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理论力学-动量矩定理

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第十三章动量矩定理_理论力学

第十三章动量矩定理_理论力学

式中
分别为作用于质点上的内力和外力。求 n 个方程的矢量和有
式中
，
于 点的主矩。交换左端求和及求导的次序，有
为作用于系统上的外力系对
令 （13-3）
为质系中各质点的动量对 点之矩的矢量和，或质系动量对于 点的主矩，称为质系对 点的动量矩。由此得
（13-4） 式（13-4）为质系动量矩定理，即：质系对固定点 的动量矩对于时间的一阶导数等于外力 系对同一点的主矩。
设 Q 为体积流量， 为密度， 和 分别为水流进口处和出口处的绝对速度， 和 分别为涡轮外圆和内圆的半径， 为 与涡轮外圆切线的夹角， 为 与涡轮内圆切线的
夹角，则
由动量矩定理 得
为叶片作用于水流上的力矩。若水涡轮共有 个叶片，则水流作用于涡轮的转动力矩为
方向与图示方向相反。 §13-2 刚体绕定轴转动微分方程
解：取两叶片间的水流为研究对象（图 13-4 中的兰色部分）。作用于质系上的的外力有 重力和叶片的约束力，重力平行于 z 轴，对转动轴之矩为零。所以外力主矩为叶片对水流
的约束力对 z 轴之矩 。
计算 时间间隔内动量矩的增量 。设 t 瞬时占据 ABCD 的水流，经过 时间间隔
后，运动至占据
，设流动是稳定的，则
有
式中
得
（13-8）
或
（13-9）
此式称为刚体绕定轴转动的微分方程。
为刚体绕定轴转动的角加速度，所以上式
可写为
（13-10）
1．由于约束力对 z 轴的力矩为零，所以方程中只需考虑主动力的矩。 2．比较刚体绕定轴转动微分方程与刚体平动微分方程，即
与
形式相似，求解问题的方法和步骤也相似。 转动惯量与质量都是刚体惯性的度量，转动惯量在刚体转动时起作用，质量在刚体平动

理论力学动量矩定理

理论力学动量矩定理

四. 平行移轴定理
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行 的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。
J z ' J zC m d 2
证明：设刚体的质量为m，质心为C。
O ' z '//Cz
J zC mi ri 2 mi ( xi 2 yi 2 )
J z ' mi ri ' 2 mi ( xi ' 2 yi ' 2 )
xi xi ', yi ' yi d
J z ' mi [ xi 2 ( yi d )2 ]
mi ( xi 2 yi 2 ) ( mi )d 2 2d mi yi
质点对O点的动量矩与对 z 轴的动量矩之间的关系：
M O (mv )
注意：要求 z 轴通过O点。
z
M z (mv )
二．质点系的动量矩
质点系对O点动量矩： LO 质点系对 z 轴动量矩： 同样有关系式： 例：平动刚体的动量矩。
M
O
Lz M z (mi vi )
(mv i i ) r i mv i i
( e)
PA PB d g ( d t r PA PB P / 2
）
[例4] 已知猴子A重=猴子B重，初始静止，后猴B以相对绳 速度 v 上爬，猴A相对绳不动。问猴B向上爬时，猴A将如何 动？动的速度多大？（轮重不计）
解： 设猴A向上的绝对速度为 vA，则
猴B向上的绝对速度为 vB= vvA 。
平动刚体对固定点（轴）的动量矩就等于刚体质心的动量 对该点（轴）的动量矩。

