10.2事件的相互独立性

1 2
,
3 4
,
3 4
，将它们中某两个元件并联后再和第三个
元件串联接入电路，它们是否正常工作相互独立.在如图所示的电路中，电路不发生故障的概率
是_______.
解：记 A “T1 正常工作”， B “T2 正常工作”， C “ T3 正常工作”，
则 P(A) 1 , P(B) P(C) 3 ，
23 60
5 12
9 10
.
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率；
（2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法二：“3 人中至少有 1 人被选中”的对立事件是“3 人都没有被选中”， 所以 3 人中至少有 1 人被选中的概率为
1 3
1 10
6. 甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为 2 , 3 , 1 ， 543
且各自能否被选中互不影响． （1）求 3 人同时被选中的概率； （2）求 3 人中至少有 1 人被选中的概率．
解：（2）方法一：3 人中有 2 人被选中的概率为
P2 P(ABC ABC ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC) 2 3 (1 1) 2 (1 3) 1 (1 2) 3 1 23 5 4 3 5 4 3 5 4 3 60
（1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶. （4）至少有一人中靶.
解：（3）事件“两人都脱靶” AB ，所以 P( AB) P( A)P(B) 0.2 0.1 0.02
（4）方法 1：事件“至少有一人中靶” AB AB AB ，且 AB, AB 与 AB 两两互斥，

时间内至少1人回老家过节的概率为 （ ）
A. 59
B. 1
C. 3
D. 1
60
2
5
60
题型三事件的独立性与互斥性的关系
【例3】［2019·河北大名一中高二检测］已知A，B，C为三个独立事
件，若事件A发生的概率是 1 ，事件B发生的概率是 2 ，事件C发生
2
3
的概率是 3 ，求下列事件的概率：（1）事件A，B，C只发生两个； 4
小结
1．相互独立事件的定义是用概率公式证明，实际问题中，根据实际问题的 背景确定两个事件是相互独立的也是常用的方法。
2．两个相互独立事件同时产生的概率，满足概率的乘法公式，求解时只需 先求出这两个事件的概率，再求出同时产生的概率。
3．两个事件相互独立与互斥 是两个不同的概念，要注意区分开来，互斥事 件至少一个产生的概率用加法，相互独立事件同时产生的概率用乘法。
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与 “从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意 取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的还是白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”
∴
P（A）＝
1 2
，P（B）＝
1 2
，P（AB）＝
33 36
＝
1 4
，
∴ P（AB）＝P（A）P（B），∴ 事件A，B相互独立.
题型二 相互独立事件的概率计算
例2. ［2019·四川省雅安中学高二检测］打靶时，甲每打10次可中

解：没有影响。在试验2中，样本空Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}}， 包含16个等可能的样本点. A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)}， B={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}， ∴AB={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}.
解：没有影响。在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表 示硬币“反面朝上”， 则样本空间为
Ω={(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)}，包含4个等可能的样本点 A={(1,1),(1,0)},B={(1,0),(0,0)} n( A) 2 1 n() 4 2
P(B) n(B) 2 1 n() 4 2
P( AB) n( AB) 1 n() 4
P(AB) P(A)P(B)
二、探索新知 积事件AB的概率P(AB)也等于P(A)与P(B)的乘积.
下面两个随机试验各定义了一对随机事件A和B，你觉得事件A发生 与否会影响事件B发生的概率吗?AB的概率与事件A、B的概率有何关 联。试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，A=“第一枚硬币正面 朝上”，B=“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是1、2、3、4的4个球,除标号外 没有其他差异,采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A=“第 一次摸到球的标号小于3”,B=“第二次摸到球的标号小于3”.
P( A) n( A) 8 1 P(B) n(B) 8 1
n() 16 2
n() 16 2
P( AB) n( AB) 1 n() 4
P(AB) P(A)P(B)
二、探索新知
相互独立事件:

P()=0.1.
（1）AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得
P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（2）恰好有一人中靶；
解 ：设A =“甲中靶”，B =“乙中靶”，
（2,1） （2,2）（2,3） （2,4）
（3,1） （3,2）（3,3） （3,4）
（4,1） （4,2）（4,3） （4,4）
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
二、新知学习（共同探究）
实验2 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号
外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设A＝
“第一次摸到球的标号小于3”， B＝“第二次摸到球的标号小于3”.
分析：样本空间 ={(m,n)| m,n ∈{1,2,3,4}},
A = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4)} ，
所以, P(AB)≠ P(A)P(B)，因此，事件A与事件B不独立.
三、例题讲授
例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为
0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率
（1）两人都中靶；
（2）恰好有一人中靶；
（3）两人都脱靶；
（4）至少有一人中靶．
分析：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，从要求的概率可知，需要先

