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中考数学 第七章 图形的变化 第30讲 图形的旋转课件

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《图形的旋转》平移旋转和轴对称PPT课件

《图形的旋转》平移旋转和轴对称PPT课件


与时针旋转方向相同的是顺时针， 与时针旋转方向相反的是逆时针。
栏杆的打开和关闭是怎样旋转的？ 它们的运动有什么相同点和不同点？
逆时针方向Biblioteka 顺时针方向OO
课堂探究
探究一： 转杆的打开和关闭，分别是绕哪个点按什么方向旋转的？旋转了多少度？
转杆的打开是绕o顺时针旋转90°。 ②转杆的打开是绕o逆时针旋转90°
随堂检测
（1）把三角形绕点A顺时针旋转90° （2）把四边形绕点B逆时针旋转90°
一、学习新课
把三角板绕A点顺时针旋转90。
A
当堂练习
（3）指针顺时针旋转90°，从指向A 旋转到指（ D ） ； 指针逆时针旋转90°，从指向B旋转到指向（ C ） 。
给出一个方向和角度，让线段OA绕着O点转一转
A
O
小结: 与时针旋转方向相同的是顺时针旋转,相反的是逆时针 旋转。转杆打开是顺时针旋转,转杆关闭是逆时针旋转。
课后练习
一、学习新课
把三角板绕A点顺时针旋转90。
A
讲授新课
你会把方格纸上的三角形绕点A逆时针旋转90°吗？
从113页剪下和它同样 大的三角形，在图上试 一试。
A
（ 1 ）千克的物品可以使指针按顺时针
方向旋转90。 。
4 0
3
1
2
4 0
3
1
2
如果不借助具体的实物,该怎样画出 三角形逆时针旋转90后的图形?
图形的旋转
学习目标
1．认识绕点顺时针或逆时针旋转90°的含义， 能在方格纸上画出把简单图形旋转90°后的图形。
2．认识对图形变化的兴趣，并进一步感受旋 转在生活中的应用。
讲授新课
与时针旋转方向相同的是顺时针旋转，相反的是逆时针旋转。
图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

旋转的性质：
1、对应点到旋转中心的距离相等. 2、每一对对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角. 3.旋转前、后的图形全等.
60
数学万花筒
一些简单的图形，经过不同角度的旋转， 可以得到各种美丽的图案。
①
②
③
课外设计
度案形用 数（设自 ）注计己
意一喜 点幅欢 、美的 方丽基 向的本 、图图
通过本节课的学习，你有什么收获？
小结
旋转的概念：
在平面内，将一个图形绕着一个定点沿某个 方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转
2.想一想，填一填。
一棵小树被扶起种好，这棵小树绕点O（顺时）针
方向旋转了（ 9）0 度。
3.说一说
3
2
O
1
（1）图形2绕O逆时针旋 转90度到图形（ 1 ）所在 的位置；
（2）图形2绕点O顺时针旋 转90度到图形（ 3 ）所在 的位置；
4
（3）图形2绕点O顺时针旋 转（ 180度 ） 到图形4所在 的位置。
4.画一画。
⑴画出线段AB绕点A顺时 ⑵画出线段AB绕点B逆时
针旋转90°后的线段。
针旋转90°后的线段。
练习5：钟表的分针匀速旋转一周需要60 分． （１）指出它的旋转中心； （２）经过20分，分针旋转了多少度？
解：
（１）它的旋转中心是钟表的轴心；
（２）分针匀速旋转一周需要60 分，因此旋转20分，分针 旋转的角度为 360 20 120
为旋转角。
A
B
旋转角
o
旋转中心
顺逆时针旋转了90°。
认识旋转
O
0
45
B
A
点Ａ绕＿Ｏ＿点，往＿顺＿时＿针方向，转动了＿4＿5 度到点Ｂ．
中考数学一轮复习 第七单元 图形的变化 第30讲 图形的平移与旋转课件

