2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)

2020 年江苏省苏北七市（南通市、泰州市、扬州市、徐 州市、淮安市、连云港市、宿迁市）高考数学二模试卷题号 得分一二总分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分） 1. 已知集合 A={1，4}，B={a-5，7}．若 A∩B={4}，则实数 a 的值是______．2. 若复数 z 满足，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是______．3. 在一块土地上种植某种农作物，连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8， 10.3，10.8．则该农作物的年平均产量是______吨．4. 如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是______．5. “石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二 人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、 乙两人玩一次该游戏，则甲不输的概率是______．6. 在△ABC 中，已知 B=2A，AC= BC，则 A 的值是______． 7. 在等差数列{an}（n∈N*）中，若 a1=a2+a4，a8=-3，则 a20 的值是______． 8. 如图，在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2，则 的值是______．9. 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线（a＞0，b＞0）的左顶点为 A，右焦点为 F，过 F 作 x 轴的垂线交双曲线于点 P，Q．若△APQ 为直角三角形，则该双曲 线的离心率是______． 10. 在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在直线 y=2x 上，过点 P 作圆 C：（x-4）2+y2=8 的 一条切线，切点为 T．若 PT=PO，则 PC 的长是______．第 1 页，共 18 页11. 若 x＞1，则 2x+ + 的最小值是______．12. 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 y=ex 在点 P（x0，e ）处的切线与 x 轴相交于点 A， 其中 e 为自然对数的底数．若点 B（x0，0），△PAB 的面积为 3，则 x0 的值是______13. 图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2）），其中 OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，则的值是______．14. 设函数，若存在实数 m，使得关于 x 的方程 f（x）=m有 4 个不相等的实根，且这 4 个根的平方和存在最小值，则实数 a 的取值范围是 ______． 二、解答题（本大题共 11 小题，共 150.0 分）15. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 =（cosα，sinα）， =（cos（α+ ），sin（α+ ）），其中 0＜α＜ ．（1）求的值；（2）若 =（1，1），且∥ ，求 α 的值．16. 如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，点 P，Q 分别 为 AB1，CC1 的中点．求证： （1）PQ∥平面 ABC； （2）PQ⊥平面 ABB1A1．第 2 页，共 18 页17. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C：（x-3）2+y2=1，椭圆 E：（a＞b＞0）的右顶点 A 在圆 C 上，右准线与圆 C 相切． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设过点 A 的直线 l 与圆 C 相交于另一点 M，与椭圆 E 相交于另一点 N．当AN= AM 时，求直线 l 的方程．18. 某公园有一块边长为 3 百米的正三角形 ABC 空地，拟 将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花 卉．方案是：先建造一条直道 DE 将△ABC 分成面积之 比为 2：1 的两部分（点 D，E 分别在边 AB，AC 上）； 再取 DE 的中点 M，建造直道 AM（如图）．设 AD=x， DE=y1，AM=y2（单位：百米）． （1）分别求 y1，y2 关于 x 的函数关系式； （2）试确定点 D 的位置，使两条直道的长度之和最小， 并求出最小值．第 3 页，共 18 页19. 若函数 f（x）在 x0 处有极值，且 f（x0）=x0，则称 x0 为函数 f（x）的“F 点”． （1）设函数 f（x）=kx2-2lnx（k∈R）．①当 k=1 时，求函数 f（x）的极值；②若函 数 f（x）存在“F 点”，求 k 的值； （2）已知函数 g（x）=ax3+bx2+cx（a，b，c∈R，a≠0）存在两个不相等的“F 点”x1， x2，且|g（x1）-g（x2）|≥1，求 a 的取值范围．20. 在等比数列{an}中，已知 a1=1，．设数列{bn}的前 n 项和为 Sn，且 b1=-1，（n≥2，n∈N*）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：数列 是等差数列； （3）是否存在等差数列{cn}，使得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an？若存在，求出所 有符合题意的等差数列{cn}；若不存在，请说明理由．21. 已知矩阵 A=的逆矩阵 A-1=．若曲线 C1：换作用下得到另一曲线 C2，求曲线 C2 的方程．在矩阵 A 对应的变22. 在极坐标系中，已知曲线 C的方程为 ρ=（r r＞0），直线 l的方程为．设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，且 AB= ，求 r 的值．第 4 页，共 18 页23. 已知实数 x，y，z 满足，证明：．24. 小丽在同一城市开的 2 家店铺各有 2 名员工．节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂 1 人到该店维持营业，否则该店就停业． （1）求发生调剂现象的概率； （2）设营业店铺数为 X，求 X 的分布列和数学期望．25 我们称 n（n∈N*）元有序实数组（x1，x2，…，xn）为 n 维向量，为该向量的范数．已知 n 维向量 =（x1，x2，…，xn），其中 xi∈{-1，0，1}，i=1，2，…，n．记范数为奇数的 n 维向量 的个数为 An，这 An 个向量的范数之和为 Bn．（1）求 A2 和 B2 的值； （2）当 n 为偶数时，求 An，Bn（用 n 表示）．2020 年江苏省苏北七市（南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、连云港市、宿迁市）高考数学二模试卷【答案】1. 9 2. 3. 10答案和解析第 5 页，共 18 页4.5.6.7. -158.9. 2 10. 11. 8 12. ln613. 14. （-∞，1） 15. 解：（1）因为向量 =（cosα，sinα）， =（cos（α+ ），sin（α+ ）），其中 0＜α＜ ． 所以= • - 2= ． （2）因为 =（1，1），所以 ===．因为（ + ）∥ ，所以．于是，从而，即．因为，所以．于是，即．16. （1）证明：取 AB 的中点 D，连结 PD，CD．在△ABB1 中，因为 P，D 分别为 AB1，AB 中点，所以 PD∥BB1，且．直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1∥BB1，CC1=BB1．因为 Q 为棱 CC1的中点，所以 CQ∥BB1，且．于是 PD∥CQ，PD=CQ． 所以四边形 PDCQ 为平行四边形，从而 PQ∥CD． 又因为 CD⊂平面 ABC，PQ⊄平面 ABC，所以 PQ∥平面 ABC．第 6 页，共 18 页（2）证明：在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BB1⊥平面 ABC．又 CD⊂平面 ABC，所以 BB1⊥CD． 因为 CA=CB，D 为 AB 中点，所以 CD⊥AB． 由（1）知 CD∥PQ，所以 BB1⊥PQ，AB⊥PQ． 又因为 AB∩BB1=B，AB⊂平面 ABB1A1，BB1⊂平面 ABB1A1， 所以 PQ⊥平面 ABB1A1．17. 解：（1）记椭圆 E 的焦距为 2c（c＞0）．因为右顶点 A（a，0）在圆 C 上，右准线与圆 C：（x-3）2+y2=1 相切．所以解得于是 b2=a2-c2=3，所以椭圆方程为：；（2）法 1：设 N（xN，yN），M（xM，yM）， 显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：y=k（x-2）．由方程组消去 y 得，（4k2+3）x2-16k2x+16k2-12=0．所以，解得；由方程组消去 y 得，（k2+1）x2-（4k2+6）x+4k2+8=0，所以，解得；因为，所以；即，解得 k=±1，所以直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0． 法 2：设 N（xN，yN），M（xM，yM），当直线 l 与 x 轴重合时，不符题意．设直线 l 的方程为：x=ty+2（t≠0）．由方程组消去 x 得，（3t2+4）x2+12ty=0，所以；由方程组消去 x 得，（t2+1）x2-2ty=0，所以，因为，所以，即，解得 t=±1，所以直线 l 的方程为 x-y-2=0 或 x+y-2=0．18. 解：（1）∵，△ABC 是边长为 3 的等边三角形，又 AD=x，∴，得．第 7 页，共 18 页由，得 2≤x≤3．法 1：在△ADE 中，由余弦定理，得．∴直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为．在△ADM 和△AEM 中，由余弦定理，得 AD2=DM2+AM2-2DM•AM•cos∠AMD，① AE2=EM2+AM2-2EM•AM•cos（π-∠AMD），②∵M 为 DE 的中点，∴．由①+②，得，∴，得．∴直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为；法 2：在△ADE 中，∵，∴．∴直道 DE 长度 y1 关于 x 的函数关系式为．在△ADE 中，∵M 为 DE 的中点，∴．∴．∴直道 AM 长度 y2 关于 x 的函数关系式为；（2）由（1）得，两条直道的长度之和为=（当且仅当，即时取“=”）．答：当百米时，两条直道的长度之和取得最小值百米．19. 解：（1）①当 k=1 时，f （ x ）=x2-2ln x（k∈R），所以，令 f'（x）=0，得 x=1，……（2 分）列表如下：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）-0+f（x）↘极小值↗所以函数 f（x）在 x=1 处取得极小值，极小值为 1，无极大值． ……（4 分） ②设 x0 是函数 f（x）的一个“F 点”（x0＞0）．第 8 页，共 18 页因为，所以 x0 是函数 f'（x）的零点．所以 k＞0，由 f'（x0）=0，得，由 f（x0）=x0，得，即 x0+2lnx0-1=0．……（6 分）设 φ（x）=x+2lnx-1，则，所以函数 φ（x）=x+2lnx-1 在（0，+∞）上单调增，注意到 φ（1）=0，所以方程 x0+2lnx0-1=0 存在唯一实根 1，所以，得 k=1，根据①知，k=1 时，x=1 是函数 f（x）的极小值点， 所以 1 是函数 f（x）的“F 点”． 综上，得实数 k 的值为 1． ……（9 分） （2）因为 g （x）=ax3+bx2+cx （ a，b，c∈R，a≠0） 所以 g'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0）． 又因为函数 g （x）存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， 所以 x1，x2 是关于 x 的方程 3ax2+2bx+c=0（a≠0）的两个相异实数根．所以又 g （x1）=ax13+bx12+cx1=x1，g （x2）=ax23+bx22+cx2=x2， 所以 g （x1）-g （x2）=x1-x2，即（ax13+bx12+cx1）-（ax23+bx22+cx2）=x1-x2， 从而（ x1-x2）[a （x12+x1x2 +x22）+b （x1+x2 ）+c]=x1-x2．因为 x1≠x2，所以，即．所以 2（3ac-b2）=9a．………（13 分）因为|g （x1）-g （x2）|≥1， 所以=．解得-2≤a＜0．所以，实数 a 的取值范围为[-2，0）．……（16 分）20. 解：（1）设等比数列{an}的公比为 q，因为 a1=1，，所以，解得 ．所以数列{an}的通项公式为：．（2）由（1）得，当 n≥2，n∈N*时，，①所以，，②②-①得，，第 9 页，共 18 页所以，，即，n≥2，n∈N*．因为 b1=-1，由①得，b2=0，所以，所以，n∈N*．所以数列 是以-1 为首项，1 为公差的等差数列；（3）由（2）得 =-1+n-1=n-2，所以 bn= ，Sn=-2（an+1+bn+1）=-2（ + ）=- ， 假设存在等差数列{cn}，其通项 cn=dn+c， 使得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an， 即对任意 n∈N*，都有- ≤dn+c≤ ．③ 首先证明满足③的 d=0．若不然，d≠0，则 d＞0，或 d＜0． （i） 若 d＞0，则当 n＞ ，n∈N*时，cn=dn+c＞1≥≤ =an，这与 cn≤an 矛盾．（ii） 若 d＜0，则当 n＞- ，n∈N*时，cn=dn+c＜-1．而 Sn+1-Sn=- + = ≥0，S1=S2＜S3＜……，所以 Sn≥S1=-1． 故 cn=dn+c＜-1≤Sn，这与 Sn≤cn 矛盾．所以 d=0． 其次证明：当 x≥7 时，f（x）=（x-1）ln2-2lnx＞0． 因为 f′（x）=ln2- ＞ln2- ＞0，所以 f（x）在[7，+∞）上单调递增，所以，当 x≥7 时，f（x）≥f（7）=6ln2-2ln7=ln ＞0．所以当 n≥7，n∈N*，2n-1＞n2．……， 再次证明 c=0．（iii）若 c＜0 时，则当 n≥7，n＞- ，n∈N*，Sn=- ＞- ＞c，这与③矛盾．（iv）若 c＞0 时，同（i）可得矛盾．所以 c=0．当 cn=0 时，因为，，所以对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an．所以．综上，存在唯一的等差数列{ cn }，其通项公式为满足题设．第 10 页，共 18 页21. 解：因为 AA-1=E，所以，即．所以解得所以．设 P（x'，y'）为曲线 C1 任一点，则，又设 P（x'，y'）在矩阵 A 变换作用得到点 Q（x，y），则，即，所以即代入，得 y2+x2=1，所以曲线 C2 的方程为 x2+y2=1．22. 解：以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy，于是曲线 C：ρ=r（r＞0）的直角坐标方程为 x2+y2=r2，表示以原点为圆心，半径为 r 的 圆．由直线 l 的方程，化简得，所以直线 l 的直角坐标方程方程为 x-y-2=0． 记圆心到直线 l 的距离为 d，则，又，即 r2=2+7=9，所以 r=3．23. 证明：在三棱锥 V-ABC 中，VA，VB，VC 两两垂直，高 VO=1， 设 OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β， ∠OVC=γ， VA2=1+x2，VB2=1+y2，VC2=1+z2，由 + + =2，得sin2α+sin2β+sin2γ=2， 则 cos2α+cos2β+cos2γ=1，即有=1，由柯西不等式（ + + ）（）≥（++）2，则 + + ≤ 成立．24. 解：（1）记 2 家小店分别为 A，B，A 店有 i 人休假记为事件 Ai（i=0，1，2），B 店有 i 人，休假记为事件 Bi（i=0，1，2）， 发生调剂现象的概率为 P．第 11 页，共 18 页则，，．所以．故发生调剂现象的概率为 ．（2）依题意，X 的所有可能取值为 0，1，2．则，，．所以 X 的分布列为：X012P所以．25. 解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：（-1，0），（0，-1），（0，1），（1，0）， 它们的范数依次为 1，1，1，1，故 A2=4，B2=4；（2）当 n 为偶数时，在向量 =（x1，x2，x3…，xn）的 n 个坐标中，要使得范数为奇数，则 0 的个数一定是奇数， ∴可按照含 0 个数为：1，3，…，n-1 进行讨论：的 n 个坐标中含 1 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有个，每个 的范数为 n-1；的 n 个坐标中含 3 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有 …的 n 个坐标中含 n-1 个 0，其余坐标为 1 或-1，共有个，每个 的范数为 n-3； 个，每个 的范数为 1．∴，．∵，①，②得，，第 12 页，共 18 页∴．下面求解 Bn．解法 1：∵∴===．解法 2：得，又∵∴ =，=． ，==．【解析】1. 解：∵A∩B={4}，B={a-5，7}，∴4∈B， ∴a-5=4， ∴a=9． 故答案为：9． 根据 A∩B={4}即可得出 a-5=4，从而可得出 a 的值． 本题考查了列举法的定义，交集的定义及运算，元素与集合的关系，考查了计算能力， 属于基础题．2. 解：∵，∴z=（2+i）i=-1+2i， ∴|z|= ． 故答案为： ． 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3. 解：∵连续 5 年的产量（单位：吨）分别为 9.4，9.7，9.8，10.3，10.8．∴该农作物的年平均产量是=10．即该农作物的年平均产量是 10 吨． 故答案为：10． 由已知直接利用平均数公式求解． 本题考查函数模型的性质及应用，考查平均数的求法，是基础题．第 13 页，共 18 页4. 解：模拟程序的运行，可得S=15，k=1， S=15，不满足 S＜k，执行循环体，k=2，S= ，不满足 S＜k，执行循环体，k=3，S= ，此时，满足 S＜k，退出循环，输出 S 的值为 ．故答案为： ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟 程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的 结论，是基础题．5. 解：在石头、剪子和布中，二人各随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头．甲、乙两人玩一次该游戏， 甲、乙出拳的基本事件总数 n=3×3=9， 甲不输包含的基本事件个数 m=3×2=6，则甲不输的概率 P=．故答案为： ．甲、乙出拳的基本事件总数 n=3×3=9，甲不输包含的基本事件个数 m=3×2=6，由此能求 出甲不输的概率． 本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6. 解：∵B=2A，AC= BC，∴由正弦定理，可得： = =，可得 cosA= ，∵A∈（0，π），∴A= ．故答案为： ．由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求得 cosA= ，结合范围 A∈（0，π），即可求解 A 的值． 本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思 想，属于基础题．7. 解：∵等差数列{an}（n∈N*）中，a1=a2+a4，a8=-3，∴，解得 a1=4，d=-1， ∴a20=4-19=-15． 故答案为：-15． 利用等差数列通项公式列出方程组，求出 a1=4，d=-1，由此能求出 a20．第 14 页，共 18 页本题考查等差数列的第 20 项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．8. 解：在体积为 V 的圆柱 O1O2 中，以线段 O1O2 上的点 O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为 V1，V2， ∵上下底面为底面的两个圆锥全等，且圆锥的底面和圆柱的底面全等， 圆锥的高是圆的高的一半，∴ ===．故答案为： ．推导出 = =，由此能求出结果．本题考查体积的比值的求法，考查圆柱的体积和圆锥的体积等基础知识，考查运算求解 能力，是基础题．9. 解：∵过双曲线的右焦点 F 作与实轴垂直的直线交双曲线 E 于 B，C 两点，∴设 x=c，得，解之得 y=± ，得 B（c， ）、C（c，- ），∵左顶点 A（-a，0）与 B、C 构成直角三角形， ∴根据双曲线的对称性，得 A 到 BC 的距离等于 BC 长的一半，可得 c+a= ，即 c+a= ，化简得 c2-ac-2a2=0，两边都除以 a2，得 e2-e-2=0，解之得 e=2（舍负）， 即双曲线 E 的离心率为 2． 故答案为：2．利用双曲线方程算出 B（c， ）、C（c，- ），由双曲线的性质得△ABC 为等腰直角三角形，可得 A 到 BC 的距离等于 BC 长的一半，由此建立关于 a、b、c 的等式，化简整理为关于离心率的方程，即可解出双曲线 E 的离心率．本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、直角三角形的性质等知识，属于中档题．10. 解：根据题意，点 P 在直线 y=2x 上，设 P 的坐标为（t，2t），圆 C：（x-4）2+y2=8，其圆心为（4，0），半径 r=2 ，过点 P 作圆 C：（x-4）2+y2=8 的一条切线，切点为 T，若 PT=PO，则|PC|2-|PT|2=|PC|2-|PO|2=r2，即[（t-4）2+（2t-0）2]-[（t-0）2+（2t-0）2]=8，变形可得：8t=8，即 t=1；故 P 的坐标为（1，2），则|PC|==，故答案为：根据题意，设 P 的坐标为（t，2t），由圆的切线的性质可得|PC|2-|PT|2=|PC|2-|PO|2=r2，即[（t-4）2+（2t-0）2]-[（t-0）2+（2t-0）2]=8，解可得 t 的值，即可得 P 的坐标，计算PC 的长即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线的性质以及应用，属于基础题．11. 解：若 x＞1，2x+ + =x+1+=8，当且仅当 x+1=3，x-1=1，即 x=2 时取等号，故 2x+ + 的最小值是 8，第 15 页，共 18 页故答案为：8． 由 x＞1，把 2x 写出 x+1+x-1，利用基本不等式求出最小值即可． 本题考查基本不等式的应用，考查了运算能力，基础题．12. 解：由 y=ex，得 y′=ex，则，∴曲线在点 P（x0，e ）处的切线方程为 y-e =，取 y=0，得 x=x0-1，则 A（x0-1，0） 又 P（x0，e ），B（x0，0），∴，即 x0=ln6．故答案为：ln6． 写出曲线在点 P（x0，e ）处的切线方程，取 y=0 求得 A 点坐标，写出三角形 PAB 的 面积，由△PAB 的面积为 3 求得 x0 的值． 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查三角形面积的求法，是基础题．13. 解：记 OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，根据题意 OA1=A1A2=A2A3=…A7A8=1， 在直角三角形中，由勾股定理得： an2=an-12+1， ∴{an2}是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列， ∴an2=n， ∴an= ； 所以：OA8= ；OA7= ；OA6= ；∴sin∠A6A7O= = ；∴=1×1×cos[180°-（90°+∠A6A7O）]=sin∠A6A7O= ；故答案为： ．根据所给的直角三角形中的边长，根据勾股定理得到连续两项之间的关系，得到{an2} 是以 1 为首项，以 1 为公差的等差数列，写出通项，得到结果 本题主要考查平面向量的数量积，根据已知条件求出 OAn 的规律是解决本题的关键．14. 解：不妨设这四个根分别为 x1，x2，x3，x4，且 x1＜x2＜x3＜x4，作出函数 f（x）的示意图如下：由图可知：a＜2，且 x1+x4=x2+x3=8，其中 x2∈（2a，4）， 又由 f（x1）=f（x2）=a 可得 x1= ，第 16 页，共 18 页则 x12+x22+x32+x42= +x22+（8- ）2+（8-x2）2，令 x2+ =t∈（2a+1，4+22a-2），则 x12+x22+x32+x42=2t2-16t+128-22a-2，因为平方和存在最小值，即当 t=4 时取得，则只需 2a+1＜4＜4+22a-2， 解得 a＜1， 故答案为：（-∞，1）． 作出函数 f（x）的示意图可得 a＜2，结合图象可得 x1+x4=x2+x3=8，其中 x2∈（2a，4）， 用含 x2 的式子表示出平方和，则根据平方和存在最小值可得 a 的取值范围． 本题考查分段函数零点个数与函数图象交点的转化，数形结合思想，属于中档偏难题．15. （1）直接代入数量积的计算公式，再利用特殊角的三角函数值求解即可．（2）求出 + ，利用向量共线的等价结论以及角的范围即可求解．本题考查了数量积运算性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题．16. （1）取 AB 的中点 D，连结 PD，CD．只需证明 PQ∥CD，即可证明 PQ∥平面 ABC．（2）只需证明 CD⊥平面 ABB1A1，即可证明 PQ⊥平面 ABB1A1． 本题考查直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的证明，考查空间想象能力，逻 辑推理能力．17. （1）由椭圆的方程求出右顶点 A 的坐标，由题意 A 在圆 C 上，代入圆的方程可得a 的值，再由圆心到右准线的距离等于半径求出 c 的值，再由 a，b，c 之间的关系求出 椭圆的方程；（2）设直线 l 的方程与椭圆联立求出 N 的坐标，与圆联立求出 M 的坐标，再由 AN= AM可得参数的值，即求出直线 l 的方程． 本题考查求椭圆的标准方程的方法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．18. （1）由面积关系可得 AE，再由 AD、AE 均大于 0 小于 3 求解 x 的范围．法一：在△ADE 中，由余弦定理，求得 y1 关于 x 的函数关系式；在△ADM 和△AEM 中， 由余弦定理可得 y2 关于 x 的函数关系式；法二：在△ADE 中，由，求向量的模可得 y1 关于 x 的函数关系式；在△ADE中，由 M 为 DE 的中点，得．再求向量的模可得 y2 关于 x 的函数关系式；（2）由（1）中的两函数解析式作和，再由基本不等式求最值． 本题考查函数模型的性质及应用，考查余弦定理在求解三角形中的应用，考查向量模的 求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．19. （1）①当 k=1 时，f （ x ）=x2-2ln x（k∈R），求导后，令 f'（x）=0，通过列表分析，可求得函数 f（x）的极值； ②由 f（x0）=x0，及 f'（x0）=0，即可求得 k 的值； （2）由于 g'（x）=3ax2+2bx+c（a≠0），函数 g （x）存在不相等的两个“F 点”x1 和 x2， ⇒x1，x2 是关于 x 的方程 3ax2+2bx+c=0（a≠0）的两个相异实数根，由此可求得 2（3ac-b2） =9a， 再将|g（x1）-g（x2）|≥1，转化为=．即可求得 a 的取值范围． 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性及极值，考查等价转化思想及函数与方程思 想的应用，考查逻辑思维与综合运算能力，属于难题．第 17 页，共 18 页20. （1）因为 a1=1，，所以，解得 q．进而写出数列{an}的通项公式；（2）当 n≥2，n∈N*时，①，②，②-①得，，所以，，即，n≥2，n∈N*，进而得证；（3）求得 bn，Sn，假设存在等差数列{cn}，其通项 cn=dn+c，使得对任意 n∈N*，都有Sn≤cn≤an，即对任意 n∈N*，都有- ≤dn+c≤ ．通过讨论 d＞0，d＜0 不成立，得到 d=0，再考虑 c＞0，c＜0，推理论证，运用构造函数法，通过单调性，可得对任意 n∈N*，都有 Sn≤cn≤an．所以．本题考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的递推式， 考查分类讨论思想和反证法思想，化简运算能力和推理能力，属于难题．21. 根据 AA-1=E，可求出参数，然后根据点的变换求出对应变换后的方程．本题考查矩阵的逆的有关知识，以及求曲线经过矩阵变换后的曲线，属于中等题．22. 直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换和点到直线的距离公式的应用及勾股定理的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距 离公式的应用，勾股定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属 于基础题型．23. 构造三棱锥 V-ABC 中，VA，VB，VC 两两垂直，高 VO=1，设 OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，由条件推出得 sin2α+sin2β+sin2γ=2，则 cos2α+cos2β+cos2γ=1，即有=1，再由柯西不等式，即可得证．本题考查不等式的证明，考查运用柯西不等式证明不等式，但必须构造三棱锥证得一个 等式，具有一定的难度．24. （1）记 2 家小店分别为 A，B，A 店有 i 人休假记为事件 Ai（i=0，1，2），B 店有i 人，休假记为事件 Bi（i=0，1，2），发生调剂现象的概率 P=P（A0B2）+P（A2B0）．由 此能求出发生调剂现象的概率． （2）X 的所有可能取值为 0，1，2．分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数 学期望． 本题考查概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘 法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．25. （1）列出范数为奇数的二元有序实数对，分别求其范数，则 A2 和 B2 可求；（2）当 n 为偶数时，在向量 =（x1，x2，x3…，xn）的 n 个坐标中，要使得范数为奇数，则 0 的个数一定是奇数，然后分含 0 个数为：1，3，…，n-1 进行讨论，分别求得范数 及范数的和，再由二项式定理及组合数公式化简即可． 本题是新定义题，考查数列与向量的综合，考查组合与组合数公式的应用，考查计算能 力，正确理解题意是解答该题的关键，属难题．第 18 页，共 18 页。