3．互斥事件、对立事件、相互独立事件的区别是什么？ 答：对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，那么称A，B 互斥．一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，那么称 A，B对立，显然A＋B为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但可能同时 不发生．如掷一枚均匀的骰子，“点数为1”为事件A，“点数为2”为事件B， 则A，B可能都不发生．两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发 生的概率没有影响． A，B互斥，则P(AB)＝0；A，B对立，则P(A)＋P(B)＝1. A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)·P(B)，可见这是不相同的概率．
1．对相互独立事件定义的理解
答：对于事件A，B，如果事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没 有影响，那么称这两个事件为相互独立事件．例如甲袋中装有3个白球，2个黑 球，乙袋中装有2个白球，2个黑球，从这两个袋中分别摸出一个球，把“从甲 袋摸出1个球，得到白球”记为事件A，把“从乙袋中摸出1个球，得到白球”记 为事件B，显然A与B相互独立．
思考题1 袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第
一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B，“第二次摸得黑球”记为 C，那么事件A与B，A与C间的关系是( A )
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
课时学案
题型一 相互独立事件的判断
例1 (1)把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独 立事件．
①A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}； ②A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3点}； ③A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}； ④A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．

（2）事件A，B，C至多发生两个.
【解】 （1）记“事件A，B，C只发生两个”为事件A1，则事件A1包括AB C ，
A B C，A BC三种彼此互斥的情况.为互斥事件概率的加法公式和相互独立事
件的概率乘法公式，得P（A1 ）＝P（AB ）+P（A B C）+P（ A BC）
＝
1 12
+
1 8
+
1 4
B. 12
C. 3
D. 3
25
25
4
5
【解题提示】 判断两个事件是否独立，根据独立事件同时发生
的概率公式进行计算.
【解析】
设甲中靶为事件A，则P（A）＝
8 10
＝
4 5
，设乙中靶为事件B，
则P（B）＝
7 10
.甲、乙两人同时射

击，
他
们相
互没有影响，所以A，B为
相互独立事件，则他们同时中靶为事件AB.
P( AB)
P（AB）＝P（A）P（B）公式变形：P（A）＝ P(B) .
三 相互独立事件与互斥事件的区别
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A（或B）是否发生对事件 B（或A）发生的概率没有影响
符号
相互独立事件A，B同时发生， 记作AB
互斥事件A，B中有一个发 生，记作A∪B（或A+B）
计算 公式
P（AB）＝P（A）·P（B） P（A∪B）＝P（A）+P（B）
常考题型
题型一 相互独立事件的判断
例1.判断下列各对事件是否是相互独立事件. （1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生.现从甲、 乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与 “从乙组中选出1名女生”； （2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意 取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取 出的还是白球”； （3）掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”

公式变形:
P( A)
P( AB) .
P(B)
再见
分别计算P(A),P(B),P(AB),你有什么发现?
课文精讲
显然,对于试验1,因为两枚硬币分别抛 掷,第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的 抛掷结果互相不受影响,所以事件A发生与否 不影响事件B发生的概率.
对于试验2,因为是有放回摸球,第一次 摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影 响,所以事件A发生与否也不影响事件B发生 的概率.
典型例题
解:因为样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且
m≠n},
A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),
B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),
所以P(A)=P(B)= 6 = 1,P(AB)= 2 =1 .
方法2:由于事件“至少有一人中靶”的对立B 事件是“两人都脱靶”,根据对立事件的性质, 得事件“至少有一人中靶”的概率为
1 P( AB) 1 0.02 0.98.
课典文 型精例讲题
1.例（3重:甲点、）乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每 轮活动由甲、乙各猜一个成语,已知甲每轮
猜对的概率为3 ，乙每轮猜对的概率为2 .在
A2与B1分别相互独立,所以
P( A) P( A1B2 ) P( A2B1 ) P( A1 )P(B2 ) P( A2 )P(B1 ) 34 9 4 8 9 16 9 5. 12
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率 是 5.
12
本课小结
对 任 意 两 个 事 件 A 与 B, 如 果 P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件 A与事件B相互独立,简称为独 立.