中考数学一轮复习 第七单元 图形的变化 第30讲 图形的平移与旋转课件


12/9/2021第十Fra bibliotek页，共二十九页。
类型二 旋转
例2(2018·南充)如图,矩形ABCD中,AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋转得到矩 形AB'C'D',使点B的对应点B'落在AC上,B'C'交AD于点E,在B'C'上取点F,使B'F
=AB. (1)求证:AE=C'E; (2)求∠FBB'的度数; (3)已知AB=2,求BF的长.
转一个旋转角度数,得到这些关键点的对应点;
12/9/2021
第六页，共二十九页。
(4)按原图形顺次连接这些对应点,所得到的图形就是 旋转后的图形. 说明:在旋转作图时, 一对对应点与 旋转中心的夹角即为旋转角.
学法提点 (1)旋转的基本概念要记清,旋转角是指对应点与旋转中心的连线的夹
角,而不是对应线段的夹角; (2)注意旋转的题目与其他知识的综合应用,注意书写规范,一步一步推
12/9/2021
第二十页，共二十九页。
(1)请用圆规画出点D→D1→D2→D经过的路径;
(2)所画图形是
对称图形;
(3)求所画图形的周长(zhōu chánɡ)(结果保留π).
12/9/2021
第二十一页，共二十九页。
解析 (1)如图.
(2)轴.
(3)所画图形的周长为 2 + 4 ×2 2 =44π+4π=8π.
1 .,
2
1 2
第二十五页，共二十九页。
错解 注意不要将轴对称与中心对称混淆,求解错误.
错误鉴定 (1)将三角形的各顶点,向x轴作垂线并延长相同长度得到三点(sān diǎn)的 对应点,顺次连接各对应点得△A1B1C1;
中考数学总复习 第七单元 图形与变换 第30课时 平移、旋转与轴对称课件

中考数学总复习 第七单元 图形与变换 第30课时 平移、旋转与轴对称课件

[解析] 判断一个图形是不是轴对称图形,
)
就是看有没有这样一条直线,使图形上的
任何一点关于这条直线的对称点都在这
图 30-1
个图形上.
课前双基巩固
2. [八下 P62 习题第 1 题改编] 下列图形中既是轴对称图形又是
中心对称图形的有
(
)
[答案] B
[解析] ①②③既是轴对称图形又是中心
对称图形,共 3 个.
[答案] 60
针方向旋转 90°得到△AB'C',若∠B=70°,∠C'=50°,则∠B'AC'
[解析] 由旋转的性质知∠B'=∠B=70°.
=
在△AB'C'中,∠B'AC'=180°-∠B'-∠C'
°.
=180°-70°-50°=60°.
图 30-5
课前双基巩固
题组二
易错题
【失分点】
不明白折叠的实质是轴对称而导致错误;不能利用轴对称解决最短路线问题.
据对称的性质可知,OP1=OP2=OP= 3,∠P1OP2=120°,∠OP1M=30°,过点 O 作 MN 的垂线段,
3
垂足为 Q,在△OP1Q 中,可知 P1Q= ,所以 P1P2=2P1Q=3,故△PMN 周长的最小值为 3.
2
高频考向探究
探究一 图形的平移
【命题角度】
(1)应用平移的性质直接求平移的距离、线段的长、角度的大小;
轴对
称的
性质
(1)对应点的连线被对称轴⑤ 垂直平分 ;
(2)对应线段⑥ 相等
;
(3)对应线段或延长线的交点在⑦ 对称轴 上;
(4)成轴对称的两个图形⑧ 全等
图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

