南通市高考数学模拟试卷含答案

江苏南通高考数学全真模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，则A 的子集个数为 ．2.已知复数12i z a =+,22i z =-（其中0a >，i 为虚数单位）.若12||||z z =，则a 的值为 ．3.执行如图所示的流程图，则输出的结果S = ．4.若直线1ey x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是 ．5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．6.已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +(,)a b ∈R 的方差为12，则a 的值为 ．7.我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．8.在平面直角坐标系中，如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，那么当,a b 任意变化时，a b c+的最大值是 ．9.已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+=，则2315[()]f a a a -= ．11.在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆222:((49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ．12.已知实数6n ≤，若关于x 的不等式2(2)80xm x n +--≥对任意的[4,2]x ∈-都成立，则443m n m n-的最小值为 ． 13.已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若2sin()3αβ+=，则sin()αβ-的值为 ． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D .（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1） 求证：//BC 平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数.（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.18. 已知椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.19. 已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.（1）设0c =.①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值.（2） 设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立.20. 若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||m i i i a b =-∑. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB BC ，分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =.B.[选修4-2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a .（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩. （1）计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、填空题1. 82. 13.12 4. 0 5. 14 6. 2± 7. 1:278. 9. 11[,)32 10. 21316π 11. 7 12. 803- 13. 15- 14. 5 二、解答题15.解：（1）设BAD α∠=，CAD β∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故cos cos(60)βα=-=°1cos 2αα==，即4cos 10CAD +∠=. （2）设点(,)C x y .由（1）知sin sin(60)βα=-=°13cos sin 2210αα-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C . 16.证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BC B C .因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以//BC 平面11AB C .（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB ∩底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ， 且由2ABC π∠=知AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11A ABB .又11//BC B C ，故11B C ⊥平面11A ABB .而11B C ⊂平面11AB C ，所以平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 解：（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =，则22400BC x =-， 所以224400k y x x =+-(020)x <<.因为当x =时，0.065y =，代入表达式解得9k =， 所以2249400y x x =+-(020)x <<. （2）因为2249400y x x =+-， 所以32289(2)'(400)x y x x ⨯-=--=-422322188(400)(400)x x x x ---. 令'0y =，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =.当0x <<'0y <，所以函数2249400y x x=+-为减函数；当20x <<时，'0y >，所以函数2249400y x x =+-为增函数. 所以当x =，即点C 到城A 的距离为km 时，函数2249400y x x =+-(020)x <<有最小值.18. 解：（1）由题意知椭圆:C 221113x y m m+=， 所以21a m =，213b m=，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=.因为2c ==，所以离心率c e a ==. （2）设线段AP 的中点为D .因为BA BP =，所以BD AP ⊥.由题意知直线BD 的斜率存在，设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-. 由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得202023(0,)2y B y --. 因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 2000233(||||)22y y y --=+0033(2||)22||y y =+32≥⨯=． 当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19.解：（1）当0c =时，32()f x ax bx b a =-+-.①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2'()32f x ax ax =-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --. 将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，解得00x =或01x =.②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a=<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，从而()f x 的最大值为(1)0f =.（ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =.综上，()f x 的最大值为0.（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.不妨设12x x <，则12()()f x f x <.因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立.既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.20. 解：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.（2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±. 由111n n na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =，…. 所以15a a =，26a a =，….因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4.所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，13a b =*()k N ∈， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，12a c =*()k N ∈. 因为111||||k k i i i i i i b c b c +==-≥-∑∑， 所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 因为17||3k i ii b c =-=∑，所以3456485411||||i i i ii i b c b c ⨯⨯==-=-=∑∑786420163⨯=， 因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑. 故m 的最大值为3455. （3）假设T 中的元素个数大于或等于17.因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）. 那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a .设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==. 