六年级奥数第三讲分数和小数

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六年级奥数上册：第三讲分数、百分数应用题（一）
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第二章循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。

那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。

(1)12＝0.5，325(＝235)＝0.12，1740(＝31725⨯)＝0.425；(2)13＝0.3，57＝0.714285，1333＝0.39；(3)56(＝523⨯)＝0.83，67175(＝26757⨯)＝0.38285714，101360(＝3101259⨯⨯)＝0.2805。

结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数一样。

如1740，因为40＝23×5，含有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。

(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。

(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数一样。

如67175，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。

于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：1.假设分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.假设分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.假设分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。

典例巧解例1 判断以下分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 324213125023781001173850点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。

分数和小数
1、分数与有限小数
（1）有限小数都可以化为分数；
（2）一个最简分数的分母，如果只含有质因数2、5，就能化成有限小数。

例如 0.3＝ 0.21＝ 0.431＝
12= 18= 15= 120
=
注意：(2)中必须是最简分数。

2、循环小数
(1)纯循环小数
如0.4
＝0.444… 0.32
＝0.232323… 0.715
=0.517517517…
(2)混循环小数
如0.34
＝0.3444… . 0.5132 ＝0.51232323…
试一试：下列各循环小数是纯循环小数，还是混循环小数？
15
2.0 152.0 230.0 230.0
3、分数与循环小数的互化
(1)分数化循环小数
一个最简分数的分母，如果含有2、5以外的质因数，这个分数就可化为循环小数。

①如果分母只含2和5以外的质因数，这个分数就化为纯循环小数。

②如果分母既含质因数2或5，又含2和5以外的质因数，这个分数就化为混循环小数。

如6.032 = 981.037
7 = 61.061 = 35.0158 = 349.07537 = 742851.071142 ==
例1 不做除法，判断下面哪些分数可以化有限小数、纯循环小数或混循环小数。

1845 311 724 161120 121440
(2)化循环小数为分数
例2 把下面循环小数化为分数
①27.0 ②273.0。

第三讲 分数的速算与巧算【专题解析】在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算能力，达到速算、巧算的目的。

（1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过程更简便。

两个整数相除（后一个不为0）可以直接写成分数的形式。

两个分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒数的形式。

（2）错位相减法：根据算式的特点，将原算式扩大一个整数倍（0除外），用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。

【典型例题】例1. 计算：（1）5698÷8 （2）166201÷41分析与解：（1）直接把5698拆写成（56+98），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计算。

（2）把题中的166201分成41的倍数与另一个较小的数相加的形式，再利用除法的运算性质使计算简便。

（1）5698÷8＝（56+98）÷8＝（56+98）×81＝56×81+98×81＝7+91＝791 （2）166201÷41 = (164 +2041)×411= 164×411+2041×411= 4201 【举一反三】 计算：（1）64178÷8 （2）14575÷12 （3）5452÷17 （4）170121÷13例2. 计算：200412004200420052006÷+分析与解：数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。

分母200420052004⨯÷，这算式可以运用乘法分配律等于20042006⨯，又可以约分。

聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出÷2004200420052005的被除数与除数都含有2004，把他们同时除于2004得到11÷12005也是很好算的，这一方法就留给你们吧！ 12006⨯÷+20042006原式=20042005 1200620051200620061⨯+⨯=+=2005=200420042006 【举一反三】 计算：（5）2000÷200020012000+20021 （6）238÷238239238+2401例3. 计算：199419921993119941993⨯+-⨯分析与解：仔细观察分子和分母中各数的特点，可以考虑将分子变形。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小……………………………………2-3 第2讲巧求分数……………………………………4-7第3讲分数运算的技巧……………………………………第4讲循环小数与分数……………………………………第5讲工程问题(一)……………………………………第6讲工程问题(二)……………………………………第7讲巧用单位“1”……………………………………第8讲比和比例……………………………………第9讲百分数……………………………………第10讲商业中的数学……………………………………第11讲圆与扇形……………………………………第12讲圆柱与圆锥……………………………………第13讲立体图形(一)……………………………………第14讲立体图形(二)……………………………………第15讲棋盘的覆盖……………………………………第16讲找规律……………………………………第17讲操作问题……………………………………第18讲取整计算……………………………………第19讲近似值与估算……………………………………第20讲数值代入法……………………………………第21讲枚举法……………………………………第22讲列表法……………………………………第23讲图解法……………………………………第24讲时钟问题……………………………………第25讲时间问题……………………………………第26讲牛吃草问题……………………………………第27讲运筹学初步（一）……………………………………第28讲运筹学初步（二）……………………………………第29讲运筹学初步（三）……………………………………第30讲趣题巧解……………………………………第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