理论力学-动量矩定理

理论力学-动量矩定理

d rC d vC vC , aC , dt dt
n d LC ri Fi e dt i
vC vC 0 ,
m a C Fie
n dLC M C (Fie ) dt i
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
n n d LC e e ri Fi M C ( Fi ) i dt i
m v
i
i
m vC
LO rC m vC LC
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩定理
根据上式和质点系对固定点的动量矩定理，
n d LO d ( rC m vC LC ) ri Fi e dt dt i
ri rC rr
n n d rC d vC d LC e rC Fi ri Fi e m vC rC m dt dt dt i i
即有
LC ri mi vir
相对质心的动量矩定理
质点系相对质心的动量矩
质点系相对固定点的动量矩与质点系相对质心的动量矩 之间存在确定的关系。 质点系相对固定点的动量矩为
LO ri mi vi
i
因为 所以有 因为 所以有
ri rC rr
LO rC mi v i ri mi v i
刚体定轴转动微分方程
例 题 1
图示钟摆简化模型中，已知均质细杆 和均质圆盘的质量分别为m1 、m2 ，杆 长为l，圆盘直径为d。
ϕ
试求：钟摆作小摆动时的周期。 解：摆绕O轴作定轴转动。设ϕ 为任意 时刻转过的角度，规定逆时针为正。根 据定轴转动的微分方程
J z M z

理论力学12—动量矩定理

理论力学12—动量矩定理

MO (Fi(i) )
由于内力总是成对出现，因此上式右端的底二项
n
MO (Fi(i) ) 0
i 1
12.2.2 质点系的动量矩定理
上式左端为
n
i 1
d dt
MO (mivi )
d dt
n i 1
MO (mivi )
d dt
LO
于是得
d
dt
LO

n i 1
MO (Fi(e) )
定轴转动的转动微分方程
例6 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑
轮的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度 。
解：由刚体定轴转动的微分方程
J R(F1 F2 )
F1
R O
于是得 (F1 F2 )R
F2

J
由上式可见，只有当定滑轮 匀速转动（包括静止）或虽 非匀速转动，但可忽略滑轮 的转动惯量时，跨过定滑轮 的皮带拉力才是相等的。
q
O
r
x
A mv

Q y
A Q
质点的动量矩
类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点 对点O的动量矩矢在 z 轴上的投影，等于对 z 的动 量矩。
[MO(mv)]z＝Mz(mv)
在国际单位制中，动量矩的单位是 kg·m2/s。
质点系的动量矩
2 质点系的动量矩
质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的 动量矩的矢量和。
质点的动量矩定理
例2 图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l， 如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点 的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。
解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立

理论力学：第11章 动量矩定理

理论力学：第11章 动量矩定理
对定点 O： LO mO (MvC ) IC
对瞬心 C＇： LC IC
11.2 动量矩定理
一、 质点动量矩定理
由牛顿第二定律： ma F
易证：
dmO (mv )
dt

mO
(F)
微分形式动量矩定理
其中 O 为定点。

或
dmO (mv) mO (dS )
LH

P vr
b
1
Q r2
Q vC
r
b
sin



1
Q r2
g 2 2 g
g 2 2g

(P

2Q)r

P
b b
(1

sin

)
vC g
系统外力对 H 的力矩：
11-3
ΣmH
(F
(e)
)

m

P
r

b


Q
b

Q
sin
绳子剪断前为静力学问题，易求反力。
绳子剪断后为定轴转动动力学问题，用质心运动定理求： MaC
F (e)
但需要先求出 aC ，用刚体定轴转动微分方程可求： Iz mz (F (e) )
11-5
解：I. 绳子剪断前，受力如图(a)。 W
由对称性： N A0 2
II. 绳子剪断瞬时，受力、运动如图(b)。
11-2
欲用动量矩定理求 aC ， aC 只跟三个运动物体有关，并且有一个“轴”O，如图。 但其中的 N 如何处理？
事实上，滚子沿斜面法向是静平衡的， N = Q cosα。 解：① 求加速度 aC 。

理论力学 动量矩定律

理论力学 动量矩定律

MO (mv) 恒矢量
作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即
M z (mv ) 恒量
以上结论称为质点动量矩守恒定律 2）质点系动量矩守恒定理 当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点系对 于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动量矩 守恒定律。 15 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩。
24
动力学 2. 回转半径 定义：
转动惯量
z
Jz m
则
J z m z
2
即物体转动惯量等于该物体质量与回转半径平方的乘
积； 对于均质物体，仅与几何形状有关，与密度无关。
对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚 体，其回转半径是相同的。
25
动力学
转动惯量
3. 平行移轴定理 刚体对于某轴的转动惯量，等于刚体对于过质心、并与该轴平 行的轴的转动惯量，加上刚体质量与轴距平方的乘积，即
LC LC
这样刚体作平面运动时，对过质心C且垂直于平面图形的 轴的动量矩为
J C LC LC
12
动力学
质点系动量矩定理
2．质点系的动量矩定理
n个质点，由质点动量矩定理有
d M O (mi vi ) M O ( Fi ( i ) ) M O ( Fi ( e ) ) dt
n d (e) Lx M x ( Fi ) dt i 1 n d Ly M y ( Fi ( e ) ) dt i 1 n d Lz M z ( Fi ( e ) ) dt i 1
14
动力学
质点系动量矩定理
3．动量矩守恒定理 1）质点动量矩守恒定理 如果作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该 点的动量矩保持不变，即