因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在{}n c 与{}n d 中，i i c d ≠(4,5,6,7)i =至少有3个成立.不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠.由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“i i f c =(4,5,6)i =中至少有两个成立”和“i i f d =(4,5,6)i =中至少有两个成立”中必有一个成立.故71||2i i i fc =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾. 所以T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】A.解：易得90ADO ACB ∠=∠=°，又A A ∠=∠，故Rt Rt ADO ACB ∆∆∽， 所以BC AC OD AD=. 又2AC AD =，故2BC OD =.B.解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ，则cos90sin9001sin90cos9010A --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦°°°°. 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B ， 则10102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022M BA -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C.解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数）， 因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.D.证明：因为0a >，0b >，所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，即要证2224()()a ab b a b -+>+，只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立.【必做题】22.解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能， 故所求事件的概率3739C 5C 12P ==. （2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种:{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}； 2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}；4ξ=的情况有1种：{1,5,9}.故随机变量ξ的分布列如下：因此，75()121616E ξ=⨯+⨯31153416168+⨯+⨯=. 23.解：（1）213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=. （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >.下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <.（i ）由（1）知当3n =时，()1f n <.（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k =+++<+，那么11(1)12f k k k +=++++11122122k k k +++++ 1111()122k k k k =++++++1112122k k k++-++ 11111()()21222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++． 所以当1n k =+时，()1f n <也成立.因此，当3n ≥时，()1f n <.综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学苏教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题执行下边的程序框图，输出的（）A．3B．4C．5D．6第(2)题已知为实数，则（）A．1B．C．2D．第(3)题已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于A，两点(点A在第一象限)，若，则以为直径的圆的标准方程为（）A．B．C．D．第(4)题当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．第(6)题已知集合，，且，则实数的所有取值构成的集合是（）A．B．C．D．第(7)题如图，平面四边形中，与交于点，若，，则A ．B ．C ．D ．第(8)题执行如图所示的程序框图，若输出的的值为32，则判断框内可填入的条件是（ ）A．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题根据《冰雪运动发展规划（2016-2025年）》，到2025年，我国冰雪运动普及度大幅提高，直接参加冰雪运动的人数超过5000万，并“带动3亿人参与冰雪运动”．某滑冰馆统计了2021年11月1日到30日某小区居民在该滑冰馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（ ）A ．该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数在区间内的最多B ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的中位数为16C ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数的平均值不超过14D ．估计该小区居民在该滑冰馆的锻炼天数超过15天的概率为0.465第(2)题若复数z 满足（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为，则（ ）A．z 的实部是B ．z 的虚部是C．复数在复平面内对应的点在第一象限D ．第(3)题已知数列的通项公式为，前项和为，则下列说法正确的是（ ）A ．数列有最小项，且有最大项B ．使的项共有项C ．满足的的值共有个D ．使取得最小值的为4三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在某次调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，部分数据如下表．样品类别样本容量平均数方差A 10 3.52B30 5.51根据这些数据可计算出总样本的方差为______．第(2)题已知正方形ABCD 的边长是1，将沿对角线AC 折到的位置，使（折叠后）A 、、C 、D 四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．第(3)题已知函数的定义域为，若为奇函数，且，则_________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为，点A为曲线C 1上的一动点，点B在射线OA上，且满足．（1）求点B的轨迹C2的直角坐标方程；（2）若C 2与x轴交于点D，过点D且倾斜角为的直线l与C1相交于M，N两点，求的值．第(2)题如图1所示，在长方形中，，是的中点，将沿折起，使得，如图2所示，在图2中．(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离．第(3)题矩形所在平面与等腰梯形所在平面互相垂直，，，直线与平面所成角为，.(1)求平面与平面夹角的余弦值；(2)线段上任意一点到平面的距离是否为定值?如果是，则求出定值，否则说明理由．第(4)题已知函数，.（1）若函数在时取得极值，求的单调递减区间；（2）证明：对任意的，都有；（3）若，，，求证：（）.第(5)题为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验，为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530(1)从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；(2)利用频率估计概率，从高一、高二、高三年级中各随机选取1名学生，设这三名学生中参加戏曲体验的人数为，求的分布列及数学期望；(3)为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取名学生进行访谈，设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，当取得最大值时，写出的值，及对应的值．（直接写出答案即可）。

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1.【答案】{1，3}
答案和解析
【解析】解：∵A={1，3，5，7}，B={0，1，3}； ∴A∩B={1，3}． 故答案为：{1，3}． 进行交集的运算即可． 考查列举法的定义，以及交集的运算．
2.【答案】-2
【解析】解：∵
，
∴
，
解得：
，
∴ab=-2． 故答案为：-2． 把已知等式左边利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a， b 的值，则答案可求． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
21. 已知 1 是矩阵
得到的点的坐标．
的一个特征值，求点（1，2）在矩阵 A 对应的变换作用下
22. 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2sinθ．以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立
平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为
（t 为参数）．
（1）求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （2）求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长．
高考数学模拟试卷（一）
题号 得分
一
二
总分
一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 A={1，3，5，7}，B={0，1，3}，则集合 A∩B=______．
2. 若
，其中 i 为虚数单位，a，b∈R，则 ab 的值为______．
