有限元讲义绪论.创新

现代列车车厢整体结构的有限元分析模型
空客A350后机身第19框的设计与有限元分析过程
人体肩部区域的骨胳有限元分析模型以及计算结果
有限元的发生与发展
• 从1943年Courant 对扭转的研究开始，50年代是理论的萌
芽阶段； 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组 能量原理和结构分析论文。
热分析 程序可处理热传递的3种基本类型：传导、对流和辐射。热传递 的3种类型均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。热分析还具有可以模 拟材料固化和熔解过程的相变分析能力以及模拟热与结构应力之间的热-结 构耦合分析能力。
电磁场分析 进行电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线分 布、力、运动效应、电路和能量损失等。
有限元法分析过程
• 有限元位移法计算过程的系统性、规律性强，特 别适宜于编程求解。一般除板壳问题的有限元应 用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移 法。因此，一般不做特别声明，有限元法指的是 有限元位移法。 • 有限元分析的后处理主要包括对计算结果的加工 处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把 有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员 直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状 态等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员 迅速的评价和校核设计方案。
流体动力学分析
可以是稳态和瞬态，得到压力、流量和温度分布。
声场分析 研究声波的传播、固体结构的动态特性、声场强度分布、水 对振动船体的阻尼等
压电分析 可以进行静态分析、模态分析、谐波响应分析、瞬态响应分析， 研究二维或三维结构对直流、交流电流的响应。
有限元软件的后处理功能 有限元分析软件的后处理过程包括：位移、 温度、应力、应变、速度及热流等，输出形 式可以有图形显示和数据列表2种。

1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
14
若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
23
转向机构支架的强度分析
24
动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
25
谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P

0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz

t=60s
t=180s
半导体芯片温度场的数值仿真
1.3 内容安排
1.平面杆系有限元方法 1.平面杆系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 2.平面梁系有限元方法 3.平面问题有限元方法 3.平面问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 4.平板问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 5.空间问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法 6.板壳问题有限元方法
1.1 有限元法的发展
增强可视化的前置建模和后置数据处理功能
随着数值分析方法的逐步完善，尤其是计算机运算速 随着数值分析方法的逐步完善， 度的飞速发展， 度的飞速发展，整个计算系统用于求解运算的时间越 来越少， 来越少，而数据准备和运算结果的表现问题却日益突 出。
在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 在现在的工程工作站上，求解一个包含10万个方 10 程的有限元模型只需要用几十分钟。工程师在分析计 程的有限元模型只需要用几十分钟。 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 算一个工程问题时有80%以上的精力都花在数据准备 80% 和结果分析上。 和结果分析上。
1.1 有限元法的发展
数值模拟技术： 数值模拟技术：
以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 以物理学（力学）和计算数学理论为基础， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解 数值解， 借助计算机技术来获得满足工程要求的数值解， 是现代工程中解决问题的有力手段。 是现代工程中解决问题的有力手段。
工程领域常用的数值模拟方法： 工程领域常用的数值模拟方法：
CAE/CAD交互 交互 一体化框图
1.1 有限元法的发展
CAE软件的价值 软件的价值
增加设计功能，减少设计成本； 增加设计功能，减少设计成本； 缩短设计和分析的循环周期； 缩短设计和分析的循环周期； 增加产品和工程的可靠性； 增加产品和工程的可靠性； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 采用优化设计，降低材料的消耗或成本； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 在产品制造或工程施工前预先发现潜在的问题； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 模拟各种试验方案，减少试验时间和经费； 进行机械事故分析，查找事故原因。 进行机械事故分析，查找事故原因。

不单设考试，以大作业的报告、平时作业和考勤综合评定成绩。
绪论
1.1概况 1.2有限元方法的历史 1.3有限元分析的内容和作用 1.4有限元分析的一般过程 1.5有限元法的基本概念 1.6有限元法的发展趋势
1概况
有限元方法(finite element method)或有限元分析(finite element analysis)，是求取复杂微分方程近似解的一种非常 有效的工具，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。 有限元分析必须包含三个方面：
2有限元方法的历史
有限元软件应用及学术论文： 随着计算机技术的飞速发展，基于有限元方法原理的软件
大量出现，并在实际工程中发挥了愈来愈重要的作用；目前， 专业的著名有限元分析软件公司有几十家，国际上著名的通用 有限元分析软件有ANSYS，ABAQUS，MSC/NASTRAN， MSC/MARC，ADINA，ALGOR，PRO/MECHANICA， IDEAS，还有一些专门的有限元分析软件，如LS-DYNA， DEFORM，PAM-STAMP, AUTOFORM，SUPER-FORGE等； 国际上著名的主要有限元分析软件状况见表1-1。有关有限元 分析的学术论文，每年也不计其数，学术活动非常活跃，表12 列出的是刊登有限元分析论文的常见学术期刊。
位移函数的构造方法（广义坐标法）
广义坐标法
一维单元位移函数： u(x) 0 1x 1x2 ...n xn
i为待定系数，也称为广义 简记为 u(x)
坐标
{1 x x2 ... xn}
{0 1 2 ... n}T
位移函数的构造方法（插值函数法）
插值函数法 即将位移函数表示为各个节点位移与 已知插值基函数积的和。
板壳单元
四面体单元

