有限元法基础讲义
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有限元入门ppt课件
有限体积法 (Finite Volume Method)
其基本思路是：将计算区域划分为一系列不重复的控制体积，并使每个网格点周围有一个控制体积；将待解的微分方程对每一个控制体积积分，便得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的因变量的数值。为了求出控制体积的积分，必须假定值在网格点之间的变化规律，即假设值的分段的分布的分布剖面。
1-2 应力的概念
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种： 表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于座标轴的三个成分，用记号 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
边界元法 （Boundary Element Method）
边界元法是一种继有限元法之后发展起来的一种新的数值方法，与有限元法不同，边界元法仅在定义域的边界划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件。所以边界元与有限元相比具有单元和未知数少、数据准备简单等优点，但边界元法解非线性问题时，遇到同非线性项相对应的区域积分，这种积分奇异点处的强烈的奇异性，使求解遇到困难。边界元法在塑性问题中应用还比较少。
弹性力学 — 区别与联系 — 材料力学 弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。 弹性力学 固有弱点： 由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定：
塑性有限元常用软件
有限元基础课件
0 l
0
q(
x)
x
3dx
ql
Q 均布横向力q：M
yi zi
Q yj
2 ql 2
12 ql
M zj
2 ql 2
12
第3节 单元刚度矩阵旳坐标变换
Re , e ,[k]表示单元在局部坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵 Re , e ,[k]表示单元在整体坐标系oxy的结点力,结点位移,刚度矩阵
bi x
ci
y
(i, j, k)
u Niui N ju j Nkuk Niui v Nivi N jv j Nkvk Nivi
d
u v
Ni I
NjI
Nk I e Ne
I 二阶单位阵,[N] 形函数矩阵
第1节 三角形常应变单元(续2)
三、应变
u
x y
xy
S1
总虚变形功：
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
对于平面问题：
(Xu Yv)dxdy (Xu Yv)ds S1
( x x y y xy xy )dxdy
第4节 最小势能原理
最小势能原理
在几何可能旳一切允许位移和形变中,真正旳位移和形变使总势能取 最小值；反之,使总势能取最小值者也必是真正旳位移和形变。
总 势 能： U V
形变势能：U
1 2
( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
外力势能：V ( Xu Yv Zw)dxdydz ( Xu Yv Zw)dS
S1
形变势能变分:
U ( x x y y z z yz yz zx zx xy xy )dxdydz
有限元讲义3-2
y y
A-17
第九节 有限元法分析的步骤
一、单元刚阵的推导 1 写出位移函数； 2 计算单元应变； 3 计算单元应力； 4 根据虚功方程，得出单元刚阵。 二、整体结构的分析 1 建立整体结构的静力平衡方程式； 2 进行边界条件处理； 3 解方程组，求节点位移； 4 根据节点位移求应变、应力。
u ( x, y) Niu i N j u j N k uk Nl ul
令ui 1, u j uk ul 0, 代如上ux, y 式