3. 已知一组数据 7，8，11，14，15，则该组数据的方差为______． 4. 一个算法的流程图如图所示，则输出的 a 的值为
19. 设函数 f（x）=ex-alnx（a∈R），其中 e 为自然对数的底数．
（1）当 a＜0 时，判断函数 f（x）的单调性； （2）若直线 y=e 是函数 f（x）的切线，求实数 a 的值； （3）当 a＞0 时，证明：f（x）≥2a-alna．

江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(2)题算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于的概率为（）A．B．C．D．第(3)题若，则s1,s2,s3的大小关系为A．s1＜s2＜s3B．s2＜s1＜s3C．s2＜s3＜s1D．s3＜s2＜s1第(4)题已知是的外心，，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．第(5)题设全集，集合，，那么等于A．B．C．D．第(6)题已知函数的极值点为，则（）A．B．2C．D．1第(7)题若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是A．B．C．D．第(8)题某人每天早上在任一时刻随机出门上班，他的报纸每天在任一时刻随机送到，则该人在出门时能拿到报纸的概率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数是的导函数，则（）A．“”是“为奇函数”的充要条件B．“”是“为增函数”的充要条件C．若不等式的解集为且，则的极小值为D ．若是方程的两个不同的根，且，则或小竹以某速度沿正北方向匀速行进. 某时刻时，其北偏西方向上有一距其6米的洒水桩恰好面朝正东方向. 已知洒水桩会向面朝方向喷洒长为米，可视为笔直线段的水柱，且其沿东—北—西—南—东的方向每3秒匀速旋转一周循环转动. 若小竹不希望被水柱淋湿且不改变行进方向和速度，则他行进的速度可以是（）A．B．C．D．第(3)题已知圆台的上、下底面直径分别为2，6，高为，则（）A．该圆台的体积为B．该圆台外接球的表面积为C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为16D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数的定义域为A，若时总有为单函数.例如，函数=2x+1（）是单函数.下列命题：①函数=（x R）是单函数；②若为单函数，且则；③若f：A B为单函数，则对于任意b B，它至多有一个原象；④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号）第(2)题无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数.如；应用上述方法转化（，为互质整数），则___________.第(3)题函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，已知函数，且，若的图像上恰有3对点关于原点对称，则实数的最小值为__________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题椭圆：的离心率为，焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是椭圆上的动点，过原点作圆：的两条斜率存在的切线分别与椭圆交丁点，，求的最大值.第(2)题已知数列满足(1)写出;(2)证明:数列为等比数列;(3)若，求数列的前项和.第(3)题如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，．(1)证明：；(2)若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值．已知数列，满足：．（1）若，求数列的通项公式；（2）若，且．①记，求证：数列为等差数列；②若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项应满足的条件．第(5)题若方程有实数根，则称为函数的一个不动点，已知函数.（1）若，求证：有唯一不动点；（2）若有两个不动点，求实数a的取值范围.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版模拟(拓展卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点，，且直线与直线垂直，则（）A．B．C．D．第(2)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(3)题由数据可得关于的线性回归方程为，若，则（）A．18.5B．50C．60D．100第(4)题已知双曲线的上、下焦点分别为，若存在点，使得，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（）A．B．C．D．第(6)题下列各组函数是同一个函数的是（）A ．与B．与C ．与D．与第(7)题函数的图象是A．B．C．D．第(8)题已知集合，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题设，且，则（）A．B．C．D．第(2)题三棱柱中，棱长均为2，顶点在底面上的投影为棱的中点，为的中点，是上的动点，则（）A．三棱柱的体积为1B．与平面所成的角为C．D．异面直线与所成角为第(3)题已知，且，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知点O 是边长为4的正方形的中心，点P 是正方形ABCD 所在平面内一点，，若．（1）的取值范围是____________；（2）当取得最大值时，____________第(2)题在三棱锥中，平面平面，，，．当直线与底面所成的角最大时，________，该三棱锥的外接球的表面积为________．第(3)题若正四面体的棱长为1，在其侧面所在平面内有一动点，已知到底面的距离与到点的距离之比为正常数，且动点的轨迹是抛物线，则的值为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)讨论函数的极值点个数；(2)若，的最小值是，求实数的取值范围.第(2)题已知函数,.(1)求f (x )的单调区间与零点；(2)若恒成立，求实数a 的取值范围．第(3)题在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)过曲线上任意一点作与直线的夹角为45°的直线，且与交于点，求的最小值.第(4)题在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知．(1)求角A 的大小；(2)若，求边上的中线长度的最小值．第(5)题某收费APP （手机应用程序）自上架以来，凭借简洁的界面设计、方便的操作方式和强大的实用功能深得用户的喜爱.该APP 所在的公司统计了用户一个月月租减免的费用x （单位：元）及该月对应的用户数量y （单位：万人），得到如下数据表格：用户一个月月租减免的费用x （元）45678用户数量y （万人）2 2.1 2.5 2.9 3.2已知x 与y 线性相关.(1)求y 关于x 的经验回归方程（，）；(2)据此预测，当月租减免费用为14元时，该月用户数量为多少？参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.。

2025届江苏省南通市高考数学考前最后一卷预测卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．42．已知()4sin 5πα+=，且sin 20α<，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．7B ．7-C ．17D ．17-3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = )A ．85B ．65C ．45D ．254．已知平行于x 轴的直线分别交曲线2ln 21,21(0)y x y x y =+=-≥于,A B 两点，则4AB 的最小值为（ ）A ．5ln 2+B ．5ln 2-C ．3ln 2+D ．3ln 2-5．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等6．为得到的图象，只需要将的图象（ ）A ．向左平移个单位B ．向左平移个单位C ．向右平移个单位D ．向右平移个单位7．空气质量指数AQI 是反映空气状况的指数，AQI 指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日AQI指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）A ．这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B ．这20天中的中度污染及以上（AQI 指数>150）的天数占14C ．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D ．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好8．已知函数()()()1sin,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1niii a b =+∑的值为（ ）A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+9．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种10．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人11．已知正项等比数列{}n a 满足76523a a a =+，若存在两项m a ，n a ，使得219m n a a a ⋅=，则19m n+的最小值为（ ）. A ．16 B ．283C ．5D ．412．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知定义在上的函数满足，当时，，则（）A．1B．2C．D．－2第(2)题已知函数与的图象上存在两组关于x轴对称的点，则实数t的取值范围是（ ）（参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1）A．B．C．D．第(3)题已知函数在上有且仅有4个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(5)题=ax3+b sin x+4（a，b∈R），f（lg（log 210））=5，则f（lg（lg2））=（ ）A．﹣5B．﹣1C．3D．4第(6)题若为实数,且,则A．B．C．D．第(7)题执行如图的程序框图，如果输出i的值是5，那么在空白矩形框中可以填入的语句为（）A．B．C．D．