下载文档原格式
面积法验证勾股定理
面积法验证勾股定理是一种基于几何图形面积关系的验证方法。
根据勾股定理，对于任意直角三角形，其斜边平方等于两直角边平方和，即a+b=c。
而面积法验证勾股定理的基本思想是，通过计算直角三角形的三个内切圆的面积，可以得到勾股定理中等号两边的面积之和，从而验证该定理的正确性。
具体方法是，以直角边a和b为直径画两个内切圆，以斜边c为直径画一个外切圆，根据圆的面积公式可得到三个圆的面积分别为πa/4、πb/4和πc/4。
由于勾股定理中等号两边的面积之和为ab/2，因此只需证明πa/4+πb/4=πc/4即可。
通过对比两边的式子，可以发现它们是等价的，因此勾股定理得证。
- 1 -。
勾股定理的几何意义从面积关系勾股定理是几何学中一条重要的定理，它的几何意义不仅仅体现在直角三角形的边长关系上，还可以用来描述三角形的面积关系。
本文将以勾股定理的几何意义为切入点，从面积关系的角度来探讨这一定理。
一、勾股定理的基本形式勾股定理最常见的形式是：直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方之和。
用公式表示即为：c² = a² + b²，其中c为直角三角形的斜边，a和b为直角三角形的两个直角边。
二、勾股定理的面积关系在直角三角形中，勾股定理不仅仅可以描述边长之间的关系，还能够揭示出三角形的面积关系。
根据勾股定理，我们可以得到以下推论：1. 推论一：直角三角形的面积公式设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理我们可以得到：c² = a² + b²。
进一步推导，可以得到直角三角形的面积公式：S = 1/2 * a * b，其中S表示三角形的面积。
2. 推论二：直角三角形面积关于斜边的变化规律在直角三角形中，当两个直角边的长度确定时，斜边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析斜边对于三角形面积的影响。
我们可以看到斜边的长度越大，直角三角形的面积也越大。
这是因为斜边的长度增加，意味着直角三角形的底边和高也会相应增加，从而使面积增大。
当斜边的长度为定值时，直角三角形的面积也达到最大值。
这是因为根据勾股定理可知，斜边与两个直角边之间存在一种最优关系，使得直角三角形的面积取得最大值。
3. 推论三：直角三角形面积关于直角边的变化规律在直角三角形中，当斜边的长度确定时，两个直角边的长度也随之确定。
我们可以通过勾股定理来分析直角边对于三角形面积的影响。
根据勾股定理可知，直角边的长度与斜边的长度呈现一种关联关系。
当一个直角边的长度增加时，另一个直角边的长度会相应减小，从而使直角三角形的面积减小。
反之亦然。
三、勾股定理的应用举例1. 用勾股定理计算直角三角形的面积假设一个直角三角形的直角边分别为3和4，我们可以使用勾股定理来计算斜边的长度：c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，即c = 5。
勾股定理的应用勾股定理是数学中的一条重要定理，是我们在学习几何学和三角学时经常会遇到的概念。
它是由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，被广泛应用于解决各种与直角三角形相关的问题。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于其他两边平方的和。
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，下面我将为大家详细介绍一些常见的应用场景。
首先，勾股定理在建筑领域中有重要的应用。
在建筑设计中，我们经常需要测量角度和距离，以确保建筑物的结构合理和稳固。
通过勾股定理，我们可以准确计算直角三角形的边长，从而帮助设计师确定建筑物的大小和比例。
此外，在建筑施工过程中，勾股定理也可以用于测量地基的深度和倾斜度，以确保建筑物的稳定性。
其次，勾股定理在导航和航海中也有着重要的应用。
在古代，人们无法依靠现代导航工具进行航行，而是通过观测星体和使用恒星指南针来确定船只的位置和航向。
勾股定理可以帮助航海员计算船只与目标位置之间的距离，以及确定船只与目标位置之间的角度。
这为航海员提供了重要的参考信息，让他们能够准确地航行到目的地。
此外，勾股定理也在日常生活中的测量和设计中扮演着重要的角色。
例如，在测量土地面积时，我们可以利用勾股定理计算出棱形、矩形和梯形等各种形状的面积。
在制作家具和装修房屋时，勾股定理可以帮助我们测量墙角的大小以及家具的尺寸，确保它们与房间的空间相适应。
此外，勾股定理还可以用于汽车停车场的设计，以确保停车位的大小和布局都符合实际需求。
除此之外，勾股定理在科学研究和工程领域也有着广泛的应用。
在物理学中，勾股定理可以用于计算力学系统中几个物体之间的相对位置和运动速度。
在工程设计中，勾股定理可以用于计算杆件和梁的长度、角度和形状，确保它们能够承受设计负荷。
综上所述，勾股定理作为数学中的一条重要定理，在现实生活中有着广泛的应用。
无论是在建筑、导航、测量还是科学研究和工程设计中，勾股定理都发挥着重要的作用。
通过应用勾股定理，我们可以解决各种与直角三角形相关的问题，提高我们的测量和设计的准确性。
面积问题串,算推一线牵（让勾股定理及其证明自然发生）勾股定理的教与学是数学教育改革的“晴雨表”。
从面积计算入手，算中寓推，让赵爽弦图、勾股定理及其证明自然发生。
勾股定理是数学中的明珠。
它是贯穿许多数学领域的一个不可缺少的工具。
有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法，尽管如此，对于初中生而言，大多数证法仍难以理解。
站在学生的角度，如何让定理及其证明自然而然“发生”呢？自然地，勾股定理的教学设计，也成为中外数学教育工作者关注的热点。
