2021-2022年高考南通学科基地数学秘卷模拟试卷10

2022年江苏省南通市基地学校高考数学大联考试卷（3月份）1. 设集合，，则( )A. B. C.D.2. 复数的虚部为( )A. 1B.C. iD.3. 校运会期间，要安排4名志愿者参加跳高、跳远、接力赛三个项目的保障工作，要求每个项目至少安排1名志愿者，每位志愿者只参加一个项目，则所有不同的安排方案有( )A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种4. 某同学画“切面圆柱体”用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭圆如图所示若该同学所画的椭圆的离心率为，则“切面”所在平面与底面所成的角为( )A.B.C.D. 5. 在中，若，则( )A. B. C.D.6. 过点作圆O ：的两条切线，切点分别为A ，若直线AB 与抛物线交于C ，D ，则( )A.B.C. 2D. 47. 已知正六棱柱的底面边长为1，P 是正六棱柱内不含表面的一点，则的取值范围是( )A. B. C.D.8. 已知，，，则( )A. B.C. D.9. 若数列是等比数列，则( )A. 数列是等比数列B. 数列是等比数列C. 数列是等比数列D. 数列是等比数列10. 已知函数，则( )A. 的最小正周期为B. 是曲线的一个对称中心C. 是曲线的一条对称轴D. 在区间上单调递增11. 已知椭圆C：是直线交于A，B两点，且，为AB的中点．若P是直线AB上的点，则( )A. 椭圆C的离心率为B. 椭圆C的短轴长为C. D. P到C的两焦点距离之差的最大值为12. 若，则( )A. B.C. D.13. 已知是奇函数，且当时，，则______.14. 老师要从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某位同学只能背出其中的4篇，则该同学能及格的概率是______.15. 已知等差数列的公差为d，前n项和为，试写出“”的一个充分不必要条件：______.16.在棱长为的正方体中，P为侧面内的动点，且直线与AB的夹角为，则点P的轨迹长为______；若点与动点P均在球O表面上，球O的表面积为______.17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且求B；若M是AC的中点，且，在下面两个问题中选择一个进行解答．①求面积的最大值；②求BM的最大值．18.已知数列满足，记写出，，并证明：数列是等比数列；若数列的前n项和为，求数列的前20项的乘积19. 如图，在长方体中，已知，，P为棱的中点，平面与平面ABCD的交线为证明：；求二面角的正弦值．20. 为进一步推动党史学习教育活动的深入进行，某单位举行了党史知识竞赛．规定：①竞赛包含选择题和填空题2种类型，每位选手按照先回答选择题后回答填空题的顺序进行，每次答题结果正确与否相互独立；②选择题包含3道题目，若前两道均回答正确，则终止选择题解答，进入填空题解答，否则需要回答3道选择题；③填空题也包含3道题目，若第一道填空题回答正确，且连同选择题共答对3道题目，则结束答题，否则需要解答完3道填空题；④若整个竞赛中答题总数为3道，则获得一等奖，奖金为100元；若答题总数为4道或5道，则获得二等奖，奖金为50元；其余情况获参与奖，奖金为20元．现有该单位某员工参加比赛，已知该员工答对每题的概率均为求该员工获得一等奖的概率；判断该员工获得奖金的期望能否超过50元，并说明理由．21. 已知函数，其导函数为若函数在处的切线过原点，求实数a的值；若，证明：22. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，两条准线之间的距离为求双曲线C的标准方程；若点P为右准线上一点，直线PA与C交于A，M，直线PB与C交于B，N，求点B到直线MN的距离的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，则故选：解不等式，分别求出A，B，再求出A，B的并集即可．本题考查了不等式的解法和并集的定义，是基础题．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的除法运算化简，则复数的虚部可求．【解答】解：，复数的虚部为故选：3.【答案】C【解析】解：由题意先选出2名志愿者参加一个项目的保障工作，另外两名志愿者分别参加剩下的两个项目中的一个项目的保障工作，可得：种，故选：由题意先选出2名志愿者参加一个项目的保障工作，另外两名志愿者分别参加剩下的两个项目中的一个项目的保障工作，利用排列与组合的意义即可得出．本题考查了排列与组合的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设椭圆与圆柱的轴截面如图所示，，则为“切面”所在平面与底面所成的角，设为设圆柱的直径为2r，则CD为椭圆的长轴2a，短轴为则椭圆的长轴长，，短轴长，则，所以椭圆的离心率为，所以故选：设圆柱的直径，由题意画出椭圆与圆柱的轴截面的图形，利用椭圆的离心率．可得椭圆的长轴长与短轴长与圆柱直径的关系，进而求出“切面”所在平面与底面所成的角．本题考查椭圆的性质的应用，二面角的求法，属于中档题．5.【答案】A【解析】解：因为，所以，所以，所以故选：由已知利用两角和的正切公式，三角形内角和定理，诱导公式可求的值，进而根据二倍角的正切公式即可求解．本题主要考查了两角和的正切公式，三角形内角和定理，诱导公式，二倍角的正切公式在解三角形中的应用，考查了方程思想，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：以线段OP为直径的圆的方程为，与圆O的方程x²²相减，得，即直线AB的方程为：，直线AB与抛物线交于C，D，由可得，故选：求得以线段OP为直径的圆的方程为，与圆O的方程x²²相减，得直线AB 的方程，联立抛物线方程即可求解．本题考查了圆的切点弦方程，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：建立空间直角坐标系，如图所示：正六棱柱的底面边长为1，所以，，，，设，则，所以，，所以，且，即的取值范围是故选：建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，从而求出的取值范围．本题考查了空间向量的数量积计算问题，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系．是基础题．8.【答案】C【解析】解：设，则，即为增函数，又，则，即，即，故选：先构造函数，再利用导数研究其单调性，再由对数值比较大小求解即可．本题考查了导数的应用，重点考查了对数值比较大小关系，属中档题．9.【答案】AD【解析】解：由题意得，，A：，故数列是等比数列，A正确；B：当时，B显然不成立；C：当时，C显然不成立；D：，故数列是等比数列．故选：结合等比数列的定义分别检验各选项即可判断．本题主要考查了等比数列的定义及判断，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】解：，可得的最小正周期为，A正确；，可得是曲线的一个对称中心，B错误；令，，解得，，时，，可得是曲线的一条对称轴，C正确；由，可得，可得在上单调递增，D正确．故选：先求出，结合正弦函数的图像与性质对四个选项一一验证即可得解．本题主要考查了两角差的正弦公式以及正弦函数的图像与性质，考查了转化思想和函数思想的应用，属于基础题．11.【答案】ACD【解析】解：设，，则可得AB的中点为：，由题意可得，，将A，B的坐标代入椭圆的方程可得，作差可得，整理可得：，而由题意可得，所以可得，即，联立，整理可得：，则，，所以弦长，解得，，所以椭圆的方程为：；且可得，，，可得椭圆的离心率，所以A正确，短轴长，所以B不正确；，所以C正确；设左右焦点为，，因为P在AB上，设关于直线AB的对称点为，则，解得，，即，则，，当且仅当P，E，三点共线时取等号，所以的最大值为，故D正确，故选：由弦长AB的值及A，B的中点M的坐标，可得参数m，n的值，进而可判断A，B的真假，将直线AB的方程与椭圆联立，求出两根之和及两根之积，可判断C正确，求出左焦点关于直线AB的对称点E的坐标，由三点共线可得的最大值，判断D正确．本题考查椭圆的性质的应用，点差法求直线的斜率及三点共线时线段之差最大的性质，属于中档题．12.【答案】ABD【解析】解：A选项：时，，A对；B 选项：时，，①时，，②①+②，，B对．C选项：，求导得，，时，，，C错；D选项：，，比较两边的系数，D对．故选：A选项和B选项直接通过赋值法进行解决，C选项两边同时求导，再令即可解决，D选项考虑到，比较两边的系数即可得出．本题关键在于C选项和D选项的判断，C选项需要两边先同时求导，再进行赋值，D选项需要先利用平方差公式进行变形，再考虑两边项的系数，即可解决．13.【答案】【解析】解：是奇函数，且当时，，则故答案为：由奇函数的定义和对数的运算性质，计算可得结论．本题考查函数的奇偶性和对数的运算性质，考查运算能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由题意：随机抽3篇不同的课文中至少要背出其中2篇才能及格，分类讨论：一种情况为从能背出其中的4篇中选2篇，再从他不会背的2篇中选一篇；另一种情况为从能背出其中的4篇中选3篇．从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，共有种选法．该同学能及格的概率是，故答案为：由题意分类讨论：一种情况为从能背出其中的4篇中选2篇，再从他不会背的2篇中选一篇；另一种情况为从能背出其中的4篇中选3篇．从6篇课文中随机抽3篇不同的课文让同学背诵，共有种选法．利用古典概率计算公式即可得出．本题考查了古典概率的计算公式、组合数的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.【答案】答案不唯一【解析】解：当时，，；当时，，；是的一个充分不必要条件．故答案为：答案不唯一当时，比较与0的大小就可解决此题．本题考查等差数列前n项和公式，考查数学运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：与AB的夹角为，，与的夹角为，即，平面，，则，点轨迹长度；，，P都在球O上，在上，令半径为，，，由得，进而求出，借助弧长公式求解；由点与动点P均在球O表面上判断出球心在上，建立关于半径R的方程求出半径．