北京市朝阳区2015届高三保温练习(二)数学理试题

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学试卷答案（理工类）2015.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在ACDD中, 因为cos14CAD?，所以sin14CAD?,由正弦定理得，sin sinAC CDADC CAD=行,即2sinsin14CD ADCACCAD´仔===Ð……………………………………6分（Ⅱ）在ACDD中, 由余弦定理得，22422cos120AC AD AD=+-⨯⨯o，整理得22240AD AD+-=，解得4AD=(舍负).过点D作DE AB⊥于E,则DE为梯形ABCD的高.因为AB P CD，120ADC?o，所以60BAD?o.在直角ADED中，sin60DE AD==o即梯形ABCD的高为……………………………………………………13分（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由题意可得：4分（Ⅱ）记事件M ：被抽取的,,A B C 三种答卷中分别再各任取1份，这3份答卷恰有1份得优，可知只能C 题答卷为优.依题意131()1355P M =⨯⨯=．………………………………………………8分 （Ⅲ）由题意可知，B 题答卷得优的概率是13．显然被抽取的B 题的答卷中得优的份数X的可能取值为0,1,2,3,4,5，且X :1(5,)3B ．00551232(0)()()33243P X C ===；11451280(1)()()33243P X C ===； 22351280(2)()()33243P X C ===；33251240(3)()()33243P X C ===；44151210(4)()()33243P X C ===；5505121(5)()()33243P X C ===． 随机变量X 的分布列为所以0123452432432432432432433EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………………………………………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知得90FAB ∠=︒，所以FA AB ⊥，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF I 平面ABCD AB =，所以FA⊥平面ABCD ，由于BC ⊂平面ABCD ，所以FA BC ⊥．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知FA ⊥平面ABCD ，所以,FA AB FA AD ⊥⊥， 由已知DA AB ⊥，所以,,AD AB AF 两两垂直．以A 为原点建立空间直角坐标系（如图）． 因为112AD DC AB ===， 则(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,1,1)B C D E ，所以(1,1,0),(0,1,1)BC BE =-=-u u u r u u u r，设平面BCE 的一个法向量为()x,y,z n =．所以0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n即0,0.x y y z -=⎧⎨-+=⎩令1x =，则(1,1,1)n =．设直线BD 和平面BCE 所成角为θ，因为(1,2,0)BD =-u u u r，所以sin cos ,BD BD BDθ⋅=〈〉===⋅u u u r u u u r u u u r n n n .所以直线BD 和平面BCE 9分 (Ⅲ)在A 为原点的空间直角坐标系A xyz -中，AD HC BENM(0,0,0)A ,(1,0,0)D ,(0,0,1)F ，(0,2,0)B ，H 1(,1,0)2.设()01DM k k DF =<?， 即DM k DF =uuu u r uuu r .(),0,DM k k =-uuu u r,则(1,0,)M k k -， 1(,1,)2MH k k =--uuu r ，(1,0,1)FD =-u u u r .若FD ^平面MNH ，则FD MH ^.即0FD MH ?uu u r uuu r. 102k k -+=,解得14k =. 则11(,1,)44MH =--uuu r,4MH =uuur .…………………………………………………14分（18）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）椭圆C 的方程可化为22143x y +=，则2a =，b =，1c =． 故离心率为12，焦点坐标为(1,0),(1,0)-． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意，直线AB 斜率存在.可设直线AB 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11y kx m =+，22y kx m =+．由22,3412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(34)84120k x kmx m +++-=. 判别式2222=644(34)(412)k m k m D -+-=2248(43)0k m -+>. 所以122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+，因为直线MA 与直线MB 斜率之积为14， 所以12121224y y x x ⋅=--， 所以12124()()(2)(2)kx m kx m x x ++=--．化简得221212(41)(42)()440k x x km x x m -++++-=， 所以22222412(8)(41)(42)4403434m km k km m k k---+++-=++，化简得22280m km k --=，即4m k =或2m k =-.当4m k =时，直线AB 方程为(4)y k x =+，过定点(4,0)-．4m k =代入判别式大于零中，解得1122k -<<. 当2m k =-时，直线AB 方程为(2)y k x =-，过定点(2,0)M ，不符合题意舍去．故直线AB 过定点(4,0)-．………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）当0a =时，2()e x f x x =，2()e (2)x f x x x '=+．由2e (2)0x x x +=，解得0x =，2x =-. 当(,2)x ∈-∞-时，f '(x )＞0，f (x )单调递增； 当(2,0)x ∈-时，f '(x )＜0，f (x )单调递减；当(0,)x ∈+∞时，f '(x )＞0，f (x )单调递增．所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，(0,)+∞，单调减区间为(2,0)-．…………4分 （Ⅱ）依题意即求使函数2()e ()xf x x a =-在()1,2上不为单调函数的a 的取值范围.2()e (2)x f x x x a '=+-.设2()2g x x x a =+-，则(1)3g a =-，(2)8g a =-.因为函数()g x 在()1,2上为增函数，当(1)30(2)80g a g a ì=-<ïïíï=->ïî，即当38a <<时，函数()g x 在()1,2上有且只有一个零点，设为0x .当0(1,)x x Î时，()0g x <，即()0f x ¢<，()f x 为减函数； 当0(,2)x x Î时，()0g x >，即()0f x ¢>，()f x 为增函数，满足在()1,2上不为单调函数.当3a £时，(1)0g ³，(2)0g >，所以在()1,2上()g x 0>成立（因()g x 在()1,2上为增函数），所以在()1,2上()0f x '>成立，即()f x 在()1,2上为增函数，不合题意. 同理8a ³时，可判断()f x 在()1,2上为减函数，不合题意.综上38a <<. …………………………………………………………9分(Ⅲ) 2()e (2)x f x x x a '=+-．因为函数()f x 有两个不同的极值点，即()f x ¢有两个不同的零点，即方程220x x a +-=的判别式440a ∆=+>，解得1a >-.由220x x a +-=，解得1211x x =-=- 此时122x x +=-，12x x a =-. 随着x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：所以1x 是函数()f x 的极大值点，2x 是函数()f x 的极小值点.所以1()f x 为极大值，2()f x 为极小值．所以12221212()()e ()e ()xxf x f x x a x a =-⨯-因为1a >-，所以224e4e a ---<．所以212()()4e f x f x -<．……………………………………………………………… 14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）满足条件的数列有两个：3，1，4，2，5；与2，4，1，3，5．…… 3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知数列5A ：2，4，1，3，5满足55=a ，把其各项分别加5后，所得各数依次排在后，因为65||2a a -=，所得数列10A 显然满足12--=k k a a 或3，{}2,3,,10k ∈L ，即得H 数列10A ：2，4，1，3，5，7，9，6，8，10．其中10,5105==a a ．如此下去，即可得一个满足)403,,2,1(55Λ==k k a k 的H 数列2015A 为{}121222222121222221212122222=e [()]=e [()2]=e [(42]=4e .x x x x x x a x x a x x a x x x x a a a a a a ）++---++-+-+-++-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--=--=+-=+=kn n k n n k n n k n n k n n a n 5,15,125,235,245,1，（其中)403,,3,2,1Λ=k （写出此通项也可以：2,541,531,522,51,5n n n k n n k a n n k n n k n n k+=-⎧-=-⎪⎪=+=-⎨-=-⎪=⎪⎩（其中)403,,3,2,1Λ=k ）…… 8分（Ⅲ）不妨设0d >．(1)若6d ≥，则20154031402140262413a b b d ==+≥+⨯=，与20152015≤a 矛盾．(2)若14d ≤≤．（i ）若1001≤b ，则1(1)10040241708k b b k d =+-≤+⨯=，403.,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设052015l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈. 于是000000555515(1)5||||||312.l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|2015|12l a -≤，可得2003005≥=l l a b ，与17080≤l b 矛盾． （ii ）若1011≥b ，则1011≥≥b b k ，403,,2,1⋅⋅⋅=k ． 不妨设051l i a -=，其中0{1,2,,403},{1,2,3,4}l i ∈⋅⋅⋅∈． 于是000000555515(1)5||||||312l l i l l l i l i a a a a a a i ------≤-+⋅⋅⋅+-≤≤ 即05|1|12l a -≤，可得13005≤=l l a b ，与1010≥l b 矛盾．因为d 为整数，所以综上可得5d =.由（Ⅱ）可知存在使55k k b a k ==（其中403,,2,1⋅⋅⋅=k ）的H 数列2015A ． 把上述H 数列2015A 倒序排列，即有5d =-．所以5d =或5-. …… 13分。

文科保温练习一（文史类）（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}10A x x =->，{}21xB x =>，则A B =I （ ）A ．∅B ．{}01x x <<C ．{}0x x <D ．{}1x x > 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，63=S ，则10a 的值为（ ） A ．1 B ．3 C ．10 D ．55 3.若01x y <<<，则下列不等式正确的是（ ）A ．44y x< B ．33>x yC ．44log log x y <D ．11()()44x y <4.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为( )A ．91B ． 55C ．54D ．305.已知点)1,1(-A ，)2,1(B ，)1,2(--C ，)4,3(D ，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A ．2153-B ． 2153C ． 223-D ． 223 6.设0x 是方程x x -=4ln 的解，则0x 属于区间（ ）A ．)1,0(B ．)2,1(C ．)3,2(D ．)4,3(7． 为了缓解城市拥堵，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准（见下表）.如果小王某次停车3小时，缴费24元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 A.一类 B.二类 C.三类 D.无法判断 8．在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，若点P 是其棱上一点，则满足'2PA PC +=的点P 的个数为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．12二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9．已知复数z 满足12i12i z+=-，则复数z =_____________． 