2019-2020学年重庆外国语学校高一下学期期中考试数学试题

2019-2020学年重庆八中高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知等差数列中，，，则该数列公差为A. B. 1 C. D. 22.太阳能是一种资源充足的理想能源，我国近12个月的太阳能发电量单位：亿千瓦时的茎叶图如图，若其众数为x，中位数为y，则A. 144B. 141C.D.3.已知向量，，若，则A. 0B. 1C. 4D. 84.下列说法中，一定成立的是A. 若，，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则5.已知等比数列的前n项和为且，，则A. 16B. 19C. 28D. 366.若向量，满足，，，则与的夹角为A. B. C. D.7.中，，则一定是A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形8.中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.9.将两直角边长分别为1，2的直角三角形绕斜边所在的直线旋转一周所得几何体的体积为A. B. C. D.10.已知实数x，y满足，则的最小值为A. B. C. 5 D. 211.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“一斜求积术”，用现代式子表示即为：在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则的面积，根据此公式，若，且，则的面积为A. B. C. D.12.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则cos C的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知单位向量夹角为，则______．14.x0123y13当m变化时，回归直线直线必经过定点______．15.已知数列的前项和为，，，则______．16.如图，在中，D是BC的中点，点E在边AB上，，，AD与CE的交点为若，则______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.等差数列中，，．求的通项公式；设，记为数列前n项的和，若，求m．18.经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量千辆小时与汽车的平均速度千米小时之间的函数关系为：．在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？保留分数形式若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？19.某学校因为寒假延期开学，根据教育部停课不停学的指示，该学校组织学生线上教学，高一年级在线上教学一个月后，为了了解线上教学的效果，在线上组织数学学科考试，随机抽取50名学生满分150分，且抽取的学生成绩都在内的成绩并制成频率分布直方图如图所示．根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；同一组中的数据以该组区间的中点值作代表用分层抽样的方法从成绩在和的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学的数学成绩在同一组中的概率．20.锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且．求的外接圆直径；求的取值范围．21.若数列的前项和为，已知，求；设，求使得成立的最小自然数n．22.三角形的勃劳卡德点是以法国军官亨利勃劳卡德命名的，他在1875年曾描述过这一事实，即：对任何一个三角形都存在唯一的角，即勃劳卡德角，使得图中连接三个顶点的线相交于勃劳卡德点Q，如图所示．研究发现：等腰直角三角形中，若是斜边的等腰直角三角形，求线段QA的长度；若中，，，，求的值；若中，若线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，当时，求公比q的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：等差数列中，，，，，故选：B．由已知结合等差数列的通项公式及性质即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．2.答案：C解析：解：由茎叶图可知数据为：53，53，54，55，56，64，67，68，77，77，77，78，数据的中位数为，众数为，所以，故选：C．直接根据图中数据观察以及计算即可得到结论．本题考查茎叶图中位数和众数，通过定义计算即可，属于基础题．3.答案：D解析：解：向量，，则，又向量，且，所以，解得．故选：D．根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出m的值．本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．4.答案：B解析：解：对于选项A：令，，，，所以结论错误．对于选项B：由于，所以b为正数，故结论正确．对于选项C：当，，所以结论错误．对于选项D：当a和b为正数时，结论成立，故错误．故选：B．直接利用赋值法和不等式的的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的基本性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5.答案：C解析：解：根据题意，等比数列的前n项和为且，，则，则有，，，则有，解可得；又由，则；故选：C．根据题意，由等比数列的前n项公式变形分析可得，解可得，又由，计算可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式的应用，注意等比数列的性质，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为，，，，即，．，又因为，．故选：A．根据夹角公式，根据已知条件求出，然后代入夹角公式求其余弦值，即可求出角．本题考查平面向量的夹角公式，以及数量积的运算．属于基础题．7.答案：A解析：解：由题意，则由正弦定理得，，，则，、，，则，即，同理可证，，则是等边三角形，故选：A．根据正弦定理化简，利用两角差的正弦公式化简，利用内角的范围好特殊角的正弦值判断出A、B、C的关系，即可判断出的形状．本题考查了正弦定理的灵活应用，注意三角形内角的范围，属于基础题．8.答案：A解析：解：如图，为BD的中点且，故选：A．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用，表示出向量本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：D解析：解：如图为直角三角形旋转而成的旋转体．；；故选：D．画出图形，根据圆锥的体积公式直接计算即可．本题考查圆锥的体积公式，考查空间想象能力以及计算能力．是基础题．10.答案：A解析：解：由可得，则，，当且仅当且即，时取等号，故选：A．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．11.答案：B解析：解：因为，所以，即，所以，因为，所以，，由余弦定理可得，，所以，则的面积．故选：B．由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos C，然后结合已知及余弦定理可求ab，代入已知公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理及和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档试题．12.答案：D解析：解：当且仅当时，取等号，因为三角形时锐角三角形，所以，所以所以，因为设，，所以，因为函数在上是减函数，在上是增函数，，，所以cos C的取值范围为故选：D．结合基本不等式得，当且仅当时，取等号，根据题意得，又因为，所以，因为设，，利用函数得单调性求出最值，进而得出结论．本题考查余弦定理的应用，考查运算能力，属于中档题．13.答案：1解析：解：单位向量夹角为，则．故答案为：1．利用向量的数量积公式以及向量的模的运算法则求解即可．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，是基本知识的考查．14.答案：解析：解：由题意可得；，由回归直线方程的性质可知，回归直线直线必经过定点是样本中心．故答案为：．利用已知条件求出回归直线方程经过的样本中心坐标即可．本题考查回归直线方程的简单性质的应用，是基本知识的考查．15.答案：2020解析：解：，当，时，有，即，．故答案为：2020．先由当，时，有，再利用数列的相邻项的关系式求解即可．本题主要考查数列的递推关系式及利用对递推关系式的合理变形求数列的和，属于基础题．16.答案：解析：解：中，D是BC的中点，，，，又E，O，C三点共线，设，且三点A，O，D共线，，解得，，，．故答案为：．根据题意设，利用A，O，D三点共线求出的值，求出、，再计算的值．本题考查了平面向量的加法、减法和数乘的几何意义，以及平面向量数量积计算问题，是中档题．17.答案：解：等差数列中，，．，即，，由题意可得，，，所以，故解析：由已知结合等差数列的通项公式即可求解d，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；由结合等比数列的求和公式即可求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的求和公式的简单应用，属于基础试题．18.答案：解：，，当且仅当即时取等号．．当汽车的平均速度为30千米小时时车流量最大，最大车流量为千辆小时．令，整理得：，解得：．解析：分子分母同除以v，再利用基本不等式求最大值；解不等式得出结论．本题考查了基本不等式的应用，不等式的解法，属于中档题．19.答案：解：由，解得，故平均值为；由直方图知，两组的频率分别为，，按分层抽样的方法从成绩不低于125得同学中抽取6名，则，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，共有15种，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，，有7种，故两名同学数学成绩落在同一组得概率为．解析：由频率之和为1，解得a，平均值为由直方图知，两组的频率分别为，，，分别抽取4人，2人，分别记为，，，，，，随机抽取的2名的总抽法有，其中求这两名同学数学成绩落在同一组的抽法有，再利用古典概型计算，即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概型，属于基础题型．20.答案：解：因为，由正弦定理可得，，即，所以，因为，故且，故B，由正弦定理可得，，即外接圆直径1，由正弦定理可得，，，由题意可得，，解可得，所以，．解析：由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos B，进而可求B；由已知结合正弦定理可求2R，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后，利用正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，还考查了正弦函数的性质的综合应用，属于中档试题．21.答案：解：，，，所以是以1为首项，公比为3的等比数列，；，，成立，即，解得，所以最小自然数n为200．解析：由，故是以1为首项，公比为3的等比数列，求出；先求出，再利用裂项相消法求出，然后求解不等式，找到最小的自然数n．本题主要考查等比数列的定义、通项公式及裂项相消法求数列的和、解不等式等基础知识，属于基础题．22.答案：解：由题意知，，，所以；在中，由正弦定理得，，解得；由题意可得，，，，且，，所以，；在中，由正弦定理得，在中，，所以，解得；设的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C，又线段QA，QB，QC的长度是1为首项，公比为的等比数列，所以，；在和中，由正弦定理得，，，所以；所以，且，所以，所以，即；由，；在和中，由正弦定理得：，；得，即；又，展开得，解得；又等腰中，，解得；把代入得，令，代入后平方整理得，，解得或不合题意，舍去，所以公比q的值为．解析：由题意中利用正弦定理求得QA的值；在中由正弦定理求得QB，再利用求出QB，列出等式求出的值；由等比数列求得QB、QC，利用正弦定理列出方程，应用三角恒等变换和方程的知识，求出公比q的值．本题考查了解三角形以及三角恒等变换的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．。

福建省福州外国语学校2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A．27B 27,3四、解答题15．成都石室中学生物基地里种植了一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于[]15,25之间，现对生物基地里部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.2PA=由题可得该扇形半径，弧故选：ABD.12．23【分析】在ABCV 中，由余弦定理可得：分线的性质可得：2723DA BD ==，在可求解.【详解】因为在ABC V 中，120ACB Ð=【分析】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，利用三角形中位线性质得到1//OM B C ，再利用线面平行的判定即可证.（2）应用线面垂直的性质、判定可得BM ^平面11ACC A ，从而得到1BM AC ^，根据11AC C A MA Ð=Ð和111190AC C C AC A MA C AC Ð+Ð=Ð+Ð=o 得到11A M AC ^，再利用线面垂直的判定即可证.（3）当点N 为1BB 的中点，设1AC 的中点为D ，连接DM ，DN ，易证四边形BNDM 为平行四边形，从而得到//BM DN ，进而有DN ^平面11ACC A ，再利用面面垂直的判定即可证.【详解】（1）连接1AB 与1A B ，两线交于点O ，连接OM ，在1B AC △中M ，O 分别为AC ，1AB 的中点，所以1//OM B C ，又OM Ì平面1A BM ，1B C Ë平面1A BM ，所以1//B C 平面1A BM .（2）因为1AA ^底面ABC ，BM Ì平面ABC ，所以1AA BM ^.又M 为棱AC 的中点，AB BC =，所以BM AC ^.因为1AA AC A =I ，1AA ，AC Ì平面11ACC A ，所以BM ^平面11ACC A ，1AC Ì平面11ACC A ，所以1BM AC ^.因为D ，M 分别为1AC ，AC 的中点，所以1//DM CC 且112DM CC =，所以//DM BN 且DM BN =，所以四边形BNDM 为平行四边形，由（2）知：BM ^平面1ACC A答案第231页，共22页。

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测 【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理） 【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---， 由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720 BCD 【试题来源】第八单元 立体几何 （A 卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=， 则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=， 由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=， 所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎫⎪⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,,122AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,1AD EC AD EC''<>=-<>==， 因此，异面直线AD 与EC '．故选C ． 5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFGπ∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．D 【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题 【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A ，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A B C ．3D【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥， 所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-， 设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos ||||PE BD PEBD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE ．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．B ．18C ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ， 则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试 【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-， 设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒． 