2017春季中考数学第五讲 图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)

初中数学知识归纳形的平移旋转与翻折在初中数学课程中，形的平移、旋转和翻折是非常重要的概念和技巧。

通过学习和理解这些概念，学生可以更好地认识和应用几何形状。

本文将对初中数学中形的平移、旋转和翻折进行归纳总结，并介绍相关的基本原理和技巧。

一、形的平移形的平移是指在平面内将一个形状整体移动到另一个位置，而形状保持不变。

在平移过程中，形状的大小、形状以及内部的相互关系都不会发生变化。

平移的基本原理是：确定一个平移向量，然后根据该向量的大小和方向，将形状内的每个点都移动到对应的新位置上。

平移向量可以用有序对表示，如(u, v)，其中u表示横向位移，v表示纵向位移。

形状中的每个点的新坐标可以通过将原坐标与平移向量的分量相加得到。

例如，将一个矩形形状A平移到新的位置B，平移向量为(3, 4)。

假设矩形角点的坐标为A(1, 2), B(4, 6)，则可以计算出新位置上的所有角点坐标为B(4, 6), C(4, 10), D(7, 10), E(7, 6)。

形的平移有以下几个重要性质：1. 平移前后的形状相等。

2. 平移前后形状内的各点之间的距离保持不变。

3. 平移不改变形状内角的度数。

二、形的旋转形的旋转是指将形状围绕某一固定点旋转一定角度，使得形状保持不变。

旋转中心可以位于形状内部、外部或者边上。

旋转的基本原理是：确定旋转中心和旋转角度，根据旋转的顺时针或逆时针方向将形状内的每个点绕旋转中心旋转一定的角度，并保持距离不变。

假设旋转中心为O(0, 0)，旋转角度为θ，对于一个点P(x, y)，点P 经过旋转后的新坐标可以通过以下公式计算得到：x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ例如，将一个矩形形状A绕原点逆时针旋转60度，矩形的角点坐标为A(2, 1), B(5, 1), C(5, 4), D(2, 4)。