10．已知双曲线14222=-y ax 的渐近线方程为3y x =±，则此双曲线的离心率为_______． 11．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图有半径为2的四分之一个圆弧，则该几何体的体积为 ．A'B'C'D'A BCD12．在ABC ∆中，3π=A ，2=AB ，且ABC ∆的面积为23，则边BC 的长为__________． 13．当实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥02,,0k y x x y x (k 为常数)时，y x z 3+=有最大值12，则实数k 的值是__________．14. 有排列成一行的四户人家．已知： 小王家在小李家的隔壁,小王家与小张家并不相邻.如果小张家与小赵家也不相邻，那么， 小赵家的隔壁是 家.三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15．（本题满分13分）设公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知328,48a S ==. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足24log n n b a =()n ∈*N ，试求数列{}nb 前n 项和nT 的最大值.16．（本题满分13分）设函数()cos(2)6f x x π=+sin 2x +.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设A ，B ，C 为∆ABC 的三个内角，若AB =1，sin B =31， 3()22C f =，求AC 的长.17．（本小题满分13分）某市为增强市民的环境保护意识,征召义 务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[)20,25， 第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第5组[]40,45，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，该市决定从3，4组抽取的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，AE DE ⊥，CD ⊥平面ADE , AB ⊥平面ADE ，6CD DA ==，2AB =，3DE =.（Ⅰ）求棱锥C ADE -的体积； （Ⅱ）求证：平面ACE ⊥平面CDE ；（Ⅲ）在线段DE 上是否存在一点F ,使//AF 平面BCE ？若存在,求出EF ED的值；若不存在，说明理由.19．（本小题满分13分）在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ+u u u r u u u r与AB u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间2[,]a a 上的最大值．文科保温练习一答案二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 三、解答题：本大题共6小题，共80分．15. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q (0)q >，则有211181248a q q a a q ⎧=⇒=⎨+=⎩或13q =-（舍） ------------------3分.则12832a q ==，16132()22n n n a --=⋅=. ---------------------------------------6分 （Ⅱ）6224log 4log 2424nn n b a n -===-+，---------------------------------------------9分22(20244)111212222()222n n n T n n n +-==-+=--+-----------------------11分所以当5n =或6n =时数列{}n b 前n 项和n T 的最大值为60. -----------------13分 16. (本小题满分13分)解：()cos(2)6f x x π=+sin 2x +=π1πcos 2cossin 2sinsin 2cos 2sin 2sin(2)66223x x x x x x π-+=+=+......3分 （Ⅰ）令πππ2π22π,232k x k k Z -≤+≤+∈，则5ππππ,1212k x k k -≤≤+∈Z . 所以函数的单调递增区间为5ππ[π,π]().1212k k k -+∈Z .............6分（Ⅱ）由已知π()sin()232Cf C +==， …………………………….8分 因为ππ4π0π,333C C <<∴<+< 所以π2π33C +=，π3C =，所以sin C=2. ……………………10分在∆ABC 中，由正弦定理，sin sin AC AB B C =，得1sin sin 2AB B AC C ⋅===. …..13分. 17. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由频率直方图可知：第3组的人数为0.06510030⨯⨯= 第4组的人数为0.04510020⨯⨯= 第5的人数为0.02510010⨯⨯=所以用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组：306360⨯= 第4组：206260⨯= 第5组：106160⨯= 所以应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人 ……6分 （Ⅱ）记第3组的3名志愿者为123,,,A A A 第4组的2名志愿者为12,,B B 则5名志愿者中抽取的2名志愿者有：12(,),A A 13(,)A A ，11(,)A B ，12(,)A B ，23(,)A A ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共10种其中第4组的2名志愿者为12,,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：11(,)A B ，12(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，12(,)B B 共有7种所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为710. ………….13分. 18. （本小题满分14分） （Ⅰ）解：在Rt ΔADE中，AE ==. ………………1分因为CD ⊥平面ADE ，所以棱锥C ADE -的体积为Δ11332C ADE ADE AE DEV S CD CD -⋅==⋅⋅=⋅ ………………4分 （Ⅱ）证明：因为 CD ⊥平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，所以CD AE ⊥. ………………5分 又因为AE DE ⊥，CD DE D =I ,所以AE ⊥平面CDE . ………………7分 又因为AE ⊂平面ACE ，所以平面ACE ⊥平面CDE . …………………8分（Ⅲ）结论：在线段DE 上存在一点F ,且13EFED =，使//AF 平面BCE . ……………9分 解：设F 为线段DE 上一点, 且13EF ED =， …………10分过点F 作//FM CD 交CE 于M ，则1=3FM CD .因为CD ⊥平面ADE ,AB ⊥平面ADE ， 所以//CD AB . 又因为3CD AB =所以MF AB =，//FM AB ,所以四边形ABM F 是平行四边形，则//AF BM . ……………12分 又因为AF ⊄平面BCE ，BM ⊂平面BCE ，所以//AF 平面BCE . ……………14分19. （本小题满分13分）解（Ⅰ）过点(0且斜率为k 的直线l方程为：y kx =+ABCED F M由2212y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 得22(12)20k x +++= ------------------------------2分22)8(12)0k ∆=-+> ------------------------------3分 即 212k >，即22k k ><------------------------------4分 所以 k的取值范围为(,()22-∞-+∞U ------------------------------5分（Ⅱ）由题意知，(0,1)A B，则(AB =u u u r-----------------------------6分设 11(,)P x y 22(,)Q x y由（Ⅰ）知，12212x x k+=-+ ------------------------------7分2121222()1212y y k x x k k +=++=-+=++ ---------------------8分121222(,)(,)1212OP OQ x x y y k k∴+=++=-++u u u r u u u r ------------------------------9分 若OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r共线，则= ------------------------------10分2k ∴=------------------------------11分这与(,)22k ∈-∞-+∞U 矛盾，故k 不存在．------------------------------13分 20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2()ln (2)f x x ax a x =-+-，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞． ……………………1分且1()2(2)f x ax a x'=-+-． ……………………2分 因为()f x 在1x =处取得极值， 所以()()11220f a a '=-+-=．解得1a =-． ……………………3分当1a =-时，1(21)(1)()23x x f x x x x--'=+-=， 当102x <<时，()0f x '>；当112x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>．所以1x =是函数()y f x =的极小值点．故1a =-．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）因为2a a <，所以01a <<．………………………………………………………………5分由（1）知(21)(1)()x ax f x x-+'=-．因为(0,)x ∈+∞，所以10ax +>．当102x <<时，()0f x '>；当12x >时，()0f x '<．所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减．………………7分①当102a <≤时，()f x 在2[,]a a 上单调递增，所以[]32max ()()ln 2f x f a a a a a ==-+-．……………………………………9分②当21,21.2a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩即12a <<()f x 在21,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以[]max 12()ln 21ln 22424a a a f x f -⎛⎫==--+=-- ⎪⎝⎭．………………………11分③当212a ≤，即12a ≤<时，()f x 在2[,]a a 上单调递减， 所以[]2532max ()()2ln 2f x f a a a a a ==-+-．…………………………………13分综上所述：当102a <≤时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是32ln 2a a a a -+-；当12a <<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是1ln 24a --；当12a ≤<时，函数()f x 在2[,]a a 上的最大值是5322ln 2a a a a -+-．…………14分。

