12 B【答案】C【解析】试题分析：如图所示，设1,O O 分别是正方形的底面1111,ABCD A BC D 的中心，11111,AC ACB AC ∴ 平面到平面1ACB 的距离即为所求，1111,O AC O ∈∴到平面1ACB 的距离即为所求，又因为平面1ACB 与平面11BB D D 垂直，1OB 是其交线，所以求1O 到1OB 的距离即可，在直角三角形11OO B 中，设11O G OB ⊥，则11OB ==，故选C.A C 1【考点】异面直线的距离.10．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x 为()f x 的导函数，且满足'()()f x xf x >-，则不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--的解集是（ ）A ．(1,2)B ．(1,)+∞C ．(0,2)D ．(2,)+∞ 【答案】A【解析】试题分析：由'()()f x xf x >-可得()()0xf x '>，所以函数()xf x 在()0,+∞上是增函数，又因为不等式2(1)(1)(1)f x x f x +>--可化为()()()()221111x f x x f x ++>--，从而221010,1211x x x x x ⎧->⎪+>∴<<⎨⎪+>-⎩，故选A. 【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的单调性，单调区间.11．已知,A B 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右顶点，不同两点,P Q 在双曲线上，且关于x 轴对称，设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，当121221ln ||ln ||2b a k k a b k k +-++取最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A【答案】B【解析】试题分析：由题知120k k =-≠，所以2121212111ln ln ln 22k k k k k k -++=+，设21,0t k t =∴>,设()1ln 2g t t t =+，则()221,2t g t t -'=可知在110,,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()g t 分别是减函数与增函函数，所以12t =时()g t 取最小值，而2b a a a b +≥=时取等号，从而121221ln ||ln ||2b a k k a b k k +-++当且仅当1,2t a ==时取等号，由此可得当121221ln ||ln ||2b a k k a b k k +-++取最小值时，双曲线CB. 【考点】1、双曲线；2、基本不等式.【方法点晴】本题是一个关于圆锥曲线以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据双曲线的性质得出12,k k 的关系，并构造出关于t 的函数()g t ，再结合导数在函数研究中的应用，得到函数()g t 存在最小值，同时利用基本不等式得到2b aa b+取最小值时的条件，并由此得到双曲线的离心率. 12．已知函数21(),()ln 2xf x eg x x ==+，对,(0,)a Rb ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A 1B ．ln 212-C ．1D ．ln 212+ 【答案】D【解析】试题分析：设()()(),0,f a g b t t ==∈+∞，可得()()1122ln ln ,,,0,22t t t t a b e h t b a e t --==∴=-=-∈+∞，而()121,2t h t e t -'=-令()0h t '=得12t =，由于()121,2t h t e t -'=-是增函数，所以10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()10,,2h t t ⎛⎫'<∈+∞ ⎪⎝⎭时()0h t '>，因此()h t 在110,,,22⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上()h t 分别是减函数和增函数，从而()h t 有最小值1ln 2122h ⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D. 【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、函数的极值最值.【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面方面以及函数的极值、最值方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：根据题意首先构造函数并将求b a -的最小值的问题转化为所构造的函数的最小值的问题，再通过求导判断出所构造的函数的单调性，进而可得到函数的最小值，从而使问题得到解决.二、填空题13．已知向量(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b = ，||a b λ+=且0λ>，则λ= .【答案】3【解析】试题分析：由(0,1,1)a =- ，(4,1,0)b =，可得()4,1,a b λλλ+=- ，再由||a b λ+，可得32λ=-或，因0λ>，所以3λ=，故答案填3.【考点】空间向量及其模的运算.14．在弹性限度内，弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离按胡克定律F kl =计算，今有一弹簧原长90cm ，每压缩1cm 需0.049N 的压缩力，若把这根弹簧从80cm 压缩至60cm （在弹性限度内），则外力克服弹簧弹力所做的功为 J （结果用小数表示）.【答案】0.196【解析】试题分析：由题目条件知把这根弹簧从80cm 压缩至60cm （在弹性限度内）需要0.049200.N ⨯=的力，从而外力克服弹簧弹力所做的功为0.980.20.196J ⨯=，故答案填0.196. 【考点】向量问题在物理方面的应用.15．设2()ln f x x x =，由函数乘积的求导法则，2'(ln )2ln x x x x x =+，等式两边同时求区间[1,]e 上的定积分，有：2'111(ln )2ln ee ex x dx x xdx xdx =+⎰⎰⎰，移项得：222211111112ln (ln )()2222ee ex xdx x x xdx e e e =-=--=+⎰⎰，这种求定积分的方法叫做分部积分法，请你仿照上面的方法计算定积分：1ln exdx =⎰.【答案】1【解析】试题分析：设()()()111ln ,ln ln 1,ln ln e e e f x x x x x x x x dx xdx dx''=∴=+∴=+⎰⎰⎰，所以()()111ln ln 11eeexdx x x dx dx e e '=-=--=⎰⎰⎰，故答案填1.【考点】定积分.【方法点晴】本题是一个求导法则以及定积分方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：首先将求函数ln x 的定积分的问题，转化为两个函数的差的定积分问题，再根据级的求导法则可知()ln ln 1x x x '=+，从而可知求函数ln x 的定积分的问题，可以转化为求()ln x x '的定积分与常数1的定积分的问题，进而问题得到解决.16．过椭圆22143x y +=的右焦点F 作两条互相垂直的弦,AB CD ，若弦,AB CD 的中点分别为,M N ，则直线MN 恒过定点 .【答案】4,05⎛⎫⎪⎝⎭【解析】试题分析：设直线AB 的方程为1x ty =+，联立22143x y +=消x 并化简得()24230,ty ty ++-=由韦达定理可得点224,44t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，因为,AB CD 互相垂直，则以1t -代换t 可得点2224,1414t t N t t ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，由两点式可得直线MN 的方程为()222544441t t y x t t t ⎛⎫+=- ⎪++-⎝⎭，令0y =可得45x =，故直线MN 过定点4,05⎛⎫⎪⎝⎭，故答案填4,05⎛⎫⎪⎝⎭. 