根据旋转公式，可以计算出新位置上的所有角点坐标为A'(1.732, 1), B'(4.732, 1), C'(4.732, 4), D'(1.732, 4)。

第二步·大题夺高分热点05 图形的平移、翻折与旋转真题回顾1．（2020·上海中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为____．【答案】．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．【详解】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3×=，∴E到直线BD的距离为．故答案为：．【点睛】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出∠ADE=∠ADC=120°，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等．2．（2017·上海中考真题）一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C 与F 重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果EF∥AB，那么n的值是_____．【答案】45【解析】解：①如图1中，EF∥AB时，∠ACE=∠A=45°，∴旋转角n=45时，EF∥AB．②如图2中，EF∥AB时，∠ACE+∠A=180°，∴∠ACE=135°∴旋转角n=360°﹣135°=225°，∵0＜n°＜180，∴此种情形不合题意，故答案为45．3．（2015·上海中考真题）已知在中，8AB AC ==，30BAC ∠=．将绕点旋转，使点落在原的点处，此时点落在点处．延长线段，交原的边的延长线于点，那么线段的长等于___________．【答案】【详解】解：如图，由旋转的性质知，8AD AC ==，30CAD ∠=，过作CF AE ⊥交于，而，， 故843DF =-．在中，8AB AC ==，30BAC ∠=则75B ACB ∠=∠=，故45E ACB DAC ∠=∠-∠=，为等腰直角三角形，则4EF CF ==，所以．4．（2011·上海中考真题）Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝______．【答案】80°或120°【分析】本题可以图形的旋转问题转化为点B 绕D 点逆时针旋转的问题，故可以D 点为圆心，DB 长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB 上的一点B′，交直角边AC 于B″，此时DB′=DB ，DB″=DB=2CD ，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt △B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．【详解】解：如图，在线段AB 取一点B′，使DB=DB′，在线段AC 取一点B″，使DB=DB″，∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B -∠B=180°-2∠B=80°，②在Rt △B″CD 中，∵DB″=DB=2CD ，∴∠CDB″=60°，旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．故答案为80°或120°．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．1．（2021·上海徐汇区·九年级一模）如图，在中，点分别在边、 上，//DE BC ，将沿直线翻折后与 FDE 重合，、分别与边交于点、，如果 ，，那么的长是 _____ ．【答案】4【分析】设，从而可得2,a AD a BD ==，先根据平行线的性质可得,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠，再根据翻折的性质可得，从而可得B BMD ∠=∠，然后根据等腰三角形的判定可得DM BD a ==，从而可得，最后根据三角形的中位线定理即可得．【详解】设，则2,BD D a A a A AB D =-==，//DE BC ，,ADE B EDM BMD ∠=∠∠=∠∴，由翻折的性质得：，B BMD ∴∠=∠，DM BD a ∴==，，即点M 是DF 的中点，又//DE BC ，是FDE 的中位线，118422MN DE ∴==⨯=， 故答案为：4．【点睛】本题考查了翻折的性质、等腰三角形的判定、三角形的中位线定理等知识点，熟练掌握翻折的性质是解题关键．2．（2021·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在△ABC 中，∠B=45º，∠C=60º，将△ABC 绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点B 1、C 1处，如果BB 1//AC ，联结C 1B 1交边AB 于点D ，那么的值为______．【答案】【分析】由旋转得出∠=75°，在△中，过点B 作BM ⊥于M,设,由勾股定理计算出BD 的长，由此解答即可．【详解】解：由题意知，AC ∥BB 1，°，∠C=60°，∴11CAB ABB AB B ==∠∠∠=75°模拟预测∵∠∠ABC =45°，∴∠=30°，则∠=75°在△中，过点B 作BM ⊥于M,设在Rt △BMB 1中，∠=30°，∴BM=，，∴则x == ∵=【点睛】本题考查了旋转知识平行线的性质和勾股定理等知识，掌握勾股定理是解题的关键．3．（2021·上海静安区·九年级一模）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =13，（如图），将△ABC 绕点C 旋转后，点A 落在斜边AB 上的点A ’，点B 落在点B ’，A ’B ’与边BC 相交于点D ，那么的值为____．