本题考查了动点轨迹和球的表面积计算，属于中档题．17.【答案】解：在中，由余弦定理，得，因为，所以，化简得，所以，又因为，所以若选①，因为M是AC的中点，所以，在中，由余弦定理，得，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的面积的最大值是若选②，在中，由余弦定理，得，所以，所以，因为M是AC的中点，所以，所以，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立．.所以BM的最大值是【解析】由余弦定理化简已知等式，进而可求，结合范围，可得B的值．若选①，利用三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式可得，利用三角形的面积公式即可求解；若选②，在中，由余弦定理可得，由题意可得，两边平方，利用平面向量数量积的运算，基本不等式即可求解．本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，平面向量数量积的运算，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：因为，所以，；因为，所以，所以，又因为，所以，所以数列是等比数列．因为，所以，当时，，当时，，综上可知，，所以【解析】根据递推式可得，，根据等比数列的定义可证明结论．根据中结论可得，从而可求本题考查了数列的递推关系，数列的求和问题，属于中档题．19.【答案】解：证明：在平面中，延长与AB交于点E，连接CE，因为，所以E是平面与平面ABCD的交点，所以，在长方体中，，在三角形中，因为P为棱的中点，，所以B为棱AE的中点，所以DC在长方体中，且，所以且，所以四边形BECD是平行四边形，所以，即；以 D 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，在长方体中，平面，所以是平面的一个法向量，设为平面的法向量，因为，由，得，，取，所以为平面的一个法向量，记一面角的平面角为，因为，所以，即二面角的正弦值为【解析】延长与AB交于点E，连接CE，则，证明B为棱AE的中点，从而可得且，即可得四边形BECD是平行四边形，进一步证得；以D为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得答案．本题考查利用空间向量求二面角，考查学生的运算能力，属于中等题．20.【答案】解：记该员工获得一等奖为事件A，则记答题总数为X，则X的所有可能取值为3，4，5，6，，，，，该员工获得奖金为Y，则，，，期望，即该员工获得奖全的期望超过50元．【解析】答对前两道选择和第一道填空，计算概率即可；分别计算答题总数为3 道、4 道、5道、6道的概率、进而得到获得一二三等奖的概率，再计算期望即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布以及期望，属于中档题．21.【答案】解：，，又，在处的切线方程为，把代入，得，即；证明：，，且，，，，，设，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，，即故【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再求出，可得切线方程，把代入即可求得a值；由，可得，得到，进一步得到，则，设，再由导数求其最小值，即可证明，故本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查化归与转化思想，训练了利用导数求最值，属难题．22.【答案】解：由题意得，设双曲线C的焦距为2c，则，所以，所以，所以双曲线C的标准方程设，则直线PA的方程为：，由，得，因为直线PA与C交于A，M，所以，所以，因为，所以，，所以，因为直线PB的方程为，由，得，因为直线PB与C交于B，N，所以，所以，因为，所以，，所以，所以当时，直线MN的方程为：，令，得，所以直线MN过定点，当时，，所以直线MN过定点，所以当时，点B到直线MN的距离取得最大值为【解析】求得双曲线C的的a，b，即可求得双曲线C的标准方程；以设而不求的方法先判定直线MN过定点，再去求点B到直线MN的距离的最大值．本题考查了双曲线的标准方程，直线与双曲线的综合应用，属于难题．。

《新高考学科基地秘卷》命题组 数学试卷 第 1 页 (共 7 页)2022届高三基地学校第三次大联考数 学本试卷共6页，22小题，满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集为U ，集合A ，B 为U 的非空真子集，A ∪(C U B )＝C U B ，则B ∩(C U A )＝A ．AB ．BC ．D ．U2．已知复数z 满足1≤|z －(1－i)|≤2，则复数z 在复平面内对应的点Z 所在区域的面积为A ．πB ．2πC ．3πD ．4π3．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面棱长为40cm ，下底面棱长为20cm ，侧棱长为20cm ，则该款粉碎机进物仓的体积为A ．130003cm 3B ．280002cm 3《新高考学科基地秘卷》命题组 数学试卷 第 2 页 (共 7 页)C ．560003cm 3D ．280023cm 34．圆C ：x 2＋(y －1)2＝4被直线x －ty －1＝0截得的最短弦长为A ．2 3B ．2 2C ． 3D ．2 5．已知函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)(ω＞0)在区间(0，π6)上无极值，则ω的取值范围是A ．(0，5]B ．(0，5)C ．(0，52)D ．(0，52]6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花(如图1)．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均在正方形ABCD 各边的中点(如图2)．若点P 在四个半圆的圆弧上运动，则→AC ·→OP 的取值范围是A ．[－2，2]B ．[－4，4]C ．[－22－2，22＋2]D ．[－2－1，2＋1] 7．某国家级示范高职院校为做好春季高考招生工作，决定邀请省内部分高中优秀高三学 生到校进行职业生涯体验．若育才高中将获得的6个体验名额随机分配给高三年级4个班级，则每个班均获得体验名额的概率为A ．6584B ．542C ．195512D ．165256《新高考学科基地秘卷》命题组 数学试卷 第 3 页 (共 7 页)8．已知a ＝ln 2，b ＝e －1，c ＝(4－ln4)e －2，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＜c ＜bB ．c ＜a ＜bC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届南通密卷高三模拟试卷数学(考试时间：150分钟满分：150分)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交监考老师.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{(,)|||2|,,}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为（ ） A.9 B.10 C.12 D.132.设z 是复数，则下列命题中正确的是（ ） A.若z 是纯虚数，则20z ≥ B.若z 的实部为0，则z 为纯虚数 C.若0z z -=，则z 是实数 D.若0z z +=，则z 是纯虚数3.关于函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠，有下列四个命题： 甲：a <0；乙：()0f x =的三根分别为1231,0,2x x x =-==； 丙：()f x 在(0,2)上恒为负； 丁：()f x 在(2,)∞+上单调递增.如果只有一个假命题，那么该命题是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁4.四色定理(Fourcolortheorem )又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一.它是于1852年由毕业于伦敦大学的格斯里(FrancisGuthrie )提出来的，其内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”四色问题的证明进程缓慢，直到1976年，美国数学家运用电子计算机证明了四色定理.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P ﹣ABCD 的各个面涂颜色时，提出如下的“四色问题”：要求相邻面(含公共棱的平面)不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的涂法有（ ） A.36种 B.72种 C.48种 D.24种5.函数()sin 2cos f x x x =-在[0,3]π上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D.86.已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>的”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ） A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形8.已知()(),x f x e g x ==若()()1221,f x g x d x x ==-，则d 的最小值为（ ）A.1ln22- B.1ln2- C.14 D.1e二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若非负实数a ，b 满足21a b +=，则下列不等式中成立的有（ ）A.214ab ≤B.2412a b +≥b ≥D.2234a b +≥10.