v( x, y) Ni vi N j v j N k vk Nl vl
u( x, y) Ni
综上对三种单元的分析，可以看出，形状函数是单元一些 可能位移的方程式。 • 二、形状函数的性质
性质1：任一形状函数在各节点处的值或为1或为0
1 Ni 0
在节点i处 在其它节点处
A-5
性质2：单元的各个形状函数之和总是等于1
Ni 1
这两个性质的意义是：第一，形状函数反应了相邻单元在共同节点 处位移的连续性；它反映了单元的刚体位移。 • 三、形状函数的设定的说明 形状函数既然是单元的一些可能产生的位移，因此它们与位移函数 具有相同的特性，可以用插值多项式来设定。设定时要满足上诉形 状函数性质以及连续性和常应变条件。即 1、形状函数应满足
A-15
u x x x v y 0 y xy u v y x y N i x 0 Ni y N j x 0 N j y
A-16
0 Ni y Ni x
ห้องสมุดไป่ตู้
0 N j y N j x
有限元分析基础讲义
3
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi i T
单元e结点位移列向量为
j u j vj j T
e
i j
ui
i
i
uj
j
j T
结点力向量为
Fi e Ui V i Mi eT Fj e U j V j M j eT
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
第一章 概述
1.1 有限单元法的概念
基本思想:借助于数学和力学知识，利用计算机技术而
解决工程技术问题。
Finite Element Method -_FEM Finite Element Analysis
4
第一章 概述
三大类型(按其推导方法分):
(1) 直接刚度法(简称直接法): 根据单元的物理意义，建立有关场变量表示的单元
(a) 刚架结构示意图
(b) 结点位移和结点力分向量
图3-4 平面刚架分析示意图
30
第三章 杆系结构静力分析的有限单元法
结点位移列向量为
i ui vi i T
单元e结点位移列向量为
j u j vj j T
e
i j
ui
i
i
uj
j
j T
结点力向量为
Fi e Ui V i Mi eT Fj e U j V j M j eT
13
第二章 结构几何构造分析
(a) 结构本身可变 (b) 缺少必要的约束条件 (c) 约束汇交于一点 图2-1 几何可变结构
14
第二章 结构几何构造分析
2.2 结构计算基本知识
2.2.1 结构计算简图
实际结构总是很复杂的，完全按照结构的实际情况 进行力学分析是不可能的，也是不必要的，因此在对实 际结构进行力学计算之前，必须将其作合理的简化，使 之成为既反映实际结构的受力状态与特点，又便于计算 的几何图形。这种被抽象化了的简单的理想图形称之为 结构的计算简图，有时也称为结构的力学模型。 结构计算所常用的结点和支座的简化形式:
16
第二章 结构几何构造分析
(3) 按结构自由度分 ①静定结构——自由度为零的几何不变结构。其特征: a. 静定结构的内力及支座反力可全部由平衡方程式
有限元基础-上课件
总结词
有限元方法在电-磁场分析中能够模拟电磁 场分布和相互作用，为电磁装置设计提供精 确的预测。
详细描述
有限元方法在电-磁场分析中，能够考虑电 场强度、磁场强度、电流等参数，以及电磁 场与物质的相互作用。这为电磁装置设计提 供了精确的预测，如变压器、电动机、发电 机等的设计，以确保其性能和稳定性。
06
04
有限元方法的基本步骤
选取单元体与划分网格
选取单元体
选择适合问题特性的单元体，通常选 择容易解析和计算的几何形状，如三 角形、矩形等。
划分网格
将问题域分解成由单元体组成的网格 ，每个单元体之间通过节点相连。
建立单元体的刚度矩阵与质量矩阵
建立刚度矩阵
根据单元体的力学特性和边界条件，建立单元体的刚度矩阵，反映了单元体抵 抗变形的能力。
热传导分析
总结词
有限元方法在热传导分析中能够模拟热 量的传递和分布，为热工设计和优化提 供依据。
VS
详细描述
有限元方法在热传导分析中，能够考虑热 量的产生、传递和分布，以及材料热物理 性质的影响。这为热工设计和优化提供了 依据，如电子设备、机械零件、建筑保温 等的设计，以实现高效、稳定的热管理。