【答案】【分析】先过作CE AB ⊥交于点，根据题意求出和，由Rt ABC 面积公式求出，再根据旋转的性质得，'AC A C =，由'CE AA ⊥，则'AE EA =，并求出，利用对顶角相等得，则''A DB CDB △△∽，最后根据相似三角形性质可得【详解】过作CE AB ⊥交于点，，，设，，在Rt ABC 中，13AB ===，，AC ∴=1122ABC S BC AC AB CE =⋅=⋅，， 2tan 3CE B EB ==，， ''Rt A B C 由Rt ABC 旋转而得，'B B ∴∠=∠，'AC A C =，'CE AA ⊥，，，，，又，''A DB CDB ∴∽，''''5CD CB CB A D A B A B ∴=== 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理以及相似三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 4．（2021·上海宝山区·九年级一模）在Rt ABC △中，，AC BC =，点、分别是边、的中点，已知点在线段上，联结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，如果点、、在同一直线上，那么______．【答案】或．【分析】分两种情形：①当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．证明AD ＝DC 即可解决问题．【详解】解：①如图2中，当点D 在线段PC 上时，延长AD 交BC 的延长线于H ．∵CE ＝EA ，CF ＝FB ，∴EF ∥AB ，∵AC ＝AB ，∠ACB ＝90°，∴∠CEF ＝∠CAB ＝45°，∵PD ＝P A ，∠APD ＝90°，∴∠P AD ＝∠PDA ＝45°，∴∠HDC ＝∠PDA ＝45°，∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠EPC ＝∠CEP ，∵∠HDC ＝∠DCA+∠DAC ＝45°，∠CEF ＝∠DCA+∠EPC ＝45°，∴∠DAC ＝∠EPC ＝∠ECP ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则DA DC ==,∴)1PC a =，∴)1tan 1a PC CAP PA a ∠=== ②如图3中，当点P 在线段CD 上时，由①可知，EF ∥AB ，∠CAB ＝∠PDA ＝45°，∴∠CAD ＝180°-∠ACD-45°，∠COA ＝180°-∠ACO-45° ∴∠CAD ＝∠COA ，∵EF ∥AB ，∴∠CPE ＝∠COA ，∴∠CPE ＝∠CAD ，∵点是边的中点，∴EA ＝EP ＝EC ，∴∠ECP ＝∠CPE ，∴∠ECP ＝∠CAD ，∴DA ＝DC ，设AP ＝a ，则PD ＝a ，DA DC ==,∴)1PC a =，∴)1tan 1a PC CAP PA a ∠==综上所述，tan CAP ∠的值是或．【点睛】本题考查了旋转变换，等腰直角三角形的性质，中位线的性质，外角的性质，三角形内角和，勾股定理和三角函数等知识，熟悉相关性质是解题的关键．5．（2021·上海闵行区·九年级一模）如图，在Rt ABC 中，，，，将绕着点A 顺时针旋转后，点B 恰好落在射线CA 上的点D 处，点C 落在点E 处，射线DE 与边AB 相交于点F ，那么BF ＝_________．【答案】【分析】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，求出2GD x =，23AG x =-，利用FG ∥BC ，求得FG=2AG ，由此列得x=2（2x-3），求出FG=2，AG=1，利用勾股定理求出AF ，即可求得答案．【详解】如图，过点F 作FG ⊥AC 于G ，设FG=x ，由旋转得∠D=∠B ，∴，∴，∴2GD x =，∵AD=AB=3，∴23AG x =-，∵∠FGA=，∴FG ∥BC ，∴∠AFG=∠B ，∴，∴FG=2AG ，∴x=2（2x-3），解得x=2∴FG=2，AG=1，∴AF ==∴，故答案为：．【点睛】此题考查锐角三角函数，勾股定理，旋转的性质，解一元一次方程，解题中运算等角的三角函数值相等是思想解决问题是解题的关键．6．（2020·上海杨浦区·九年级一模）如图，已知在中，，60C ∠=°，将绕点A 旋转，点B 、C 分别落在点、处，如果1//BB AC ，连接结交边于点D ，那么的值为______．【答案】【分析】过点D 作DE ⊥，如图所示，由题意易得175CAB ABB ∠=∠=︒，1175AB B ABB ∠=∠=︒，，进而可证11ABB B BD ∽，则有，设，则有，然后根据相似三角形的性质可求解．【详解】解：由题意可作如图所示：过点D 作DE ⊥，∵∠C=60°，∠B=45°，∴∠CAB=75°，145AB D ∠=︒，∵1//BB AC ，∴175CAB ABB ∠=∠=︒，∵，∴1175AB B ABB ∠=∠=︒，∴，∴1175BDB ABB ∠=∠=︒，∴，∴11ABB B BD ∽，∴，设，∴，∴)11AB a =，∴，∴，故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、旋转的性质及三角函数是解题的关键．7．（2021·上海奉贤区·九年级一模）如图，在Rt ABC ∆中，90,3,4,ACB AC BC CD ∠=︒==是的角平分线，将Rt ABC∆绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，连接ED，那么的正切值为_______________________．【答案】【分析】如图，过点D作DG⊥AC于G，可得DG//BC，即可证明△AGD∽△ACB，可得，由CD是角平分线可得∠ACD=45°，可得CG=DG，进而可求出AG的长，根据勾股定理即可求出AD的长，根据旋转的性质可得AC′=AC，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠CC′A=45°，可得∠CAC′=90°，可得旋转角为90°，可得∠DAE=90°，利用勾股定理可求出AB的长，根据正切的定义即可得答案．【详解】如图，过点D作DG⊥AC于G，∵∠ACB=90°，∴DG//BC，∴△AGD∽△ACB，可得，∵CD是角平分线，∴∠ACD=45°，∴CG=DG，∵AC=3，AC=AG+CG，∴+CG=3，即=3，解得：DG=，∴AG=，∴，∵将Rt ABC∆绕点旋转，如果点落在射线上，∴AC′=AC，AE=AB，∴∠CC′A=∠ACD=45°，∴∠CAC′=90°，∴旋转角为90°，∴∠DAE=90°，∵AC=3，BC=4，∴AB=5，tanAD AD AEDAE AB∠===．