2020届高三模拟考试试卷数 学(满分160分，考试时间120分钟)2020．5参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝圆柱的体积公式：V圆柱＝Sh ，其中S 是圆柱的底面积，h 为高．圆柱的侧面积公式：S 圆柱侧＝cl ，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长．球的体积公式：V 球＝43πR 3，球的表面积公式：S 球＝4πR 2，其中R 为球的半径．一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知集合M ＝{－2，－1，0，1}，N ＝{x|x 2＋x ≤0}，则M ∩N ＝________．2. 已知复数a ＋i2＋i为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是________．3. 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是________． Read xIf x ＜0 Then m ←2x ＋1 Elsem ←2－3x End If Print m(第4题)4. 根据如图所示的伪代码，当输入的x 为－1时，最后输出m 的值是________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为5，则该双曲线的渐近线的方程是____________．6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答．若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是________．7. 将函数f(x)＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移φ个单位长度得到函数g(x)的图象．若g(x)为奇函数，则φ的最小正值是________．8. 已知非零向量b 与a 的夹角为120°，且|a|＝2，|2a ＋b|＝4，则|b|＝________．9. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，且8a 1，a 3，6a 2成等差数列，则a 7＋2a 8a 5＋2a 6的值是________．10. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(－10，0)的圆M 与圆x 2＋y 2－6x －6y ＝0相切于原点，则圆M 的半径是________．11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R ，酒杯内壁表面积为143πR 2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V 1，下部分(半球)的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．12. 已知函数f(x)＝log a x(a>1)的图象与直线y ＝k(x －1)(k ∈R )相交．若其中一个交点的纵坐标为1，则k ＋a 的最小值是________．13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4x ＋1，x ≥0，（x ＋2）2，x<0.若关于x 的不等式f(x)－mx －m －1<0(m ∈R )的解集是(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)，x 1<x 2<x 3，则m 的取值范围是________．14. 如图，在△ABC 中，AC ＝32BC ，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且AM ＝13AC ，BN ＝12BC.若BM 与AN 相交于点P ，则CPAB的取值范围是________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. (本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c. (1) 若2acos C ＝b ，且sin 2C ＝sin Asin B ，求B 的值； (2) 若cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，求tan Atan C 的值．16. (本小题满分14分)如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，侧面BCC 1B 1是矩形，点E ，F 分别为BC ，A 1B 1的中点．求证：(1) BC ⊥AC 1；(2) EF ∥平面ACC 1A 1.17.(本小题满分14分)如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道(假设河道足够长)，现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸的距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC.为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥．为了使桥的总长度l(即△ABC的周长)最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设∠ABD＝α，求出l关于α的函数解析式f(α)，并求出f(α)的最小值．方案2：设EC＝x米，求出l关于x的函数解析式g(x)，并求出g(x)的最小值．请从以上两种方案中自选一种解答．(注：如果选用了两种方案解答，则按第一种解答计分)18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>0，b>0)短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为833.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 直线l ：y ＝kx ＋m(k>0，m ≠0)与椭圆C 交于P ，Q 两点，设直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.已知k 2＝k 1·k 2.①求k 的值；②当△OPQ 的面积最大时，求直线PQ 的方程．19. (本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，n ∈N *，λ∈R . (1) 若λ＝－3，a 2＝－1，求a 3的值；(2) 若数列{a n }的前k 项成公差不为0的等差数列，求k 的最大值；(3) 若a 2>0，是否存在λ∈R ，使{a n }为等比数列？若存在，求出所有符合题意的λ的值；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分16分)对于定义在D 上的函数f(x)，若存在k ∈R ，使f(x)<kx 恒成立，则称f(x)为“m(k)型函数”；若存在k ∈R ，使f(x)≥kx 恒成立，则称f(x)为“M(k)型函数”．已知函数f(x)＝(1－2ax)ln x(a ∈R )．(1) 设函数h 1(x)＝f(x)＋1(x ≥1)．若a ＝0，且h 1(x)为“m(k)型函数”，求k 的取值范围；(2) 设函数h 2(x)＝f(x)＋1x .求证：当a ＝－12时，h 2(x)为“M(1)型函数”；(3) 若a ∈Z ，求证：存在唯一整数a ，使得f(x)为“m(14)型函数”．2020届高三模拟考试试卷(十四)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 在A ，B ，C 三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221.(1) 求矩阵A ；(2) 若向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，计算A 2α.B. (选修44：坐标系与参数方程)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos (θ＋π3)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)若实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋3z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值．【必做题】 第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y 2＝2px(p>0)，过点M(4p ，0)的直线l 交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点．当AB 垂直于x 轴时，△OAB 的面积为2 2.(1) 求抛物线的方程；(2) 设线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T. ①求证：y 1y 2为定值；②若OA ∥TB ，求直线l 的斜率．23. 设n ∈N *，k ∈N ，n ≥k.(1) 化简：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2；(2) 已知(1－x)2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，记F(n)＝(n ＋1)ka k.求证：F(n)能被2n ＋1整除．2020届高三模拟考试试卷(南通)数学参考答案及评分标准1. {－1，0}2. －123. 854. 325. y ＝±2x6. 12 7. π6 8. 4 9. 16 10. 52 11. 2 12. 313. (0，2)∪(2，3) 14. (15，2)15. 解： (1) 在△ABC 中，由余弦定理得2a·a 2＋b 2－c 22ab ＝b ，化简得a 2＝c 2，即a ＝c.(2分)因为sin 2C ＝sin Asin B ，且a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R(R 为△ABC 外接圆半径)，所以c 2＝ab ，(4分)所以c ＝a ＝b ，所以△ABC 为正三角形， 所以B ＝π3.(6分)(2) 因为cos(2A ＋B)＋3cos B ＝0，且B ＝π－(A ＋C)， 所以cos[π＋(A －C)]＋3cos[π－(A ＋C)]＝0，(8分) 所以cos(A －C)＝－3cos(A ＋C)，(10分)即cos Acos C ＋sin Asin C ＝－3cos Acos C ＋3sin Asin C ， 所以2cos Acos C ＝sin Asin C ．(12分)在斜三角形ABC 中，因为A ≠π2，C ≠π2，所以cos A ≠0，cos C ≠0，所以tan Atan C ＝2.(14分)16. 证明：(1) 因为侧面BCC 1B 1是矩形，所以BC ⊥CC 1.因为平面ACC 1A 1⊥平面BCC 1B 1，平面ACC 1A 1∩平面BCC 1B 1＝C 1C ，BC ⊂平面BCC 1B 1， 所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(4分) 因为AC 1⊂平面ACC 1A 1， 所以BC ⊥AC 1.(6分)(2) 取A 1C 1的中点G ，连结FG ，CG.在△A 1B 1C 1中，点F ，G 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点， 所以FG ∥B 1C 1，且FG ＝12B 1C 1.(8分)在矩形BCC 1B 1中，点E 是BC 的中点， 所以EC ∥B 1C 1，且EC ＝12B 1C 1，所以EC ∥FG ，且EC ＝FG.(10分) 所以四边形EFGC 为平行四边形， 所以EF ∥GC.(12分)因为EF ⊄平面ACC 1A 1，GC ⊂平面ACC 1A 1， 所以EF ∥平面ACC 1A 1.(14分) 17. 解：方案1：因为AB ⊥AC ， 所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°.在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ＝α，α∈(0，π2)．(2分)因为AD ＝AE ＝50，在Rt △ADB 和Rt △AEC 中，AB ＝50sin α，AC ＝50cos α，(4分) 所以BC ＝（50sin α）2＋（50cos α）2＝501sin 2α＋1cos 2α＝50sin αcos α， 所以f(α)＝50(1sin α＋1cos α＋1sin αcos α)＝50(sin α＋cos α＋1sin αcos α)，其中α∈(0，π2)．(7分)(解法1)设t ＝sin α＋cos α，则t ＝sin α＋cos α＝2sin (α＋π4)．因为α∈(0，π2)，所以t ∈(1，2]．(9分)因为t 2＝1＋2sin αcos α，所以sin αcos α＝t 2－12，所以y ＝50（t ＋1）t 2－12＝100t －1，(12分)所以当t ＝2时，f (α)min ＝1002－1＝100＋100 2. 答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分)(解法2)f′(α)＝50（cos α－sin α）（－1－sin αcos α－sin α－cos α）（sin αcos α）2.(10分)因为α∈(0，π2)，所以－1－sin αcos α－sin α－cos α<0，(sin αcos α)2>0.当α∈(0，π4)时，cos α－sin α>0，f ′(α)<0，f (α)单调递减；当α∈(π4，π2)时，cos α－sin α<0，f ′(α)>0，f (α)单调递增．(12分)所以当α＝π4时，f (α)取得最小值，最小值为(100＋1002)米．答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 方案2：因为AB ⊥AC ，所以∠EAC ＋∠BAD ＝90°. 在Rt △ABD 中，∠ABD ＋∠BAD ＝90°， 所以∠EAC ＝∠ABD ， 所以Rt △CAE ∽Rt △ABD, 所以AC AB ＝ECAD.(2分)因为EC ＝x ，AC ＝AE 2＋EC 2＝ 2 500＋x 2，AD ＝50， 所以AB ＝50 2 500＋x 2x .(4分)BC ＝AB 2＋AC 2＝5 000＋x 2＋2 5002x 2＝x ＋2 500x， 所以g(x)＝ 2 500＋x 2＋50 2 500＋x 2x ＋(x ＋2 500x)，x>0.(7分)因为x>0， 所以g(x)≥2 2 500＋x 2·50 2 500＋x 2x＋2x·2 500x(10分)＝250（2 500x＋x ）＋100≥250×22 500x·x ＋100＝1002＋100.(12分) 当且仅当 2 500＋x 2＝50 2 500＋x 2x ，且2 500x ＝x ，即x ＝50时取“＝”．所以g(x)min ＝100＋1002，答：景观桥总长度的最小值为(100＋1002)米．(14分) 18. 解：(1) 设椭圆的焦距为2c ，则c 2＝a 2－b 2.因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以c ＝3b. 又两准线间的距离为833，则2a 2c ＝833，所以a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(3分)(2) ① 设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，Δ＝64k 2m 2－4(4k 2＋1)(4m 2－4)>0，化简得m 2<4k 2＋1， 所以x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1.又OP 的斜率k 1＝y 1x 1，OQ 的斜率k 2＝y 2x 2，所以k 2＝k1·k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2x 1x 2，(6分) 化简得km(x 1＋x 2)＋m 2＝0， 所以km·－8km4k 2＋1＋m 2＝0.因为m ≠0，即4k 2＝1，又k>0，所以k ＝12.(8分)②由①得k ＝12，直线PQ 的方程为y ＝12x ＋m ，且x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－2，m 2<2.又m ≠0，所以0<||m < 2.所以PQ ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝52|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝5·2－m 2，(10分)点O 到直线PQ 的距离d ＝|m|12＋（12）2＝25|m|，(12分) 所以S △OPQ ＝12PQ ·d ＝12×5·2－m 2·25|m|＝m 2（2－m 2）≤m 2＋（2－m 2）2＝1，当且仅当m 2＝2－m 2，即m ＝±1时，△OPQ 的面积最大， 所以直线PQ 的方程为y ＝12x ±1.(16分)19. 解：记λa n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1为(*)式．(1) 当λ＝－3时，(*)式为－3a n ＋1＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1， 令n ＝1得－3a 2＋S 1·S 3＝S 22，即－3a 2＋a 1·(a 1＋a 2＋a 3)＝(a 1＋a 2)2. 由已知a 1＝1，a 2＝－1，解得a 3＝－3.(2分)(2) 因为前k 项成等差数列，设公差为d ，则a 2＝1＋d ，a 3＝1＋2d. 若k ＝3，则S 2＝2＋d ，S 3＝3＋3d.在(*)式中，令n ＝1得λa 2＋S 1·S 3＝S 22，所以λ(1＋d)＋3＋3d ＝(2＋d)2，化简得d 2＋d ＋1＝λ(1＋d) ①.(4分) 若k ＝4，则S 4＝4＋6d.在(*)式中，令n ＝2得λa 3＋S 2·S 4＝S 23，所以λ(1＋2d)＋(2＋d)(4＋6d)＝(3＋3d)2， 化简得3d 2＋2d ＋1＝λ(1＋2d) ②.②－①，得2d 2＋d ＝λd ，因为公差不为0，所以d ≠0，所以2d ＋1＝λ，代入①得d 2＋2d ＝0，所以d ＝－2，λ＝－3. 所以k ＝4符合题意．(6分)若k ＝5，则a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－3，a 4＝－5，a 5＝－7，S 3＝－3，S 4＝－8，S 5＝－15.在(*)式中，令n ＝3得－3a 4＋S 3S 5＝－3×(－5)＋(－3)×(－15)＝60，S 24＝(－8)2＝64， 所以－3a 4＋S 3S 5≠S 24，所以k 的最大值为4.(8分) (3) 假设存在λ∈R ，使{a n }为等比数列．设前3项分别为1，q ，q 2，则S 1＝1，S 2＝1＋q ，S 3＝1＋q ＋q 2， (*)式中，令n ＝1得λq ＋(1＋q ＋q 2)＝(1＋q)2，化简得q(λ－1)＝0. 因为q ＝a 2>0，所以λ＝1.(10分) 此时(*)式为(S n ＋1－S n )＋S n ·S n ＋2＝S 2n ＋1，即S n ＋1(S n ＋1－1)＝S n (S n ＋2－1) (**)． 由S 1＝1，S 2＝1＋a 2>1，得S 3>1; 由S 2，S 3>1得S 4>1，…依次类推，S n ≥1>0，所以(**)等价于S n ＋2－1S n ＋1＝S n ＋1－1S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋1－1S n 为常数列， 所以S n ＋1－1S n ＝S 2－1S 1＝a 2.(14分)于是n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1－1＝a 2S n ，S n －1＝a 2S n －1，两式相减得a n ＋1＝a 2·a n .因为a 2＝a 2·a 1，所以a n ＋1＝a 2·a n (n ∈N *)．又a 1，a 2≠0，所以a n ＋1a n ＝a 2(非零常数)，所以存在λ＝1，使{a n }为等比数列．(16分)20. (1)解：a ＝0时，h 1(x)＝ln x ＋1.因为h 1(x)为“m(k)型函数”，所以h 1(x)<kx 恒成立，即k>ln x ＋1x 恒成立．设g(x)＝ln x ＋1x (x ≥1)，则g′(x)＝－ln xx 2≤0恒成立，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递减，所以g(x)≤g(1)＝1，所以k 的取值范围是(1，＋∞)．(3分)(2) 证明：当a ＝－12时，要证h 2(x)为“M(1)型函数”，即证(1＋x)ln x ＋1x ≥x ，即证(1＋x)ln x ＋1x －x ≥0.(证法1)令R(x)＝(1＋x)ln x ＋1x－x ，则R′(x)＝ln x ＋(1＋x)·1x －1x 2－1＝ln x ＋1x －1x 2＝ln x ＋x －1x 2.当x>1时，ln x>0，x －1x 2>0，则R′(x)>0；当0<x<1时，ln x<0，x －1x2<0，则R′(x)<0；所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 则R(x)≥R(1)，又R(1)＝0，所以R(x)≥0， 所以h 2(x)为“M(1)型函数”．(8分)(证法2)令F(x)＝ln x ＋1x －1x 2，则F′(x)＝1x －1x 2＋2x 3＝x 2－x ＋2x 3>0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递增，又F(1)＝0，所以当0<x<1时，R ′(x)<0，当x>1时，R ′(x)>0，所以R(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，(6分) 以下同证法1.(3) 证明：函数f(x)为“m(14)型函数”等价于p(x)＝(1－2ax)ln x －14x<0恒成立，当a ≤0时，p(e)＝(1－2ae)－e 4≥1－e4>0，不合题意；当a ≥2时，p(1e )＝2a e －1－14e ≥1e (4－e －14)>0，不合题意；(10分)当a ＝1时，(证法1)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，①当x ≥1或0<x ≤12时，p(x)≤0－14x<0.(12分)②当12<x<1时，1－2x<0，由(2)知ln x>x －1x ，所以p(x)<（1－2x ）（x －1）x －14x ＝－14x(3x －2)2≤0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)(证法2)p(x)＝(1－2x)ln x －14x ，p ′(x)＝－2ln x ＋1－2x x －14＝－2ln x ＋1x －94.记φ(x)＝－2ln x ＋1x －94，则φ′(x)＝－2x －1x 2<0，所以φ(x)＝p′(x)在(0，＋∞)上单调递减．易得ln x ≤x －1， 所以p′(22)＝2ln 2＋2－94≤2(2－1)＋2－94＝32－174＝288－174<0. 因为p′(12)＝2ln 2＋2－94>1＋2－94>0，所以存在唯一零点x 0∈(12，22)，使得p′(x 0)＝－2ln x 0＋1x 0－94＝0，且x 0为p(x)的最大值点，(12分)所以p(x 0)＝(1－2x 0)ln x 0－14x 0＝（1－2x 0）（1x 0－94）2－14x 0＝2x 0＋12x 0－178.注意到y ＝2x ＋12x －178在(12，22)上单调递增，所以p(x 0)<p(22)＝2＋12－178＝12(32－174)<0， 所以p(x)<0.综上，存在唯一整数a ＝1，使得f(x)为“m(14)型函数”．(16分)2020届高三模拟考试试卷(南通) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) 设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则A －1A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a ＋2c 3b ＋2d 2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2c ＝1，2a ＋c ＝0，3b ＋2d ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2，d ＝－3，则矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3.(5分) (2) 由矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3，得A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2 2－3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－8－8 13，(8分)所以A 2α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 5－8－8 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3.(10分)B. 解：由ρ＝4cos (θ＋π3)得ρ2＝4ρcos (θ＋π3)＝2ρcos θ－23ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＋23y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋3)2＝4，圆心(1，－3)，半径r ＝2.(3分)由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)得x ＝1＋3y ，所以直线l 的普通方程为x －3y －1＝0.(6分) 所以圆心(1，－3)到直线l 的距离d ＝32，(8分)所以点P 到直线l 的距离的最大值为32＋2＝72.(10分)C. 解：由柯西不等式，得(x ＋2y ＋3z)2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，(5分) 即x ＋2y ＋3z ≤12＋22＋32·x 2＋y 2＋z 2. 因为x ＋2y ＋3z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2≥114，当且仅当x 1＝y 2＝z 3，即x ＝114，y ＝17，z ＝314时取等号．综上，x 2＋y 2＋z 2的最小值为114.(10分) 22. (1) 解：当AB 垂直于x 轴时，A(4p ，22p)，B(4p ，－22p)，所以△OAB 的面积为12·AB ·OM ＝12·42p ·4p ＝82p 2＝2 2.因为p>0，所以p ＝12，所以抛物线的方程为y 2＝x.(3分)(2) ①证明：由题意可知直线l 与x 轴不垂直．由(1)知M(2，0)，设A(y 21，y 1)，B(y 22，y 2)，则k AB ＝y 1－y 2y 21－y 22＝1y 1＋y 2. 由A ，M ，B 三点共线，得y 1y 21－2＝y 2y 22－2. 因为y 1≠y 2，化简得y 1y 2＝－2.(5分) ②解：因为y 1y 2＝－2，所以B(4y 21，－2y 1)．因为线段AB 垂直平分线的方程为y －y 1＋y 22＝－(y 1＋y 2)(x －y 21＋y 222)，令y ＝0，得x T ＝y 21＋y 22＋12＝12(y 21＋4y 21＋1)．(7分) 因为OA ∥TB ，所以k OA ＝k TB ，即1y 1＝2y 112（y 21＋4y 21＋1）－4y 21，整理得(y 21＋1)(y 21－4)＝0，解得y 1＝±2，故A(4，±2)． 所以k AM ＝±1，即直线l 的斜率为±1.(10分)23. (1) 解：C k n ＋1·C k ＋1n ＋1C k n ·C k ＋1n ＋2＝（n ＋1）！k ！（n ＋1－k ）！·（n ＋1）！（k ＋1）！（n －k ）！n ！k ！（n －k ）！·（n ＋2）！（k ＋1）！（n ＋1－k ）！ ＝（n ＋1）·n ！·（n ＋1）！n ！（n ＋2）·（n ＋1）！＝n ＋1n ＋2.(3分) (2) 证明：由(1)得1C k n ＝n ＋1n ＋2·C k ＋1n ＋2C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·C k n ＋1＋C k ＋1n ＋1C k n ＋1·C k ＋1n ＋1＝n ＋1n ＋2·(1C k n ＋1＋1C k ＋1n ＋1)．(6分) 因为k a k ＝（－1）k k C k 2n ＝2n ＋12n ＋2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1， 所以F(n)＝(n ＋1)k a k ＝2n ＋12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1. 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤（－1）k k C k 2n ＋1＋（－1）k k C k ＋12n ＋1＝(－1C12n＋1＋2C22n＋1＋…＋－2n＋1C2n－12n＋1＋2nC2n2n＋1)＋(－1C22n＋1＋2C32n＋1＋…＋－2n＋1C2n2n＋1＋2nC2n＋12n＋1)＝－1C12n＋1＋(2C22n＋1＋－1C22n＋1)＋…＋(2nC2n2n＋1＋－2n＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝(－1C12n＋1＋1C22n＋1＋…＋－1C2n－12n＋1＋1C2n2n＋1)＋2nC2n＋12n＋1＝2n，所以F(n)＝(n＋1)ka k＝2n＋12·2n＝n(2n＋1)能被2n＋1整除．(10分)。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 ．2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= ． 3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 ． 4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ．5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= ．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 ．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = ． 10．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= ． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为 ．12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 ．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为 ．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，ABO ∆3（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上的一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM g 为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若220n T k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，求A 的特征值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷（二）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）设集合{|32}A x x =-剟，{|2121}B x k x k =-+剟，且A B ⊇，则实数k 的取值范围是 112k-剟 ． 【解答】解：因为A B ⊇B ∴≠∅，∴213212k k --⎧⎨+⎩……，解得112k-剟 故答案为：112k-剟 2．（5分）若复数1z i =+，则zzi= 1- ． 【解答】解：Q 复数1z i =+，∴1z i =-，∴111(1)1z i izi i i i --===-+-． 故答案为1-．3．（5分）某校高二年级有1000名学生，其中文科生有300名，按文理生比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为50的样本，则应抽取的理科生人数为 35 ． 【解答】解：理科生人数占的比例为10003007100010-=，则应抽取的理科生人数为为7503510⨯=人， 故答案为：35．4．