北京市朝阳区2015-2016学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2016．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|11M x x =-<<M N = A ．{}|01x x ≤< B ．{|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤2．复数i(1i)z =+（i 是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为A ．(1,1)B ．(1,1)--C ．(1,1)-D ． (1,1)-3．执行如图所示的程序框图，则输出的i 值为A ．3B ．4C ．5D ．6第3题图4．在一段时间内有2000辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200辆进行车速统计，统计结果如下面的频率分布直方图所示．若该处高速公路规定正常行驶速度为90km/h ～km/h ）频率120km/h ，试估计2000辆车中，在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有 A ．30辆 B ．300辆 C ．170辆 D ．1700辆第4题图5．“1a >”是“函数()cos f x a x x =⋅+在R 上单调递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6． 已知点)0,22(Q 及抛物线24x y =上一动点(,)P x y ，则y PQ +的最小值是A ．12B ．1C ． 2D ． 3 7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是A ．27B ．30C ．32D ．36第7题图8．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()f x x a a =--（a ∈R ）．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是A ．0a >B ．5a <C ．10a< D ．20a <第二部分（非选择题 共110分）侧视图俯视图二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．函数2sin(2)16y x π=++的最小正周期是 ，最小值是 ．10．若x ，y 满足约束条件2211x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩≤，≥，≤，则z x y =+的最大值为 ．11．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若22a =，则132a a +的最小值是 ． 12．甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为 ．13．已知B A ,为圆9)()(:22=-+-n y m x C (,m n ∈R )上两个不同的点（C 为圆心），且满足||CA CB +=，则=AB ．14．已知点O 在ABC ∆的内部，且有xOA yOB zOC ++=0，记,,AOB BOC AOC ∆∆∆的面积分别为AOB BOC AOC S S S ∆∆∆，，．若1x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ；若2,3,4x y z ===，则::AOB BOC AOC S S S ∆∆∆= ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 16．（本小题满分13分）如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,42CAD AC π∠==，cos 10ADB ∠=-． （Ⅰ）求sin C ∠的值；（Ⅱ）若5,BD =求ABD ∆的面积．17．（本小题满分13分）ADBC如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒．点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （Ⅰ）求证：AB ∥EF ；（Ⅱ）若PA PD AD ==，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求平面PAF 与平面AFE 所成的锐二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）已知函数()ln f x ax x =+,其中a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在区间[1,2]上为增函数，求a 的取值范 围；（Ⅱ）当e a =-时，（ⅰ）证明：()20f x +≤；19．（本小题满分14分）已知圆:O 221x y +=的切线l 与椭圆:C 2234x y +=相交于A ，B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）求证：OA OB ⊥； （Ⅲ）求OAB ∆面积的最大值.20．（本小题满分13分）已知有穷数列：*123,,,,(,3)k a a a a k k ∈≥N 的各项均为正数，且满足条件： ①1k a a =；②11212(1,2,3,,1)n n n n a a n k a a +++=+=- ． （Ⅰ）若13,2k a ==，求出这个数列； （Ⅱ）若4k =，求1a 的所有取值的集合； （Ⅲ）若k 是偶数，求1a 的最大值（用k 表示）．北京市朝阳区2015-2016学年度第一学期期末高三年级统一考试数学答案（理工类） 2016．1一、选择题：（满分40分）二、填空题：（满分30分）（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（满分80分） 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． …………………………13分 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为cos 10ADB ∠=-，所以sin 10ADB ∠=又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-．所以sin sin()sin cos cos sin 444C ADB ADB ADB πππ∠=∠-=∠⋅-∠⋅45=+=．………………………7分 （Ⅱ）在ACD ∆中，由ADCACC AD ∠=∠sin sin，得74sin sin AC C AD ADC ⋅⋅∠===∠．所以11sin 572210ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⋅⋅=． …………13分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：因为底面ABCD 是菱形，所以AB ∥CD ． 又因为AB ⊄面PCD ，CD ⊂面PCD ，所以AB ∥面PCD ． 又因为,,,A B E F 四点共面，且平面ABEF 平面PCD EF =， 所以AB ∥EF ． ………………………5分 （Ⅱ）取AD 中点G ，连接,PG GB ．因为PA PD =，所以PG AD ⊥． 又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PG ⊥平面ABCD ．所以PG GB ⊥． 在菱形ABCD 中，因为AB AD =， 60DAB ∠=︒，G 是AD 中点， 所以AD GB ⊥．如图，建立空间直角坐标系G xyz -．设2PA PD AD a ===， 则(0,0,0),(,0,0)G A a ，,0),(2,0),(,0,0),)B C a D a P --．又因为AB ∥EF ，点E 是棱PC 中点，所以点F 是棱PD 中点．所以(E a -，(,0,)22a F -．所以3()22a AF =-，(,,0)22a EF =- ．设平面AFE 的法向量为(,,)x y z =n ，则有0,0.AF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以,.z y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩令3x =，则平面AFE的一个法向量为=n ．因为BG ⊥平面PAD，所以,0)GB =是平面PAF 的一个法向量．因为cos ,GB <GB >GB⋅===⋅n n n所以平面PAF 与平面AFE． ……………………13分 18．（本小题满分14分）解：函数()f x 定义域),0(+∞∈x ，1()f x a x'=+．（Ⅰ）因为()f x 在区间[1,2]上为增函数，所以()0f x '≥在[1,2]x ∈上恒成立， 即1()0f x a x '=+≥，1a x≥-在[1,2]x ∈上恒成立， 则1.2a ≥- ………………………………………………………4分（Ⅱ）当e a =-时，() e ln f x x x =-+,e 1()x f x x-+'=． （ⅰ）令0)(='x f ，得1ex =．令()0f x '>,得1(0,)e x ∈，所以函数)(x f 在1(0,)e 单调递增．令()0f x '<,得1(,)e x ∈+∞，所以函数)(x f 在1(,)e +∞单调递减．所以，max 111()()e ln 2e e ef x f ==-⋅+=-．所以()20f x +≤成立． …………………………………………………9分 （ⅱ）由（ⅰ）知， max ()2f x =-， 所以2|)(|≥x f ． 设ln 3(),(0,).2x g x x x =+∈+∞所以2ln 1)(xx x g -='． 令0)(='x g ，得e x =．令()0g x '>,得(0,e)x ∈，所以函数)(x g 在(0,e)单调递增， 令()0g x '<,得(e,)x ∈+∞，所以函数)(x g 在(e,)+∞单调递减；所以，max lne 313()(e)2e 2e 2g x g ==+=+<， 即2)(<x g ． 所以)(|)(|x g x f > ，即>|)(|x f ln 32x x +． 所以，方程=|)(|x f ln 32x x +没有实数解． ……………………………14分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意可知24a =，243b =，所以22283c a b =-=．所以c e a ==．所以椭圆C…………………………3分 （Ⅱ）若切线l 的斜率不存在，则:1l x =±．在223144x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设(1,1),(1,1)A B -，则110OA OB ⋅=-=．所以OA OB ⊥．同理，当:1l x =-时，也有OA OB ⊥． 若切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得222(31)6340k x kmx m +++-=．显然0∆>． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++.所以1212OA OB x x y y ⋅=+221212(1)()k x x km x x m =++++22222346(1)3131m kmk km m k k -=+-+++2222222(1)(34)6(31)31k m k m k m k +--++=+22244431m k k --=+ 2224(1)44031k k k +--==+．所以OA OB ⊥．综上所述，总有OA OB ⊥成立． ………………………………………………9分（Ⅲ）因为直线AB 与圆O 相切，则圆O 半径即为OAB ∆的高， 当l 的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知2AB =．则1OAB S ∆=.当l 的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，AB ====== 所以2242222242424(1)(91)4(9101)44(1)(31)961961k k k k k AB k k k k k ++++===++++++24222164164164419613396k k k k k=+⋅=+≤+=++++（当且仅当k =时，等号成立）．所以AB ≤．此时, max (S )OAB ∆=.综上所述，当且仅当3k =±时，OAB ∆面积的最大值为3．…………………14分 20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为13,2k a ==，由①知32a =； 由②知，21211223a a a a +=+=，整理得，2222310a a -+=．解得，21a =或212a =．当21a =时，不满足2323212a a a a +=+，舍去； 所以，这个数列为12,,22． …………………………………………………3分（Ⅱ）若4k =，由①知4a =1a ． 因为11212(1,2,3)n n n n a a n a a +++=+=，所以111(2)(1)0n n n n a a a a ++--=． 所以112n n a a +=或11(1,2,3)n na n a +==． 如果由1a 计算4a 没有用到或者恰用了2次11n na a +=，显然不满足条件； 所以由1a 计算4a 只能恰好1次或者3次用到11n na a +=，共有下面4种情况： （1）若211a a =，3212a a =，4312a a =，则41114a a a ==，解得112a =；（2）若2112a a =，321a a =，4312a a =，则4111a a a ==，解得11a =；（3）若2112a a =，3212a a =，431a a =，则4114a a a ==，解得12a =；（4）若211a a =，321a a =，431a a =，则4111a a a ==，解得11a =； 综上，1a 的所有取值的集合为1{,1,2}2． ………………………………………………8分 （Ⅲ）依题意，设*2,,m 2k m m =∈≥N．由（II ）知，112n n a a +=或11(1,2,3,21)n na n m a +==- ． 假设从1a 到2m a 恰用了i 次递推关系11n na a +=，用了21m i --次递推关系112n n a a +=，则有(1)211()2itm a a -=⋅，其中21,t m i t ≤--∈Z ．当i 是偶数时，0t ≠，2111()2tm a a a =⋅=无正数解，不满足条件；当i 是奇数时，由12111(),21222t m a a a t m i m -=⋅=≤--≤-得22211()22t m a -=≤，所以112m a -≤．11 又当1i =时，若213221222211111,,,,222m m m m a a a a a a a a ---==== ， 有222111()2m m a a --=⋅，222112m m a a a -==，即112m a -=． 所以，1a 的最大值是12m -．即1212k a -=．…………………………………13分。

