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动量矩定理蜻蜓、飞机和直升机儿时的我很爱雨后捉蜻蜓。
夏天一场大雨过后，街道上和低洼处到处是水坑。
许多蜻蜓在水面上下飞舞，并不时用尾巴尖端表演“蜻蜓点水”的特技。
我们就用长竿端部的网兜捕捉蜻蜓，捉到后用细线拴住它的腰部，看它在我的掌握之中乱飞，快乐异常。
长大后对蜻蜓的兴趣转为对飞机的热爱，考大学选了飞机设计专业。
飞机（为了与直升机区别，可称其为“平飞飞机”，这里是按它们的飞行状态来区分的）的机翼与蜻蜓的翅膀极为相似，可是它在天空只能不停地往前飞行，不能停止。
蜻蜓就有这个本事。
直升机克服了平飞飞机（下文中仍简称为飞机）不能在空中悬停的缺点，它依靠旋转的翅膀（正确术语为旋翼）能在空中悬停，并可将重物吊起或降下，所以它在反潜、救灾、反恐、反海盗任务中有独特的优势。
直升机的先祖，至少可追朔到中国明代就出现的竹蜻蜓，直到如今仍是许多孩童的好玩具。
现代人又把它叫做“飞螺旋”和“中国陀螺”。
它用旋转叶片产生升力，使竹蜻蜓飞起来。
直升机和飞机的主要区别在于它们产生升力的机理不同。
飞机靠机身两侧的形似蜻蜓翅膀（见图1）的平直机翼提供升力，前进的动力是由机头的螺旋桨或尾部喷管（即尾喷管）的喷气来提供；而直升机则是借助旋转的机翼（旋翼）产生升力。
直升机的旋翼和飞机的螺旋桨都是用旋转的叶片推动空气产生作用力的。
飞机的螺旋桨基本不提供升力，只起克服空气阻力使飞机前进的作用；而直升机的旋翼，主要提供升力；在需要前进时，倾斜旋转轴，从而造成水平分力，使直升机前进。
一般而言，直升机旋翼叶片的尺寸（长宽和面积）要比飞机螺旋桨叶片大得多。
直升机旋翼的种类为了讨论直升机的动力学问题，先对直升机的类别进行简介。
按照旋翼的数目与配置以及叶片数目来区分，直升机有如下几种：01单旋翼直升机顾名思义，单旋翼直升机就是它只有一个旋翼。
一般它必须带一个尾桨负责抵消旋翼产生的反转矩。
例如，欧洲直升机公司制造的EC-135直升机。
图2就是一个带尾桨的单旋翼直升机图片。
理论力学11章作业题解11-3 已知均质圆盘的质量为m ，半径为R ，在图示位置时对O 1点的动量矩分别为多大？图中O 1C=l 。
解 (a) 21l m l mv L c O w == ，逆时针转动。
(b) w w 2210||1mR J L v m r L c c c O =+=+´=rr ，逆时针转动。
(c ) )2(2221222121l R m ml mR ml J J c O +=+=+=w w )2(222111l R m J L O O +==，逆时针转动。
(d)ww mR R l mv R l R v mR l mv J l mv L v m r L c c c c c c c O )5.0()5.0(/||2211-=-=-=-=+´= r r，顺时针转动解毕。
v cv cv c11-5 均质杆AB 长l 、重为G 1，B 端刚连一重G 2的小球，弹簧系数为k ，使杆在水平位置保持平衡。
设给小球B 一微小初位移0d 后无初速度释放，试求AB 杆的运动规律。
解 以平衡位置（水平）为0=j ，顺时针转为正。
平衡时弹簧受力为：)5.0(312G G F s +=弹簧初始变形量：k G G k F s st /)5.0(3/12+==d在j 角时弹簧的拉力为（小位移）：3/)5.0(3)3/(12l k G G l k F st s j j d ++=+=¢系统对A 点的动量矩：j j j&&&221233l gG G l l g G J L A A +=×+= 对点的动量矩定理)(/å=Ei A A F M dt dL r ：j j 93/5.033221221kl l F lG lG l g G G s -=¢-+=+&& 0)3(321=++j jG G gk &&，令)3(3212G G gkp +=则有02=+j jp &&，其解为： )cos()sin(pt B pt A +=j由初始条件0| ,/|000====t t l jd j &得l B A / ,00d ==。
力学复习选择：力系简化最后结果（平面，空间）牵连运动概念（运动参考系运动，牵连点运动） 平面运动刚体上的点的运动平面运动的动能计算（对瞬心，及柯里西算法） 质心运动定理（投影法x ，y ，z ，轨迹）惯性力系想一点简化计算：刚体系统平衡计算（多次取分能力体，一般为2次） 平面运动 速度的综合计算 动能定理应用动静法（其他方法不得分），已知运动求力（先用动能（动量）定理求运动，在用动静法求力）注意：1.功的单位是m WN ------∙2.注意检验fs N F f F ≤∙,判断是否是静摩擦，当为临界状态时max f s s N F F f F ==∙，纯滚动为静摩擦S F ,且只能根据平衡方程解出，与正压力无关。
动摩擦f NF f F =∙。
3. 动静法中惯性力简化()=-IC i i CIC c IC c F m a c F ma c M J α⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭⎧⎫⎪⎪⇒⎨⎬=------⎪⎪⎩⎭∑质心过点到底惯性力绕点的惯性力偶二维刚体4.e c i i F ma m a ==∑∑， 22d ,d i i cc c m r r r a m t==∑eF ∑=0，则x v =常数=0（初始静止）则c x =常数=坐标系中所在位置，且c S 为直线。
（一直运动求力）5.平面运动刚体动能*222121122c c c J T mv J ωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪+⎪⎪⎩⎭瞬心法：柯里希法： 6.平面运动速度分析方法：a,基点法：,BA BA BA v v v v AB ω=+=，以Bv为对角线的平行四边形b,速度投影法：cos cos B B A A v v θθ=,,B A θθ是以AB 为基准。
c,速度瞬心法：***,*,0,0AB c c v v BC v a ACωω==∙=≠ 7.平面运动加速度分析：A.基点法：nB A BA BA a a a a τ=++，其中，多数情况下n A A A a a a τ=+，n B B B a a a τ=+注：当牵连运动为转动时，有科氏加速度k a ，2kr av ω=⨯大小：2kr a v ω=，方向：r v 向ω方向转90即可。