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 20 ．【解答】解：赋值5a =，1S =，判断54a =…成立， 执行155S =⨯=，1514a a =-=-=，判断44a =…成立， 执行5420S =⨯=，1413a a =-=-=，判断34a =…不成立， 算法结束，输出20S =． 故答案为：20． 5．（5分）函数1()15f x x x =+--的定义域是 {|1x x …且5}x ≠ 【解答】解：要使函数有意义，则1050x x -⎧⎨-≠⎩…得15x x ⎧⎨≠⎩…，即1x …且5x ≠，即函数的定义域为{|1x x …且5}x ≠， 故答案为：{|1x x …且5}x ≠ 6．（5分）将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为49【解答】解：将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中， 基本事件总数339n =⨯=，黑白两球均不在1号盒子包含的基本事件总数224m =⨯=，∴黑白两球均不在1号盒子的概率为49m p n ==． 故答案为：49． 7．（5分）已知函数()y f x x =+是偶函数，且f （3）1=，则(3)f -= 7 ． 【解答】解：Q 函数()y f x x =+是偶函数，()()f x x f x x ∴--=+，即()()2f x f x x -=+，f Q （3）1=，(3)f f ∴-=（3）23167+⨯=+=，故答案为：7．8．（5分）若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为 6 ．【解答】解：由双曲线22154x y -=，得25a =，24b =，则3c =，则双曲线22154x y -=的左焦点为(3,0)-，抛物线22y px =的准线方程为2p x =-，则32p=，6p =．故答案为：6．9．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = 49 ． 【解答】解：2617a a a a +=+Q∴1777()492a a s +== 故答案是4910．（5分）若直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，则sin 2θ= 1213- ． 【解答】解：Q 直线1:cos 20l x y θ+=与直线2:3sin 30l x y θ++=垂直，3cos 2sin 0θθ∴+=，2cos sin 3θθ∴=-，22222413sin cos 199sin sin sin θθθθθ∴+=+==，解得sinθ=，cos θ=sin θ=cos θ=12sin 22sin cos 213θθθ∴==-=-．故答案为：1213-． 11．（5分）如图，已知圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，若正方形ABCD 内接于底面圆O ，则四棱锥P ABCD -侧面积为．【解答】解：Q 圆锥的高是底面半径的2倍，侧面积为π，∴设底面半径为r ，则高为2r ，母线长2245l r r r =+， ∴圆锥的侧面积5S rl r r πππ==⨯=，解得15r =41555l =Q 正方形ABCD 内接于底面圆O ， 2AB r ∴=，∴四棱锥P ABCD -侧面积为：22144()22PAB ABS S AB PA ∆==⨯⨯-2221652256625r r r r =-==．65 12．（5分）已知圆221:20C x y x m +-+=与圆222:(3)(3)36C x y +++=内切，且圆1C 的半径小于6，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为 2 ． 【解答】解：根据题意，圆22:20C x y x m +-+=化为标准方程为22(1)1x y m -+=-，其圆心为(1,0)，半径1r m =- 2212||435C C =+，又由圆1C 与圆2C 内切，且圆1C 的半径小于6，则有615m -，解可得0m =，圆心1(1,0)C 到51280x y ++=的距离|58|125144d +==+，点P 是圆1C 上的一个动点，则点P 到直线:51280l x y ++=距离的最大值为112+=； 故答案为：2．13．（5分）已知,a b r r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足1||2c a -=r r ，则||2||a b c c b +-+-r rr r r 的最小值为．【解答】解：如图，(1,0)A ，(0,1)B ，(1,1)D ，设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，则向量c r 满足1||2c a -=r r ，设OC c =u u u r r ，所以点C 为以A 为圆心，以12为半径的圆上的一点， 所以||||||a b c OD OC CD +-=-=u u u r u u u r r r r ，同理2||2||c b BC -=rr ，取点1(1,)4E ，则AE ACAC AD =，又因CAE DAC ∠=∠， 所以AEC ACD ∆∆∽，所以12CE CD =，即2CD CE =， 所以||2||2222()a b c c b CD BC CE BC BC CE +-+-=+=+=+r rr r r ，由三角形的三边关系知223552()221()2442BC CE BE +=+=⨯=…．故填：52．14．（5分）已知a ，b R ∈，()x f x e ax b =-+，若()1f x …恒成立，则b aa-的取值范围是 [1-，)+∞【解答】解：()x f x e ax b =-+Q ， ()x f x e a ∴'=-，当0a …时，()0f x '>恒成立，则()f x 单调递增，()1f x …不恒成立， 当0a >时，令()0x f x e a '=-=，解得x lna =， 当(,)x lna ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减， 当(,)x lna ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 单调递增， ()()min f x f lna a alna b ∴==-+，()1f x Q …恒成立，1a alna b -+Q … 1b alna a ∴-+…，∴2112b a alna a lna a a a--+=+-…， 设g （a ）12lna a=+-，0a > g ∴'（a ）22111a a a a-=-=， 令g '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，g '（a ）0<，函数g （a ）单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，g '（a ）0>，函数g （a ）单调递增，g ∴（a ）0121min =+-=-，∴1b aa--…， 故答案为：[1-，)+∞二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若,24A a π==，求ABC ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）(2)cos cos a c B b C -=Q ，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=． ⋯（2分）2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B C B B C B C A ∴=+=+=，⋯（4分） (0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠．1cos 2B ∴=． 又0B π<<Q ，3Bπ∴=． ⋯（6分）（Ⅱ）由正弦定理sin sin a bA B=，得32262b ⨯==． ⋯（8分） 4A π=Q ，3B π=，512C π∴=，sin sin C ∴= 5sin()sin cos 12646ππππ=+= cos 4π+ 4πsin 626π+=． ⋯（11分） 116233sin 2622S ab C ++∴==⨯⨯⨯=g ． ⋯（13分） 16．（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点M 为棱11A B 的中点． 求证：（1）//AB 平面11A B C ； （2）平面1C CM ⊥平面11A B C ．【解答】证明：（1）11//AA BB Q ，11AA BB =，∴四边形11AA B B 是平行四边形，11//AB A B ∴，又AB ⊂/平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，//AB ∴平面11A B C ．（2）由（1）证明同理可知11AC AC =，11BC B C =，AB BC =Q ，1111A B B C ∴=，M Q 是11A B 的中点，111C M A B ∴⊥，1CC ⊥Q 平面111A B C ，11B A ⊂平面111A B C ， 111CC B A ∴⊥，又111CC C M C =I ， 11B A ∴⊥平面1C CM ，又11B A ⊂平面111A B C ，∴平面1C CM ⊥平面11A B C ．17．（14分）一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成，1AB =米，如图所示．小球从A 点出发以5v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后，经弹射器以6v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内，落点记为F ．设AOE θ∠=弧度，小球从A 到F 所需时间为T ．（1）试将T 表示为θ的函数()T θ，并写出定义域； （2）当θ满足什么条件时，时间T 最短．【解答】解：（1）连接CO 并延长交半圆于M ，则4AOM COD π∠=∠=，故4πθ…，同理可得34πθ…，[4πθ∴∈，3]4π． 过O 作OG BC ⊥于G ，则1OG =，||2GOF πθ∠=-，11sin cos ||2OF πθθ∴==-，又¶AE θ=， 11()566sin T vv v θθθ∴=++，[4πθ∈，3]4π．（2）22222 1cos65cos65cos6 ()563030sin cosTv vsin vsin vsinθθθθθθθθθ---+'=-==，令()0Tθ'=可得26cos5cos60θθ--+=，解得2cos3θ=或3cos2θ=-（舍)．设2cos3θ=，[4πθ∈，3]4π，则当4πθθ<…时，()0Tθ'<，当34πθθ<…时，()0Tθ'>，∴当θθ=，()Tθ取得最小值．故2cos3θ=时，时间T最短．18．（16分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，ABO∆3（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：||||AN BMg为定值．【解答】解：（1）由题意可知，12cea==，132S a b=⨯⨯222a b c=+，所以2a=，3b=，1c=，所以椭圆方程为22143x y+=；（2）证明：方法一：由（1）知，(2,0)A，3)B，由题意可得，因为(P x，)y，则2200143x y+=，直线PA的方程为0(2)2yy xx=--令0x=，得022Myyx=--．从而02|||3||3|2MyBM yx==-．直线PB的方程为033yy-=+令0y =，得0033N x x y =--．从而003|||2||2|3N x AN x y =-=+-．0032|||||2||3|23x y AN BM x y ∴=++--g g 2200000000003443128312||3223x y x y x y x y x y ++--+=--+0000000043128324||433223x y x y x y x y --+==--+．所以||||AN BM g 为定值．方法二：如图所示：设P 的坐标为(2cos ,3sin )θθ， 由(2,0)A ，(0,3)B ， 则直线AP 的方程为3sin (2)y x θ=-，令0x =时，则3sin y θ=，即3sin (0,)M θ，所以3sin cos 1sin |||3|3||1cos BM θθθθ--=+=-，同理可得2cos (1sin N θθ-，0)， 所以2cos 1sin cos |||2|2||1sin 1sin AN θθθθθ--=-=--，所以|1sin cos ||1sin cos |(1sin )(1cos )||||2323243(1sin )(1cos )(1sin )(1cos )AN BM θθθθθθθθθθ------==⨯⨯=----g g ，所以||||AN BM g为定值．19．（16分）己知数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=． （1）求2S ，3S ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设21n n n b S S +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若0n k -…对任意的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．【解答】解：（1）数列{}n a 中，0n a >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且22n n na S a +=， 可得1111222S a a a ==+，解得1a =由2222)a a a =+，解得22a =-可得22S =； 由33322(2)a a a +=+，解得32a =，即有3S = 由2n …时，1n n n a S S -=-，可得1122n n n n n S S S S S ---+=-，化为11()()2n n n n S S S S ---+=，即2212n n S S --=，则222(1)2nS n n =+-=，由0n a >，可得n S由22n n na S a +==，可得n a =； （2）21n n n b S S +===+，可得11n T =，由10n n T T +->，可得n T 在*n N ∈递增，n T的最小值为1T =，0n k -…对任意的正整数n都成立，可得11k =…，则实数k 的取值范围为(-∞1]．20．（16分）已知函数()2()f x lnx ax a R =+∈，2()12()g x x f x =+- （1）当1a =-时，①求函数()f x 在点(1A ，f （1）)处的切线方程； ②比较()f m 与1()f m的大小；（2）当0a >时，若对(1,)x ∀∈+∞时，()0g x …，且()g x 有唯一零点，证明：34a <．【解答】解：（1）①当1a =-时，()2f x lnx x =-，1()2f x x'=-，f '（1）1=-， 又(1,2)A ，∴切线方程为2(1)y x +=--，即10x y ++=；②令1122()()()2()22h m f m f lnm m ln lnm m m m m m=-=---=-+，则222222(1)()20m m h m m m m -+'=--=-<，()h m ∴在(0,)+∞上单调递减．又h （1）0=，∴当01m <<时，()0h m >，即1()()f m f m>；当1m =时，()0h m =，即1()()f m f m =；当1m >时，()0h m <，即1()()f m f m<．证明：（2）由题意，21240x lnx ax +--…，而222(21)()24x ax g x x a x x --'=--=，令()0g x '=，解得x a =±0a >Q ，∴1a ，()g x ∴'在(1,)+∞上有唯一零点0x a =+．当0(1,)x x ∈时，()0g x '<，()g x 在0(1,)x 上单调递减， 当0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 在0(x ，)+∞上单调递增． 0()()min g x g x ∴=．()0g x Q …在(1,)+∞恒成立，且()0g x =有唯一解，∴00()0()0g x g x '=⎧⎨=⎩，即00200022401240x a x x lnx ax ⎧--=⎪⎨⎪+--=⎩，消去a ，得200000212(2)0x lnx x x x +---=， 即200230lnx x --+=．令2000()23h x lnx x =--+，则0002()2h x x x '=--，0()0h x '<Q 在(1,)+∞上恒成立，0()h x ∴在(1,)+∞上单调递减，又h （1）20=>，h （2）2210ln =--<，012x ∴<<． 0011()2a x x =-Q 在(1,2)上单调递增，34a ∴<． 【选做题】（在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内）[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）已知矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵110[]31A b -=，求A 的特征值．【解答】解：Q 矩阵30[]2A a=，A 的逆矩阵11[]31A b -=，111030032213AA a ab a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 解得1a =，23b =-，3021A ⎡⎤∴=⎢⎥⎣⎦． 30||(3)(1)021E A λλλλλ-⎡⎤-==--=⎢⎥--⎣⎦， 解得A 的特征值为1或3． [选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在极坐标系中，设直线l 过点)6A π，(3,0)B ，且直线l 与曲线:cos (0)C a a ρθ=>有且只有一个公共点，求实数a 的值．【解答】解：直线l过点)6A π，(3,0)B 转化为直角坐标为：3(2A，(3,0)B ，则直线l的方程为：30x +-=．曲线:cos (0)C a a ρθ=>转化为直角坐标方程为：222()24a a x y -+=，直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，则：|3|222a a -= 解得：2a =（负值舍去）． 实数a 的值为2．五、解答题（共2小题，满分20分）23．（10分）已知抛物线2:2(02)C x py p =<<的焦点为F ，0(2,)M y 是C 上的一点，且5||2MF =． （1）求C 的方程；（2）直线l 交C 于A 、B 两点，2OA OB k k =-g 且OAB ∆的面积为16，求l 的方程． 【解答】解：（1）将0(2,)M y 代入22x py =得02y p =，又025||()222p p MF y p =--=+=，1p ∴=， ∴抛物线的方程为22x y =，（2）直l 的斜率显然存在，设直线:l y kx b =+，1(A x ，1)y 、2(B x ，22)2y由22y kx b x y =+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --= 122x x k ∴+=，122x x b =-由，121212242OA OB y y x x b k k x x ===-=-g ，4b ∴= ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)，原点O 到直线l的距离d =，11||1622OAB S d AB ∴=⨯=，243264k ∴+=，解得k =±所以直线方程为：4y =±+．24．（10分）某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n 次，记第n 次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为n a ，数列{}n a 的前n 和为n S ．记n S 是3的倍数的概率为()P n ．（1）求P （1），P （2）； （2）求()P n ．【解答】解：（1）抛掷一次，出现一个0和一个3时符合要求，故P （1）12=， 抛掷两次，出现12+，21+，00+，33+，03+，30+时，符合要求，故计6种情况， 故P （2）63168==． （2）设n S 被3除时余1的概率为1()p n ，n S 被3除时余2的概率为2()P n ， 则12111(1)()()()244P n P n P n P n +=++，① 112111(1)()()()424P n P n P n P n +=++，② 212111(1)()()()442P n P n P n P n +=++，③ ①(-②+③)，得：12121(1)[(1)(1)][()()]2P n P n P n P n P n +-+++=-+， 化简，得4(1)()1P n p n +=+， 111(1)[()]343P n P n ∴+-=-，又P （1）12=， 121()334n P n ∴=+⨯．。

江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为______．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为______．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是______．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是______．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是______．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是______．7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为______．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是______．9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为______．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为______．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为______．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是______．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是______．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．20．设数列{a n}的各项均为正数，{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求证：数列{a n}为等差数列；（2）等比数列{b n}的各项均为正数，，n∈N*，且存在整数k≥2，使得．（i）求数列{b n}公比q的最小值（用k表示）；（ii）当n≥2时，，求数列{b n}的通项公式．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B （3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．设复数z满足（1+2i）•z=3（i为虚数单位），则复数z的实部为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+2i）•z=3，得，∴复数z的实部为．故答案为：．2．设集合A={﹣1，0，1}，，A∩B={0}，则实数a的值为1．【考点】交集及其运算．【分析】由A，B，以及两集合的交集确定出a的值即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={a﹣1，a+}，A∩B={0}，∴a﹣1=0或a+=0（无解），解得：a=1，则实数a的值为1，故答案为：13．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是17．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k的值，当k=17时满足条件k＞9，退出循环，输出k 的值为17．【解答】解：模拟执行程序，可得k=0不满足条件k＞9，k=1不满足条件k＞9，k=3不满足条件k＞9，k=17满足条件k＞9，退出循环，输出k的值为17．故答案为：17．4．为了解一批灯泡（共5000只）的使用寿命，从中随机抽取了100只进行测试，其使用寿命（单位：h）如表：使用寿命[500，700）[700，900）[900，1100）[1100，1300）[1300，1500]只数 5 23 44 25 3根据该样本的频数分布，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡只数是1400．【考点】频率分布表．【分析】利用频率、频数与样本容量的关系进行求解即可．【解答】解：根据题意，估计该批灯泡使用寿命不低于1100h的灯泡的只数为5000×=1400．故答案为：1400．5．电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力．某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率．【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n==10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从社会主义核心价值观、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率p=1﹣=．故答案为：．6．已知函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a+b的值是．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象．【分析】由函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，构造方程组，解得答案．【解答】解：∵函数f（x）=log a（x+b）（a＞0，a≠1，b∈R）的图象过（﹣3，0）点和（0，﹣2）点，∴，解得：∴a+b=，故答案为：7．设函数（0＜x＜π），当且仅当时，y取得最大值，则正数ω的值为2．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意，得出ω+=+2kπ，k∈Z，求出ω的值即可．【解答】解：∵函数，且0＜x＜π，ω＞0，∴＜ωx+＜ωπ+，又当且仅当时，y取得最大值，∴＜ωx+＜ωπ+＜，∴ω+=，解得ω=2．故答案为：2．8．在等比数列{a n}中，a2=1，公比q≠±1．若a1，4a3，7a5成等差数列，则a6的值是．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意和等差数列可得q的方程，解方程由等比数列的通项公式可得．【解答】解：∵在等比数列{a n}中a2=1，公比q≠±1，a1，4a3，7a5成等差数列，∴8a3=a1+7a5，∴8×1×q=+7×1×q3，整理可得7q4﹣8q2+1=0，分解因式可得（q2﹣1）（7q2﹣1）=0，解得q2=或q2=1，∵公比q≠±1，∴q2=，∴a6=a2q4=故答案为：9．在体积为的四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB=1，BC=2，BD=3，则CD长度的所有值为．【考点】棱锥的结构特征．【分析】由已知求得△BCD的面积，再由面积公式求得sinB，进一步求得cosB，再由余弦定理求得CD长度．【解答】解：如图，在四面体ABCD中，∵AB⊥平面BCD，∴AB为以BCD为底面的三棱锥的高，∵，AB=1，∴由，得．又BC=2，BD=3，得，得sinB=，∴cosB=．当cosB=时，CD2=22+32﹣2×2×3×=7，则CD=；当cosB=﹣时，CD2=22+32﹣2×2×3×（）=19，则CD=．∴CD长度的所有值为，．故答案为：，．10．在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，与圆相交于点R，S，且PT=RS，则正数a的值为4．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），由直线与圆相切的性质得k=，不妨取k=，由勾股定理得PT=RS=，再由圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离能求出结果．【解答】解：设过点P（﹣2，0）的直线方程为y=k（x+2），∵过点P（﹣2，0）的直线与圆x2+y2=1相切于点T，∴=1，解得k=，不妨取k=，PT==，∴PT=RS=，∵直线y=（x+2）与圆相交于点R，S，且PT=RS，∴圆心（a，）到直线y=（x+2）的距离d==，由a＞0，解得a=4．故答案为：4．11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，+∞），满足f（x+2）=f（x），若当x∈[0，2）时，f（x）=|x2﹣x﹣1|，则函数y=f（x）﹣1在区间[﹣2，4]上的零点个数为7．【考点】函数零点的判定定理．【分析】如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，结合图象即可得出零点个数．【解答】解：如图所示，y=g（x）=f（x）﹣1=，再利用f（x+2）=f（x），可得x∈[2，4]上的图象．由函数f（x）是R上的偶函数，可得g（x）也是R上的偶函数，利用偶函数的性质可得x∈[﹣2，0）上的图象．x∈[0，2）时，g（0）=g（1）=0，x∈[2，4]时，g（2）=g（4）=g（0）=0，g（3）=g（1）=0．x∈[﹣2，0）时，g（﹣2）=g（2）=0，g（﹣1）=g（1）=0．指数可得：函数g（x）共有7个零点．故答案为：7．12．如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C 分别在m、n上，，则的最大值是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立如图所示的坐标系，得到点A、B、C的坐标，由，求得a+b=±3，分类讨论，利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．13．实数x，y满足﹣y2=1，则3x2﹣2xy的最小值是6+4．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得+= [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．【解答】解：由﹣y2=1，可设x=2secα，y=tanα，则3x2﹣2xy=12sec2α﹣4secαtanα=﹣==+，其中﹣1＜sinα＜1，[（1﹣sinα）+（1+sinα）]（+）=12++≥12+2=12+8，当且仅当=，解得sinα=3﹣2（3+2舍去），取得最小值．则3x2﹣2xy的最小值是6+4．故答案为：6+4．14．若存在α，β∈R，使得，则实数t的取值范围是[，1]．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即，令，则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ，∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0．∵α≤t，∴，即．令，则f′（t）==，令f′（t）=0，则sinβ=0．∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=．∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ．∴即．令，则．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=．