北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学试卷（理工类） 2015．1（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设i 为虚数单位，则复数1iiz +=在复平面内对应的点所在的象限是 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2. 过抛物线24y x =的焦点F 的直线l 交抛物线于,A B 两点．若AB 中点M 到抛物线准线的距离为6，则线段AB 的长为A ．6B ．9C ．12D ．无法确定 3．设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是 A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到 D ．函数()f x 在区间(,)2ππ-12上是增函数4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的全面积是A ． 4+B ．8C ． 4+D ．5．αβ，表示不重合的两个平面，m ，l 表示不重合的两条直线．若m αβ=，l α⊄，l β⊄，则“l ∥m ”是“l ∥α且l ∥β”的A ．充分且不必要条件B ．必要且不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．在ABC ∆中，π4B =，则sin sin A C ⋅的最大值是A ．14 B ．34 C ．2D ．24+7．点O 在ABC ∆的内部，且满足24OA OB OC ++=0，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积之比是A ．72 B ． 3 C ．52D ．2 8.设连续正整数的集合{}1,2,3,...,238I =，若T 是I 的子集且满足条件：当x T ∈时，7x T ∉，则集合T 中元素的个数最多是（ ）A.204B. 207C. 208D.209第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．9．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin(π)α-的值是 ．10．双曲线22:C x y λ-=（0λ>）的离心率是 ；渐近线方程是 ．11．设不等式组240,0,0x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一点P ，则点P 落在圆221x y +=内的概率为 ．12．有一口大钟每到整点就自动以响铃的方式报时，1点响1声，2点响2声，3点响3声，……，12点响12声（12时制），且每次报时时相邻两次响铃之间的间隔均为1秒．在一次大钟报时时，某人从第一声铃响开始计时，如果此次是12点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间；如果此次是11点的报时，则此人至少需等待 秒才能确定时间．13．在锐角AOB 的边OA 上有异于顶点O 的6个点，边OB 上有异于顶点O 的4个点，加上点O ，以这11个点为顶点共可以组成 个三角形（用数字作答）．14．已知函数1sin π()()ππx xxf x x -=∈+R ．下列命题： ①函数()f x 既有最大值又有最小值； ②函数()f x 的图象是轴对称图形；③函数()f x 在区间[π,π]-上共有7个零点； ④函数()f x 在区间(0,1)上单调递增．其中真命题是 ．（填写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在20~80岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在[20,40)岁的人为“青年人”，[40,60)为“中年人”， [60,80]为“老年人”.（Ⅰ）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（Ⅱ）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率．从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．1 6．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PAB ⊥底面ABCD ， PA AB =，点E 是PB 的中点，点F 在边BC 上移动．（Ⅰ）若F 为BC 中点，求证：EF //平面PAC ； （Ⅱ）求证：AE PF ⊥；（Ⅲ）若PB =，二面角E AF B --，试判断点F 在边BC 上的位置，并说明理由.DPCBFAE0.0217．（本小题满分13分）若有穷数列1a ，2a ，3,,m a a （m 是正整数）满足条件：1(1,2,3,,)i m i a a i m -+==，则称其为“对称数列”．例如，1,2,3,2,1和1,2,3,3,2,1都是“对称数列”． （Ⅰ）若}{n b 是25项的“对称数列”，且,13b ,14b 15,b ，25b 是首项为1，公比为2的等比数列．求}{n b 的所有项和S ；（Ⅱ）若}{n c 是50项的“对称数列”，且,26c ,27c 28,c ，50c 是首项为1，公差为2的等差数列．求}{n c 的前n 项和n S ，150,n n *≤≤∈N .18．（本小题满分13分）设函数2e (),1axf x a x =∈+R ． （Ⅰ）当35a =时,求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）设()g x 为()f x 的导函数，当1[,2e]ex ∈时，函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方，求a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点．过椭圆右顶点A 的两条斜率乘积为14-的直线分别交椭圆C 于,M N 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线MN 是否过定点D ？若过定点D ，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．20．（本小题满分13分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x ∈R ,且123x x x <<．（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，求实数m 的值； （Ⅱ）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （Ⅲ）若方程()0f x '=的两个实数根是,αβ()αβ<，试比较122x x +与,αβ的大小并说明理由．北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试数学答案（理工类） 2015．1一、选择题（满分40分）三、解答题（满分80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意估算，所调查的600人的平均年龄为：250.1350.2450.3550.2650.1750.148⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）….…..4分（Ⅱ）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为15. 所以从该城市20~80年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为15. 依题意，X 的可能取值为0,1,2,3.00331464(0)()()55125P X C === 1231448(1)()()55125P X C ===2231412(2)()()55125P X C ===3303141(3)()()55125P X C === 所以，随机变量X 的分布列如下表：因此，随机变量X 的数学期望64481213()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………..13分 16. （本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在PBC ∆中，因为点E 是PB 中点，点F 是BC 中点，所以EF //PC ．又因为EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， 所以EF //平面PAC ．………..4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 是正方形，所以BC AB ⊥． 又因为侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB平面ABCD =AB ，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面PAB ．由于AE ⊂平面PAB ，所以BC AE ⊥． 由已知PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥． 又因为=PBBC B ，所以AE ⊥平面PBC .因为PF ⊂平面PBC ，所以AE PF ⊥．……………..9分 （Ⅲ）点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．因为PA AB =，PB =，所以PA AB ⊥．由（Ⅱ）可知，BC ⊥平面PAB .又BC //AD ,所以AD ⊥平面PAB ，即AD PA ⊥，AD AB ⊥ . 所以AD ，AB ，AP 两两垂直．分别以AD ，AB ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设2AB =，BF m =，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,2)P ，(0,1,1)E ，(,2,0)F m .于是(0,1,1)AE =，(,2,0)AF m =. 设平面AEF 的一个法向量为(,,)p q r =n ，由0,0,AE AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 20.q r mp q +=⎧⎨+=⎩ 取2p =，则q m =-，r m =，得 (2,,)m m =-n ．由于AP AB ⊥，AP AD ⊥,AB AD A =,所以AP ⊥平面ABCD .即平面ABF 的一个法向量为(0,0,2)AP =．根据题意，||||4AP AP ⋅==⋅n n ，解得23m =．由于2BC AB ==，所以13BF BC =. 即点F 为边BC 上靠近B 点的三等分点．………..14分 17.（本小题满分13分）（Ⅰ）依题意，131,b =142b =，…，1212251322b b =⋅=. 则121252b b ==，112242b b ==，…，12142b b ==.则()12121212121()22 (121112)S b b b ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦=++++=⨯+-1423=- ……………..6分 （Ⅱ）依题意，502624249c c =+⨯=，因为}{n c 是50项的“对称数列”，所以15049,c c ==24947,c c ==…， 2526 1.c c == 所以当125n ≤≤时，250n S n n =-+；当2650n ≤≤时，251(25)(25)(26)22n S S n n n =+-+⨯--⨯， n S =1250502+-n n . 综上，22501255012502650,.n n nn n S n n n n **⎧-+≤≤∈⎪=⎨-+≤≤∈⎪⎩N N ，， ……………..13分18. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：当35a =时，32522e (3103)()5(1)xx x f x x -+'=+． 由()0f x '>得231030x x -+>，解得13x <或3x >；由()0f x '<得231030x x -+<，解得133x <<． 所以函数)(x f 的单调增区间为1(,)3-∞,(3,)+∞，单调减区间为1(,3)3．……..5分（Ⅱ）因为222e (2)()()(1)ax ax x a g x f x x -+'==+，又因为函数()f x 的图象总在()g x 的图象的上方， 所以()()f x g x >，即2222e e (2)1(1)ax ax ax x a x x -+>++在1[,2e]e x ∈恒成立． 又因为2e 01axx >+，所以22(1)2(1)a x x x +-<+，所以2(1)(1)2a x x -+<． 又210x +>，所以2211x a x -<+． 设22()1x h x x =+，则min1()a h x -<1([,2e])ex ∈即可． 又2222(1)()(1)x h x x -'=+．由2222(1)()0(1)x h x x -'=>+，注意到1[,2e]e x ∈，解得11e x ≤<； 由2222(1)()0(1)x h x x -'=<+，注意到1[,2e]e x ∈，解得12e x <≤． 所以()h x 在区间1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递增，在区间(]1,2e 单调递减．所以()h x 的最小值为1()eh 或(2e)h ． 因为212e ()e e 1h =+，24e (2e)4e 1h =+，作差可知224e 2e 4e 1e 1<++，所以24e14e 1a -<+． 所以a 的取值范围是224e 4e+1(,)4e 1+-∞+． ……………..13分 19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知得221314c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 解得2241a b ⎧=⎨=⎩． 所以椭圆的标准方程为2214x y +=．………..4分（Ⅱ）直线MN 过定点(0,0)D .说明如下：由（Ⅰ）可知椭圆右顶点(2,0)A ． 由题意可知，直线AM 和直线AN 的斜率存在且不为0．设直线AM 的方程为(2)y k x =-．由2244(2)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩得2222(14)161640k x k x k +-+-=．42225616(14)(41)160k k k ∆=-+-=>成立，所以22164214M k x k -⋅=+．所以228214M k x k -=+． 所以222824(2)(2)1414M M k k y k x k k k --=-=-=++．于是，点222824(,)1414k kM k k--++． 