轴对称图形
对称轴
自转与公转
常海林
（１）上面情景中的转动现 象，有什么共同的特征？
（２）钟表的指针、秋千在 转动过程中，其形状、大小、 位置是否发生变化呢？
把一个平面图形绕着平面内某一点O
转动一个角度，就叫做图形的旋转。
点0叫做旋转中心。 转动的角叫做旋转角
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那 么这两个点P和P′叫做这个旋转的对应点
复习回顾
雪人的形状、大小、位置 运动 前后是否发生了变化？
形状 不变 ，大小 不变，位置 改变.
下一页
轴对称图形定义：
如果 一个平面图形 沿一条直线折叠,直线两 旁的部分能够 完_全___重__合___,那么这个图形就叫做
轴__对__称__图___形___.这条直线 叫做_对___称__轴____.
M BD
（2）旋转了多少度？
M'
D'（3）如果M是AB的中点， 那么经过上述旋转后，点M
C 转到了什么位置？
通过今天的学习，你有什么收获与 体会？
1、什么旋转？ 2、旋转三要素是什么？ 3、旋转具有什么性质？
如何利用旋转的概念，旋转的性质 画出一个图形绕着某个点旋转一定角度的图形呢， 下节课继续讨论
∠AOD=∠BOE
旋转的基本性质
１.对应点到旋转中心的距离相等.
２.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
3.旋转前、后的图形全等.
A （旋转不改变图形的大小和形状）
B/
A/
B
C
拓展应用：
1、如图，△ABC是等边三角形，D是BC上
一点，△ABD经过旋转后到达△ACD’的位
置。
A
（1）旋转中心是哪一点？
中考数学总复习 第7章 第30讲 图形的旋转课件

中考数学总复习 第7章 第30讲 图形的旋转课件

(2)若点B的坐标(zuòbiāo)为(－3，5)，试在图中画出直角坐标 (zuòbiāo)系，并标出A，C两点的坐标(zuòbiāo)；
图略，A(0，1)，C(－3，1)
(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形 (túxíng)△A2B2C2，并标出B2，C2两点的坐标．
图略，B2(3，－5)，C2(3，－1) 【解析】第(1)题根据旋转作图要求找出点B，C的对应点B1， C1的位置，然后与点A顺次(shùncì)连结即可．
第30讲 图形(túxíng)的旋转
第一页，共35页。
1．理解旋转的概念，并掌握(zhǎngwò)其性质． 2．能按旋转变换的要求作出简单的图形． 3．运用图形的旋转变换进行图案设计．
第二页，共35页。
这部分内容重点考查图形的旋转变换的性质(xìngzhì)， 与图形变换相关的计算和逻辑推理证明等．常与三角形 和四边形结合，在网格背景设置试题，题型丰富，多为 选择题、填空题、解答题．
2－1
第十三页，共35页。
1．旋转概念：在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着 ________旋转一定的________，图形的这种变换，叫做旋转变 换．这个定点叫做旋转中心，这个角度叫做________．图形的 旋转由________和________所决定．
2．旋转性质： (1)图形上的每一点都绕着________沿着相同的方向旋转了 ________大小的角度； (2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变 化，即它们是________的； (3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的________相等； (4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且(bìngqiě)等 于旋转 角．
第二十八页，共35页。
图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版


知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：旋转的基本性质
重点、难点知识 ★▲
活动2 集思广益，探索旋转的基本性质
旋转的性质： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前、后的图形全等。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：旋转的基本性质
重点、难点知识 ★▲
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究二：旋转的基本性质
重点、难点知识 ★▲
活动3 旋转性质应用
2.②如图，△COD是△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°得到
的图形，点C恰好在AB上，∠AOD=90°，则∠B=__6__0_°_ 。
解 ∵ △COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转40°得到
∴OA=OC，A ACO 70 ∴OCD A 70 ∴ BCD 40 ， ∵AOD 90，AOC BOD 40， ∴ BOC 10， ∴ B 60 。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究二：旋转的基本性质
重点、难点知识 ★▲
活动4 对比探究，平移与旋转的区别与联系
平移与旋转都是图形的变换； 变换前后图形的形状，大小均不变，图形的位置要改变； 平移不改变图形的方向，旋转要改变图形的方向。
知识回顾 问题探究 课堂小结
探究三：拓展应用
重点、难点知识 ★▲
（1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ 旋转中心是O，∠AOE、∠BOF等都是旋转角。
（2）经过旋转，点A、B分别移动到什么位置？ 经过旋转，点A和点B分别移动到点E和点F的位置。
知识回顾 问题探究 课堂小结 探究二：旋转的基本性质
重点、难点知识 ★▲
活动2 集思广益，探索旋转的基本性质
如图：△ABC绕点O按顺时针方向转动一个角度得△DEF。
图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版