第(8)题已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知曲线，则下列结论正确的是（）A．曲线可能是直线B．曲线可能是圆C．曲线可能是椭圆D．曲线可能是双曲线第(2)题已知函数的相邻两对称轴的之间的距离为，函数为偶函数，则（）A．B ．为其一个对称中心C．若在单调递增，则D．曲线与直线有7个交点第(3)题已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则下列说法正确的是（）A．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在区间上单调递增D．在区间上有且只有两个极值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数，则______．第(2)题已知函数的图象过点，且相邻两个零点的距离为.若将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象，则函数的解析式为___________.第(3)题已知△ABC的顶点坐标分别为，则内角的角平分线所在直线方程为________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，是的平分线，，求：(1)的长；(2)的面积.第(2)题已知函数．(1)求函数的极值；(2)若为整数，且函数有4个零点，求的最小值．第(3)题如图，三棱台中，侧面四边形为等腰梯形，底面三角形为正三角形，且.设为棱上的点.(1)若为的中点，求证：；(2)若三棱台的体积为，且侧面底面，试探究是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由.第(4)题我国南北朝时期的数学家祖冲之（公元429年-500年）计算出圆周率的精确度记录在世界保持了千年之久，德国数学家鲁道夫（公元1540年-1610年）用一生精力计算出了圆周率的35位小数，随着科技的进步，一些常数的精确度不断被刷新．例如：我们很容易能利用计算器得出函数的零点的近似值，为了实际应用，本题中取的值为-0.57．哈三中毕业生创办的仓储型物流公司建造了占地面积足够大的仓库，内部建造了一条智能运货总干线，其在已经建立的直角坐标系中的函数解析式为，其在处的切线为，现计划再建一条总干线，其中m为待定的常数．注明：本题中计算的最终结果均用数字表示．(1)求出的直线方程，并且证明：在直角坐标系中，智能运货总干线上的点不在直线的上方；(2)在直角坐标系中，设直线，计划将仓库中直线与之间的部分设为隔离区，两条运货总干线、分别在各自的区域内，即曲线上的点不能越过直线，求实数m的取值范围．第(5)题如图，在三棱柱中，D是的中点，E是CD的中点，点F在上，且．(1)证明：平面；(2)若平面ABC，，，求平面DEF与平面夹角的余弦值．。

江苏省南通市2024年数学（高考）统编版模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题定义，若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．第(2)题若，，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题正方体中，为的中点，则直线与所成角的正切值为（）A．B．C．D．1第(4)题已知函数，，若关于的方程在区间内有两个实数解，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(5)题定义域为的函数满足，当时，，若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(6)题若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为4，方差为2，乙组样本数据的平均数为5，则下列说法错误的是（）A．的值为7B．乙组样本数据的方差为18C．两组样本数据的样本中位数一定相同D．两组样本数据的样本极差不同第(7)题已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，且，则的形状为（）A．等边三角形B．顶角为的等腰三角形C．顶角为的等腰三角形D．等腰直角三角形第(8)题已知向量，，，，，则（）A．B．2C．4D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题以下说法正确的是（）A ．若，，则B．随机变量，，若，则C．若，，，则D．若，且，则第(2)题已知甲盒中有2个红球，1个蓝球，乙盒中有1个红球，2个蓝球.从甲、乙两个盒中各取1个球放入原来为空的丙盒中.现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记从各盒中取得红球的概率为，从各盒中取得红球的个数为，则（）A． .B．C．D．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．的最小值为B．椭圆的短轴长可能为2C．椭圆的离心率的取值范围为D．若，则椭圆的长半轴长为三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

江苏省南通市通州区、海安县2025届高考仿真卷数学试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若[]1,6a ∈，则函数2x ay x+=在区间[)2,+∞内单调递增的概率是（ ）A ．45 B ．35 C ．25 D ．152．设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点1F 作圆222x y b += 的切线与双曲线的左支交于点P ，若212PF PF =，则双曲线的离心率为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．63．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．64．已知3ln 3a =，1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>5．从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：根据频率分布直方图，可知这部分男生的身高的中位数的估计值为 A ．171.25cm B ．172.75cm C ．173.75cmD ．175cm6．设12,F F 分别是双线2221(0)x y a a-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，以12F F 为直径的圆与该双曲线的两条渐近线分别交于,A B 两点（,A B 位于y 轴右侧），且四边形2OAF B 为菱形，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．0x y ±= B ．30x y ±=C ．30x y ±=D ．30x y ±=7．函数()1sin f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(x ππ-≤≤且0)x ≠的图象是（ ） A ． B ．C ．D ．8．i 是虚数单位，若17(,)2ia bi ab R i+=+∈-，则乘积ab 的值是( ) A ．－15 B ．－3C ．3D ．159．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( ) A ．16B ．17C ．18D ．1910．设集合{}1,2,3A =，{}220B x x x m =-+=，若{3}A B ⋂=，则B =（ ）A ．{}1,3-B ．{}2,3-C ．{}1,2,3--D ．{}311．下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合{}2,1,0,1A =--，{}22*|,B x x a a N =≤∈，若A B ⊆，则a 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知向量满足，则（）A．B．C．D．在方向上的投影向量为第(3)题某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现收集了7组观测数据得到下面的散点图：由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方程类型的是（）A．B．C．D．第(4)题已知集合，则集合A B中元素的个数为（）A．0B．1C．2D．3第(5)题设全集，集合，，则（）A．B．C．D．第(6)题已知函数，则满足不等式的取值范围为（）A．B．C．D．第(7)题2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（）A．国防大学，博士B．国防科技大学，硕士C．国防大学，学士D．军事科学院，学士第(8)题已知复数（，是虚数单位）．若，则的虚部是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题欧拉函数是初等数论中的重要内容．对于一个正整数，欧拉函数表示小于或等于且与互质的正整数的数目．换句话说，是所有不超过且与互素的数的总数．如：，．则以下是真命题的有（）A．的定义域为，其值域也是B．在其定义域上单调递增，无极值点C．不存在，使得方程有无数解D．，当且仅当是素数时等号成立第(2)题已知抛物线，过点作直线，直线与交于两点．在轴上方，直线与交于两点，在轴上方，连接，若直线过点，则下列结论正确的是（）A．若直线的斜率为1，则直线的斜率为B．直线过定点C．直线与直线的交点在直线上D．与的面积之和的最小值为．第(3)题随着社会的发展，人们的环保意识越来越强了，某市环保部门对辖区内A、B、C、D四个地区的地表水资源进行检测，按照地表水环境质量标准，若连续10天，检测到地表水粪大肠菌群都不超过200个/L，则认为地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准，否则不能称稳定达到Ⅰ类标准.已知连续10天检测数据的部分数字特征为：A地区的极差为20，75%分位数为180；B地区的平均数为170，方差为90；C地区的中位数为150，极差为60；D地区的平均数为150，众数为160.根据以上数字特征推断，地表水粪大肠菌群指标环境质量稳定达到Ⅰ类标准的地区是（）A．A地区B．B地区C．C地区D．D地区三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知8个非零实数a 1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8，向量，，，，给出下列命题：①若a 1，a2，…，a8为等差数列，则存在，使＋＋＋与向量共线；②若a1，a2，…，a8为公差不为0的等差数列，向量，，，则集合M的元素有12个；③若a 1，a2，…，a8为等比数列，则对任意，都有∥；④若a1，a2，…，a8为等比数列，则存在，使·＜0；⑤若m＝·，则m的值中至少有一个不小于0．