【考点】1、椭圆；2、直线与圆锥曲线的位置关系.【方法点晴】本题是一个关于椭圆以及直线与圆锥曲线的位置关系方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据过椭圆的右焦点的直线互相垂直的特点，设出其中的一条方程，并结合韦达定理得到其中的一条弦的中点的坐标，再根据两条弦互相垂直，便可得出另一条弦的中点的坐标，由两中点的坐标，即可得到两弦中点所在的直线方程，进而可证出两弦中点所在的直线恒过定点.三、解答题17．已知命题：:(0,)p x ∃∈+∞，2ln x x ax ->成立；命题:q 双曲线221y x a+=的离心率(1,2)e ∈，若()()p q ⌝∨⌝为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】123-<<-ea . 【解析】试题分析：因为()()p q ⌝∨⌝为假命题，所以p 真q 真，因此可以先求出命题,p q 都真时实数a 的取值范围，再求其交集，即可得到实数a 的取值范围.试题解析：命题p ：ax x x >-ln 2，分参得xxx a -<ln 2.设()()0ln 2>-=x xxx x f ，()+∞∈∃,0x ，ax x x >-ln 2成立，等价于()max x f a <.()()2/ln 12xx x f-=，当e x <<0时，()0/>x f ；当e x >时，()0/<x f ，故()x f 在()e ,0上单调递增，在()+∞,e 上单调递减，∴()()12max -==ee f x f ，故12-<ea ① 命题q :双曲线122=--ay x 的离心率()2,1∈e ,易知0<a .离心率a e -=1， ∵211<-<a ，∴03<<-a . ②若()()q p ⌝∨⌝为假命题，则p 真q 真，结合①和②知，123-<<-ea 【考点】1、全称命题与特称命题；2、复合命题及其真值表.18．端午节马上就要到了，端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三个粽子的外观完全相同，从中任意选取3个.（1）求三种粽子各取到1个的概率；（2）设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）14；（2）分布列见解析，35. 【解析】试题分析：（1）求出基本事件的总数以及符合要求的事件个数，便可求得三种粽子各取到1个的概率；（2）先一一列出X 的各个取值，再根据超几何分布求出X 的各个值对应的概率，即可得到X 的分布列与数学期望. 试题解析：（1）用A 表示事件“3种粽子各取到一个”，则()41310151312==C C C C A P (2) X 的所有可能取值为0,1,2,且()157031038===C C X P ；()15713102812===C C C X P ；()15123101822===C C C X P . ∴X 的概率分布列为53151215711570=⨯+⨯+⨯=EX （注：缺少求概率的步骤要扣分）.【考点】1、超几何分布；2、随机变量的期望及分布列.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，E 为PB 的中点，AD AE ⊥，且PA AB ==，1AD AE ==.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角B EC D --的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）可以先证明PA 垂直于底面ABCD 中的两条相交直线,AB AD ，进而可以证明PA ⊥平面ABCD ；（2）可建立空间直角坐标系A xyz -，并求出平面,BEC 平面DEC 的法向量，再利用法向量求出二面角B EC D --的余弦值，进而得到正弦值. 试题解析：（1）∵PA AB =，E 为PB 的中点，∴AE PB ⊥. 在Rt PAE ∆中，1PE ===，∴22PB PE ==，又PA AB ==，∴222PA AB PB +=， ∴PA AB ⊥，又∵AD AE ⊥，AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB ， ∴AD PA ⊥，∴PA ⊥平面ABCD .（2）以A 为坐标原点，射线,,AB AD AP 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.由题意知：P，B，C ，(0,1,0)D，(,0,22E ，则()22AE =，DC =，(,1,22DE =- .∵AD AE ⊥，//AD BC ，∴AE BC ⊥.由（1）知，AE PB ⊥，∴AE ⊥平面PBC .故()22AE = 为平面BEC 的一个法向量.设平面DEC 的法向量为(,,)n x y z =， 则00n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x x y =⎧-=，可取(0,1n =，从而cos ,n AE n AE n AE⋅<>=== ， 故二面角B EC D --的正弦值为3. 【考点】1、线面垂直；2二面角.20．过抛物线24x y =焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（1）证明：FM AB ⋅为定值；（2）设MAB ∆的面积为S ，试求S 的最小值.【答案】（1）FM AB ⋅为定值0，证明见解析；（2）S 的最小值为4.【解析】试题分析：（1）设出直线AB 的方程以及点,A B 的坐标，并导数的几何意义得出抛物线在点,A B 处的切线方程，联立解得交点M 的坐标，然后得出向量,FM AB的坐标，进而可证得FM AB ⋅为定值；（2）根据（1）的结论表示出弦长AB 以及点M到直线AB 的距离，进而表示出MAB ∆的面积S ，再根据函数的单调性即可求得S 的最小值.试题解析：（1）焦点()1,0F ，设直线AB ：1+=kx y ，()()2211,,,y x B y x A .联立0444122=--⇒⎩⎨⎧=+=kx x yx kx y ，则4,42121-==+x x k x x . 抛物线方程为.412x y =，求导得.21x y ='则过抛物线上,A B 两点的切线方程分别是,)(21,)(21222111y x x y y x x x y +-=+-=即.4121,4121222211x x x y x x x y -=-= 解出两条切线的交点M 的坐标为)1,2()4,2(212121-+=+xx x x x x =()1,2-k ， ∴()()k AB k FM ,1,2,2=-=，220FM AB k k ⋅=-=，即AB FM ⊥(2)弦长()()221221221214411k x x x x k x x kAB +=-++=-+=,由（1）知点M 到直线AB 的距离212kFM +=，所以()2211421k k FM AB S MAB ++==∆，令()112≥+=t k t ，则()143≥=t t S ，易知当1=t ，即0=k 时，S 的最小值为4. 【考点】1、向量的数量积；2、直线与圆锥曲线的位置关系. 21．设函数()ln (1)(),()xf x x a x a Rg x e =--∈=. （1）求()f x 的单调区间和极值；（2）设()(1)()h x f x g x =++，当0x ≥时，()1h x ≥恒成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）当0≤a 时，函数()f x 的单调递增区间是()+∞,0，无极值，当0>a 时，()x f 的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0，单调递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a ，极大值为1ln -+-a a ，无极小值；（2）(]2,∞-.