电-磁场分析
弹性力学本构方程
本构方程的数学表述
01
描述了材料的应力应变关系。
线弹性本构
02
材料在受力后会发生形变，但这种形变是可逆的，与应力大小
成正比。
非线性本构
03
材料在受力后发生的形变与应力大小不成正比，呈现出非线性
关系。
弹性力学边界条件与初始条件
边界条件
物体在边界上受到的力或位移约 束。
初始条件
物体在初始时刻的位移和速度状 态。
有限元法基础ppt课件
有限单元法
一、数值模拟方法概述 二、有限单元法简介 三、有限单元法分析步骤 四、利用有限元软件进行工程分析
一、数值模拟方法概述
工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固 体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁 分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流 体力学中的流场分析等，都可以归结为在给定边界 条件下求解其控制方程的问题。
结构矩阵分析方法认为：整体结构可以看作是由有限 个力学小单元相互连接而组成的集合体，每个单元的 力学特征可以看作建筑物的砖瓦，装配在一起就能提 供整体结构的力学特性。
结构矩阵分析方法分析的结构本身都明显地由杆件组 成，杆件的特征可通过经典的位移法分析建立。
虽然矩阵位移法整个分析方法和步骤都与有限单元法 相似，也是用矩阵来表达、用计算机来求解，但是它 与目前广泛应用的有限单元法是有本质区别的。
❖ 国际上早在20世纪50年代末、60年代初就投入大量的人力和 物力开发具有强大功能的有限元分析程序。其中最为著名的是 由美国国家宇航局（NASA）在1965年委托美国计算科学公司 和贝尔航空系统公司开发的NASTRAN有限元分析系统。该系 统发展至今已有几十个版本，是目前世界上规模最大、功能最 强的有限元分析系统。
有限元法
既可以分析杆系结构，又分析非杆系的连续 体结构。
三、有限单元法简介
有限单元法的常用术语：
有限元模型 是真实系统理想化的数学抽象。
定义
真实系统
有限元模型
自由度（DOFs－ degree of freedoms）
自由度(DOFs) 用于描述一个物理场的响应特性。
UY ROTY
ROTZ UZ
UX ROTX
目前在工程技术领域内常用的数值模拟方法有： 1、有限单元法FEM（ Finite Element Method） 2、边界元法BEM（Boundary Element Method ） 3、有限差分法FDM（ Finite Difference Method 4、离散单元法DEM（Discrete Element Method） 其中有限单元法是最具实用性和应用最广泛的。
《有限元基础》课件
广泛适用性
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元方法可以应用于各种物理问题和工程领域 ，如结构力学、流体力学、热传导、电磁场等。
高效性
有限元方法采用分块逼近的方式，将整体问题分 解为多个子问题，从而大大降低了问题的规模和 复杂度，提高了计算效率。
精度可控制
通过选择足够小的离散元尺寸和足够多的元数目 ，可以控制求解的精度，使得结果更加精确可靠 。
有限元方法对初值和边界条件 的选取比较敏感，不同的初值 和边界条件可能导致截然不同 的结果。
高阶偏微分方程的离散化 困难
对于一些高阶偏微分方程，有 限元方法的离散化过程可能会 变得相当复杂和困难。
有限元方法的发展趋势
并行化和高性能计算
随着计算机技术的发展，有限元方法的计算效率和精度得到了极大的提高。未来，随着并行化和高性能计算技术的进 一步发展，有限元方法的计算效率将会得到进一步提升。
02
有限元的数学基础
线性代数基础知识
向量与矩阵
介绍向量的基本概念、向量的运算、矩阵的表示和基 本运算。
线性方程组
阐述线性方程组的基本概念、解法以及在有限元分析 中的应用。
特征值与特征向量
介绍特征值和特征向量的概念、计算方法以及在有限 元分析中的应用。
变分法基础知识