因为直线AM 和直线AN 的斜率乘积为14-，故可设直线AN 的方程为1(2)4y x k=--． 同理，易得222218()228411414()4N k k x k k---==++-．所以点222284(,)1414k k N k k -++． 所以，当M N x x ≠时，即12k ≠±时，2214MN kk k=-. 直线MN 的方程为22224228()141414k k k y x k k k--=-+-+． 整理得2214ky x k =-．显然直线MN 过定点(0,0)D ．（点,M N 关于原点对称）当M N x x =,即12k =±时，直线MN 显然过定点(0,0)D ． 综上所述，直线MN 过定点(0,0)D ． ……………..14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--.当(1)(2)x x x mx --=时，即()2320x x x m -+-=.依题意，若方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根，包括两种情况： （1）若0x =是一元二次方程2320x x m -+-=的一个实数根，则2m =时，方程()2320x x x m -+-=可化为2(3)0x x -=，恰存在两个相等的实数根0(另一根为3）.（2）若一元二次方程2320x x m -+-=有两个相等的实数根，则方程2320x x m -+-=的根的判别式94(2)0m ∆=--=，解得14m =-.此时方程()f x mx =恰存在 两个相等的实数根32(另一根为0). 所以当14m =-或2m =时，方程()f x mx =恰存在两个相等的实数根. ………4分（Ⅱ）证明：由123()()()()f x x x x x x x =---，可得，()()32123121323123()f x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++++-， 所以()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=.此一元二次方程的判别式21231213234)12()x x x x x x x x x ∆=++-++（，则()()()2221223312x x x x x x ⎡⎤∆=-+-+-⎣⎦.由123x x x <<可得，0∆>恒成立.所以方程()0f x '=有两个不等的实数根. ………8分 （Ⅲ）122x x αβ+<<.说明如下： 由()2123121323()320f x x x x x x x x x x x x '=-+++++=，得12()2x x f +'=()()212123123()+4x x x x x x x +-+++121323x x x x x x ++．()()22121212=044x x x x x x +--=-<.即12()2x x f +'=12123()()022x x x xαβ++--<, 由αβ<，得122x x αβ+<<． ………13分。

2015理科保温练习二（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．若集合{|01,}A x x x x =<>∈R 或，{}2,B x x x =>∈R ，则 ( ) A ． B ． C ． D ．2．下列函数中，在区间(1,1)-内有零点且单调递增的是（ ） A.12y log x = B. 2x y =-1 C. 212y x =-D. 2y x=- 3．如图所示的程序框图，若输入12x =，则输出的结果S =（ ）AB ．14C ．1-D ．1 4．已知,a b ∈R ,则“1a b >>”是“log 1a b <”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，A B ⊇A B =A B ⊆A B φ=选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有（ ） A ．210种 B ．180种C ． 120种D ．95种6．已知双曲线()22221 0, 0x y a b ab-=>>的左顶点与抛物线()22 0y px p =>的焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (2,1)-- ,则双曲线的焦距为( )A.2 C.D. 7.一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ ）A. 112B. 80C. 72D. 64 8.已知向量a ≠e ，1=e ，对任意t ∈R ，恒有t -≥-a e a e ，则（ ） A. ⊥a e B. ⊥a （-a e ） C. （-a e ）⊥e D. （a +e ）⊥（-a e ）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9．已知b 为实数，i 为虚数单位，若2i1ib +-为实数，则b = . 10. 如图，两圆相交于C 、E 两点，CD 为小圆的直径，B 和A 分别是DC 和DE 的延长线与大圆的交点，已知AE = 6，DE = 4，BC = 3，则AB =________________.11．已知函数()()ϕω+=x x f sin （ω>0, 0πϕ<<）的图象如图所示，则ω= ，ϕ= .12.已知A (1,0)-B (1,0), 点C 、点D 满足14,()2AC AD AB AC ==+,则点C 的轨迹方程是 ；点D 的轨迹方程是 .13．若直线3y x =上存在点(),x y 满足约束条件40,280,,x y x y x m ++≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩则实数m 的取值范围是 .14．将正整数按如图排列，其中处于从左到右第m 列从下到上第n 行的数记为(,)A m n ，如(3,1)4A =，(4,2)12A =，则(10,3)A =_________；(1,)An =__________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数2()cos 2cos f x x x x m =++在区间[0,]3π上的最大值为2．(Ⅰ)求常数m 的值；（Ⅱ）在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ,若()1f A =,sin 3sin B C =,ABC∆求边长a ．16．（本小题满分13分）根据最新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行了为期一年的空气质量检测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为[)[)[)[)[]0,10,10,20,20,30,30,40,40,50，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图． (Ⅰ)求的值；并根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；（Ⅱ）用这50个样本数据来估计全年的总体数据，将频率视为概率．如果空气质量指数不超过20，就认定空气质量为“最优等级”．从这一年的监测数据中随机抽取2天的数值，其中达到“最优等级”的天数为X ，求X 的分布列，并估计一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数．50a17．（本小题满分14分）如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，222AC BC PC ===，AC BC ⊥，D 、E 、F 分别为AC 、AB 、AP 的中点，M 、N 分别为线段PC 、PB 上的动点，且有//MN BC ．(Ⅰ)求证：MN ⊥平面PAC ；（Ⅱ）当M 为线段PC 的中点时，求DM 与平面PBC 所成角的正弦值；（Ⅲ）探究：是否存在这样的动点M ，使得二面角E MN F --为直二面角？若存在，求CM 的长度；若不存在，说明理由．18. （本小题满分13分）已知函数2()ln f x a x x=+，a ∈R . （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线垂直于直线2y x =+，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间(0, e]上的最小值.19．（本小题满分14分）已知(2, 0)A -，(2, 0)B 为椭圆C 的左、右顶点，F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A ，B 的动点，且APB ∆面积的最大值为（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）直线AP 与椭圆在点B 处的切线交于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．20．（本小题满分13分）设集合{}*1,2,3,,(,2)S n n N n =∈≥L ，,A B 是S 的两个非空子集，且满足集合A 中的最大数小于集合B 中的最小数，记满足条件的集合对(,)A B 的个数为n P . （Ⅰ）求23,P P 的值； （Ⅱ）求n P 的表达式.理科保温练习二答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. (本小题满分13分) 解答：(Ⅰ)…4分因为,所以 所以当即时,函数在区间上取到最大值此时,,得……………………7分（Ⅱ）因为,所以1)62sin(2=+πA ,即21)62sin(=+πA ,解得（舍去）或因为,,所以．因为面积为934, 所以11393sin 2224S bc A bc ===,即9bc =． 由①和②解得b c == 因为2222cos 21a b c bc A =+-=,所以a =分16. (本小题满分13分)(Ⅰ)由题意，得(0.030.0320.010.008)101,a ++++⨯=解得0.02.a =50个样本中空气质量指数的平均值为0.150.2150.32250.3350.084525.6X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=由样本估计总体，可估计2014年这一年度空气质量指数的平均值约为25.6 （Ⅱ）利用样本估计总体，该年度空气质量指数在[]0,20内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则(2,0.3)B ξ.ξ的可能取值为0，1，2，021224942(0)(0.3)(0.7),(1)(0.3)(0.7),100100P C P C ξξ==⨯===⨯=2229(2)(0.3)100P C ξ===ξ∴的分布列为：494290120.6100100100E ξ=⨯+⨯+⨯=.(或者20.30.6E ξ=⨯=)， 故一个月（30天）中空气质量能达到“最优等级”的天数大约为300.618⨯=天.17. (本小题满分14分) (Ⅰ)∵PA ⊥平面ABC ，∴PA BC ⊥，又AC BC ⊥，∴BC ⊥面PAC . 又∵//MN BC ， ∴MN ⊥面PAC .………………………………4分（Ⅱ） 由已知CA CB ⊥，以C 为坐标原点，,CA CB 所在直线为,x y 轴，过C 作平面ABC的垂线为z 轴，作如图所示的坐标系.则1(,0,0)2D，1(2M，P ，(0,1,0)BDM =，CP =，(0,1,0)CB = 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =u ，则CP CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u u，令1z =，解得0x y ==.∴(=u ，设DM 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ=cos ,DM <>u 12==.则DM 与平面PBC 所成角为6π. ………………………………9分（Ⅲ）由条件可得，FMD ∠即为二面角E MN F --的平面角；若二面角E MN F --为直二面角，则90FMD ∠=︒.在直角三角形PCA 中，设,(02)CM t t =≤≤，则2PM t =-， 在MDC ∆中，由余弦定理可得，2222112cos6042DM CM CD CM CD t t =+-⋅︒=+-； 同理可得，2222332cos30(2)(2)42FM PM PF PM PF t t =+-⋅︒=-+--. 又由222FD FM MD =+，得22310t t -+=，解得1t =或12t =. ∴存在直二面角E MN F --，且CM 的长度为1或12. ………………………14分18. (本小题满分13分)解: （Ⅰ）直线2y x =+的斜率为1.函数()y f x =的导数为22()a f x x x'=-+， 则22(1)111af '=-+=-，所以1a =. ………………………………5分 （Ⅱ）22()ax f x x -'=，x ∈(0,)+∞.①当0a =时，在区间(0, e]上22()0f x x'=-<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef =. ②当20a<，即0a <时，在区间(0, e]上()0f x '<，此时()f x 在区间(0, e]上单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+. ③当20e a <<，即2e a >时，在区间2(0,)a 上()0f x '<，此时()f x 在区间2(0,)a上单调递减；在区间2(,e]a上()0f x '>，此时()f x 在区间2(,e]a上单调递增；则()f x 在区间(0, e]上的最小值为22()lnf a a a a=+. ④ 当2e a ≥，即20ea <≤时，在区间(0, e]上()0f x ′≤，此时()f x 在区间(0, e]上为单调递减，则()f x 在区间(0, e]上的最小值为2(e)ef a =+. 综上所述，当2ea ≤时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2e a +；当2e a >时，()f x 在区间(0, e]上的最小值为2ln a a a+. …………………………………………13分19．