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，那么下列说法中正确的有（ ）A.若点P 在双曲线C 上，则1222PF PFb k k a⋅= B.双曲线22221y x a b-=的焦点均在以12F F 为直径的圆上C.双曲线C 上存在点P ，使得122PF PF a +=D.双曲线C 上有8个点P ，使得12PF F 是直角三角形11.法国数学家柯西(A.Cauchy ，17891857-研究了函数21,0()0,0x e x f x x -⎧⎪≠=⎨⎪=⎩的相关性质，并证明了()f x 在0x =处的各阶导数均为0.对于函数()f x ，有如下判断，其中正确的有（ ）A.()f x 是偶函数B.()f x 在是(),0∞-上单调递减C.()()f f e π-<D.若()a f x b ≤<恒成立，则b a -的最小值为112.在锐角三角形ABC 中，三个内角满足A B C <<，则下列不等式中正确的有（ ） A.cos 2C C π+< B.cos cos A B B A ->-C.sin 2C C π>D.sin sin B B A A>三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设02πθ<<，向量()3cos2,cos ,1,sin .2a b θθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭若a b ⊥则tan θ=__________. 14.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a a+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.若椭圆1C 与抛物线2C 相交于点A ，B ，且直线AB 经过点F ，则椭圆1C 的离心率为___________.15.已知()f x 在(0,)∞+上是减函数，且()()()1f x f y f xy +=+对任意的(0,)x ∞∈+都成立，写出一个满足以上特征的函数()f x =___________. 16.已知菱形ABCD 的边长为2，3ABC π∠=.现将菱形沿对角线AC 折成空间几何体ABCD '.设空间几何体ABCD '的外接球为球O ，若球O 的表面积为8π，则二面角B ﹣AC ﹣D '的余弦值为___________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在①1a ，3a 的等差中项是3，①24,a a 的等比中项是a 12，①13514a a a ++=.这三个条件中任选择两个，补充在下面问题中并解答.如果选多种方案解答，按第一种方案计分. 已知正项等比数列{}n a 满足_____，____. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a 的前n 项积为n T ，求数列21log n T ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .18.在①ABC 中，①ABC =2①ACB ，①ABC 和①ACB 的平分线交于点D. （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值； （2）若AB CD =，求①BDC 的大小.19.某厂工会在征求职工对节假日期间的业余生活安排意见时，随机抽取200名职工(其中35岁以下职工占75%)进行问卷调查.统计数据显示，35岁以下职工愿意观看电影的占80%，35岁及以上职工愿意观看电影的占40%. （1）完成下列2×2联列表，并判断能否有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.愿意观看电影不愿意观看电影合计35岁以下 35岁及以上 合计（2）该厂工会节假日期间共组织4次观看电影活动，统计35岁以下职工观看电影场次如表： 观看场次 1 2 3 4 占比40%30%20%10%现采用分层抽样的方法从中抽取10人，再从这10人中随机抽取2人，记这2人观看电影的总场次为X ，求X 的概率分布和数学期望.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20()P K k ≥0.010 0.005 0.001 k 06.6357.87910.82820.如图，在正三棱锥S ﹣ABC 中，E 是高SO 上一点，12AO SA =，直线EA与底面所成角的正切值为2.（1）求证：AE ①平面EBC ；（2）求三棱锥E ABC -外接球的体积.21.已知抛物线24y x =，点(2,0),(4,0)P Q .过点Q 的直线交抛物线于点A ，B ，AP ，BP 分别交抛物线于点C ，D ，连接AD ，DC ，CB .（1）若直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，求21k k 的值； （2）过点P 与x 轴垂直的直线分别交AD ，BC 于点E ，F ，求证：.PE PF = 22.已知函数()cos ,()ln (1ln )cos f x x g x x x x x xππππ=+=-+-.（1）求证：函数()f x 在区间30,2π⎛⎤⎥⎝⎦上有2个零点； （2）求证：函数()g x 有唯一的极值点.2021届南通密卷高三模拟试卷数学 参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤17.解：（1）记数列{}n a的公比为(0)q q >.选①①，则2131124424116,,a a a a q a a a q a ⎧+=+=⎨==⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则21311241351116,14,a a a a q a a a a a q a q ⎧+=+=⎨++=++=⎩ 解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.选①①，则24424112413511114,a a a q a a a a a a q a q ⎧==⎨++=++=⎩解得12,a q ==所以数列{}n a 的通项公式为122n na +=.（2）由题意得()()33231242n n n n n n T L +++=⨯⨯⨯==，所以()214411log 333n T n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，从而411111111111134253621123n S n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4111111323123n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭()()()22212484493123n n n n n ++=-+++ 18.解：（1）在ABC 中，由正弦定理得sin sin AB ACACB ABC∠∠=.因为52,8ABC ACB AB AC ∠∠==，所以4cos 5ACB ∠=.因为CD 平分ACB ∠，所以24cos 2cos 15ACB DCB ∠∠=-=，解得cos DCB ∠=负根舍去). （2）因为2,2ABC ACB ABC DBC ∠∠∠∠==，所以.ACB DBC ∠∠= 在ABC 和BCD 中，由正弦定理得sin sin AB BCACB BAC∠∠=，sin sin CD BCCBD BDC∠∠=因为AB CD =，所以sin sin .BAC BDC ∠∠=因为(),0,BAC BDC ∠∠π∈，所以.BAC BDC ∠∠π+= 记DCB ∠θ=，则6,3BAC BDC ∠πθ∠πθ=-=-， 所以()()63πθπθπ-+-=，解得9πθ=，所以23BDC π∠=. 19.解：（1）从而22200(120302030)28.5710.8281401506050K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为观看电影与年龄有关.（2）用分层抽样的方法抽取的10人中，观看场次为1,2,3,4的人数分别为4，3，2，1.从这10人中随机抽取2人，观看电影的总场次x 的可能取值为2,3,4,5,6,7，其概率分别为：()()()11112243423422210101024112,3,4151545C C C C C C P X P X P X C C C +========= ()()()1111112114132312212221010102425,6,794545C C C C C C C C C P X P X P X C C C ++========= 所以X 的概率分布为所以()42234567415154594545E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.（1）证明：延长,AO 交BC 于点.D因为SO ⊥平面ABC ，所以EAO ∠即为直线EA 与底面所成的角， 从而tan 2EAO ∠=，所以2EO AO =.设2,AO =则1,4,OE OD SA AB SO =====以O 为坐标原点，与CB 平行的直线为x 轴，OD 所在直线为y 轴，OS 所 在直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -， 则()())()(0,0,0,0,2,0,,,O A BC E -，所以()()(23,0,0,3,1,2,0,2,.BC BE AE =-=--=设平面EBC 的法向量为(),,n x y z =，由00n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩ 取1z =，则0y x =，即()0,2,1n = 所以()20,2,12AE n ==，即//AE n ，所以AE ⊥平面EBC .（2）解：由题意知三棱锥E ABC -为正三棱锥，设其外接球的球心为()0,0,Ot '由O A O E '='=解得t=，所以外接球的半径r ⎛==⎝⎭所以外接球的体积3432V π⎛== ⎝⎭. 