故答案为：【点睛】本题考查旋转的性质、相似三角形的判定与性质及三角函数的定义，正确得出旋转角为90°并熟练掌握相关性质及定义是解题关键．8．（2020·上海浦东新区·九年级三模）如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD绕点旋转，点、、的对应点分别为、、，当落在边的延长线上时，边与边的延长线交于点，联结，那么线段的长度为_________．【答案】【分析】由旋转的性质得CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，由勾股定理得出A'C=5，则A'D=A'C-CD=5-3=2，证Rt△CDF≌Rt△CD'F（HL），得出DF=D'F，设DF=D'F=x，则A'F=4-x，在Rt△A'DF中，由勾股定理得出方程，解方程得DF=，由勾股定理即可得出CF的长度．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=4，∠ADC=90°，∴∠A'DF=∠CDF=90°，由旋转的性质得：CD=CD'=3，A'D'=AD=4，∠ADC=∠A'D'C=90°，∴5A C'=，∴A'D=A'C-CD=5-3=2，在Rt △CDF 和Rt △CD'F 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CD'F （HL ），∴DF=D'F ，设DF=D'F=x ，则A'F=4-x ，在Rt △A'DF 中，由勾股定理得：22+x 2=（4-x ）2，解得：x=，∴；故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键．9．（2020·上海普陀区·九年级二模）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，cot B ＝，点P 为边AB 上一点，将△BPC 沿着PC 翻折得到△B ′PC ，B ′C 与边AB 的交于点D ，如果△B ′PD 恰好为直角三角形，那么BP ＝__．【答案】4或【分析】分两种情形：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．如图2中，当时，设．分别求解即可解决问题．【详解】解：如图1中，当时，过点作CH AB ⊥于．，，，10AB ∴==，1122BC AC AB CH =，， 90B A ∠+∠=︒，90B PD B ∠'+∠'=︒，，，，6AC CD ∴==，CH AD ⊥，，36141055BD AB AD ∴=-=-=，，设， 在Rt PDB ∆'中，则有，解得或（舍弃），如图2中，当时，设．在Rt PDB ∆'中，则有2223216()()55x x =-+，解得， 综上所述，满足条件的的值为或4．故答案为4或．【点睛】本题考查解直角三角形，翻折变换等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．10．（2020·上海青浦区·九年级二模）在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，将△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处．那么AA'＝_____．【答案】2【分析】作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝CH＝BC＝1，利用勾股定理可计算出AH＝2，再根据旋转的性质得BA′＝BA＝3，则HA′＝2，然后利用勾股定理可计算出AA′的长．【详解】解：作AH⊥BC于H，如图，∵AB＝AC＝3，BC＝2，∴BH＝CH＝BC＝1，∴AH＝，∵△ABC绕着点B顺时针旋转，如果点A落在射线BC上的点A'处，∴BA′＝BA＝3，∴HA′＝2，在Rt△AHA′中，AA′＝．故答案为2．【点睛】此题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．11．（2020·上海虹口区·九年级二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D、E分别是边BC、AB上一点，DE∥AC，BD＝5，把△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'（点D、E分别与点D'，E'对应），如果点A，D'、E'在同一直线上，那么AE'的长为_____．【答案】或【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当点D′在线段AE′上时，解直角三角形求出AD′，D′E′即可．如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得．【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA，∴，∴，∴DE＝，∵∠AD′B＝90°，如图1中，当点D′在线段AE′上时，'==∵△BDE绕着点B旋转得到△BD'E'，∴D B DB∴AD′＝，又∵，∴AE′＝AD′+D′E′＝，如图2中，当E′在线段AD′上时，同法可得AE′＝AD′﹣D′E′＝，综上所述，满足条件的AE′的长为或．故答案为或．【点睛】本题考查旋转变换，解直角三角形，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题以及灵活运用所学的知识点，属于中考常考题型．12．（2020·上海杨浦区·九年级二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AB＝10，BC＝15，tan∠A＝，点P是边AD上一点，联结PB，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，如果点Q恰好落在平行四边形ABCD的边上，那么AP的值是_____．【答案】6或10【分析】分情况解答：当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x，通过证明△PBE≌△QPF，得出PE＝QF＝x，DF＝x﹣1，由tan∠FDQ＝tan A＝＝，即可得出AP的值；当点Q落在AD上时，得出∠APB＝∠BPQ＝90°，由tan A＝，即可得出AP的值；当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．