John Swanson 博士创建，是目前世界CAE行业最大公 司。
1.2.2 ANSYS10.0 创新之处 1.2.3 ANSYS 10.0 使用环境
ANSYS及ANSYS/LS-DYNA程序可运行与PC机、 NT工作站、UNIX工作站及巨型计算机等各类计算机 及操作系统中，其数据文件在其所有的产品系列和工 作平台上均兼容。并与多种CAD软件共享数据。
2. ANSYS/Structural：通过利用其先进的非线性功能， 该模块可进行高目标的结构分析，具体包括：几何非 线性、材料非线性、单元非线性及屈曲分析。该模块 可以使用户精确模拟大型复杂结构的性能。
3. ANSYS/Linear plus：该模块是从ANSYS/Structural派 生出来的，一个线性结构分析选项，可用于线性的静 态、动态及屈曲分析，非线性分析仅包括间隙元和板/ 梁大变形分析。
4. ANSYS/Thermal：该模块同样是从ANSYS/Mechanical 中派生出来的，是一个可单独运行的热分析程序，可 用于稳态及瞬态热分析。
5. ANSYS/Flotran：该程序是个灵活的CFD软件，可求解 各种流体流动问题，具体包括：层流、紊流、可压缩 流及不可压缩流等。通过与ANSYS/Mechanical耦合， ANSYS/FLOTRAN 是 唯 一 一 个 具 有 设 计 优 化 能 力 的 CFD软件，并且能提供复杂的多物理场功能。
8. ANSYS/ED：该模块是一个功能完整的设计模拟程序， 它拥有ANSYS隐式产品的全部功能，只是解题规模受 到了限制（目前节点数1000）。该软件可独立运行， 是理想的培训教学软件。
9. ANSYS/LS-DYNA：该程序是一个显示求解软件，可 解决高度非线性结构动力问题。该程序可模拟板料成 形、碰撞分析、涉及大变形的冲击、非线性材料性能 以及多物体接触分析，它可以加入第一类软件包中运 行，也可以单独运行。

Tel:(025)4892202-2504 Fax:(025)4895966
有限元法的基本概念
结构离散化： 1）划分网格； 2）载荷移置； 3）简化约束。
单元刚度矩阵与刚度系数： 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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本课程的要求
1. 做好笔记，及时复习与总结 2 . 阅读参考书籍独立上机操作 3 . 独立上机操作
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弹性力学中的基本概念
六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：
2 zx y 2 yx z 0
由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很 好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再 加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的， 应用极广的数值计算方法。
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lim Q F (N/m2)
S S0
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以处理很复杂的连续介质问题，是一种普遍方法。
60年代后期，J.T.Oden 等学者进一步研究了加权残值法与有限元法之间的关系，建立有限元法的计算格式， 并指出有限元法所利用的主要是Galerkin加权残值法，它可以用于即使泛函无法构造或泛函根本不存在的 问题，从而进一步扩大了有限元法的应用领域。
1972年，J.T.Oden 出版了第一本处理非线性连续介质问题的专著 《非线性连续体的有限元法 》。
• 在此期间，O.C.Zienkiewicz、卞学璜、董平等人进一步推动有限元的发展，分别提出了等参单元、杂交 单元的概念。1967年，O.C.Zienk iewic e 和Y.K.Cheung( 张佑启) 出版了第一本有关有限元分析的专著 《连续体和结构的有限元法》，此书是有限元法的名著，后更名为《有限单元法》。
V
•
Galerkin 方法
在Galerkin方法中，选择的加权函数wi为试函数（如取为形函数N，wi=Ni ）
L(x) EIv' ' ' ' p
R(x) EIv' ' ' ' p
L
0 wi(EIv''''' p)dx 0
i 0~n
• 以三角函数为试探函数求ci • 以幂级数为试探函数求ci • 以形函数为试探函数求ci
近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似；利 用与原问题的等效的变分原理（如最小势能原理）建立有限元基本方程（刚度方程）又体现了其明确的物理背 景。
• 厚实的理论基础，数值计算稳定、高效
• 有限元法计算格式的建立既可基于物理概念推得，如刚度法、虚功原理，也可基于纯数学原理推 得，如泛函变分原理、加权残值法。通常直接刚度法、虚功原理用于杆系结构或结构问题的方程 建立；而变分原理设计泛函极值，既适用于简单的结构问题，也适应于更复杂的工程问题（如温 度场问题）。当给定的问题存在经典变分叙述时，则利用变分原理很容易建立这类问题的有限元 方程，如加权残值法。加权残值法由问题的基本微分方程出发而不依赖于泛函，可用于处理一般 问题的有限元方程建立，如流固耦合问题。所以，有限元法不仅具有明确的物理背景，更具有坚 实的数学基础，且数值计算的收敛性、稳定性均可从理论上得到证明，有关这方面的内容可参考 相关资料。