【解析】试题分析：（1）首先对函数()f x 求导，并结合对实数a 的讨论，即可求得()f x 的单调区间和极值；（2）先对函数()h x 进行求导，并针对实数a 的不同取值证明()h x 的最小值大于或等于1恒成立或者函数()g x 的值大于或等于1不恒成立. 试题解析：（1）()x f 定义域为()+∞,0，()xax a xx f -=-=11/.（ⅰ）当0≤a 时，对0>∀x ，()0/>x f ，函数的单调递增区间是()+∞,0，无极值；（ⅱ）当0>a 时，⎪⎭⎫⎝⎛∈a x 1,0时，()0/>x f ；当⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈,1ax 时，()0/<x f ，所以()x f 的单调递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛a 1,0，单调递减区间是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1a .当a x 1=时，取得极大值1ln -+-a a ，无极小值.（2）函数()()()()x e ax x x g x f x h +-+=++=1ln 1，()a x e x h x-++=11/. （ⅰ）当2≤a 时，由重要不等式1+≥x e x 知，()()0211111/≥-≥-+++≥-++=a a x x a x e x h x ，()x h 在[)+∞,0上递增，所以()()10=≥h x h 恒成立，符合题意.（ⅱ）当2>a 时，因为[)+∞∈,0x ，故()()()()011111222//≥+-+=+-=x e x x ex hx x，所以()x h /在[)+∞,0上递增. 又()020/<-=a h ，存在()+∞∈,00x ，使得()00/=x h ，从而函数()x h 在()0,0x 上递减，在()+∞,0x 上递增，又()()100=<h x h ，所以()1≥x h 不恒成立，不满足题意.综上（ⅰ），（ⅱ）知实数a 的取值范围是(]2,∞-【考点】1、导数在函数研究中的应用；2、单调区间，极值及极端不等式恒成立. 【方法点晴】本题是一个关于导数在函数研究中的应用方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：（1）首先对函数()f x 求导，并结合对实数a 的讨论，即可求得()f x 的单调区间和极值；（2）先对函数()h x 进行求导，并针对实数a 的不同取值证明()h x 的最小值大于或等于1恒成立或者函数()g x 的值大于或等于1不恒成立,进而可求出()1h x ≥恒成立时实数a 的取值范围. 22． 已知函数1()|||1|2f x x a x =-++的最小值为2.（1）求实数a 的值；（2）若0a >，求不等式()4f x ≤的解集. 【答案】（1）2a =或6a =-；（2）10[2,]3-. 【解析】试题分析：（1）通过对实数a 的讨论，将含绝对值的函数()f x 转化为分段函数，并求出实数a 取不同值时函数()f x 的最小值，再结合已知条件即可得到实数a 的值；（2）根据（1）的结论以及含绝对值不等式的基本解法（零点讨论法），即可求得不等式()4f x ≤的解集.试题解析：（1）当2a ≥-时，31,21()1,2231,22x a x a f x x a x a x a x ⎧+-≥⎪⎪⎪=-++-≤≤⎨⎪⎪-+-≤-⎪⎩，∴min ()122af x =+=，2a =. 当2a ≤-时，31,223()1,2231,2x a x f x x a a x x a x a ⎧+-≥-⎪⎪⎪=--≤≤-⎨⎪⎪-+-≤⎪⎩，∴min ()122af x =--=，6a =-. 综上可知：2a =或6a =-.（2）由（1）知，0a >时，2a =，不等式()4f x ≤，即1|2||2|42x x -++≤. 由（1）知，31,221()3,22231,22x x f x x x x x ⎧->-⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-+<-⎪⎩，由3142x -=，得103x =；由1342x -+=，得2x =-. ∴不等式的解集为10[2,]3-.【考点】1、含绝对值不等式的解法；2、含绝对值的函数的最值求法. 【思路点晴】本题是一个关于含绝对值的函数的最值以及含绝对值不等式方面的综合性问题，属于中档题，解决本题的基本思路及切入点是：对问题（1）通过对实数a 的讨论，将含绝对值的函数()f x 转化为分段函数，并求出实数a 取不同值时函数()f x 的最小值，再结合已知条件即可得到实数a 的值；对问题（2）根据（1）的结论以及含绝对值不等式的基本解法（零点讨论法），即可求得不等式()4f x ≤的解集.。

襄阳五中高二年级10月月考 理科数学试卷考前须知：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两局部.满分150分，考试时间120分钟.2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 3．考试作答时，请将答案准确填写在答题卡上．第一卷每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．作答无效．．．．. 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是（ ）A. 40°B. 50°C. 130°D. 140°2. 00sin15cos15-=（ ）A.22 B. 12 C. 22- D. 12-3. 已知,m n 表示不同的直线，,αβ表示不同的平面，则以下结论准确的是（ ）A. 若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B . 若m α⊂，m ∥n ，则n ∥α C . 若m α⊥，αβ⊥，则m ∥β D . 若m α⊥，n ∥α，则m n ⊥4. 已知过定点(2,0)P 的直线l 与曲线22y x =-相交于A ，B两点，O 为坐标原点，当1AOBS ∆=时，直线l 的倾斜角为（ ）A. 1500B. 1350C. 1200D. 不存有5. 设1234518,19,20,21,22x x x x x =====，将这5个数依 次输入下面的程序框图运行，则输出S 的值及其统计意义分别是（ ）A. S =2，这5个数据的方差B. S =2，这5个数据的平均数C. S =10，这5个数据的方差D. S =10，这5个数据的平均数 6. 以下有五个结论：① 某校高二（1）班和高二（2）班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ② 若x 1，x 2，…，x 10的平均数为a ，方差为b ，则x 1+5，x 2+5，…，x 10+5的平均数为a +5，方差为b +25；③ 从总体中抽取的样本1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ， 则回归直线y =bx a +至少过点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 中的某一个点.其中准确结论的个数有（ ）A. 0个B. 1 个C. 2 个D. 3个 7. 甲、乙两位运动员在5场比赛的得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别为x 甲，x 乙，则以下判断准确的是（ ）A. x x >甲乙；甲比乙成绩稳定B. x x >甲乙；乙比甲成绩稳定C. x x <甲乙；甲比乙成绩稳定D. x x <甲乙；乙比甲成绩稳定8. 水平放置的正方体的六个面分别用“前面,后面,上面,下面,左面,右面”表示, 如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“五”“中”“助”分别表示正方体的（ ） A. 左面，后面，上面 B. 后面，上面，左面 C. 上面，左面，后面 D. 后面，左面，上面9. 