2020年南通市数学高考模拟试题(带答案)

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(6月份)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x=2k−1,k∈Z}，B={x|−1≤x≤3}，则A∩B=_________．2.已知复数z满足z+2z−2=i(其中i是虚数单位)，则|z|=______ ．3.某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是______ ．4.如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为______ ．5.一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为_________6.一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量(单位：吨/公顷)分别为：9.6，9.7，9.8，10.3，10.6，则这组样本数据的方差为．7.已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)的离心率等于√33b，则该双曲线的焦距为________．8.不等式组{x−2⩽0,x−2y+4⩾0,−x−y+2⩽0表示的平面区域的面积为________．9.已知圆锥的底面圆心到某条母线的距离为1，则该圆锥母线的长度取最小值时，该圆锥的体积为.10.已知函数f(x)=sin(2x+π3)(0≤x<π)，且f(α)=f(β)=12(α≠β)，则α+β=____.11.若函数f(x)=ln(1+|x|)−11+x2，则使得f(2x+1)<f(x−1)成立的x的取值范围是______．12.已知直线l：mx+y+3m−√3=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2√3，则m=________，|CD|=________．13.各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列．若a4−a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为________．14.如图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=2√3，点D在BC边上，∠ADC=75°，则AD的长为________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.设向量m⃗⃗⃗ =(cosα,1)，n⃗=(sinα,2)，且m⃗⃗⃗ //n⃗，其中α∈(0, π2)．(Ⅰ)求sinα；(Ⅱ)若sin(α−β)=35，β∈(0, π2)，求cosβ．16.如图，在底面是正方形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点．(Ⅰ)求证：BD⊥FG；(Ⅱ)确定点G在线段AC上的位置，使FG//平面PBD，并说明理由．17.如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为100km，从A到C，必须先坐船到BC上的某一点D，船速为25km/ℎ，再乘汽车到C，车速为50km/ℎ，记∠BDA=θ．(1)试将由A到C所用的时间t表示为θ的函数t(θ)；(2)问θ为多少时，由A到C所用的时间t最少？18.已知圆C方程为x2+y2−8mx−(6m+2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上．(1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；(2)判断直线4x+3y−3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；(3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由．19.若数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n(n∈N∗).(1)求{a n}的通项公式；(2)等差数列{b n}的各项均为正数，其前n项和为T n，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求T n．20.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x−3x−2．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的所有零点．21.已知矩阵M=[1202]，试求：(Ⅰ)矩阵M的逆矩阵M−1；(Ⅱ)直线y=2x在矩阵M−1对应的变换作用下的曲线方程．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=3+5cosθy=−4+5sinθ(θ为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)过点P(2,0)，倾斜角为π4的直线l与曲线C相交于M，N两点，求1|PM|+1|PN|的值．23.已知实数x，y，z满足3x+2y+z=1，求x2+2y2+3z2的最小值．24.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=2，AC=4，AA1=3．D是线段BC的中点．(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2)求二面角B1−A1D−C1的大小的余弦值．25.已知数列{a n}满足a n=C n0+C n+112+C n+222+C n+332+⋯+C n+n n2,n∈N∗．(1)求a1，a2，a3的值；(2)猜想数列{a n}的通项公式，并证明．-------- 答案与解析 --------1.答案：{−1,1，3}解析：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A={x|x=2k−1,k∈Z}，B={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={−1,1，3}，故答案为：{−1,1，3}．2.答案：2解析：解：由z+2z−2=i，得(1−i)z=−2−2i，∴z=−2−2i1−i =(−2−2i)(1+i)(1−i)(1+i)=−4i2=−2i，∴|z|=√02+(−2)2=2．故答案为：2．把等式两边同时乘以z−2，求得z，然后利用复数代数形式的除法运算化简，最后代入复数模的公式求解．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．3.答案：150解析：解：∵有师生2400人，抽取一个容量为160的样本，∴2400160=15，∵160−150=10，∴10×15=150，故答案为：150因为在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，根据总数和样本容量算出抽取的比例，由已知可知抽取了10位教师，算出教师总数．近几年的高考中出现过这种问题，它主要考查的是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等．4.答案：6解析：解：分析流程图所示的顺序知：k=2，22−14+10=0，不满足条件k2−7k+10>0，执行循环体；k=3，32−21+10=−2，不满足条件k2−7k+10>0，执行循环体；k=4，42−28+10=−2，不满足条件k2−7k+10>0，执行循环体；k=5，52−35+10=0，不满足条件k2−7k+10>0，执行循环体；k=6，62−42+10=4，满足条件k2−7k+10>0，退出循环，输出k=6．故答案为：6．分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结论．本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是对算法语句的理解，属基础题．5.答案：910解析：本题考查概率的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数n=C52=10，摸出的2个球中至少有1个是红球包含的基本事件个数m=C32+C31C21= 9，由此能求出摸出的2个球中至少有1个是红球的概率．解：一个袋子中装有3个红球和2个白球(除颜色外其余均相同)，现从中随机摸出2个球，基本事件总数n=C52=10，摸出的2个球中至少有1个是红球包含的基本事件个数m=C32+C31C21=9，∴摸出的2个球中至少有1个是红球的概率p=mn =910．故答案为910．6.答案：0.148解析：本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先求出这组样本数据的平均数，由此能求出这组样本数据的方差．解：一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量分别为：9.6，9.7，9.8，10.3，10.6(单位；t/ℎm2)，这组样本数据的平均数为：x=15(9.6+9.7+9.8+10.3+10.6)=10，s2=[(9.6−10)2+(9.7−10)2+(9.8−10)2+(10.3−10)2+(10.6−10)2]=0.148．故答案为0.148．7.答案：8解析：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查离心率，属于基础题.运用离心率公式，计算可得c的值．解：设双曲线x24−y2b2=1(b>0)的焦距为2c，由已知得a=2；又离心率e=c2=√33b，且c2=4+b2，解得c=4；所以该双曲线的焦距为2c=8．故答案为8．8.答案：3解析：。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷(六)（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={－1,0，2},B ={0，1,2,3},则A U B = ▲ ． 2.复数z ＝1＋i2－i(i 为虚数单位)的实部为 ▲ ．3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查,参加调查的总 人数为1000其中持各种态度的人数如下表:该媒体为进一步了解被调查者的具体想法,打算从中抽取50人进行更为 详细的调查,则应抽取持“很欢迎”态度的人数为 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．5.从3,4,12这3个数中随机取出2个数(逐个、不放回),分别记为a ,b,则 “ ab是整数”的概率为 ▲ ． 6.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为72,则三棱锥A 1-BC 1D 的体积为 ▲ ． 7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ,且它的一个焦点为F ( 2 ,0),则双曲线C 的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为 ▲ ．（第4题图）8.在平面直角坐标系xOy 中,过点P (1,t )作斜率为 1e (e 为自然对数的底数)的直线,与曲线y ＝ln x 相切于点T ,则实数t 的值为 ▲ ．9.设等比数列{a n }的公比为q (q ＞1)其前n 项和为S n ,若a 2 + a 4= 52 a 3, S 2m =9S m ,则正整数m 的值为 ▲ ．10.已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在[0,＋∞)上单调递减,则满足不等式 f (a 2－a ＋1) ≥ f (－34)的实数a 的取值集合为 ▲ ．11.在△AOB 中,已知OA =1,OB = 3 ,∠AOB ＝π2 .若点C ,D 满足OC →= 916 OA → ＋716 OB → ,CD → ＝12(CO → ＋CB → ),则CD → ・CO →的值为 ▲ ．12.在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分別为a ,b ,c ,且35bc cos A ＝21ac cos B ＝15ab cos C ,则cos C 的值为 ▲ ．13.已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧x ＋1x ， x ＞0，x －1x ，x ＜0，若函数g (x ) =｜f (x )｜＋x －m 恰好有2个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ ．14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :x ＋ay －3=0(a >0),过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线,切点分別为S ,T ,且PS → ・PT → ＝23 ,则实数a 的最小值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知向量a = (cos x 2 , sin x 2 ), b = ( 3 sin x 2 ，－sin x2 ),函数f (x ) =a ・b ＋1．(1) 求函数f (x )图象的对称轴方程;(2) 求函数f (x )在[－π,0]上的最大值和最小值以及相应的x 的值．如图,在四面体A -BCD 中,已知平面ABC ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形,△BCD 为等腰 直角三角形,其中C 为直角顶点,E ,F 分别为校AC ,AD 的中点. (1) 求证: CD ∥平面BEF ; (2) 求证: BE ⊥平面ACD .17.(本小题满分14分)为了打击海盗犯罪,甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习,分别派出一艘军舰A ,B ,C .演 习要求: 任何时刻军舰A ,B ,C 均不得在同一条直线上.(1) 如图1, 若演习过程中,A ,B 间的距离始终保持 3 n mile , B ,C 间的距离始终保持 2 n mile ,求∠ACB 的最大值.(2) 如图2, 若演习过程中,A ,C 间的距离始终保持1n mile ,B ,C 间的距离始终保持 2 n mile .且当∠ACB 变化时, 模拟海盗船D 始终保持: 到B 的距离与A ,B 间的距离相等, ∠ABD = 90°, 与C 在直线AB 的两侧,求C 与D 间的最大距离.（第16题）ADBE F（第17题） ACD B（图2）（图1）BCA在平面直角坐标系xOy 中已知精圆C ：x 24+ y 2=1，集点在x 轴上的啊圆C 2与C 1的离心率相同,且椭圆C 1的外切矩形ABCD (两组对边分别平行于x 轴、y 轴)的顶点在椭圆C 2上. (1) 求椭圆C 2的标准方程.(2) 设P (m ,n )为椭圆C 2上一点(不与点A ,B ,C ,D 重合). ① 若直线:mx ＋4my －4=0,求证:直线l 与椭圆C 1相交；② 记①中的直线l 与椭圆C 1的交点为S ,T ,求证△PST 的面积为定值.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a x (x －b )(x －c ),其中a >0,b <c. （1）若a ＝－b ＝c ＝1,求函数f (x )的单调减区间； （2）若数f (x )的极值点是x ＝±1,求b ,c 的值；（3）若b ＝－1,曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为－1，求证: f (x )的极大值大于 14.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项的积为T n ,记b 1＝T 1，bn ＝nT n (n ≥2) （1）若数列{a n }为等比数列,数列{b n }为等差数列,求数列{a n }的公比. （2）若a 1=1,a 2=2,且na n -1－(n －1)a n = a n -1 a n ,(n ≥3)①求数列{b n }的通项公式.②记c n =ln b n ,那么数列{c n }中是否存在两项c s ,c t ,(s ,t 均为正偶数,且s <t ), 使得数 列c s , c 8,c t ,成等差数列? 若存在,求s ,t 的值;若不存在, 请说明理由.数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值为3和一1, 对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1 .（1）求矩阵M ;（2）设矩阵M 的逆矩阵为M -1，X =⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，且M -1X =B ,求实数m ,n 的值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的坐标方程为ρ＝2 2 cos(θ+π4 ).（1）求圆心C 的极坐标;（2）现以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy ，求直线⎩⎨⎧x = 2 2 t y =－1＋ 2 2t (l 为参数)被圆C 截得的弦长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ，且a 2+b 2+2c 2=4,求实数a ＋b ＋c 的最大值.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在空间直角坐标系O -xyx 中,已知正四棱锥 P -ABCD 的所有棱长均为6,正方形 ABCD 的中心为坐标原点O ,A D ,B C 平行于x 轴, AB 、CD 平行于y 轴,顶点P 在z 轴的正 半轴上,点M 、N 分别在P A ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝λ (0≤λ≤1).(1) 若λ＝13 ,求直线MN 与PC 所成角的大小;(2) 若二面角A -PN -D 的平面角的余弦值为 610,求λ的值.23.(本小题满分10分)已知集合P =(1,2,3,…n (n ∈N ),从P 中任取2个元素,分别记为a ,b . （1）若n =10,随机变量X 表示ab 被3除的余数,求X =0的概率;（2）若n =5k +1(k ＞1且k ∈N ),随机变量Y 表示a ＋b 被5除的余数,求Y 的概率分布及数学期望E （Y ）.（第22题）。