所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理） 【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =， 因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===． 所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文） 【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===． 所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB ACAA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ， 所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考 【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ， 所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ=C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考 【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考 【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系： 令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ， 所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =， 所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试 【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+． 所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13B ．3CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中 【答案】B 【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，），11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD ．2【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理） 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直， 以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．7B CD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,3FD OE OE OEFD FD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值为5，故选B ． 二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=， 为定值，即体积不变 ，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA Q S AA AQ ∆=⨯⨯=⨯==2200044584555x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，因为[]002x ∈，，所以142555AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，21125D E =+=，111252PD EE SD ∴⨯⨯==， 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =， 所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ES D E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·1010AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10A 正确； 取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误； 四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为24=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上，(1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos 5AM AC MAC AM AC '∠'=='，设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)； 所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1ACC ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,147A D ACA D AC A D AC ⋅===-，所以异面直线1A D 与1AC，B 不正确，C 正确； 因为(1AB =，(11,AC =，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB x nAC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即22x z y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-， 因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】17【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,1717DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅，故异面直线DC 与1BC ．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【答案】9【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A EB F A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC-中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用）【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC ⊥， 过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，， 又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 2PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描 【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BBD D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+， 解得21m DH ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A E C F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-， 所以1cos ,55AE CFAE CF AE CF ⋅===⋅，故答案为15． 7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1AC 与1BC 所成角的余弦值为________．【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段检测【答案】413【解析】因为3,3,AC BC AB ===C 为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以1CA CB CC 、、两两垂直，以C 点为坐标原点，以1CA CB CC 、、方向分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则()0,0,0C ，()10,0,2C ，()13,0,2A ，()0,3,0B ，所以()13,0,2AC =--，()1 0,3,2BC =-，设异面直线1A C 与1BC 所成角为θ， 则1111114cos cos 139AC BC AC BC AC BC θ•====，．故答案为413．8．在三棱锥P ABC -中，PA⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【解析】如图所示：以AB 为x 轴，AP 为z 轴，平面ABC 内垂直于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A，)B，)C ，()0,0,3P ， 13PE PC =，23PF PC =，则2,,233E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，4,133F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 则32,233AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，4,133BF F ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，则23cos ,43AE BFAE BF AE BF ⋅===⋅．故异面直线AE 与BF9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．【试题来源】四川省江油中学2019-2020学年高二6月月考（理）【答案】10【解析】以点B 为原点，分别以直线BA ，BC ，1BB 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则：()0,0,0B ， ()2,2,0D ， ()2,0,0A ， ()1,0,2E ，∴(1,0,2),(2,2,0)AE BD =-=，∴cos ,||||5AE BD AE BD AE BD <>===，∴异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为10．故答案为10.10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．【试题来源】江苏省扬州市宝应县2020-2021学年高三上学期初调研测试【解析】以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(4,0,0),(0,0,2),(4,4,0)A B E C ，(4,0,2),(4,4,0)BE AC =-=，cos ,5||||20BE AC BE AC BE AC ⋅<>===-，因此异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是5，故答案为5．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试【分析】由题意可得(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，再由60VDC ∠=︒，可得V ，然后利用向量的夹角公式求解即可【解析】由题意，(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,0)C ，(1,1,0)D ，当60VDC ∠=︒时，在Rt VDC △中，CD =，VC =，VD =所以V ，所以(2,0,0)AC =-，所以cos ,4||||AC VD AC VD AC VD ⋅<>==-⋅，所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为4．故答案为4. 12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB和BM所成的角的余弦值为________．【试题来源】江苏省南通市如皋中学2020届高三创新班下学期高考冲刺模拟（二）【解析】设底面边长为1，则测棱长为2，如下图建立空间直角坐标系，() 0,0,0 A、1,,022B⎛⎫⎪⎪⎝⎭、11,222B⎛⎫⎪⎪⎝⎭、()0,1,1M所以131,22AB⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，1,122BM⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，所以1113124cosAB BMAB BMAB BM-++⋅⋅===．故答案为20.13．已知(0,1,2)AM=，(1,0,2)CN=，则直线AM和CN所成角的余弦值是__________．【试题来源】上海市七宝中学2019-2020学年高二下学期期末【答案】45【解析】设直线AM 和CN 所成角为θ，(0AM =，1，2)，(1CN =，0，2)， ||4cos 5||||55AM CN AM CN θ∴===．∴直线AM 和CN 所成角的余弦值为45．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．【试题来源】浙江省强基联盟2020-2021学年高二上学期期中【答案】6【解析】设直线AC 与 'BD 所成角为 θ．设O 是 AC 中点，由已知得 AC = OB 为 x 轴， OA 为 y 轴，过 O 与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，由 A ， (2B ，(0,C ，作 DH AC ⊥于 H ，翻折过程中，'D H 始终与 AC 垂直，2CD CH CA ===，则 OH =， DH ==，因此可设,sin )636D αα-，则 30'(sin )6236BD αα=--，与 CA 平行的单位向量为 (0,1,0)n =，所以cos cos ',BD n θ=''BD nBD n ⋅=＝cos 1α=时， cos θ取最大值 ． 15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________． 【试题来源】人教B 版（2019） 选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何【答案】⎤⎥⎣⎦【解析】根据题意，以O 为原点，分别为OA 、OB 、OC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，不妨设1OA OB OC ===，则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,0,1C 、()10,,112P b b b ⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭、()1,0,002Q a a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，(),,1QP a b b =--，()0,1,0OB =，所以cos ,QP OB QP OB QP OB a ⋅<>===⋅． 因为[]0,1a b ∈，[]11,2b∈，所以当0a =，1b =时， cos ,QP OB <>取得最大值，且最大值为1；当12a b ==时，cos ,QP OB <>， 所以PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是⎤⎥⎣⎦．故答案为⎤⎥⎣⎦． 四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．【试题来源】浙江省宁波市诺丁汉大学附属中学2020-2021学年高二上学期10月月考【解析】直三棱柱111ABC A B C -中，因为120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，所以底面面积11sin1202122ABC S AB BC =⋅⋅︒=⨯⨯=11CC = 所以该棱柱的体积为1ABC V S CC =⋅=则)()()11,1,0,1,0,0,0,1A C B -， 所以()()113,1,1,0,1,1B A C B =-=-， 所以111111cos ,5B A C BB AC B B A C B ⋅===⋅2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________．【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 必杀技 第一章 空间向量与立体几何【答案】()122a b c +- 16 【解析】画出对应的正四面体，设棱长均为1则（1） ()()11222DM DA AM c a b a b c =+=-++=+-． （2）由（1） ()122DM a b c =+-，又()11222CN AN AC a b a b =-=-=-． 又12a b a c b c ⋅=⋅=⋅=． 