已知{}n a 是等差数列，395,17a a ==，数列{}n b 的前n 项和31nn S =-，若41m a b +=，则正整数m 等于（ ）A. 29B. 28C. 27D. 2610. 已知点(1,0)A -，(1,0)B ，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上存有点P ,使得090APB ∠=，则实数r 的取值范围是（ ）A.（1,3）B. [1,3]C. (1,2]D. [2,3） 11. 设,,a b c 为三角形ABC 的三边，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=⋅，则三角形ABC 的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定12. 若不等式组30303x y y kx x +-≥⎧⎪≤+⎨⎪≤≤⎩，表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数k 的取值范围是（ ）A.（0,1）B.（0，-1）C.（1,0）D.（-1,0）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上． 13. 已知,0a b ab >≠，则以下不等式中：①22a b >；②11a b<；③33a b >；④222a b ab +>. 恒成立的不等式的个数是_________.14. 已知ABC ∆的三个顶点在同一个球面上，6AB =，8BC =，10AC =.若球心O 到平面ABC 的距离为5，则该球的表面积为 .15. 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A （2,0），B （0,4），且AC=BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为______ . 16. 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，且A ，B ，C 成等差数列，则2sin sin A C-的取值范围为_________.三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分）已知函数)0(21cos cos sin 3)(2>+-=ωωωωx x x x f 经化简后利用“五点法”画其在x① π32 π35 )(x f1－1（1）请直接写出①处应填的值，并求函数()f x 在区间,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间； （2）∆ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知()1,3f A π+=4+=b c ，7a =ABC ∆的面积．18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，123,,a a a b a c ===，,,a b c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，且cosB =34． （1）求数列{}n a 的公比q ；（2）设集合{}22A x N x x =∈<，且1a A ∈，求数列{}n a 的通项公式．19. （本小题满分12分）高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13,14)，第二组[14,15),…,第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩在区间[14,16)内规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；（2）请根据频率分布直方图估计该组数据的众数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（精确到0.01）．20. （本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，2,90,,AC BC ACB AP BP AB ==∠=== ,PC AC ⊥ 点D 为BC 中点；（1）求二面角A PD B --的余弦值；（2）在直线AB 上是否存有点M ，使得PM 与平面PAD 所成角的正弦值为16，若存有，求出点M 的位置；若不存有，说明理由.21. （本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，圆22:4O x y +=与x 轴负半轴交于点A ，过点A 的直线,AM AN 分别与圆O 交于,M N 两点.（1）若12,,2AM AN k k ==-求△AMN 的面积;（2）过点(33,5)P -作圆O 的两条切线，切点分别为,E F ,求PE PF ⋅; （3）若2AM AN k k ⋅=-，求证：直线MN 过定点.请考生在第22~24三题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分 22. （本小题满分10分）已知,a b 为正实数.（1）若2a b +=，求1411a b+++的最小值； （2）求证：2222(1)a b a b ab a b ++≥++.23. （本小题满分10分）2451x x -+<．24. （本小题满分10分）已知231x -≤的解集为[,]m n . （1）求m n +的值；（2）若x a m -<，求证：1x a <+.PABCD。

2021-2022学年湖北省襄阳市第五中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．在复平面内，复数z 的对应点为1,1，则2z =（ ）A B ．C ．2i D ．2i -【答案】D【分析】复数z 的对应点为1,1，可得1i z =-．再利用复数的运算法则即可得出． 【详解】因为复数z 的对应点为1,1，所以1i z =-， 则()2221i 1i 2i 2i z =-=+-=-， 故选：D ．2．已知向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“0c a ⋅=，且0c b ⋅=”是l α⊥的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】由线面垂直的定义和判定定理即可得到答案. 【详解】解：由题意，0c a c a →→→→⋅=⇔⊥，0c b c b →→→→⋅=⇔⊥. 因为向量a ，b 是平面α内的两个不共线的非零向量，所以，根据平面向量基本定理，对于平面α内的任意直线n ，其方向向量为m ，存在唯一实数对,x y 使得m xa yb =+成立，所以，0m c xa c yb c ⋅=⋅+⋅=，即c m ⊥，所以直线l 与平面α内的任意直线都垂直，故l α⊥；若l α⊥，根据线面垂直的定义，可以得到0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=. 所以“0c a →→⋅=，且0c b →→⋅=”是l α⊥的充分必要条件. 故选：C.3．襄阳五中高二年级8名学生某次考试的数学成绩（满分150分）分别为130，90，85，103，93，99，101，116．则这8名学生数学成绩的第70百分位数为（ ） A ．102B ．103C ．101D ．99【答案】B【分析】先将8名学生某次考试的数学成绩按递增排序，再由870% 5.6⨯=求解.【详解】解：8名学生某次考试的数学成绩分别为85，90，93，99，101，103，116，130， 因为870% 5.6⨯=，所以这8名学生数学成绩的第70百分位数为103， 故选：B4．若向量()1,1a =-与向量()1,3b =-的夹角为θ，则sin θ=（ ） AB． C．D【答案】D【分析】先根据数量积定理求出两向量夹角的正弦值，再根据正余弦值之间的关系求出sin θ. 【详解】因为()1,1a =-，()1,3b =-，所以21cos 1a b a bθ⋅⨯===⋅+，所以sin θ 故选：D5．两条平行直线3430x y --=和850mx y -+=间的距离是（ ） A ．157B ．1110 C ．