则实数t的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1．（1）求C的值；（2）若A=15°，，求△ABC的周长．【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值．（2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长．【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB，∴tan（A+B）==1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．（2）若A=15°，则B=30°，∵，则由正弦定理可得===2，求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=，b=•2=1，故△ABC的周长为a+b+c=+1+=．16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点．求证：（1）AP∥平面C1MN；（2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN．（2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点，∴AM=PC1，又AM∥CD，PC1∥CD，故AM∥PC1，∴四边形AMC1P为平行四边形，∴AP∥C1M，又AP⊄平面C1MN，C1M⊂平面C1MN，∴AP∥平面C1MN．（2）连结AC，在正方形ABCD中，AC⊥BD，又M、N分别为棱AB、BC的中点，∴MN∥AC，∴MN⊥BD，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，又MN⊂平面ABCD，∴DD1⊥MN，而DD1∩DB=D，DD1、DB⊂平面BDD1B1，∴MN⊥平面BDD1B1，又MN⊂平面C1MN，∴平面B1BDD1⊥平面C1MN．17．植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【考点】定积分在求面积中的应用；基本不等式．【分析】设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，根据基本不等式求出S1的最大值，用导数求出S2的最大值，比较即可．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤ []2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2．（1）若点P的坐标为（2，），求椭圆的方程；（2）设过点P的一条直线交椭圆于B，C两点，且=m，直线OA，OB的斜率之积为﹣，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由已知得A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，再由椭圆离心率为，得=，由此能求出椭圆方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），推导出P（﹣2x1，﹣2y1），（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m （x3﹣x2，y3﹣y2），从而得到（）+（）﹣（）=1，由直线OA，OB的斜率之积为﹣，得到=0，由此能求出实数m的值．【解答】解：（1）∵A为椭圆上异于顶点的一点，点P满足=2，点P的坐标为（2，），∴A（﹣1，﹣），代入椭圆，得，①∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴=，②联立①②，解得a2=2，b2=1，∴椭圆方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵=2，∴P（﹣2x1，﹣2y1），∵=m，∴（﹣2x1﹣x2，﹣2y1﹣y2）=m（x3﹣x2，y3﹣y2），∴，∴，代入椭圆，得=1，即（）+（）﹣（）=1，③∵A，B在椭圆上，∴+=1，=1，④∵直线OA，OB的斜率之积为﹣，∴=﹣，结合②，知=0，⑤将④⑤代入③，得=1，解得m=．19．设函数f（x）=（x+k+1），g（x）=，其中k是实数．（1）若k=0，解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，求关于x的方程f（x）=x•g（x）实根的个数．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）若k=0，先化简不等式即可解不等式•f（x）≥•g（x）；（2）若k≥0，化简方程f（x）=x•g（x），然后讨论k的取值范围即可得到结论．【解答】解：（1）若k=0，f（x）=（x+1），g（x）=，则不等式•f（x）≥•g（x）等价为•（x+1）≥•，此时，即x≥0，此时不等式等价为（x+1）x≥（x+3），即2x2+x﹣3≥0，得x≥1或x≤﹣，∵x≥0，∴x≥1，即不等式的解集为[1，+∞）．（2）若k≥0，由f（x）=x•g（x）得（x+k+1）=x，①．由得，即x≥k，∴当x≥0时x﹣k+1＞0，方程①两边平方整理得（2k﹣1）x2﹣（k2﹣1）x﹣k（k+1）2=0，（x≥k），②当k=时，由②得x=，∴方程有唯一解，当k ≠时，由②得判别式△=（k +1）2（3k ﹣1）2， 1）当k=时，判别式△=0，方程②有两个相等的根x=，∴原方程有唯一解．2）0≤k ＜且k ≠时，方程②整理为[（2k ﹣1）x +k （k +1）]（x ﹣k ﹣1）=0， 解得x 1=，x 2=k +1，由于判别式△＞0，∴x 1≠x 2，其中x 2=k +1＞k ，x 1﹣k=≥0，即x 1≥k ，故原方程有两解，3）当k ＞时，由2）知，x 1﹣k=＜0，即x 1＜k ，故x 1不是原方程的解，而x 2=k +1＞k ，则原方程有唯一解，综上所述，当k ≥或k=时，原方程有唯一解， 当0≤k ＜且k ≠时，原方程有两解．20．设数列{a n }的各项均为正数，{a n }的前n 项和，n ∈N *．（1）求证：数列{a n }为等差数列； （2）等比数列{b n }的各项均为正数，，n ∈N *，且存在整数k ≥2，使得．（i ）求数列{b n }公比q 的最小值（用k 表示）； （ii ）当n ≥2时，，求数列{b n }的通项公式．【考点】数列的求和；等差关系的确定． 【分析】（1）数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．利用递推关系可得：a n ﹣a n ﹣1=2，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）（i ）由（1）可得：a n =2n ﹣1，S n =n 2．根据存在整数k ≥2，使得．可得b 1=．b n =k 2•．由，n ∈N *，可得：q n ﹣k ≥，当n=k 时，上式恒成立．当n ≥k +1时，可得：（n ﹣k ）lnq=2，利用导数研究其单调性可得：的最大值为k ，q ≥．当n ≤k ﹣1时，q ≤．可得q 的最小值为（整数k ≥2）． （ii ）由题意可得：q ∈N *，由（i ）可知：q ∈，（k ≥2），可得：q ≥＞1，q ≤≤4，q ∈{2，3，4}，分类讨论即可得出．【解答】（1）证明：∵数列{a n }的前n 项和，n ∈N *．∴当n=1时，，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n ﹣S=﹣，化为：（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣2）=0，∵数列{a n }的各项均为正数，∴a n +a n ﹣1＞0（n ≥2），a n ﹣a n ﹣1=2，∴数列{a n}是等差数列，公差为2．（2）解：（i）由（1）可得：a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，S n=n2．∵存在整数k≥2，使得．∴，可得b1=．∴b n==k2•，∵，n∈N*，∴k2•q n﹣k≥n2，∴q n﹣k≥，当n=k时，上式恒成立．当n≥k+1时，可得：（n﹣k）lnq=2，∴≥，令f（x）=，（x＞1），则f′（x）=，令g（t）=1﹣t+lnt，（0＜t＜1），则g′（t）=＞0，因此函数g（t）在（0，1）内单调递增，∴g（t）＜g（1）=0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数，∴的最大值为k，∴≥k，∴q≥．当n≤k﹣1时，q≤．∴q的最小值为（整数k≥2）．（ii）由题意可得：q∈N*，由（i）可知：q∈，（k≥2），∴q≥＞1，q≤≤4，∴q∈{2，3，4}，当q=2时，≤2≤，只能取k=3，此时b n=，舍去．当q=3时，≤3≤，只能取k=2，此时b n=4，舍去．当q=4时，≤4≤，只能取k=3，此时b n=22n﹣3，符合条件．综上可得：b n=22n﹣3．[附加题]21．在平面直角坐标系xOy中，设点A（﹣1，2）在矩阵对应的变换作用下得到点A′，将点B（3，4）绕点A′逆时针旋转90°得到点B′，求点B′的坐标．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】设B′（x，y），=，求得A′的坐标，写出向量，，=，即可求得x和y，求得点B′的坐标．【解答】解：设B′（x，y），由题意可知：=，得A′（1，2），则=（2，2），=（x﹣1，y﹣2），即旋转矩阵N=，则=，即=，解得：，所以B′的坐标为（﹣1，4）．[附加题]22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】直线（t为参数），消去参数t化为普通方程．由曲线（θ为参数），利用倍角公式可得y=1﹣2sin2θ，联立解出，再利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程：y=2x+1．由曲线（θ为参数），可得y=1﹣2sin2θ=1﹣2x2（﹣1≤x≤1），联立（﹣1≤x≤1），解得，或，．∴A（﹣1，﹣1），B（0，1），∴|AB|==．23．一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励（k∈N*），且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．（1）求概率P（X=0）的值；（2）为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．（注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！）【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，由此能求出P（X=0）．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，分别求出相应的概率，由此求出E（X），进而能求出k的最小值．【解答】解：（1）事件“X=0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P（X=0）=3×=．（2）依题意，X的可能取值为k，﹣1，1，0，且P（X=k）=（）3=，P（X=﹣1）=（）3=，P（X=1）=3×=，P（X=0）=3×=，∴参加游戏者的收益X的数学期望为：E（X）==，为使收益X的数学期望不小于0元，故k≥110，∴k的最小值为110．24．设S4k=a1+a2+…+a4k（k∈N*），其中a i∈{0，1}（i=1，2，…，4k）．当S4k除以4的余数是b（b=0，1，2，3）时，数列a1，a2，…，a4k的个数记为m（b）．（1）当k=2时，求m（1）的值；（2）求m（3）关于k的表达式，并化简．【考点】整除的定义．【分析】（1）当k=2时，由题意可得数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，可得m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，然后用组合数表示m（3），同理用组合数表示m（1），结合m（1）=m（3），求出m（1）+m（3），即可求得m （3）．【解答】解：（1）当k=2时，数列a1，a2，…，a8中有1个1或5个1，其余为0，∴m（1）=；（2）依题意，数列a1，a2，…，a4k中有3个1，或7个1，或11个1，或（4k﹣1）个1，其余为0，∴m（3）=，同理得：m（1）=，∵，∴m（1）=m（3）．又m（1）+m（3）==24k﹣1，∴m（3）=24k﹣2=42k﹣1．。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积. 【详解】由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题. 2．已知集合{|24}A x x =-<<，集合2560{|}B x x x =-->，则A B =I A ．{|34}x x << B ．{|4x x <或6}x > C ．{|21}x x -<<- D ．{|14}x x -<<【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由2560x x -->可得1)60()(x x -+>，解得1x <-或6x >，所以B ={|1x x <-或6}x >， 又{|24}A x x =-<<，所以{|21}A B x x ⋂=-<<-，故选C ．3．已知集合A {}0,1,2=，B={}(2)0x x x -<,则A∩B= A ．{}1 B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】A 【解析】 【分析】先解A 、B 集合，再取交集。

【详解】()2002x x x -<⇒<<,所以B 集合与A 集合的交集为{}1，故选A【点睛】一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。

甲 乙 8 9 79 01398 210 （第5题）江苏省南通基地2020年高考数学密卷（2）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合A ={1，4}，B ={|13x x ≤≤}，则A ∩B = ▲ ． 2． 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ． 3．函数的y =定义域为 ▲ ．4． 阅读下面的伪代码，由这个算法输出的结果为 ▲ ．5． 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为 ▲ ．6． 将黑白2个小球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ ．7． 在平面直角坐标系xOy 中，将函数cos 2y x =的图象向右平移6π个单位得到()g x 的图象，则()2g π的值为 ▲ ．8． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2214y x -=的一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为 ▲ ． 9． 若()πtan 34x +=-，则sin 2cos 3sin 4cos x x x x++的值为 ▲ ． 10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈R 都有f (x +4)= f (x )+ f (2)，f (1)= 4，则f (3)+ f (10)的值为 ▲ ．11．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有s ←0t ←1For I From 1 To 3 s ←s +I t ←t ⨯I End For r ←s ⨯t Print r（第4题）可能值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:3450l x y -+=与圆22:100C x y x +-=交于A ，B 两点，P 为x 轴上一动点，则△ABP 周长的最小值为 ▲ ．13．已知函数22()3x x a x a f x x x a x a ⎧-+-⎪=⎨++<-⎪⎩≥，，，．记{|()0}A x f x ==，若(2)A -∞≠∅I ，，则实数a 的取值范围为 ▲ ．14．若△ABC 中，ABBC =8，B ∠=45°，D 为△ABC 所在平面内一点且满足()()4AB AD AC AD ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，则AD 长度的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=． （1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．16．（本小题满分14分）在正四棱锥V ABCD -中，E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点． （1）求证：EF ∥平面ABCD ； （2）求证：平面VBD ⊥平面BEF ．17．(本小题满分14分)如图所示的某种容器的体积为90πcm 3，它是由圆锥和圆柱两部分连接而成，圆柱与圆锥ACBD（第16题）VE FCADB（第15题）h 1rh 2（第17题）45° 的底面半径都为r cm ．圆锥的高为h 1 cm ，母线与底面所成的角为o45；圆柱的高为h 2 cm ．已知圆柱底面的造价为2a 元/cm 2，圆柱侧面造价为a 元/cm 2，a元/cm 2．（1）将圆柱的高h 2表示为底面半径r 的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面半径r 为多少？18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)y x ab a b+=>>，其短轴长为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1212k k =-，AD DP λ=u u u r u u u r，AE EQ μ=u u u r u u u r （λμ，为非零实数），求22λμ+的值．19．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，121n n S S +-=（*n ∈N ）． （1）求证：数列{}n a 为等比数列； （2）若数列{}n b 满足：11b =，1112nn n b b a ++=+． ① 求数列{}n b 的通项公式；（第18题）② 是否存在正整数n ，使得14ni i b n ==-∑成立？若存在，求出所有n 的值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数*()ln k f x x x k =∈N ，，()1g x cx c =-∈R ，． （1）当1k =时，①若曲线()y f x =与直线()y g x =相切，求c 的值；②若曲线()y f x =与直线()y g x =有公共点，求c 的取值范围．（2）当2k ≥时，不等式2()()f x ax bx g x +≥≥对于任意正实数x 恒成立，当c 取得最大值时，求a ，b 的值．2020年高考模拟试卷（2）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定两题，并在．．．．．．．相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，ABCD 为圆内接四边形，延长两组对边分别交于点E ，F ．M ，N 为AB ，CD 上两点，EM ＝EN ，点F 在MN 的延长线上．求证：∠BFM ＝∠AFM ．B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知在二阶矩阵M 对应变换的作用下，四边形ABCD 变成四边形A B C D ''''，其中 (11)A ，，(11)B -，，(11)C --，，(33)A '，，(11)B '-，，(11)D '-，． （1）求矩阵M ； （2）求向量DC 'u u u u r的坐标．C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知x >0，y >0，z >0，221x y z ++=，求证：135xy yz zx ++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某同学理科成绩优异，今年参加了数学，物理，化学，生物4门学科竞赛．已知该同 学数学获一等奖的概率为23，物理，化学，生物获一等奖的概率都是12，且四门学科是否获一等奖相互独立．（1）求该同学至多有一门学科获得一等奖的概率；（2）用随机变量X 表示该同学获得一等奖的总数，求X 的概率分布和数学期望()E X ．23．（本小题满分10分）已知函数2()1f x x x =-+，记1()()f x f x =，当12()(())n n n f x f f x -=≥时，． （1）求证：2()f x 在(1)+∞，上为增函数；（2）对于任意*N n ∈，判断()n f x 在(1)+∞，上的单调性，并证明．2020年高考模拟试卷（2）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． {1}【解析】依题意，A ∩B ={1}2． 34i -【解析】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i -． 3． (]0,8【解析】由23log 0x -≥，解得08x <≤．4． 36【解析】1236s =++=，1236t =⨯⨯=，输出的结果6636r =⨯=． 5． 2【解析】由茎叶图可知，8889909192905x ++++==，所以甲的方差为52211()25i i s x x ==-=∑；同理乙的方差为4，所以比较稳定的是甲．6． 49【解析】所有等可能的基本事件总数为339⨯=种，“黑白两球均不在1号盒子”有224⨯=种，所以概率为49．7． 12-【解析】()()cos 23g x x π=-，所以()1()cos 232g ππ=π-=-．8． 45【解析】一条渐近线2y x =与右准线5x =的交点为525(,)，其到另一条渐近线2y x =-的距离为45．9． 25【解析】由()ππ31tan tan 2441(3)x x --⎡⎤=+-==⎢⎥+-⎣⎦，得sin 2cos tan 223sin 4cos 3tan 45x x x x x x ++==++．10． 4【解析】令f (x +4)= f (x )+ f (2)中x =2，得f (2)= f (2)+ f (2)，所以f (2)=0，又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2)=0，所以f (x +4)= f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数，所以f (3)+ f (10)= f (1) + f (2)= f (1)+0= 4．11． 34-，【解析】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n a a a ++-=-，所以222211a a a -=-，223321a a a -=-，…，221313121a a a -=-，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-， 又21313S a =，所以211120a a --=，获解．Cxy O BA （第12题）P B 'Q12． 14【解析】设直线l 与圆C 的一个交点B （5，5）关于x 轴的对称点为B '，易知B B '恰为圆C 的直径，记A B '与x 轴 交于点Q ，则PA PB PA PB AB ''+=+≥，所以△ABP 的周长的最小值为AB AB '+，易求得结果为14. 13． (14⎤-∞⎦，在(2)-∞，所以方程2|x x =所以函数()g x =注意到函数(h x 14．2设()D x y ，，所以(11)AB =--，(71)AC =-，()AD x =， 所以()()()(7)4AB AD AC AD x y x y ⋅⋅⋅=---=u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()(7)4x y y x +-=，令7x y m y x n +=⎧⎨-=⎩，则1()81(7)8x m n y m n ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩，所以mn =4，所以22222211()(7)5021288AD x y m n m n m n mn =+-++++ 222225*********m n mn +++≥． 当且仅当5m =n =5±AD 2 二、解答题：本大题共6小题，共90分． 15．（本小题满分14分）（1）证明：因为12BD AD c -=，所以1cos cos 2a Bb Ac -=， …… 3分由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以sin 2sin()C A B =-． …… 6分（2）解：由（1）得，sin()2sin()A B A B +=-， …… 8分Cx yA B D（第14题）CADB（第15题）所以sin cos cos sin 2(sin cos cos sin )A B A B A B A B +=-，化简，得3cos sin sin cos A B A B =． …… 10分又3cos 5A =，所以4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =， …… 12分所以44tan tan 4839tan tan()1tan tan 4411139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． …… 14分16．（本小题满分14分）（1）因为E ，F 分别为棱VA ，VC 的中点，所以EF ∥AC ， …… 3分 又因为EF ABCD ⊄平面，AC ABCD ⊂平面，所以EF ∥平面ABCD ． …… 6分（2）连结AC ，BD 交于点O ，连结VO ．因为V ABCD -为正四棱锥，所以VO ABCD ⊥平面．又AC ABCD ⊂平面，所以VO AC ⊥．…… 8分又因为BD AC ⊥，EF ∥AC ，所以EF ⊥VO ，EF ⊥BD ． …… 10分 又VO BD VBD ⊂，平面，=VO BD O ∩，所以EF VBD ⊥平面， …… 12分又EF BEF ⊂平面，所以平面VBD ⊥平面BEF ．…… 14分17．（本小题满分14分）（1）解：因为圆锥的母线与底面所成的角为o 45，所以1h r =，圆锥的体积为231111ππ33V r h r ==，圆柱的体积为222πV r h =． …… 2分因为1290πV V +=，所以23221π90ππ3V r h r ==-，所以32222709033r r h r r-==-． …… 4分 因为311π90π3V r =<，所以r <0r <<．所以32222709033r r h r r -==-，定义域为{|0r r <<． …… 6分 ACBD（第16题）VE FO（2）圆锥的侧面积21πS r r ==，圆柱的侧面积222πS rh =，底面积23πS r =． …… 8分容器总造价为1232y aS aS =++2222π2π2πr a rh a r a =++2222π()a r rh r =++()22902π23r a r r r⎡⎤=+-⎣⎦ ()210π543a r r=+． …… 10分令254()f r r r =+，则254()2f r r r '=-．令()0f r '=，得3r =． 当03r <<时，()0f r '<，()f r 在(0 3)，上为单调减函数；当3r <<时，()0f r '>，()f r在(3上为单调增函数． 因此，当且仅当3r =时，()f r 有最小值，y 有最小值90πa 元．…… 13分 所以，总造价最低时，圆柱底面的半径为3cm ． …… 14分18．（本小题满分16分）（1）解：因为短轴长2b =2，所以b =1，…… 2分又离心率c a =a =， …… 4分 所以222222()a c ab ==-，所以22a =，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．…… 6分 （2）由（1），点A (0)，设1100()()P x y D x y ，，，，则111020y k x y k x ==，，因为AD DP λ=u u u r u u u r，所以010010()()x x x y y y λλ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩L L L L ①②， …… 8分由①得，011+x x λλ=- 由②得，101+y y λλ=，所以1120211+(k x k x k x λλ==， …… 11分两边同时乘以k 1得，21112111((2k x k k x x ==-，所以11x =1121(12)y k λ=+，代入椭圆的方程得，221112k λ=+， …… 14分 同理可得，()22122221121112121122k k k k μ===+++-， 所以221λμ+=． …… 16分19．（本小题满分16分）（1）解：由121n n S S +-=，得121n n S S --=（2n ≥）， 两式相减，得120n n a a +-=，即12n na a +=（2n ≥）． …… 2分 因为11a =，由121()21a a a +-=，得22a =，所以212a a =， 所以12n na a +=对任意*n ∈N 都成立， 所以数列{}n a 为等比数列，首项为1，公比为2． ……4分 （2）① 由（1）知，12n n a -=， 由1112n n nb b a ++=+，得1122n n nbb +=+， …… 6分 即11221n n n n b b -+=+，即11221n n n n b b -+-=， 因为11b =，所以数列{}12n n b -是首项为1，公差为1的等差数列． …… 8分 所以121(1)1n n b n n -=+-⨯=，所以12n n n b -=． …… 10分 ② 设1nn i i T b ==∑，则012111111()2()3()()2222n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯L ，所以123111111()2()3()()22222n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯L ，两式相减，得0121111111()()()()()222222n n n T n -=++++-⨯L 11()12()1212nn n -=-⨯-12(2)()2n n =-+⨯， 所以14(24)()2n n T n =-+⨯． …… 12分由14ni i b n ==-∑，得14(24)()42n n n -+⨯=-，即122n n n -+=．显然当2n =时，上式成立，设12()2n n f n n-+=-（*n ∈N ），即(2)0f =．因为11322(1)()(2)(2)201(1)n n n n n f n f n n n n n --⎡⎤+++-=---=-+<⎢⎥++⎣⎦，所以数列{}()f n 单调递减， 所以()0f n =只有唯一解2n =，所以存在唯一正整数2n =，使得14ni i b n ==-∑成立． …… 16分20．（本小题满分16分）（1）解：当1k =时，()ln f x x x =，所以()1ln f x x '=+．①设切点为00()P x y ，，则0000001ln ln 1x c y x x y cx +=⎧⎪=⎨⎪=-⎩①②③…… 2分由②③得，0001ln cx x x -=④由①得0ln 1x c =-代入④得，001(1)cx x c -=-所以011x c ==，． …… 4分 ②由题意，得方程ln 1x x cx =-有正实数根，即方程1ln 0x c x+-=有正实数根，记1()ln h x x c x =+-，令22111()x h x x x x-'=-=， 当01x <<时，()0h x '<；当1x >时，()0h x '>； 所以()h x 在(01)，上为减函数，在(1)∞，+上为增函数；所以min ()(1)1h x h c ==-． …… 6分 若1c <，则()(1)10h x h c =->≥，不合； 若1c =，由①知适合；若1c >，则(1)10h c =-<，又11(e )0e e c c ch c c =+-=>， 所以(1)(e )0c h h ⋅<，由零点存在性定理知()h x 在(1e )(0)c ⊆+∞，，上必有零点． 