设异面直线DM 与CN 所成角为θ则()()2222cos 22a b c a b DM CNDM CN θ+-⋅-⋅==⋅ 22111212222412=336a a b a b b a c b c-+--+-⋅+⋅--⋅+⋅==． 故答案为（1）．()122a b c +-． （2）． 16 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________． 【试题来源】2020年普通高等学校招生全国1卷高考模拟大联考（理）【答案】【解析】如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，因为底面是菱形，侧棱垂直底面， 所以AC ⊥平面11BDD B ，所以1BD AC ⊥．在AB 上取F ，使得3BF FA =，连接EF ，则//EF AC ，所以1⊥BD EF ．记AC 与BD 的交点为O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -， 则()4,0,0B ，()14,0,6D -，()E ．在1BB 上取一点G ，记为()4,0,G t ，于是()18,0,6BD =-，()3,EG t =-． 由12460BD EG t ⋅=-+=，得4t =，即12BG GB =， 所以EFG 的边为点M 的运动轨迹．由题意得FG ==3344EF AC ==⨯= 动点M的轨迹围成的图形的面积为12⨯=显然当M 与G 重合时，MC 与平面ABCD 所成角最大． 因为()4,0,4M，()1C ，所以()1MC =-，(1MC =-=因为直线AC 的一个方向向量为()0,1,0n =， 所以11143cos ,17217MCn MC n MC n===即异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为17．故答案为17．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练12【解析】由题意得=90ABC ∠，ABP △是正三角形，连接点P 和线段AC 的中点D ，连接BD ，如图：得，则，=2BD PD ==90PDB∠又G为ABC的重心，∴1=3GD BD=∴PG=；()12AP BC AP PC PB AP PC AP PB⋅=⋅-=⋅-⋅=-，∴1cos,2AP BCAP BCAP BC⋅==⋅，所以．异面直线P A与BC所成角的余弦值为12，12．5．如图，PA⊥平面ABC，90ACB∠=︒且PA AC BC==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB与AC所成角的正切值等于________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】4【解析】由PA⊥平面ABC可得PA BC⊥，又CA BC⊥，所以BC⊥面PAC，所以BC PC⊥，故,,,BCP BCA PAC PAB均为直角三角形，所以三棱锥四个面中直角三角形的个数为4个；设1PA ACBC===，则PC AB==PB()01cos451PB AC PA AB AC PA AC AB AC⋅=+⋅=⋅+⋅=+⨯=，,3cosPB ACPB ACPB AC⋅===⋅sin,1PB AC==，则6tan,PB AC==即异面直线PB与AC．故答案为4．五、解答题1．如图，在三棱锥D-ABC中，DA⊥平面ABC，AB BC⊥且2BC=，3AB=，4=AD．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．【试题来源】河北省2020-2021学年高二上学期11月期中【答案】（1）证明见解析；（2． 【解析】（1）DA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内，DA BC ∴⊥，又AB BC ⊥，AB DA A ⋂=，,AB DA 在平面ABD 内，BC ∴⊥平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，BC BD ∴⊥，从而BCD △为直角三角形．（2）以B 为原点，BA 、BC 所在的直线分别为x 、y 轴，作Bz ⊥平面ABC ，建立如图所示的空间直角坐标系B -xyz ，因为2BC =，3AB =，4=AD ，2AE =，45EAD ∠=︒，则(0,2,0)C ，(3,0,4)D ，(3,0,0)A ，(3E +，。

2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（下）入学数学试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）1，﹣2，0，这四个数中，绝对值最大的数是（）A．1B．﹣2C．0D．2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，函数y＝（k≠0）和y＝的部分图象与直线y＝a（a＞0）分别交于A、B两点，如果△ABO的面积是4.5，则k的值为（）A．5B．﹣5C．D．4．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．325．（4分）如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（）A．150°B．180°C．270°D．360°6．（4分）估计的值在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间7．（4分）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝﹣1278，则n的值为（）A．7B．8C．9D．118．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AE＝1，则CD的长为（）A．B．C．D．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BA延长线上一点，2CF＝BF，AE＝CF，则线段DG 的长是（）A．B．C．D．10．（4分）将有序实数对（a，b）进行操作后可得到一个新的有序实数对（a+b，a﹣b），将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如，（1，2）经过一次操作后得到（3，﹣1），（1，2）经过二次操作后得到（2，4），…下列说法：①若（4，m）经过五次操作后得到（4，n），则n＝24；②在平面直角坐标系中将（m，1）所对应的点标记为点A，将（m，1）经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点A1，点A2，若线段A1A2平行于x轴，则△AA1A2的面积为7；③若m+n＝1，mn＝﹣3，则（m2，n2）经过三次操作后的结果为（14，2）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）计算：＝．12．（4分）函数y＝﹣的自变量x的取值范围是．13．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是°．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有汉字“重”，“外”，“人”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是．15．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝6，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B′，连接AB′，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，G为AF上一点，EG∥AB，连接DG，若AG＝4，DG＝，则CE＝．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数a的值之和为．18．（4分）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“厚德数”．将“厚德数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则a+d＝.在此条件下，若为整数，则满足条件的所有M的和为．三、解答题：（本大题共8个小题，其中19题8分，20-26题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上19．（8分）计算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．20．（10分）（1）用直尺和圆规完成以下基本作图，在直线AC下方作∠ACF＝∠AEB，F为CF与AB延长线的交点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，取CF中点G，连接BG，求证：四边形BECG是菱形．证明：∵∠ACF＝∠AEB，∴BE∥①，∴，∵E是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴E为AC边上的中点，∴B为AF边上的中点，∴BE为△ACF的中位线，∴BE＝②．∵G为CF边上的中点，∴，∴③，∴四边形BECG为④，又∵G为CF边上的中点，∠CBF＝90°，∴，∴四边形BECG是菱形（⑤）．21．（1020名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差表：学生平均数中位数众数方差七年级85.286b59.66八年级85.2a9191.76根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若七、八年级共有2000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？22．（10分）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？（2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，2AP＝BP，点Q从点B开始沿B→C →A的方向以2cm/s的速度移动，（点Q不与点B，A重合）．设运动时间为t秒，△BPQ的面积为y cm2．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）已知函数，结合函数图象，若方程y1＝y只有一个实数解，那么b的取值范围为．24．（10分）口袋公园，也称袖珍公园，是一种规模较小的城市开放空间，它是对城市中未利用地和再利用地的空间活化和提升．如图所示，四边形ABCD是我市一口袋公园的平面示意图．经测量，桂花园B在A入口的正西方向，C入口在桂花园B的正北方向，玫瑰园D在C入口的北偏东60°方向400m处，玫瑰园D在A入口的北偏西45°方向1000m处．（参考数据）（1）求AB的长度；（结果精确到1米）（2）小乐从玫瑰园D处前往M处观赏喷泉，点M在AB上，距离桂花园B的500m处．小乐可以选择山地步道①D→C→B→M，其中D→C是上坡步道，步行速度为40m/min，C→B→M是下坡步道，步行速度为70m/min；也可以选择平缓步道②D→A→M，步行速度为60m/min，请计算说明他选择哪一条步道时间更快？（结果精确到0.1min）25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c与轴交于点、B 两点，与y轴交于点，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，且点P在对称轴左侧．过点P作PG∥OC交BC于点G，作PH∥BO交抛物线于点H．求PG+PH的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图3，点P在x轴下方的抛物线上，点D为抛物线的顶点，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，AD交PB于点F，连接EF，∠EFB＝2∠FBD，探究抛物线上是否存在点M，使∠MBC+∠CBO+∠AFB ＝180°，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．26．（10分）已知在△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点，DE⊥AB于点E，连接AD．（1）如图1，当CD＝CA，EA＝5，ED＝1时，连接CE，求CE的长；（2）如图2，当∠ABC＝30°时，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AF．连接DF，BF，取BF的中点G，连接AG，求证：DC+DE＝AG；（3）如图3，在（2）的条件下，若AC＝2，连接CF，当CF最短时，取边BC上一点M，连接AM，沿AM折叠△AMB，使点B落在△ABC所在平面的点N处，连接FN，DN．当FN最小时，请直接写出△DNM的值．2023-2024学年重庆实验外国语学校九年级（下）入学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）1，﹣2，0，这四个数中，绝对值最大的数是（）A．1B．﹣2C．0D．【分析】先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答．【解答】解：|1|＝1，|﹣2|＝2，|0|＝0，||＝≈2.236，∵2.236＞2＞1＞0，∴1，﹣2，0，这四个数中，绝对值最大的数是，故选：D．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键．2．（4分）由五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（）A．B．C．D．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形．故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．3．（4分）如图，函数y＝（k≠0）和y＝的部分图象与直线y＝a（a＞0）分别交于A、B两点，如果△ABO的面积是4.5，则k的值为（）A．5B．﹣5C．D．【分析】反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变，由此得到△OBK的面积＝×4＝2，△OAK的面积＝|k|，因此|k|＝2.5，即可求出k的值．【解答】解：∵直线y＝a与x轴平行，∴直线y＝a与y轴垂直，∴△OBK的面积＝×4＝2，△OAK的面积＝|k|，∵△OAB的面积＝4.5，∴|k|＝2.5，由图象知k＜0，∴k＝﹣5，故选：B．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，关键是掌握反比例函数系数k的几何意义．4．（4分）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA：AD＝1：2，△ABC的周长为8，则△DEF的周长为（）A．8B．16C．24D．32【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【解答】解：∵OA：AD＝1：2，∴OA：OD＝1：3，∵△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△AOB∽△DOE，∴＝＝，∴△ABC的周长：△DEF的周长1：3，∵△ABC的周长为8，∴△DEF的周长为24，故选：C．【点评】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．5．（4分）如图所示，直线l1∥l2，BA垂直于l1于A，则∠α+∠β的大小是（）A．150°B．180°C．270°D．360°【分析】过点B作BD∥l2，根据铅笔模型进行计算即可解答．【解答】解：过点B作BD∥l2，∴∠α+∠CBD＝180°，∵l1∥l2，∴BD∥l1，∴∠1+∠ABD＝180°，∴∠α+∠CBD+∠ABD+∠1＝360°，∴∠α+∠β+∠1＝360°，∵BA⊥l1，∴∠1＝90°，∴∠α+∠β＝360°﹣∠1＝270°，故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（4分）估计的值在（）A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间【分析】将原式计算后进行估算即可．【解答】解：原式＝4﹣＝﹣2，∵36＜48＜49，∴6＜＜7，∴4＜﹣2＜5，即原式的值在4到5之间，故选：B．【点评】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，将原式进行正确的计算是解题的关键．7．（4分）如图，下列各正方形中四个数之间均具有相同的规律，根据此规律，第n个正方形中的d＝﹣1278，则n的值为（）A．7B．8C．9D．11【分析】观察图形中各部分数字的变化，发现规律即可解决问题．【解答】解：观察所给图形可知，图形中左上角的数字依次为：﹣2，4，﹣8，16，…，所以第n个图的左上角数字可表示为：（﹣1）n•2n；图形中右上角的数字比左上角的数字大2，所以第n个图的右上角的数字可表示为：（﹣1）n•2n+2；图形中左下角的数字依次为：﹣1，2，﹣4，8，…，所以第n个图的左下角的数字可表示为：（﹣1）n•2n﹣1；又因为每个图形中右下角的数字为其余三个数字的和，所以第n个图的右下角的数字可表示为：（﹣1）n•2n+（﹣1）n•2n+2+（﹣1）n•2n﹣1＝（﹣1）n•2n﹣1×5+2；由题知，（﹣1）n•2n﹣1×5+2＝﹣1278解得n＝9，所以n的值为9．故选：C．【点评】本题考查数字变化的规律，能根据所给正方形中的数字，发现各部分的变化规律是解题的关键．8．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠ACD＝22.5°，AE＝1，则CD的长为（）A．B．C．D．【分析】连接OD，根据垂径定理可得∠AOD＝45°，再根据垂径定理可得CD＝2DE，∠OED＝90°，然后在Rt△OED中，利用锐角三角函数的定义可得DE＝OE，最后设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣1，在Rt△OED中，利用勾股定理列出关于x的方程进行计算，即可解答．