2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．设复数z+2i＝，则|z|＝．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝（1，2）．【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}＝{x|1＜x＜2}，∴由题得A∩B＝{x|x＜2，x∈R}∩{x|1＜x＜2，x∈R}＝（1，2）．故答案为：（1，2）．2．设复数z+2i＝，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z+2i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i﹣i＝﹣3i，则|z|＝3，故答案为：3．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝2．【分析】当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，求出a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．从而f（）＝f（1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，f（a）＝f（a+2），∴当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，解得a＝﹣4（舍）或a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．∴a＝1，f（）＝f（1）＝12+1＝2．故答案为：2．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．【分析】由已知求得，再由配方法求数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为4．【分析】令z＝x﹣2y，作平面区域，从而可得到z＝x﹣2y的最大值，从而求得a的最小值．解：令z＝x﹣2y，作变量x，y满足的平面区域如下，结合图象可知，C（0，﹣2）；且z＝x﹣2y在A（0，﹣2）处有最大值4，故a≥4，即实数a的最小值为4，故答案为：4．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出事件A的概率．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆柱与圆锥的高h＝4，则圆锥的母线长为l＝5，则圆锥的全面积为：πR2+×2πR×l＝9π+15π＝24π；圆柱的全面积为：2πR2+π×2R×h＝18π+24π＝42π．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为：．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos x，sin x，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵x∈（0，），tan（x+）＝＝﹣3，∴tan x＝2，即sin x＝2cos x，∴sin2x+cos2x＝（2cos x）2+cos2x＝5cos2x＝1，解得cos x＝，sin x＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．【分析】由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．所以圆心到切线的距离．则，解得实数a的值是﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为﹣4．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解解：由题意，直角三角形，斜边长为5，由等面积，可得内切圆半径r＝＝1，建立如图所示坐标系则O（0，0），C（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），B（﹣1，3）；设P（cosθ，sinθ）；∴＝（2﹣cosθ，﹣1﹣sinθ），＝（﹣1﹣cosθ，3﹣sinθ）；∴＝cos2θ﹣cosθ﹣2+sin2θ﹣2sinθ﹣3＝﹣（2sinθ+cosθ）﹣4＝﹣sin（θ+φ）﹣4；其中tanφ＝；∴sin（θ+φ）＝﹣1时的最大值为：﹣4；故答案为：﹣4．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【分析】由已知问题可转化为函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可．解：∵，∴f（0）≤f（x）≤f（﹣1），即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，若对于任意的x1∈[﹣1，0]，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，则函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域A是集合B的子集，即A⊆B，①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，满足条件．②当a≠0时，g（x）＝a2log2x+3a在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，a2+3a]，即A＝[﹣+3a，a2+3a]，∴，解可得0≤a≤1，故答案为：{a|0≤a≤1}．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是[1+，e]．【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a 在t∈[1，e]上恒成立，得到≤f（x0）≤e，即≤﹣lnt+a≤e，得到关于a的不等式组，解得即可．解：函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a＝0可得x2e x＝a﹣lnt，令g（x）＝x2e x，则g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），x∈[﹣1，1]，令g′（x）＝0，则x＝0，当g′（x）＞0时，0＜x≤1，当g′（x）＜0时，﹣1≤x＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，∴g（x）min＝f（0）＝0∵g（﹣1）＝＜g（1）＝e，∴g（x）max＝g（1）＝e，∵存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a在t∈[1，e]上成立，∴≤f（x0）≤e，因为≤﹣lnt+a≤e在t∈[1，e]上成立，∴，解得1+≤a≤e，故答案为[1+，e]．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝A，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c和b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k1k2＝1，将直线方程代入椭圆方程，求得B和D点坐标，求得直线BD的方程，即可判断直线BD过定点．解：（1）由椭圆的定义2a＝4，则a＝2，，则c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，因此椭圆C的标准方程；（2）证明：设切线AB，CD的方程为y＝k（x+2），则，即（4﹣r2）k2﹣8k+4﹣r2＝0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2，则k1k2＝1，联立，得（1+4k2）x2+16k2﹣4＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1＝，y1＝，同理得x2＝＝，y2＝＝，所以直线BD的斜率k BD＝＝．则直线BD的方程为y﹣＝（x﹣），整理得y＝（x+），故直线BD过定点（﹣，0）．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【分析】（1）通过∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，推出PA：PB＝3：1，求出L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），得到解析式．（2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值即可．解：（1）因∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，所以，所以PA：PB＝3：1，即PA＝6，PB＝2，因PQ＝2，所以，，所以L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），所以，化简得，．（2）由（1）知，所以，化简得，由L'＝0，得，令，且，当θ∈（0，θ0）时，，L'＜0；当时，，L'＞0；所以函数L（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增；所以θ＝θ0时函数L（θ）取最小值，即当时，符合建桥要求，答：（1），；（2）当时，符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．【分析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】（1）证明：若λ＝0，μ＝4，则当S n＝4a n﹣1（n≥2），所以a n+1＝S n+1﹣S n＝4（a n﹣a n﹣1），即a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），所以b n＝2b n﹣1，又由a1＝2，a1+a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2﹣2a1＝2≠0，即b n≠0，所以＝2，故数列{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等比数列，设其公比为q（q≠0），当n＝2时，S2＝2λa2+μa1，即a1+a2＝2λa2+μa1，得1+q＝2λq+μ，①当n＝3时，S3＝3λa3+μa2，即a1+a2+a3＝3λa3+μa2，得1+q+q2＝3λq2+μq，②当n＝4时，S4＝4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4＝4λa4+μa3，得1+q+q2+q3＝4λq3+μq2，③②﹣①×q，得1＝λq2，③﹣②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1．代入①式，得μ＝0．此时S n＝na n，（n≥2），所以a1＝2，{a n}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0．（3）证明：若a2＝3，由a1+a2＝2λa2+μa1，得5＝6λ+2μ，又λ+μ＝，解得λ＝，μ＝1．由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入S n＝λna n+μa n﹣1得a5＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n＝a n+a n﹣1，得S n+1＝a n+1+a n，两式相减得：a n+1＝a n+1a n+a n﹣a n﹣1，即（n﹣1）a n+1﹣（n﹣2）a n﹣2a n﹣1＝0，所以na n+2﹣（n﹣1）a n+1﹣2a n＝0，相减得：na n+2﹣2（n﹣1）a n+1+（n﹣2）a n﹣2a n+2a n﹣1＝0，所以n（a n+2﹣2a n+1+a n）+2（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝﹣（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝（a n﹣2a n﹣1+a n﹣2）＝…＝（a3﹣2a2+a1），因为a3﹣2a2+a1＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝0，即数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【分析】（1）设立两个新函数h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x），分别求导，看在x＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），分别求导，由f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数，对a进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可．解：令h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x）．（1）则h′1（x）＝2x+a+1，h′2（x）＝3x2+2ax+b．∵f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是一对“P（1）函数”；∴，∴此时，因h′2（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，h2（x）无极小值．故f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b不是一对“P（1）函数”．（2）①h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），h′1（x）＝e x+2x+a，h′2（x）＝e x[x2+（a+2）x+a+1]＝e x•（x+1）（x+a+1）．若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”，由h′2（x）＝e x•（x+1）（x+a+1）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣a﹣1，1°若a＞0，则有﹣a﹣1（﹣1，+∞）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣a﹣1）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝1，从而h′1（﹣1）＝e﹣1﹣2+a＝0，a＝2﹣，经验证知h1（x）＝e x+x2+（2﹣）x+1，在x＝﹣1处取得极小值，∴2°若a＜0，则有x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，﹣1）﹣1（1，+∞）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝﹣a﹣1；从而h′1（﹣a﹣1）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2＝0令φ（a）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2，a＜0，φ（a）在（﹣∞，0）是减函数，且φ（﹣1）＝0，所以a＝﹣1，从而，经验证知h1＝（x）＝e x+x2﹣x+1在x＝0处取得极小值，所以3．