变分法的基本概念
阐述变分法的基本思想、定义和定理，以及在 有限元分析中的作用。
弱收敛与弱*收敛
03
介绍弱收敛和弱*收敛的概念、性质以及在有限元分析中的应用
。
03
有限元方法的基本步骤
问题的离散化
总结词
将连续的问题离散化，将连续体划分为有限个小的单元，每个单元称为有限元 。
详细描述
在有限元方法中，首先需要对实际问题进行离散化，即将连续的问题划分为有 限个小的单元，每个单元称为有限元。离散化的目的是将连续的物理量近似为 离散的数值，以便进行数值计算。
有限元法基础讲稿-基础理论方案
F λ1K e λδ
或记为
F K eδ
（1-2-11） （1-2-12）
上式反映了单元节点位移与单元节点力的关系，称为单元刚度方程。其中，
K e λ K 1 e λ ，为整体坐标系中的单元刚度矩阵，即
2 2
Ke
AE
2
2
l 2 2
i
lj
单元右端节点力： U A AE u
j
li
i
ui U i
j
Uj
uj
有限元法及ansys基础理论
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
把以上两种状态的结果叠加起来，得到左、右两端都可变位情况下单元节点力为
U AE u AE u
δ
j
（1-2-14）
其中，i 点节点力Fi=[Ui Vi ]T， j 点节点力Fj=[Uj Vj ]T， i 点节点位移δi=[ui vi ]T， j
点节点位移δj=[uj vj ]T，
K ii
K
jj
AE l
2
，
2
K ij K ji K ii 。刚度系数Kij 的
(ui
uj)
其中
S AE 1 1
l
在杆件结构中，通常以轴力作为广义应力，因此矩阵S称为单元应力矩阵。
有限元法及ansys基础理论
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
或记为
F K eδ
（1-2-11） （1-2-12）
上式反映了单元节点位移与单元节点力的关系，称为单元刚度方程。其中，
K e λ K 1 e λ ，为整体坐标系中的单元刚度矩阵，即
2 2
Ke
AE
2
2
l 2 2
i
lj
单元右端节点力： U A AE u
j
li
i
ui U i
j
Uj
uj
有限元法及ansys基础理论
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
把以上两种状态的结果叠加起来，得到左、右两端都可变位情况下单元节点力为
U AE u AE u
δ
j
（1-2-14）
其中，i 点节点力Fi=[Ui Vi ]T， j 点节点力Fj=[Uj Vj ]T， i 点节点位移δi=[ui vi ]T， j
点节点位移δj=[uj vj ]T，
K ii
K
jj
AE l
2
，
2
K ij K ji K ii 。刚度系数Kij 的
(ui
uj)
其中
S AE 1 1
l
在杆件结构中，通常以轴力作为广义应力，因此矩阵S称为单元应力矩阵。
有限元法及ansys基础理论
... 矩阵分析法及有限元分析的一般步骤
INTRODUCTION TO ANSYS 5.7 - Part 1
第1章有限元基本理论ppt课件
x dx
li
E i
i
E (ui1ui )
x
x
li
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 外载荷与结点的平衡方程
EA(uiui1 ) li1
EA(ui1ui ) li
q(li1 li ) 2
q(li1li ) 为第i个结点上承受的外载荷
2
1.8 直杆受自重作用的拉伸问题(续)
❖ 假定将直杆分割成3个单元，每个单元长为a=L/3， 则对结点2，3，4列出的平衡方程为：
单元: 一组节点自由度间相互作用的 数值、矩阵描述（称为刚度或系数 矩阵)。单元有线、面或实体以及二 维或三维的单元等种类。
载荷
有限元模型由一些简单形状的单元组成，单 元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
1.6 节点和单元 (续)
信息是通过单元之间的公共节点传递的。
. . 2 nodes ...