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理

JO
d 2
dt 2
mga
即：
d 2
dt 2
mga
JO
0
解： 令 2 mga
JO
——固有频率
得
2 0
通解为 O sin(
mgat )
JO
周期为 T 2 2 JO
mga
例11-3 用于测量圆盘转动惯量的三线摆中，
三根长度相等（l）的弹性线，等间距悬挂被测量的圆盘。
已知圆盘半径为 R、重量为W。
dt
dt dt
v dr dt
r d(mv) d(r mv)
dt
dt
dLO dt
MO F
矢量式
质点对固定点的动量矩对时间的导数等于作 用于质点上的力对该点的矩。
★ 质点系的动量矩定理
0
d
dt
i
ri mivi
i
MO (Fii )
i
MO (Fie )
MO (Fie )
i
F2
z
F1
LO rC mvC LC
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie (rC + ri) Fie
rC Fie ri Fie
③
即
drC dt
mvC
rC
d dt
mvC
dLC dt
rC
Fie
dLC dt
由于
① ① drC dt
② vC ,
drC dt
mvC
★ 相对质心的动量矩
LC MC mivi ri mivi
vi vC vir
LC = rimivC rimivir
其中
ri mivC ( miri)vC 0 （rC

理论力学第十一章动量矩定理

理论力学第十一章动量矩定理
当物体作直线运动时，可以用质量作为物体运动惯性的度量； 而当物体绕某轴转动时，转动惯性的大小不仅与质量有关，而 且与半径有关。物体的质量分布距转轴的距离越远，转动惯性 就越大，亦即，越不容易改变转动运动的状态。
2．规则几何形状物体的转动惯量
J Z = ∫ r 2 dm
均质圆环：
J z = ∑ ΔmR 2 =MR 2
往三个坐标轴投影：得到质点对轴的动量矩定理： d m x (mv ) = m x ( F ) dt d m y (mv ) = m y ( F ) dt d m z (mv ) = m z ( F ) dt （1）若Σmo(F)≡0, mo(mv)=常矢量； 两种特殊情况： （2）若Σmx(F)≡0, mx(mv)=常量。 以上两种情况均称为动量矩守恒
R 别为J 1 和J 2 ，两轮的半径分别为 R1 、 2 ，传 动比 i12 = R2 / R1 。轴Ⅰ上作用主动力矩 M 1 ， 轴Ⅱ上有阻力矩 M 2，转向如图。忽略摩擦。 求轴Ⅰ的角加速度。
例 图示传动轴，轴Ⅰ和轴Ⅱ的转动惯量分
Ⅱ
M2
M1
Ⅰ
解 ：分别取轴Ⅰ和Ⅱ为研究对象。受力如图。 两轴对各自轴心的转动微分方程分别为
体积
2π R
π R2
4 π R3 3
4π R 2
Δm
1 1 J O = ∑ ΔMR 2 = MR 2 2 2
N维球
均质直杆：
J z = ∫ x 2 ρ l dx =
0
l
ρl l 3
3
1 2 J z = Ml 3
z
1 1 2 2 J z = ∑ (Δm)l = Ml 3 3
l
x
z
dx
Δm
x