当a＝0时，h′2（x）＝e x•（x+1）2≥0，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：或，②∵a＜0，由①结论可知，f（x）＝e x与g（x）＝x2﹣x+1，∴易见f（x）＞0，g（x）＞0，故不等式f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x ）等价于：，令H（x ）＝，则H（x）max＜m．∵x≥1，∴H（x）单调递减，∴H（x）max＝H（1）＝+1，从而m．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．【分析】由题意λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，由λ1＝1得ab＝1，由Ma2＝λ2a2得•＝λ2，求得，再由λ1≠λ2求得a、b的值即可．解：由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1；又因为Ma2＝λ2a2，所以•＝λ2，从而，所以，因为λ1≠λ2，所以λ2＝﹣1，从而a＝b＝﹣1，故矩阵M＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【分析】（Ⅰ）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）＝＝＝，即可得出结论．解：（Ⅰ）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ＝α（ρ＞0，）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2＝2sinα，所以＝＝＝，又，，所以当，即时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由AB＝4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线l1的方程，再根据垂直关系求出直线l2的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线x＝1上．【解答】（1）解：当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y2＝，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则y C＝＝，所以直线l1的方程为y＝；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y＝﹣（x﹣2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x＝1上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1＝a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）＝p（1+x）p﹣1﹣p ＝p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0＝1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）＝（1+0）p﹣（1+p×0）＝0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0＝1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1＝a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边＝，当且仅当，即时，上式取“＝”号，当n＝1时，由题设知，∴上式“＝”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n＝1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。

2020届江苏省南通市高考数学模拟试卷一、填空题 1. 若命题“，”是假命题，则实数a 的取值范围是______．2. 已知函数f(x)是定义在上的奇函数，且当x >0时，f(x)=2x −1，则f(f(−1))的值为______．3. 过点(1,0)且与直线x −√2y +3=0平行的直线l 被圆(x −6)2+(y −√2)2=12所截得的弦长为________．4. 设{a n }是等差数列，若a 4+a 5+a 6=21，则S 9=______．5. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为______．6. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞,0)上单调递增，若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2)，则a 的取值范围是______． 7. 已知，则______ ．8. 函数y =f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y =3x −2，则f(1)+f′(1)=______．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且其面积S =2224√3，则角C =______．10. 已知实数x ，y 满足2x +y +5=0,那么√x 2+y 2的最小值为______．11. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A =______．12. 已知函数f(x)={x 2+x,x ≥0x −x 2,x <0，若f(a)>f(2−a)，则a 的取值范围是________．13. 已知双曲线x 2+ny 2=1(n ∈R)与椭圆x 26+y 22=1有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为______ ．14.若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则(a1+a2)2b1⋅b2的取值范围是______ ．二、解答题15.如图，四棱锥P−ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．(1)求证：AF//平面PEC；(2)求证：平面PEC⊥平面PCD．16.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(x−1)2．(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．17.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为2，离心率为√22，椭圆的右顶点为A．(1)求该椭圆的方程：(2)过点D(√2,−√2)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．18.如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=π6，点E，F的直径AB上，且∠ABC=π6．(1)若CE=√13，求AE的长；(2)设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．19.已知函数f(x)=a⋅e xx(a∈R,a≠0)．(Ⅰ)当a=1时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处切线的方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)当x∈(0,+∞)时，若f(x)≥1恒成立，求a的取值范围．20.设数列{a n}满足a n2=a n+1a n−1+λ(a2−a1)2，其中n≥2，且n∈N，λ为常数．(1)若{a n}是等差数列，且公差d≠0，求λ的值；(2)若a1=1，a2=2，a3=4，且存在r∈[3,7]，使得m⋅a n≥n−r对任意的n∈N∗都成立，求m的最小值；(3)若λ≠0，且数列{a n}不是常数列，如果存在正整数T，使得a n+T=a n对任意的n∈N∗均成立．求所有满足条件的数列{a n}中T的最小值。

2020年江苏省南通市通州区高考数学模拟试卷（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|x=2n，n∈Z}，则A∩B=______．2.已知复数z1=1+2i，z2=1-i，其中i为虚数单位，则复数z1z2的实部为______．3.如图是一个算法的伪代码，若输入x的值为3时，则输出的y的值为______．4.某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为______．5.设不等式log2x＜1的解集为D，在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率为______．6.已知圆锥的底面面积为2π，侧面积为π，则该圆锥的体积为______．7.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2=0，S3+S4=6，则a5+a6的值为______．8.已知α∈（0，），tan2α=，则的值为______．9.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右焦点为F2，左顶点为A，过点F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于P，Q两点．若AP⊥AQ，则双曲线的离心率为______．10.已知函数f（x）满足f（x-a）=x3+1，且对任意实数x都有f（x）+f（2-x）=2，则f（0）的值为______．11.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=4，CD=2，AD=3，，若=3，则的值为______．12.若a，b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为__________．13.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的外接圆方程为x2+y2=4，∠ACB=，AB边的中点M关于直线y=x+2的对称点为N，则线段ON长度的取值范围是______．14.已知函数f（x）＝x lnx，g（x）＝﹣x2+（a+12）x+2a，若不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.已知函数．（1）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，已知C为锐角，，AB=3，A=，求边BC的长．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，平面PCD⊥平面ABCD，点M为PC上一点．（1）若PA∥平面MBD，求证：点M为PC中点；（2）求证：平面MBD⊥平面PCD．17.某公司代理销售某种品牌小商品，该产品进价为5元/件，销售时还需交纳品牌使用费3元/件，售价为x元/件，其中10≤x≤30，且x∈N*．根据市场调查，当10≤x≤15，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与（18-x）2成正比；当15≤x≤30，且x∈N*时，每月的销售量h（万件）与成反比．已知售价为15元/件时，月销售量为9万件．（1）求该公司的月利润f（x）（万件）与每件产品的售价x（元）的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，该公司的月利润f（x）最大？并求出最大值．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的短轴长为2，椭圆C上的点到右焦点距离的最大值为．过点P（m，0）作斜率为k的直线l交椭圆C于A，B两点（m＞0，k＞0），D是线段AB的中点，直线OD交椭圆C 于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若m=1，，求k的值；（3）若存在直线l，使得四边形OANB为平行四边形，求m的取值范围．19.已知函数f（x）=ln x-ax+1，g（x）=x（e x-x）．（1）若直线y=2x与函数f（x）的图象相切，求实数a的值；（2）若存在x1∈（0，+∞），x2∈（-∞，+∞），使f（x1）=g（x2）=0，且x1-x2＞1，求实数a的取值范围；（3）当a=-1时，求证：f（x）≤g（x）+x2．20.已知数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，首项为2．若对任意的正整数m，n恒成立．（1）求a2，a3，a4；（2）求证：{a n}是等比数列；（3）设数列{b n}满足，若数列，，…，（n1＜n2＜…＜n t，t∈N*）为等差数列，求t的最大值．21.已知矩阵M=的两个特征值为λ1=2，λ2=3．求直线l：x-y+2=0在矩阵M对应变换作用下的直线l'的方程．22.在极坐标系中，已知圆C的方程为ρ=2sinθ，直线l的方程为．若直线l与圆C相切，求实数a的值．23.设函数f（x）=|x+1|-|x-4|-a．（1）求函数f（x）的最大值；（2）若存在x∈R，使成立，求实数a的取值范围．24.已知动圆过点S（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心C的轨迹方程；（2）过点S的直线l与曲线C交于点A，B，与y轴交于点T，设，，求证：λ+μ是定值．25.设．（1）若m=2，求a1+2a2+…+2020a2020的值；（2）若m=-1，求的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0，2}解析：解：∵集合A={x|-2＜x＜3}，B={x|x=2n，n∈Z}，∴A∩B={0，2}．故答案为：{0，2}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：3解析：解：∵z1=1+2i，z2=1-i，∴z1z2=（1+2i）（1-i）=3+i，∴复数z1z2的实部为3，故答案为：3．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：15解析：解：由题意，本题是一个条件型的程序，若x≤0，y=2x，否则y=2x2-x，由于输入的x的值是3，由0＜3，可得：y=2×32-3=15，则输出y的值是20．故答案为：15．本题是一个条件型的程序，若x≤0，y=2x，否则y=2x2-x，由于输入的x的值是3，即可计算得解．本题考点是伪代码，考查读懂一些简单程序的能力，对程序语句的了解是解题的关键，属于基础题．4.答案：解析：解：某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，∴某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数为：=（30+26+32+27+35）=30，则这组数据的方差为：S2=[（30-30）2+（26-30）2+（32-30）2+（27-30）2+（35-30）2]=．故答案为：．先求出某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数，由此能求出这组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：解析：解：由log2x＜1，得0＜x＜2．∴在区间[-3，5]上随机取一个实数x，则x∈D的概率为．故答案为：．求解对数不等式得x的范围，再由测度比是长度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查对数不等式的解法，是基础题．6.答案：解析：解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则，解得r=，l=，所以高h=2，所以V==．故答案为：．设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由圆柱的侧面积、圆面积公式列出方程组求解，代入柱体的体积公式求解．本题考查圆柱的侧面积、体积公式，以及方程思想，属于基础题．7.答案：21解析：解：因为数列{a n}是等差数列，a2=0则a1=-d，所以S3+S4=7a1+9d=2d=6，即d=3．所以a5+a6=2a1+9d=7d=3×7=21．故填：21．