综上，c 的取值范围为[1)∞，+． …… 9分（2）由题意得，当2k ≥时，ln 1k x x cx -≥对于任意正实数x 恒成立， 所以当2k ≥时，11ln k c x x x -+≤对于任意正实数x 恒成立，由（1）知，1ln 1x x+≥，两边同时乘以x 得，ln 1x x x +≥①， 两边同时加上1x得，11ln 12x x x x x +++≥≥②，所以1ln 1x x x +≥（*），当且仅当1x =时取等号．对（*）式重复以上步骤①②可得，21ln 1x x x +≥，进而可得，31ln 1x x x +≥，41ln 1x x x+≥，……，所以当2k ≥，*N k ∈时，11ln 1k x x x -+≥，当且仅当1x =时取等号．所以1c ≤． …… 12分 当c 取最大值1时，2ln 1k x x ax bx x +-≥≥对于任意正实数x 恒成立， 令上式中1x =得， 00a b +≥≥，所以0a b +=， 所以21ax ax x --≥对于任意正实数x 恒成立， 即2(1)10ax a x -++≥对于任意正实数x 恒成立， 所以0a >，所以函数2(1)1y ax a x =-++的对称轴102a x a+=>， 所以2(1)40a a ∆=+-≤，即2(1)0a -≤，所以1a =，1b =-． …… 14分 又由21ln 1k x x x-+≥，两边同乘以x 2得，2ln k x x x x +≥，所以当1a =，1b =-时，2ln k x x ax bx +≥也恒成立，综上，得1a =，1b =-． …… 16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内 作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）证明：因为EM ＝EN ，所以∠EMN ＝∠ENM ， …… 3分 因为ABCD 为圆内接四边形，所以∠FCN ＝∠A ，…… 6分又因为∠EMN ＝∠AFM ＋∠A ，∠ENM ＝∠BFM ＋∠FCN ，所以∠AFM ＝∠BFM ． …… 10分B ．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） （1）解：设a b M c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦， 则有13111311a b a b c d c d --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，， …… 2分 故3311a b c d a b c d +=⎧⎪+=⎪⎨-+=-⎪⎪-+=⎩ 解得2112a b c d ====，，，，所以2112M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．…… 5分 （2）由21131213--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，知(33)C '--，， 易求12133=1233M -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， …… 7分 由211133121133⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎣⎦，得(11)D -，， 所以=(42)DC '--u u u u r ，． …… 10分C ．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）解：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －3 (t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，…… 2分圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0． …… 5分 圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝12＝． …… 7分又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝14． …… 10分D ．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）证明：因为222151(22)5(3)()(2)044x y z xy yz zx x y x y z ++-++=-++-≥，…… 5分所以2(22)5(3)x y z xy yz zx ++++≥， 又因为221x y z ++=，所以135xy yz zx ++≤． …… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）（1）解：记“该同学获得i 个一等奖”为事件i A ，01i =，， 则()021111(1)(1)(1)(1)322224P A =-⨯-⨯-⨯-=，()31213212115(1)(1)(1)3232224P A C =⨯-+-⨯⨯⨯-=，所以该同学至多有一门学科获得一等奖的概率为()()0115124244P A P A +=+=． …… 4分（2）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4，()()01024P X P A ===，()()15124P X P A ===，()12223321121132(1)(1)()(1)3223228P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯⨯-=，()2233332112173()(1)(1)()3223224P X C C ==⨯⨯⨯-+-⨯⨯=，()32114()3212P X ==⨯=， 所以X 的概率分布为故()15972130123424242424246E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． …… 10分23．（本小题满分10分）（1）证明：因为22()(())(1)f x f f x f x x ==-+，所以22()(21)(1)f x x f x x ''=--+， 因为1x >，所以210x ->，211x x -+>，所以22(1)2(1)10f x x x x '-+=-+->，所以2()0f x '>，所以2()f x 在(1)+∞，上为增函数． …… 4分（2）结论：对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．证明：①当n =1时，结论显然成立；②假设当n =k 时结论也成立，即()k f x 在(1)+∞，上为增函数， 所以当1x >时，()0k f x '>在(1)+∞，上恒成立． 当n =k +1时，21()(())(1)k k k f x f f x f x x +==-+， 所以21()(21)(1)k k f x x f x x +''=--+ 又当1x >时，210x ->，211x x -+>，所以2(1)0k f x x '-+>在(1)+∞，上恒成立，所以21()(21)(1)0k k f x x f x x +''=--+>在(1)+∞，上恒成立， 所以1()k f x +在(1)+∞，上为增函数．由①②得证，对于任意*N n ∈，()n f x 在(1)+∞，上均为增函数．…… 10分。

开始输出n 输入p结束n ←1, S ←0S < pn ←n + 1S ←S + 2n NY（第5题）江苏省南通市2020届高三第二学期阶段性模拟考试数 学 试 题2020.05(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2log (1)2B x x =-<，则A B =I ▲ ． 2．设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 ▲ ．3．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线2x ﹣y ﹣1＝0上方的概率为 ．4．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．执行右边的程序框图，若p ＝14，则输出的n 的值为 ▲ ．6．函数22log (32)y x x =--的值域为 ▲ ．7．等差数列}{n a 中，若100119753=++++a a a a a ， 则=-1393a a ▲ ．8．现用一半径为10 cm ，面积为80π cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为 ▲ cm 3．9．已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ．10．已知实数,x y 满足40210440x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪+-⎩≤≥≥，则3z x y =+-的取值范围是 ▲ ．11．若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为 ▲ ．12．在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13．已知函数2210()0xx mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，，，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．14．已知[)0,2θπ∈，若关于k ()33sin cos k θθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分. 解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，． （1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =， AC 交BD 于O ，锐角PAD ∆所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =． （1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥．17．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：224x y +=，直线l ：43200x y +-=．43()55A ，为 圆O 内一点，弦MN 过点A ，过点O 作MN 的垂线交l 于点P ． （1）若MN ∥l ，求△PMN 的面积．（2）判断直线PM 与圆O 的位置关系，并证明．18．(本小题满分16分)如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面。

2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题一、填空题1．设集合{}1,3A =，{}2230B x x x =--<，则A B =I ____________.【答案】{}1【解析】先解不等式2230x x --<,再求交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2230x x --<,解得13x -<<,即{}|13B x x =-<<, 则{}1A B =I , 故答案为:{}1 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.2．已知i 12i z ⋅=+（i 为虚数单位），则复数z =________． 【答案】2i - 【解析】【详解】 解：i 12i z ⋅=+Q()212122i ii z i i i++∴===- 故答案为：2i - 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题. 3．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______． 【答案】0x ∀<，2210x x --≤【解析】根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可. 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤ 故答案为：0x ∀<，2210x x --≤． 【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________． 【答案】56【解析】试题分析：根据题意，记白球为A ，红球为B ，黄球为12,C C ，则 一次取出2只球，基本事件为AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 、12C C 共6种， 其中2只球的颜色不同的是AB 、1AC 、2AC 、1BC 、2BC 共5种； 所以所求的概率是56P =． 【考点】古典概型概率5．“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一） 【答案】充分不必要【解析】由余弦的二倍角公式可得()()22cos2cos sin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,即sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,即可判断命题的关系.【详解】 由()()22cos2cossin cos sin cos sin 0ααααααα=-=-+=,所以sin cos 0αα-=或sin cos 0αα+=,所以“sin cos 0αα+=”是“cos20α=”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要 【点睛】本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用. 6．已知等比数列的前项和为，若，则的值是 ．【答案】-2 【解析】试题分析：，【考点】等比数列性质及求和公式 7．若幂函数()a f x x =的图象经过点)122，，则其单调递减区间为_______．【答案】(0,)+∞【解析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再求出()f x 的单调递减区间． 【详解】解：幂函数()a f x x =的图象经过点1(2,)2，则1(2)2a=， 解得2a =-；所以2()f x x -=，其中()(),00,x ∈-∞+∞U ；所以()f x 的单调递减区间为(0,)+∞． 故答案为：(0,)+∞． 【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题． 8．若函数()sin 3f x x x ωω= (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于2π，则ω的值为___________. 【答案】1【解析】利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π,进而求解即可. 【详解】由题,()sin 32sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭, 因为()0fα=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2π, 所以142T π=,即2T π=,所以2212T ππωπ===,故答案为:1 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.9．已知函数()2241020ax x x f x x bx c x ⎧--≥=⎨++<⎩，，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若AB ＝BC ，则实数t 的值为_________． 【答案】52-【解析】由()f x 是偶函数可得0x >时恒有()()f x f x -=，根据该恒等式即可求得a ，b ，c 的值，从而得到()f x ，令()t f x =，可解得A ，B ，C 三点的横坐标，根据AB BC =可列关于t 的方程，解出即可． 【详解】解：因为()f x 是偶函数，所以0x >时恒有()()f x f x -=，即22241x bx c ax x -+=--， 所以2(2)(4)10a x b x c -+---=，所以204010a b c -=⎧⎪-=⎨⎪+=⎩，解得2a =，4b =，1c =-；所以22241,0()241,0x x x f x x x x ⎧--=⎨+-<⎩…； 由2241t x x =+-，即22410x x t +--=，解得1x =-；故1A x =--1B x =- 由2241t x x =--，即22410x x t ---=，解得1x =．故1C x =1D x =． 因为AB BC =，所以B A C B x x x x -=-252t =-， 故答案为：52-． 【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质，考查学生的计算能力，属中档题．10．设集合{}1 A a =-，，e e 2a B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，（其中e 是自然对数的底数），且A B ⋂≠∅，则满足条件的实数a 的个数为______． 【答案】1【解析】可看出2aa e ≠，这样根据A B ≠∅I即可得出2a =，从而得出满足条件的实数a 的个数为1． 【详解】解：A B ≠∅Q I ， 2a ∴=或2aa e =，在同一平面直角坐标系中画出函数y x =与2xy e =的图象，由图可知y x =与2xy e =无交点， 2aa e ∴=无解，则满足条件的实数a 的个数为1． 故答案为：1． 【点睛】考查列举法的定义，交集的定义及运算，以及知道方程2xx e =无解，属于基础题．11．已知过点O 的直线与函数3xy =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A作y 轴的平行线交函数9xy =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A 的横坐标是【答案】3log 2【解析】通过设出A 点坐标，可得C 点坐标，通过BC ∥x 轴，可得B 点坐标，于是再利用OA OB k k =可得答案. 【详解】根据题意，可设点(),3aA a ，则(),9aC a ,由于BC ∥x 轴，故9a CB yy ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OAOB kk =，即392a aa a=，解得3log 2a =.12．设点P 在函数()1e 2xf x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________)1ln 2-【解析】由解析式可分析两函数互为反函数,则图象关于y x =对称,则点P 到y x =的距离的最小值的二倍即为所求,利用导函数即可求得最值. 【详解】 由题,因为()1e 2xf x =与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =的距离为d =, 设()12xh x e x =-, 则()112xh x e '=-,令()0g x ¢=,即ln 2x =, 所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增,所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,则min d =, 所以PQ的最小值为)min 21ln 2d =-,故答案为)1ln 2- 【点睛】本题考查反函数的性质的应用,考查利用导函数研究函数的最值问题.13．设()f x 为偶函数，且当(]2,0x ∈-时，()()2f x x x =-+；当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =--．关于函数()()g x f x m =-的零点，有下列三个命题：①当4a =时，存在实数m ，使函数()g x 恰有5个不同的零点； ②若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个，则2a ≤； ③对()1m ∀∈+∞，，()4a ∃∈+∞，，函数()g x 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．其中，正确命题的序号是_______． 【答案】①②③【解析】根据偶函数的图象关于y 轴对称，利用已知中的条件作出偶函数的图象，利用图象对各个选项进行判断即可. 【详解】解：当4a =时()()[)()()[)20,2422,x x x f x x x x ⎧--∈⎪=⎨--∈+∞⎪⎩又因为()f x 为偶函数∴可画出()f x 的图象，如下所示：可知当0m =时()()g x f x m =-有5个不同的零点；故①正确； 若[]01m ∀∈，，函数()g x 的零点不超过4个， 即[]01m ∀∈，，()y f x =与y m =的交点不超过4个， 2x ∴≥时()0f x ≤恒成立又Q 当[)2x ∈+∞，时，()()()2f x a x x =-- 0a x ∴-≤在[)2x ∈+∞，上恒成立a x ∴≤在[)2x ∈+∞，上恒成立 2a ∴≤由于偶函数()f x 的图象，如下所示：直线l 与图象的公共点不超过4个，则2a ≤，故②正确； 对()1m ∀∈+∞，，偶函数()f x 的图象，如下所示：()4a ∃∈+∞，，使得直线l 与()g x 恰有4个不同的交点点，且相邻点之间的距离相等，故③正确． 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数方程思想，数形结合思想，属于难题.14．已知函数()2211x kx f x x x ++=++，若对于任意正实数123,,x x x ，均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边边长的三角形，则实数k 的取值范围是_______.【答案】1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】根据三角形三边关系可知()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,将()f x 的解析式用分离常数法变形,由均值不等式可得分母的取值范围,则整个式子的取值范围由1k -的符号决定,故分为三类讨论,根据函数的单调性求出函数值域,再讨论k ,转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式,进而求出k 的取值范围. 【详解】因为对任意正实数123,,x x x ,都存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形, 故()()()123f x f x f x +>对任意的123,,x x x 恒成立,()()222111111111k x x kx k f x x x x x x x-++-==+=+++++++,令113t x x =++≥, 则()113k y t t-=+≥, 当10k ->,即1k >时,该函数在[)3,+∞上单调递减,则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 当1k =,即1k =时,{}1y ∈,当10k -<,即1k <时,该函数在[)3,+∞上单调递增,则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,所以,当1k >时,因为()()122423k f x f x +<+≤,()3213k f x +<≤, 所以223k +≤,解得14k <≤； 当1k =时,()()()1231f x f x f x ===,满足条件；当1k <时,()()122423k f x f x +≤+<,且()3213k f x +≤<, 所以2413k +≥,解得112k -≤<, 综上,142k -≤≤,故答案为:1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查参数范围,考查三角形的构成条件,考查利用函数单调性求函数值域,考查分类讨论思想与转化思想.二、解答题15．已知集合{}220A x x x =-->，集合(){}222550B x x k x k =+++<，k ∈R .（1）求集合B ；（2）记M A B =I ，且集合M 中有且仅有一个整数，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭（2）[)(]3,23,4-⋃ 【解析】（1）由不等式22(25)50x k x k +++<可得(25)()0x x k ++<,讨论k -与52-的关系,即可得到结果；（2）先解得不等式220x x -->,由集合M 中有且仅有一个整数,当52k -<-时,则M 中仅有的整数为3-；当52k ->-时,则M 中仅有的整数为2-,进而求解即可. 【详解】解:（1）因为22(25)50x k x k +++<,所以(25)()0x x k ++<,当52k -<-,即52k >时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；当52k -=-,即52k =时,B =∅； 当52k ->-,即52k <时,5,2B k ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （2）由220x x -->得()(),12,x ∈-∞-⋃+∞, 当52k -<-,即52k >时,M 中仅有的整数为3-,所以43k -≤-<-,即(]3,4k ∈； 当52k ->-,即52k <时,M 中仅有的整数为2-, 所以23k -<-≤,即[)3,2k ∈-； 综上,满足题意的k 的范围为[)(]3,23,4-⋃ 【点睛】本题考查解一元二次不等式,考查由交集的结果求参数范围,考查分类讨论思想与运算能力.16．已知()π02α∈，，()ππ2β∈，，1cos 3β=-，()7sin 9αβ+=. （1）求sin α的值； （2）求tan +2βα⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案】（1）13（2 【解析】（1）先利用同角的三角函数关系解得sin β和()cos αβ+,再由()sin sin ααββ=+-⎡⎤⎣⎦,利用正弦的差角公式求解即可；（2）由（1）可得tan α和tan β,利用余弦的二倍角公式求得tan 2β,再由正切的和角公式求解即可. 【详解】 解:（1）因为1,,cos 23πβπβ⎛⎫∈=-⎪⎝⎭,所以sin β 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故3,22ππαβ⎛⎫+∈⎪⎝⎭,所以cos()9αβ+===-, 所以sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+71193933⎛⎛⎫=⨯---⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭（2）由（1）得,1sin3α=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos3α===,所以sintancosααα==,因为22222222cos sin1tan222cos cos sin22cos sin1tan222βββββββββ--=-==++且1cos3β=-,即221tan1231tan2ββ-=-+,解得2tan22β=,因为,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以,242βππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan02β>,所以tan2β=所以tan tan24tan1221tan tan122βαβαβα+⎛⎫+===⎪⎝⎭-⋅-【点睛】本题考查已知三角函数值求值,考查三角函数的化简,考查和角公式,二倍角公式,同角的三角函数关系的应用,考查运算能力.17．设数列{}n a，{}n b的各项都是正数，n S为数列{}n a的前n项和，且对任意n*∈N，都有22n n na S a=-，1b e=，21n nb b+=，lnn n nc a b=⋅（e是自然对数的底数）.（1）求数列{}n a，{}n b的通项公式；（2）求数列{}n c的前n项和n T.【答案】（1）n a n=，12nnb e-=（2）(1)21nnT n=-⋅+【解析】（1）当2n≥时,21112n n na S a---=-,与22n n na S a=-作差可得11(2)n na a n--=≥,即可得到数列{}n a是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n nb b+=取自然对数,则1ln2lnn nb b+=,即{}lnnb是以1为首项,以2为公比的等比数列,即可求解；（2）由（1）可得1ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.【详解】解:（1）因为0n a >,22n n n a S a =-,①当1n =时,21112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有21112n n n a S a ---=-,②由①-②得,()()2211112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,又因为21n nb b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以1ln 2ln n nb b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,所以1ln 2n n b -=,即12n n b e -=（2）由（1）知,1ln 2n n n n c a b n -==⋅,所以1221112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④③减去④得:2112222n nn T n --=++++-⨯L()()121221212121n n n n n n n n -=-⨯=--⨯=---,所以(1)21nn T n =-⋅+【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和.18．已知矩形纸片ABCD 中，6,12AB AD ==，将矩形纸片的右下角沿线段MN 折叠，使矩形的顶点B 落在矩形的边AD 上，记该点为E ，且折痕MN 的两端点M ，N 分别在边,AB BC 上.设,MNB MN l θ∠==，EMN ∆的面积为S .（1）将l 表示成θ的函数，并确定θ的取值范围； （2）求l 的最小值及此时sin θ的值；（3）问当θ为何值时，EMN ∆的面积S 取得最小值？并求出这个最小值. 【答案】（1）23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3sin θ=，l 93.（3）6πθ=时，面积S 取最小值为83【解析】（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,利用三角函数定义分别表示,,,NB MB ME AM ,且6AM MB +=,即可得到l 关于θ的解析式；12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,即可得到θ的范围； （2）由（1）,若求l 的最小值即求2sin cos θθ的最大值,即可求24sin cos θθ的最大值,设为224()sin cos f θθθ=,令2cos x θ=,则22()(1)f x x θ=-,即可设2()(1)g x x x =-,利用导函数判断函数的单调性,即可求得()g x 的最大值,进而求解；（3）由题,23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭,则2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,()3(1)t h t t =-,利用导函数求得()h t 的最大值,即可求得S 的最小值.