理论力学第1节 动量矩定理

理论力学第1节 动量矩定理
i 1
d Lx dt

n

M
x
( Fi ( e )
)
i 1
dM y dt

n

M
y
( Fi ( e )
)
i 1
dLz dt

n

M
z
( Fi ( e )
)
i 1
质点系对某轴的动量矩对时间的导数等于作用于 质点系上的外力对该轴之矩的矢量和。
• 质点系对固定点的动量矩守恒：当作用在质点系的 外力对某固定点之矩的矢量和为零，质点系对该点 的动量矩保持不变。
记 J z miri2
称刚体对z轴 的转动惯量
• 质量连续分布刚体的转动惯量公式
说明
Jz M r2dm
刚体对轴的转动惯量取决于刚体质量的大小、质量 的分布情况及转轴的位置，而与其运动状态无关。
对形状不规则物体的转动惯量常用实验方法测得。
冰上芭蕾 舞演员旋转 时，通过张 开、收拢两 臂来改变自 身质量对垂 直轴的转动 惯量，以达 到改变转动 速度的目的
r O
M
设 v 为物体A、B的瞬时速度，
为圆盘的角速度，两者的关系为：
v r
系统对O轴的动量矩：
LO mAvr mBvr JO 其中
B AJOΒιβλιοθήκη 1 2Mr 2
LO

mA vr

mBvr

1 2
Mr 2

mA
vr

mB
vr

1 2
Mrv
系统外力对O轴的力矩为：
M O mA gr mBgr
质点对 O 点动量矩的矢量和
C mi

理论力学第13章动量矩定理

理论力学第13章动量矩定理

mi
rC x′
C
y′ y
mi vi mvC
LC ri mi vi
x
LO rC mvC LC
LO rC mvC LC
dLO d (e) (rC mvC LC ) r i Fi dt dt
r i rC ri
drC dLC d (e) i Fi ( e ) mvC rC mvC r C Fi r dt dt dt
v R
应用动量矩定理
O

FOx
mg
M
(e)
WR
dLO (e ) M dt
WR 2 a W 2 (JO R ) g
P
v
JO W dv ( R) WR R g dt
W
z
例 题3
z
求：此时系统的角速度 解：取系统为研究对象
M
A
(e ) z
0
A
B
a l
a
B
Lz 恒量


l
由质心坐标公式，有
z
vi z′ ri r′ i rC x′
C
mi
y′ y
O
mi ri mrC 0
x
LC ri mi vir
§13-6 刚体的平面运动微分方程
LC J C
由质心运动定理和相对于质 心的动量矩定理，有：
y
Fn
y′
D
F2 F1
maC Fi ( e ) d (e) J C J C M C ( Fi ) dt
用于质点系的外力对质心的主矩 ，这就是质点系相对于质心(平移
系)的动量矩定理。

理论力学之动量矩定理

理论力学之动量矩定理

证明 过固定点O建立固定坐标系 Oxyz，以质点系的质心 C为
z
原点，取平动坐标系Cx y z ,它以质心的速度vC 运动。
ri rc rri 质心的性质 vi vc vri
z' A vr v vC vC y y'
mi ri mi rri rc rc 0 M M 定系 动系 Mvc mi vi mi vri 0
rC
C
x'
rr
O
质点系内任一质点 A的绝对速度 v=ve+vr=vc+vr , 则质点系对固定点O的动量矩
x

(r
LO
C
mi vi )
(r m v ) [(r
i
(r
i i
C
rri ) mi vi ]
ri mi v C )
(r
ri mi v ri )
d M O (mv ) M O ( F ) dt
质点对固定点的动量矩对时间的一阶导数等 于作用于质点上的力对同一点的力矩。
B 固定轴
d M O (mv ) M O ( F ) dt
(将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和 对轴动量矩公式可得)： d M x (mv ) M x ( F ) dt d M y (mv) M y (F ) dt d M z (mv) M z (F ) dt 质点对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用 于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。 质点对定点的动量矩定理在三个坐 标轴的投影方程不独立
O
A
mivi
ri
LO =∑ MO(mivi) = ∑(miri )×vC 又因为 (∑mi )rC = ∑miri 所以 LO = ∑mi rC ×vC=rC× (∑mi )vC

理论力学第11章(动量矩定理)

理论力学第11章(动量矩定理)
线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕 z 轴的角速度为0。如某时 此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a 角。不计各杆的质量，求这 时系统的角速度。
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r