21.（1）解：设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，直线AC 的方程为12x m y =+，所以4343122122344334121244,44y y y y y y k k y y x x y y x x y y ---=====-+-+-.联立122,4,x m y y x -+⎧⎨=⎩得21480,y m y --= 所以2113113Δ16320,4,8.m y y m y y ⎧=+>⎪+=⎨⎪=-⎩同理248y y =-由题意得直线AB 的方程为()14.y k x =-联立()124,4,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()222211184160,k x k x k -++=所以()2221121122112Δ8464084,16,k k k x x k x x ⎧=+->⎪⎪+⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩从而()()()2212112112124441616y y k x x k x x x x ⎡⎤=--=-++=-⎣⎦，所以2121212134122888k y y y y y yk y y y y ++===-=+-- （2）证法1:由题意得直线PF 的方程为2x =. 设直线AD 的斜率为3k ，则14314144y y k x x y y -==-+，所以直线AD 的方程为()11144y y x x y y -=-+.令2x =，则()111442E y x y y y =-++.同理()122342F y x y y y =-++.所以()()()()11212121212122212121122221428848814288488E F x y y y x y y y y y y y y PEx PF y y y y x y y y y y y y -+--+--=====---+-+-∣∣∣ 证法2：设()()2,,2,E F E y F y . 因为A ，,E D 三点共线，所以()()14141112214142244E y y y yy y x x y y x x ---=-=---，即()111442E y y x y y -=-+，所以2111442.4E y y y y y ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭因为41228,16y y y y =-=-. 所以2222121212121111121244222848464324E y y y y y y y y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=--=-+ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()2111221333y y y y y =--=- 同理()222212341243F y y y y y y y ⎛⎫=+-=- ⎪+⎝⎭.所以E F y y =， 从而.PE PF =22.证明：(1)由题意得()2sin f x x x π'=--.①当()0,x π∈时，()0f x '<，所以()f x 在区间()0,π上单调递减， 从而()()0f x f π>=，所以()f x 在区间()0,π上没有零点.①当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()32cos 0f x x x π-+''=>，所以()f x '在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 因为134()0,1029f f ππππ''⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在3,2t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()0f t '=， 从而可列下表：所以存在3,2t πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0.f α=又因为()0f π=，所以()f x 在区间3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个零点. 综上，所以()f x 在区间30,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上有2个零点. （2）由题意得()g x 的定义域为()()0,,sin ln ln g x x x ∞πππ++-'=. 记()()sin ln ln ,h x g x x x πππ==+-'则()()cos h x x f x x π='+=. ①当()0,x α∈时，由（1）知，若()0,x π∈，则()0h x '>，所以()h x 在区间()0,π上单调递增； 若[),x πα∈，则()0h x '≤，所以()h x 在区间[),πα上单调递减. 又因为()0h π=，所以()0h x ≤在()0,α上恒成立，且()0h α<， 即()0g x '≤在()0,α上恒成立，且()0g α'<，所以()g x 在区间()0,α上不存在极值点.①当3,2x πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时 由（1）知()0h x '>，所以()h x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，即()g x '在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. 又因为()333270,1ln 13ln ln 02228g g e παπ⎛⎫<=-+>-+=> ⎪⎭''⎝， 所以存在3,2πβα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0g β'=，从而可列下表：所以x β=是()g x 在区间3,2πα⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值点.（3）当3,2x π∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()33sin ln ln sin ln ln 1ln 022g x x x x ππππππππ=+->+-≥-+>' 即()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()g x 在区间3,2π∞⎛⎫+⎪⎝⎭上不存在极值点 综上，函数()g x 有唯一的极值点.。

Read If Then x 0≤ ()xx f 4← Else()xx f 2← If End()xf int Pr 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1. 已知,{|10}U R A x x ==-≤<，则 U C A = . 2. “22x x =+”是“||2x x =+”的 条件．（填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”．）3. 若122,34z a i z i =+=-，且12z z 为纯虚数，则实数a = . 4．如右图，给出一个算法的伪代码，则=+-)2()3(f f .5． 已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且137,,a a a 成等比数列，则1ad=.6． 等腰Rt ABC 中，斜边42BC =一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过A,B 两点，则该椭圆的离心率为 . 7． 高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为 .8． 设,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，,,PA PB PC 两两垂直，1,6,3PA PB PC ===，则球O 的体积为 .9． 已知函数21()21x xm f x --=+是奇函数且2(2)(3)f a a f ->，则a 的取值范围是 . 10．知1sin(64x π+=，则25sin()sin ()63x x ππ-+-= . 11．△ABC 中，2460AB BC B ︒==∠=，，．设O 是△ABC 的内心，若AC q AB p AO +=，则qp的值为 . 12．211()2,()(2)3f x x mx m g x x x =-+=--．若对任意11[,2]2x ∈，总存在21[,2]2x ∈，使得12()(),f x g x ≥则m 的取值范围是 .13．,x y 是两个不相等的正数，且满足3322x y x y -=-，则[9]xy 的最大值为 .（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）．14．已知各项均为正数的两个数列由表下给出：定义数列{}n c ：10c =，111,(2,3,...,5),nn n n n n n n nb c a n c c a b c a --->⎧==⎨-+≤⎩，并规定数列n1 2 3 4 5 n a 1 5 3 12n b 162xy{},{}n n a b 的“并和”为1255ab S a a a c =++⋅⋅⋅++．若15ab S =，则y 的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）在锐角三角形ABC 中,3sin 5A =,1tan()3A B -=-． （1）求tan B 的值;（2）若CA CB mBA BC ⋅=⋅, 求m 的值．16.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥． a) 求证：AD ⊥平面11BCC B ； b) 设点E 是11B C 的中点，求证：1//A E 平面1ADC ．