图形的旋转 初中九年级数学教学课件PPT 人教版


旋转 方向
旋转 角度
旋转的概念
O 45°
B
A
点A绕点＿O＿，往＿顺＿时＿针方向，转动了 4＿5 度到点B．
旋转的概念
B´ A
C°
100
A´
B
O
C´
△ABC绕点＿O＿，往＿顺时＿针＿方向，转动了＿10＿0 度到△A’B’C’
探究一:观看视频
1.在白纸上画一个任意三角形△AOB ，并剪下来. 2. 将△AOB放在另一张白纸上，画出三角形现在的位置，用图钉固定一个 端点O点，将△AOB沿逆时针方向旋转任意角度. 3.在纸上画出旋转后的三角形△AOB .
A
2、根据所画的图形回答学案上的问题.
O
B
思考：1、在旋转过程中，旋转中心还可能分布在图形的什么位置？
2、在旋转过程中，你还发现了哪些相等的线段？
对应点到旋转中心距离相等
旋转的特征
旋转中心在 图形的顶点
旋转中心在 图形的内部
旋转中心在 图形的边上
1、旋转改变图形的位置，不改变图形的形状与大小
旋转中心在 图形的外部
O
A B
探究一
1.旋转三要素 旋转中心 点O 旋转方向 逆时针 旋转角度 ∠AOA’或∠BOB’的度数
2.对应点 对应边 对应角
D’ D
3 .每一组对应点与旋转中心连线的夹角都是旋转角， 它们都相等。
探究二：动手操作
同学们，请你仿照刚才老师的操作，利用手里的纸板、大头钉、直尺、
三角板、量角器，完成以下操作： 1、分别画出旋转之前和旋转之后的图形；
彭晓媛
认识旋转
认识旋转
请你举出生活中和旋转现象相关的例子。
认识旋转 A
O
初中数学--图形的旋转ppt

初中数学--图形的旋转ppt

DE= 10 .
B E
D
CA
布置作业
1.必做题：课本94页1、2、 2.选做题：上网查阅旋转在建筑设计等方面的
应用资料；收集或设计由平面图形旋转而成 的精美图案，出一期“美妙的旋转图案”手 抄报.
谢
谢
探究旋转
实验步骤： 1.在带三角形的卡纸上挖一个小洞O作为旋转中心.
2.卡纸下面放一张白纸,在白纸上描出一个△ABC； 3.将卡纸绕小洞（即点O）旋转一个角度，再描出△A'B'C'； 4.移开卡纸，测量并把结果填入下表：
测量线段长度 OA=
（cm）
OA'=
OB= OB'=
OC= OC'=
测量角度（°） ∠AOA'=
⑥荡秋千运动.
A.2
B.3
C.4 D.5
达标检测
2.如图，Rt△DEC是由Rt△ABC按逆时针方向旋转一定 的角度而成的.
（1）图中的旋转中心是 点C ，点A的对应点是 点D ， CB的对应线段是 CE ，∠ACB的对应角是∠DCE .旋转角 是 ∠ACD或∠BCE.
（2）若CD=6,BC=8, 则
点A，∠AOD或∠BOE
（2）经过旋转，点A,C,B分别移 动到什么位置？ 点D、F、E
（3）AO与DO的长有什么关系? BO与EO呢? （4）∠AOD与∠BOE有什么大小关系?
AO=DO,BO=EO ∠AOD=∠BOE
思维拓展
1.如图△ABC是等边三角形，D是BC上一点， △ABD经过旋转后到达△ACE的位置.
A 旋转方向 B
如果图形上的点P经过 旋转变为点P′，那么 这两个点叫做旋转的 对应点.
p
．
旋转角
最新人教版初中九年级下册数学【图形变化：旋转】教学课件