数列{a n}是等差数列，a2=0则a1=-d，S3+S4=7a1+9d=2d=6，所以d=3，所以a5+a6=2a1+9d=7d，可得．本题考查了等差数列的前n项和公式，通项公式，属于基础题．8.答案：-2解析：解：∵α∈（0，），tan2α==，可得：3tan2α+8tanα-3=0，∴解得：tanα=，或-3（舍去），∴===-2．故答案为：-2．由已知利用二倍角公式可求3tan2α+8tanα-3=0，结合角的范围可求tanα的值，根据同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．9.答案：2解析：解：右焦点为F2（c，0），左顶点为A（-a，0），令x=c，可得y=±b=±，可设P（c，），Q（c，-），由AP⊥AQ，可得三角形APQ为等腰直角三角形，可得|AF2|=|PQ|，即a+c==，解得c=2a，e==2．故答案为：2．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质，化简运算能力，属于基础题．10.答案：0解析：解：根据题意，函数f（x）满足f（x-a）=x3+1，则f（x）=（x+a）3+1，则f（2-x）=（2-x+a）3+1，若对任意实数x都有f（x）+f（2-x）=2，则有f（x）+f（2-x）=（x+a）3+1+（2-x+a）3+1=2，变形可得（x+a）3+（2-x+a）3=0，分析可得a=-1则f（x）=（x-1）3+1，则f（0）=（0-1）3+1=（-1）+1=0；故答案为：0．根据题意，由函数的解析式可得f（x）=（x+a）3+1，进而可得f（x）+f（2-x）=（x+a）3+1+（2-x+a）3+1=2，变形分析可得a的值，即可得函数的解析式，将x=0代入计算可得答案．本题考查函数解析式的计算，关键是求出a的值．11.答案：7解析：解：∵AB∥CD，AB=4，CD=2，∴=，∵，∴==，∴=+=+，∴=（+）•（）=--=3，即9--=3，∴=4．又==-=-，∴=•（-）=-=9-2=7．故答案为：7．用表示出各向量，根据=3计算，再计算的值．本题考查了平面向量的基本定理，数量积运算，属于中档题．12.答案：解析：【分析】本题考查了基本不等式及其应用，属中档题．由a2+2ab-3b2=1得（a+3b）（a-b）=1，再换元令x=a+3b，y=a-b，然后利用基本不等式可得．【解答】解：由a2+2ab-3b2=1得（a+3b）（a-b）=1，令x=a+3b，y=a-b，则xy=1且a=，b=，所以a2+b2=（）2+（）2=≥=，当且仅当x2=，y2=，时取等．故答案为．13.答案：[2-1，2+1]解析：解：根据题意，△ABC的外接圆方程为x2+y2=4，其半径为2，若∠ACB=，则∠AOB=，M为AB的中点，则|OM|=1，则M在以O为圆心，半径为1的圆上，又由点N与点M关于直线y=x+2对称，且（0，0）与（-2，2）关于直线y=x+2对称，则点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆，设P（-2，2），则|OP|=2，则有2-1≤|ON|≤2+1，即线段ON长度的取值范围是[2-1，2+1]；故答案为：[2-1，2+1]．根据题意，由圆心角定理分析可得∠AOB=，进而可得|OM|=1，据此可得M在以O为圆心，半径为1的圆上；进而分析可得点N的轨迹为以（-2，2）为圆心，半径为1的圆，结合点与圆的位置关系分析可得答案．本题考查直线与圆的综合应用，涉及直线与圆的位置关系，属于综合题．14.答案：[，）解析：【分析】推导出f′（x）=ln x+1，f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1，f（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，利用数形结合法求出不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是2，3，列出不等式组，能求出实数a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查换元法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【解答】解：f′（x）=ln x+1，故当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，）上单调递减，（，+∞）上单调递增，且f（1）=1又g（x）的函数图象开口向下，对称轴为x=6+，要使不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数，其图象如下：不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是1，2，∴，无解，不等式f（x）≤g（x）的解集中恰有两个整数是2，3，∴，解得≤a＜．∴实数a的取值范围是[，）．故答案为：[，）．15.答案：（本题满分为14分）解：（1）∵=sin2x+-=sin（2x-），…4分∵x∈[0，]，∴2x-∈[，]，∴-≤sin（2x-）≤1，即函数f（x）的值域是[-，1]…7分（2）由（1）可知=sin（C-），∵C为锐角，∴C-∈（-，），∴C-=-，可得：C=…10分在ABC中，AB=3，A=，由正弦定理可得：，即：=，…12分解得：BC=3…14分解析：（1）利用三角函数恒等变换的应用可求f（x）=sin（2x-），可求范围x-∈[，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（2）由（1）可知sin（C-）=-，由范围C-∈（-，），可求C的值，根据正弦定理可得BC的值．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质以及正弦定理的应用，考查了转化思想，属于中档题．16.答案：证明：（1）连接AC交BD于O，连接OM，如图所示；因为PA∥平面MBD，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MBD=OM，所以PA∥OM；因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，所以M是PC的中点；（2）△ABD中，AD=2，AB=1，∠BAD=60°，所以BD2=AB2+AD2-2AB•AD cos∠BAD=3，所以AD2=AB2+BD2，所以AB⊥BD；因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，所以BD⊥CD；又因为平面PCD⊥平面ABCD，且平面PCD∩平面ABCD=CD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PCD；因为BD⊂平面MBD，所以平面MBD⊥平面PCD．解析：（1）连接AC交BD于O，连接OM，由PA∥平面MBD证明PA∥OM，利用平行四边形证明M是PC的中点；（2）△ABD中利用余弦定理求出BD的值，判断△ABD是Rt△，得出AB⊥BD，再由题意得出BD⊥CD，证得BD⊥平面PCD，平面MBD⊥平面PCD．本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，是中档题．17.答案：解：（1）当10≤x≤15且x∈N×时，设h（x）=k1（18-x）2，由题意可知h（15）=9，即9=9k1，故k1=1，此时利润f（x）=（x-8）（18-x）2，当15≤x≤30且x∈N×时，设h（x）=，又h（15）=9，故9=，故k2=3．此时利润f（x）=（x-8）=．∴f（x）=．（2）当10≤x≤15且x∈N×时，f′（x）=（x-18）（3x-34），令f′（x）=0可得x=18（舍）或x=，∴当10≤x＜时，f′（x）＞0，当＜x≤15时，f′（x）＜0，∴f（x）在[10，）上单调递增，在（，15]上单调递减，∵x∈N×，且f（11）=147，f（12）=144，∴当x=11时，f（x）取得最大值147．当15≤x≤30且x∈N×时，f′（x）=，令f′（x）=0可得x=10±2（舍），∴当15≤x≤30时，f′（x）＞0，故f（x）在[15，30]上单调递增，∴当x=30时，f（x）取得最大值f（30）=99．综上，当x=11时，f（x）取得最大值147．答：当每件产品的售价为11元时，该公司的月利润f（x）最大，最大利润为147万元．解析：（1）根据h（15）=9分别求出h（x）在不同区间上的解析式，再得出f（x）的解析式；（2）利用导数判断f（x）的单调性，分别求出f（x）在不同区间上的最大值，比较得出f（x）的最大值及对应的x的值．本题考查了分段函数解析式的求解，分段函数最值的计算，属于中档题．18.答案：解：（1）由条件，，解得，所以，椭圆C的标准方程为；（2）当m=1时，直线l的方程为y=k（x-1），设点A（x1，y1）、B（x2，y2），由，消去y得，（1+4k2）x2-8k2x+4k2-4=0，因为点P在椭圆内，所以，△＞0，由韦达定理得，所以，，所以，，则直线MN的方程为，由，消去y得，所以，，因为，所以，，因为k＞0，解得；（3）设直线l的方程为y=k（x-m），由，消去y可得（1+4k2）x-8k2mx+4k2m2-4=0，∴△=（-8k2m）2-4（1+4k2）（4k2m2-4）＞0，即4k2-k2m2+1＞0（*），∴x1+x2=，∴D（，），∵点M，N关于原点对称，由（2）可知N（，-），由四边形OANB为平行四边形，可得=2×，即m2=1+，将m2=1+，代入（*）式恒成立，∴当k＞0是，m2＞1，∵m＞0，∴m＞1．解析：（1）由条件，，解得，即可求出椭圆方程，（2）当m=1时，直线l的方程为y=k（x-1），根据韦达定理和中点坐标公式可得D点坐标，即可求出直线MN的斜率，可得直线MN的方程，求出点M的坐标，结合，求出k的值，（3）设直线l的方程为y=k（x-m），求出点D，N的关系，结合四边形OANB为平行四边形，即可求出m的取值范围．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意直线与椭圆的位置关系的综合运用．19.答案：解：（1）设切点为（x0，f（x0））．由f′（x）=-a．∴f′（x0）=-a．∴切线方程为：y-（ln x0-ax0+1）=（-a）（x-x0）．即y=（-a）x+ln x0．∵直线y=2x与函数f（x）的图象相切，∴-a=2，ln x0=0．解得x0=1，a=-1．（2）设u（x）=e x-x，x∈R．u′（x）=e x-1，可得0是函数u（x）的极小值点，可得u （x）≥u（0）=1＞0．由g（x2）=x2（-x2）=0，解得x2=0．由x1-x2＞1，即x1＞1．由题意可得：函数f（x）=ln x-ax+1在x∈（1，+∞）上有零点．由f′（x）=-a=．当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，f（x）＞f（1）=1-a ＞0，此时函数f（x）无零点，舍去．当a＞0时，f′（x）=，当a≥1时，≤1，f′（x）＜0，函数f（x）在x∈（1，+∞）上单调递减，f（x）＜f（1）=1-a≤0，此时函数f（x）无零点，舍去．当＞1，即0＜a＜1时，由f′（x）=0，解得x=，可得函数f（x）在x∈（1，）上单调递增，在x∈（，+∞）上单调递减，∴x=时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（）=ln＞0．f（1）=1-a＞0，∴函数f（x）在x∈（1，）上无零点．由f（）=ln-a•+1=ln4-2ln a-+1．令h（a）=ln4-2ln a-+1．则h′（a）=-+=＞0．∴函数h（a）在x∈（0，1）上单调递增，∴h（a）＜h（1）=-3＜0．∴f（）＜0．∴函数f（x）在x∈（，+∞）上连续不断，存在唯一的零点．∴f（x）在x∈（，+∞）上有零点．综上可得：a∈（0，1）．（3）证明：当a=-1时，f（x）=ln x+x+1，令F（x）=x2+g（x）-f（x）=xe x-ln x-x-1，F′（x）=（x+1）e x--1=（xe x-1）．令G（x）=xe x-1，x＞0．则G′（x）=（x+1）e x＞0．∴函数G（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．∵G（0）=-1，G（1）=e-1＞0．∴函数G（x）在区间（0，1）上存在一个零点，即函数G（x）在区间（0，+∞）上存在唯一零点x0∈（0，1）．∴当x∈（0，x0）时，G（x）＜0，即F′（x）＜0，此时函数F（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，G（x）＞0，即F′（x）＞0，此时函数F（x）单调递增．∴F（x）min=F（x0）=x0-ln x0-x0-1，由G（x0）=0可得：x0=1．两边取对数可得：ln x0+x0=0．故F（x0）=1-（ln x0+x0）-1=0，∴x2+g（x）-f（x）≥0．即f（x）≤g（x）+x2．解析：（1）设切点为（x0，f（x0））．由f′（x）=-a．可得f′（x0）=-a．可得切线方程为：y=（-a）x+ln x0．由直线y=2x与函数f（x）的图象相切，可得-a=2，ln x0=0．即可得出a．（2）设u（x）=e x-x，x∈R．u′（x）=e x-1，利用导数研究其单调性可得0是函数u（x）的极小值点，可得u（x）≥u（0）=1＞0．由g（x2）=x2（-x2）=0，解得x2=0．由x1-x2＞1，即x1＞1．由题意可得：函数f（x）=ln x-ax+1在x∈（1，+∞）上有零点．由f′（x）=-a=．对a分类讨论，研究其单调性即可得出．（3）当a=-1时，f（x）=ln x+x+1，令F（x）=x2+g（x）-f（x）=xe x-ln x-x-1，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：（1）解：由a1=2，对任意的正整数m，n恒成立，取m=n=1，可得，即，得a2=4．取m=1，n=2，得，取m=2，n=1，得，解得a3=8，a4=16；（2）证明：取m=1，得，取m=2，得．两式相除，得，即，（n∈N*）．由于，∴对于任意n∈N*均成立．∴{S n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，∴，则．当n≥2时，．而a1=2适合上式，∴．∵，∴{a n}是等比数列；（3）解：由（2）知，，设b s，b r，b t成等差数列，则2b r=b s+b t，即2[2r-（-1）r]=2s-（-1）s+2t-（-1）t，整理得，2s+2t-2r+1=（-1）s+（-1）t-2（-1）r，若t=r+1，则2s=（-1）s-3（-1）r，∵2s≥2，∴（-1）s-3（-1）r只能为2或4，则s只能为1或2．若t=r+2，则2s+2t-2r+1=（-1）s+（-1）t-2（-1）r≥2s+2r+1＞4，∵（-1）s+（-1）t-2（-1）r≤4，故矛盾．综上，只能是b1，b r，b r+1成等差数列或b2，b r，b r+1为等差数列，其中r为奇数，则t的最大值为3．解析：（1）由a1=2，对任意的正整数m，n恒成立，取m=n=1，可得a2=4．取m=1，n=2，再取m=2，n=1，然后联立解得a3=8，a4=16；（2）取m=1，得，取m=2，得．两式相除，得，（n∈N*）．结合，可得{S n+2}是首项为4，公比为2的等比数列，求得．进一步求得．利用定义证得{a n}是等比数列；（3）由（2）知，，设b s，b r，b t成等差数列，则2b r=b s+b t，得到2s+2t-2r+1=（-1）s+（-1）t-2（-1）r，分t=r+1和t=r+2两类分析得答案．本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属难题．21.答案：解：由题意，可知：矩阵M的特征多项式f（λ）==（λ-a）（λ-2）+b．∵矩阵M的两个特征值分别为λ1=2，λ2=3．∴f（2）=0，且f（3）=0．即：，解得：．∴M=．由题意，可设P（x，y）是直线l上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P′（x′，y′），则P′在直线l′上．∴•=．即：=．∴，∴，∵P（x，y）是直线l上任意一点，∴可将代入直线l的方程，可得：．整理，得：x′-3y′+12=0．∴直线l′的方程为：x-3y+12=0．解析：本题主要考查根据特征值与特征多项式的相关概念得出矩阵中的参数，以及一条直线在矩阵对应的变换作用下得到的曲线，知道其中一条直线和相应的矩阵求出另一条直线方程,属中档题．本题先写出矩阵M的特征多项式，然后将两个特征值λ1=2，λ2=3代入特征多项式等于0，可得a、b的值．然后根据题意设P（x，y）是直线l上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P′（x′，y′），则P′在直线l′上．根据变换可用x′，y′表示出x，y，然后代入到直线l：x-y+2=0方程中可得到曲线l′的方程．22.答案：解：由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，所以圆C的直角坐标方程为x2+（y-1）2=1，由ρsin（θ+）=a，得ρ（sinθ+cosθ）=a，所以直线l的直角坐标方程为x+y-2a=0，因为直线l与圆C相切，所以=1，解得a=或a=-．