c) 设点M 在棱1BB 上，试确定点M 的位置，使得平面1AMC ⊥平面11AAC C ．Ａ１17.（本小题满分14分）第30届夏季奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦召开，某百货公司预计从2012年1月起前x 个月市场对某种奥运商品的需求总量1()(1)(392),2p x x x x =+-*(,x N ∈且12)x ≤．该商品的进价()q x 与月份x 的近似关系为*()1502(,12)q x x x N x =+∈≤． （1）求2012年第x 个月的需求量()f x ；（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则该百货公司2012年仅销售该商品可获月利润预计最大是多少？18. （本小题满分16分） 已知数列{}n a 满足()*1111n n n n a a n n N a a +++-=∈-+，且26a =．（1）设1(2),3(1)nn a b n b n n =≥=-，求数列{}n b 的通项公式；（2）设()*,n n a u n N c n c =∈+为非零常数，若数列{}n u 是等差数列，记12,2n n n n nuc S c c c ==+++，求.n S .19.（本小题满分16分）已知圆22:(2)(2)C x y m -+-=，点(4,6),(,)A B s t ．（1）若3412s t -=-，且直线AB 被圆C 截得的弦长为4，求m 的值；（2）若,s t 为正整数，且圆C 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值λ(1)λ>，求m 的值．20.（本小题满分16分）设()(1)xf x e a x =-+．(1) 若0,a >()0f x ≥对一切x R ∈恒成立，求a 的最大值． (2) 设()()x ag x f x e=+,且112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是曲线()y g x =上任意两点． 若对任意的0a ≤，直线AB 的斜率恒大于常数m ，求m 的取值范围；(3) 是否存在正整数a ，使得13(21))nnnn n an ++⋅⋅⋅+-<对一切正整数n 均成立?若存在，求a 的最小值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图所示，已知PA 与⊙O 相切，A 为切点，，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且2DE EF EC =⋅（1）求证：EDF P ∠=∠； （2）求证：CE ·EB =EF ·EP ．B．（选修４－２：矩阵与变换）设 M =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦，N =1201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 试求曲线xy sin=在矩阵MN变换下的曲线方程．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知圆的极坐标方程为：242cos604πρρθ⎛⎫--+=⎪⎝⎭．⑴将极坐标方程化为普通方程；⑵若点P(x，y)在该圆上，求x＋y的最大值和最小值．D．（选修４－５：不等式选讲）已知关于x的不等式：12≤-mx的整数解有且仅有一个值为2．（1）求整数m的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：mxx≥-+-31．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．（1）求异面直线PC与BD所成的角；（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．23．甲、乙两人玩一种游戏：甲从放有x个红球、y个白球、z个(,,1,10x y z x y z++=≥)黄球的箱子中任取一球,乙从放有5个红球、3个白球、2个黄球的箱子中任取一球．规定:当两球同色时为甲胜，当两球异色时为乙胜．（1）用,,x y z表示甲胜的概率；（2）假设甲胜时甲取红球、白球、黄球的得分分别为1分、2分、3分，甲负时得0分，求甲得分数ξ的概率分布，并求()Eξ最小时的,,x y z的值．。

2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 已知集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，下列结论成立的是( )A. M ⊆NB. M ∩N =⌀C. M ∪N =MD. ∁M N ={1}2. 在复平面内与复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3. 已知函数f(x)={xlnx,x >0x e x,x ≤0则函数y =f(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.4. 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是( )A. 3√34B. √33C. √34D. √3125. 设当x =θ时，函数f(x)=3sinx +4cosx 取得最小值，则sinθ=( )A. 35B. 45C. −35D. −456. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n+1=S n ，若a n ∈(0,2020)，则称项a n为“和谐项”，则数列{a n }的所有“和谐项”的平方和为( )A. 13×411+83B. 13×411−43C. 13×410+83D. 13×412−437. 已知函数f(x)=x 2⋅e −x ，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c.若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立，则c 的取值范围是( )A. (4e 2,43)B. [4e 2,43]C. (−∞,43]D. [4e 2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）8.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小9.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是()A. BD⊥CMB. 存在一个位置，使△CDM为等边三角形C. DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°10.设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是()A. 若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B. 若OA⊥OB，直线AB过定点(1,0)C. 若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D. 若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|=1，则|BF|=1311.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，则下列命题正确的是()A. 当x>0时，f(x)=−e−x(x−1)B. 函数f(x)有3个零点C. f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(f(−25π4))=______．13. 平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为______ ．14. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =30°，C =45°，c =3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC =60°，则△PBC 面积的最大值是______ ． 15. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A(−1,0)，当|PF||PA|取得最小值时，直线AP 的方程为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m ，n ，求事件“|m −n|>10”概率．17. 已知数列{a n }满足：S n =2a n −4n ，设b n =a n +4，c n =1b n．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n}其前n项和为T n，如果T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围．18.某地区上年度电价为0.8元/kW⋅ℎ，年用电量为akW⋅ℎ，本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅ℎ至0.75元/kW⋅ℎ之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅ℎ经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3元/kW⋅ℎ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？(注：收益=实际用电量×(实际电价−成本价))19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a2．4(1)若a=√6，b=√2，求cos B．(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)的最大值．20.