【解答】解：连接OD，∵∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ACD＝45°，∵直径AB⊥CD，∴CD＝2DE，∠OED＝90°，在Rt△OED中，DE＝OE•tan45°＝OE，设⊙O的半径为r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△OED中，OE2+DE＝OD2，∴2OE2＝OD2，∴2（r﹣1）2＝r2，解得：r1＝2+，r2＝2﹣（舍去），∴DE＝r﹣1＝1+，∴CD＝2DE＝2+2，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E是BA延长线上一点，2CF＝BF，AE＝CF，则线段DG 的长是（）A．B．C．D．【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，可得A（0，6），C（6，0），D（6，6），直线AC解析式为y＝﹣x+6，根据2CF＝BF，知F（4，0），又AE＝CF，故E（0，8），可得直线EF解析式为y＝﹣2x+8，联立，解得G（2，4），用两点间的距离公式可得DG＝2．【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图：∵正方形ABCD中，AB＝6，∴A（0，6），C（6，0），D（6，6），∴直线AC解析式为y＝﹣x+6，∵2CF＝BF，∴BF＝BC＝×6＝4，CF＝BC＝×6＝2，∴F（4，0），∵AE＝CF，∴AE＝2，∴BE＝AB+AE＝6+2＝8，∴E（0，8），由E（0，8），F（4，0）可得直线EF解析式为y＝﹣2x+8，联立，解得，∴G（2，4），∴DG＝＝2；故选：B．【点评】本题考查正方形的性质及应用，解题的关键是建立直角坐标系，求出相关点坐标，利用两点间的距离公式解决问题．10．（4分）将有序实数对（a，b）进行操作后可得到一个新的有序实数对（a+b，a﹣b），将得到的新的有序实数对按上述规则继续操作下去，每得到一个新的有序实数对称为一次操作．例如，（1，2）经过一次操作后得到（3，﹣1），（1，2）经过二次操作后得到（2，4），…下列说法：①若（4，m）经过五次操作后得到（4，n），则n＝24；②在平面直角坐标系中将（m，1）所对应的点标记为点A，将（m，1）经过二次操作、五次操作所得的有序实数对分别标记为点A1，点A2，若线段A1A2平行于x轴，则△AA1A2的面积为7；③若m+n＝1，mn＝﹣3，则（m2，n2）经过三次操作后的结果为（14，2）．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3【分析】根据题干中所提供的操作方法，逐项进行计算判断即可．【解答】解：①将（4，m）经过1次操作得（4+m，4﹣m），经过2次操作得（8，2m），经过3次操作得（8+2m，8﹣2m），经过4次操作得（16，4m），经过5次操作得（16+4m，16﹣4m）……由于将（4，m）经过1次操作得（4，n），所以有16+4m＝4，16﹣4m＝n，解得m＝﹣3，n＝28，因此①不正确；②由题干中所提供的操作方法可知，将（m，1）经过二次操作可得（2m，2），五次操作可得（4m+4，4m﹣4），即A1（2m，2），点A2（4m+4，4m﹣4），由于线段A1A2平行于x轴，所以4m﹣4＝2，解得m＝，所以A（，1），A1（3，2），A2（10，2），所以△AA1A2的面积为×（10﹣3）×（2﹣1）＝，因此②不正确；③由题干中所提供的操作方法可知，将（m2，n2）经过三次操作得（2m2+2n2，2m2﹣2n2），∵m+n＝1，mn＝﹣3，∴2m2+2n2＝2（m2+n2）＝2×[（m+n）2﹣2mn]＝2×（1+6）＝14，由于（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝1+12＝13，所以m﹣n＝±，所以2m2﹣2n2＝2（m+n）（m﹣n）＝2（m﹣n）＝±2，所以将（m2，n2）经过三次操作后的结果为（14，2）或（14，﹣2）．因此③不正确；综上所述，正确的结论是0个，故选：A．【点评】本题考查平移坐标变化，三角形面积计算以及点的坐标规律型，理解题干中所提供的操作方法以及点的坐标的变化规律是正确解答的关键．二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）计算：＝﹣+2．【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．【解答】解：＝﹣+2×﹣（2﹣）＝﹣+﹣2+＝﹣+2．故答案为：﹣+2．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．12．（4分）函数y＝﹣的自变量x的取值范围是x＞﹣1．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x+1＞0，解得：x＞﹣1，故答案为：x＞﹣1．【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为零是解题的关键．13．（4分）一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的内角和是1440°．【分析】【解答】解：360°÷36°＝10，（10﹣2）×180°＝1440°．即这个多边形的内角和是1440°，故答案为1440．【点评】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有汉字“重”，“外”，“人”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是．【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，再根据概率公式求解即可．【解答】解：画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有3种，∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为＝，故答案为：．【点评】本题考查了用树状图法球概率，正确画出树状图是解题的关键，解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．（4分）如图，AB是半圆O的直径，AB＝6，将半圆O绕点A逆时针旋转30°，点B的对应点为B′，连接AB′，则图中阴影部分的面积是+．【分析】连接OK，过K作AB于H，由旋转的性质得到：∠BAK＝30°，由等腰三角形的性质推出∠OKA＝∠OAK＝30°，由三角形外角的性质得到∠BOK＝30°×2＝60°，由锐角的正弦得到sin∠KOH＝＝，求出KH＝，求出△OAK的面积，扇形OBK的面，即可得到阴影的面积＝△OAK 的面积+扇形OBK的面积．【解答】解：连接OK，过K作KH⊥AB于H，由旋转的性质得到：∠BAK＝30°，∵OA＝OK，∴∠OKA＝∠OAK＝30°，∴∠BOK＝30°×2＝60°，∵AB＝6，∴OB＝OK＝OA＝3，∵sin∠KOH＝sin60°＝＝，∴KH＝，∴△OAK的面积＝OA•KH＝×3×＝，扇形OBK的面积＝＝，∴阴影的面积＝△OAK的面积+扇形OBK的面积＝+．故答案为：+．【点评】本题考查旋转的性质，扇形面积的计算，三角形面积的计算，关键是求出△OAK的面积、扇形OBK的面积．16．（4分）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，G为AF上一点，EG∥AB，连接DG，若AG＝4，DG＝，则CE＝．【分析】连接DE，由折叠的性质得：DF＝FE，DG＝EG，∠DFG＝∠EFG，由平行线的性质推出∠EGF ＝∠DFG，得到∠DFG＝∠DGF，推出EG＝EF，判定四边形EFDG是菱形，得到DE⊥FG，OG＝OF，由△FDO∽△F AD，得到FD：F A＝FO：FD，即求出OF的长，由勾股定理求出OD＝＝，得到BD＝2OD＝2，由△DCE∽∠ADF，得到EC：DF＝DE：AF，即可求出CE的长．【解答】解：连接DE，由折叠的性质得：DF＝FE，DG＝EG，∠DFG＝∠EFG，∵EG∥AB，∴∠EGF＝∠DFG，∴∠DFG＝∠DGF，∴EG＝EF，∴GE＝EF＝FD＝DG，∴四边形EFDG是菱形，∴DE⊥FG，OG＝OF，∴∠DOF＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADF＝90°，∴∠DOF＝∠ADF，∵∠DFO＝∠AFD，∴△FDO∽△F AD，∴FD：F A＝FO：FD，∵AF＝AG+OG+OF＝4+2OF，∴：（4+2OF）＝OF：，∴OF＝1（舍去负值），∴OD＝＝，∴BD＝2OD＝2，∵∠CDE+∠ADO＝∠DAF+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠DAF，∵∠DCE＝∠ADF＝90°，∴△DCE∽∠ADF，∴EC：DF＝DE：AF，∴CE：＝2：6，∴CE＝．故答案为：．【点评】本题考查折叠问题，矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是由折叠的性质判定四边形EFDG是菱形，由△FDO∽△F AD，求出OF的长，由△DCE∽∠ADF，即可求出CE的长．17．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程的解是整数，则满足条件的所有整数a的值之和为4．【分析】先解已知条件中的不等式组，再根据不等式组有且仅有2个奇数解，求出a的取值范围，然后解已知条件中的分式方程，根据方程解是整数，求出a值，最后求出同时满足已知条件的a的值，求出它们的和即可．【解答】解：，由①得：3x﹣1＜2x+4，3x﹣2x＜4+1，x＜5，由②得：5x+2x≥a+3，7x≥a+3，，∴，∵关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，∴这两个奇数解为1和3，∴，∴0＜a+3≤7，解得：﹣3＜a≤4，，方程两边同时乘y﹣2得：3y+a﹣6＝y﹣2，3y﹣y＝﹣2﹣a+6，2y＝4﹣a，∴，∵关于y的分式方程的解是整数，∴4﹣a＝0或±2，±4，±6，±8…，且，解得：a＝4或2或6或0或8或﹣2或10或﹣4或12…，且a≠0，综上可知；a＝﹣2或2或4，∴满足条件的所有整数a的值之和为：﹣2+2+4＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．18．（4分）一个四位正整数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，若满足千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，则称这个四位数M为“厚德数”．将“厚德数”的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调得到一个新的四位数N．若N能被9整除，则a+d＝9.在此条件下，若为整数，则满足条件的所有M的和为35451．【分析】由“博雅数”的定义得a+d＝b+c，故N＝1000c+100d+10a+b＝999c+99d+9a+a+b+c+d＝999c+99d+9a+2（a+d），由N能被9整除，得a+d＝9．计算M+N＝1014a+104d+1014c+104d﹣（4a+3d+4c+3b），故4a+3d+4c+3b能被13整除，代入a+d＝b+c＝9，计算得2+a+c能被13整除，故a+c ＝11．然后用列举法得到6个符合题意得6个数，再计算即可．【解答】解：∵M＝1000a+100b+10c+d，N＝1000c+100d+10a+b，根据“博雅数”的定义得a+d＝b+c，故N＝1000c+100d+10a+b＝999c+99d+9a+a+b+c+d＝999c+99d+9a+2（a+d），∵N能被9整除，∴2（a+d）能被9整除，∴a+d＝9．故答案为：9．M+N＝1000a+100b+10c+d+1000c+100d+10a+b＝1010a+101b+1010c+101d＝1014a+104d+1014c+104d﹣4a﹣3d﹣4c﹣3b＝1014a+104d+1014c+104d﹣（4a+3d+4c+3b）∵1014a+104d能被13整除，∴4a+3d+4c+3b能被13整除，∵a+d＝b+c＝9，∴4a+3d+4c+3b＝52+2+a+c∴2+a+c能被13整除，∴a+c＝11．当a＝3时，c＝8，故b＝1，d＝6，故这个数是3186．当a＝4时，c＝7，故b＝2，d＝5，故这个数是4275．当a＝5时，c＝6，故b＝3，d＝4，故这个数是5364．当a＝6时，c＝5，故b＝4，d＝3，故这个数是6453．当a＝7时，c＝4，故b＝5，d＝2，故这个数是7542．当a＝8时，c＝3，故b＝6，d＝1，故这个数是8631．故这6个数的和为数是3186+4275+5364+6453+7542+8631＝35451．故答案为：35451．【点评】本题考查了整式的加减，列出代数式并正确计算是解题关键．三、解答题：（本大题共8个小题，其中19题8分，20-26题10分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上19．（8分）计算：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2；（2）．【分析】（1）根据单项式乘多项式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可．【解答】解：（1）x（x﹣4y）﹣（x﹣2y）2＝x2﹣4xy﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣4y2；（2）＝•＝＝＝．【点评】本题考查分式的混合运算、单项式乘多项式和完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．20．（10分）（1）用直尺和圆规完成以下基本作图，在直线AC下方作∠ACF＝∠AEB，F为CF与AB延长线的交点；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，取CF中点G，连接BG，求证：四边形BECG是菱形．证明：∵∠ACF＝∠AEB，∴BE∥①CF，∴，∵E是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴E为AC边上的中点，∴B为AF边上的中点，∴BE为△ACF的中位线，∴BE＝②CF．∵G为CF边上的中点，∴，∴③CG＝BE，∴四边形BECG为④平行四边形，又∵G为CF边上的中点，∠CBF＝90°，∴，∴四边形BECG是菱形（⑤一组邻边相等的平行四边形是菱形）．【分析】（1）先以C为圆心，AE的长为半径画弧，再以E为圆心，AB的长为半径画弧，连接C与两弧交点并延长，交AB的延长线于F；（2）先证四边形BECG是平行四边形，再证平行四边形BECG一组邻边相等．【解答】解：（1）；（2），∵∠ACF＝∠AEB，∴BE∥CF，∴，∵E是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴E为AC边上的中点，∴B为AF边上的中点，∴BE为△ACF的中位线，∴BE＝CF，∵G为CF边上的中点，∴，∴CG＝BE，∴四边形BECG为平行四边形，又∵G为CF边上的中点，∠CBF＝90°，∴，∴四边形BECG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）故答案为：CF，CF，CG＝BE，平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形．【点评】本题考查了作图、菱形的判定，关键是掌握菱形的判定条件．21．（10分）为了解七八年级学生的竞赛水平，现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机选出20名同学的成绩进行分析，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A：x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．其中，七年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96．八年级等级C的学生成绩为：87，81，86，83，88，82，89．两组数据的平均数、中位数、众数、方差表：根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝87.5，b＝88，m＝35；（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）若七、八年级共有2000名学生参赛，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生共有多少人？【分析】（1）利用中位数和众数的定义即可求出a和b的值；利用八年级C组的频数除以20即可得m 的值；（2）根据平均数、中位数和众数的角度进行分析即可得；（3）利用样本估计总体即可．【解答】解：（1）八年级A、B组的频数和为20×（10%+15%）＝5，所以将八年级20名学生的成绩按从大到小排序后，第10个数和第11个数在C组，分别为87，88，则其中位数a＝＝87.5，七年级D组的人数为10%×20＝2（人），根据七年级成绩可知88分的最多有3人，所以众数为b＝88，∵m%＝7÷20×100%＝35%，所以m＝35；故答案为：87.5，88，35；（2）八年级的成绩更好，理由如下：七、八年级的平均数相同，但八年级成绩的中位数和众数都比七年级的大，所以八年级的更好；（3）2000×＝700（人），答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀（大于或等于90分）的学生大约共有700人．【点评】本题考查了用样本估计总体，算术平均数，中位数，众数以及方差，掌握相关知识是解题的关键．22．（10分）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．（1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米？（2）若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建（1+）x米，根据若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．列出分式方程，解方程即可；（2）设先由甲施工队单独修建m天，根据先由甲施工队单独修建若干天，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，列出一元一次方程，解方程即可．【解答】解：（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修建（1+）x米，由题意得：﹣＝3，解得：x＝90，经检验，x＝90是原方程的解，且符合题意，∴（1+）x＝×90＝120，答：甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；（2）设先由甲施工队单独修建m天，由题意得：90（m+3）+120×3＝1080，解得：m＝5，∴13000×（m+3）+15000×3＝13000×（5+3）+15000×3＝149000（元），答：共需修建费用149000元．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．23．（10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，2AP＝BP，点Q从点B开始沿B→C →A的方向以2cm/s的速度移动，（点Q不与点B，A重合）．设运动时间为t秒，△BPQ的面积为y cm2．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）已知函数，结合函数图象，若方程y1＝y只有一个实数解，那么b的取值范围为0＜b＜3或b＝．。