其中所有真命题的序号是________________．第(2)题设某几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为________．第(3)题一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，则这个球的体积为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题某小区对本小区1000户居民的生活水平进行调查统计，月人均收入（单位：元）在的有150户，在的有250户，在的有300户，在的有200户，不低于5000元的有100户.(1)若本小区每户居民的月人均收入均不超过6000元，试估计该小区居民的月人均收入（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)根据月人均收入，按分层抽样的方法从该小区抽取20户参加某项幸运家庭活动游戏，游戏结束后，再从这20户参加了游戏且月人均收入不低于4000元的家庭中随机抽取2户参加有奖竞猜，求抽出的2户月人均收入均在的概率.第(2)题已知函数，其中．（1）当时，求证：时，；（2）试讨论函数的零点个数．第(3)题如图所示，在直三棱柱中，，设D为的中点，且.(1)求证：平面平面；(2)求点到平面的距离.第(4)题已知椭圆的左右焦点分别是，，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为4，过左焦点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，且（为坐标原点），求的取值范围.第(5)题甲､乙､丙､丁四支球队进行单循环小组赛（每两支队比赛一场），比赛分三轮，每轮两场比赛，第一轮第一场甲乙比赛，第二场丙丁比赛；第二轮第一场甲丙比赛，第二场乙丁比赛；第三轮甲对丁和乙对丙两场比赛同一时间开赛，规定：比赛无平局，获胜的球队记3分，输的球队记0分.三轮比赛结束后以积分多少进行排名，积分相同的队伍由抽签决定排名，排名前两位的队伍小组出线.假设四支球队每场比赛获胜概率以近10场球队相互之间的胜场比为参考.队伍近10场胜场比队伍甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁(1)三轮比赛结束后甲的积分记为，求；(2)若前二轮比赛结束后，甲､乙､丙､丁四支球队积分分别为3､3､0､6，求甲队能小组出线的概率.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学统编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知正四棱锥中，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高（）A．1B．C．2D．3第(2)题在钝角中，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题在抗击新冠疫情期间，有3男3女共6位志愿者报名参加某社区“人员流调”、“社区值守”这两种岗位的志愿服务，其中3位志愿者参加“人员流调”，另外3位志愿者参加“社区值守”．若该社区“社区值守”岗位至少需要1位男性志愿者．则这6位志愿者不同的分配方式共有（）A．19种B．20种C．30种D．60种第(4)题在平面直角坐标系xOy中，椭圆和抛物线交于点A，B，点P为椭圆的右顶点.若O、A、P、B四点共圆，则椭圆离心率为（）A．B．C．D．第(5)题若非零向量,满足，则与的夹角为A．B．C．D．第(6)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(7)题定义在上的函数满足，其中为的导函数，则下列不等式中，一定成立的是（）A．B．C．D．第(8)题已知函数，且，则A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）A．四面体PBCQ的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面ABCD所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则第(2)题若存在直线与曲线都相切，则的值可以是（）A．0B．C．D．第(3)题据新华社报道，“十三五”以来，中国建成了全球规模最大的信息通信网络，光纤宽带用户占比从2015年底的56%提升至94%，行政村通光纤和4G的比例均超过了99%；中国移动网络速率在全球139个国家和地区中排名第4位；在5G网络方面，中国已初步建成全球最大规模的5G移动网络．如图是某科研机构对我国2021-2029年5G用户规模和年增长率发展的预测图，则下列结论正确的是（）2021—2029年中国5G用户规模和年增长率发展预测图A．2021-2029年，我国5G用户规模逐年增加B．2022-2029年，我国5G用户规模后4年的方差小于前4年的方差C．2022-2026年，我国5G用户规模的年增长率逐年下降D．2021-2029年，我国5G用户规模年增长最多的是2022年三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设函数在内有定义，下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）中必为奇函数的有______．（填选所有正确答案的序号）第(2)题已知向量若则__________.第(3)题从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图所示，在三棱柱中，点，，，分别为棱，，，上的点，且，，，.(1)证明：平面；(2)若，，四边形为矩形，平面平面，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.第(2)题咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料分别用奶粉、咖啡、糖．乙种饮料分别用奶粉、咖啡、糖．已知每天使用原料限额为奶粉、咖啡、糖．如果甲种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利元．每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大?第(3)题如图几何体中，底面是边长为2的正三角形，平面，若，，，．(1)求证：平面平面；(2)求该几何体的体积．第(4)题已知椭圆，，为的左右焦点.点为椭圆上一点，且.作作两直线与椭圆相交于相异的两点A，，直线、的倾斜角互补，直线与，轴正半轴相交.(1)求椭圆的方程；(2)求直线的斜率.第(5)题如图，在三棱柱中，平面，是的中点，是边长为的等边三角形．(1)证明：．(2)若，求异面直线与所成角的余弦值．。

2025届江苏省南通市海安县南莫中学高考考前模拟数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,52．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．503．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．14154．已知数列{}n a 满足11a =,1n n a a n --=(2n ≥),则数列{}n a 的通项公式n a =( ) A ．()112n n + B ．()1312n n - C ．2n n 1-+ D ．222n n -+5．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( )A ．2B 3C 23D 36．设α为锐角，若3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A ．1725B ． 725-C ． 1725-D ．7257．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个8．已知m 为实数，直线1l ：10mx y +-=，2l ：()3220m x my -+-=，则“1m =”是“12//l l ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10 B ．9C ．8D ．710．中，如果，则的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．5612．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．16二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考数学模拟试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，5，7}，B={0，1，3}，则集合A∩B=______．2.若，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为______．3.已知一组数据7，8，11，14，15，则该组数据的方差为______．4.一个算法的流程图如图所示，则输出的a的值为______．5.函数f（x）=ln（4-x2）的定义域为______．6.一根绳子长为5米，若将其任意剪为两段，则剪成的两段绳子的长度有一段大于3米的概率为______．7.在平面直角坐标系xOy中，双曲线的离心率为，则该双曲线的焦距为______．8.某长方体的长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为______．9.已知等差数列{a n}满足a4=4，且a1，a2，a4成等比数列，则a3的所有值为______．10.在平面直角坐标系xOy中，圆O1：x2+y2=9与圆O2：x2+y2-4x+2y-3=0的公共弦的长为______．11.若函数f（x）=ax2+a-1（a∈R）存在零点，且与函数f（f（x））的零点完全相同，则实数a的值为______．12.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4．以BC为直径向△ABC外作半圆，点P在半圆弧上，且满足，则的值为______．13.在△ABC中，已知AB边上的中线CM=1，且成等差数列，则AB的长为______．14.已知函数f（x）=|e x-1|，若存在实数a，b（a＜b）使得f（a）=f（b），则a+2b的最大值为______．二、解答题（本大题共11小题，共144.0分）15.如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥BC，，BE⊥AC，点F是CD的中点，EF=3，BF=5．求证：（1）EF∥平面ABD；（2）平面ABC⊥平面ADC．16.在中，已知，，.（1）求的长；（2）求的值.17.如图所示，现有一张边长为10cm的正三角形纸片ABC，在三角形的三个角沿图中虚线剪去三个全等的四边形ADA1F1，BD1B1E，CE1C1F（剪去的四边形均有一组对角为直角），然后把三个矩形A1B1D1D，B1C1E1E，A1C1FF1折起，构成一个以A1B1C1为底面的无盖正三棱柱．