=0.8×0.3×0.1+0.2×0.7×0.1+0.2×0.3×0.9
=0.092.
变式训练3某机械厂制造一种汽车零件,已知甲机床的正品率是0.96,乙机
床的次品率是0.05,现从它们制造的产品中各任意抽取一件,试求:
(1)两件产品都是正品的概率;
(2)恰有一件是正品的概率;
(3)至少有一件是正品的概率.
(2)求甲、乙、丙三人的租车费用和为10元的概率.
解 (1)由题意可得,甲、乙、丙 30 分钟以上且不超过 40 分钟还车的概率分
1 1 1
别为 , , ,
4 2 4
1 1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三人的租车费用完全相同的概率为 P=2 × 4 × 4 + 4 × 4 × 2 + 4 ×
1 1
生,不会受任何事件是否发生的影响,不可能事件⌀总不会发生,也不受任何
事件是否发生的影响.当然,它们也不影响其他事件是否发生.(3)对于n个事
件A1,A2,…,An,如果其中任意一个事件发生的概率不受其他事件是否发生
的影响,则称n个事件A1,A2,…,An相互独立.
微思考
分别抛掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“第一枚硬币正面朝上”,事件B=“第
单的相关概率计算问题.(数学运算)
4.培养学生分析问题、解决问题的能力,提高学生数学转化与
化归的能力.(逻辑推理)
思维脉络
课前篇 自主预习
激趣诱思
常言道:“三个臭皮匠顶个诸葛亮.”怎样从数学上来解释呢?将问题具体化:
假如对某事件诸葛亮想出计谋的概率为0.88,三个臭皮匠甲、乙、丙想出
计谋的概率各为0.6,0.5,0.5.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗?

A 与 B； A 与 B； A 与 B.
注意：当三个事件A、B、C两两独立时， 等式P(ABC)=P(A)P(B)P(C)一般不成立.
新知探究
例1 一个袋子中装有标号分别是1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他
差异．采用不放回方式从袋中依次任意摸出两球．设A=“第一次摸到球的 标号小于3”，B=“第二次摸到球的标号小于3”，那么事件A与B是否独 立？
猜一个成语, 已知甲每轮猜对的概率为 3 ，乙每轮猜对的概率为 2 . 在 每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响4，各轮结果也互不影响. 求3 “星 队”在两轮活动中猜对3个成语的概率.
分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、 事件“甲猜对2个, 乙猜对1个”的和事件发生.
解：设A1 , A2分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，B1 , B2分别 表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得
② ∵事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”
∴事件“至少有一人中把”的概率为 1- P( AB) 1 0.02 0.98
归纳：求较为复杂事件的概率的方法
1.对事件进行分解,一方面分解为互斥的几类简单事件求概率; 另一方面分解为独立的事件, 利用事件同时发生(乘法)求出概率.
2.对事件分解时,要明确事件中的“至少有一个发生”“至 多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发 生”“不都发生”等词语的意义. 已知两个事件A,B,那么:
P(AB∪AB) =P(AB)＋P(AB) =P(A)P(B)＋P(A)P(B)
=0.8×0.1+0.2×0.9=0.26. (3)事件“两人都脱靶” =AB，所以
P(AB) =P(A)P(B)=(1－0.8) × (1－0.9) =0.02.