重庆市重庆实验外国语学校2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（满分150分，120分钟完成）一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分。

共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1. 下列各数中，是无理数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查无理数的识别，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可，熟练掌握其定义是解题的关键．【详解】解：A为有理数，不符合题意；B 、为有理数，不符合题意；C 、为有理数，不符合题意；D 、是无限不循环小数，是无理数，符合题意；故选：D ．2. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．【详解】解：A 、，长度是的线段不能组成三角形，故A 不符合题意；B 、，长度是的线段能组成三角形，故B 符合题意；C 、，长度是的线段不能组成三角形，故C 不符合题意；D 、，长度是的线段不能组成三角形，故D 不符合题意．故选：B ．3. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）127-0.13 0.0100100012=127-0.130.010010001 1cm,2cm,3cm5cm,6cm,10cm 2cm,5cm,8cm 3cm,3cm,6cm123+=1cm,2cm,3cm 5610+>5cm,6cm,10cm 258+<2cm,5cm,8cm 336+=3cm,3cm,6cm a b >A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】此题考查了不等式的性质，利用不等式的性质判断即可，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．【详解】解：A 、，，故A 不成立，不符合题意；B 、当时，，故B 不一定成立，不符合题意；C 、当时，，故C 不一定成立，不符合题意；D 、，，，故D 一定成立，不符合题意；故选：D ．4. 若，其中a ，b 为两个连续的整数，则的值为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查了估算无理数的大小，估算的大小，根据a 、b 为两个连续的整数即可求得a 、b 的值，代入代数式求解即可．【详解】解∶∵，，即，∴，∵，其中a ，b 为两个连续的整数，∴，，∴，故选：B ．5.下列命题是真命题的是（ ）A. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等D.垂直于同一条直线的两条直线互相平行22a b -<-ac bc >||||a b >c a c b-<-a b > 22a b \->-0c <ac bc <1,2a b ==-||||a b <a b > a b ∴-<-c a c b ∴-<-6a b <-<b a 6161825<<<<45<<162<<6a b <<1a =2b =211b a ==【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键．【详解】解：A 、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是真命题，符合题意；B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原命题是假命题，不符合题意；C 、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意；D 、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行原命题是假命题，不符合题意；故选：A ．6. 如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为的面积为，则的面积为（ ）．A. 3B. 4C.D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中线平分三角形的面积，利用平分，点作的垂线，得到，则的面积等于的面积为，的面积等于的面积，即可解答，证明是解题的关键．【详解】解：平分，过点作的垂线，,，在与中，，，ABC BF ABC ∠A BF BF P BC E PBC 26cm ,APC 25cm 3ABP 2cm 13392BF ABC ∠A BF AP PE =PEC APC △25cm 3ABP BPE APB EPB ≌△△BF ABC ∠A BF ABP EBP ∴∠=∠90APB EPB ==︒∠∠APB △EPB △ABP EBP APB EPB PB PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS APB EPB ∴△≌△，则的面积等于的面积为，，故选：C ．7. A 、B 两地相距，一辆电动车和一辆自行车从两地同时出发，匀速相向而行，后在地相遇．此时，电动车电量即将耗尽，地恰有充电站，电动车在充电站速充后，按原路原速返回（电动车到充电站的时间忽略不计），自行车未停留，仍按原速原方向继续前进，在电动车再次出发后追上了自行车．设电动车的速度为，自行车的速度为，则可列方程组为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据“电动车和自行车行驶1小时的路程和为；自行车行驶的路程等于电动车行驶的路程”列方程组即可．【详解】解：根据题意，得，故选：B ．8. 如图，在中，，垂足分别是D 、E ，、交于点．已知，则的长度为（ ）AP PE ∴=PEC APC △25cm 3213cm 3APB PBE PEC PEC S S S S ∴==-=△△△△30km 1h C C 30min 10min km /h x km /h y 303010106060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩301030106060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩()()603000301010x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()603000103010x y x y⎧+=⎪⎨=+⎪⎩30km 40min 10min 301010306060x y x y +=⎧⎪+⎨=⎪⎩ABC ,AD BC CE AB ⊥⊥AD CE H 10,6AE CE BE ===CHA. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明得出，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，在和中，∴，∴又，∴，故选：C ．9. 如图，在平面直角坐标系中，点第1次向右跳动1个单位至点，紧接着第2次向上跳动1个单位至点，第3次向左跳动2个单位至点，第4次向上跳动1个单位至点，第5次又向右跳动3个单位至点，第6次向上跳动1个单位至点照此规律，的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】ASA AEH CEB ≌6EH BE ==,AD BC CE AB ⊥⊥90AEH CEB ADB ∠=∠=∠=︒90EAH ECB B ∠=∠=︒-∠AEH △CEB EAH ECB AE CEAEH CEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA AEH CEB ≌6EH BE ==10CE =4CH CE EH =-=(0,0)O 1(1,0)P 2(1,1)P 3(1,1)P -4P 5P 6,P⋯2026P (506,1012)-(507,1012)(507,1013)(506,1013)【分析】本题考查了点的坐标规律探求，找准规律是解题的关键．先求出前几个点的坐标，找出规律，再根据规律解答．【详解】解：观察发现：，，，，，，，，……，∴，，，（n 为自然数），∵，∴，即；故选：C ．10. 有依次排列的两个整式：，对任意相邻的两个整式，都用左边的整式减去右边的整式，所得的差写在这两个整式之间，可以产生一个新的整式串：，这称为第一次操作；将第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串：，该整式串包含5个整式；以此类推．记第次操作得到的整式串之和为．以下四个结论：①第三次操作后的整式串中共有8个整式；②第次操作后的整式串共有个整式（为正整数）；③第2024次操作后的整式串中所有整式的和为；④的值为3．正确的有（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了数字变化类，解决问题的关键是熟练掌握每一次操作的方法，每一次操作所产生的整式的个数与操作次数的关系规律，或所有整式之和与操作次数的关系规律．①根据第三次操作后整式的个数判定；②根据前四次操作结果，探究每次操作整式个数与操作次数关系的规律判定；③、④根据前四次操作结果，探究每次操作所有整式的和与操作次数关系的规律解答即可【详解】解：①原整式为：，第1次操作后所得整式串为：，第2次操作后所得整式串为：，第3次操作后所得整式串为：，共有9个整式，故①错误；第1次操作后整式串共有3个整式，，1(1,0)P 2(1,1)P 3(1,1)P -4(1,2)P -5(2,2)P 6(2,3)P 7(2,3)P -8(2,4)P -9(3,4)P 41(1,2)n P n n ++42(1,21)n P n n +++43(1,21)n P n n +--+44(1,22)n P n n +--+202650642=⨯+2026(5061,25061)P +⨯+(507,1013),3x x -,3,3x x -,3,3,6,3x x x x ---n n S n 21n +n 26069x +1n n S S +-,3x x -,3,3x x -,3,3,6,3x x x x ---,3,3,6,3,3,6,92,3x x x x x x x --+---321=+第2次操作后整式串共有5个整式，，，第3次操作后整式串共有9个整式，，第4次操作后整式串共有17个整式，，……，第n 次操作后整式串共有整式个数为：，②正确；第1次操作后所得整式串为：x ，2，，所有整式之和为：，第2次操作后所得整式串为：x ，，3，，，所有整式之和为：，第3次操作后所得整式串为：x ，3，，，3，，，，，所有整式之和为：，第4次操作后所得整式串为：x ，，3，，，3，，，3，，，，，，，，，所有整式之和为：，……，第n 次操作后所得所有整式的和为：，故操作第2024次操作后所有整式之和为：，故③正确；∴．，故④正确，故选：A ．二、填空题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案直按填在答题卡对应的横线上．11. 已知和是一个正数的两个不同的平方根，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查平方根，掌握平方根的性质是解题的关键．根据平方根的性质进行解题即可．【详解】解：由题可知，232521+==+354921+==+4981721+==+21n +3x -2x 3x -6x -3x -23x +3x -6x -3x -6x -92x -3x -26x +3x -6x -3x -6x -9x -6x -3x -29x -6x -3x -92x -123x -3x -29x +()231x n +-()232024126069x x +⨯-=+1n nS S +-()()2311231x n x n ⎡⎤⎡⎤=++--+-⎣⎦⎣⎦23233x n x n =+--+3=32m +28m +m 2-，解得．故答案为：．12. 一个多边形的每个内角都等于，则这个多边形的边数是______．【答案】6##六【解析】【分析】此题主要考查了多边形的内角与外角的关系．先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数．【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于，∴多边形的每一个外角都等于，∴边数．故答案为：6．13. 若点向上平移4个单位后得到的点在轴上，则的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，先平移点，再根据x 轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案；【详解】解：∵点向上平移4个单位，∴平移后的点坐标为，∵平移后的点在x 轴上，∴，解得：，故答案为：．14. 如图，在中，平分面积为 __．【答案】532280m m +++=2m =-2-120︒360︒360︒120︒18012600︒-︒=︒360606n =︒÷︒=()2,31A m m -x m 1-()2,31A m m -()2,33m m +330m +=1m =-1-ABC AD 52BAC DE AB AC DE ACD ∠⊥== ，，，，【解析】【分析】过点D 作，交的延长线于点F ，先利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【详解】解：过点D 作，交延长线于点F ，∵平分，，∴，∵，∴面积，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．15. 若满足方程组的，互为相反数，则的值为________________．【答案】【解析】【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法及相反数的性质是解本题的关键．把m 看作已知数表示出x 与y ，代入计算即可求出m 的值．【详解】解：得：，解得：，的DF AC ⊥AC 2DE DF ==DF AC ⊥AC AD BAC DE AB DF AC ∠⊥⊥，，2DE =2DE DF ==5AC =ACD 1•2AC DF =1522=⨯⨯5=5321x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩x y m 1-0x y +=321x y m x y +=+⎧⎨-=-⎩①②-①②43y m =+34m y +=将代入②得：，解得：，∵x 与y 互为相反数，∴，即，解得：．故答案为：．16. 等腰三角形的周长为，其中一边长为，则该等腰三角形的底边长为______．【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况进行讨论即可．【详解】解：①当为底边时，此时底边长即为4cm ；②当为腰长时，18-8=10，此时4+4<10，不能构成三角形，故答案为．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，进行分类讨论是解题的关键．17. 如图，中，，过点作，点P ，Q 分别在线段和射线上移动．若，则当______时，和全等．【答案】或【解析】【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①时，；②当P 运动到与C 点重合时，，此时．【详解】解：①当P 运动到时，如图所示：34m y +=314m x +-=-14m x -=0x y +=31044m m +-+=1m =-1-18cm 4cm 4cm4cm 4cm 4cm ABC 90,16cm,8cm C AC BC ∠=︒==A AM AC ⊥AC AM PQ AB =AP =ABC APQ △8cm 16cm8cm AP BC ==()Rt Rt HL ABC QPA ≌()Rt Rt HL ABC PQA ≌16cm AP AC ==AP BC =在和中，，∴，即；②当P 运动到与C 点重合时，如图所示：在和中，，∴），即．综上所述，的长度是或．故答案为：或．18. 若关于的不等式组有且仅有四个整数解，关于的方程有正整数解，则符合条件的整数有______个．