. . . 1 node
1.1 有限元分析 (FEA)
有限元分析 是利用数学近似的方法对真实物理
系统（几何和载荷工况）进行模拟。它利用简 单而又相互作用的元素，即单元，用有限数量 的未知量去逼近无限未知量的真实系统。
1.2 有限单元法的基本思想
❖ 将连续的结构离散成有限个单元，并在每一单元中 设定有限个节点，将连续体看作只在节点处相连接 的一组单元的集合体。
I
J
O
N
三维实体结构单元
K UX, UY, UZ
P
M L
J
I
J
K J
O N
K J
三维梁单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
三维四边形壳单元 UX, UY, UZ, ROTX, ROTY, ROTZ
有限元方法讲义
有限元方法讲义第1讲抛物问题有限元方法1、椭圆问题有限元方法考虑椭圆问题边值问题：（1）问题（1）的变分形式：求使满足（2）的性质，广义解的正则性结果。
区域的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。
剖分区域上分片次多项式构成的有限元空间。
的逼近性质，逆性质：这里，为的插值逼近。
问题（2）的有限元近似：求使满足（3）（3）的解唯一存在，且满足。
（3）的解所满足的矩阵方程（离散方程组）形式：（4）刚度矩阵的由单元刚度矩阵组装而成。
模误差分析：由（2）－（3）可得（5）由（5）可首先得到则得到（6）－模误差分析设满足用与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到再利用模误差估计结果，得到（7）最优阶误差估计和超收敛估计概念。
当与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得（8）利用（7），类似分析可得（9）2、抛物问题半离散有限元方法考虑抛物型方程初边值问题：（10）（10）的变分形式：求使满足（11）（11）的半离散有限元近似：求使满足（12）令，代入（12），依次取可导出常微分方程组：（13）其中为质量矩阵，K为刚度矩阵。
求解常微分方程组（13），得到代回的表达式，即得半离散有限元解。
定理1.问题（12）的解唯一存在且满足稳定性估计：（14）证明：在（12）中取得到整理为（注意是正定的）对此式积分，证毕。
误差分析。
引进解的椭圆投影逼近：满足（15）根据椭圆问题的有限元结果可知（16）分解误差：的估计由（16）式给出，只须估计。
由（11），（12）和（15）知，满足取，类似稳定性论证可得可取为的投影，插值逼近等。
由（17）式，三角不等式和（16），得到（18）3、抛物问题全离散有限元近似剖分时间区间：。
引进差分算子：规定，当为连续函数时，，则有由此得到（19）（20）定义问题（11）的全离散向后Euler有限元近似：求，使满足（21）将代入（21）可导出全离散方程组（22）其中。
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有限元法的基本概念
结构离散化： 1）划分网格； 2）载荷移置； 3）简化约束。
单元刚度矩阵与刚度系数： 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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本课程的要求
1. 做好笔记，及时复习与总结 2 . 阅读参考书籍独立上机操作 3 . 独立上机操作
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弹性力学中的基本概念
六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：
2 zx y 2 yx z 0
由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很 好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再 加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的， 应用极广的数值计算方法。
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lim Q F (N/m2)
S S0
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弹性力学中的基本概念
面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 F 在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，
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前言
１.课程简介 ２.学习课程的基本要求 ３.选用教材，参考书
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绪论
１.１有限元法的一般概念 １.２有限元法与其他课程之间的关系
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弹性力学
即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个 分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及 边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。
南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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弹性力学中的基本概念
（1）外力 分为体积力和表面力，简称为体力和面力。
体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯源自力lim Q F (N/m3)
V V 0
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各学科的任务与特点
材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用 下的应力和位移。
结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。
弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以 及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材 料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了 构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大 大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学
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有限元法的基本思想
将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点 （离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式， 用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法， 将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个 结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元 离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。
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弹性力学中的基本概念
例如：x是作用在垂直于x轴的面上 xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向 正面——截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正 负面——截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正 剪应力与材料力学的不同
显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为 了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。
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弹性力学中的基本概念
PA= x PB= y PC= z 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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有限元法与其他课程的关系
物理
力学的分类
机械振动 力 学
计算数学 计算机学
热力学 流体力学 固体力学 理论力学 弹性力学 工程力学
计算力学
结构力学 弹性力学 塑性力学
计算固体力学 计算结构力学
有限元法
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弹性力学中的基本概念与方法
２.１弹性力学 ２.２弹性力学中的基本假定 ２.３弹性力学中的基本概念
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完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物 体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与 它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变 与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形 变而变。 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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选用教材及参考书
《机械工程中的有限元基础 》高德平主编 西北工业大学出版社 参考书： 《有限元法》 李景涌编 北京邮电大学出版社 《有限单元发基本原理和数值方法》 王冒城编 清华出版社 《弹性力学简明教程》 徐芝纶 高等教育出版社
以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 F在x，y，z轴上的投影 X ，Y ，Z 称为在P点的面力分量，以沿坐
标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 （2）应力：研究物体在某一点P的内力。
研究物体在其某一点P的内力 lim Q s
A 0 A
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弹性力学中的基本概念
这个极限矢量S就是物体在截面 mn上的，在P点的应力，应力 的S方向就是 △Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常 不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强 度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应 力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力及剪应力 。因 次（N/m**2 ）
有限元法的基本求解步骤
位移型有限元法求解静力问题的一般步骤： １）划分单元； ２）计算单元刚度矩阵； ３）进行载荷移置； ４）引入约束，解方程组求得位移； ５）计算应力和应变。
注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与 应力的方法，称为力型有限元法。
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有限元法的一般概念