（1）若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比为3，求该三棱柱的高；（2）求所折成的正三棱柱的体积的最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）经过点．设椭圆C的左顶点为A，右焦点为F，右准线与x轴交于点M，且F为线段AM的中点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点A的直线l与椭圆C相交于另一点P（P在x轴上方），直线PF与椭圆C相交于另一点Q，且直线l与OQ垂直，求直线PQ的斜率．19.设函数f（x）=e x-a ln x（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＜0时，判断函数f（x）的单调性；（2）若直线y=e是函数f（x）的切线，求实数a的值；（3）当a＞0时，证明：f（x）≥2a-a lna．20.定义：从数列{a n}中抽取m（m∈N，m≥3）项按其在{a n}中的次序排列形成一个新数列{b n}，则称{b n}为{a n}的子数列；若{b n}成等差（或等比），则称{b n}为{a n}的等差（或等比）子数列．（1）记数列{a n}的前n项和为S n，已知．①求数列{a n}的通项公式；②数列{a n}是否存在等差子数列，若存在，求出等差子数列；若不存在，请说明理由．（2）已知数列{a n}的通项公式为a n=n+a（a∈Q+），证明：{a n}存在等比子数列．21.已知1是矩阵的一个特征值，求点（1，2）在矩阵A对应的变换作用下得到的点的坐标．22.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）求直线l被曲线C所截得的弦长．23.已知关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜2}，其中m，n∈R．求证：．24.已知正四棱锥P-ABCD的底面边长和高都为2．现从该棱锥的5个顶点中随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积．（1）求概率P（X=2）的值；（2）求随机变量X的概率分布及其数学期望E（X）．25.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且斜率为的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B的横坐标为4．（1）求抛物线C的标准方程；（2）设点P为抛物线C上异于A，B的点，直线PA与PB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：HG•HE为定值，并求出定值．答案和解析1.【答案】{1，3}【解析】解：∵A={1，3，5，7}，B={0，1，3}；∴A∩B={1，3}．故答案为：{1，3}．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2.【答案】-2【解析】解：∵，∴，解得：，∴ab=-2．故答案为：-2．把已知等式左边利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3.【答案】10【解析】解：数据的平均数为：，方差为：故填：10．根据所给数据计算出平均数，代入方差的计算公式即可．本题考查了平均数，方差的计算，属于基础题．4.【答案】9【解析】解：第1步：n=1＜4成立，a=a+3=3，n=n+1=2；第2步：n=2＜4成立，a=a+3=6，n=n+1=3；第3步：n=3＜4成立，a=a+3=9，n=n+1=4；第4步：n=4＜4不成立，退出循环；所以，a=9．故答案为：9．模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的a值．本题考查了程序的运行与应用问题，是基础题．5.【答案】（-2，2）【解析】解：由题意得：4-x2＞0，解得：-2＜x＜2，故函数的定义域是（-2，2），故答案为：（-2，2）．根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了对数函数的性质，考查函数的定义域问题，是一道基础题．6.【答案】【解析】解：如下图，在A、C之间任意一点剪开，或在BD之间任意一点剪开，都可以满足有一段大于3米，所以，所求的概率为：P=．故答案为：．由题意画出图形，数形结合得答案．本题考查了概率的加法问题，考查几何概型问题，是一道基础题．7.【答案】4【解析】解：双曲线双曲线中，b=1，又c=，离心率为：，即：9a2+9=12a2，所以，，c==2所以，双曲线的焦距为4．故答案为：4．利用双曲线的标准方程求出双曲线的离心率，然后求出a，c，即可得到双曲线的焦距．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．8.【答案】【解析】解：长方体的体积为：V1=2×2×4=16，长方体外接球的直径为：2R=，外接球的体积为：V2=，长方体的体积与其外接球的体积之比为：．故填：．长方体的体积为：V1=2×2×4=16，设球的半径为R，则因为球心为长方体的中心，所以2R=，求出球的半径，则球的体积可以求出，则长方体的体积与其外接球的体积比值可求．本题考查了球的体积，长方体的外接球．解题时注意球心为长方体的中心．属于中档题．9.【答案】3或4【解析】解：因为a1，a2，a4成等比数列，所以，，即，化简，得：d（d-a1）=0，所以，或，解得：或，所以a3=a4=4，或a3=a1+2d=3，所以，a3的所有值为3，4．故答案为：3或4．利用等差数列以及等比数列的通项公式，结合已知条件求出首项与公差，然后求解即可．本题考查等差数列，等比数列的应用，通项公式的应用，考查计算能力．10.【答案】【解析】【分析】先用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，再求圆心到直线的距离，最后用勾股定理可得．本题考查了圆与圆的位置关系及其判定，属中档题．直线与圆的方程，两圆的公共弦长问题．【解答】解：由，两个式子相减得，两圆的公共弦所在的直线方程为：2x-y-3=0，圆O1：x2+y2=9的圆心（0，0）到直线2x-y-3=0的距离为：，公共弦长为：=．故答案为：．11.【答案】1【解析】解：函数f（x）=ax2+a-1（a∈R）存在零点，显然a≠0，设x=x0是函数f(x)的零点，则，因为函数f(x)与函数f（f（x））的零点完全相同，即x=x0是函数f（f（x））的零点，故，又因为，所以，即a-1=0，得：a=1．故答案为：1．利用函数的零点相同，列出方程，转化求解即可．本题考查函数的零点，考查分析问题解决问题的能力．12.【答案】7【解析】【分析】本题考查平面向量的坐标运算．向量的数量积的应用，考查数形结合以及计算能力．设BC为直径的圆交AB于D，则∠ABC=30°，以D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的数量积转化求解即可．【解答】解：∠ACB=90°，∠BAC=60°，AB=4，所以，AC=2，BC=2，∠BDC=90°，设BC为直径的圆交AB于D，则∠ABC=30°，以D为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则CD=，BD=3，AD=1，A（-1，0），B（3，0），C（0，），设P（x，y），，，解得：x=，又BC为直角，所以，∠BPC=90°，所以，=0，即=0，即=0，解得：，所以，P（，），=（1，）（，）=+=7故答案为7．13.【答案】【解析】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，根据中线长公式，得．由成等差数列，得，从而2=，即为a2+b2=2c2=2+c2，解得．故答案为：．运用三角形的中线长公式可得a2+b2=2+c2，再由等差数列的中项性质和三角函数的恒等变换公式，结合正弦定理、余弦定理，化简可得a2+b2=2c2，解方程可得所求值．本题考查三角形的余弦定理和正弦定理，以及等差数列中项性质，三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．14.【答案】【解析】解：设f（a）=f（b）=t，则|e a-1|=|e b-1|=t，解得a=ln（1-t），b=ln（1+t），所以a+2b=ln（1-t）+2ln（1+t）=ln（1-t）（1+t）2．设g（t）=（1-t）（1+t）2（0＜t＜1），则g'（t）=（1-3t）（1+t）．因为时，g'（t）＞0，g（t）单调递增，时，g'（t）＜0，g（t）单调递减，所以，所以a+2b的最大值为．故答案为：．设f（a）=f（b）=t，则|e a-1|=|e b-1|=t，解得a=ln（1-t），b=ln（1+t），推出a+2b的表达式．设g（t）=（1-t）（1+t）2（0＜t＜1），求出导函数，判断函数的单调性，然后求解最值即可．函数的导数及其应用．函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．15.【答案】证明：（1）△ABC中，因为AB=BC，BE⊥AC，所以E为AC的中点；又因为点F是CD的中点，所以EF∥AD；又AD⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，所以EF∥平面ABD；（2）在Rt△ABC中，因为，所以AC=8；又因为AE=CE，所以BE=4；又因为EF=3，BF=5，所以BF2=BE2+EF2，即BE⊥EF；又因为BE⊥AC，AC⊂平面ACD，EF⊂平面ACD，AC∩EF=E，所以BE⊥平面ACD，又因为BE⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC．【解析】（1）由等腰三角形以及中位线的性质证明EF∥AD，即可证明EF∥平面ABD；（2）由等腰直角三角形的性质和勾股定理，证明BE⊥EF，再由BE⊥AC，得出BE⊥平面ACD，从而证明平面ABC⊥平面ADC．本题考查了空间中的平行与垂直关系证明与应用问题，是中档题．16.【答案】解：（1）因为，0＜B＜π，所以．在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π-（B+C），于是sin A=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=．在△ABC中，由正弦定理知，所以．（2）在△ABC中，A+B+C=π，所以A=π-（B+C），于是cos A=cos（π-（B+C））=-cos（B+C）=，于是，．因此，=．【解析】（1）利用同角三角函数的基本关系求得sin B的值，再求得sin A=sin[π-（B+C）]的值，利用正弦定理求得BC的值．