已知椭圆O：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2√3，椭圆O的离心率为12．(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：x2+(y−2)2=r2，(0<r<2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−a2x2(e=2.71828…为自然对数的底数)有两个极值点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x2<2lna．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，不满足M ⊆N ，则A 错； M ∩N ={−2,2}，则B 错； M ∪N =M ，则C 正确； C M N ={1,3}，则D 错． 故选：C ．利用子集、交集、并集、补集定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查子集、交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查两个复数代数形式的乘除法，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得答案． 【解答】解：∵复数z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，∴复数z 的共轭复数是1−i ，就是复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：当x >0时，f(x)=xlnx ，则令f′(x)=lnx +1=0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)=e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y轴对称，再向右移动一个单位得到的，故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为故选：B．利用导数分析出f(x)的单调性，进而得到f(x)图象示意图，再根据f(1−x)图象与f(x)图象的关系即可进行判断本题考查函数图象的变换，涉及导数判断函数单调性，数形结合思想，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于基础题．作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积．【解答】解：由题可知正三棱锥P−ABC的外接球的球心在底面正三角形ABC的中心，如图，设正三棱锥P−ABC的底面中心为O，OC，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=32∵O是三棱锥P−ABC的外接球球心，∴OP =OC =1，∴CD =32，BD =√32,BC =√3，∴V P−ABC =13S △ABC ⋅OP=13×√34×(√3)2×1=√34． 故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．利用辅助角公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最小值，解出θ，从而可得sinθ的值． 【解答】解：f(x)=3sinx +4cosx =5(35sinx +45cosx)=5sin(x +φ)，其中sinφ=45，cosφ=35， 由f(θ)=5sin(θ+φ)=−5， 可得sin(θ+φ)=−1， ∴θ+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ，θ=−φ−π2+2kπ，k ∈Z ，∴sinθ=sin(−φ−π2+2kπ)=sin(−φ−π2)=−cosφ=−35，故选C ．6.【答案】A【解析】解：因为a n+1=S n ，所以a n =S n−1(n ≥2)，则a n+1−a n =S n −S n−1，即a n+1−a n =a n ，a n+1=2a n ， 所以a n+1a n=2(n ≥2)，因为a 1=2，所以a 2=S 1=a 1=2，故a n ={2n−1,n ≥22,n =1，因为a n ∈(0,2020)，所以1≤n ≤11， 于是数列{a n }的所有“和谐项“的平方和为：a 12+a 22+⋯+a 102+a 112=4+4+42+⋯+410=4+4(1−410)1−4=4+411−43=13×411+83，故选：A ．根据a n+1=S n 得出a n =S n−1(n ≥2)，然后两式相减，得出a n+1a n=2，再然后根据a 1=2得出a 2=2以及a n ={2n−1,n ≥22,n =1最后根据“和谐项“的定义得出1≤n ≤11，通过等比数列前n 项和公式求和即可得出结果．本题考查数列的前n 项和的求法，考查等比数列的定义以及数列通项公式的求法，能否正确理解“和谐项“是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，中档题分别求出f(x)，g(x)的导数，分析单调性，求出函数的值域，结合集合的包含关系得到关于c 的不等式组，解出即可，属于中等题． 【解答】解：f(x)=x 2⋅e −x ，x ∈(0,+∞)， 则f ′(x)=x(2−x)e x，令f ′(x)<0，解得：x >2， 令f ′(x)>0，解得：2>x >0， 故f(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递减， 故f(x)max =f(2)=4e 2，而x →0时，f(x)→0，x →+∞时，f(x)→0， 故f(x)∈(0,4e 2]，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c ， g ′(x)=−(x −3)(x −1)， 令g ′(x)⩾0，解得：1⩽x ⩽3， 故g(x)在[1,3]递增，而g(x)min =g(1)=−43+c ，g(x)max =g(3)=c ， 故g(x)∈[−43+c,c]，若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立， 则(0,4e 2]⊆[−43+c,c]，故{−43+c ≤04e 2≤c，解得：4e 2≤c ≤43，故选B ．8.【答案】AB【解析】解：A 、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差=173−161=12，故本选项符合题意；B 、男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C 、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D 、抽取的学生中，男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意． 故选：AB ．A 、根据极差的公式：极差=最大值−最小值解答；B 、根据两组数据的取值范围判断均值大小；C 、根据中位数的定义求出数值；D 、根据两组数的据波动性大小；本题考查了统计数据的分析与应用问题，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O.将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME ⊥BD ，EC ⊥BD ，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC ⊥BD ，所以A 正确；由题意可知AB =BC =CD =DA =BD ，三棱锥是正四面体时，△CDM 为等边三角形，所以B 正确；三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，所以C 不正确；在平面MBD 与底面BCD 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°，D 正确． 故选：ABD ．画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可． 本题考查空间几何体的直线与直线，直线与平面的位置关系的综合判断，命题的真假的判断，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于选项A ：A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+(x 1x 2)2=0，∴x 1x 2(1+x 1x 2)=0，∴x 2=−1x 1，∴|OA||OB|=√x 12(1+x 12)1x 12(1+1x 12)=√1+x 12+1x 12+1≥√2+2|x 1|⋅1|x 1|=2，当且仅当x 1=±1时等号成立，故选项A 正确；对于选项B ：若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−m ，∴y 1y 2=x 12x 22=(x 1x 2)2=m 2，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴−m +m 2=0，∴m =0或1， 易知直线AB 不过原点，∴m =1，∴直线AB 的方程为：y =kx +1，恒过定点(0,1)，故选项B 错误，∴原点O 到直线AB 的距离d =2，∵k 2≥0，∴k 2+1≥1，∴d ≤1，故选项C 正确；对于选项D ：直线AB 过抛物线的焦点F(0,14)，设直线AB 的方程为：y =kx +14， 联立方程{y =kx +14x 2=y ，消去y 得：x 2−kx −14=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨设点A 在y 轴右侧，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，∴|AF|=y 1+14=13，∴y 1=112，∴x 1=√36，∴x 2=−14x 1=−√32，∴y 2=34，∴|BF|=y 2+14=1，故选项D 正确， 故选：ACD ．