85D ．45【答案】B【分析】先求出m ，利用两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】因为两直线3430x y --=和850mx y -+=平行， 所以()()38=4m ⨯--，解得：6m =， 即850mx y -+=可化为：53402x y -+=， 所以两平行线间的距离1110d ==. 故选：B.6．直线()21230a x ay +--=的倾斜角的取值范围是（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．30,,424πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A【分析】分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.【详解】设直线()21230a x ay +--=的倾斜角为θ，当0a =时，2πθ=；当0a ≠时，则2111tan (,1][1,)22a a a a θ+⎛⎫==+∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 因为0θπ≤<所以3,,4224ππππθ⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：A7．如图，焦点在x 轴上的椭圆：)(222107x ya a +=>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线2F P 与y 轴的正半轴交于点A ，若1APF △的内切圆在边1F P 上的切点为Q ，且122FQ =，则=a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．22【答案】D【分析】由1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，根据切线长定理，可得12||||||PQ F M PF =-，再结合1||22F Q =12||||2PF PF +=a 的值．【详解】解：如图，1APF △的内切圆在边1PF 上的切点为Q ，设内切圆与1AF 、2AF 分别切于点M 、N ，∴根据切线长定理可得||||AM AN =，11||||F M F Q =，||||PN PQ =12||||AF AF =，12||||||||||AM F M AN PN PF ∴+=++，122||||||||||F M PN PF PQ PF ∴=+=+， 12||||||PQ F M PF ∴=-，则121211221||||||||||||||||||2||42PF PF F Q PQ PF F Q F M PF PF F Q +=++=+-+==， 即242a =，22a =， 故选：D ．8．若直线1y kx =+与函数()22,0268,24x x f x x x x -≤≤⎧⎪=⎨--+-<≤⎪⎩的图象恰有3个不同的交点，则k 的取值范围为（ ） A ．312⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭B ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭C ．31,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】可得()f x 的图象是由一段线段和半圆构成，画出函数图象，数形结合即可求出. 【详解】当02x ≤≤时，()2f x x =-，表示线段，当24x <≤时，268y x x =--+-，即()2231x y -+=，其中0y ≤，此时函数图象为以()3,0为圆心，1为半径且在x 轴下方的半圆，()f x 的图象如图所示，直线1y kx =+过定点()0,1.当直线1y kx =+与圆()2231x y -+=的下半部分相切时，23111k d k+==+，解得34k =-或0k =（舍去），当直线1y kx =+经过点()2,0时，12k =-.数形结合可得31,42k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多选题9．已知圆C 30x y -=及x 轴都相切，且过点()3,0，则该圆的方程是（ ） A ．()(22333x y -+= B ．()(2233327x y -++= C ．()(22333x y ++=D ．()(2233327x y -+-=【答案】AB【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解. 【详解】由题意设所求圆的方程为()222()x a y b r -+-=，圆与x 轴相切，r b ∴=.依据其他条件则有()22233a b b a b b⎧-+=-=，解得33a b =⎧⎪⎨⎪⎩333a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩()(22333x y -+=或()(2233327x y -++=故选：AB10．一箱产品有正品4件､次品3件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（ ） A ．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B ．“至少有1件次品”和“都是次品” C ．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D ．“至少有1件次品”和“都是正品”【答案】AD【分析】根据题意,由互斥事件的定义分析所给的四个选项，可得答案. 【详解】根据题意，依次分析所给的4个事件：对于A ：“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”与“恰有2件次品”不会同时发生，是互斥事件； 对于B ：“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此两事件不是互斥事件；对于C:“至少有1件正品”包括“恰有1件正品和“2件都是正品”，“至少有1件次品” 包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，因此两事件不是互斥事件；对于D:“至少有1件次品”包括“恰有1件次品和“2件都是次品”，与“都是正品”不会同时发生,是互斥事件，故AD 是互斥事件. 故选：AD11．已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点，则（ ）A ．当a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有2个B ．当a 时，满足1290F PF ∠=︒的点P 有4个C ．12PF F △的周长等于4aD ．12PF F △的面积一定小于22a【答案】AB【分析】以12F F 为直径的圆为222x y c +=，根据圆和椭圆的交点个数判断AB 正确，12PF F △的周长为22a c +，C 错误，取b c ==，面积等于22a ，D 错误，得到答案.【详解】以12F F 为直径的圆为222x y c +=，当a 时，b c =，此时圆与椭圆的交点为椭圆的上下两个顶点，A 正确；当a 时，b<c<a ，此时圆与y 轴的交点在椭圆的外面，圆与x 轴的交点在椭圆里面，故椭圆与圆有4个交点，故B 正确；12PF F △的周长为121222PF PF F F a c ++=+，C 错误；12PF F △的面积最大值为122c b bc ⨯⨯=，取b c ==，此时面积等于22a ，D 错误.故选：AB12．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1B C 上运动，则下列说法正确的是（ ） A ．直线1BD ⊥平面1AB CB ．直线1C M 与平面11ACD C ．异面直线AM 与1A D 所成角的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．