（2）先求出cos A=cos[π-（B+C）]的值，再利用二倍角公式求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和差的正弦公式求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式、正弦定理、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．17.【答案】解：（1）设A1D=x，则，．因为，所以（cm）．答：该三棱柱的高为cm．（2）因为，所以．三棱柱的体积=，所以．因为当时，V'（x）＞0，V（x）单调递增，当时，V'（x）＜0，V（x）单调递减，所以时，（cm3）．答：该三棱柱的体积为cm3．【解析】（1）设A1D=x，则，，根据=3列方程求解即可得x；（2）将三棱柱的体积表示为x的函数，利用导数研究体积函数的单调性，即可得到其最值．本题考查棱柱侧面积与其内切球体积的求法，考查根据实际问题选择函数模型，正确理解题意是关键，是中档题．18.【答案】解：（1）因为A（-a，0），F（c，0），，且F为AM的中点，所以，则2c2+ac-a2=0．即（2c-a）（a+c）=0，所以a=2c．b2=a2-c2=3c2………………（2分）因为点在椭圆上，所以，………………（4分）又因为b2=a2-c2=3c2，所以c=1，则a2=4，b2=a2-c2=3．所以椭圆的标准方程为．………………（6分）（2）由题意直线AP的斜率必存在且大于0，设直线AP的方程为：y=k（x+2），（k＞0）代入椭圆方程并化简得：（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，因为，得，，………………（8分）当时，PQ的斜率不存在，此时不符合题意．当k2≠时，直线PQ的方程为：，因为，所以直线OQ的方程为：，……………（12分）两直线联立解得：Q（4k2，-4k），因为Q在椭圆上，所以，化简得：（2k2+3）（6k2-1）=0，即，因为k＞0，所以，……………（14分）此时．直线PQ的斜率为．……………（16分）【解析】（1）推导出，从而（2c-a）（a+c）=0，进而a=2c．b2=a2-c2=3c2，由点在椭圆上，得到，再由b2=a2-c2=3c2，得到c=1，由此能求出椭圆的标准方程．（2）设直线AP的方程为：y=k（x+2），（k＞0），代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2-12=0，由，得，，推导出直线PQ的方程为：，由，得直线OQ的方程为：，两直线联立解得：Q（4k2，-4k），再由Q在椭圆上，能求出直线PQ的斜率．本题考查椭圆方程、直线的斜率的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：（1）函数f（x）=e x-a ln x（a∈R）的定义域为（0，+∞）．因为a＜0，所以，所以f（x）在区间上单调递增（2）设切点为，则，因为，所以，得，所以．设g（x）=e x-xe x ln x，则g'（x）=（-x-1）e x ln x，所以当0＜x＜1时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max=g（1）=e．因为方程仅有一解x0=1，所以a=e．（3）证明：a＞0，因为，设h（x）=xe x-a（x≥0），则h'（x）=（x+1）e x＞0，所以h（x）单调递增．因为h（0）=-a＜0，h（a）=ae a-a=a（e a-1）＞0，所以存在0＜x0＜a，使得．当0＜x＜a时，h'（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以．因为，所以，ln x0=ln a-x0，所以．【解析】（1）求出函数的导数，由判断导函数与0的大小可得；（2）设切点表达函数切线的方程与已知直线y=e相同，可得实数a的值；（3）转换构造新函数h（x）=xe x-a（x≥0），利用单调性，分类讨论可得函数最小值，利用f（x）最小值≥2a-a lna．得证．本题考查函数的导数应用与证明，函数的单调性，切线方程以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．20.【答案】解：（1）①因为，所以当n=1时，，当n≥2时，，所以．综上可知：．②假设从数列{a n}中抽3项a k，a l，a m（k＜l＜m）成等差，则2a l=a k+a m，即2×2l-1=2k-1+2m-1，化简得：2×2l-k=1+2m-k．因为k＜l＜m，所以l-k＞0，m-k＞0，且l-k，m-k都是整数，所以2×2l-k为偶数，1+2m-k为奇数，所以2×2l-k=1+2m-k不成立．因此，数列{a n}不存在三项等差子数列．若从数列{a n}中抽m（m∈N，m≥4）项，其前三项必成等差数列，不成立．综上可知，数列{a n}不存在等差子数列．（2）假设数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设n0+a=b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．则需满足，即需满足（b+k）2=b（b+l），则需满足．取k=q，则l=2k+pq．此时，．故此时（b+k）2=b（b+l）成立．因此数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比，所以数列{a n}存在等比子数列．【解析】（1）记数列的前n项和为S n，已知．①求出数列的首项，通过a n=S n-S n-1，可求数列{a n}的通项公式；②假设从数列{a n}中抽3项a k，a l，a m（k＜l＜m）成等差，则2a l=a k+a m，化简得：2×2l-k=1+2m-k．说明l-k＞0，m-k＞0，且l-k，m-k都是整数，推出数列{a n}不存在三项等差子数列．（2）假设数列{a n}中存在3项n0+a，n0+a+k，n0+a+l（k＜l）成等比．设n0+a=b，则b∈Q+，故可设（p与q是互质的正整数）．．取k=q，则l=2k+pq．此时（b+k）2=b（b+l）成立．说明数列{a n}存在等比子数列．本题考查数列的应用，数列与函数的综合，考查分析问题解决问题的能力．21.【答案】解：由题意，可知：矩阵A的特征多项式为：，∵1是矩阵A的一个特征值，∴f（1）=0．即：（1-a）（1-2）=0．解得a=1，∴矩阵．由题意，有矩阵关系式：．∴点（1，2）在A对应的作用下得到的点为（3，4）．【解析】本题可先将特征值1代入特征多项式解得a的值，即可得到矩阵A，然后根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算可得点（1，2）在矩阵A对应的变换作用下得到的点的坐标．本题主要考查特征值和特征多项式求参数，以及根据变换对应的矩阵关系式的乘法运算得到对应点的坐标问题．本题属基础题．22.【答案】解（1）因为曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ．且x2+y2=ρ2，y=ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0．直线l：（t为参数）的普通方程为．…………（6分）（2）圆心（0，1）到直线l：的距离为，又因为半径为1，所以弦长为．………………（10分）【解析】（1）利用直角坐标与极坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；消去参数t可得直线l的普通方程．（2）利用点到直线的距离公式和勾股定理可得弦长．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】证明：因为关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜2}，所以m=1+2=3，n=1×2=2；所以，且x∈[3，4]；由柯西不等式可得，，当且仅当，即时取等号；所以，．【解析】根据关于x的不等式x2-mx+n＜0的解集求出m、n的值，再化简不等式，利用柯西不等式求得．本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了柯西不等式应用问题，是中档题．24.【答案】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有种取法．其中X=2的三角形如△ABD，这类三角形共有个．因此，（2）由题意，X的可能取值为，2，．其中的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中的三角形有两个，△PAC和△PBD．因此，．所以随机变量X的概率分布列为：所求数学期望E（X）=．【解析】（1）通过X=2，求出基本事件的个数，然后求解概率；（2）求X的值，求出概率即可得到随机变量X的概率分布，然后求解数学期望E（X）．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．25.【答案】解：（1）由题意得：，因为点B的横坐标为4，且B在x轴的上方，所以，因为AB的斜率为，所以，整理得：，即，得p=2，抛物线C的方程为：y2=4x．（2）由（1）得：B（4，4），F（1，0），准线方程x=-1，直线l的方程：，由，解得或x=4，于是得．设点，又题意n≠1且n≠-4，所以直线PA：，令x=-1，得，即，同理可得：，HG•HE=．【解析】（1）由AB的斜率为，可得，解得p=2即可，（2）设点，可得，，即可得HG•HE=．本题考查了抛物线的性质，计算能力，转化思想，属于中档题．。

e
e
时， f (x) 单调递减， x 1 时， f (x) 单调递增， e
当x
0 时，
f
(x)
x ex
，则令
f
(x)
ex
1
0 ，所以当 x
0 时， f (x) 单调递增，
作出函数 f (x) 的图象如图：
又因为 f (1 x) 的图象时将 f (x) 图象先关于 y 轴对称，再向右移动一个单位得到的， 故根据 f (x) 图象可值 f (1 x) 图象为
2. B【解析】
复数
z
2i 1 i
2i1 i 1 i1 i
1
i
， 复数的共轭复数是 1
i
，就是复数
z
2i 1 i
所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数，故选 B．
3. C【解析】
4.B【解析】解：当 x 0 时，f (x) xlnx ，则令 f (x) lnx 1 0 ，解得 x 1 ，所以当 0 x 1
联立方程
y
y
kx x2
m
，消去
y
得：
x2
kx
m
0
，
设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2 ) ，
x1 x2 k ， x1x2 m ，
y1 y2 x12 x22 (x1x2 )2 m2 ，
OA OB ， OA OB 0 ， x1x2 y1 y2 0 ，
江苏省南通市高三数学模拟测试
2021.3
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1. C【解析】集合 M 2,1,2,3，N 2,2，不满足 M N ，则 A 错；M N 2,2， 则 B 错； M N M ，则 C 正确； CM N 1，3，则 D 错.故选 C.