解析：先把直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程，再根据相切得圆心到直线的距离等于半径列方程可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=|x+1|-|x-4|-a=，所以函数f（x）的最大值为5-a；（2）若存在x∈R，使成立，所以f（x）max≥+1，即5-a≥+1，当a＞0时，不等式化为a2-4a+4≤0，即（a-2）2≤0，解得a=2；当a＜0时，不等式化为a2-4a+4≥0，即（a-2）2≥0，不等式显然成立；所以实数a的取值范围是a=2或a＜0．解析：（1）利用分类讨论法去掉绝对值，即可求出函数f（x）的最大值；（2）存在x∈R使成立，等价于f（x）max≥+1，求对应不等式的解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立应用问题，是中档题．24.答案：（1）解：设动圆心C（x，y），由题意可得：动圆半径r=，圆心到y轴的距离为|x|，可得：=，化为：y2=4x．∴动圆圆心C的轨迹方程为：y2=4x．（2）证明：设直线l的方程为：x=ty+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为：y2-4ty-8=0．∴y1+y2=4t，y1y2=-8，由T（0，-），可得：=（x1，y1+），=（x1-2，y1）．∵，，∴λ=1+，μ=1+．∴λ+μ=1++1+=2+•=2+=1为定值．解析：（1）设动圆心C（x，y），由题意可得：动圆半径r=，圆心到y轴的距离为|x|，利用半径相等可得：=，化简即可得出动圆圆心C的轨迹方程．（2）设直线l的方程为：x=ty+2．设A（x1，y1），B（x2，y2）．与抛物线方程联立化为：y2-4ty-8=0．利用根与系数的关系、向量坐标运算性质即可得出．本题考查了两点之间的距离公式、圆的性质、抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25.答案：解：（1）因为．两边同时求导得：2020m（1+mx）2019=a1+2a2x+…+2020a2020x2019，当m=2时，取x=1得：4040×32019=a1+2a2+…+2020a2020，故答案为：4040×32019．（2）当m=-1时，（1-x）2020=-x+x2+…-x2019+x2020，又==×=×=（+），所以=[（+）-（+）+…+（+）]=（+）=，故答案为：．解析：（1）利用导数求展开式系数之和得：两边同时求导得：2020m（1+mx）2019=a1+2a2x+…+2020a2020x2019，当m=2时，取x=1得：4040×32019=a1+2a2+…+2020a2020，（2）由二项式的性质与运算得：当m=-1时，（1-x）2020=-x+x2+…-x2019+x2020，又==×=×=（+），所以=[（+）-（+）+…+（+）]=（+）=，得解．本题考查了利用导数求展开式系数之和及二项式的性质与运算，属中档题．。

2020年高考数学（4月份）模拟试卷一、填空题.1．设复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z＝．2．设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩∁U A＝．3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为．4．某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P （1，3），则其焦点到准线的距离为 ．7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为 ．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为 ． 9．以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以直线y ＝±x 为渐近线的双曲线标准方程为 ． 10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为√3 cm ，则圆锥的体积是 cm 3．11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +ln x4，记a n ＝f （n ﹣5），则数列{a n }的前8项和为 ．12．过曲线y ＝x −1x（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝ ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2＝1，O 1：（x ﹣4）2+y 2＝4，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，且点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 ．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则实数a的取值范围为．二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b＝c•cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．17．已知函数f（x）＝x2﹣2ax+1．（1）若函数g（x）＝log a[f（x）+a]（a＞0，a≠1）的定义域为R，求实数a的取值范围；（2）当x＞0时，恒有不等式f(x)x＞lnx成立，求实数a的取值范围．18．（16分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ．（1）若a ＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tan θ=12，当a 变化时，求x 的取值范围．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y =±be为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±2√3，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 20．（16分）已知数列{a n }的奇数项是公差为d 1的等差数列，偶数项是公差为d 2的等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，a 2＝2． （1）若S 5＝16，a 4＝a 5，求a 10；（2）已知S 15＝15a 8，且对任意n ∈N *，有a n ＜a n +1恒成立，求证：数列{a n }是等差数列； （3）若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ．求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4--2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．求矩阵[3113]的特征值及对应的特征向量．[选修4--4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =√6cosαy =√2sinα（α为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离． [选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．[必做题]第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4． （1）设AD →=λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为9√1050，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．25．设f （x ，n ）＝（1+x ）n ，n ∈N *．（1）求f （x ，6）的展开式中系数最大的项； （2）n ∈N *时，化简C n 04n ﹣1+C n14n ﹣2+C n 24n ﹣3+…+C nn−140+C n n 4﹣1；（3）求证：C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC nn =n ×2n ﹣1．参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．设复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z＝2﹣2i．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由（z+i）（2+i）＝5，得z+i=52+i=5(2−i)(2+i)(2−i)=5(2−i)5=2−i，∴z＝2﹣2i．故答案为：2﹣2i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2．设全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3}，则B∩∁U A＝{2}．【分析】先求出（∁U A），再根据交集的运算法则计算即可解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，3}，∴（∁U A）＝{2，4}∵B＝{2，3}，∴（∁U A）∩B＝{2}故答为：{2}【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题3．箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球，则摸到的2球颜色不同的概率为35．【分析】先求出基本事件总数和摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数，由此能求出摸到的2球颜色不同的概率．解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球和2只白球，一次摸出2只球， 基本事件总数n =C 52=10，摸到的2球颜色不同包含的基本事件个数m =C 31C 21=6，∴摸到的2球颜色不同的概率p =m n =610=35． 故答案为：35．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．4．某学校从高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高．据测量被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组[155，160）、第二组[160，165）、…、第八组[190，195]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分如图所示．估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数为 224 ．【分析】由频率分布直方图求出这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的频率，由此能估计这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的人数． 解：由频率分布直方图得：这所学校高三年级全体男生身高180cm 以上（含180cm ）的频率为：1﹣（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.28，∴估计这所学校高三年级全体男生身高180cm以上（含180cm）的人数为：800×0.28＝224．故答案为：224．【点评】本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查数据分析能力、运算求解能力，是基础题．5．阅读如图所示的程序框，若输入的n是30，则输出的变量S的值是240．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＝0时，满足条件n ＜2，退出循环，输出S的值，利用等差数列的求和公式即可计算得解．解：执行程序框图，有n＝30S＝0不满足条件n＜2，S＝30，n＝28不满足条件n＜2，S＝30+28，n＝26不满足条件n＜2，S＝30+28+26，n＝24…不满足条件n ＜2，S ＝30+28+26+…+4，n ＝2 不满足条件n ＜2，S ＝30+28+26+…+4+2，n ＝0 满足条件n ＜2，退出循环，输出S ＝30+28+26+…+4+2=15(2+30)2=240． 故答案为：240．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，等差数列的求和，属于基本知识的考查． 6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，若曲线C 经过点P （1，3），则其焦点到准线的距离为92．【分析】先设出抛物线的方程，把点P 代入即可求得p ，则抛物线的方程可得其焦点到准线的距离．解：由题意，可设抛物线的标准方程为y 2＝2px ，因为曲线C 经过点P （1，3），所以p =92，所以其焦点到准线的距离为92．故答案为：92．【点评】本小题主要考查抛物线的方程与性质，考查运算求解能力，比较基础．7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为35．【分析】先求出抛物线y 2＝4x 的焦点和双曲线x 216−y 29=1渐近线，由此能求出抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离．解：抛物线y 2＝4x 的焦点F （1，0），双曲线x 216−y 29=1渐近线为3x ±4y ＝0，∴抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 216−y 29=1渐近线的距离为：d =9+16=35． 故答案为：35．【点评】本题考查抛物线的焦点到双曲线的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线和抛物线的性质的合理运用．8．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝3，若点M 是BC 的中点，则三棱锥M ﹣PAD 的体积为 √3 ． 【分析】由AD ∥BC 可知S △ADM ＝S △ABD ，则V M ﹣PAD ＝V P ﹣ADM =13S △ADM ⋅PA ．【解答】解∵底面ABCD 是边长为2，锐角为60°的菱形，S △ADM ＝S △ADB =12×2×2×sin60°=√3， ∵PA ⊥底面ABCD ，∴V M ﹣PAD ＝V P ﹣ADM =13S △ADM ⋅PA =13×√3×3=√3． 故答案为√3．【点评】本题考查了棱锥的体积计算，属于基础题．9．以抛物线y2＝4x的焦点为焦点，以直线y＝±x为渐近线的双曲线标准方程为x212−y212=1．【分析】设以直线y＝±x为渐近线的双曲线的方程，再由双曲线经过抛物线y2＝4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．解：设以直线y＝±x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），∵双曲线经过抛物线y2＝4x焦点F（1，0），∴λ+λ＝1，∴λ=1 2∴双曲线方程为：x212−y212=1．故答案为：x212−y212=1．【点评】本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线的方程，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．10．一个圆锥的侧面积等于底面面积的2倍，若圆锥底面半径为√3cm，则圆锥的体积是3πcm3．【分析】根据面积比计算圆锥的母线长，得出圆锥的高，代入体积公式计算出圆锥的体积．解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则S侧面积＝πrl=√3πl，S底面积＝πr2＝3π．∴√3πl=2×3π，解得l＝2√3．∴圆锥的高h =√l 2−r 2=3．∴圆锥的体积V =13S 底面积⋅h =13π×3×3=3π． 故答案为：3π．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的面积和体积计算，属于基础题． 11．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝2x +ln x4，记a n ＝f （n ﹣5），则数列{a n }的前8项和为 ﹣24 ．【分析】通过f （x ）是R 上的奇函数及当x ＞0时的表达式可求出f （x ）的表达式，利用奇函数的对称性可知问题即求a 1即f （﹣4）的值，代入计算即得结论． 