三棱锥11M AC D -的体积为定值 【答案】ABD【分析】根据空间点线面之间的关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A 选项，在正方体1111ABCD A B C D -中，如图AC BD ⊥，又1DD ⊥平面ABCD ，所以1DD ⊥AC ，所以AC ⊥平面1BDD ，所以1AC BD ⊥，同理11⊥AB BD ，所以直线1BD ⊥平面1AB C ，故A 正确；对选项B ，连接11,BC B C 交于点O ，连接11,A D AD 交于点1O ，根据对称性，当点M 位于点O 时，直线1C M 与平面11AC D 所成角最大为11O C M ∠，设正方体的边长为2，则11112,2,6O M C M OC ==此时116sin 6O C M ∠=，故B 正确；对C ，由1A D1B C ，异面直线AM 与1A D 所成角为直线AM 与1B C 所成角，故当M 在点O 处时所成角最大，此时1AM B C ⊥，所成角为2π，当M 在点C 或1B 处时，所成角最小为3π，故C 错误；对D ，因为11B C A D ，1B C ⊄平面11AC D ，所以1B C ∥平面11AC D ，又M ∈直线1B C ， 所以动点到平面11AC D 的距离恒定，故三棱锥11M AC D -的体积为定值，D 正确， 故选：ABD三、填空题13．经过点(2,3)P ，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程为_________． 【答案】320x y -=或280x y +-=【分析】分截距为零和截距不为零两种情况求解即可.【详解】设直线l 在y 轴上的截距为a ，则在x 轴上的截距为2a ． 当0a =时，直线l 过点(0,0)，又直线l 过点(2,3)P ，故直线l 的斜率303202l k -==-， 故直线l 的方程为30(0 ) 2y x -=-，即320x y -=； 当0a ≠时，直线l 的方程为12x ya a+=，即220x y a +-=， ∴直线l 过点(2,3)P ， ∴22320a +⨯-=， ∴4a =，∴直线l 的方程为280x y +-=．综上可知，直线l 的方程为320x y -=或280x y +-=． 故答案为：320x y -=或280x y +-=.14．设空间向量()1,2,a m =-，()2,,4b n =-，若b a λ=，则a b -=________． 【答案】9【分析】先利用空间向量共线的坐标表示列方程求出m 和n 的值，进而可得a b -的坐标，再由模长公式即可求解.【详解】因为空间向量()1,2,a m =-，()2,,4b n =-， 由b a λ=，即()()2,,41,2,m n λ--=， 可得224n m λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得：2m =，n =-4，所以()1,2,2a =-，()2,4,4b =--，则()3,6,6a b -=-，所以(3)9a b -=-=．故答案为：9．15．已知椭圆C ：2222x y a b+＝1，（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别F 1，F 2，M 为椭圆上异于长轴端点的一点，△MF 1F 2的内心为I ，直线MI 交x 轴于点E ，若||||MI IE ＝2，则椭圆C 的离心率是__．【答案】12【分析】根据已知条件利用内角平分线定理，结合合比定理得到12122MF MF F E EF +=+，然后根据椭圆的定义和离心率的定义求得离心率.【详解】解：△MF 1F 2的内心为I ，连接IF 1和IF 2，可得IF 1为∠MF 1F 2的平分线，即有12122MF MF MI F EF EIE===，即有1212222MF MF a c F E EF +==+,即有12c e a ==， 故答案为：12．四、双空题16．函数221x y --=________，最小值为________．【答案】 133-【分析】令0cos ，,πx θθ⎡⎤=∈⎣⎦，则23sin cos θy θ-=+，相当于过()3,2，()cos ,sin θθ-直线的斜率. 【详解】由题，得11x -≤≤，故设0cos ，,πx θθ⎡⎤=∈⎣⎦，则23sin cos θy θ-=+，相当于过A ()3,2，B ()cos ,sin θθ-直线的斜率.点B ()cos ,sin θθ-所对应图形为以原点为圆心，半径为1的在x 轴上侧的半圆， 如下图所示.如图，当πθ=，即点B 坐标为()1,0时，直线AB 斜率最大为20131-=-. 如图，当直线AB 与半圆相切时，直线AB 斜率最小设为k ， 则直线AB 方程为()32y k x =-+，因其与半圆相切，则其到圆心距离2231k d k -=+1=.解得33k -=33k +=1）. 故答案为：133-五、解答题17．ABC 中，内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且满足()2cos cos cos A c B b C a +=． （1）求A ；（2）若3a =，且向量()1,sin m B =与()2,sin n C =共线，求ABC 的周长 【答案】（1）60A =︒；（2）3+33【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式及诱导公式化简得到1cos 2A =，即可得解；（2）由向量共线的坐标表示得到2sin sin B C =，再利用正弦定理将角化边即可得到2b c =，再利用余弦定理求出b ，即可得解；【详解】解：（1）()2cos A ccos B bcosC a +=，()2cos A sinC cos B sin BcosC sin A ∴+=，()2cos Asin B C sin A ∴+=，2cos sin sin A A A ∴=，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，60A ∴=︒（2）因为()1,sin m B =与()2,sin n C =共线，2sin B sinC ∴=，所以2b c =由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即222942b b b =+-，即23b =，所以3,23b c ==∴周长为3+3318．2021年是中国共产党建党100周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史、悟思想、办实事、开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛．竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分．现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：[)72,76，[)76,80，[)80,84，[)84,88，[)88,92，[)92,96，[]96,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率． 【答案】（1）86；86分；（2）710. 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合众数和中位数的公式，即可计算；（2）首先根据频率可知在[)72,76中抽取2人，[)76,80中抽3人，再分别编号，列举所有的基本事件和满足条件的基本事件，即可计算概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得，1000名党员成绩的众数为8488862+=， 成绩在[)72,84的频率为()0.020.030.037540.35++⨯=， 成绩在[)72,88的频率为()0.020.030.03750.07540.65+++⨯=， 故中位数位于[)84,88之间，中位数是0.50.35844860.650.35-+⨯=-（分）．