【答案】2【解析】【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，灵活Rt ABC △Rt QPA △BC PA AB QP =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC QPA ≌8cm AP BC ==Rt ABC △Rt PQA △AC PA AB QP =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL ABC PQA ≌16cm AP AC ==AP 8cm 16cm 8cm 16cm x ()32122324m x x x -⎧≤-⎪⎨⎪--≥⎩y 5()2(2)m y y +-=-m运用所学知识解决问题．利用不等式组求出的取值范围，再根据方程有整数解，判断出的值，可得结论．【详解】解：，由①得，由②得，不等式组有四个整数解，，解得，关于的方程，，方程有整数解，，，符合条件的整数有2个．故答案为：219. 如图，将沿折叠，点落在点处，连接，若平分，平分，且，则的度数为______．【答案】##度【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角的性质、折叠变换等知识，解题的关键是正确添加辅助线，灵活应用所学知识．连接，先求出，再由平分，平分，可得平分，最后由三角形外角的性质求解即可．【详解】解：如图，连接，m m ()32122324m x x x -⎧≤-⎪⎨⎪--≥⎩①②14m x -≥2x ≤ 1214m -∴-≤≤-73m -≤≤-y 5()2(2)m y y +-=-93m y += 6m ∴=-3-∴m ABC DE B 1B 11,AB CB 1AB BAC ∠1CB ACB ∠1110∠=︒2∠40︒401BB ABC ∠1AB BAC ∠1CB ACB ∠1BB ABC ∠1BB平分，平分，，，，，，，，平分，平分，，平分，，沿折叠，，，故答案为：．20. 一个四位正整数，如果满足各个数位上的数字均不为0，千位数字与个位数字相等，百位数字与十位数字相等，则称为“优美数”．将的千位数字与百位数字对调．十位数字与个位数字对调得到一个新数，记．例如：优美数时，，则．已知s 、t 都是“优美数”，记的千位数字与百位数字分别为a ，b ，t 的千位数字与百位数字分别为x ，y ，其中，，，，，，，均为整数．若能被7整除，则______；同时，若、还满足，则的最大值为______．【答案】①. 7 ②. 10230【解析】1AB BAC ∠1CB ACB ∠112B AC BAC ∴∠=∠112B CA BCA ∠=∠1110∠=︒ 1118011070B AC B CA ∴∠+∠=︒-︒=︒140BAC BCA ∴∠+∠=︒18014040ABC ∴∠=︒-︒=︒1AB BAC ∠1CB ACB ∠1BB ∴ABC ∠120B BE ∴∠=︒ DE 1120BB E B BE ∴∠=∠=︒11240BB E B BE ∴∠=∠+∠=︒40︒m m m m m '()99m m F m '-=8228m =2882m '=()8228288282289954F =-=s 19b a ≤<≤19x ≤≤19y ≤≤a b x y ()F s a b -=()F s ()F t ()()687F s F t a b x y xy +=++-+t【分析】本题考查了新定义，整式的加减，数的整除性，关键是正确理解新定义，利用代数式的值进行相关分类讨论，把新知识转化为熟悉的知识进行解答．根据对称数定义表示出，，得到，根据能被7整除，，得到；同理得，根据条件得到，由，得到，或，，根据，均为整数，分别列举出，的值代入求解即可．【详解】解：的千位数字与百位数字分别为，，，，，能被7整除，且，；同理得，，∵，∴，，，，或，，当，时，，即，，均为整数，当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；1001110s a b =+1001110s b a '=+()()9F s a b =-()F s 19b a ≤<≤7a b -=()()9F t x y =-()()99687a b x y a b x y xy -+-=++-+7a b -=19b a ≤<<8a =1b =9a =2b =x y x y 1001110t x y =+s a b 1000100101001110s a b b a a b ∴=+++=+1000100101001110s b a a b b a '=+++=+()()10011101001110891891()99999a b b a a b F s a b +-+-∴===-()F s 19b a ≤<≤7a b ∴-=1001110t x y =+1001110t y x'=+()89189991()9x y F t x y -==-()()687F s F t a b x y xy +=++-+()()99687a b x y a b x y xy -+-=++-+7a b -= 19b a ≤<≤8a ∴=1b =9a =2b =8a =1b =142x y xy ∴+=+1412122x y x x +==+++x y 1x =12152y x =+=+10011101001111051551t x y =+=⨯+⨯=2x =12142y x =+=+10011101001211042442t x y =+=⨯+⨯=4x =12132y x =+=+10011101001411034334t x y =+=⨯+⨯=当时，，此时；当，时，，即，，均为整数，当时，，此时；综上所述，的最大值为10230．故答案为：7；10230．三、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．21. 计算：（1；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了实数的运算，解题的关键是：（1）利用算术平方根、立方根的定义化简计算即可；（2）利用算术平方根、立方根的定义，绝对值的运用，乘方法则化简计算即可．【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解∶原式10x =12122y x =+=+1001110100110110210230t x y =+=⨯+⨯=9a =2b =72x y xy ∴+=+75122x y x x +==+++x y 3x =5122y x =+=+10011101001311023223t x y =+=⨯+⨯=t 2+-()20231|3|---1-()533=+--533=--1=-()1432=--+-1432=--++=22. （1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：（2）解不等式组，并求出它的整数解．【答案】（1），在数轴上表示见解析；（2），整数解为4、5、6【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键．（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1），由①得，，由②得，，故此不等式组的解集为，解集在数轴上表示如下：；（2）解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，它的整数解为4、5、6．23. 为了增强学生对地震安全知识的了解，某校举行防灾安全知识竞赛．竞赛结束后，组织者随机抽取了部分学生的成绩，调查发现他们的成绩（满分100分）均不低于60分．将这部分学生的成绩（用表示）分为四组：组组组组，绘制了如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图．424131x x x x -<+⎧⎨+≥-⎩4(1)78253x x x x +≤-⎧⎪-⎨-<⎪⎩1x ≤4 6.5x ≤<424131x x x x -<+⎧⎨+≥-⎩①②2x <1x ≤1x ≤4(1)78x x +≤-4x ≥253x x --< 6.5x <4 6.5x ≤<x A (6070),x B ≤<(7080),x C ≤<(8090)x D ≤<，(90100)x ≤≤根据以上信息，解答下列问题：（1）通过计算补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中组所对应的圆心角的度数为______；（3）根据以上数据，估计全校参加竞赛的6000名学生中成绩不低于80分的学生人数．【答案】（1）见解析（2）（3）人【解析】【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键．（1）先根据组是100人，占小明所在学校参加竞赛学生的，求出小明所在学校参加竞赛学生人数为400人，由此可求出组的人数为80人，据此可补全频数分布直方图；（2）由组是40人，求出组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出组所对应的圆心角的度数；（3）利用样本估计总体思想即可求解．【小问1详解】解：由频数分布直方图可知：组是100人，由扇形统计图可知：组占小明所在学校参加竞赛学生的，小明所在学校参加竞赛学生人数为：（人，组的人数为： 人），补全频数分布直方图如图所示：【小问2详解】A 36︒4200C 25%B A A AC C 25%∴10025%400÷=)B ∴40020%80(⨯=∴解：由频数分布直方图可知：组40人，组人数占班级人数的百分比为：，组所对应的圆心角的度数为：；故答案为：；【小问3详解】（人，答：估计全区参加竞赛的6000名学生中有4200人的成绩不低于80分．24 如图，中，，延长到点，过点作于点E ，与交于点，若．（1）求证：；（2）若，求的长度．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用证明即可得证；（2）利用等式性质证明，再利用证明，得出，即可求解．【小问1详解】证明：在和中，，∴，∴；【小问2详解】是.A A ∴4040010%÷=A ∴36010%36︒⨯=︒36︒10018060004200400+⨯=)ABC 90ACB ∠=︒AC F F FE AB ⊥FE BC D DE DC =BD DF =3cm,5cm AC AB ==CF 2cmASA BDE FDC ≌△△BC EF =AAS ACB AEF ≌ AB AF =BDE △FDC △90BED FCD DE DCBDE FDC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA BDE FDC ≌BD FD =解：∵，，∴，即，在和中，，∴，∴，又，∴．25. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，．点为边上任意一点，把按某个方向平移后，点的对应点为点，点A ，B ，C 的对应点分别为．（1）在图中画出平移后的；（2）求的面积；（3）若在轴的正半轴上存在点，使得的面积等于10，求点的坐标．【答案】（1）见解析（2）19 （3）或DE DC =BD FD =BD CD FD DE +=+BC EF =ABC AFE △90ACB AEF A ABC FE ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS ACB AEF ≌AB AF =3cm,5cm AC AB ==2cm CF AF AC AB AC =-=-=ABC (5,0),(3,8)A B --(1,3)--C (,)P a b ABC ABC (,)P a b 1(6,2)P a b +-111,,A B C 111A B C △111A B C △y Q 1QAB Q 50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭250,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】本题考查了平移，三角形的面积等知识，解题的关键是：（1）根据平移的特征知，将向右平移6个单位，向下平移2个单位，根据平移的性质，即可画出平移后的；（2）利用割补法求解即可；（3）设，过作轴于M ，分Q 在下方和Q 在上方讨论，利用割补法构建关于x 的方程求解即可．【小问1详解】解∶∵把按某个方向平移后，点的对应点为点，，∴向右平移6个单位，向下平移2个单位，∴平移后的如图所示，【小问2详解】解：的面积为；【小问3详解】解：设，过作轴于M ，当Q 在下方时，ABC 111A B C △()0,Q x 1B 1B M x ⊥1AB 1AB ABC (,)P a b 1(6,2)P a b +-ABC 111A B C △111A B C △111411432821119222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=()0,Q x 1B 1B M x ⊥1AB∵，∴，解得，∴；当Q 在上方时，∵，∴，解得，∴；111AB M AB Q AMQ B MQ S S S S =++ 1118610836222x ⨯⨯=+⨯+⨯⨯54x =50,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭1AB 111AB M AB M AOQ B MOQ S S S S +=+梯形 ()1118610536222x x ⨯⨯+=⨯+⨯⨯+254x =250,4Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭综上，Q 的坐标为或．26. 为了迎接“重庆市的义教优均测试”，晨光文具店计划购进A 、B 两种文具套盒，已知A 种套盒的进价比B 种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A 种套盒300个，B 种套盒600个，共计12600元．（1）求A 、B 两种套盒的单价；（2）文具店第二次又购进A 、B 两种套盒共1000个，且投入的资金不超过13800元．在销售过程中，A 、B 两种套盒的标价分别为20元/个、25元/个．两种套盒按标价各卖出m 个以后，该店进行促销活动，剩余的A 种套盒按标价的七折销售，剩余的B 种套盒按标价的八折销售，若第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，请求出m 的最小值．【答案】（1）A 种文具套盒的单价是12元，B 种文具套盒的单价是15元；（2）m 最小值为200．【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（1）设A 种文具套盒的单价是x 元，B 种文具套盒的单价是y 元，根据“A 种套盒的进价比B 种套盒的进价每个便宜3元，现分别购进A 种套盒300个，B 种套盒600个，共计12600元”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之可得出结论；（2）设文具店第二次又购进a 个A 种文具套盒，则购进个B 种文具套盒，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过13800元，可列出关于a 的一元一次不等式，解之可得出a 的取值范围，结合两种文具套盒的每盒的销售利润，可得出当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，利用总利润＝每盒A 种文具套盒的销售利润×销售数量+每盒B 种文具套盒的销售利润×销售数量，结合最大利润不少于6000元，可列出关于m 的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【小问1详解】设A 种文具套盒的单价是x 元，B 种文具套盒的单价是y 元，根据题意得：，解得：．答：A 种文具套盒的单价是12元，B 种文具套盒的单价是15元；【小问2详解】设文具店第二次又购进a 个A 种文具套盒，则购进个B 种文具套盒，的50,4⎛⎫ ⎪⎝⎭250,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1000a -（）400a =330060012600y x x y -=⎧⎨+=⎩1215x y =⎧⎨=⎩1000a -（）根据题意得：，解得：，∵（元），（元），（元），（元），，∴B 种文具套盒的销售利润高，∴当时，第二次购进的1000个套盒全部售出后获得的利润最高，此时．∵第二次购进的1000个套盒全部售出后的最大利润不少于6000元，∴，解得：，∴m 的最小值为200．答：m 的最小值为200．27. 阅读并理解下面内容，解答问题．三角形的内心定义：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心．如图1，已知是的三条内角平分线．求证：相交于一点．证明：如图2，设相交于点，过点分别，垂足分别为D ，E ，F ．点是的平分线上的一点，，同理，，．是的平分线，点在上．相交于一点．请解答以下问题：（1）如图3，在中，为的内心，延长到点，使得1215100013800a a +-≤（）400a ≥20128-=251510-=200.7122⨯-=250.8155⨯-=81025＜，＜400a =10001000400600a -=-=810240056006000m m m m ++-+-≥（）（）200m ≥,,AM BN CP ABC ,,AM BN CP ,AM BN O O ,,OD BC OE AC OF AB ⊥⊥⊥ O BAC ∠AM OE OF ∴=OD OF =OD OE ∴=CP ACB ∠∴O CP ,,AM BN CP ∴ABC 78,45,BAC ABC P ∠=︒︒=∠ABC CA D，连接，与交于点，求的角度．（2）如图4，为的内心，连接，M 为边上一点，连接并延长交于点，若，求证：（3）为的内心，，且，若为线段上的动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，直接写出的角度．【答案】（1）（2）见详解（3）【解析】【分析】（1）先求出，，再根据证明，则，因此；（2）过点P 作交于点E ，F ，连接，根据平行线和角平分线得到，先证明，再证明，则可得到，由，再进行等量代换和线段的和差计算即可；（3）连接并延长交于点D ，将绕点P 逆时针旋转至，连接并延长交于点M ，先证明，继而确定点F 轨迹为直线上的部分线段，当，即点F 与点M 重合时，取得最小值，再根据三角形内角和定理以及角平分线，进行计算即可．