(本小题满分14分)（Ⅰ）由题意可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，(,0)F c ．由题意知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===⋅⋅222232221c b a a b a解得b =1c =． …………2分 故椭圆C 的方程为22143x y +=，离心率为12． …………4分 （Ⅱ）以BD 为直径的圆与直线PF 相切．证明如下：由题意可设直线AP 的方程为(2)y k x =+(0)k ≠．则点D 坐标为(2, 4)k ，BD 中点E 的坐标为(2, 2)k ．由22(2),143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)1616120k x k x k +++-=．设点P 的坐标为00(,)x y ，则2021612234k x k--=+． 所以2026834k x k-=+，00212(2)34k y k x k =+=+． 因为点F 坐标为(1, 0)， 当12k =±时，点P 的坐标为3(1, )2±，点D 的坐标为(2, 2)±． 直线PF x ⊥轴，此时以BD 为直径的圆22(2)(1)1x y -+=与直线PF 相切． 当12k ≠±时，则直线PF 的斜率0204114PF y kk x k==--．所以直线PF 的方程为24(1)14ky x k =--．点E 到直线PF的距离d =322228142||14|14|k k k k k k +-==+-． 又因为||4||BD k = ，所以1||2d BD =． 故以BD 为直径的圆与直线PF 相切．综上得，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．……14分 20. (本小题满分13分)解：（Ⅰ）当2n =时，即{}1,2S =，此时{}1A =，{}2B =，所以21P =，当3n =时，即{}1,2,3S =，若{}1A =，则{}2B =，或{}3B =，或{}2,3B =； 若{}2A =或{}1,2A =，则{}3B =；所以35P =. ……………5分 （Ⅱ）当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合A 的其余元素可在1,2,,1k -中任取若干个（包含不取），所以集合A 共有0121111112k k k k k k C C C C ------++++=种情况， 此时，集合B 的元素只能在1,2,,k k n ++中任取若干个（至少取1个），所以集合B 共有12321n k n kn k n k n k n kC C C C ------++++=-种情况， 所以，当集合A 中的最大元素为“k ”时，集合对(,)A B 共有1112(21)22k n k n k -----=- 对， 当k 依次取1,2,3,,1n -时，可分别得到集合对(,)A B 的个数，求和可得101221(1)2(2222)(2)21n n n n P n n ---=-⋅-++++=-⋅+L . ………13分。

北京各区二模理科数学分类汇编三角(2015届西城二模)11．已知角α的终边经过点（－3，4），则cos α＝ ；cos 2α＝ ．答案：257,53-- (2015届西城二模)15．（本小题满分13 分）在锐角△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a，b ＝3，32sin sin 7=+A B ．（Ⅰ） 求角A 的大小； （Ⅱ） 求△ABC 的面积．（Ⅰ）解：在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b AB=， ……………… 2分得3sin sin AB=3sin B A =， ……………… 3分sin B A +=，解得sin 2A =……………… 5分因为ABC ∆为锐角三角形，所以π3A =. ……………… 6分 （Ⅱ）解：在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc+-=， ……………… 8分得219726c c+-=，即2320c c -+=，解得1c = 或 2c =. ……………… 10分当1c =时，因为222cos 2014c b Baca +-==-<， 所以角B 为钝角，不符合题意，舍去. ……………… 11分当2c =时，因为222cos 20c b B aca +-==>，且b c >，b a >， 所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11sin 3222S bc A ==⨯⨯. ……………… 13分(2015届海淀二模)答案：B(2015届海淀二模)（15）（共13分）解：（Ⅰ）因为a A =， 所以22222b c a a bc+-=. ………………3分因为 5c =，b =所以23404930a a +-⨯=.解得：3a =，或493a =-（舍）. ………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：cos 3A ==.所以21cos 22cos 13A A =-=. ………………9分 因为3a =，5c =，b =，所以2221cos 23a cb B ac +-==. ………………11分所以cos2cos A B =. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈.因为 (0,)B ∈π，所以2B A ∠=∠. ………………13分另解：因为(0,)A ∈π，所以sin 3A ==.由正弦定理得：sin 3B = 所以sin 3B =.所以sin 22sin 333A B =⨯==. ………………12分 因为 c b a >>，所以 (0,)3A π∈，(0,)2B π∈.所以 2B A ∠=∠. ………………13分(2015届东城二模) （1）23sin()6π-=（C ） （A）-（B ）12-（C ）12（D(2015届东城二模) （15）（本小题共13分）已知函数2sin 22sin ()sin x x f x x-=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及其最大值；（Ⅱ）求()f x 在(0,π)上的单调递增区间．（15）（共13分）解：（Ⅰ）由sin 0x ≠，得xk k ≠π(∈)Z ．所以()f x 的定义域为{|}x x k k ∈≠π,∈R Z ． …………………2分因为2sin 22sin ()sin x x f x x-=，2cos 2sin x x =-)4x π=+， …………………6分所以()f x的最大值为 …………………7分（Ⅱ）函数cos y x =的单调递增区间为[22k k π+π,π+2π]（k ∈Z ）由224k x k ππ+π≤+≤π+2π，x k k ≠π(∈)Z ，且(0,x ∈π)，所以()f x 在(0,π)上的单调递增区间为3[,4ππ)． ……13分(2015届昌平二模) 11. 在ABC ∆中，若a =b =5π6B ∠=，则边c =__________. 答案：1(2015届昌平二模) 15. (本小题满分13分) 已知函数()sin()(0,0,||,)2f x A x A x ωϕωϕπ=+>><∈R 的部分图象如图所示. （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）求函数()()()123g x f x f x ππ=+-+ 的单调递增区间.解：（I ）由题意可知，2A =,39412T π=，得T =π,2T ωπ==π，解得2=ω.()2sin(2)233f ϕππ=⨯+=， 即2232k k ϕππ+=+π,∈Z ，||2ϕπ<，所以 6ϕπ=-，故()2sin(2)6f x x π=-. ……………7分(II)ππππ()2sin(2(+)-)-2sin(2(+)-)12636g x x x =π2sin2-2sin(2+)2=2sin22cos2)4x x x -x =x =π-由222,242k x k k πππ-+π≤-≤+π∈Z,,88k x k k π3π-+π≤≤+π∈Z. 故()g x 的单调递增区间是[,],88k k k π3π-+π+π∈Z..……………13分(2015届丰台二模)15.（本小题共13分） 在△ABC 中，30A ︒=，52=BC ，点D 在AB 边上，且BCD ∠为锐角，2CD =，△BCD 的面积为4．（Ⅰ）求cos BCD ∠的值； （Ⅱ）求边AC 的长． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）因为1sin 42BCDS BC CD BCD ∆=⋅⋅∠=， 所以552sin =∠BCD ．因为BCD ∠为锐角，所以cos BCD∠==． ……………………6分 （Ⅱ）在BCD ∆中，因为BCD BC CD BC CD DB∠⋅⋅-+=cos 2222，所以4=DB ． 因为222BC CD DB=+，所以︒=∠90CDB ．所以ACD ∆为直角三角形． 因为30A ︒=，所以24AC CD ==，即4AC =． ……………………13分。

北京市朝阳区 2015-2016 学年度高三年级第二学期统一考试数学试卷（理工类）2016．5（考试时间 120 分钟满分 150 分） 本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合 A = {x 1 < 2x< 4}， B = {x x -1 ≥ 0}，则 A I B ＝A ．{x 1 ≤ x < 2}iB ．{x 0 < x ≤ 1}C ．{x 0 < x < 1}D ．{x 1 < x < 2}2．复数 z =1- i（ i 为虚数单位）在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为 A ．6 B ．10 C ．14D ．154．已知非零向量 a ， b ，“ a ∥ b ”是 “ a ∥ (a + b ) ”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．同时具有性质:“①最小正周期是 π ； ②图象关于直线 x = π对称；3③在区间⎡ 5π , π⎤上是单调递增函数”的一个函数可以是⎢⎣ 6⎥⎦ A ． y = cos( x + π)2 6C ． y = cos(2x - π)3B ． y = sin(2x+ 5π)6D ． y = sin(2x - π)63 A BODE ⎪ ⎧ 6．已知函数 f (x ) = ⎨x -1, x ≤ 2,(a > 0 且 a ≠ 1) 的最大值为1,则 a 的取值范围是 ⎩2 + log a x , x > 21 A ．[ ,1)2B ． (0,1)1C ． (0, ]2D ． (1, )7． 某学校高三年级有两个文科班， 四个理科班， 现每个班指定 1 人， 对各班的卫生进行检 查．若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不 同安排方法的种数是A ． 48B ． 72C ． 84D ．1688．已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2， E 是棱 D 1C 1 的中点，点 F 在正方体内部或正方体的表面上，且 EF ∥平面 A 1BC 1 ，则动点 F 的轨迹所形成的区域面积是9 A ．B ． 2 2C ． 3D ． 4 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．把答案填在答题卡上．9．双曲线 C : x - y 2= 1 的渐近线方程是；若抛物线 y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点与3双曲线 C 的一个焦点重合，则 p =．10．如图， P 为⊙ O 外一点， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，割线PBC与 ⊙ O 相 交 于 B , C 两 点 ， 且 PC = 3PA ， D 为 线 段 BC 的 中 P C点，AD 的延长线交⊙ O 于点 E ．若 PB 1，则 PA 的长为 ；AD DE 的值是 ．11．已知等边 ∆ABC 的边长为 3， D 是 BC 边上一点，若 BD = 1，则u u u r u u u rAC ⋅ AD 的值是．⎧ 12．已知关于 x , y 的不等式组 ⎪ x ≥ 0, y ≥ x ,所表示的平面区域 D 为三角形区域，则实数 k 的取值范围是 ．⎨ x + y ≤ 2, ⎪⎩2x - y ≥ k13．为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召，某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基地.第3223 6 频率组距一年支出各种费用 8 万元，以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收入为 26 万元. 设 f (n ) 表示前 n 年的纯利润（ f (n ) =前 n 年的总收入－前 n 年的总费用支出－投资额），则f (n ) =（用 n 表示）；从第年开始盈利.14．在平面直角坐标系x O y 中，以点 A (2, 0) ，曲线 y = 上的动点 B ，第一象限内的点 C，构成等腰直角三角形 ABC ,且 ∠A = 90︒ ，则线段 OC 长的最大值是．三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）在 ∆ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 是 a ， b ， c ， 已 知cos 2 A = - 1， 3c = , s in A = sin C ．(Ⅰ)求a 的值； (Ⅱ) 若角 A 为锐角，求b 的值及 ∆ABC 的面积．16．（本小题满分 13 分） 交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵实际情况的概念性指数值．