（2）∵[)72,76与[)76,80的党员人数的比值为2:3，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在[)72,76中抽取2人，[)76,80中抽3人， 设[)72,76抽取人的编号为1A ，2A ，[)76,80抽取人的编号为1B ，2B ，3B ， 则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,A A ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，()12,A A ，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率710P =． 19．已知方程()()()222321620m m x m m y m m --++-+-=∈R ．(1)若方程表示一条直线，求实数m 的取值范围； (2)若方程表示的直线的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数m 的值． 【答案】(1)m ∈R ，且1m ≠- (2)12m =(3)43m =【分析】(1)根据直线方程的特征列出方程，解之即可； (2)根据（1）直接得出结论；(3)根据直线的倾斜角与斜率之间的关系，列出方程，解之即可求解. 【详解】（1）当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令2230m m --=，解得1m =-，3m =； 令2210m m +-=，解得1m =-，12m =； ∴方程表示一条直线的条件是：m ∈R ，且1m ≠-． （2）由（1）易知，当12m =时，方程表示的直线的斜率不存在， 此时的方程为：43x =，它表示一条垂直于x 轴的直线． （3）∵直线l 的倾斜角是45°，∴其斜率为1，∴2223121m m m m ---=+-，解得43m =或1m =-（舍去）．∴直线l 的倾斜角是45°时，43m =．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，04,45AB AD CD CDA +==∠=.（1）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）设AB AP t ==，若直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，求线段AB 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）45.【分析】（1）利用线面垂直的性质定理得PA AD ⊥，再利用线面垂直及面面垂直的判定定理可证得结果；（2）以A 为原点，建立空间坐标系A xyz -，求出平面PCD 的法向量，利用空间向量求出线面夹角，得到关于t 的方程，求解即可.【详解】（1）证明：PA ⊥底面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，PA AD ∴⊥ 又AB AD ⊥，且PA AB A =，AD ∴⊥平面PAB ， 又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAB ⊥平面PAD ；（2）如图以A 为原点，以AB ，AD ，AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间坐标系A xyz -， 在底面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ，则CE AD ⊥， 在直角CDE 中，1DE CE ==设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ，由4AB AD +=，则4AD t =-，则()0,3,0E t -，()1,3,0C t -，()0,4,0D t -， 所以()0,4,PD t t =--，()1,1,0CD =-， (),0,PB t t =-设平面PCD 的法向量为(),,n x y z =，得()400n PD t y tz n CD x y ⎧⋅=--=⎨⋅=-+=⎩，取x t =，则(),,4t t n t =-故由直线PB 与平面PCD 所成角大小为30°，则有sin30cos ,n PB n PB n PB⋅==⋅，即()22222244122t t t t t t ++-=-2524160t t -+=，解得：45t =或4t =（舍去，因为40AD t =->），即45AB =.【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直，及线面角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ的法向量分别为,u v ，则①两直线,l m 所成的角为θ(02πθ<≤),cos a b a bθ⋅=；②直线l 与平面α所成的角为θ(02πθ≤≤),sin a u a uθ⋅=；③二面角l αβ--的大小为θ(0θπ≤≤),cos .u v u vθ⋅=21．已知椭圆2221(0)x y C a b a b +=>>：3()0,1B .（1）求椭圆C 的标准方程（2）设P ，Q 是椭圆上异于顶点的任意两点，且BP BQ ⊥，求证：直线PQ 恒过定点. 【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据离心率、B 点坐标求得,,a b c ，由此求得椭圆方程.（2）设出直线PQ 的方程，并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，结合BP BQ ⊥列方程，化简求得PQ 所过定点.【详解】（1）椭圆焦点在x 轴上，所以22231c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2,1,3a b c ===所以椭圆方程为2214x y +=.（2）依题意可知，直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()()1122,,,P x y Q x y ， 由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()222148440k x kmx m +++-=， 则2121222844,1414km m x x x x k k -+=-⋅=++①， ()()222264414440k m k m ∆=-+->，即22410k m -+>.因为BP BQ ⊥，且直线,BP BQ 的斜率均存在， 所以1212111y y x x --⋅=-，整理得()12121210x x y y y y +-++=②， 因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以()12122y y k x x m +=++，()22121212y y k x x mk x x m =+++，代入②整理得：()()()()2212121110k x xk m x x m ++-++-=，将①代入上式并化简得25230m m --=，解得35m =-或1m =（舍去），35m =-使22410k m -+>成立.所以直线PQ 恒过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.22．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所得的弦长(1)求圆M 方程；(2)若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；(3)若A ，B 两点在x 轴上移动，且4AB =，求ABC 面积的最小值． 【答案】(1)()2211x y +-=(2)2(3)163【分析】（1）由题意，设出圆心坐标，利用点到直线的距离以及垂径定理，建立方程，可得答案； （2）分直线斜率存在与不存在两种情况，利用切线的性质，圆心到切线的距离等于半径，建立方程，可得答案；（3）由题意，设出点,A B 的坐标，利用几何法表示出直线,AC BC 的斜率，写出直线方程，联立求点C 的坐标，点C 的纵坐标取最小值时，可得答案.