【详解】解:（1）,2ENM MNB EMA θθ∠=∠=∠=,故cos ,sin ,cos 2sin cos 2NB l MB ME l AM ME l θθθθθ=====. 因为6AM MB +=,所以sin cos2sin 6l l θθθ+=，, 所以263sin (cos 21)sin cos l θθθθ==+,又12BN ≤,6BM ≤,则2312sin cos 36cos 02BN BM θθθπθ⎧=≤⎪⎪⎪=≤⎨⎪⎪<<⎪⎩,所以124ππθ≤≤, 所以23sin cos 124l ππθθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）记()2sin cos ,124fππθθθθ=≤≤,则224()sin cos f θθθ=,设2cos x θ=,12,24x ⎡+∈⎢⎣⎦,则22()(1)f x x θ=-, 记2()(1)g x x x =-,则2()23g x x x ='-,令()0g x '=,则212,324x ⎡=∈⎢⎣⎦, 当12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0g x ¢>；当22,34x ⎡+∈⎢⎣⎦时,()0g x ¢<, 所以()g x 在12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在23⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当22cos3x θ==时l 取最小值,此时sin θ=,l.（3）EMN ∆的面积23191sin cos 22sin cos 124S l ππθθθθθ⎛⎫==⨯≤≤ ⎪⎝⎭, 所以2268114sin cos S θθ=⨯,设2cos 124t ππθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭,则12t ≤≤, 设3()(1)h t t t =-,则23()34h t t t '=-,令()0h t '=,312,424t ⎡+=∈⎢⎣⎦,所以当13,24t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,()0h t '>；当32,44t ⎡∈⎢⎣⎦时,()0h t '<,所以()h t 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在34⎡⎢⎣⎦上单调递减,故当23cos 4t θ==,即6πθ=时,面积S 取最小值为【点睛】本题考查三角函数定义的应用,考查利用导函数求最值,考查运算能力.19．已知函数()y f x =.若在定义域内存在0x ，使得()()00f x f x -=-成立，则称0x 为函数()y f x =的局部对称点.（1）若a ，b R ∈且a ≠0，证明：函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点；（2）若函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点，求实数c 的取值范围；（3）若函数()12423xx h x m m +=-⋅+-在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）见解析（2）514c -≤≤-（3）1m ≤【解析】（1）若函数()2f x ax bx a =+-有局部对称点,则()()0f x f x -+=,即()()220ax bx a ax bx a +-+--=有解,即可求证；（2）由题可得()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解,则222x x c --=+,设2(11)xt x =-≤≤,利用导函数求得22x x -+的范围,即可求得c 的范围；（3）由题可得()()0h x h x -+=在R 上有解,即()12124234230x x x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=在R 上有解,设22(2)x x t t -+=≥,则可变形为方程222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解,进而求解即可. 【详解】（1）证明:由()2f x ax bx a =+-得()2f x ax bx a -=--,代入()()0f x f x -+=得()()220ax bx a ax bx a +-+--=,则得到关于x 的方程20(0)ax a a -=≠,由于a R ∈且0a ≠,所以1x =±, 所以函数()2(0)f x ax bx a a =+-≠必有局部对称点（2）解:由题,因为函数()2xg x c =+在定义域[]1,1-内有局部对称点所以()()0g x g x -+=在[]1,1-内有解,即方程2220x x c -++=在区间[]1,1-上有解, 所以222x x c --=+, 设2(11)xt x =-≤≤,则122t ≤≤,所以12c t t -=+令11(),22s t t t t =+≤≤,则221(1)(1)()1t t s t t t-+'=-=, 当1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0s t '<,故函数()s t 在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,当()1,2t ∈时,()0s t '>,故函数()s t 在区间()1,2上单调递增, 所以()()min 12s t s ==, 因为1522s ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()522S =,所以()max 52s t =,所以1522t t ≤+≤, 所以514c -≤≤- （3）解:由题,12()423x x h x m m --+-=-⋅+-, 由于()()0h x h x -+=,所以()12124234230xx x x m m m m --++-⋅+-+-⋅+-=,所以()()()244222230x xxx m m --+-++-=（）在R 上有解,令22(2)xxt t -+=≥,则2442x x t -+=-,所以方程（）变为222280t mt m -+-=在区间[)2,+∞内有解, 需满足条件：()2248402m m ⎧∆=--≥≥,即1m m ⎧-≤≤⎪⎨-≤≤⎪⎩得1m ≤【点睛】本题考查函数的局部对称点的理解,利用导函数研究函数的最值问题,考查转化思想与运算能力.20．已知函数()ln f x x =．（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；（2）设函数()f x 的图象与函数1a y x x=+-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；（3）若0k >，且不等式()()()2211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„【解析】（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112()1x xln x x >-，构造函数进而求证； （3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)()1k x h x lnx x -=-+，分类讨论进而求解． 【详解】解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1xg x x x-'=-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．（2）由题意Q 11122211a lnx x x a lnx x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩， 211221(1)lnx lnx a x x x x -∴=--g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证211212121(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g，即证2112()1x x ln x x >-，令211x t x =>，则11lnt t>-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t<-， 即11lnt t>-，所以原不等式成立．（3）不等式22(1)()x lnx k x --…对一切正实数x 恒成立，222(1)(1)(1)(1)[]1k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ， 设(1)()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题. 21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵A ＝01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (k≠0)的一个特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦， A 的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a ，k 的值．【答案】解：设特征向量为α＝1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的特征值为λ，则01a k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦＝λ1k ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，即1ak k kλλ-=⎧⎨=⎩ 因为k≠0，所以a ＝2． 5分 因为13111A -⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以A 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即201k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝31⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2＋k ＝3，解得 k ＝1．综上，a ＝2，k ＝1． 10分 【解析】试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 【考点】特征向量, 逆矩阵点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵． 22．本小题满分14分）已知曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1,231x t yt ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），求直线l 被曲线C 截得的线段的长度【答案】15)21(2222=-【解析】解：解：将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2240x y y +-=， 即22(2)4x y +-=，它表示以(0,2)为圆心，2为半径圆， ………………………4分 直线方程l 的普通方程为31y x =+， ………8分 圆C 的圆心到直线l 的距离21=d ，……………………………10分 故直线l 被曲线C 截得的线段长度为15)21(2222=-．……………14分23．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2PA AB ==，点M 、N 分别在线段PA 、BD 上，13BN BD =．（1）若13PM PA =，求证：MN ⊥AD ；（2）若二面角M BD A --的大小为4π，求线段MN 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：由于图形是正四棱锥，因此设AC 、BD 交点为O ，则以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系，可用空间向量法解决问题．（1）只要证明MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0即可证明垂直；（2）设44040a b a -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩＝λ()2010,,013y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎭⎪⎩，得M(λ，0，1－λ)，然后求出平面MBD 的法向量n ，而平面ABD 的法向量为OP uuu r ，利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得λ．试题解析: (1)连结AC 、BD 交于点O，以OA 为x 轴正方向，以OB 为y 轴正方向，OP 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．因为PA ＝AB ，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，P(0，0，1)． 由BN u u u r ＝13BD u u u r ，得N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由PM u u u u r ＝13PA u u u r ，得M 12,0,33⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以1112,,3333MN ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r ，AD u u u r ＝(－1，－1，0)． 因为MN AD ⋅u u u u r u u u r ＝0，所以MN ⊥AD(2) 解：因为M 在PA 上，可设PM u u u u r ＝λPA u u u r ，得M(λ，0，1－λ)．所以BM u u u u r ＝(λ，－1，1－λ)，BD u u u r ＝(0，－2，0)．设平面MBD 的法向量n r ＝(x ，y ，z)，由00n BD n BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r ，得()2010y x y z λλ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩ 其中一组解为x ＝λ－1，y ＝0，z ＝λ，所以可取n r ＝(λ－1，0，λ)．因为平面ABD 的法向量为OP uuu r ＝(0，0，1)，所以cos 4π＝n OP n OP ⋅r u u ur r u u u r ，即2，解得λ＝12， 从而M 11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，N 10,,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以MN ＝6． 【考点】用空间向量法证垂直、求二面角．24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A ”和“B ”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p ，选择错误的概率为q ，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n 道题后总得分为n S ”.（1）当12p q ==时，记3S ξ=，求ξ的分布列及数学期望； （2）当13p =，23q =时，求82S =且()01234i S i ≥=，，，的概率. 【答案】（1）见解析，0（2）802187 【解析】（1）3S ξ=即该选手答完3道题后总得分,可能出现的情况为3道题都答对,答对2道答错1道,答对1道答错2道,3道题都答错,进而求解即可；（2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又0(1,2,3,4)i S i ≥=,则第一题答对,第二题第三题至少有一道答对,进而求解.【详解】解:（1）ξ的取值可能为3-,1-,1,3,又因为12p q ==, 故311(3)28P ξ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭,311(3)28P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭, 223113(1)228P C ξ⎛⎫=-=⨯⨯= ⎪⎝⎭,223113(1)228P C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭, 所以ξ的分布列为：所以1331()(3)(1)308888E ξ=-⨯+-⨯++⨯= （2）当82S =时,即答完8题后,正确的题数为5题,错误的题数是3题,又已知0(1,2,3,4)i S i ≥=,第一题答对,若第二题回答正确,则其余6题可任意答对3题；若第二题回答错误,第三题回答正确,则后5题可任意答对题，此时的概率为()5333658712308803333P C C ⨯⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或802187）. 【点睛】本题考查二项分布的分布列及期望,考查数据处理能力,考查分类讨论思想.。

2020年江苏高考数学全真模拟试卷二（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合U={x ｜x ＞1}, A ={ x ｜x ＞2},则∁U A = ▲ ．2.已知复数z 满足(1+i )z =i2020 (i 为虚数单位),则z 在复平面内对应的点位于第 ▲ 象限. 3.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的方差为 ▲ ． 4.已知向量a =(1,2),b =(2,－1)则a ・(a －b )的值为 ▲ ． 5.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．6.在一个不透明的口袋中装有形状、大小都相同的红球和黄球共5个, 从中随机取出1个球,该球是红球的概率是25 .现从中一次随机取出2个球,则这2个球的颜色相同的概率为 ▲ ． 7.已知x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，y ≥x -2，y ≤1，,则z=y -3x的最大值为 ▲ ． 8. 将函数f (x ) = sin ωx (ω>0)的图象向右平移π6 个单位长度,得到函数y =g (x )的图像，若y =g (x )是偶函数,则ω的最小值为 ▲ ．（第3题图）9. 已知一个圆柱的高为3cm,体积为12πcm 3,则该圆柱的外接球的表面积为 ▲ cm 2． 10.已知函数f (x ) =2x x 2+4 , g (x ) = ( 12)｜x -2｜+ a ．若对任意x 1∈[1, +∞)，都存在x 2∈[1, +∞)， 使得f (x 1) =g (x 2),则实数a 的取值范围是 ▲ ．11.在平面直角坐标系xOy 中, 双曲线C : x 2a 2－y 2b2=1 (a >0，b >0)的左焦点F 作倾斜角为30°的直线,与圆C ′:x 2+y 2=b 2交于点A ,B .若∠AOB =60°,则双曲线C 的离心率为 ▲ ．12.设数列{a n }的前n 项和为S n ,若1, a n , S n 成等差数列,则a 1 + a 2+…+ a n 的值为 ▲ ． 13.如图,在等腰三角形ABC 中,AB =2,AC =BC = 5 .若D 是△ABC 所 在平面内一点,且DB → ・DC → =0.设AD → =λAB → +μAC →,则λ+μ的最大值 为 ▲ ．14.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋3x 2＋t ， x ≤0，3x －1，x ﹥0， 若函数y = f (f (x )) 恰好有4个不同的零点，则实数t 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P -ABCD 中,BA ⊥AD ,CD ⊥AD ,E 是棱PD 上一点,AE ⊥PD ,AE ⊥AB . (1) 求证: AB ∥平面PCD ; (2) 求证: 平面ADP ⊥平面PCD .（第13题）（第15题）ACDBEP16.(本小题满分14分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 若cos2A +1=2 sin 2 A 2. (1) 求角A 的大小;(2) 若b =4,c =5,求sin(B+π3 )的值.17.(本小题满分14分)某公司准备设计一个精美的心形巧克力盒子,它是由半圆O 1、半圆O 2和正方形ABCD 组成的,且AB =8cm.设计人员想在心形盒子表面上设计一个矩形的标签EFGH ,标签的其中两个顶点E ,F 在AM 上,另外两个顶点G ,H 在CN 上(M ,N 分别是AB ,CB 的中点)设EF 的中点为P ,∠FO 1P =θ,矩形EFGH 的面积为S cm 2.(1) 写出S 关于θ的函数关系式S(θ); (2) 当θ为何值时,矩形EFGH 的面积最大?18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆E : x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0)的短轴长为2,离心率为 22 .(1) 求椭圆E 的标准方程;(2) 若直线l 与椭圆E 相切于点P (点P 在第一象限内),与圆x 2+y 2=12相交于点A ,B , 且AP → =2PB →,求直线l 的方程.（第17题）M N ··DACHB E PO 1GF O 2·· （第17题）19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的两个数列{a n },{b n }满足a n +1+1 a n +2 =a na n +1－1 ,2a n =log 2b n + log 2 b n +1+ 1且a 1=b 1=1 .(1) 求证:数列{a n }为等差数列; (2) 求数列{b n }的通项公式;(3) 设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,求使得等式2S m +a m -36=T i 成立的有序 数对(m ,i )(m ,i ∈N ※) .20.(本小题满分16分)已知函数f (x )=(x -1)e x ,g (x )=a +ln x ,其中e 是自然对数的底数. (1) 若曲线y =f (x )在x =1处的切线与曲线y =g (x )也相切. ①求实数a 的值;②求函数φ(x )=f (x )+e |g (x ) |的单调区间;(2) 设h (x )=bf (x )－g (x )+a , 求证: 当0<b <1e 时,h (x )恰好有2个零点.数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知变换T: ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y → ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′ = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a x 2x +2y , 试写出变换T 对应的矩阵A ,并求出其逆矩阵A -1.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程⎩⎨⎧ x =1+t y =3t (t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x =2m 2y =2m(m为参数). 若直线l 与曲线C 相交于点A ,B ,求△OAB 的面积.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ，且a +b +c =3, a 2+b 2+2c 2=6,求实数a 的取值范围.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在直三校柱ABC －A 1B 1C 1中,△ABC 是等直角三角形,∠ACB =90°,AB =4 2 ,M 是AB 的中点,且A 1M ⊥B 1C ．(1) 求A 1A 的长;(2) 已知点N 在棱CC 1上,若平面B 1AN 与平面BCC 1B 1所成锐二面角的平面角的余弦值为1010，试确定点N 的位置．23.(本小题满分10分)已知正整数n ≥2,集合P ={x |1≤x ≤n ,x ∈N },A ,B ,C 是集合P 的3个非空子集，记 a n ,为所有满足A B , A U B U C =P 的有序集合对(A ,B ,C )的个数. (1)求a 2； (2)求a n（第22题）AC MBN C 1B 1A 1。

2020年江苏省南通市高考数学2.5模试卷一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合M ={x|x ≥0,x ∈R}，N ={x|x 2<1,x ∈R}，则M ∩N =________．2. 已知f(x)=x +1，i 是虚数单位，复数f(1+ai)1−i为纯虚数，则实数a 的值为______ ．3. 某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，则这组数据的方差为_______．4. 如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x =__________．5. 在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√10，则双曲线C的渐近线方程为___．6. 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答.若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是___．7. 若将函数f(x)=sin(2x +π4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是______．8. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为120°，且|a ⃗ |=|b ⃗ |=2，那么|a ⃗ −3b ⃗ |= ______ ．9. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，a 1，S 2，5成等差数列，则数列{a n }的公比q = ______ ． 10. 在平面直角坐标系xOy 中，己知圆C 过点A (0,−8)，且与圆x 2+y 2−6x −6y =0相切于原点，则圆C 的方程为 ___．11. 球的表面积为16πcm 2，则球的体积为______ cm 3． 12. 已知函数f(x)=|lgx|，a >b >0，f(a)=f(b)，则a 2+b 2a−b的最小值等于_________．13. 已知f(x)={−2x+1x 2,x >01x, x <0，则f(x)>−1的解集为______________．14. 在平行四边形ABCD 中，点M 在边CD 上，且满足DM =13DC ，点N 在CB 的延长线上，且满足CB =BN.若AB =3,AD =4，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为_________．二、解答题（本大题共11小题，共142.0分）15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2asinB=√3b，cosC=5．13(1)求sin A的值；(2)求cos B的值．16.已知如图P为平面ABCD外一点，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、PD的中点，求证：AF//平面PCE．17.“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心(记为B，C，D).当返回舱距地面1万米的P点时(假定以后垂直下落，并在A点着陆)，C救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B救援中心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°.D救援中心测得着陆点A位于其正东方向．(1)求B，C两救援中心间的距离；(2)D救援中心与着陆点A间的距离．18.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F(1,0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，A，B为左右顶点．过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，其中点P在第一象限，且点P到两个焦点的距离之和为4．(1)求椭圆C的标准方程；(2)记△AFP 与△BFQ 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2=32，求直线l 的方程．19. 已知各项是正数的数列{a n }的前n 项和为S n ．(1)若S n +S n−1=a n2+23(n ∈N ∗,n ≥2)，且a 1=2．①求数列{a n }的通项公式；②若S n ≤λ⋅2n+1对任意n ∈N ∗恒成立，求实数λ的取值范围；(2)数列{a n }是公比为q(q >0,q ≠1)的等比数列，且{a n }的前n 项积为10T n .若存在正整数k ，对任意n ∈N ∗，使得T (k+1)n T kn为定值，求首项a 1的值．20. 已知函数．(Ⅰ)若xf ′(x)⩽x 2+ax +1恒成立，求a 的取值范围； (Ⅱ)证明：(x −1)f(x)⩾0 ．21.已知矩阵A=[210a ]，其逆矩阵A−1=[b c01]，求A2．22.平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为{x=√3+2cosαy=1+2sinα(α为参数)，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P在射线l：θ=π3上，且点P到极点O的距离为4．(1)求圆C的普通方程与点P的直角坐标；(2)求△OCP的面积．23.若实数x，y，z满足4x+3y+12z=1，求x2+y2+z2的最小值．24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点是原点，以x 轴为对称轴，且经过点P(1,2)．(Ⅰ)求抛物线C 的方程；(Ⅱ)设点A ，B 在抛物线C 上，直线PA ，PB 分别与y 轴交于点M ，N ，|PM|=|PN|.求直线AB 的斜率．25. 设n ∈N ∗ , k ∈N , n ≥k ．(1)化简：C n+1k ⋅C n+1k+1C n k ⋅C n+2k+1；(2)已知(1−x)2n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 2n x 2n ，记F(n)=(n +1)∑ka k2n k=1.证明：F(n)能被2n +1整除．-------- 答案与解析 --------1.答案：[0,1)解析：本题考查集合的交集运算，求出N，然后利用交集的定义求解即可．解：由已知N={x|x2<1,x∈R}={x|−1<x<1,x∈R}，又M={x|x≥0,x∈R}，所以M∩N=[0,1)．故答案为[0,1)．2.答案：2；解析：解：∵f(x)=x+1，∴f(1+ai)=1+ai+1=2+ai，则f(1+ai)1−i =2+ai1−i=(2+ai)(1+i)(1−i)(1+i)=2−a+(a+2)i2=2−a2+a+22i，∵复数f(1+ai)1−i为纯虚数，∴{2−a=0a+2≠0，解得：a=2．