聪明屋：苍蝇散步一只苍蝇和它的孩子在一个秃头上散步，过了一会儿，它若有所思的说：“孩子们，时间过得真快啊，我像你们这么大的时候，这儿只是一条小道。

”第三讲 比较分数的大小一、 考点、热点回顾对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：（1）分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；（2）分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

（3）分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法：1、“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

2、化为小数。

3、先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4、根据倒数比较大小，倒数大的分数小5、若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

6、借助第三个数进行比较。

有以下几种情况：（1）对于分数m 和n ，若m ＞k ，k ＞n ，则m ＞n 。

（2）对于分数m 和n ，若m-k ＞n-k ，则m ＞n 。

（3）对于分数m 和n ，若k-m ＜k-n ，则m ＞n 。

注意：（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k 小于原来的两个分数m 和n ；（3）中借助的数k 大于原来的两个分数m 和n 。

（4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。

新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。

7、交叉相乘法：如比较b d a c和的大小，交叉相乘后，如果ac bd >，那么说明a b 大. 8、基准数法：最常用的是把1选为基准数，还有常用的像1123，这样的分数. 9、两数相减法：两个分数相减，如0a b ->，则a 大；反之则b 大.两数相除法：两个分数相除，如1a b ÷>，则a 大；反之则b 大.二、典型例题例1、 比较分数3214和5316的大小例2、 将下列分数按由大到小的顺序排列。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

小学六年数学重要知识点解析分数与小数的大小比较与运算在小学六年级的数学学习中，分数与小数的大小比较与运算是非常重要的知识点。

掌握好这些知识，将有助于学生在数学学习中更加得心应手。

本文将对分数与小数的大小比较与运算进行详细解析，并提供一些解题技巧与例题，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、分数与小数的大小比较1.1 分数的大小比较当我们要比较两个分数的大小时，可以通过找出它们的公共分母，然后比较分子的大小来进行判断。

具体步骤如下：步骤一：将两个分数的分母化为相同的数，即通分。

步骤二：比较两个分数的分子大小。

例如，比较分数1/4和2/5的大小，我们可以将1/4化为5的分数，得到5/20；将2/5化为4的分数，得到8/20。

然后，比较分子的大小，发现8/20大于5/20，因此2/5大于1/4。

1.2 小数的大小比较小数的大小比较同样可以通过比较它们的数值来进行判断。

我们可以按照如下规则进行判断：规则一：有限小数与有限小数之间比较大小，比较小数点后的数值。

规则二：有限小数与无限小数之间比较大小，有限小数较大。

规则三：两个无限循环小数之间比较大小，可通过比较循环节的长度和循环节中数字的大小来判断。

例如，比较小数0.25和0.3的大小，我们可以直接比较小数点后的数值，发现0.3大于0.25，因此0.3大于0.25。

二、分数与小数的运算2.1 分数的运算分数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

下面我们逐一进行解析，并给出相应的例题。

2.1.1 分数的加法和减法当我们进行分数的加法和减法运算时，需要先将两个分数的分母化为相同的数，然后对分子进行加法或减法运算，并保持分母不变。

例题一：计算1/4 + 2/5 = ?解题思路：将1/4和2/5化为相同的分母。

分母的最小公倍数为20，所以可以将1/4化为5的分数，得到5/20；将2/5化为4的分数，得到8/20。

然后，对分子进行加法运算，得到13/20。

答案：1/4 + 2/5 = 13/20例题二：计算3/5 - 1/3 = ?解题思路：将3/5和1/3化为相同的分母。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。

小学奥数基础教程(六年级)第1讲比较分数的大小第2讲巧求分数第3讲分数运算的技巧第4讲循环小数与分数第5讲工程问题(一)第6讲工程问题(二)第7讲巧用单位“1”第8讲比和比例第9讲百分数第10讲商业中的数学第11讲圆与扇形第12讲圆柱与圆锥第13讲立体图形(一)第14讲立体图形(二)第15讲棋盘的覆盖第16讲找规律第17讲操作问题第18讲取整计算第19讲近似值与估算第20讲数值代入法第21讲枚举法第22讲列表法第23讲图解法第24讲时钟问题第25讲时间问题第26讲牛吃草问题第27讲运筹学初步（一）第28讲运筹学初步（二）第29讲运筹学初步（三）第30讲趣题巧解第一讲比较分数的大小同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。

比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。

对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是：分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大；分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。

第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。

由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。

下面我们介绍另外几种方法。

1.“通分子”。

当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。

如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。

2.化为小数。

这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。

但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。

3.先约分，后比较。

有时已知分数不是最简分数，可以先约分。

4.根据倒数比较大小。

5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。