交通指数范围为(0，10) ，五个级别规定如下： 交通指数 (0, 2)[2, 4)[4, 6)[6,8)[8,10)级别畅通基本畅通轻度拥堵中度拥堵严重拥堵某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内，他随机记录了上班的 40 个工作日 早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平 均值)，其统计结果如直方图所示． （Ⅰ）据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的 天数；（Ⅱ）若此人早晨上班路上所用时间近似 为：畅 通 时 30 分 钟 ， 基 本 畅 通 时 35 分0.250.20 0.150.100.05钟，1 2 3 45 6 7 89 101- x 21 轻度拥堵时 40 分钟，中度拥堵时 50 分钟，严重拥堵时 70 分钟，以直方图 中各种路况的频率作为每天遇到此种路况的概率，求此人上班路上所用时间 X 的数学期望．17．（本小题满分 14 分）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中， BC // AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， 2E 为 AD中点，点 O , F 分别为 BE , DE 的中点．将 ∆ABE 沿 BE 折起到 ∆A 1BE 的位置，使得平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE （如图 2）．（Ⅰ）求证： A 1O ⊥ CE ；（Ⅱ）求直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值；（Ⅲ）侧棱 A C 上是否存在点 P ，使得 BP // 平面 A OF ? 若存在，求出A 1P的值；若不11AC 存在，请说明理由．BB图 1图 218． （本小题满分 13 分）已知函数 f (x ) = - 1x 2+ (a +1)x +（1- a ) ln x ， a ∈ R ．2（Ⅰ）当 a = 3 时，求曲线C : y = f (x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程；⎬ 1 2 1 2⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）当 x ∈[1, 2]时，若曲线 C : y = ⎪f (x ) 上的点 (x , y ) 都在不等式组 ⎨ ⎪x ≤ y , 所表示的⎪ y ≤ x + 3⎩ 2平面区域内，试求a 的取值范围．19．（本小题满分 14 分）x 2 在平面直角坐标系 x O y 中，点 P (x 0 , y 0 )( y 0 ≠ 0) 在椭圆 C : + y 2= 1上，过点P 的直线 l 的 2x x方程为 0 + y y = 1．2（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）若直线 l 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A , B 两点，试求 ∆OAB 面积的最小值；（Ⅲ）设椭圆 C 的左、右焦点分别为 F 1 ， F 2 ，点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，求证：点 Q , P , F 2三点共线．20．（本小题满分 13 分）⎧⎪ 已知集合 S = ⎨k 1 ≤ k ≤3n -1, k ∈ N * ⎫⎪ (n ≥ 2 ，且 n ∈ N * ) ．若存在非空集合 S , S , , S ⎩⎪ 2 ⎪⎭，使 得S = S 1 S 2 S n ，且S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ，并∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , n ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，则称集合 S 具有性质 P ， S i （ i = 1, 2, , n ）称为集合 S 的 P 子集．（Ⅰ）当 n = 2 时，试说明集合 S 具有性质 P ，并写出相应的 P 子集 S , S ；（Ⅱ）若集合 S 具有性质 P ，集合 T 是集合 S 的一个 P 子集，设 T ' = {s + 3n| s ∈T } ，n3 6 6 3 2 求证： ∀x , y ∈T T '， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ；（Ⅲ）求证：对任意正整数 n ≥ 2 ，集合 S 具有性质 P ．北京市朝阳区 2015-2016 学年度第二学期高三年级统一考试数学答案（理工类）2016．5一、选择题：（满分 40 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABBCDADC二、填空题：（满分 30 分） 题 号 91011121314答 案y = ±3 x ， 433 ，166(-∞, -2] [0,1)-n 2 +19n - 60 , 52 2 +1（注：两空的填空，第一空 3 分，第二空 2 分） 三、解答题：（满分 80 分） 15．（本小题满分 13 分）解：(Ⅰ) 因为cos 2 A = 1- 2 s in 2A = - 1，且 30 < A < π ，所以 sin A =6 ．3因为 c =由正弦定理 , s in A = a=c sin C ，，得 a = ⋅ c = ⨯ = 3．…………………6 分 sin A sin C(Ⅱ) 由 sin A =6, 0 < A < π 得 cos A =3． 3 2 3由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A ，得 b 2 - 2b -15 = 0 ．6EFO解得 b = 5 或 b = -3 （舍负）．所以 S∆ABC= 1 bc sin A =5 2． …………………13 分2 2解: （Ⅰ）由已知可得：上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25，据此估计此人 260 个工作日早高峰时段（早晨 7 点至 9 点）中度拥堵的天数为 260×0.25=65 天.……………………………………………………5 分（Ⅱ）由题意可知 X 的可能取值为 30, 35, 40, 50, 70 ．且 P ( X = 30) = 0.05 ； P ( X = 35) = 0.10 ； P ( X = 40) = 0.45 ；P ( X = 50) = 0.25 ； P ( X = 70) = 0.15 ；所以 EX = 30 ⨯ 0.05+35⨯ 0.1+40 ⨯ 0.45+50 ⨯ 0.25+70 ⨯ 0.15=46 ．…………………………………13 分17．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AED由 BC //AD ， BC = 1AD = 2 ， ∠A = 60︒， E 为2AD 中点，所以 ∆ABE 为等边三角形．如图 2, BC图 1因为 O 为 BE 的中点，所以 A 1O ⊥ BE ．A 1又因为平面 A 1BE ⊥ 平面 BCDE ，且平面 A 1BE 平面 BCDE = BE ，D所以 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，所以 A 1O ⊥ CE ．………4 分BC （Ⅱ）连结 OC ，由已知得 CB = CE ，又 O 为 BE 的中点，图 2所以 OC ⊥ BE ．由（Ⅰ）知 A 1O ⊥ 平面 BCDE ，z所以 A 1O ⊥ BE , A 1O ⊥ OC ， A 1所以 OA 1 , O B , O C 两两垂直．PEFOB Cxy3 3 3 33 - 3 - 3 2 ⨯ 53 5 1515以 O 为原点， OB , O C , O A 1 分别为 x , y , z 轴建立空间直角坐标系（如图）．因为 BC = 2 ，易知 OA 1 = OC = ．所以 A 1 (0，0，3), B (1，0，0), C (0，3，0), E (-1，0，0) ，所以 A 1B = (1，0，- ), A 1C = (0，3，- ), A 1E = (-1，0，- ) ．设平面 A 1CE 的一个法向量为 n = (x , y , z ) ，⎧⎪ n ⋅ A 1C = 0, 由 ⎪⎧ 3y - 得z = 0, ⎧⎪ y - z = 0, 即⎨ ⎨⎨⎪⎩n ⋅ A 1E = 0⎪⎩-x - z = 0. ⎪⎩x + z = 0.取 z = 1，得 n = (- ,1,1) ．设直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角为，则 sin = cos 〈 A 1B , n 〉 = = = ．5所以直线 A 1B 与平面 A 1CE 所成角的正弦值为． …………………9 分 5（Ⅲ）假设在侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ．设 A 1P = A 1C ，∈[0,1]．因为 BP = BA 1 + A 1P = BA 1 + A 1C ，所以 BP = (-1，0，3) + (0，3，-) = (-1, 3, 3 - 3) ．易证四边形 BCDE 为菱形，且 CE ⊥ BD ， 又由（Ⅰ）可知， A 1O ⊥ CE ，所以 CE ⊥ 平面 A 1OF ．所以 CE = (-1, - , 0) 为平面 A 1OF 的一个法向量．由 BP ⋅ C E = (-1, 3, 3 -3) ⋅ (-1, - , 0) = 1- 3= 0 ，得= 1∈[0,1]． 3所以侧棱 A 1C 上存在点 P ，使得 BP // 平面 A 1OF ，且A 1P A 1C = 1 ． …………14 分318．（本小题满分 13 分）3 3 33 33⎨解：（Ⅰ）当 a = 3 时,f '(x ) = -x + 4 - 2xf (x ) = - 1 x 2+ 4x - 2 ln x ， x > 0 ． 2．则 f '(1) = -1+ 4 - 2 = 1 ，而 f (1) = - 1 + 4 = 7．2 2所以曲线 C 在点(1, f (1) )处的切线方程为 y - 7= x -1，即2x - 2 y + 5 = 0 ． 2…………………………………………………………………………4 分⎧⎪1 ≤ x ≤ 2, （Ⅱ）依题意当 x ∈[1, 2]时，曲线 C 上的点 ( x , y ) 都在不等式组 ⎪⎪x ≤ y , 所表示的平面区域内， ⎪ y ≤ x + 3等价于当1 ≤ x ≤ 2 时，x ≤⎩ 2 f (x ) ≤ x + 3恒成立． 2 设g (x ) = f (x ) - x = - 1x 2 + ax +（1- a ) ln x ， x ∈[1, 2]． 2所以 g '(x )=x +a+ 1a -x 2+ ax + (1- a )= = -(x -1)(x - (a -1)) ．x x x（1）当 a -1 ≤ 1，即 a ≤ 2 时，当 x ∈[1, 2]时， g '(x ) ≤ 0 ， g (x ) 为单调减函数，所以 g (2) ≤ g (x ) ≤ g (1) ． 依题意应有g (1) a13, 2 2g (2) 2 2a(1 a )ln2 0,a 2, 解得a 1.所以1 ≤ a ≤ 2 ．（2）若 1 < a -1 < 2 ，即 2 < a < 3 时，当 x ∈[1, a -1)， g '(x ) ≥ 0 ， g (x ) 为单调增函数，当 x ∈ (a -1, 2]， g '(x ) < 0 ， g (x ) 为单调减函数． 3 由于 g (1) > ，所以不合题意．2（3）当 a -1 ≥ 2 ，即 a ≥ 3 时，注意到 g (1) = a - 1 ≥ 5，显然不合题意．2 2综上所述，1 ≤ a ≤ 2 ．…………………………………………13 分19．（本小题满分 14 分）解：（Ⅰ）依题意可知 a = ， c = = 1，2 2 -12 1 2 2 x 0 y 0 x 0 y 02 2 x 0 y 02 x 0 y 02 22222所以椭圆 C 离心率为 e = 12 =． …………… 3 分2（Ⅱ）因为直线 l 与 x 轴， y 轴分别相交于 A , B 两点，所以 x 0 ≠ 0, y 0 ≠ 0 ．令 y = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 x =2 2 ，则 A ( , 0) ．2x 0 x 0令 x = 0 ，由x 0 x+ y y = 1得 y = 1 ，则 B (0, 1) ． 2 y 0 y 0所以 ∆OAB 的面积 S∆OAB= 1 OA OB = = 1 ． 2x 2x 0 2因为点 P (x 0 , y 0 ) 在椭圆 C :+ y 2= 1上，所以 2 + y 0 = 1 ．x 2x y 1 所以1 = 0 + y 2≥ 2 0 0 ．即 x y ≤ ，则 ≥ ．2 0 0 0 2所以 S ∆OAB = 1OA OB = 1≥ ． 2 x 2 当且仅当 0 = y 2 ，即 x= ±1, y = ± 时，∆OAB 面积的最小值为 ． … 9 分20 0 02（Ⅲ）①当 x 0 = 0 时， P (0, ±1) ．当直线 l : y = 1时，易得 Q (-1, 2) ，此时 k F P = -1 ， k F Q = -1．22因为 k F Q = k F P，所以三点 Q , P , F 2 共线． 同理，当直线 l : y = -1时，三点 Q , P , F 2 共线．②当 x 0 ≠ 0 时，设点 Q (m , n ) ，因为点 Q 与点 F 1 关于直线 l 对称，⎧ x 0 ⋅ m -1 + y ⋅ n = 1, ⎪ 2 2 0 2 ⎪所以 ⎪ n 0 ⎧x 0m + 2 y 0n - x 0 - 4 = 0, 整理得 ⎨ - ⎪ 2 ⋅ (- ⎪ m -1 +1 x 0 2 y 0) = -1. ⎨ ⎩ 2 y 0m - x 0n + 2 y 0 = 0. ⎩⎪ 22⎨0 00 0 00 n ⎧ x 2 + 4x - 4 y 2⎪m = 0 0 0 , 解得 ⎪⎪ ⎪⎩4 y 2 + x 2 n = 4x 0 y 0 + 8 y 0 . 4 y 2 + x 2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y所以点 Q ( 0 00 , 0 0 0 ) ．