故答案为：2．由函数解析式求出f(1+ai)，代入f(1+ai)1−i化简后由实部等于0且虚部不等于0求解a的值．本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．3.答案：545解析：先求出某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数，由此能求出这组数据的方差．解：某同学近5次考试的数学附加题的得分分别为30，26，32，27，35，∴某同学近5次考试的数学附加题的得分平均数为：x=15(30+26+32+27+35)=30，则这组数据的方差为：S2=15[(30−30)2+(26−30)2+(32−30)2+(27−30)2+(35−30)2]=545．故答案为545．4.答案：4解析：本题考查了条件结构算法语句的应用，属于基础题．首先由给定的条件得出f(x)的解析式，再解方程即可．解：由已知可得，当x≥0时，x2−3x−1=3，解得x=4或x=−1(舍)；当x<0时，，解得x=3(舍)，故x=4．故答案为4．5.答案：y=±3x解析：本题考查了双曲线的性质及几何意义．利用离心率得ba=3，再利用渐近线方程得结论．解：国为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√10，所以ca =√a2+b2a=√1+(ba)2=√10，解得b a=3，因此双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±3x．故答案为y=±3x．6.答案：12．解析：。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（ ）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=， 故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数， 所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-， 所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.2．已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩L …()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-L ，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B . 【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12B ．C D 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点， 故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 4．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[]1,2上是减函数，令12121ln 2,,log 24a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b <<【答案】C 【解析】 【分析】可设[]0,1x ∈，根据()f x 在R 上为偶函数及(2)()f x f x +=-便可得到：()()(2)f x f x f x =-=-+，可设1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，根据()f x 在[]1,2上是减函数便可得出12()()f x f x <，从而得出()f x 在[]0,1上单调递增，再根据对数的运算得到a 、b 、c 的大小关系，从而得到()()(),,f a f b f c 的大小关系. 【详解】解：因为ln1ln 2ln e <<，即01a <<，又12124b -⎛⎫== ⎪⎝⎭，12log 21c ==-设[]0,1x ∈，根据条件，()()(2)f x f x f x =-=-+，[]21,2x -+∈； 若1x ，[]20,1x ∈，且12x x <，则：1222x x -+>-+；()f x Q 在[]1,2上是减函数；12(2)(2)f x f x ∴-+<-+；12()()f x f x ∴<；()f x ∴在[]0,1上是增函数；所以()()()20f b f f ==，()()()11f c f f =-=∴()()()f b f a f c <<故选：C【点睛】考查偶函数的定义，减函数及增函数的定义，根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程：设12x x <，通过条件比较1()f x 与2()f x ，函数的单调性的应用，属于中档题.5．如图是函数sin()R,A 0,0,02y A x x πωφωφ⎛⎫=+∈>><< ⎪⎝⎭在区间5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将sin (R)y x x =∈的图象上的所有的点( )A ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 B ．向左平移3π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变 D ．向左平移6π个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的最大值求出A ，根据周期求出ω，由五点画法中的点坐标求出ϕ，进而求出sin()y A x ωφ=+的解析式，与sin (R)y x x =∈对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【详解】由图可知1,A =T π=，2ω∴=，又2()6k k πωϕπ-+=∈z ，2()3k k πϕπ∴=+∈z ，又02πφ<<，3πϕ∴=，sin 23y x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭， ∴为了得到这个函数的图象，只需将sin ()y x x R =∈的图象上的所有向左平移3π个长度单位， 得到sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 再将sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可.故选:A 【点睛】本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题.6．已知0.212a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，120.2b -=，13log 2c =，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．b c a >>D ．a c b >>【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和0,1做对比，即可判断. 【详解】由于0.2110122⎛⎫⎛⎫<<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，120.2-==， 1133log 2log 10<=故b a c >>. 故选：B. 【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.7．若1nx ⎫⎪⎭的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A ．85 B ．84C ．57D ．56【答案】A 【解析】 【分析】先求n ，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.【详解】解：31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数和为256 故2256n =，8n =88433188r r r rr r T C xxC x---+==要求展开式中的有理项，则258r =，，则二项式展开式中有理项系数之和为：258888++=85C C C 故选：A 【点睛】考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 8．设a R ∈，0b >，则“32a b >”是“3log a b >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可. 【详解】若32a b >， 0b >，则3log 2a b >，可得3log a b >； 若3log a b >，可得3a b >，无法得到32a b >， 所以“32a b >”是“3log a b >”的充分而不必要条件. 所以本题答案为A. 【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：① 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件； ② 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件； ③ 若p q ⇒为真命题且q p ⇒为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④ 若p q ⇒为假命题且q p ⇒为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件. ⑤ 判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系. 9．已知集合M ＝{y ｜y ＝，x ＞0}，N ＝{x ｜y ＝lg （2x －）}，则M∩N 为（ ）A ．（1，＋∞）B ．（1，2）C ．[2，＋∞）D ．[1，＋∞）【答案】B 【解析】，，∴．故选．10．已知x ，y R ∈，则“x y <”是“1xy<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】x y <，不能得到1x y <， 1xy<成立也不能推出x y <，即可得到答案. 【详解】 因为x ，y R ∈，当x y <时，不妨取11,2x y =-=-，21x y=>，故x y <时，1xy<不成立， 当1xy<时，不妨取2,1x y ==-，则x y <不成立， 综上可知，“x y <”是“1xy<”的既不充分也不必要条件， 故选：D 【点睛】本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.11．已知函数()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，则“()f x 在(3,)+∞上是单调函数”是“01a <<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先求出复合函数()f x 在(3,)+∞上是单调函数的充要条件，再看其和01a <<的包含关系，利用集合间包含关系与充要条件之间的关系，判断正确答案. 【详解】()log (|2|)(0a f x x a a =-->，且1a ≠)，由20x a -->得2x a <-或2x a >+，即()f x 的定义域为{2x x a <-或2}x a >+，（0,a >且1a ≠） 令2t x a =--，其在(,2)a -∞-单调递减，(2,)a ++∞单调递增，()f x 在(3,)+∞上是单调函数，其充要条件为2301a a a +≤⎧⎪>⎨⎪≠⎩即01a <<. 故选：C. 【点睛】本题考查了复合函数的单调性的判断问题，充要条件的判断，属于基础题.12．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年江苏省南通市高考数学模拟试卷(二)一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={x|x<3}，集合B={x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是______．2.已知复数z满足|z|−z.=2−4i，则z=______ ．3.已知高二年级共有1500名学生，其中文科生600名，理科生900名．现采用分层抽样的方法抽取25名学生，则需要从文科生中抽取学生人数为________．4.一算法的流程图如图所示，则输出S为______ ．+√3−x的定义域为______ ．5.函数f(x)=11−x26.编号为1，2，3，4的四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个不同的盒子中，每个盒子放一个球，则其中至多有一个球的编号与盒子的编号相同的概率为___________．7.已知y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，g(3)=3，则g(−3)=______．8.已知双曲线C1：x2−y2=1，若抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离3为1，则抛物线C2的方程为______．9.已知{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，则其前13项和S13=______．10.已知sinθ=4，sinθ−cosθ>1，则sin2θ=_________．511.若圆锥底面半径为1，高为√3，则其侧面积为______．12.已知圆O：x2+y2=1，圆M：(x−a)2+(y−2)2=2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为______．13.已知a⃗是平面内的单位向量，若向量b⃗ 满足b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，则|b⃗ |的取值范围是________．14.已知函数f(x)=e x−1+x−2(e为自然对数的底数).g(x)=x2−ax−a+3.若存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，则实数a的取值范围是______．二、解答题（本大题共10小题，共130.0分）15.已知△ABC的内角A、B的对边分别为a、b，A=45°，cosC=3．5(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)若a+b=12，求△ABC的面积．16.如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，且BC=2AD，AD⊥CD，PB⊥CD，点E在棱PD上，且PE=2ED．(1)求证：平面PCD⊥平面PBC；(2)求证：PB//平面AEC．17.如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G.为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ 分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA=CB，记道路CA、CB长之和为L．(1)①设∠ACO=θ，求出L关于θ的函数关系式L(θ)；②设AB=2x米，求出L关于x的函数关系式L(x)．(2)若新建道路每米造价一定，请选择(1)中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是√22，且过点P(√2,1).直线y=√22x+m与椭圆C相交于A，B两点．(1)求椭圆C的方程；(2)求△PAB的面积的最大值；(3)设直线PA，PB分别与y轴交于点M，N.判断|PM|，|PN|的大小关系，并加以证明．19.已知数列{a n}的前n项和S n，S n=3a n−1．2(1)求a n；(2)若b n=(n−1)a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求T n．20.函数f(x)=xlnx−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为−2．(1)求实数a的值；(2)求f(x)的单调区间．21.已知矩阵A=[12−1x]的一个特征值为2，求矩阵A的逆矩阵．22.在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ(a>0)，直线l：ρcos(θ−π3)=32，C与l有且只有一个公共点，求a．23.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点D(2,y0)在抛物线C上，且|DF|=3，直线y=x−1与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△OAB的面积．24.某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．【答案与解析】1.答案：m ≥3,解析：本题考查子集，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．解：∵A ={x|x <3}，集合B ={x|x <m }，A ⊆B∴m ≥3,故答案为m ≥3,2.答案：3−4i解析：解：设z =a +bi(a,b ∈R)，∵|z|−z .=2−4i ，∴√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，∴√a 2+b 2−a =2，b =−4，解得b =−4，a =3．则z =3−4i ．故答案为：3−4i ．设z =a +bi(a,b ∈R)，|z|−z .=2−4i ，可得√a 2+b 2−(a −bi)=2−4i ，可得√a 2+b 2−a =2，b =−4，解出即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3.答案：10解析：本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．根据分层抽样的定义，即可得到结论．解：设从文科生中抽取学生人数为x ，则x 25=6001500，解得：x =10,故从文科生中抽取学生人数为10人，故答案为10．4.答案：12解析：初始条件：i =1，s =1；判断1<10，成立，1次循环：i =4，s =5；判断4<10，成立，2次循环：i =7，s =12；判断12<10，不成立，输出S =12．故填空：12．按流程线方向演算出赋值的结果，判断是否符合终止条件，若符合，则循环；若不符合，则输出最后算出的S 的值．考查了算法程序框图，循环结构，赋值语句，属于基础题．5.答案：{x|x ≤3且x ≠±1}解析：解：要使函数有意义，则{1−x 2≠03−x ≥0， 即{x ≠±1x ≤3， 即函数的定义域为{x|x ≤3且x ≠±1}，故答案为：{x|x ≤3且x ≠±1}根据函数成立的条件即可求函数的定义域．本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．6.答案：1724解析：本题考查了概率问题，算出总的情况，再计算出至多有一个球的编号与盒子的编号相同的情况，即可得出答案．解：不考虑任何条件限制，放法总数为24种．恰由一个球的号码与盒子号码相同，其放法有8种．没有球的号码与盒子号码相同，其放法总数有9种，故P=8+924=1724．故答案为1724．7.答案：−9解析：本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的分析与计算能力，属于基础题．可得f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6，又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．解：∵y=f(x)是偶函数，且f(x)=g(x)−2x，∴f(−3)=g(−3)+6，f(3)=g(3)−6又f(−3)=f(−3)，g(3)=3，则g(−3)=−9．故答案为：−9．8.答案：x2=8y解析：本题考查抛物线与双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．求出双曲线的渐近线方程，抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解：双曲线C1：x2−y23=1，的渐近线：√3x±y=0，抛物线的焦点坐标为：(0,p2)，抛物线C2：x2=2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，可得：p2√1+3=1，解得p=4，抛物线C2：x2=8y．故答案为：x2=8y．9.答案：65解析：解：{a n}是等差数列，a4+a7+a10=15，∴3a7=15，∴a7=5，∴S13=a7×13=65故答案为：65根据等差数列的性质，以及数列前n项和的公式即可求解．本题主要考查了等差数列的求和公式及等差数列的性质的应用，属于基础试题．10.答案：−2425解析：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式及应用，属于基础题．由题意cosθ<0，利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．解：因为sinθ=4，sinθ−cosθ>1，5所以cosθ<0，则cosθ=−√1−sin2θ=−3，5．则sin2θ=2sinθcosθ=−2425．故答案为−242511.答案：2π解析：解：圆锥的高位√3，底面半径为1，所以圆锥的母线为：2，×2π×2=2π圆锥的侧面积：12故答案为：2π．先求圆锥的母线，然后直接利用圆锥侧面积公式求解即可．本题考查圆锥的侧面积公式，是基础题．12.答案：[−2,2]解析：解：根据题意，圆O：x2+y2=1，若过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，若OA⊥PA，OB⊥PB，又由PA⊥PB，则四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，则P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得：−2≤a≤2，即a的取值范围为[−2,2]；故答案为：[−2,2]．根据题意，由圆的切线性质分析可得四边形OAPB为正方形，则|OP|=√2，据此分析可得P的轨迹是以O为圆心，半径r=√2的圆，其方程为x2+y2=2；进而可得若圆M上存在这样的点P，则圆M与x2+y2=2有公共点，则有√2−√2≤√a2+4≤√2+√2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查圆的方程的应用，涉及圆与圆的位置关系，关键是分析P的轨迹．13.答案：[0,1]解析：本题考查了向量的数量积，属于基础题．设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，由题意得a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，所以|b⃗ |=cosθ即可求解．解：设a⃗与b⃗ 的夹角θ，(0≤θ≤π)，∵b⃗ ·(a⃗−b⃗ )=0，∴a⃗·b⃗ −b⃗ 2=|a⃗||b⃗ |cosθ−|b⃗ |2=0，∵|a⃗|=1∴|b⃗ |=cosθ∴|b⃗ |∈[0,1]．故答案为[0,1]．14.答案：[2,3]解析：解：函数f(x)=e x−1+x−2的导数为f′(x)=e x−1+1>0，f(x)在R上递增，由f(1)=0，可得f(x1)=0，解得x1=1，存在实数x1，x2，使得f(x1)=g(x2)=0.且|x1−x2|≤1，即为g(x2)=0且|1−x2|≤1，即x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，令t=x+1(1≤t≤3)，则t+4t−2在[1,2]递减，[2,3]递增，可得最小值为2，最大值为3，则a的取值范围是[2,3]．故答案为：[2,3]．求出函数f(x)的导数，可得f(x)递增，解得f(x)=0的解为1，由题意可得x2−ax−a+3=0在0≤x≤2有解，即有a=x2+3x+1=(x+1)+4x+1−2在0≤x≤2有解，求得(x+1)+4x+1−2的范围，即可得到a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查参数分离法和运算能力，属于中档题．15.答案：解：(Ⅰ)∵在△ABC中，cosC=35，∴sinC=√1−cos2C=45，∵B=180°−(A+C)，A=45°，∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=√22×35+√22×45=7√210；(Ⅱ)∵sinA=√22，sinB=7√210，∴由正弦定理asinA =bsinB得：ab=sinAsinB=√227√210=57，即7a=5b①，又a+b=12②，联立①②解得：a=5，b=7，则S△ABC=12absinC=12×5×7×45=14.解析：(Ⅰ)由C为三角形的内角及cos C的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin C的值，由诱导公式及三角形的内角和定理得到sinB=sin(A+C)，利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出sin B的值；(Ⅱ)由sin A和sin B的值，利用正弦定理得出a与b的关系式7a=5b，与已知的a+b=12联立求出a与b的值，再由a，b及sin C的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．16.答案：证明：(1)∵AD//BC，AD⊥CD，∴CD⊥BC，又CD⊥PB，BC⊂平面PBC，PB⊂平面PBC，BC∩PB=B，∴CD⊥平面PBC，又CD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥平面PBC．(2)连结BD交AC于O，连结EO．∵AD//BC，∴△AOD∽△COB，∴DOOB =ADBC=12，又PE=2ED，即DEPE =12，∴OE//PB，∵OE⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，∴PB//平面AEC．解析：(1)由CD⊥BC，CD⊥PB得出CD⊥平面PBC，故而平面PCD⊥平面PBC；(2)连结BD交AC于O，连结EO.利用三角形相似得出ODOB =DEPE=12，从而得到OE//PB，得出结论．本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．17.答案：解：(1)①在中，，所以，所以，在中，所以其中θ∈(0,π2)②设AC=y，则在RtΔAGC中CG=√y2−x2，由RtΔCDO与RtΔAGC相似得，COCA =ODAG，即√y2−x2−20y=20x，即x√y2−x2−20x=20y，即x√y2−x2=20(x+y)，即x√y−x=20√x+y即x2(y−x)= 400(x+y)，化简得CA=y=x3+400xx2−400，其中x∈(20,+∞)(2)选择(1)中的第一个函数关系式研究．令L′(θ)=0，得sinθ=√5−12．令sinθ0=√5−12，当θ∈(0,θ0)时，L′(θ)<0，所以L(θ)递减；当θ∈(θ0,π2)时，L′(θ)>0，所以L(θ)递增，所以当sinθ=√5−12时，L(θ)取得最小值，新建道路何时造价也最少．解析：本题考查函数的模型的应用，以及利用导数求实际问题，属于中档题．(1)根据已知条件可得对应的关系，然后利用相似求出解析式；(2)利用求导，结合单调性和定义域求出最值．18.答案：解：(Ⅰ)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的半焦距为c ， 由椭圆C 的离心率是e =ca=√1−b 2a 2=√22，即a 2=2b 2，将点P(√2,1)代入椭圆方程：x 22b 2+y 2b 2=1. 解得{a 2=4b 2=2， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1；(Ⅱ)由{y =√22x +mx 24+y 22=1，消去y ，整理得x 2+√2mx +m 2−2=0． 令△=2m 2−4(m 2−2)>0，解得−2<m <2． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−√2m ，x 1x 2=m 2−2．∴丨AB 丨=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3⋅√4−m 2， 点P(√2,1)到直线x −√2y +√2m =0的距离为d =√2−√2+√2m √1+(√2)2=√2丨√3．∴△PAB 的面积S =12丨AB 丨⋅d =√22丨m 丨⋅√4−m 2，=√22√−(m 2−2)2+4≤√2，当且仅当m =±√2时，S =√2，此时满足△>0， 则△PAB 的面积的最大值√2； (Ⅲ)丨PM 丨=丨PN 丨．证明如下： 设直线PA ，PB 的斜率分别是k 1，k 1， 则k 1+k 2=y 1−1x −√2+y 2−1x −√2=(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)(x −√2)(x −√2)，由(Ⅱ)得(y 1−1)(x 2−√2)+(y 2−1)(x 1−√2)=(√22x 1+m −1)(x 2−√2)+(√22x 1+m −1)(x 1−√2) =√2x 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)−2√2(m −1)=√2(m 2−2)+(m −2)(−√2m)−2√2(m −1)=0， ∴直线PA ，PB 的倾斜角互补． ∴∠1=∠2， ∴∠PMN =∠PNM ．∴丨PM丨=丨PN丨．解析：略19.答案：解：(1)由已知可得，2S n=3a n−1，①所以2S n−1=3a n−1−1(n≥2)，②①−②得，2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，化简为a n=3a n−1(n≥2)，即a na n−1=3(n≥2)，在①中，令n=1可得，a1=1，所以数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，从而有a n=3n−1．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，T n=0⋅30+1⋅31+2⋅32+⋯+(n−1)⋅3n−1，③则3T n=0⋅31+1⋅32+2⋅33+⋯+(n−1)⋅3n.④③−④得，−2T n=31+32+33+⋯+3n−1−(n−1)⋅3n，=3−3n1−3−(n−1)⋅3n=(3−2n)⋅3n−32．所以，T n=(2n−3)⋅3n+34．解析：(1)由已知可得2(S n−S n−1)=3a n−3a n−1，推出数列{a n}是以1为首项，3为公比的等比数列，然后求解通项公式．(2)b n=(n−1)⋅3n−1，利用错位相减法，转化求解数列的和即可．本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：解：(1)∵f(x)=xln x−ax+1，∴f′(x)=lnx+1−a，∴函数f(x)=xln x−ax+1在点A(1,f(1))处的切线斜率为k=f′(1)=1−a=−2，解得a=3;(2)由(1)可得f(x)=xlnx−3x+1,x∈(0,+∞)，故f′(x)=lnx−2,x∈(0,+∞)，令f′(x )>0得x >e 2， 令f′(x )<0得0<x <e 2，故f (x )的增区间为(e 2,+∞)，减区间为(0,e 2)．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性和利用导数研究曲线上某点切线方程，是基础题． (1)求出函数的导数，利用导函数值与斜率的关系，即可求出a 的值;(2)求出f(x)的解析式，得到函数的导数，解关于导函数的不等式，求出单调区间即可．21.答案：解：矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|=(λ−1)(λ−x)+2， 因为λ1=2是方程f(λ)=0的一个根，所以x =4， 故A =[12−14]． 设矩阵A 的逆矩阵为A −1=[abcd ]，则[12−14][a bcd]=[1001]，即{a +2c =1,b +2d =0−a +c =0,−b +4d =1,，解得所以矩阵A 的逆矩阵A −1=[23−131616]．解析：本题考查矩阵的特征值以及逆矩阵的计算，属于基础题． 矩阵A 的特征多项式为f(λ)=|λ−1−21λ−x|，由2是一个特征值，可知f(2)=0，从而可求得x =4，先计算矩阵对应的行列式的值，再利用逆矩阵的公式即可求出答案．22.答案：解：曲线C ：ρ=2acosθ(a >0)，即ρ2=2aρcosθ(a >0)，∴x 2+y 2=2ax ，配方可得：C 的直角坐标方程为(x −a)2+y 2=a 2．直线l ：ρcos(θ−π3)=32，展开为12ρcosθ+√32ρsinθ=32，可得直角坐标方程：x +√3y −3=0．由直线与圆相切可得：|a−3|2=a ，a >0．解得：a =1．解析：把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的充要条件即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的充要条件、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.答案：解：(1)根据题意，D(2,y 0)在抛物线y 2=2px 上且|DF|=3，由抛物线定义得2+p2=3，∴p =2 故抛物线的方程为y 2=4x ；(2)由方程组{y =x −1y 2=4x ，消去y 得x 2−6x +1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=6； ∵直线y =x −1过抛物线y 2=4x 的焦点F ，∴|AB|=x 1+x 2+p =6+2=8又O 到直线y =x −1的距离d =√22，∴△ABO 的面积S =12|AB|d =2√2．解析：(1)根据题意，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p =2，代入标准方程，即可得答案； (2)联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2−6x +1=0，进而设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得O 到直线y =x −1，进而由三角形面积公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，涉及直线与抛物线的位置关系，关键是利用抛物线的几何性质求出其标准方程．24.答案：解：(1)两次记录的数为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个， 满足xy ≤3，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，共5个， ∴小亮获得玩具的概率为516；(2)小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率；理由如下：满足xy ≥8，(2,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(3,3)，(4,4)共6个，∴小亮获得水杯的概率为6；16小亮获得饮料的概率为，∴小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．解析：本题考查古典概型的计算和应用．(1)利用列举法求出基本事件的总数，然后求出满足xy≤3的基本事件的个数，然后由古典概型的概率计算公式即可求解；(2)求出满足xy≥8的基本事件的个数，求出小亮获得水杯的概率与获得饮料的概率，即可得出结论．。