最新人教版初中九年级下册数学【图形变化：旋转】教学课件

2、旋转作图中的简单计算 此类问题多出现在平面直角坐标系中，结合一些几何基
本图形，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、正方 形等，利用旋转的性质作图，并要求出某些线段的长度或者 某个角的度数.
初中数学
例题1 如图,在平面直角坐标系xOy中,点C,B,E在y轴上, Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO, 若点B的坐标为(0,1), DO=2,则这种变化可以是 C
初中数学
判断图形是否为中心对称图形，关键是将图形绕着某点旋转 180° 后能不能与原图形重合，能重合的是中心对称图形.
此类问题还要注意审清题目，注意区分“是”、“不是”、“ 既 是…，又是…”、“是…，但不是…”等词语.
初中数学
知识要点三 简单的旋转作图与计算
1、旋转作图的基本思路： (1)确定旋转中心； (2)确定图形中的关键点； (3)作出关键点旋转后的点； (4)连接旋转后的各点，得到旋转后的图形．
初中数学
课堂小结
• 复习巩固旋转、中心对称和中心对称图形的概念与性质； • 巩固旋转作图和在平面直角坐标系中有关旋转的简单计算； • 利用旋转变换的性质解决几何综合问题.
初中数学
课后作业
• 请各位同学完成附件中的作业.
A. △ABC绕点O顺时针旋转90°,再向下平移5个单位长度 B. △ABC绕点O逆时针旋转90°,再向下平移5个单位长度 C. △ABC绕点O顺时针旋转90°,再向左平移3个单位长度 D. △ABC绕点O逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度 解析：先确定对应顶点（直角顶点优先，然后是不同长短 的直角边所对的顶点）， 根据对应点B和D的坐标判断出图 形的旋转方向以及平移的方向和距离，最后确定, C选 项正 确.
初中数学
知识要点四 旋转变换的综合运用
中考数学复习方案 第七单元 图形的变化 第30课时 平移与旋转课件