【小问1详解】解：如图∵点P 为内心，∴，设，的CB CD =DP DP AB G APD ∠P ABC ,PB PC AB MP AC N ANM ABC ∠=∠BM CN MN+=P ABC AB AC =30ACB ∠=︒E BC PE PE P 60︒PF FA FA 12BPE PEB ∠+∠16.5︒142.5︒129BPC ∠=︒112.5APC ∠=︒SAS CPD CPB △△≌129CPD CPB ∠=∠=︒129112.516.5APD ∠=︒-︒=︒EF BC ∥,AB AC AP EF EP PF EB CF =+=+APM APF △≌△MPE FPN △≌△,,EM FN PM PF EP NP ===MN MP PN PF PE EF =+=+=AP BC PD 60︒PG FG AC EPD FPG △≌△GM AF GM ⊥FA ABC 12,34∠=∠∠=∠12,34αβ∠=∠=∠=∠=在中，，即，∴，在中，，同理可求：，∵，∴，∴，∴【小问2详解】证明：过点P 作交于点E ，F ，连接，∵，∴，，∵，∴，∴，同理可证：，∴，∵，又∵，∴，∴，ABC 180********ABC ACB BAC ∠+∠=︒-∠=-=︒22102αβ+=︒51αβ+=︒BPC △()180********BPC αβ∠=︒-∠-∠=︒-+=︒190112.52APC ABC ∠=︒+∠=︒,34,CD CB CP CP =∠=∠=CPD CPB △△≌129CPD CPB ∠=∠=︒129112.516.5APD ∠=︒-︒=︒EF BC ∥,AB AC AP EF BC ∥23∠∠=ACB AFP ∠=∠12∠=∠13∠=∠EB EP =FP FC =EF EP PF EB CF =+=+180,180BAC ABC ACB BAC AMN ANM ∠+∠+∠=︒∠+∠+∠=︒ANM ABC ∠=∠ACB AMN ∠=∠AMN AFP ∠=∠∵点P 为内心，∴，∵，∴，∴∵，∴，∵，∴∴，∴，∴即：．【小问3详解】解：连接并延长交于点D ，将绕点P 逆时针旋转至，连接并延长交于点M ，∵P 为内心，∴平分，∵，∴，∴由题意得：，∴，∴，∴∵，∴，ABC 45∠=∠AP AP =APM APF △≌△,PM PF =AMN AFP ∠=∠EMP NFP ∠=∠MPE FPN ∠=∠MPE FPN△≌△,,EM FN PM PF EP NP ===MN MP PN PF PE EF =+=+=EB CF MN BM ME CN NF BM CN+==-++=+BM CN MN +=AP BC PD 60︒PG FG AC ABC AD BAC ∠AB AC =AD BC ⊥903060DAC ∠=︒-︒=︒,,60PE PF PD PG EPF DPG ==∠=∠=︒EPD FPG ∠=∠EPD FPG △≌△90PGF PDE ∠=∠=︒60DAC DPG ∠=∠=︒PG AM ∥∴，∴点F 的轨迹为直线上的部分线段，∴当，即点F 与点M 重合时，取得最小值，如图，连接，∵，∴，∴，∵P 为内心，∴平分，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂线段最短，正确添加辅助线是解题的关键．90AMF PGF ∠=∠=︒GM AF GM ⊥FA BP AB AC =30ABC C ∠=∠=︒120BAC ∠=︒ABC BP ABC ∠1152PBE ABC ∠=∠=︒60EPF ∠=︒120BPE ∠=︒1801512045PEB ∠=︒-︒-︒=︒112022.5142.52BPE PEB ∠+∠=︒+︒=︒。

A ．√3 √213．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）b ＞2 7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）B ．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nAt a nB = 3 √3，则 tan A tan B 的值为（ ）10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5四川省成都市第七中学 2019-2020 学年高一下期期中数学试卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2√6 √2 2B ．4C ．2D ．42．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）1 A ．2B ．1C ．﹣1D ． 21A ．121 B ．43 C ．4D ．√3211 4．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2b aC ．aD ．|a |+|b |＞|a +b |△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√66．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48SS 39A ．8B ．99 7C ．9 或﹣7D ． 或8 88．化简c o s25°si n25°的结果为（）si n 40°si n 50°1 A ．1C ．22D ．﹣121 A ．41 B ．31 C ．25 D ．31 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．5811．有一块半径为 2，圆心角为 45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =．16．已知正数 x ，y 满足 x +y ＝2，若a ≤ x+1 + y+2恒成立，则实数 a 的取值范围是．形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上） 则这个内接矩形的面积最大值为（）A ．2 + √2B ．2 − √2C ．2√2 − 2D ．2√2 + 212．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3， 1)，则 l 的倾斜角的取值范围是．π π15．不等式（x ﹣2）√x 2 − x − 6 ≥0 的解集为．x 2 y 2三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．19．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝﹣26，a 5+a 9＝﹣38．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{a n +b n }是首项为 1，公比为 t 的等比数列，求{b n }的前 n 项和 S n ．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．21．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝3a n+λ（λ为常数）．（1）试探究数列{a n+2λ}是否为等比数列，并求a n；（2）当λ＝2时，求数列{n(a n+2λ)}的前n项和T n．22．设数列{a n}的前n项和为S n，且3(S n+1)=4a n，n∈N∗（1）求{a n}的通项公式；2）求证：1+S2S3+S n+1＞π3π11S（S2S3 S4+⋯+S n n4−115．A ．√3 √2sin105°＝sin （60°+45°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°= √2 × √2 2 × √ = √ 4 ． B ．1 C ．﹣1D ． 23．已知s i n xc o s x = 2，则 sin2x 的值为（）∵s i n xc o s x = 2，∴两边平方，可得：1﹣2sin x cos x ＝1﹣sin2x = 4，∴解得：sin2x = 4．七中高一下期期中参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．sin105°的值为（）√6 √2 1 √2 √6 √2 2B ．4C ．2D ．4易知 sin105°＝sin （60°+45°），展开计算即可得解．3 2 1 2故选：B ．本题主要考查和差角公式的运用，考查运算求解能力，属于基础题．2．已知等差数列{a n }中，a 4＝7，a 7＝4，则公差 d 的值为（）26 √ 21 A ．21利用等差数列的通项公式即可得出．∵a 4＝7，a 7＝4，∴7+3d ＝4，d ＝﹣1．故选：C ．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11 A ．21 B ．43 √3C ．D ．4 2将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可求解．113故选：C ．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．1 14．已知 ＜ ＜0，则下列结论不正确的是（）abb ＞2b ≥2 且当 a ＝b 时取等号，又因 b ＜a ，b ＞2，故 C 对； s i n B=∵等差数列{a n }中，S 10= 2 （a 4+a 7）＝240，baA ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C ． + aD ．|a |+|b |＞|a +b |由题意先求出 b ＜a ＜0，根据它们的关系分别用作差法判断 A 和 B 选项，利用基本不等式判断 C 选项，由几何意义判断 D 选项．1 1∵ ＜ ＜0，∴b ＜a ＜0，abA 、∵b ＜a ＜0，∴a 2﹣b 2＝（a ﹣b ）（a +b ）＜0，则 a 2＜b 2，故 A 对；B 、ab ﹣b 2＝b （a ﹣b ）＜0，则 ab ＜b 2，故 B 对；b a baC 、∵b ＜a ＜0，∴ ＞0， ＞0，则 + a b a ba∴ + aD 、∵b ＜a ＜0，∴|a |+|b |＝|a +b |成立，故 D 不对．故选：D ．本题考查了比较大小的方法，作差法和基本不等式，用基本不等式时应验证三个条件，即一正二定三相等是否成立．△5．在 ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，则边 c ＝（）A ．√2B ．√3C ．2D ．√6由已知利用正弦定理即可求解．∵b ＝2，B ＝45°，C ＝120°，∴由正弦定理bc s i n C，可得2√2= c√3，22∴解得 c = √6．故选：D ．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．6．等差数列{a n }中，S 10＝240，那么 a 4+a 7 的值是（）A ．60B ．24C ．36D ．48利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式求解．10∴a 4+a 7＝48．故选：D ．本题考查等差数列中的两项和的求法，是基础题，解题时要注意等差数列的性质的合理运用．7．设 S n 为等比数列{a n }的前 n 项和，a 12＝16a 16，则 6的值为（）设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，由 a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ，再利用求和公式化简 6，代入即可得设等比数列{a n }的公比为 q ≠1，∵a 12＝16a 16，1＝16q 4，解得 q ＝± ．S 61q1 9 1 7 8 = ． 则 = =1+q 3＝1+= 或 1 a1(1q 3)S 3 8．化简c o s 25°si n25°原式=si n 40°cos40°= si n 40°cos40°= si n 40°cos40° = 2．．在△9 ABC 中，∠C ＝120°，t a nA+ tanB= 3 √3，则tan A tan B 的值为（ ）B ．1t a nAt a nB = 1t a nAt a nB ，故1 t a nAt a nB= 3，即t a nAt a nB= 3．10．已知数列{a n }为各项均为正数的等比数列，S n 是它的前 n 项和，若 a 2•a 8＝4，且a 53a 7 = ，则 S 5SS 39A ．89 7B ．9C ．9 或﹣7D ． 或8 8SS 3出．1 2a1(1q 6)8 8 81q故选：D ． 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．si n 40°si n 50°的结果为（）1 A ．1C ．2D ．﹣12利用诱导公式及二倍角公式直接化简得解．cos10° si n 80° 2si n 40°cos40°故选：C ．本题主要考查二倍角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．21 A ．41 B ．31 C ．25 D ．3根据 A +B ＝180°﹣C ＝60°，先求出 tan （A +B ）的值，再求 tan A tan B ．tan(A+ B) = tan(180°120°) = √3 = t a nA+t a nB2√ 3 32 1故选：B ．本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．1 2的值为（）A ．64B ．62C ．60D ．58结合已知可先求出公比 q 及首项 a 1，然后根据等比数列的求和公式可求．∵a5−3a7=2，∴a7=2，∴q2=a7=4，∴q=2，q4∴S5==62，sin(45°−θ)=a2•a8＝4，可得a52＝4，∵数列{a n}为各项均为正数的等比数列，∴a5＝2，11a151∴a1=a5=32，32(1−1)251−12故选：B．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题．11．有一块半径为2，圆心角为45°的扇形钢板，从这个扇形中切割下一个矩形（矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，且矩形的一边在扇形的半径上）则这个内接矩形的面积最大值为（）A．2+√2B．2−√2C．2√2−2D．2√2+2直接利用正弦定理的应用整理出矩形的两边长，进一步利用矩形的面积公式把面积用三角函数的关系表达式整理出来，最后利用三角函数关系式的变换和正弦型函数性质的应用求出结果．根据题意得到图形：如图所示：设∠COB＝θ．所以BC＝2sinθ，在△ODC中，∠ODC＝180°﹣45°＝135°，利用正弦定理：DC OCsi n135°，整理得CD=2√2sin(45°−θ)，所以 S 矩形＝BC •CD = 2s i n θ ⋅ 2√2sin(45° − θ) =4√2sin （45°﹣θ）sin θ＝2√2si n (2θ + 4) − 2．当θ = 8时，S 矩形的最大值为 2√2 − 2． 3 ，π） ．3 ，π）． 3 ，π）．14．已知c o s (2 + α) = 2cos(π − α)，则t a n(4 − α) =−∵c o s(2 +α) = 2cos(π − α)，ππ故选：C ．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1 且 a +b 2+1＝0，则下列关系式成立的是（）A ．c ≥b ＞aB ．c ≥a ＞bC ．a ＞c ≥bD ．c ＞a ≥b利用已知条件，推出 a 的范围，b 与 c 的关系，利用特殊值判断即可．实数 a ，b ，c 满足 a 2＝2a +c ﹣b ﹣1，可得（a ﹣1）2＝c ﹣b ≥0，可得 c ≥b ，排除 B ，D ，a +b 2+1＝0，可得 a ≤﹣1，当 a ＝﹣1 时，b ＝0，排除 B ，C所以 A 正确．故选：A ．本题考查函数与方程的应用，考查推理与判断能力．二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共计 20 分π2π13．已知直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角的取值范围是[0， ）∪（ 4根据直线 l 斜率的取值范围得出倾斜角正切值取值范围，由此求出倾斜角 θ 的取值范围．直线 l 斜率的取值范围是(−√3，1)，则 l 的倾斜角 θ 满足−√3＜tan θ＜1，其中 θ∈[0，π），π2π所以 θ 的取值范围是[0， ）∪（ 4π 2π故答案为：[0， ）∪（ 4本题考查了直线方程的倾斜角与斜率问题，是基础题．π π1 3．先利用诱导公式可得 sin α＝2cos α，进而可得 tan α＝2，再利用正切的差角公式得解．π∴﹣sin α＝﹣2cos α，∴t a n(4−α)=1+2=−．=故答案为：−3．x2−x−6＞0或x﹣x﹣6＝016．已知正数x，y满足x+y＝2，若a≤x+1+y+2恒成立，则实数a的取值范围是（−∞，5]．t a nπ−t a nα+(y+2−2)25+x+1++(y+2−2)2(x+1)2−2(x+1)+1(y+2)2−4(y+2)+4=+，x+1+y+2−4+y+2，x+1+y+2−1，+y+25+5(y+2)+5(x+1)+−15(y+2)5(x+1)=，4(x+1)⋅∴tanα＝2，π1−2141+tanπt a nα341本题考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，和差角公式的运用，考查化简求解能力，属于基础题．15．不等式（x﹣2）√x2−x−6≥0的解集为[3，+∞）∪{﹣2}．根据不等式中根式的讨论：分大于0，等于0两类，将无理不等式转化为二次不等式组或二次方程解．原不等式同解于x−2≥02解得x＞3或x＝﹣2或x＝3故答案为：[3，+∞）∪{﹣2}．求分式不等式、无理不等式一般先将它们同解变形为整数不等式来解，注意：一定要使原不等式的各部分有意义．x2y24首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得(x+1−1)2x+1y+2=(x+1)2−2(x+1)+1x+1+(y+2)2−4(y+2)+4y+2，最后利用基本不等式的应用求出结果．