理论力学_12.动量矩定理

理论力学_12.动量矩定理
理论力学
动量定理： 质心运动定理：
dp dt


F
(e) i
M aC

Fi
(e)
质点、质点系 动量的改变—外力（外力系主矢）
质心的运动—外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零， 质心无运动，可是质点系确受外力的作用。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固轴） 的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。
取固结于质心的平动参考系， 由速度合成定理，有
所以 由于 故
LC

ri m i v
i
即：质点系对质心的绝对运动动量矩，等于质点系对随质 心平动的参考系的相对运动动量矩。
结论：在计算质点系对于质心的动量矩时，用质点相对于 惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固结在质心上的 平动参考系的相对速度vi`，所得结果是一样的。 l
LO
1 P 2 g
代入 , 得
r
g
2
( P A PB
P 2
)
由动量矩定理：
d r2 P [ ( P A PB )] ( P A PB ) r dt g 2
PA PB d g dt r PA PB P /2
§8-3 动量矩守恒
动量矩定理：内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才 能改变质点系的动量矩。 质点系的动量矩守恒 当
质点绕某心（轴）转动的问题。
二．质点系的动量矩定理 对质点Mi ：dt
d m O (m iv i ) m O ( Fi
d dt m O (m iv i )
()
) m O ( Fi
(i)
(e)

理论力学10动量矩定理

理论力学10动量矩定理
3D空间应用
在更高维度的空间中，动量矩定理可以通过向量的外积和叉积进行推广，适用于描述更复杂系统的动量矩变化。
n维空间推广
定理在更高维度空间的应用
多体系统
动量矩定理可以应用于多体系统，描述多个刚体之间的相互作用和运动关系，为多体动力学提供了基础。
非惯性参考系
在非惯性参考系中，动量矩定理需要考虑科里奥利力和离心力等因素的影响，以准确描述系统的动量矩变化。
定理证明的思路
在证明过程中，需要引入质点的质量、速度、位置矢量等概念，以及力、力矩等物理量。
引入相关概念
根据物理定律和数学公式，进行详细的数学推导，包括向量的点乘、叉乘等运算。
进行数学推导
经过推导，得出动量矩定理的结论，即质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
得出结论Βιβλιοθήκη 定理证明的过程通过证明，得出的动量矩定理表述为：质点系的动量矩等于外力矩对时间的积分。
力矩的作用
力矩是描述力对物体运动轴的转动效应的物理量。在动量矩定理中，力矩的作用是改变物体的动量，即改变物体的运动状态。
时间和空间的影响
动量矩定理不仅涉及到物体的运动状态（动量和速度），还涉及到时间的变化率（即加速度），以及力作用的空间效应（即力矩）。因此，这个定理全面地描述了物体在空间和时间中的运动规律。
定理的物理意义
02
CHAPTER
定理的证明
首先明确动量矩定理的定义和意义，即对于一个质点系，其动量矩与外力矩之间的关系。
引入动量矩定理
建立证明框架
推导定理的表达式
根据定理的证明需求，建立证明的框架，包括定义、假设、推导和结论等部分。
根据牛顿第二定律和动量定理，推导出动量矩定理的表达式。
03

理论力学第12章 动量矩定理.

理论力学第12章 动量矩定理.
1、例如一对称的圆轮绕不动的质心转动时，无论圆轮转动的 快慢如何，无论转动状态有什么变化，它的动量恒等于零， 可见动量不能表征或度量这种运动。 2、动量定理和质心运动定理讨论了外力系的主矢与质点系运 动变化的关系，但未讨论外力系主矩对质点系运动变化的影 响。
因此，我们必须有新的概念来描述类似的运动。
作为矩轴，对此轴应用质点的动量矩定理
dLOz dt
MOz
O

由于动量矩和力矩分别是
LOz

mvl

m(l)l

ml 2
d
dt
和
MOz mgl sin
v
A
§12.2 动量矩定理
例 题 12-2
LOz

mvl

m(l)l

ml 2
d
dt
M Oz mgl sin
从而可得
d (ml2 d ) mgl sin
于是得 d
dt MO (mv) MO (F )
F
mv
Q
r
y
§12.2 动量矩定理
质点的动量矩定理：质点对某固定点的动量矩对时间的一阶导
数，等于作用于该质点上的力的合力对于同一点的矩。
d dt
MO
(mv )