第十章　概　率§10.2　事件的相互独立性学习目标XUE XI MU BIAO1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念.2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题.内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONEP(A)P(B)对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝成立，则称事件A 与事件B相互独立，简称独立.思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU1.不可能事件与任何一个事件相互独立.( )2.必然事件与任何一个事件相互独立.( )3.“P (AB )＝P (A )·P (B )”是“事件A ，B 相互独立”的充要条件.( )4.如果两个事件相互独立，则它们的对立事件也是相互独立的.( )√√√√2题型探究PART TWO一、事件独立性的判断例1　判断下列事件是否为相互独立事件.(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”.解　“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件.(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件.反思感悟两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.(2)公式法：若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A，B为相互独立事件.跟踪训练1　分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A是“第一枚为正面”，事件B是“第二枚为正面”，事件C是“两枚结果相同”，①②③则下列事件具有相互独立性的是________.(填序号)①A，B；②A，C；③B，C.解析　根据事件相互独立性的定义判断，只要P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C)成立即可.利用古典概型概率公式计算可得P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，P(C)＝0.5，P(AB)＝0.25，P(AC)＝0.25，P(BC)＝0.25.可以验证P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C)，P(BC)＝P(B)P(C).所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立.二、相互独立事件概率的计算例2　根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6，购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立. (1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；解　记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率.解　记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，延伸探究　本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解　记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，方法二　事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件.反思感悟(1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的.②求出每个事件的概率，再求积.(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的.跟踪训练2　甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为，两人能否破译密码相互独立，求两人破译时，以下事件发生的概率：(1)两人都能破译的概率；解　记事件A为“甲独立地破译出密码”，事件B为“乙独立地破译出密码”.解　至多有一人破译出密码的对立事件是两人都破译出密码，三、相互独立事件概率的综合应用(1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？解　记“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，因为P(C)>P(B)>P(A)，所以丙获得合格证书的可能性最大.(2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.解　设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，由题易知三人是否获得合格证书相互独立，反思感悟求较复杂事件的概率的一般步骤如下(1)列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示.(2)理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式.(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算.(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率.解　记T1正常工作为事件A，T2正常工作为事件B，T3正常工作为事件C，核心素养之数学抽象HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE CHOU XIANG方程思想在相互独立事件概率中的应用典例　甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为，分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率.解　记事件A，B，C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品.解方程组并舍去不合题意的根，素养提升对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程(组)，通过解方程(组)解决问题，提升数学抽象素养.3随堂演练PART THREE1.坛子里放有3个白球，2个黑球，从中不放回地摸球，用A1表示第1次摸到白球，A2表示第2次摸到白球，则A1与A2A.是互斥事件B.是相互独立事件√C.是对立事件D.不是相互独立事件解析　互斥事件和对立事件是同一次试验的两个不同时发生的事件，故选项A，C错.而事件A1的发生对事件A2发生的概率有影响，故两者不是相互独立事件.2.一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为√A.1B.0.629C.0D.0.74或0.85解析　设“甲保险丝熔断”为事件A，“乙保险丝熔断”为事件B，则P(A)＝0.85，P(B)＝0.74，由事件A与B相互独立，得“两根保险丝都熔断”为事件AB，∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.85×0.74＝0.629.3.(多选)下列各对事件中，不是相互独立事件的有A.运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”B.甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”C.甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙 都没有射中目标”D.甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中 目标但乙未射中目标”√√√解析　在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)·P(B)，故A，B不独立.故选A，C，D.4.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为0.7，0.8，0.85，且3人是否击中目标相互独立.若他们3人向目标各发1枪，则目标没有0.009被击中的概率为________.解析　3人向目标各发1枪，由相互独立事件的概率计算公式，得目标没有被击中的概率P＝(1－0.7)×(1－0.8)×(1－0.85)＝0.3×0.2×0.15＝0.009._____.课堂小结KE TANG XIAO JIE1.知识清单：(1)相互独立事件的判断.(2)相互独立事件概率的计算.2.方法归纳：构造方程(组)、通过解方程(组)求概率，正难则反思想求概率.3.常见误区：相互独立事件与互斥事件易混淆.4课时对点练PART FOUR基础巩固1.掷一枚骰子一次，设事件A：“掷出偶数点”，事件B：“掷出3点或6点”，则事件A，B的关系是A.互斥但不相互独立√B.相互独立但不互斥C.互斥且相互独立D.既不相互独立也不互斥解析　事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，即P(AB)＝P(A)P(B)，因此事件A与B相互独立.当“掷出6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件.2.某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9，则他连续射击两次都命中的概率是A.0.64B.0.56√C.0.81D.0.99解析　A i表示“第i次击中目标”，i＝1,2，则P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9＝0.81.3.甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为√A.0.12B.0.42C.0.46D.0.88解析　设“甲被录取”记为事件A，“乙被录取”记为事件B，A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率√C.至少有1个红球的概率D.2个球中恰有1个红球的概率解析　记4个选项中的事件分别为A，B，C，D，则：5.(多选)下列各对事件中，M ，N 是相互独立事件的有A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M ＝“出现的点数为奇数”，事 件N ＝“出现的点数为偶数”B.袋中有5个白球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸 两次，事件M ＝“第1次摸到白球”，事件N ＝“第2次摸到白球”C.分别抛掷2枚相同的硬币，事件M ＝“第1枚为正面”，事件N ＝ “两枚结果相同”D.一枚硬币掷两次，事件M ＝“第一次为正面”，事件N ＝“第二次 为反面”√√解析　在A中，M，N是互斥事件，不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；在D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件.故选C，D.6.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为_____.解析　设此队员每次罚球的命中率为P，7.在甲盒内的200个螺杆中有160个是A型，在乙盒内的240个螺母中有180个是A型.若从甲、乙两盒内各取一个，则能配成A型螺栓的概率为____.解析　从甲盒内取一个A型螺杆记为事件M，从乙盒内取一个A型螺母记为事件N，8.两人打靶，甲中靶的概率为0.8，乙中靶的概率为0.7，若两人同时0.56射击一目标，则它们都中靶的概率是________，它们都不中靶的概率0.06为________.9.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的.求：(1)进入商场的1位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率；。