2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z abi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = ．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð ． 3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 ．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是 ．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： ．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ．7．（5分）已知函数32,2()(1),02x f x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 ．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 ．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为13(F 、23(F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为 ．10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -= ．11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r rg ，则||c r 的取值范围是 ．13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 ．14．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<．（1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ． （1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．2020年江苏省南通市高考数学二模考前试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）记复数(z a bi i =+为虚数单位）的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，已知2z i =+，则2z = 34i - ． 【解答】解：2z i =+Q ，22(2)34z i i ∴=+=+，则234z i =-．故答案为：34i -．2．（5分）已知集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9}，则()U A B =U ð {5} ． 【解答】解：Q 集合{1U =，3，5，9}，{1A =，3，9}，{1B =，9} {1A B ∴=U ，3，9} (){5}U A B ∴=U ð，故答案为{5}．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为 30 ． 【解答】解：分层抽样的抽取比例为：801160020=， ∴抽取学生的人数为16003020⨯=． 故答案为30．4．（5分）角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则sin()πα-的值是．【解答】解：由题意可得1x =，2y =，r =sin y r α∴==，sin()sin παα∴-==．．5．（5分）执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是： 28 ．【解答】解：程序在运行过程中各变量的取值如下所示： 是否继续循环 i x 循环前 1 4 第一圈 是 4 42+ 第二圈 是 7 428++ 第三圈 是 10 42814+++ 退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：28 故答案为：28．6．（5分）设α、β为互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列四个命题： ①若//m n ，则//m α；②若m α⊂，n α⊂，//m β，//n β，则//αβ；③若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n ；④若αβ⊥，m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥，则n β⊥； 其中正确命题的序号为 ④ ．【解答】解：对于①，当//m n 时，由直线与平面平行的定义和判定定理，不能得出//m α，①错误；对于②，当m α⊂，n α⊂，且//m β，//n β时，由两平面平行的判定定理，不能得出//αβ，②错误；对于③，当//αβ，且m α⊂，n β⊂时，由两平面平行的性质定理，不能得出//m n ，③错误；对于④，当αβ⊥，且m αβ=I ，n α⊂，m n ⊥时，由两平面垂直的性质定理，能够得出n β⊥，④正确；综上知，正确命题的序号是④． 故答案为：④．7．（5分）已知函数32,2()(1),02xf x x x x ⎧⎪=⎨⎪-<<⎩…，若关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 1(0,)2．【解答】解：如图所示： ①当2x …时，由函数2()f x x =单调递减可得：20()1f x x<=„； ②当02x <<时，由函数3()(1)f x x =-单调递增可得：1()1f x -<<． 由图象可知：由021k <<可得102k <<， 故当102k <<时，函数y kx =与()y f x =的图象有且只有两个交点， ∴满足关于x 的方程()f x kx =有两个不同的实根的实数k 的取值范围是1(0,)2． 故答案为1(0,)2．8．（5分）已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->的解集为A ，且A 中共含有n 个整数，则当n 最小时实数a 的值为 2- ．【解答】解：已知关于x 的不等式2(4)(4)0ax a x --->， ①0a <时，4[()](4)0x a x a-+-<，其中40a a +<，故解集为4(a a+，4)， 由于444()2()()4a a a a a a+=-------„，当且仅当4a a -=-，即2a =-时取等号，4a a ∴+的最大值为4-，当且仅当44a a+=-时，A 中共含有最少个整数，此时实数a 的值为2-；②0a =时，4(4)0x -->，解集为(,4)-∞，整数解有无穷多，故0a =不符合条件； ③0a >时，4[()](4)0x a x a -+->，其中44a a+…，∴故解集为(-∞，44)(a a+⋃，)+∞，整数解有无穷多，故0a >不符合条件； 综上所述，2a =-． 故答案为：2-．9．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1(F、2F ，点P 是第一象限内双曲线上的点，且121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q △12PF F中，12sin PF F ∠，12sin PF F ∠， ∴由正弦定理得121212sin 2sin PF PF F PF PF F ∠==∠，⋯① 又Q 121tan 2PF F ∠=，21tan 2PF F ∠=-， 1221121232tan tan()14122F PF PF F PF F -∴∠=-∠+∠=-=+⨯，可得124cos 5F PF ∠=，△12PF F 中用余弦定理，得222121212122cos 3PF PF PF PF F PF F F +-∠==g ，⋯② ①②联解，得12PF PF =，可得12PF PF -= ∴双曲线的2a =，结合2c =22c e a ==10．（5分）记123k k k k k S n =+++⋯⋯+，当1k =，2，3，⋯⋯时，观察下列等式：211122S n n =+，322111326S n n n =++，4323111424S n n n =++，6542515212S An n n Bn ⋯⋯=+++，⋯可以推测，A B -=14．【解答】解：根据所给的已知等式得到： 各等式右边各项的系数和为1， 最高次项的系数为该项次数的倒数， 16A ∴=，151212A B +++=， 解得112B =-， 所以1116124A B -=+=． 故答案为：14． 11．（5分）设函数()||f x x x a =-，若对于任意的1x ，2[2x ∈，)+∞，12x x ≠，不等式1212()()0f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是 (-∞，2]． ．【解答】解：由题意知()||f x x x a =-在[2，)+∞上单调递增． （1）当2a „时，若[2x ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2a x =， 此时22a<，所以()f x 在[2，)+∞上是递增的； （2）当2a >时，①若[x a ∈，)+∞，则2()()f x x x a x ax =-=-，其对称轴为2ax =，所以()f x 在[a ，)+∞上是递增的；②若[2x ∈，)a ，则2()()f x x a x x ax =-=-+，其对称轴为2a x =，所以()f x 在[2a，)a 上是递减的，因此()f x 在[2，)a 上必有递减区间． 综上可知2a „． 故答案为(-∞，2]．12．（5分）已知平面向量a r ，b r ，c r 满足||1a =r ，||2b =r ，a r ，b r 的夹角等于3π，且()()0a c b c --=r r r r g ，则||c r 的取值范围是．【解答】解：由()()0a c b c --=r r r r g 可得2()||||cos 12cos ||||cos 13c a b c a b a b c a b c παα=+-=+-⨯=+-r r r r r r r r rr r g g g g ，α为a b +r r 与c r 的夹角．再由222()214212cos 73a b a b a b π+=++=++⨯⨯=r r rr r r g可得||a b +=r r∴2|cos 1c c α=-r r，解得2cos αr ．0απQ 剟，1cos 1α∴-剟，∴21r，即2|||10c c +r r„．||c r，故答案为． 13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆2221(1)x y a a+=>上，其中(0,1)A 为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为278，则实数a 的值为 3 ．【解答】解：设直线AB 的方程为1y kx =+则直线AC 的方程可设为11y x k=-+，(0)k ≠由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(1)20a k x a kx ++=，所以0x =或22221a k x a k -=+ A Q 的坐标(0,1)，B ∴的坐标为2222(1a k a k -+，22221)1a k k a k -++g ，即2222(1a k B a k -+，22221)1a k a k -+因此，222|2|1a k AB a k ==+g ， 同理可得：2222||1a k AC a k=+gRt ABC ∴∆的面积为444224222212||121121()1()a k akS AB AC a a k a a k k k +===++++++g g 令1||t k k=+，得4422422222(1)1(2)a t a S a a a t a t t==-++-+ 1||2t k k =+Q …，442(1)ABC a S a a ∆∴=-„当且仅当2a t t=，即21a t a -=时，ABC ∆的面积S 有最大值为4227(1)8a a a =- 解之得3a =或3297a +=3297a +=Q 时，212a t a-=<不符合题意， 3a ∴=故答案为：314．（5分）设()(0)tx f x e t =>，过点(,0)P t 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，若(1S ，f （1）)，则PRS ∆的面积的最小值是2e． 【解答】解：//PQ y Q 轴，(,0)P t ，(Q t ∴，())f t 即2(,)t t e ，又()(0)tx f x e t =>的导数()tx f x xe '=，∴过Q 的切线斜率2t k te =，设(,0)R r ，则220t t e k te t r-==-，1r t t∴=-，即1(R t t -，0)，11()PR t t t t=--=，又(1S ，f （1）)即(1,)t S e ，PRS ∴∆的面积为2te S t=，导数2(1)2t e t S t -'=，由0S '=得1t =，当1t >时，0S '>，当01t <<时，0S '<，1t ∴=为极小值点，也为最小值点，PRS ∴∆的面积的最小值为2e ． 故答案为：2e ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3sin 5A =，1tan()3A B -=，角C 为钝角，5b =． （1）求sin B 的值； （2）求边c 的长．【解答】解：（1）角C 为钝角，由3sin 5A =，则24cos 15A sin A =-． 那么：3tan 4A =1tan()3A B -=Q ，即tan tan 11tan tan 3A B A B -=+，可得：1tan 3B =即sin 1cos 3B B =，22sin cos 1B B +=， 解得：10sin B =． （2）由（1）可知：10sin B 则2310cos 1B sin B =-那么：1310sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+正弦定理：sin sin sin a b cA B C==， 可得：13c =．16．（14分）如图，四棱锥V ABCD -中，底面ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，VO ⊥平面ABCD ，E 是棱VC 的中点．（1）求证：//VA 平面BDE ； （2）求证：平面VAC ⊥平面BDE ．【解答】证明：（1）连结OE ．因为底面ABCD 是菱形，所以O 为AC 的中点， 又因为E 是棱VC 的中点，所以//VA OE ， 又因为OE ⊂平面BDE ，VA ⊂/平面BDE ， 所以//VA 平面BDE ； （2）因为VO ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ，所以VO BD ⊥， 因为底面ABCD 是菱形，所以BD AC ⊥， 又VO AC O =I ，VO ，AC ⊂平面VAC ， 所以BD ⊥平面VAC ． 又因为BD ⊂平面BDE ， 所以平面VAC ⊥平面BDE ．17．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-=相切．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线50(0)ax y a -+=>与圆相交于A ，B 两点，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2,4)P -，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设圆心为(M m ，0)()m Z ∈．由于圆与直线43290x y +-=相切，且半径为5， 所以|429|55m -=， 即|429|25m -=．因为m 为整数，故1m =． 故所求圆的方程为22(1)25x y -+=．⋯（4分） （Ⅱ）把直线50ax y -+=，即5y ax =+， 代入圆的方程，消去y ，整理，得22(1)2(51)10a x a x ++-+=， 由于直线50ax y -+=交圆于A ，B 两点， 故△224(51)4(1)0a a =--+>， 即21250a a ->， 由于0a >，解得512a >， 所以实数a 的取值范围是5(,)12+∞．（Ⅲ）设符合条件的实数a 存在， 则直线l 的斜率为1a -，l 的方程为1(2)4y x a=-++，即240x ay a ++-=由于l 垂直平分弦AB ，故圆心(1,0)M 必在l 上， 所以10240a ++-=，解得34a =． 由于35(,)412∈+∞，故存在实数34a =使得过点(2,4)P -的直线l 垂直平分弦AB ．⋯（14分）18．（16分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是10m 和20m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角60CAD ∠=︒． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P （点P 与点B ，C 不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，αβ+最小？【解答】解：（1）作AE CD ⊥，垂足为E ，则10CE =，10DE =，设BC x =， 则22202tan tan tan(2)31001tan 1CAEx CAD CAE CAE x ∠∠=∠===-∠-， 232010030x x --，解之得，103x =或3x =（舍)，答：BC 的长度为103m ； （2）设BP t =，则3(0103)CP t t =<<，2210031010(103)103tan()1032001032001103t t t tt t t t t tαβ+++-+===-+--+---g，设2103()103200t f t t t +=-+-222203500()(103200)t t f t t t +-'=-+-令()0f t '=，因为0103t <<202103t = 当(0,202103)t ∈时，()0f t '<，()f t 是减函数； 当(2023,103)t ∈时，()0f t '>，()f t 是增函数，所以，当202103t =()f t 取得最小值，即tan()αβ+取得最小值，因为21032000t t -+-<恒成立，所以()0f t <，所以tan()0αβ+<，(,)2παβπ+∈，因为tan y x =在(,)2ππ上是增函数，所以当t =αβ+取得最小值．答：当BP 为t =时，αβ+取得最小值．19．（16分）设首项为1的正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，且24()3n n S p T --=，其中p 为常数． （1）求p 的值；（2）求证：数列{}n a 为等比数列；（3）证明：“数列n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数”的充要条件是“1x =，且2y =”．【解答】（1）解：1n =时，由24(1)13p --=得0p =或2，若0p =时，243n n S T -=，当2n =时，22224(1)13a a -++=，解得20a =或212a =-，而0n a >，所以0p =不符合题意，故2p =； （2）证明：当2p =时，241(2)33n n T S =--①，则21141(2)33n n T S ++=--②， ②-①并化简得1134n n n a S S ++=--③，则22134n n n a S S +++=--④， ④-③得*211()2n n a a n N ++=∈，又因为2112a a =，所以数列{}n a 是等比数列，且112n n a -=；（3）证明：充分性：若1x =，2y =，由112n n a -=知na ，12x n a +，22yn a +依次为112n -，22n，142n +，满足112142222n n n -+⨯=+，即na ，12x n a +，22yn a +成等差数列； 必要性：假设n a ，12x n a +，22y n a +成等差数列，其中x 、y 均为整数，又112n n a -=， 所以11111222222x y n n n -+=+g g g ，化简得2221x y --=显然2x y >-，设(2)k x y =--，因为x 、y 均为整数，所以当2k …时，2221x y -->或2221x y --<，故当1k =，且当1x =，且20y -=时上式成立，即证．20．（16分）已知函数123()()()()f x x x x x x x =---，1x ，2x ，3x R ∈，且123x x x <<． （1）当10x =，21x =，32x =时，求函数()f x 的减区间； （2）求证：方程()0f x '=有两个不相等的实数根； （3）若方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，试比较122x x+，232x x +与α，β的大小，并说明理由．【解答】解：（1）当10x =，21x =，32x =时，()(1)(2)f x x x x =--，令2()3620f x x x '=-+<解得，x <<故函数()f x 的减区间为； （2）证明：123()()()()f x x x x x x x =---Q ，231312()()()()()()()f x x x x x x x x x x x x x ∴'=--+--+--，又123x x x <<Q ，11213()()()0f x x x x x ∴'=-->， 22123()()()0f x x x x x '=--<， 33231()()()0f x x x x x '=-->，故函数()f x '在1(x ，2)x ，2(x ，3)x 上分别有一个零点， 故方程()0f x '=有两个不相等的实数根；（3）Q 方程()0f x '=的两个实数根是α，()βαβ<，()()0f f αβ∴'='=，而12121212121212231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2121()04x x =--<，23232323232323231312()()()()()()()2222222x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x +++++++'=--+--+--2321()04x x =--<，再结合二次函数的图象可知，231222x x x x αβ++<<<． 本题包括A ，B 共1小题，每小题10分，共20分．把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．（10分）试求曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式，其中1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 【解答】解：1002M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，10201N ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 11100022020102MN ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥∴==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，4⋯分 ∴在矩阵MN 变换下，122x x x y y y ⎡⎤'⎡⎤⎡⎤⎢⎥→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，6⋯分∴曲线sin y x =在矩阵MN 变换下的函数解析式为2sin 2y x =．10⋯分．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）已知直线l 的极坐标方程为sin()63πρθ-=，圆C 的参数方程为10cos (10sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）．（1）请分别把直线l 和圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）求直线l 被圆截得的弦长．【解答】解：（1）由sin()63πρθ-=，得1(sin )62ρθθ=，12y ∴=120y -+=．圆的方程为22100x y +=．（2）圆心(0,0)到直线3120x y -+=的距离26(3)1d ==+，10y =，∴弦长21003616l =-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．（10分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，22AB AF EF ===，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D AP C --的正弦值为6，求PF 的长度．【解答】解：（1）90BAF =︒Q ，AF AB ∴⊥，又Q 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ⋂平面ABCD AB =，AF ∴⊥平面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AF 为z 轴，建立空间直角坐标系，2AD =Q ，22AB AF EF ===，P 是DF 的中点，(2B ∴，0，0)，(1E ，0，2)，(2C ，2，0)，(0P ，1，1)，(1BE =-u u u r ，0，2)，(2CP =-u u u r，1-，1)，设异面直线BE 与CP 所成角的平面角为θ， 则||230cos ||||56BE CP BE CP θ===u u u r u u u r g u u u r u u u r g g ，∴异面直线BE 与CP 230（2）(0A ，0，0)，(2C ，2，0)，(0F ，0，2)，(0D ，2，0)， 设(P a ，b ，)c ，FP FD λ=u u u r u u u r，01λ剟，即(a ，b ，2)(0c λ-=，2，2)-， 解得0a =，2b λ=，22c λ=-，(0P ∴，2λ，22)λ-，(0AP =u u u r ，2λ，22)λ-，(2AC =u u u r ，2，0)，设平面APC 的法向量(n x =r ，y ，)z ，则2(22)0220n AP y z n AC x y λλ⎧=+-=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，1-，2)22λλ-，平面ADF 的法向量(1m =r ，0，0)，Q 二面角D AP C --的正弦值为6， 22||6|cos ,|1()||||322()22m n m n m n λλ∴<>===-+-r r g r r r r g ， 解得14λ=，(0P ∴，12，3)2， PF ∴的长度222132||(00)(0)(2)22PF =-+-+-=．【必做题】本题满分10分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．（10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为1,,(01)2a a a <<，三人各射击一次，击中目标的次数记为ξ．（1）求ξ的分布列及数学期望；（2）在概率()(0P i i ξ==，1，2，3)中，若(1)P ξ=的值最大，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）()P ξ是“ξ个人命中，3ξ-个人未命中”的概率．其中ξ的可能取值为0，1，2，002212113.(0)(1)(1)(1)22P C C a a ξ==--=-，1020121212111(1)(1)(1)(1)(1)222P C C a C C a a a ξ==-+--=-g ，1102221212111(2)(1)(1)(2)222P C C a a C C a a a ξ==-+-=-g ，2122121(3)22a P C C a ξ===g ． 所以ξ的分布列为ξ的数学期望为222111410(1)1(1)2(2)322222a a E a a a a ξ+=⨯-+⨯-+⨯-+⨯=．（2）221(1)(0)[(1)(1)](1)2P P a a a a ξξ=-==---=-，22112(1)(2)[(1)(2)]22aP P a a a ξξ-=-==---=，222112(1)(3)[(1)]22a P P a a ξξ-=-==--=．由2(1)012021202a a a a⎧⎪-⎪-⎪⎨⎪⎪-⎪⎩………和01a <<，得102a <„，即a 的取值范围是1(0,]2．（10分）。