MO
(F
)
将上式投影到以矩心 O为原点的直角坐标轴上，并注意到动量
及力对点的矩在某一轴上的投影，就等于动量及力对该轴的矩，
点系对该轴的动量矩。质点系对 O点的动量矩向通过 O点的 直角坐标系的各轴投影，即质点系对过 O点的轴的动量矩：
Lx LO i mi yi zi zi yi Ly LO j mi zi xi xi zi Lz LO k mi xi yi yi xi

《理论力学》第十一章 动量矩定理

《理论力学》第十一章 动量矩定理

LO lOi ri mi v i
将动量矩投影到以O为原点的直角坐标轴上
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Lx l x mv m yv z zv y
L y l y mv m zv x xv z Lz l z mv m xv y yv x
（二）质点系的动量矩L
设质点系由n个质点组成，其中第i个质点 的质量为mi，速度为vi。 质系对任意固定点O的动量矩：
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LO lOi ri mi v i
质系对任意固定点O的动量矩为各质点 的动量对O点矩的矢量和。
3、刚体动量矩的计算
1）刚体平动
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例1：均质细长直杆长l，质量m1，与质量为m2,半径
为r，均质圆盘固结。已知角速度为,试求对转轴的 动量矩。 解：
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第十一章
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动量矩定理
§1 动量矩（表征物体转动的物理量）
一、动量矩的定义及计算
1. 对任意固定点O的动量矩（矢量）：
质点对固定点的动量矩即质点的动量对固定点的矩： z lO r mv r p mv lo M r F
平轴z的转动惯量。轴z过O点垂直纸面
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§11-5 质点系相对于质心的动量矩定理
1．对质心的动量矩
vi vC vir
LC MC mivi ri mivi
?
ri 'mivir
LC ri0 mivC ri mivir
z
ri mivC ( mir 'i ) vC 0
LC ri mivir
LO
(rC
r
')
JzC mi (x12 y12 )
Jz m i r2 m i (x2 y2) mi[x12 ( y1 d )2 ]
0 mi (x12 y12 ) 2d mi y1 d 2 mi
Jz JzC md 2
4．组合法
已知：杆长为 l质量为 m，1 圆盘半径为 ，d质量为 . m2
2g
运动方程为
s v0
3R
2g
r
sin
2g
3R
r
t
例11-11 已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接 刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA 水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。 求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向 约束力。
A O
解: 整体质心为C，其受力如图所示
解： (1) LO JO m1v1r1 m2v2r2
(JO m1r12 m2r22 )
MO (F (e) ) (m1r1 m2r2 )g
由
dLO dt
MO (F(e))
,得
d
dt
(m1r1 m2r2 )g JO m1r12 m2r22
FN
（2）由质心运动定理
FN (m m1 m2 )g (m m1 m2 )aCy
J
mlv0 (1 cos) l 2 r 2 2lr cos
v0
O
ve
v0 M
M0 y
l
x
§11-3 刚体绕定轴的转动微分方程
主动力: F1, F2,
, Fn
约束力: FN1 , FN2
d dt
(J
z)
M
z
(Fi
)
M
z
(FNi
)
M z (Fi )
即:
Jz
d
dt
M z (Fi )
为 。
求：圆盘对A、C、P三点的动量矩。
C
A
P
解：
点C为质心
LC
JC
mR 2 2
点P为瞬心
LP
J P
3mR 2 2
或
LP
mvC R
LC
mR 2
1 2
mR 2
3mR 2 2
C
A
P
LA mvC
2 2 R LC
2 mR 2 1 mR 2 (
2
2
2 1)mR 2
2
是否可以如下计算：
LA
J A
(JC
J z
l 0
l x2dx
ll 3
3
由 m ，l得l
Jz
1 ml2 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z mi R2 R2 mi mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