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程 实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究 复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软 件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活， 快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一 种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中 得到广泛的应用。 常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法
符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。
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弹性力学中的基本假定
（5）假定位移和形变是微小的 即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体
原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
有限元法基础讲义
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有限元法的基本概念
结构离散化： 1）划分网格； 2）载荷移置； 3）简化约束。
单元刚度矩阵与刚度系数： 1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力； 2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。
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本课程的要求
1. 做好笔记，及时复习与总结 2 . 阅读参考书籍独立上机操作 3 . 独立上机操作
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弹性力学中的基本概念
六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：
2 zx y 2 yx z 0
由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很 好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再 加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的， 应用极广的数值计算方法。
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lim Q F (N/m2)
S S0
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弹性力学中的基本概念
面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力 F 在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，
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前言
１.课程简介 ２.学习课程的基本要求 ３.选用教材，参考书
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绪论
１.１有限元法的一般概念 １.２有限元法与其他课程之间的关系
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弹性力学
即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个 分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及 边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。
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弹性力学中的基本概念
（1）外力 分为体积力和表面力，简称为体力和面力。
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V V 0
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各学科的任务与特点
材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用 下的应力和位移。
结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构 例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。
弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以 及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材 料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了 构件形变状态或应力分布的假设 ，使数学推导大 大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学
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有限元法的基本思想
将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点 （离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式， 用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法， 将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个 结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元 离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。
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弹性力学中的基本概念
例如：x是作用在垂直于x轴的面上 xy表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向 正面——截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正 负面——截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正 剪应力与材料力学的不同
显然可见，在物体内的一点P，不同街面上的应力是不同的，为 了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。
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弹性力学中的基本概念
PA= x PB= y PC= z 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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有限元法与其他课程的关系
物理
力学的分类
机械振动 力 学
计算数学 计算机学
热力学 流体力学 固体力学 理论力学 弹性力学 工程力学
计算力学
结构力学 弹性力学 塑性力学
计算固体力学 计算结构力学
有限元法
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２.１弹性力学 ２.２弹性力学中的基本假定 ２.３弹性力学中的基本概念
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完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物 体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与 它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变 与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形 变而变。 南京航空航天大学能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016)
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以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 F在x，y，z轴上的投影 X ，Y ，Z 称为在P点的面力分量，以沿坐
标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。 （2）应力：研究物体在某一点P的内力。
研究物体在其某一点P的内力 lim Q s
A 0 A
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弹性力学中的基本概念
这个极限矢量S就是物体在截面 mn上的，在P点的应力，应力 的S方向就是 △Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常 不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强 度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应 力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力及剪应力 。因 次（N/m**2 ）
有限元法的基本求解步骤
位移型有限元法求解静力问题的一般步骤： １）划分单元； ２）计算单元刚度矩阵； ３）进行载荷移置； ４）引入约束，解方程组求得位移； ５）计算应力和应变。
注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与 应力的方法，称为力型有限元法。
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有限元法的一般概念
有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程 实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究 复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软 件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活， 快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一 种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中 得到广泛的应用。 常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法
符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。
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弹性力学中的基本假定
（5）假定位移和形变是微小的 即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体
原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
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