勾股定理的教学困惑与思考今年4月，在北京“2015年全国中学数学特色课堂案例分析研修会”上罗增儒教授、罗新兵博士作了题为《特色、创新与教学智慧》的报告。
文中以较大篇幅，以“勾股定理的‘发现’设计”为题进行了案例分析。
文中列举了两种勾股定理的设计方法：方法1：先画两个直角三角形，再分别测量三边长，试猜想直角三角形的三边关系。
此设计，文中被称为“虚假性的情境发现”方法2：教师采用“程序教学法”出示图1与以下问题：（1）图中有几个正方形？（2）图中有几个直角三角形？（3）正方形的面积公式是什么？（4）直角三角形的面积公式是什么？（5）图中的正方形面积与直角三角形面积之间有什么样的关系？（6）把面积公式代入等量关系（7）化简对于这一设计，两位专家称之为“浅层次的情境发现”，并进行了这样的点评：7道小题目一做，解题思路和盘托出，难点化为乌有，这有点像教师提前在小黑板上画出辅助线，是避开难点，而不是突破难点。
“把学生塞进公共汽车，并美其名曰学生自己来到了目的地”。
其实，学生的被动接受状态和附属地位一点也未改变。
本次研讨会也有一节“勾股定理”的展示课。
显然，勾股定理的教学设计激起了众多数学教育工作者的兴趣。
遗憾的是，翻阅众多勾股定理的教学设计，体现勾股定理证明方法自然生成的教学设计还不多。
笔者认为，勾股定理教学设计的关键在于三个“发现”：发现基本图，发现勾股定理，发现勾股定理的证明方法。
利用勾股定理求图形面积作者：刘权引来源：《初中生之友·中旬刊》2013年第05期勾股定理揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以帮助我们解决许多与直角三角形有关的计算问题，下面就如何运用勾股定理解决面积问题举例说明，供同学们参考。
一、直接运用例1 如图1，BC=4 cm，AB=3 cm，AF=12 cm，求正方形CDEF的面积。
分析利用勾股定理求出CF 2，即是正方形CDEF的面积。
解在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC2=AB2+BC2=42+32=52。
同理在Rt△ACF中，CF 2=AF 2+AC 2=122+52=169，所以S正方形CDEF的面积=CF2=169（cm2）。
例2 如图2所示，图中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，大正方形的边长为9 cm，则四个正方形A、B、C、D的面积的和是________cm2。
分析根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，可发现四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积。
解由图形可知，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A、B、C、D 的面积之和等于81 cm2。
点评根据勾股定理的几何意义，一个数的平方的几何意义就是以该数为边的正方形的面积。
解题时要熟练运用勾股定理进行面积的转换。
二、通过构造直角三角形应用例3 如图3，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积。
分析考虑∠A=60°，∠B=∠D=90°，可补形得到Rt△ABE和Rt△CDE，然后利用勾股定理及其他知识来解决。
解延长BC交AD的延长线于E，则△ABE和△CDE均为直角三角形。
因为∠A=60°，所以∠E=30°。
又AB=2，CD=1，所以AE=2AB=4，CE=2CD=2。
由勾股定理得，DE==，BE==2。
所以S四边形ABCD =S△ABE -S△CDE=×2×2-×1×=。
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
勾股定理的证明面积割补验证法勾股定理，嘿，听起来像是个高深的数学概念，其实它有点像我们平时生活中的“规律”，也没那么难懂。
你知道的，数学有时候就是那些看似复杂的东西，实际上只要用心去理解，答案就藏在其中。
你要是像我一样爱折腾，估计小时候也像我一样用一条直角三角形的纸做过实验吧。
说到这个，今天咱们就来聊聊一个用“面积割补”来证明勾股定理的办法，别急，听我慢慢道来。
你要知道，勾股定理就是告诉我们，在直角三角形里，斜边的平方等于两条直角边平方和。
这看起来很干，嘿，其实说白了就是“直角三角形的魔法公式”，只要你把两条直角边的平方加起来，最后的结果就能得到斜边的平方。
好啦，大家的数学书肯定都教过了，但你说它有点抽象吧？那么今天我们就用一块块的面积来验证，咱不直接给公式，给大家演示个直观的做法。
想象一下，把这条直角三角形放在纸上，边上画几个正方形。
一个正方形的边长就是其中一条直角边，另一个正方形的边长就是另外一条直角边，咱们还得在斜边上，也画个正方形。
你仔细想，这就像是拆东墙补西墙，咱不动手，图像已经告诉你了，别的地方的面积都会有点联系，最终咱们的目标就是搞清楚每个面积之间的关系。
可能有人会疑惑，“就这么简单吗？这不就是‘数学猜谜’嘛”。
没错，勾股定理本身也有点像猜谜——可是你得仔细琢磨每一个步骤，保证自己没有搞错。
我们就这样，拆一块，补一块，最后看看剩下的东西是不是正好组成了一个大正方形。
对了，别小看这些小面积的调整，这些‘割补’的操作其实是非常巧妙的。
假设咱们先把原来大的正方形拆开，成了几个小块。
然后通过移动这些小块，把它们重新组合成一个不同形状的区域，这样就能看出，最终大正方形的面积没变，原来分散的面积拼凑起来，竟然也成了一个符合勾股定理的图案！是不是很神奇？数学，不就是这个套路嘛。
再说了，谁不喜欢这种通过“手工”证明出来的感觉呢？就像你做饭，有时候网上的食谱告诉你怎么做，结果你照着做反而不行。
然后你就凭直觉，瞎掰，结果做出来的味道竟然很对劲。