mi 2π ri dri A
式中：
A
m π R2
JO
R
(2π
0
r Adr
r2)
2π
A
R4 4
或
JO
1 2
rC Fie ri Fie
dLC
dt
r 'i Fie
dLC dt
MC (Fie )
z
－－质点系相对于质心的动量矩定理
质点系相对于质心的动量矩对
O
时间的导数，等于作用于质点系的
外力对质心的主矩.
x
z'
rC
x'
C ri
ri '
mi
y
y'
例11-8
已知：均质圆盘质量为m，半径为R，沿地面纯滚动，角速度
Jz
1 2
π l(R14
R24 )
1 2
π l(R12
R22 )(R12
R22 )
由 π l(R12 ，R22得) m
Jz
1 2
m(
R12
R22 )
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动.
由 T 2 J
mgl
其中 m,已l 知, 可T测得，从而求得 . J
)
d dt
MO
(mv )
MO
(F)
投影式:
质点对某定点的动量矩对时间的
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
)
d dt
M
y
(mv
)
M
y
(F
)
一阶导数,等于作用力对同一点的矩.
－－质点的动量矩定理
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
2.质点系的动量矩定理
d dt
MO
(mivi
)
MO
(Fi(i) )
MO
( Fi ( e )
代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负.
2．质点 (mivi ) i 1
对轴的动量矩
n
Lz M z (mivi ) i 1
即 LO Lxi Ly j Lzk
二者关系
[LO ]z Lz
（1） 刚体平移 LO MO (mvC ) Lz Mz (mvC )
建立平面运动微分方程
2maCx Fs
r
4 C
O
A
2mg
2maCy 2mg FN
FS
JC
FN
r 4
Fr
FN
(a)
其中：
JC
mr 2 12
m( r ) 2 4
mr 2
m( r ) 2 4
29 24
mr 2
由求加速度基点法有
aC
aO
acno
acto
投影到水平和铅直两个方向
aCx aO r
)
0
d dt
MO
(mivi
)
MO
( Fi (i )
)
MO
(Fi(e) )
d dt
MO
(mivi
)
d dt
MO
(mivi
)
dLO dt
dLO dt
M O (Fi(e) )
质点系对某定点O的动量矩对
投影式:
dLx dt
M x (Fi(e) )
dLy dt
M y (Fi(e) )
dLz dt
例11-3
已知：两小球质量皆为 m,初始角速度 。0
求：剪断绳后, 角时的 .
解： 0 时,
Lz1 2ma0a 2ma20
0 时,
Lz2 2m(a l sin )2
Lz1 Lz2
a 2 0
(a l sin )2
例11－4
已知：质点质量m，速度 v0 为常值，r，l，圆盘的转动惯
mC2
M
Fr
aC r
aC m
Mr
C2 r 2
,
F
M
r 2 C2
,
r
F maC , FN mg
纯滚动的条件： F fsFN
即
M
fsmg
r2
C2
r
例11-10
已知：均质圆轮半径为r 质量为m ，受到轻微扰动后，
在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够
粗糙，使圆轮在滚动时无滑动. 求:质心C 的运动规律.
mivi
O
rC mmvCivi r 'LCmivi ) x
z'
rC
x'
C ri
ri '
mi
y
y'
LO rC mvC LC
2 相对质心的动量矩定理
dLO d
dt dt
rC mvC LC
ri Fie
0 ddvrtCC
mvC
rC
d dt
mFiv(eC)
dLC dt
M z (Fi(e) )
时间的导数,等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和.
问题：内力能否改变质 点系的动量矩？
－－质点系的动量矩定理
3．动量矩守恒定律
若 MO (F (e) ) 0 则 LO常 矢量, 若 M z (F (e)则) 0常量。Lz
面积速度定理： 质点在有心力作用下其面积速度守恒.
第十一章 动量矩定理
问题的引出
C
p mvC 0
如何描述绕转轴的转动？
§11-1 质点和质点系的动量矩
1．质点的动量矩
MO (mv)
mv
M z (mv)
r
[MO (mv)]z Mz (mv)
对点 O 的动量矩
MO (mv) r mv 对 z 轴的动量矩
M z (mv) MO (mv)xy
, M1, M 2 。
求：1
。
解：
J11 M1 FtR1
J 2 2 Ft R2 M 2
因
Ft
Ft
，
1 2
i12
R2 R1
，得
1
M1 J1
M2
i12 J2 i122
§11-4 刚体对轴的转动惯量
n
J z mi ri2 i 1
1. 简单形状物体的转动惯量计算