求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
解 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，
ҧ
ҧ
ത
则P(A)=0.8，P(B)=0.7，P(C)=0.9，所以P()=0.2，P(
)=0.3，P(
)=0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为
相互独立事件的定义
对任意两个事件A与B，
对于n个事件A1，A2，…，An，
如果P(AB)=P(A)P(B)成立，
如果其中任何一个事件发生的概率
则称事件A与事件B相互独立，
不受其他事件是否发生的影响，
简称为独立.
则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
新知探索
独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，
ҧ
ത
P1=P(BC)+P(A
C)+P(AB
)ҧ
ҧ
ത
=P()P(B)P(C)+P(A)P(
)P(C)+P(A)P(B)P(
)ҧ
=0.2×0.7×0.9+0.8×0.3×0.9+0.8×0.7×0.1=0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2=1-P(ҧത )ҧ
ҧ )P(
ҧ
ത )=1-0.2×0.3×0.1=0.994.
=1-P()P(
典例精析
题型三：相互独立事件概率的实际应用
例4
1 3 3
三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为 ， ， ，将它们中的某两个
2 4 4
元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．

[方法技巧] 事件间的独立性关系 已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B 同时发生 A，B 都不发生
AB －A －B
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
A，B 恰有一个发生
(A －B )∪(－A B)
P(A)P(－B )＋P(－A )·P(B)
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率． 解：记“甲气象台预报天气准确”为事件 A，“乙气象台预报天气准确”为事 件 B. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－15×14＝1290.
(1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(2)两个人都译不出密码的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)恰有 1 个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出 乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝13×1－14＋ 1－13×14＝152.
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝___P_(A__)P__(B__) __成立，则称事件 A 与事 件 B 相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质：
当事件 A，B 相互独立时，事件__A_与事件_B__相互独立，事件__A_与事件 _B__相互独立，事件_A__与事件_B__相互独立．

1 C.2
D．1
解析：设事件 A 表示“甲通过听力测试”， 事件 B 表示“乙通过听力测试”． 根据题意，知事件 A 和 B 相互独立，且 P(A)＝12，P(B)＝13. 记“有且只有一人通过听力测试”为事件 C， 则 C＝A－B ∪ A B，且 A－B 和 A B 互斥， 故 P(C)＝P(A－B ∪ A B)＝P(A－B )＋P( A B) ＝P(A)P( B )＋P( A )P(B)＝12×1－13＋1－12×13＝12. 答案：C
4．两个相互独立的事件 A 和 B，若 P(A)＝12，P(B)＝14， 则 P(AB)＝________.
解析：∵A、B 是相互独立事件，P(A)＝12，P(B)＝14 ∴P(AB)＝P(A)·P(B)＝12×14＝18. 答案：18
【课堂探究】
题型一 相互独立事件的判断[经典例题] 例 1 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设 A＝“抽 到 K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到 J”，那么下列每对 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？ (1)A 与 B；(2)C 与 A.
解：甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率 分别为 1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为 0 元、2 元、4 元三种情 况．租车费都为 0 元的概率为 p1＝14×12＝18，租车费都为 2 元 的概率为 p2＝12×14＝18，租车费都为 4 元的概率为 p3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为 p＝p1＋p2＋p3＝156.
(3)“2 人至少有 1 人射中”包括“2 人都中”和“2 人有 1 人射中”2 种
情况，其概率为 P＝P(AB)十[P(A－B )＋P( A B)]＝0.72＋0.26＝0.98.