解：当x ＜0时，﹣x ＞0， ∵f （x ）是R 上的奇函数， ∴f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝﹣2﹣x ﹣ln−x 4，又∵f （0）＝0，∴f （x ）={2x +ln x4，x ＞00，x =0−(2−x +ln −x 4)，x ＜0，∵a n ＝f （n ﹣5），f （x ）是R 上的奇函数， ∴a 2+a 8＝a 3+a 7＝…＝a 4+a 6＝a 5＝0，∴数列{a n }的前8项和为a 1＝f （﹣4）＝﹣（24+ln 1）＝﹣24， 故答案为：﹣24．【点评】本题是一道关于数列与函数的综合题，涉及奇函数、数列的求和等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．12．过曲线y ＝x −1x（x ＞0）上一点P （x 0，y 0）处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝ √5 ．【分析】求得切点坐标，把切点的横坐标代入导函数求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线的方程，分别令x ＝0和y ＝0，求出三角形的底与高，由三角形的面积公式，解方程可得切点的横坐标．解：由题意可得y 0＝x 0−1x 0，x 0＞0，∵y ′＝1+1x 2， ∴切线的斜率为1+1x 02， 则切线的方程为y ﹣x 0+1x 0=（1+1x 02）（x ﹣x 0）， 令x ＝0得y =−2x 0；令y ＝0得x =2x 01+x 02， ∴△OAB 的面积S =12•2x 0•2x 01+x 0=13，解得x 0=√5（负的舍去）． 故答案为：√5．【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角形面积的计算，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2+y 2＝1，O 1：（x ﹣4）2+y 2＝4，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，且点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是 −203＜b ＜4 ．【分析】求出P 的轨迹方程，动点P 在直线x +√3y ﹣b ＝0上，满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，转化为直线与圆x 2+y 2+83x −163=0相交，即可求出实数b 的取值范围．解：由题意O（0，0），O1（4，0）．设P（x，y），则∵PB＝2PA，∴（x﹣4）2+y2＝4（x2+y2），∴x2+y2+83x−163=0，圆心坐标为（−43，0），半径为83，∵动点P在直线x+√3y﹣b＝0上，满足PB＝2PA的点P有且只有两个，∴直线与圆x2+y2+83x−163=0相交，∴圆心到直线的距离d=|−43−b|√1+383，∴−43−163＜b＜−43+163故答案为：−203＜b＜4．【点评】本题考查实数b的取值范围，考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，正确转化是关键．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若集合{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则实数a的取值范围为(−∞，16 ]．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），进行转化求解即可求解该不等式得答案．解：若{x|f（x﹣1）﹣f（x）＞0，x∈R}＝∅，则等价为f（x﹣1）﹣f（x）≤0恒成立，即f（x﹣1）≤f（x）恒成立，当x≥0时，f（x）=12（|x﹣a|+|x﹣2a|﹣3|a|）．若a ≤0，则当x ≥0时，f （x ）=12（x ﹣a +x ﹣2a +3a ）＝x ， ∵f （x ）是奇函数，∴若x ＜0，则﹣x ＞0，则f （﹣x ）＝﹣x ＝﹣f （x ）， 则f （x ）＝x ，x ＜0，综上f （x ）＝x ，此时函数为增函数，则f （x ﹣1）≤f （x ）恒成立， 若a ＞0，若0≤x ≤a 时，f （x ）=12[﹣x +a ﹣（x ﹣2a ）﹣3a ]＝﹣x ；当a ＜x ≤2a 时，f （x ）=12[x ﹣a ﹣（x ﹣2a ）﹣3a ]＝﹣a ；当x ＞2a 时，f （x ）=12（x ﹣a +x ﹣2a ﹣3a ）＝x ﹣3a ． 即当x ≥0时，函数的最小值为﹣a ， 由于函数f （x ）是定义在R 上的奇函数， 当x ＜0时，f （x ）的最大值为a ， 作出函数的图象如图：由于∀x ∈R ，f （x ﹣1）≤f （x ），故函数f （x ﹣1）的图象不能在函数f （x ）的图象的上方，结合图可得1﹣3a ≥3a ，即6a ≤1，求得0＜a ≤16，综上a ≤16，故答案为：（﹣∞，16]【点评】本题主要考查带有绝对值的函数，奇函数的性质，函数的图象特征，根据分段函数的性质，将条件转化不等式恒成立是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、解答题；本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→．（1）求角B的大小；（2）若b＝c•cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积．【分析】（1）由已知利用平面向量垂直的坐标运算，结合正弦定理和余弦定理可求cos B 的值，结合B的范围即可求出B的值；（2）由已知利用余弦定理，勾股定理的逆定理可得C=π2，根据三角形的内角和定理可求A=π6，进而利用正弦定理可求a，b的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵m→=（sin B﹣sin C，sin C﹣sin A），n→=（sin B+sin C，sin A），且m→⊥n→，∴（sin B﹣sin C）•（sin B+sin C）+（sin C﹣sin A）•sin A＝0，∴b2＝a2+c2﹣ac，∴cos B=a2+c2−b 22ac =ac2ac=12，∴由B∈（0，π），可得B=π3；（2）∵b＝c•cos A，∴cos A=bc =b2+c2−a22bc，整理可得：a2+b2＝c2，可得C=π2，∴A＝π﹣B﹣C═π6，∵△ABC的外接圆的半径为1，由正弦定理可得asinπ6=bsinπ3=2，∴解得：a＝1，b=√3，∴S△ABC=12ab=12×1×√3=√32．【点评】本题主要考查了平面向量垂直的坐标运算，正弦定理和余弦定理，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．16．如图．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O．（1）求证：A1，C1，F，E四点共面；（2）若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE．【分析】（1）连接AC，由EF是△ABC的中位线，可得EF∥AC，又AA1=∥CC1，可证AC∥A1C1，从而可证EF∥A1C1，即A1，C1，F，E四点共面；（2）连接BD，可证DD1⊥A1C1，又A1C1⊥B1D1，可证A1C1⊥平面BB1DD1，可得OD⊥A1C1，结合OD⊥A1E，即可证明OD⊥平面A1C1FE．【解答】（本题满分为14分）解：（1）连接AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，所以EF∥AC，由直棱柱知：AA1=∥CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1，…5分所以EF∥A1C1，故A1，C1，F，E四点共面；…7分，（2）连接BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1⊂平面A1B1C1D1，所以DD1⊥A1C1，因为底面A1B1C1D1是菱形，所以A1C1⊥B1D1，又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1DD1，…11分因为OD⊂平面BB1DD1，所以OD⊥A1C1，又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1⊂平面A1C1FE，A1E⊂平面A1C1FE，所以OD⊥平面A1C1FE…14分【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，线面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．17．已知函数f （x ）＝x 2﹣2ax +1．（1）若函数g （x ）＝log a [f （x ）+a ]（a ＞0，a ≠1）的定义域为R ，求实数a 的取值范围；（2）当x ＞0时，恒有不等式f(x)x＞lnx 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）由题可知x 2﹣2ax +1+a ＞0在R 上恒成立，利用二次函数的性质可得a 的范围；（2）整理不等式得x +1x −lnx ＞2a ，构造函数f （x ）＝x +1x−lnx ，利用导数求出函数的最小值即可．【解答】（1）由题意可知， x 2﹣2ax +1+a ＞0在R 上恒成立， ∴△＝4a 2﹣4﹣4a ＜0，∴0＜a ＜1+√52，且a ≠1；（2）∵f(x)x＞lnx ，∴x +1x −lnx ＞2a ，令f （x ）＝x +1x −lnx ，∴f '（x ）=−1x 2−1x+1， 令f '（x ）=−1x 2−1x +1＝0， ∴x =√5+12，∴x ∈（√5+12，+∞）时，f '（x ）＞0，f （x ）递增；x∈（0，√5+12）时，f'（x）＜0，f（x）递减；∴f（x）≥f（√5+12）=√5−ln√5+12，∴a＜12（√5−ln√5+12）．【点评】考查了对数函数，二次函数的性质和恒成立问题的转换．难点是利用导函数求出构造函数的最小值．18．（16分）如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB ＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ=12，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα=2.5x，tanβ=0.5x，则tanθ＝tan（α﹣β）=tanα−tanβ1+tanαtanβ=2xx2+1.25（x＞0），令u=2xx2+1.25，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤√11.25，即（tanθ）max=√11.25，∵正切函数y＝tan x在（0，π2）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x=22u=√1.25，∴观察者离墙√1.25米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ=12=4−ax−2−a x1+4−a x⋅2−a x=2x22，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【点评】本题考查应用两角和的正切公式及其函数的单调性与最值，注意解题方法的积累，属于中档题．19．（16分）在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率是e ，定义直线y =±be为椭圆的“类准线”，已知椭圆C 的“类准线”方程为y =±2√3，长轴长为4．（1）求椭圆C 的方程；（2）点P 在椭圆C 的“类准线”上（但不在y 轴上），过点P 作圆O ：x 2+y 2＝3的切线l ，过点O 且垂直于OP 的直线l 交于点A ，问点A 是否在椭圆C 上？证明你的结论． 【分析】（1）由题意列关于a ，b ，c 的方程，联立方程组求得a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1，则椭圆方程可求；（2）设P （x 0，2√3）（x 0≠0），当x 0=√3时和x 0=−√3时，求出A 的坐标，代入椭圆方程验证知，A 在椭圆上，当x 0≠±√3时，求出过点O 且垂直于0P 的直线与椭圆的交点，写出该交点与P 点的连线所在直线方程，由原点到直线的距离等于圆的半径说明直线是圆的切线，从而说明点A 在椭圆C 上．解：（1）由题意得：b e=ab c=2√3，2a ＝4，又a 2＝b 2+c 2，联立以上可得： a 2＝4，b 2＝3，c 2＝1． ∴椭圆C 的方程为x 24+13y 2＝1；（2）如图，由（1）可知， 椭圆的类准线方程为y ＝±2√3， 不妨取y ＝2√3，设P （x 0，2√3）（x 0≠0）， 则k OP =2√3x 0，∴过原点且与OP 垂直的直线方程为y =023x ， 当x 0=√3时，过P 点的圆的切线方程为x =√3， 过原点且与OP 垂直的直线方程为y =−12x ，联立{x =√3y =−12x，解得：A （√3，−√32），代入椭圆方程成立；同理可得，当x 0=−√3时，点A 在椭圆上； 当x 0≠±√3时，联立{y =0233x 2+4y 2=12，解得A 1（02，√3x√0），A 2（√0，√3x 0√9+x 02），PA 1所在直线方程为（2√3√9+x 02+√3x 0）x ﹣（x 0√9+x 02−6）y −√3x 02﹣12√3=0． 此时原点O 到该直线的距离d=√3x 02√3|√(2√3√9+x 02+√3x0)2+(x 0√9+x 02−6)2=√3，∴说明A 点在椭圆C 上；同理说明另一种情况的A 也在椭圆C 上． 综上可得，点A 在椭圆C 上．另解：设切点为（x 0，y 0），由圆上一点的切线方程可得 切线l 的方程为x 0x +y 0y ＝3，代入y ＝2√3，可得x =3−2√3y 0x 0， 即有P （3−2√3y 0x 0，2√3），k OP =√3x 03−23y 0，与OP垂直的直线，且过O的直线为y=√3y023x0x，代入x0x+y0y＝3，结合x02+y02＝3，可得x=√3x063−3y0，y=√3y02√3−y0，即为A（√3x06√3−3y，√3y02√3−y），由3（√3x06√3−3y ）2+4（√3y02√3−y）2=02√3y12−43y0+y02=12，则点A在椭圆C上．【点评】本题是新定义题，考查了椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属难题．20．（16分）已知数列{a n}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，S n是数列{a n}的前n项和，a1＝1，a2＝2．（1）若S5＝16，a4＝a5，求a10；（2）已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有a n＜a n+1恒成立，求证：数列{a n}是等差数列；（3）若d1＝3d2（d1≠0），且存在正整数m、n（m≠n），使得a m＝a n．求当d1最大时，数列{a n}的通项公式．【分析】（1）确定数列的前5项，利用S5＝16，a4＝a5，建立方程，求出d1＝2，d2＝3，从而可求a10；（2）先证明d1＝d2，再利用S15＝15a8，求得d1＝d2＝2，从而可证数列{a n}是等差数列；（3）若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ，在m ，n 中必然一个是奇数，一个是偶数．不妨设m 为奇数，n 为偶数，利用a m ＝a n ，及d 1＝3d 2，可得d 1=63m−n−1，从而可求当d 1最大时，数列{a n }的通项公式．【解答】（1）解：根据题意，有a 1＝1，a 2＝2，a 3＝a 1+d 1＝1+d 1，a 4＝a 2+d 2＝2+d 2，a 5＝a 3+d 1＝1+2d 1 ∵S 5＝16，a 4＝a 5，∴a 1+a 2+a 3+a 4+a 5＝7+3d 1+d 2＝16，2+d 2＝1+2d 1 ∴d 1＝2，d 2＝3． ∴a 10＝2+4d 2＝14（2）证明：当n 为偶数时，∵a n ＜a n +1恒成立，∴2+(n2−1)d 2＜1+n2d 1， ∴n2（d 2﹣d 1）+1﹣d 2＜0∴d 2﹣d 1≤0且d 2＞1当n 为奇数时，∵a n ＜a n +1恒成立，∴1+n−12d 1＜2+(n+12−1)d 2， ∴（1﹣n ）（d 1﹣d 2）+2＞0 ∴d 1﹣d 2≤0 ∴d 1＝d 2∵S 15＝15a 8，∴8+8×72d 1+14+7×62×d 2=30+45d 2 ∴d 1＝d 2＝2 ∴a n ＝n∴数列{a n }是等差数列；（3）解：若d 1＝3d 2（d 1≠0），且存在正整数m 、n （m ≠n ），使得a m ＝a n ，在m ，n中必然一个是奇数，一个是偶数 不妨设m 为奇数，n 为偶数∵a m ＝a n ，∴1+m−12d 1=2+(n2−1)d 2 ∵d 1＝3d 2，∴d 1=63m−n−1∵m 为奇数，n 为偶数，∴3m ﹣n ﹣1的最小正值为2，此时d 1＝3，d 2＝1∴数列{a n }的通项公式为a n ={32n −12，n 为奇数n2+1，n 为偶数． 