4 y 2 + x 2 4 y 2 + x 2 0x 2 + 4x - 4 y 24x y + 8 y 0 0 0 0 0 0又因为 F 2 P = (x 0 -1, y 0 ) ， F 2Q = ( 4 y 2 + x 2 -1, 4 y 2 + x 2 ) ， 且( 0 0 0 -1) ⋅ y - 0 0 0 ⋅ (x -1) = y ⋅ 0 0 0 04x - 8 y 2 - (4x 2 + 4x - 8)= y 0 ⋅4 y 2 + x2-8 y 2 - 4x 2+ 8 = y ⋅0 0 = y -4(2 y 2 + x 2 ) + 8 ⋅ 0 0 = y ⋅ -4 ⨯ 2 + 8 = 0 ． 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2 0 4 y 2 + x 2所以 F 2 P // F 2Q ．所以点 Q , P , F 2 三点共线．综上所述，点 Q , P , F 2 三点共线．…………………………………14 分20．（本小题满分 13 分）证明：（Ⅰ）当 n = 2 时， S = {1, 2, 3, 4} ，令 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3},则 S = S 1 S 2 , 且对 ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2), x > y ，都有 x - y ∉ S i ，所以 S 具有性质 P ．相应的 P 子集为 S 1 = {1, 4} ， S 2 = {2, 3}．………… 3 分（Ⅱ）①若 x , y ∈T (1 ≤ y < x ≤ 3n -1) ,由已知 x - y ∉T , 23n -1又 x - y ≤ -1 < 3n ,所以 x - y ∉T ' ．所以 x - y ∉T T' ． 23n -1②若 x , y ∈T ' ,可设 x = s + 3n, y = r + 3n， r , s ∈T ,且1 ≤ r < s ≤ ，2此时 x - y = (s + 3n) - (r + 3n) = s - r ≤ 3-1 -1 < 3n ．2x 2 + 4x - 4 y 2 4x y + 8 y (4x - 8 y 2) - (4x + 8)(x -1) 4 y 2 + x 20 0 0 4 y 2 + x 20 0 0 0 4 y 2 + x 2 0 0i i ) 所以 x - y ∉T '，且 x - y = s - r ∉T ．所以 x - y ∉T T ' ．③若 y ∈T , x = s + 3n∈T ' , s ∈T ，n n n则 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n≥ (1- 3 -1 + 3n = 3 + 3 > 3 -1 ,2 2 2所以 x - y ∉T ．又因为 y ∈T , s ∈T ，所以 s - y ∉T ．所以 x - y = (s + 3n) - y = (s - y ) + 3n∉T ' ．所以 x - y ∉T T ' ．综上，对于 ∀x , y ∈T T ' ， x > y ，都有 x - y ∉T T ' ． …………… 8 分（Ⅲ）用数学归纳法证明．（1）由（Ⅰ）可知当 n = 2 时，命题成立，即集合 S 具有性质 P ．3k -1（2）假设 n = k ( k ≥ 2 )时，命题成立．即 S = {1, 2, 3, , } = S 1 S 2 S k ，2且 S i S j = ∅ (1 ≤ i , j ≤ n , i ≠ j ) ， ∀x , y ∈ S i (i = 1, 2, , k ), x > y ，都有 x - y ∉ S i ．那么 当 n = k +1 时，记 S ' = {s + 3k| s ∈ S } ,，并构造如下 k + 1个集合： S 1'' = S 1 S 1' , S 2'' = S 2 S 2' , , S k'' = S k S k ' ，3k -1 3k -1 3k -1S k ''+1 = { 2 +1, 2 + 2, , 2 ⨯ 2+1} ，显然 S i '' S 'j ' = ∅ (i ≠ j) ．3k +1 -1 3k -1 3k +1 -1 又因为 = 3⨯ +1，所以 S 1'' S 2'' S k '' S k ''+1 = {1, 2, 3, , } ．2 2 2下面证明 S '' 中任意两个元素之差不等于 S '' 中的任一元素 (i = 1, 2, , k +1) ．ii3k -1 3k -1 3k -1①若两个元素 2 + r , 2 + s ∈ S k''+1 ,1 ≤ r < s ≤ +1 , 2kkk则 (3 -1 + s ) - (3 -1 + r ) = s - r ≤ 3 -1,2 2 23k -1 3k -1所以 ( 2 + s ) - ( 2+ r ) ∉ S k ''+1 ．②若两个元素都属于S i'' = S i S i' (1 ≤ i ≤ k ),由（Ⅱ）可知，S i'' 中任意两个元素之差不等于S i'' 中的任一数(i = 1, 2, , k +1) ．从而，n = k +1 时命题成立．综上所述，对任意正整数n ≥ 2 ，集合S 具有性质P ．………………………13分。

北京各区二模理科数学分类汇编概率统计(2015届西城二模)16．（本小题满分13 分）某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10 个卖场的销售量（单位：台），并根据这10 个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图．为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”．（Ⅰ）当a ＝b ＝3时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（Ⅱ）在这10 个卖场中，随机选取2 个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望．（Ⅲ）若a ＝1，记乙型号电视机销售量的方差为s2，根据茎叶图推断b为何值时，s2达到最小值．（只需写出结论）16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：根据茎叶图，得甲组数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=，………1分乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. …………2分由茎叶图，知甲型号电视机的“星级卖场”的个数5m=，………………3分乙型号电视机的“星级卖场”的个数5n=，所以m n=. ………………4分（Ⅱ）解：由题意，X的所有可能取值为0，1，2，………………5分且0255210C C2(0)C9P X===，1155210C C5(1)C9P X===，2055210C C2(2)C9P X===，…………8分所以X的分布列为：X0 1 2P295929………………9分所以252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=. ………………10分（Ⅲ）解：当b=0时，2s达到最小值．………………13分(2015届海淀二模)答案：A(2015届海淀二模)（16）（共13分）解：（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．所以中位数为8，众数为9．………………3分（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2．………………4分73 5 5 284 5 519 7 8 乙甲()21222033095C P X C ===；()1112822048195C C P X C ===；()2822014295C P X C ===；………………10分 （Ⅲ）略. ………………13分 评分建议：从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.(2015届东城二模) （4）甲、乙两名同学8次数学测验成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的平均数，12,s s 分别表示甲、乙两名同学8次数学测验成绩的标准差，则有（B ）（A ）12x x >，12s s < （B ）12x x =，12s s <（C ）12x x =，12s s = （D ）12x x <，12s s >(2015届东城二模) （16）（本小题共13分）某校高一年级开设A ，B ，C ，D ，E 五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选两门课程．乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程．（Ⅰ）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（Ⅱ）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列和数学期望．（16）（共13分）解：（Ⅰ）设事件A 为“甲同学选中C 课程”，事件B 为“乙同学选中C 课程”．则1223C 2()C 3P A ==，2435C 3()C 5P B ==． 因为事件A 与B 相互独立，所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为224()()()()[1()]3515P AB P A P B P A P B ==-=⨯=． …………………4分（Ⅱ）设事件C 为“丙同学选中C 课程”．1=6,a则2435C 3()C 5P C ==．X 的可能取值为：0,1,2,3．1224(0)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． (1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2221321232035535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2322231333335535535575=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． 23318(3)()35575P X P ABC ===⨯⨯=． X 为分布列为：420331814028()0123757575757515E X =⨯+⨯+⨯+⨯==．………13分(2015届昌平二模) 5. 在篮球比赛中，某篮球队队员投进三分球的个数如表所示：右图是统计上述6名队员在比赛中投进的三分球总数s A. 6i < B. 7i < C. 8i < D. 9i <(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）.（I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率； （III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ.16. (本小题满分13分)解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”． 由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为所以 012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分(2015届丰台二模) 16.（本小题共13分）长时间用手机上网严重影响着学生的健康，某校为了解A ，B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周手机上网时长作为样本数据，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．如果学生平均每周手机上网的时长超过21小时，则称为“过度用网”．（Ⅰ）请根据样本数据，估计A ，B 两班的学生平均每周上网时长的平均值；（Ⅱ）从A 班的样本数据中有放回地抽取2个数据，求恰有1个数据为“过度用网”的概率；（Ⅲ）从A 班、B 班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度用网”的学生人数为ξ，写出ξ的分布列和数学期望ξE ．(2015届昌平二模) 16. （本小题满分13分）某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，其中表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业．．．．”的概率为25.现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每位同学被选到的可能性相同）. （I ） 求,m n 的值；（II ）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生．．的概率；（III ）设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业．．．．．．．”的学生的人数，求随机变量ξ的分布列及其数学期望E ξ. 解：（I ）设事件A ：从10位学生中随机抽取一位，抽到该名同学为“数学专业”．A 班B 班 0 1 2 39 1 0 73 41 1 62 57由题意可知，“数学专业”的学生共有(1)m +人． 则12()105m P A +==． 解得 3m =．所以1n =． …………… 4分（II ）设事件B ：从这10名同学中随机选取3名同学为专业互不相同的男生．则123331011()12C C P B C +==． ……………7分 （III ）由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3． 由题意可知，“女生或数学专业”的学生共有7人．所以333101(0)120C P C ===ξ，1273310217(1)12040C C P C ====ξ， 21733106321(2)12040C C P C ====ξ，37310357(3)12024C P C ====ξ． 所以ξ的分布列为 所以1721721012312040402410E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ． ……………13分。