（2）计算这个小时内至少有一台机器需要照料的 概率。
例4（05，全国）盒中有大小相同的球10个，其中
标号为1的球有3个，标号为2的球有4个，标号为5的 球有3个，第一次从盒中取1个球，放回后第二次再 取1个球，（假设取到每个球的可能性都相同），记
第一次与第二次取到球的标号之和为 ，求 的
散布列。
段时间内3个开关都不能闭合的概率是
P( A • B • C) P( A) • P(B) • P(C)
[1 P( A)][1 P(B)][1 P(C)]
(1 0.7)(1 0.7)(1 0.7)
0.027
所以这段事件内线路正常工作的概率是
1 P(A • B • C) 1 0.027 0.973
事件的相互独立性
复习回顾
1、事件的相互独立性
设A，B为两个事件，如果 P(AB)=P(A)P(B),则称事 件A与事件B相互独立。
2、相互独立事件同时产生的概率公式：
两个相互独立事件A,B同时产生,即事件A•B产生的概
率为：P(AB)= P(A)P(B)
.
一般地，如果事件A1，A2……，An相互；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一 个一等品的概率。
练习：
设甲、乙、丙三台机器是否需要照料相互之间 没有影响。已知在某一小时内，甲、乙都需要照料 的概率为 0.05，甲、丙都需要照料的概率为0.1， 乙、丙都需要照料的概率为0.125.
（1）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照 料的概率分别为多少？
C41·C41
③从中抽两次,每次1件则两次都抽出次品的概率是_C_10_01·C1001
(放回抽取)
( 互斥事件)
求
分类 P(A+B)= P(A) + P (B)

1 1 1 1 3
(2)P(ξ＝4)＝ × ＋ × ＋ × ＝ ，P(ξ＝6)＝ × ＋ × ＝ .
4 4 2 4 2 4 16
4 4 2 4 16
规律方法
概率问题中的数学思想
(1)正难则反．灵活应用对立事件间的概率关系(P(A)＋P( )＝1)简化问题，
是求解概率问题最常用的方法．
(2)化繁为简．将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事
＝P(B)P(C)．所以根据事件相互独立的定义，事件A与B相
互独立，事件B与C相互独立，事件A与C相互独立．
题型2
相互独立事件同时发生的概率
例2 王敏某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重
庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，
假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；
密码”，所以至少有 1 个人译出密码的概率为 1－P( A B )＝
2 3 1
1－P( A )P( B )＝1－ × ＝ .
3 4 2
题型3 相互独立事件的综合应用
例 3
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行
车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时
的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人
10.2 事件的相互独立性
学习目标
1.结合有限样本空间，了解两
个随机事件独立性的含义
2.结合古典概型，利用独立性
计算概率
素养要求
数学抽象
数学运算、数学建模
| 自学导引 |
知识点1 相互独立事件的定义和性质
1．定义：对于任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝

题型三 相互独立事件概率的综合应用 [学透用活]
[典例 3] 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码 的概率分别为13和14，求： (1)两个人都译出密码的概率； (2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有 1 个人译出密码的概率.
[解] 记“甲独立地译出密码”为事件 A，“乙独立地译出密码”
3.某同学做对某套试卷中每一个选择题的概率都为 0.9，
则他连续做对第 1 题和第 2 题的概率是( )
A.0.64
B.0.56
C.0.81
D.0.99
解析：设 Ai 表示“第 i 题做对”，i＝1,2，由题意知，
A1，A2 相互独立，则 P(A1∩A2)＝P(A1)P(A2)＝0.9×0.9
＝0.81.
解析：由于摸球过程是有放回的，所以第一次摸球 的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件 A 与 B，A 与 C 均相互独立，且 A 与 B，A 与 C 均有 可能同时发生，说明 A 与 B，A 与 C 均不互斥，故 选 A. 答案：A
2.甲、乙两班各有 36 名同学，甲班有 9 名三好学生，乙班有
2.[变结论]若本例条件不变，求至少 1 个人译出密码的概率.
解：“至少有 1 个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出 密码”， 所以至少有 1 个人译出密码的概率为 1－P(A－ B－)＝1－P(A－)P(B－)＝1－23×34＝12.
——训练新素养——
一、基础经典题
[课堂一刻钟巩固训练]
(4)“从 8 个球中任意取出 1 个，取出的是白球”的概率为58，若 前一事件发生了，则“从剩下的 7 个球中任意取出 1 个，取出的 仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生 的概率为57.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率 有影响，所以二者不是相互独立事件，也不是互斥事件.