【点评】本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查学生分析解决问题的能力，确定数列的通项是关键．[选做题]本题包括21、22、23三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4--2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．求矩阵[3113]的特征值及对应的特征向量．【分析】先根据特征值的定义列出特征多项式，令f （λ）＝0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量．解：特征多项式f （λ）═|λ−3−1−1λ−3|=（λ﹣3）2﹣1＝λ2﹣6λ+8 由f （λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4 将λ1＝2代入特征方程组，得{−x −y =0−x −y =0⇒x +y ＝0，可取[1−1]为属于特征值λ1＝2的一个特征向量同理，当λ2＝4时，由{x −y =0−x +y =0⇒x ﹣y ＝0，所以可取[11]为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．综上所述，矩阵[3113]有两个特征值λ1＝2，λ2＝4； 属于λ1＝2的一个特征向量为[1−1]，属于λ1＝4的一个特征向量为[11]．【点评】本题主要考查来了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于矩阵中的基础题．[选修4--4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：{x =√6cosαy =√2sinα（α为参数）．以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴，建立坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0，求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．【分析】由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得直线的普通方程，由点到直线的距离公式可得曲线C 上的点到直线的距离，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求最大距离．解：由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得：直线l 的极坐标方程：ρ（cos θ+√3sin θ）+4＝0， 即为x +√3y +4＝0，曲线C 上的点到直线l 的距离为d =√6cosα+√6sinα+4|1+3=4+2√3sin(α+π4)2=2+√3sin （α+π4）． 当α+π4=2k π+π2，即α＝2k π+π4，k ∈Z ，取得最大值2+√3．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线的距离公式和正弦函数的值域的运用，考查运算能力，属于中档题． [选修4--5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．【分析】作差，构建满足基本不等式的条件，利用基本不等式证明即可． 【解答】证：∵x ＞0，y ＞0，x ﹣y ＞0，∴2x +1x 2−2xy+y 2−2y =2(x −y)+1(x−y)2=(x −y)+(x −y)+1(x−y)2≥3√(x −y)21(x−y)23=3，当且仅当x ﹣y ＝1时取等号，∴2x +1x 2−2xy+y 2≥2y +3．【点评】本题考查基本不等式的运用，解题的关键是构建满足基本不等式的条件，属于中档题．[必做题]第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4．（1）设AD →=λAB →，异面直线AC 1与CD 所成角的余弦值为9√1050，求λ的值；（2）若点D 是AB 的中点，求二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．【分析】（1）以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值．（2）求出平面CDB 1的法向量和面CDB 1的一个法向量，利用向量法能求出二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值．解：（1）由AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，得∠ACB ＝90°…（1分）以CA 、CB 、CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则A （3，0，0），C 1（0，0，4），B （0，4，0），设D （x ，y ，z ），则由AD →=λAB →，得CD →=(3−3λ，4λ，0)，而AC 1→=(−3，0，4)， 根据9√1050=5√25λ2−18λ+9|，解得，λ=15或λ=−13．…（2）CD →=(32，2，0)，CB 1→=(0，4，4)，设平面CDB 1的法向量n 1→=（x ，y ，z ），则{n 1→⋅CD →=32x +2y =0n 1→⋅CB 1→=4y +4z =0，取x ＝4，得面CDB 1的一个法向量为n 1→=(4，−3，3)，… 而平面CBB 1的一个法向量为n 2→=(1，0，0)，并且＜n 1→，n 2→＞与二面角D ﹣CB 1﹣B 相等，所以二面角D ﹣CB 1﹣B 的余弦值为cosθ=cos ＜n 1→，n 2→＞=217√34． … （第（1）题中少一解扣（1分）；没有交代建立直角坐标系过程扣（1分）．第（2）题如果结果相差符号扣（1分）．）【点评】本题考查满足异面直线所成余弦值的实数值的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．25．设f（x，n）＝（1+x）n，n∈一、选择题*．（1）求f（x，6）的展开式中系数最大的项；（2）n∈N*时，化简C n04n﹣1+C n14n﹣2+C n24n﹣3+…+C n n−140+C n n4﹣1；（3）求证：C n1+2C n2+3C n3+⋯+nC n n=n×2n﹣1．【分析】（1）中间项的二项式系数（也是系数）最大；（2）在原式乘以4，然后逆用二项式定理即可；（3）根据C n k=C n n−k，将左边利用倒序相加法求和．解：（1）f（x，6）＝（1+x）n，通项为：T k+1=C6k x k，故各项的系数即为二项式系数，故系数最大的项为T4=C63x3=20x3．（2）C n04n﹣1+C n14n﹣2+C n24n﹣3+…+C n n−140+C n n4﹣1=14[C n04n+C n14n﹣1+C n24n﹣2+…+C n n−141+C n n]=14(4+1)n=5n4．（3）证明：令S＝C n1+2C n2+3C n3+⋯+（n﹣1）C n n−1+nC n n⋯⋯①，则S=nC n n+(n−1)C n n−1+(n−2)C n n−2+⋯+2C n2+C n1，所以S=nC n0+（n﹣1）C n1+（n﹣2）C n2+⋯+2C n n−2+C n n−1⋯⋯②，①+②得：2S＝n（C n0+C n1+⋯⋯+C n n）＝n•2n，∴S＝n•2n﹣1．【点评】本题考查二项式定理的通项、系数的性质以及赋值法．同时考查学生的逻辑推理和数学运算等数学核心素养．属于中档题．。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（一）（4月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={1，3，5}，B={2，3}，则集合A∪B中的元素个数为______．2.已知复数z=a+3i（i为虚数单位），若z2是纯虚数，则实数a的值为______．3.已知双曲线C：x2-y2=1，则点（4，0）到C的渐近线的距离为______．4.设命题p：x＞4；命题q：x2-5x+4≥0，那么p是q的______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．5.函数f（x）=的定义域为______．6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A=______．7.设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和为S n，若a4+a10=0，2S12=S2+10，则d的值为______．8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1-BB1D1D的体积为______．9.已知函数f（x）=sin x（x∈[0，π]）和函数g（x）=tan x的图象相交于A，B，C三点，则△ABC的面积为______．10.设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β．其中的正确命题序号是______．11.设x＞0，y＞0，向量=（1-x，4），=（x，-y），若∥，则x+y的最小值为______．12.已知函数f（x）=e x-e-x-2x，则不等式f（x2-4）+f（3x）＞0的解集为______．13.已知函数，若函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是______．14.已知直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，AB为圆C的直径，若在直线l上存在点P使得，则直线l的斜率k的取值范围是______．二、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点．（1）求的值；（2）若角β满足，求cosβ的值．16.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为菱形，且∠A1AB=60°，AC=BC，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求证：平面A1DC⊥平面ABC．17.已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E经过点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设点M是椭圆E上位于第一象限内的动点，A，B分别为椭圆E的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与y轴交于点D，求四边形ABCD的面积．18.某海警基地码头O的正西方向30海里处有海礁界碑A，过点A且与AO成60°角（即北偏东30°）的直线l为此处的一段领海与公海的分界线（如图所示）．在码头O 的正西方向且距离O点12海里的领海海面P处有一艘可疑船停留，基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发．若巡逻艇以可疑船的航速的λ倍（λ＞1）前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在点Q处截获可疑船．（1）若可疑船的航速为10海里/小时，λ=2，且可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，求巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间．（2）若要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，求λ的最小值．19.已知函数f（x）=ax3+bx2+4a，（a，b为常数）（1）若a=1，b=3．①求函数f（x）在区间[-4，2]上的最大值及最小值．②若过点（1，t）可作函数f（x）的三条不同的切线，求实数t的取值范围．（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤f（x）≤4x2恒成立，求a+b的取值范围．20.已知正项等比数列{a n}的前n项和为，且a3=a2+2，a2•a4=16．数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}的通项公式及其前n项和S n；（2）证明数列{b n}为等差数列，并求出{b n}的通项公式；（3）设数列，问是否存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，若存在，求出所有满足要求的m，n，l；若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：4解析：解：∵集合A={1，3，5}，B={2，3}，∴A∪B={1，2，3，5}，∴集合A∪B中的元素个数为4．故答案为：4．利用并集定义直接求解．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：±3解析：解：∵z=a+3i，∴z2=（a+3i）2=（a2-9）+6ai，由z2是纯虚数，得，解得：a=±3．故答案为：±3．由已知求得z2，再由实部为0且虚部不为0列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：2解析：解：双曲线C：x2-y2=1的渐近线方程为x±y=0，点（4，0）到C的渐近线的距离为d==2．故答案为：2．求得双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查点到直线的距离公式，属于基础题．4.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查的知识点是充分必要条件的判定，不等式的解法，难度中档．求解不等式，进而根据充要条件的定义，可得答案．【解答】解：命题q：x2-5x+4≥0⇔x≤1，或x≥4，x＞4成立，则x≤1，或x≥4，一定成立，反过来x≤1，或x≥4成立，则x＞4不一定成立，故p是q的充分不必要条件，故答案为充分不必要.5.答案：[e2，+∞）解析：解：要使f（x）有意义，则：ln x-2≥0；∴x≥e2；∴f（x）的定义域为：[e2，+∞）．故答案为：[e2，+∞）．可以看出，要使得函数f（x）有意义，则需满足ln x-2≥0，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的单调性，增函数的定义．6.答案：解析：【分析】由已知利用正弦定理可得sin B的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值可求B的值，根据三角形内角和定理可求A的值．本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解答】解：∵，∴由正弦定理，可得：sin B===，∵b＜c，B∈（0，），∴B=，∴A=π-B-C=π--=．故答案为：．7.答案：-10解析：【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式和求和公式，求解即可得答案．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．【解答】解：由a4+a10=0，2S12=S2+10，可得，解得d=-10，故答案：-108.答案：解析：【分析】本题考查几何体体积的求法，判断几何体的形状是解题的关键．求出四棱锥的底面面积与高，然后求解四棱锥的体积．【解答】解：由题意可知四棱锥A1-BB1D1D的底面是矩形，边长分别为1和，四棱锥的高：A1C1=,则四棱锥A1-BB1D1D的体积为：=．故答案为：．9.答案：π解析：【分析】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查学生的计算能力和推理能力，属于中档题．根据题意，令sin x=tan x，结合x∈[0，π]求出x的值，得出三个点A，B，C的坐标，即可计算△ABC的面积．【解答】解：根据题意，令sin x=tan x，则sin x（1-）=0，解得sin x=0或1-=0，∴sin x=0或cos x=．又x∈[0，π]，∴其中两点坐标分别为A(0，0)，B(π，0)，由，得，则点，∴△ABC的面积为，故答案为.10.答案：②④解析：解：由m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，知：在①中，若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故①错误；在②中，若m⊥α，m∥β，则由面面垂直的判断定理得α⊥β，故②正确；在③中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故③错误；在④中，若m⊥α，α∥β，则由线面垂直的判定定理得m⊥β，故④正确．