中考数学复习方案 第七单元 图形的变化 第30课时 平移与旋转课件

(2)设点D的坐标为(x,0),△ODC与△ABD的面积分别记为S1,S2,设S=S1-S2,写出S关
于x的函数解析式,并探究是否存在点D使S与△DBC的面积相等,如果存在,用坐标
形式写出点D的位置;如果不存在,说明理由.
图30-9
1
1
2
2
(2)当点 D 在线段 OA 上时,S=S1-S2= ×5x- ×5×(6-x)=5x-15(0<x<6),
4.[2017·鄂尔多斯模拟]已知△ ABC 是等腰直角三角形,∠BAC=90°,CD= BC,
2
DE⊥CE,DE=CE,连接 AE,点 M 是 AE 的中点.
(1)如图 30-14①,若点 D 在 BC 边上,连接 CM,当 AB=4 时,求 CM 的长;
(2)如图②,若点 D 在△ ABC 的内部,连接 BD,点 N 是 BD 的中点,连接 MN,NE,求
(3)旋转前后的图形⑦ 全等
(续表)
(1)确定旋转中心、旋转方向及旋转角;
网格作图
的步骤
(2)找原图形的关键点;
(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各
关键点的对应点;
(4)按原图形依次连接各关键点的对应点,得到旋转后的图形
【温馨提示】
旋转对称与中心对称的关系:中心对称是旋转角为180 °的旋转对称.
∴AE'=AE,∠E'AE=90°,∴△AEE'是等腰直角三角形,故A正确;
∵将△ABE绕点A顺时针旋转90°,使点E落在点E'处,∴∠E'AD=∠BAE.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=90°.
∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠E'AD+∠FAD=45°,∴∠E'AF=∠EAF.
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3．中心对称 把一个图形绕着某一个点旋转__180°__，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做__对称中心__，这两个图形中的对应点叫做关于 中心的对称点． 关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．关 于中心对称的两个图形__全等__． 4．中心对称图形 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么 这个图形叫做__中心对称图形__，这个点就是它的__对称中心__． 5．确定一个旋转运动的三个条件 旋转__中心__、旋转__方向__和旋转__角度__．
A．32° B．64° C．77° D．87°
4．(2015·贵港)在平面直角坐标系中，若点 P(m，m－n)与点 Q(－2，3)关于原点对称，则 点 M(m，n)在( A )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
,第 3 题图)
,第 5 题图)
5．(2015·抚顺)如图，将矩形 ABCD 绕点 A 旋转至矩形 AB′C′D′位置，此时 AC 的中点 恰好与 D 点重合，AB′交 CD 于点 E.若 AB＝3，则△AEC 的面积为( D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
根据旋转的性质解决问题
【例 2】 (1)(2015·钦州)如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1， 将△AOB绕点O 逆时针旋转 90°到△COD，则旋转过程中形成的阴影部分的面积为_94AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针 方向旋转得到的，连接 BE，CF 相交于点 D.
A)
B)
C)
D)
2．(2015·重庆)下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图
形的是( B )
3．(2015·哈尔滨)如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 A 顺时针旋转 90°后得到的△AB′C′(点 B 的对应点是点 B′，点 C 的对应点是点 C′)，连接 CC′.若∠CC′B′ ＝32°，则∠B 的大小是( C )
A．3 B．1.5 C．2 3 D. 3
识别中心对称图形
【例 1】 (2015·杭州)下列图形是中心对称图形的是( A )
【点评】 把一个图形绕着某一个点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形 重合，这样的图形才是中心对称图形．
[对应训练] 1．(2015·绥化)下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数有( B )
1．中心对称与中心对称图形的区别和联系 区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图 形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转 180°后，两个图形重合；中心对称图形是指 该图形绕对称中心旋转 180°，与原图形重合． 联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图 形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称． 2．中心对称与轴对称的区别和联系 区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转 180°，旋转后与另一个图形重 合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折 180°，翻折后与另一个图形重合． 联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两 条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
[对应训练]
2．(1)(2015·吉林)如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°，得到△BDE，连接 DC 交 AB 于点 F，则△ACF 与△BDF 的周长之和为__42__cm.
(2)(2015·日照)已知如图，在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点 C 逆时针旋转 α 角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接 AM，
BN. ①求证：AM＝BN； ②当 MA∥CN 时，试求旋 转角 α 的余弦值．
解：①∵CA＝CB，∠ACB＝90°，E，F 分别是 CA，CB 边的三等分点，∴CE＝CF， 根据旋转的性质，CM＝CE＝CN＝CF，∠ACM＝∠BCN＝α，在△AMC 和△BNC 中，
第30讲 图形的旋转
1．旋转的概念 把一个图形绕着某一个点 O 转动一定角度的图形变换叫做__旋转__，如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点． 2．旋转变换的性质 (1)对应点到旋转中心的距离__相等__； (2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__； (3)旋转前、后的图形全等．
①求证：BE＝CF； ②当四边形 ACDE 为菱形时，求 BD 的长． 解：①证明：∵△AEF 是由△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到的，∴AE＝AB， AF＝AC，∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF＋ ∠BAF＝∠BAC＋∠BAF，即∠EAB＝∠FAC，∵AB＝AC，∴AE＝AF，∴△AEB 可由 △AFC 绕点 A 按顺时针方向旋转得到，∴BE＝CF ②解：∵四边形 ACDE 为菱形，AB＝AC＝1，∴DE＝AE＝AC＝AB＝1，AC∥DE，∴ ∠AEB＝∠ABE，∠ABE＝∠BAC＝45°，∴∠AEB＝∠ABE＝45°，∴△ABE 为等腰直角三 角形，∴BE＝ 2AC＝ 2，∴BD＝BE－DE＝ 2－1 【点评】 (1)抓住旋转中的“变”与“不变”；(2)找准旋转前后的对应点和对应线段、 旋转角等；(3)充分利用旋转过程中线段、角之间的关系．
3．旋转作图 (1)旋转作图的依据是旋转的特征． (2)旋转作图的步骤如下： ①确定旋转中心、旋转方向和旋转角度； ②确定图形的关键点(如三角形的三个顶点)，并标上相应字母； ③将这些关键点沿旋转方向转动一定的角度； ④按照原图形的连接方式，顺次连接这些对应点，得到旋转后的图形，写出结论．
1．(2015·广州)将图中所示的图案以圆心为中心，旋转 180°后得到的图案是( D )