若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系．11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，f(−x)=e −x (−x +1)，∴f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)， x =0时，f(0)=0.因此函数f(x)有三个零点：0，±1．当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值， f(−2)=−1e 2.可得其图象：f(x)<0时的解集为：(−∞,−1)∪(0,1)．∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤|f(0+)−f(0−)|<2． 因此BCD 都正确． 故选：BCD ．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，可得f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)，x =0时，f(0)=0.当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值，进而判断出结论． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】1e 3【解析】解：根据题意，函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(−25π4)=sin 2(−25π4)−tan(−25π4)=12−(−1)=32，则f(f(−25π4))=f(32)=e −3=1e 3；故答案为：1e 3．根据题意，由函数的解析式求出f(−25π4)的值，进而计算f(f(−25π4))即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， =(λ+23μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ， 解可得，λ=−1，μ=32， 则λ+μ=12， 故答案为：12．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理后结合向量基本定理即可求解．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题．14.【答案】9√38【解析】解：在△ABC中，由正弦定理asinA =csinC得，a=csinAsinC =3×sin30°sin45=3√22，在△PBC中，由余弦定理得，a2=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos∠BPC，∴92=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos60°，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC，∵PB2+PC2≥2PB⋅PC，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC≥PB⋅PC，当且仅当PB=PC时取等号，∴PB⋅PC≤92，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin60°≤12×92×√32=9√38，∴△PBC的最大值为9√38．故答案为：9√38．由已知利用正弦定理即可解得a的值，在△PBC中，由余弦定理，基本不等式可求PB⋅PC≤92，当且仅PC=PB时取等号，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】x+y+1=0或x−y+1=0【解析】解：设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(−1,0)∴|PF|2=(4t2−1)2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=(4t2+1)2+16t2=16t4+24t2+1∴(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−16t216t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24≥1−2√16t⋅1t2+24=1−1640=35，当且仅当16t2=1t2，即t=±12时取等号，此时点P坐标为(1,2)或(1,−2)，此时直线AP的方程为y=±(x+1)，即x+y+1=0或x−y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x−y+1=0，设P点的坐标为(4t2,4t)，根据点与点的距离公式，可得(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24，再根据基本不等式求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率(0.004+0.018+0.04)×10= 0.62，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x，则(0.004+0.018)×10+0.04×(x−70)=0.5，解得x=77，所以中位数是77，设平均数为x−，则x−=55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50,60)时，只有xy一种情况，若m，n∈[90,100]时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在[50,60)和[90,100)内时，有xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有6种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数有6种，∴p(|m−n)>10)=610=35．【解析】(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率为0.62，从而中位数在[70,80)内，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，利用频率分布直方图的性质能求出平均数．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为2人，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数．本题考查中位数、平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及列举法的合理运用．17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2a1−4，解得a1=4，当n≥2时，S n=2a n−4n①，S n−1=2a n−1−4(n−1)②由①−②得a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1−4，即a n=2a n−1+4，可得a n+4=2(a n−1+4)，即b n=2b n−1，所以b n=b1⋅2n−1=8⋅2n−1=2n+2，则a n=2n+2−4；(2)由(1)知c n=(12)n+2，所以T n=18[1−(12)n]1−12=14[1−(12)n]<14，由T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，所以m≥14．【解析】(1)由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n−S n−1，推得a n=2a n−1+4，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得c n，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)：设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)(5分)(2)依题意有{(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)≥[a×(0.8−0.3)](1+20%)0.55≤x≤o.75(9分)整理得{x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw⋅ℎ仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．【解析】(1)先根据题意设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益即可；(2)依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．19.【答案】解：(1)∵S=b2+c2−a24，可得12bcsinA=2bccosA4，∴sinA=cosA，可得tanA=1，∵A∈(0,π)，∴A=π4，∵a=√6，b=√2，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=b⋅sinAa=√2×√22√6=√66，又∵a>b，B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√306．(2)∵A=π4，∴sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=sin(B+π4)+sinBcosB+cos(B−π4)=√22sinB+√22cosB+sinBcosB+√22cosB+√22sinB=√2(sinB+cosB)+sinBcosB 令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，∴原式=12t2+√2t−12=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，∴当t=√2时，B=π4，此时，原式的最大值为52．