【详解】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，0b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d = 又因为直线截圆M221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =， 则圆心到直线的距离0221d r =-=≠=，不成立， 当直线AC 和BC 的斜率存在时，设过点()2,4的直线方程为()42y k x -=-，即240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k =±（3）因为AB 4=，设(),0A t ，()()4,040B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t-=∠==---， 同理直线BC 的斜率为：()()222241411BCt t k t t--+==+--， 所以直线AC 的方程为：()221ty x t t =---， 直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+-，由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩，即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83，所以ABC 面积的最小值：18164233ABCS =⨯⨯=．。

襄阳五中2015—2018届高二年级10月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（ ） A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)(1,4]D ．(0,1)2．已知实数,x y 满足1,1,x y >>且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy 有 （ ） A ．最大值eBC ．最小值e D3. 某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.13 B. 34 C.23 D. 12 4．已知0,0x y >>，且23x y +=，则2y x +的最小值是 （ ） A ．1 B ．83 C． D ．35．如图，给出的是计算1+31 + 51 + … + 991 + 1011的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）A ．i ＜101？B ．i ＞101？C ．i≤101？D ．i≥101？6. 某商场为了了解毛衣的月销售量y （件）与月平均气温x （℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：由表中数据算出线性回归方程ˆˆy bx a =+中的2b =-，气象部门预测下个月的平均气温约为C 6，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ） A ．58件 B ．40件 C ．38件 D ．46件7. 设实数y x ,满足0102103≥-≥-≤-+⎪⎩⎪⎨⎧x x y y x , 则 y x x y u -=的取值范围为（ ） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,32 C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,32 D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-23,23 8．在平面直角坐标系中，过动点P 分别作圆0964:221=+--+y x y x C 与圆:2C 012222=++++y x y x 的切线),(为切点与B A PB PA ，若PB PA =，若O 为原点,则OP 的最小值为（ ） A ．2 B ．54 C ．53D ．59．如图是某个四面体的三视图，若在该四面体的外接球内任取一点，则点落在四面体内的概率为（ ）A ．π139B ．π131C ．π16913D ．π16913910．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ） A ．(4,16) B ．(0,12) C ．(9,21) D ．(15,25)11. 已知三棱锥S —A BC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）A．6 B ．6 C ．3 D．212．已知函数1,()0,x f x x ⎧=⎨⎩为有理数为无理数,给出下列三个命题:①函数()f x 为偶函数;②函数()f x 是周期函数; ③存在(1,2,3)i x i =,使得(,())i i x f x 为顶点的三角形是等边三角形.其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B.1 C.2D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上）13. 如下图，若由不等式组⎩⎨⎧x≤my＋nx －3y≥0y≥0（n>0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x 轴上，则实数m ＝__________.14. 设 x 、y 均为正实数，且33122x y+=++，以点),(y x 为圆心,xy R =为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为15. 已知变量,a R θ∈，则22(2cos )(2sin )a a θθ-+--的最小值为 ．16. 我国齐梁时代的数学家祖暅（公元前56-世纪）提出了一条原理“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等．设由曲线24x y =和直线4x =，0y =所围成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为1Г；由同时满足0x ≥，2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 构成的平面图形，绕y 轴旋转一周所得到的旋转体为AB C D2Г，根据祖暅原理等知识，通过考察2Г可以得到1Г的体积为 ．三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 如图, 在平面四边形ABCD 中,1,2,AD CD AC ==.（1）求cos CAD ∠的值; （2）若cos 14BAD ∠=-,sin 6CBA ∠=,求BC 的长.18. 某中学高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图（图1）和频率分布直方图（图2）都受到不同程度的破坏，可见部分如图所示，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数； （2）计算频率分布直方图中[80，90）的矩形的高；（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．19. 在平面直角坐标系xOy 中,点)3,0(A ,直线42:-=x y l ,设圆C 的半径为1,圆心在直线l 上.（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.20．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，AB ＝4，PA ＝3，A 点在PD 上的射影为G 点，E 点在AB 上，平面PEC ⊥平面PCD . （1）求证：AG ∥平面PEC ； （2）求AE 的长；（3）求二面角E －PC －A 的正弦值．21. 已知圆x 2+y 2-2ax-6ay+10a 2-4a=0（0<a 4）的圆心为C,直线L ： y=x+m.（1）若a=2,求直线L 被圆C 所截得的弦长AB 的最大值； （2）若m=2,求直线L 被圆C 所截得的弦长AB 的最大值；（3）若直线L 是圆C 下方的切线，当a 变化时，求实数m 的取值范围。