故答案为：②④．在①中，α与β相交或平行；在②中，由面面垂直的判断定理得α⊥β；在③中，n∥α或n⊂α；在④中，由线面垂直的判定定理得m⊥β．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．11.答案：9解析：【分析】本题考查了向量平行的条件和基本不等式的应用，属于基础题．先根据向量平行得到+=1，再利用基本不等式即可求出最值．【解答】解：因为∥，所以4x+（1-x）y=0，又x＞0，y＞0，所以+=1，故x+y=（+）（x+y）=5++≥9．当=，+=1同时成立，即x=3，y=6时，等号成立．故（x+y）min=9．故答案为9．12.答案：{x|x＞1或x＜-4}解析：【分析】本题考查函数的单调性与奇偶性的判断以及应用，注意利用导数分析函数f（x）的单调性，属于基础题．【解答】解：根据题意，函数f（x）=e x-e-x-2x，有f（-x）=e-x-e x-2（-x）=-（e x-e-x-2x）=-f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）=e x+e-x-2=e x+-2≥0，即函数f（x）在R上为增函数，则f（x2-4）+f（3x）＞0⇒f（x2-4）＞-f（3x）⇒f（x2-4）＞f（-3x）⇒x2-4＞-3x，即x2+3x-4＞0，解可得：x＞1或x＜-4，故答案为{x|x＞1或x＜-4}．13.答案：（1，2]解析：【分析】本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.把函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，转化为方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象，数形结合得答案．【解答】解：函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，即方程f（x）-a=0有三个不同的实数根，作出y=f（x）与y=a的图象如图：由图可知，要使函数g（x）=f（x）-a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（1，2]．故答案为（1，2]．14.答案：（-，-1]∪[1，）解析：解：直线l：y=kx+3与圆C：x2+y2-2y=0无公共点，可得＞1，解得-＜k＜，设P（m，n），由题意可得+=2，两边平方可得2+2+2•=42，即为2[m2+（n-1）2+1]+2=4（m2+（n-1）2），化为m2+（n-1）2=2，即有P在直线l上，又在圆x2+（y-1）2=2上，可得≤，解得k≥1或k≤-1，综上可得k∈（-，-1]∪[1，）．故答案为：（-，-1]∪[1，）．由直线和圆无交点可得d＞r，求得k的范围，设出P（m，n），由题意可得+=2，两边平方，结合向量的数量积的性质和两点的距离公式，可得P在圆x2+（y-1）2=2上，又在直线l上，由直线和圆有交点的条件，解不等式可得所求范围．本题考查直线和圆的位置关系，注意运用向量的中点表示和向量数量积的性质，考查直线和圆有交点的条件，化简运算能力，属于中档题．15.答案：解：（1）∵角α的终边经过点，∴∴…………（4分）∴…………（7分）（2）∵，∴…………（9分）∵β=（α+β）-α，∴cosβ=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα∴当时，；…………（11分）当时，…………（13分）综上所述：或…………（14分）解析：（1）由角α的终边经过点P，结合三角函数的定义可求sinα，cosα，然后结合两角和的正弦公式可求（2）由，结合同角平方关系可求cos（α+β），然后根据β=（α+β）-α，及两角差的余弦可求本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦公式，同角平方关系，两角差的余弦公式等知识的综合应用，属于中档试题．16.答案：（1）证明：连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．∵三棱柱的侧面AA1C1C是平行四边形，∴E为AC1中点在△ABC1中，又∵D是AB的中点，∴DE∥BC1．∵DE⊂平面A1DC，BC1不包含于平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC（2）证明：∵ABB1A1为菱形，且∠A1AB=60°，∴△A1AB为正三角形∵D是AB的中点，∴AB⊥A1D．∵AC=BC，D是AB的中点，∴AB⊥CD．∵A1D∩CD=D，∴AB⊥平面A1DC．∵AB⊂平面ABC，∴平面A1DC⊥平面ABC．解析：（1）连结C1A，设AC1∩A1C=E，连结DE．由三角形中位线定理得到DE∥BC1．由此能证明BC1∥平面A1DC．（2）由已知条件得△A1AB为正三角形，从而得到AB⊥CD，进而得到AB⊥平面A1DC，由此能证明平面A1DC⊥平面ABC．本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．17.答案：解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点，所以，所以a=2，…………（3分）从而，故椭圆的方程为．…………（6分）（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），因为A（-2，0），且A，D，M三点共线，所以，解得，所以，…………（8分）同理得，…………（10分）因此，=，…………（12分）因为点M（x0，y0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD的面积为2．…………（14分）解析：（1）由椭圆的离心率及椭圆经过点，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设点M（x0，y0）（0＜x0＜2，0＜y0＜1），C（m，0），D（0，n），由A，D，M三点共线，解得，，同理得，可得=2本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，18.答案：解：（1）因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的2倍，可疑船的航速为10海里/小时，所以巡逻艇的航速为20海里/小时，且OQ=2PQ，设PQ=a，则OQ=2a；又可疑船沿北偏西30°的方向朝公海逃跑，所以∠QPO=120°，在△OPQ中，有OQ2=OP2+PQ2-2OP PQ cos∠OPQ，即4a2=a2+144-2×12a cos120°，故a2-4a-48=0，解得（负值舍去）；所以巡逻艇成功拦截可疑船所用时间为小时；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则P（-12，0），A（-30，0），设Q（x，y），因为巡逻艇的航速是可疑船的航速的λ倍，所以OQ=λPQ，故x2+y2=λ2[（x+12）2+y2]，即；故可疑船被截获的轨迹是以为圆心，以为半径的圆；又直线l的方程为，即，要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则：圆心在直线下方，且Q的轨迹与直线l至多只有一个公共点，所以且；即，解得，故要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船，则．解析：本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了数学模型应用问题，属于中档题．（1）由题意在△OPQ中，利用余弦定理列方程求出PQ的值，再计算巡逻艇成功拦截可疑船所用的时间；（2）以O为坐标原点，AO的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，利用坐标表示点与直线，求出可疑船被截获的轨迹是圆，以及要确保在领海内（包括分界线）成功拦截可疑船所满足的条件，从而求出λ的取值范围和最小值．19.答案：解：（1）因为a=1，b=3，所以f（x）=x3+3x2+4，从而f'（x）=3x2+6x．①令f'（x）=0，解得x=-2或x=0，列表：x-4（-4，-2）-2（-2，0）0（0，2）2f'（x）+-+f（x）-12↗8↘4↗24所以，（）max（），（）min．…………（分）②设曲线f（x）切线的切点坐标为，则，故切线方程为，因为切线过点（1，t），所以，即，…………（6分）令，则，所以，当x0∈（-∞，-1）∪（1，+∞）时，g'（x0）＞0，此时g（x0）单调递增，当x0∈（-1，1）时，g'（x0）＜0，此时g（x0）单调递减，所以g（x0）极小值=g（1）=t-8，g（x0）极大值=g（-1）=t，要使过点（1，t）可以作函数f（x）的三条切线，则需，解得0＜t＜8．…………（9分）（2）当x∈[1，4]时，不等式0≤ax3+bx2+4a≤4x2等价于，………（11分）令，则，所以，当x∈（1，2）时，h'（x）＜0，此时函数单调递减；当x∈（2，4）时，h'（x）＞0，此时函数单调递增，故h（x）min=3，h（x）max=5．…………（13分）若a=0，则0≤b≤4，此时0≤a+b≤4；若a≠0，则，从而a+b=2（3a+b）-（5a+b）∈[-4，8]；综上可得-4≤a+b≤8．…………（16分）解析：（1）①代入a，b的值，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；②设出切点坐标，表示出切线方程，结合函数的单调性得到关于t的不等式组，解出即可；（2）问题等价于，令，结合函数的单调性求出函数的最值，求出a+b的范围即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．20.答案：解：（1）设正项等比数列{a n}的公比为q（q＞0），则由a2•a4=16，得，从而a3=4，又由a3=a2+2，得a2=2，因此，，所以，．（2）方法一：因为，所以，从而数列是以为首项，为公差的等差数列，故，故，当n≥2时，，且n=1时适合，因此，b n=n，从而当n≥2时，b n-b n-1=1为常数，所以，数列{b n}为等差数列．方法二：因为，所以，当n≥2时，有，两式相减得：nT n+1=2nT n-nT n-1+n，即T n+1=2T n-T n-1+1，故T n+1-T n=T n-T n-1+1，即b n+1=b n+1，又由得T2=2T1+1=3，从而b2=T2-T1=2，故b2-b1=1，所以，数列{b n}为等差数列．（3）因为，所以，假设存在存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列，则，即，令，则原问题等价于存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得，即2d n'=d m'+d l'成立．因为（因为n≥3），故数列{d n}单调递增，若l'-n'≥2，即l'≥n'+2，则d l'≥d n'+2，从而，即d l'＞2d n'，而2d n'=d m'+d l'，因此，d m'＜0，这与d m'＞0恒成立矛盾，故只能有l'-n'=1，即l'=n'+1，从而，故，即，（*）①若n'为奇数，则记，从而，因为数列单调递增，所以数列单调递减，故当n'≥4时，，而2m'∈N*，故t∉N，因此，（*）式无正整数解．②若n'为偶数，则记，即，同理可得（*）无正整数解．综上，不存在存在正整数m'，n'，l'（3≤m'＜n'＜l'），使得c m'，c n'，c l'成等差数列，也即不存在正整数m，n，l（m＜n＜l），使得c m，c n，c l成等差数列．解析：（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式和数列的前n项和．（2）利用等差数列的定义和递推关系式求出数列的通项公式．（3）利用存在性问题的应用，利用数列的等差中项进行判断求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等差数列的通项公式和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于难题．。

2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【解答】解：由（1+i）z＝2i，&得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．—【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．$化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．:7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A 1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，~即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，[即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【解答】解：设点B的横坐标为m，;因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000倍．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．、2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，【设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．]即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2}．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，|即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，>设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共90分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．~【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，%∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，!又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝^＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．}【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．<解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．(18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，…所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝\所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．）①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），%而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n （n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；@当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．—令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，·∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，^设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．$【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．.（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d＝＝，？当sin（）＝1时，．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；}（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．&【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。