风洞 强度与振动
增压风洞的第一阶模态 f=10.36Hz
电机谐响应分析
电机谐响应分析
第一节 有限元法的产生与基本思想
l
x
F
y
微分方程的边值问题
数学问题 求解 解析法 数值法
d2 y F (l x) dx2 EI y 0
x0
dy 0 dx x0
边界条件
差分法 变分法 有限元法
差分法
再由(1-3)中的边界条件,有 y0 d1, yn d2
(1 7)
线性方程组
变分法
变分原理:微分方程边值问题的解等价于相应泛函极值 问题的解.
边值问题的求解
泛函极值的求解
泛函:给定满足一定条件的函数集合A:{y(x)},和实数 集合R。设y(x)是A中的函数,V是R中的变量,若A和V 之间存在一个对应关系,就是A中的每个函数y(x),R 中都有唯一的V值与之对应,则称V是函数y(x)的泛函,
基本思想:用均匀的网格离散求解域,用离散点的差分
代替微分,从而将连续的微分方程和边界条件转化为网 格节点处的差分方程,并用差分方程的解作为边值问题 的近似解.
y
yi1 yi
y(x)
边值问题为
d1
yi
yi1
d2
y(x) y(x) y(x) f (x) a x b y(a) d1 y(b) d2
1 第一章 绪论 2 第二章 有限元法的基本原理 3 第三章 轴对称问题的有限元解法 4 第四章 杆件系统的有限元法 5 第五章 空间问题的有限元法
6 第六章 动态分析有限元法 7 第七章 热分析有限元法 8 第八章 有限元建模方法 9 第九章 ANSYS分析实例
船体在弯扭联合作用下的结构“应力-变形”有限元分析

§1-1 有限单元法的发展
一、什么是有限元法？ 、什么是有限元法？
例如: 例如 左图所示, 左图所示 , 为分析齿轮上一个齿内的应 力分布, 力分布 , 可分析图中所示的一个平面截 面内位移分布.作为近似解, 面内位移分布.作为近似解,可以先求出 图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。 三角形就是单元,其顶点就是节点。 从物理角度理解, 从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节 点处以铰链相链接, 点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结 在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下, 构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各 节点的位移,进而求出应力. 节点的位移,进而求出应力. 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域, 从数学角度理解, 把这个求解区域剖分成许多三角形子域, 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示. 子域内的位移可用相应各节点的待定位移合理插值来表示.
三、有限元法与传统设计方法的比较
1.一种现代设计方法 一种现代设计方法 必须通过计算机才能实现随着计算机的发展而 发展。 发展。 2.设计周期短 2.设计周期短 画——加——打 加 打
§1-3 有限单元法分析过程
1 结构离散化（P4） 结构离散化（ ） 包含以下两个方面的内容： 包含以下两个方面的内容： (1)单元类型选择 单元类型选择 ( 2)单元划分 单元划分
§1-2 有限元法的基本思想和特点
一、有限元法的基本思想 (1)结构离散化 结构离散化 假想把连续系统(包括杆系、连续体，连续介质)分割成数目 假想把连续系统 包括杆系、连续体，连续介质 分割成数目 包括杆系 有限的单元．单元之间只在数目有限的指定点(称为节点 称为节点)处相 有限的单元．单元之间只在数目有限的指定点 称为节点 处相 互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。 互连接，构成一个单元集合体来代替原来的连续系统。在节点 上引进等效载荷(或边界条件 或ห้องสมุดไป่ตู้界条件)， 上引进等效载荷 或边界条件 ，代替实际作用于系统上的外载 荷(或边界条件 。 或边界条件)。 或边界条件 (2)力和位移关系方程 力和位移关系方程 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则(内力学关系 对每个单元由分块近似的思想，按一定的规则 内力学关系 或选择一个简单函数)建立求解未知量与节点相互作用 建立求解未知量与节点相互作用(力 之间 或选择一个简单函数 建立求解未知量与节点相互作用 力)之间 的关系(力 位移 热量—温度 电压—电流等 位移、 温度、 电流等)。 的关系 力—位移、热量 温度、电压 电流等 。 (3)整体分析 整体分析 把所有单元的这种特性关系按—定的条件集合起来 定的条件集合起来， 把所有单元的这种特性关系按 定的条件集合起来，引入 边界条件．构成一组以节点变量(位移 温度、电压等)为未知 位移、 边界条件．构成一组以节点变量 位移、温度、电压等 为未知 量的代数方程组，求解之就得到有限个节点处的待求变量。 量的代数方程组，求解之就得到有限个节点处的待求变量。 所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统， 所以，有限元法实质上是把具有无限个自由度的连续系统， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体， 理想化为只有有限个自由度的单元集合体，使问题转化为适合 于数值求解的结构型问题。 于数值求解的结构型问题。