已知正数x，y满足x+y＝2，所以（x+1）+（y+2）＝5，x+1所以：y+25=1则：x2y2y+2=(x+1−1)2x+1y+2，x+1y+2=x+1−2+14 =14x+1＝（515）（x+1+4y+2）﹣1，=14(x+1)y+245≥1−1+2√y+245要使a ≤ x+1 + y+2恒成立，只需满足a ≤ (x+1 + y+2)mi n 即可，故a ≤ 5．故答案为：（−∞，5]．对应的一元二次方程有两个实数根 x = 和 x = ，4 ＜ ∴不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；对应的一元二次方程有两个相等的实数根 x = − 4，∴不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；综上，a ＞4 或 a ＜﹣4 时，不等式的解集为{x |x ＜ 或 x ＞ }；a ＝±4 时，不等式的解集为{x |x ≠ − 4}；x 2 y 2 x 2 y 244本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．三、解答题：本大题共 6 大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）．讨论 ＞△0， ＝0 以及 ＜△0 时对应不等式的解集即可．关于 x 的不等式：2x 2+ax +2＞0（a ∈R ）中，△＝a 2﹣4×2×2＝a 2﹣16，当 a ＞4 或 a ＜﹣4 时， ＞△0，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4且 −a−√a 2 −16 −a+√a 2 −164 ，−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4当 a ＝±4 时， ＝△0，aa当﹣4 ＜a ＜4 时， ＜△0，∴不等式的解集为 R ；−a−√a 2−16 −a+√a 2−164 4a﹣ 4＜a ＜4 时，不等式的解集为 R ．本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是基础题目．18．在△ABC ，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，且 b cos A ﹣c cos B ＝（c ﹣a ）cos B ．（1）求角 B 的值；（△2）若 ABC 的面积为 3√3，b = √13，求 a +c 的值．∴cos B=．2∴B=3．（2）据（1）求解知B=3，又S=2ac sin B＝3√3，（1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知得sin C＝2sin C cos B，由0＜C＜π，可求cos B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）根据余弦定理，三角形面积公式即可解得a+c的值．（1）∵b cos A﹣c cos B＝（c﹣a）cos B．∴由正弦定理，得：sin B cos A﹣sin C cos B＝（sin C﹣sin A）cos B．∴sin A cos B+cos A sin B＝2sin C cos B．∴sin（A+B）＝2sin C cos B．又A+B+C＝π，∴sin（A+B）＝sin C．又∵0＜C＜π，1又B∈（0，π），ππ∴b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣ac．①1∴ac＝12，②又∵b=√13，∴据①②解，得a+c＝7．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．在等差数列{a n}中，a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n+b n}是首项为1，公比为t的等比数列，求{b n}的前n项和S n．（1）数列{a n}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（2）a n+b n＝t n﹣1，可得b n＝t n﹣1+3n﹣2，运用数列的分组求和，计算可得所求和．（1）设等差数列{a n}的公差为d，当t≠1时，S n=+21−t，当t＝1时，S n=3n2−n+n=．20．已知函数f（x）＝2√3si nωxcosωx+2cos2ωx(ω＞0)的周期为．（2）当x∈[0，6]时，函数g（x）＝f（x）﹣2m+1恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．（1）化简函数f（x），结合题意可得f(x)=2si n(6x+6)+1，进而求得单调增区间及最值；（1）f(x)=√3si n2ωx+cos2ωx+1=2si n(2ωx+6)+1，3，解得ω＝3，∴f(x)=2si n(6x+6)+1，令−2+2kπ≤6x+6≤2+2kπ，k∈Z，解得πππkππkππ∴其单调递增区间为[3−9，3+18](k∈Z)；当x=3+18(k∈Z)时，f（x）max＝3，当x=3−9(k∈Z)时，f（x）min＝﹣1；（2）∵x∈[0，6]，6≤由a3+a7＝﹣26，a5+a9＝﹣38，可，得a5+a9﹣（a3+a7）＝4d＝﹣12，即d＝﹣3，∴a3+a7＝2a1+8d＝﹣26，解得a1＝﹣1，∴数列{a n}的通项公式为a n＝﹣3n+2；（2）由数列{a n+b n}是首项为a1，公比为t的等比数列，∴a n+b n＝t n﹣1，∴b n＝t n﹣1+3n﹣2，∴S n＝[1+4+7+…+（3n﹣2）]+（1+t+t2+…+t n﹣1）=3n2−n2+（1+t+t2+…+t n﹣1），3n2−n1−t n3n2+n22本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，考查化简运算能力，属于中档题．π3（1）求函数f（x）的单调递增区间和最值；ππ（2）问题等价于函数y＝f（x）的图象与直线y＝2m﹣1恰有两个不同的交点，作出图象，结合图象可得2≤2m﹣1＜3，进而得解．ππ2π又周期为，故32ω=ππ−≤x≤+39318，k∈Z，kππkππkππkπππ∴π6≤6x+π7π6，结合图象可知，2≤2m ﹣1＜3，解得 ≤ m ＜2．综上，实数 m 的取值范围为[2 ，2)． （1）试探究数列{a n + 2 λ}是否为等比数列，并求 a n ；（2）当 λ＝2 时，求数列{n(a n + 2 λ)}的前 n 项和 T n ．本题第（1）题将题干中的递推公式 进行转化可得 a n +1+ 2λ＝3（a n + 2λ），然后根据 a 1＝1，可得 a 1 + 2λ＝0 和 a 1+ 2λ≠0 两种情况，当 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}是常数列，不是等比数列；当 a 1+ 2λ≠0 时， 数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时通过计算出数列{a n + 2 λ}的通项第（2）题将 λ＝2 代入数列{a n + 2 λ}的通项公式，并进一步计算出数列{n(a n + 2 λ)}的通项公式，然后a n +1+ 2λ＝3a n +λ+ 2λ＝3（a n + 2λ），∴当 λ＝﹣2，即 a 1+ 2λ＝0 时，数列{a n + 2 λ}不是等比数列， 此时 a n + 2λ＝a 1+ 2λ＝a 1﹣1＝0，a n ＝a 1＝1，n ∈N *．当 λ≠﹣2，即 a 1+ 2λ≠0时，a n + 2λ≠0，由函数 g （x ）＝f （x ）﹣2m +1 恰有两个不同的零点，得函数 y ＝f （x ）的图象与直线 y ＝2m ﹣1 恰有两个不同的交点，323本题考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查运算求解能力及数形结合思想，属于基础题．21．已知数列{a n }满足 a 1＝1，a n +1＝3a n +λ（λ 为常数）．111 1 11 1 1 11 1 1 1公式即可进一步计算出数列{a n }的通项公式．1 1运用错位相减法计算前 n 项和 T n ．（1）依题意，由 a n +1＝3a n +λ，可得1 1 1∵a 1＝1，1 11 11 1数列{a n + 2 λ}是等比数列，且首项为 a 1+ 2λ＝1+ 2λ，公比为 3，此时 a n + 2λ＝（a 1+ 2λ）•3n ﹣1＝（1+ 2λ）•3n ﹣1， ∴a n ＝（1+ 2λ）•3n ﹣1− 2λ，n ∈N *．则 n （a n + 2λ）＝2n •3n ﹣1， 1−3 −n •3n ）＝2[（ −n ）•3n − ]， ﹣2T n ＝2（1+31+32+…+3n ﹣1﹣n •3n ）＝2•（ 2∴T n ＝（n − 2）•3n + 2S 3 + S 3S 4 +⋯+ S nS n+1 ＞ S n+1 的表达式并进行转化得到 S n第（2）题先根据第（1）题的结果计算出 S n 的表达式，进一步可计算出S n+1 = ﹣1）≥15•4n ，则有 ≤ 1 5⋅4 n ，再代入S 1 S 2 + S 2 S 3 + ⋯+ S n1 1 11 1 11 1（2）由（1）知，当 λ＝2 时，a n ＝2•3n ﹣1﹣1，1T n ＝2[1•1+2•31+3•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣2+n •3n ﹣1]，①3T n ＝2[1•31+2•32+…+（n ﹣1）•3n ﹣1+n •3n ]，② ①﹣②，可得1−3n1 1 21 1本题主要考查等比数列的判定，以及求数列的通项公式和运用错位相减法计算前 n 项和问题．考查了转化与化归思想，整体思想，分类讨论思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力．本题属中档题．22．设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，且3(S n + 1) = 4a n ，n ∈ N ∗（1）求{a n }的通项公式；（2）求证：S 1S 2+S 2n 4 − 1 15．本题第（1）题先将 n ＝1 代入表达式，根据 S 1＝a 1 可解出 a 1 的值，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减并进行计算可得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2），即可得数列{a n }是以 3 为首项，4为公比的等比数列，即可求出数列{a n }的通项公式；S n 14 − 3 4(4 n+1 −1)，然后根据当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0 对 4（4n +1﹣1）进行转化计算并应用放缩法可得 4（4n +13 4(4 n+1 −1) S n+1 进行放缩后依据等比数列的求和公式进行求和，再次运用放缩法可证明不等式成立．（1）解：由题意，当 n ＝1 时，3（a 1+1）＝4a 1，解得 a 1＝3，当 n ≥2 时，由 3（S n +1）＝4a n ，可得 3（S n ﹣1+1）＝4a n ﹣1，两式相减，可得 3a n ＝4a n ﹣4a n ﹣1，1−4=4n﹣1，Sn1=5⋅4 n ）4 − （ 1 4(1−4n ) − • 1−14 − 15（1− n ）4 n 1 1 14 15 15 4n 4 − 15，整理，得 a n ＝4a n ﹣1（n ≥2）， ∴数列{a n }是以 3 为首项，4 为公比的等比数列， ∴a n ＝3•4n ﹣1，n ∈N *．（2）证明：由（1）知，S n = 3(1−4n )则 S n4n −1 4n1 −1=4(4 n −1) 4(4 n1 −1) = 4n1 −4 4(4 n1 −1) = 4n1 −1−3 4(4 n1 −1) = 1 4 − 34(4 n1 −1) ，∵当 n ∈N *时，4n ﹣4≥0，∴4（4n +1﹣1）＝16•4n ﹣4＝15•4n +4n ﹣4≥15•4n ，∴ 34(4 n1−1) ≤ 3 15⋅4 n = 1 5⋅4 n，则 S 1 S 2 S 2 S 3 ⋯ S n S n1 1 ≥（ − 4 1 1 1 1 1 ）+（ − ）+…+（ −5⋅41 4 5⋅4 2 4= n 1 5 1 41 142 ⋯ 1 4n）= n4 5 1 14= =＞ n 1 1−• n 1故得证．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了转化与化归思想，放缩法，分组求和法，等比数列的基本量计算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，本题多次应用放缩法，属较难题．。

上海市上海外国语大学附属外国语学校东校2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题一、填空题1．函数π6tan 2y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为． 2x，x =.3．已知数列{}n a 中，13a =，112(2)2n n a a +-=-，则通项公式=n a ． 4．等差数列{}n a 中，1101,100a S ==，若2log n n a b =，则12345b b b b b ++++=. 5．已知等比数列{}n a 的前n 项和23n n S k =⨯+，则4S =.6．方程9log sin2x x =的实数解的个数为个.7．若将函数sin 2y x =的图象向左平移π6个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为． 8．若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =时，{}n a 的前n 项和最大． 9．如图1P 是一块半径为1的半圆形纸板，在1P 的左下端剪去一个半径为12的半圆后得到图形2P ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形3P 、4P 、……、n P …，记纸板n P 的面积为n S ，则lim n n S →∞=.10．已知函数()()π1sin 062f x x ωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有两个零点，则ω的取值范围是.11．数列{}n a 满足()()11222,N 1n n n a a a n n *++==∈+，则2017122016a a a a =+++L ． 12．将正整数n 分解成两个正整数12k k ､的积，即12n k k =⋅，当12k k ､两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如2012021045=⨯=⨯=⨯，其中45⨯即为20的最优分解，当12,k k 是n 的最优分解时，定义()12f n k k =-，则数列(){}5n f 的前2023项和为.二、单选题13．若数列{}n a 的通项公式为()*23N n n a n -=⨯∈，则这个数列是一个（ ） A ．以2为首项，以3为公比的等比数列B ．以2为首项，以13为公比的等比数列 C ．以23为首项，以3为公比的等比数列D ．以23为首项，以13为公比的等比数列 14．下面关于等差､等比数列的说法正确的是（ ） A ．前n 项和224n S n n =++的数列{}n a 是等差数列B ．证明数列{}n a 是等比数列时，只需证明()1,2n n a a q n n -=∈≥NC ．若{}n a 是等差数列，则()357,,,8n n n a a a n n ---∈≥N 也一定成等差数列D ．121n na a a a a a +-++⋯+=- 15．已知等差数列{}n a 与等比数列{}nb 的首项均为1，公比0q >且1q ≠，若集合{}k k ka b =∣，则集合元素最多有（ ）个.A ．2B ．3C ．4D ．516．设数列{}n a 为：111111*********,,,,,,,,,,,,,,,22444488888888⋅⋅⋅，其中第1项为11，接下来2项均为12，再接下来4项均为14，再接下来8项均为18，…，以此类推，记1n n i i S a ==∑，现有如下命题：①存在正整数k ，使得1k a k <；②数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是严格减数列.下列判断正确的是（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)计算20321k k a -=∑．18．已知函数1π()2sin()26f x x =+. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)若[π,π]x ∈-，求()f x 的值域.19．已知函2()3cos cos (0)f x x x x ωωωω=>． （1）当()f x 的最小正周期为2π时，求ω的值;（2）当1ω=时，设ABC V 的内角A ．B ．C 对应的边分别为a 、b 、c ，已知()32A f =，且a =6b =，求ABC V 的面积．20．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()()11k k k k n b a a a a k n +=⋅++⋯+≤≤； ①求数列{}()1k b k n ≤≤的前n 项和n T ；②设()()2*12222N nn M n n T T T =++⋯+∈，是否存在常数c ，使()M n c <对*N n ∈恒成立？若存在，求出c 的最小值；若不存在，说明理由.21．对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N 成立，则称k a 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N =-∈，若对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，求实数d 的取值范围；（3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值.。