【解析】(1)利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=1，结合范围A∈(0,π)，可求A的值，由正弦定理可得sin B的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．(2)由已知可求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=√2(sinB+cosB)+sinBcosB，令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，可求原式=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，利用二次函数的性质可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可知当点P在椭圆O的上顶点时，S△PAB最大，S△PAB=12×2ab=ab=2√3，∴{ab=2√3ca=12a2−b2=c2，解得{a=2b=√3c=1．∴椭圆O的标准方程为x24+y23=1；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0， ∵直线与圆E ：x 2+(y −2)2=r 2相切， ∴d =2=r ，得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0．设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)， 则k 1k 1=1．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k 1(x −2)x 24+y 23=1，得(3+4k 12)x 2−16k 12x +16k 12−12=0．∴x 1=8k 12−63+4k 12，y 1=−12k13+4k 12，同理x 2=8k 22−63+4k 22=8−6k 124+3k 12，y 2=−12k 23+4k 22=−12k14+3k 12． ∴k CD =y 2−y 1x2−x 1=−12k 14+3k 12−−12k 13+4k 128−6k 124+3k 12−8k 12−63+4k 12=k14(k 12+1)． ∴直线CD 的方程为y +12k 13+4k 12=k 14(k 12+1)(x −8k 12−63+4k 12)．整理得：y =k 14(k 12+1)x −7k 12(k 12+1)=k14(k 12+1)(x −14)．∴直线CD 恒过定点(14,0)．【解析】(1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △PAB 最大，得到ab =2√3，与离心率及隐含条件联立求得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0，由圆心到切线的距离等于半径可得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 1=1.再设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，分别求出C ，D 的坐标，求出CD 所在直线当斜率，得到直线CD 的方程，整理后由直线系方程可得直线CD 恒过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=e x −ax ，∵函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，∴方程f′(x)=0有两个不等的实数根x 1，x 2， 设g(x)=f′(x)=e x −ax ，则g′(x)=e x −a ， ①当a ≤0时，g′(x)=e x −a >0，∴g(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②当a>0时，由g′(x)=0得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)min=g(lna)=a−alna<0，即a>e，令φ(a)=a−2lna(a>0),φ′(a)=1−2a =a−2a，当a∈(0,2)时，φ′(a)<0，φ(a)为减函数，当a∈(2,+∞)时，φ′(a)>0，φ(a)为增函数，∴φ(a)min=φ(2)=2−2ln2=2(1−ln2)>0，∴φ(a)>0，即a>2lna，从而lna<a2<a，e a>a2，∴g(a)=e a−a2>0，又g(0)=1>0，∴g(x)在(0,lna)和(lna,a)上各有一个零点，符合题意．综上，实数a的取值范围为(e,+∞)；(2)证明：不妨设x1<x2，则x1∈(−∞,lna)，x2∈(lna,+∞)，则x1<lna<x2，设p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−ax−[e2lna−x−a(2lna−x)]=e x−a2e−x−2ax+2alna，则p′(x)=e x+a2e−x−2a≥2√e x⋅a2e−x−2a=2a−2a=0，当且仅当e x=a2e−x，即x=lna时等号成立，∴p(x)在R上为增函数，由x2>lna，故p(x2)>p(lna)=0，即g(x2)−g(2lna−x2)>0，又∵x1，x2为函数g(x)的两个零点，∴g(x1)=g(x2)，∴g(x1)>g(2lna−x2)，又x2>lna，故2lna−x2<lna，又函数g(x)在(−∞,lna)上单调递减，∴x1<2lna−x2，即x1+x2<2lna．【解析】(1)依题意，方程f′(x)=0有两个不等的实数根x1，x2，设g(x)=f′(x)=e x−ax，求导后分a≤0及a>0讨论即可得出结果；(2)不妨设x1<x2，由(1)知x1<lna<x2，构造函数p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−a2e−x−2ax+2alna，可证p(x)为R上的增函数，进而可得g(x1)>g(2lna−x2)，再利用函数g(x)的单调性即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题的处理策略，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．。

2015年高考模拟试卷(10)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1. 复数34z i =-的虚部为 .2. 函数()2sin()6f x x πω=+的最小正周期为4π，其中0ω>，则ω= .3.函数y =的值域为集合A ，函数()lg 2y x =-的定义域为集合B ，则A I B = ． 4. 已知双曲线2219x y m-=的一个焦点为（5，0），则实数m = ． 5．若五个数1,2,3,4，a 的平均数为3，则这五个数的标准差是 ． 6． 执行右面的程序图，那么输出n 的值为 ．7. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y = 5下方的概率为 ．8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，又是周期为2的周期函数，当[0,1)x ∈时， ()21x f x =-，则0.5(log 6)f 的值为_____．9．已知正六棱锥P ABCDEF 的底面边长为1 cm ，侧面积为3 cm 2，则该棱锥的体积为________cm 3.10.在△ABC 中，(3)0AB AC CB -⋅=u u u r u u u r u u u r，则角A 的最大值为_________．11. 已知圆22(1)9x y ++=与直线3+=tx y 交于B A ,两点，点),(b a P 在直线x y 2=上，且PB PA =,则a 的取值范围为 . 12.若关于x 的方程2log 2x4－x= kx + 1-2k(k 为实数)有三个实数解，则这三个实数解的和 _ .13. 已知数列12,,,n a a a L L ，满足2,1321===a a a ，且对于任意*∈N n ，121≠++n n n a a a ，又321321+++++++++=n n n n n n n n a a a a a a a a ，则1232015a a a a ++++L = . 14. 已知对于一切x ，y ∈R ，不等式0218281222≥--+-+a y x xy xx 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）在ABC ∆中，已知45A =o，4cos 5B =. (1)求cosC 的值；(2)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.（第6题）M ANO xy16.（本小题满分14分）在四面体ABCD 中，,CB CD AD BD =⊥，且,E F 分别是,AB BD 的中点. 求证：（1）直线EF ∥面ACD ； （2）平面EFC ⊥平面BCD ． 17. (本小题满分14分) 如图，有一块矩形草坪ABCD ，AB =100米，BC =3OE 、EF 和OF ，要求O是AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EOF =90°； （1）设∠BOE =α，试求OEF ∆的周长l 关于α的函数解析式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？ 并求出最低总费用．18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点为A (-2,0)，且过点),1(e ，（e 为椭圆的离心率）；过A 作两条互相垂直的弦AM ，AN 交椭圆于,M N 两点。