江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，则（）A．B．C．D．第(2)题函数的零点为（）A．0B．1C．D．第(3)题已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A．4B．C．D．第(4)题已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题若函数的图象在点处的切线与直线平行，则（）A．B．C．-3D．3第(6)题已知集合，，则子集的个数为（）A．3B．4C．7D．8第(7)题当圆截直线所得的弦最长时，则m的值为（）A．B．-1C．1D．第(8)题已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点A反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点．下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则平分C．若，则D．若，延长交直线于点，则，，三点共线第(2)题在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱，的中点，过点的平面与平面平行，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（）A．B．若点为平面内任意一点，则的最小值为C ．底面半径为且高为的圆柱可以在该正方体内任意转动D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为第(3)题在正方体中，下列说法正确的是（）A．若，，分别为，，的中点，则与平面平行B．若平面，正方体的棱长为2，则截此正方体所得截面的面积最大值为C．点在线段上运动，则三棱锥的体积不变D．是的中点，直线交平面于点，则，，三点共线三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知为双曲线上一点，以为切点的切线为，直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，则（为坐标原点）的面积为________．第(2)题在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是________.第(3)题若对任意实数，则的最大值为___________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数．(1)当时，求函数在上的值域；(2)在中，内角的对边分别为为的平分线，若的最小正周期是，求的面积．第(2)题如图，在三棱锥中，，为的中点，于，，已知，，，．(1)证明：平面；(2)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．第(3)题已知双曲线的右焦点为是双曲线上一点.(1)求双曲线的方程；(2)过点作斜率大于0的直线与双曲线的右支交于两点，若平分，求直线的方程.第(4)题已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.第(5)题如图，在中，分别为边上一点，且，将沿折起到的位置，使得为上一点，且．(1)求证：平面；(2)若为线段上一点（异于端点），且二面角的正弦值为，求的值．。

江苏省南通市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，则集合（）A．B．C．D．第(2)题若，则（）A．B．C．D．第(3)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(4)题中国灯笼又统称为灯彩，主要有宫灯、纱灯、吊灯等种类．现有4名学生，每人从宫灯、纱灯、吊灯中选购1种，则不同的选购方式有（）A．种B．种C．种D．种第(5)题已知全集，，则（）A．B．或C．D．或第(6)题已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（）A．B．C．D．第(7)题设则A．B．C．D．第(8)题在的展开式中,含项的系数为A．30B．20C．15D．10二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知数列的通项公式为，其前项和为.对任意正整数，设，其中，记，则（）A．B．C．D．第(2)题已知数列的前项和为，，，且，则（）A．存在实数使得B．存在实数使得C．若，则D．若为数列中的最大项，则第(3)题函数，则下列结论正确的是（）A．若的最小正周期为，则B ．若，则是的一个对称中心C．若在内单调，则D．若在上恰有个极值点，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____．第(2)题已知，与的夹角为45°，求使向量与的夹角是锐角，则的取值范围______.第(3)题能说明“若，则方程表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组的值是_____.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知为抛物线上一动点，若点满足（为坐标原点），记点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)已知过上一点的直线分别交于两点（异于点A），设的斜率分别为．①若，求证：直线过定点；②若，且的纵坐标均不大于0，求的面积的最大值．第(2)题已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．第(3)题已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，过点作两条斜率互为相反数的直线，分别交于不同的两点．(1)求的标准方程；(2)证明：直线的斜率为定值，并求出该值．第(4)题为促进物资流通，改善出行条件，驻某县扶贫工作组引入资金新建了一条从该县到市区的快速道路.该县脱贫后，工作组为了解该快速道路的交通通行状况，调查了行经该道路的各种类别的机动车共1000辆，对行车速度进行统计后，得到如图所示的频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图，求样本中的这1000辆机动车的平均车速(同一组中的数据用该组区间的中点值代替)；（2）设该公路上机动车的行车速度服从正态分布，其中，分别取自该调查样本中机动车的平均车速和车速的方差(经计算).（i）请估计该公路上10000辆机动车中车速不低于85千米/时的车辆数(精确到个位)：（ii）现从经过该公路的机动车中随机抽取10辆，设车速低于85千米/时的车辆数为，求的数学期望.附注：若，则，，.参考数据：.第(5)题一个盒子中装着标有数字的卡片各 2 张，从中任意抽取 3 张，每张卡片被取出的可能性相等，用表示取出的 3张卡片中的最大数字.(1)求一次取出的3张卡片中的数字之和不大于5的概率;(2)求随机变量的分布列和数学期望.。

江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版模拟(培优卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题函数的最小正周期是（）A．B．C．D．第(2)题分别过椭圆的左、右焦点、作平行直线、，直线、在轴上方分别与交于、两点，若与之间的距离为，且（表示面积，为坐标原点），则的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题设全集则A．B．C．D．第(4)题若函数为上的偶函数，则实数的值为（）A．-2B．2C．1D．-1第(5)题某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有的男生选择“立定跳远”，有的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占，则参照附表，下列结论正确的是（）附：0.100.050.0252.7063.841 5.024，n＝a＋b＋c＋d．A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关B．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关C．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关第(6)题若函数的定义域为，则的定义域为（）A．B．C．D．第(7)题已知六棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上，当六棱锥的体积最大时，其侧棱长为（）A．B．C．D．第(8)题若，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（）A．B．C．D．第(2)题已知数列的前n项和为，且或的概率均为．设能被3整除的概率为，则（）A．B．C．D．当时，第(3)题如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们需要研究两个平面之间所成的角，即二面角.已知二面角的棱上有两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，记二面角的大小为，则下列说法正确的是（）A．当时，B．当时，C．D．点到平面的距离的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在的展开式中，的系数是___________.（用数字作答）第(2)题已知单位向量，向量，满足，且，其中，当取到最小时，_______．第(3)题已知空间中有三点，，，则点O到直线的距离为______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令.某市为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了一小区住户进行调查，各户人均月收入（单位：千元）的频数分布及赞成楼市限购令的户数如下表：人均月收入频数610131182赞成户数5912941若将小区人均月收入不低于7.5千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7.5千元的住户称为“非高收入户”非高收入户高收入户总计赞成不赞成总计(1)求“非高收入户”在本次抽样调查中的所占比例；(2)现从月收入在的住户中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；(3)根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.附：临界值表0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：，.第(2)题某学校用简单随机抽样方法抽取了30名同学，对其每月平均课外阅读时间（单位：小时）进行调查，茎叶图如图：若将月均课外阅读时间不低于30小时的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校900名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的7名“读书迷”中随机抽取男、女“读书迷”各1人，参加读书日宣传活动.（i）共有多少种不同的抽取方法？（ii）求抽取的男、女两位“读书迷”月均读书时间相差不超过2小时的概率.第(3)题已知函数f(x)＝|3x＋2|.(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤(a>0)恒成立，求实数a的取值范围.第(4)题在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______．(1)求角C的大小．(2)若，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．第(5)题在数列中,,(1)求证：数列是等差数列,并求的通项公式；(2)求的前项和．。