由tan A＝＝，可得出△BPQ是等腰直角三角形，此时求出BQ不满足题意，舍去.【详解】解：如图1中，当点Q落在CD上时，作BE⊥AD于E，QF⊥AD交AD的延长线于F．设PE＝x．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠EBP+∠BPE＝∠BPE+∠FPQ＝90°，∴∠EBP＝∠FPQ，∵PB＝PQ，∠PEB＝∠PFQ＝90°，∴△PBE≌△QPF（AAS），∴PE＝QF＝x，EB＝PF＝8，∴DF＝AE+PE+PF﹣AD＝x﹣1，∵CD∥AB，∴∠FDQ＝∠A，∴tan∠FDQ＝tan A＝＝，∴＝，∴x＝4，∴PE＝4，∴AP＝6+4＝10；如图2，当点Q落在AD上时，∵将线段PB绕着点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠BPQ＝90°，∴∠APB＝∠BPQ＝90°，在Rt△APB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴AP＝6；如图3中，当点Q落在直线BC上时，作BE⊥AD于E，PF⊥BC于F．则四边形BEPF是矩形．在Rt△AEB中，∵tan A＝＝，AB＝10，∴BE＝8，AE＝6，∴PF＝BE＝8，∵△BPQ是等腰直角三角形，PF⊥BQ，∴PF＝BF＝FQ＝8，∴PB＝PQ＝8，BQ＝PB＝16＞15（不合题意舍去），综上所述，AP的值是6或10，故答案为：6或10．【点睛】本题主要考查旋转的性质，由正切求边长，正确画出图形，分情况解答是解题的关键.13．（2020·上海金山区·九年级二模）如图，已知在四边形ABCD中∠A=∠ABC=90°，点E是CD的中点，△ABD与△EBD关于直线BD对称，，．（1）求点A和点E之间的距离；（2）联结AC交BE于点F，求的值．【答案】（1）AE= ；（2）【分析】（1）连接AE交BD于H，根据△ABD与△EBD关于直线BD对称，得AE⊥BD，AH=HE，利用勾股定理求出BD=2，利用1122ABDS AB AD BD AH=⋅=⋅求出即可得到答案；（2）根据∠A=90°，， BD=2求出∠ABD=30°，由△ABD与△EBD关于直线BD对称，得到∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，由点E是CD的中点，求出BC=BD=2，∠CBE=∠DBE=30°，求出∠M =30°，AM=3，利用AM∥BC，，即可求出.【详解】（1）连接AE交BD于H，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴AE⊥BD，AH=HE，∵∠A=90°，，，∴BD=2，∵1122ABDS AB AD BD AH=⋅=⋅,∴，∴，∴AE=；（2）延长AD、BE交于点M，∵∠A=90°，， BD=2，∴sin∠ABD=，∴∠ABD=30°，∵△ABD与△EBD关于直线BD对称，∴∠BED=∠A=90°，DE=AD=1，∠DBE=∠ABD=30°，∵点E是CD的中点，∴BE垂直平分CD，∴BC=BD=2，∴∠CBE=∠DBE=30°，∵∠A=∠ABC=90°，∴AD∥BC，∴∠M=∠CBE=30°，∴AM=，∵AM∥BC，∴，∴.【点睛】此题考查轴对称的性质，锐角三角函数，勾股定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定及性质.14．（2021·上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线的抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中点的坐标为．（1）求点的坐标及抛物线的表达式；（2）记抛物线的顶点为，对称轴与线段的交点为，将线段绕点，按顺时针方向旋转，请判断旋转后点的对应点是否还在抛物线上，并说明理由；（3）在轴上是否存在点，使与相似？若不存在，请说明理由；若存在请直接写出点的坐标（不必书写求解过程）．【答案】（1），；（2）在抛物线上，理由见解析；（3）存在； 或或或【分析】（1）根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B 的坐标，用待定系数法求得函数解析式．（2）求出直线BC 的解析式，计算得出线段PQ 的长度，过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，根据旋转角度解直角三角形，得出的坐标，将的横坐标代入抛物线的解析式，计算并判断即可得出答案． （3）根据勾股定理可得出是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点M 的坐标．【详解】解：（1）∵A 、B 是关于直线轴对称图形的两点，点的坐标为，∴点B 的横坐标为，∴点B 的坐标为；将A 、B 两点坐标值代入可列方程组：，解得∴抛物线的表达式为：．（2）∵点P 为抛物线顶点，直线为抛物线的对称轴，∴点P 的横坐标为-1，纵坐标为2223=(1)2(1)34y x x =--+---⨯-+=，∴点P 的坐标为， 直线BC 的解析式为，将B 、C 的值代入可列方程：，解得∵BC 与对称轴交于点Q ，∴当，，∴点Q 的坐标为，，∵是点P 绕点Q 顺时针旋转120°得到的，∴，过作平行于x 轴，交抛物线对称轴于点D ，如图：∵在Rt QDP '中，18012060P QD '∠=︒-︒=︒，，∴，，∴点横坐标为点D 横坐标加，即：，点纵坐标为点Q 纵坐标减，即：，将的横坐标值代入，，∴的坐标符合抛物线表达式，∴在抛物线上．（3）∵[]2223(1)(04)20BP =---+-=，222(10)(43)2PC =--+-=，222(30)(03)18BC =--+-=，20182=+，∴222BP PC BC =+，∴是直角三角形，=90BCP ∠︒，，，∵M 是x 轴上一点，90COM ∠=︒，若OCM CBP ∠=∠，则OCM CBP ∽，∴，此时，点M 坐标为或，若OCM CPB ∠=∠，则OCM CPB ∽，∴，此时，点M 坐标为或，∴综上，点M 存在，点坐标为 或或或．【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．15．（2011·上海静安区·中考模拟）如图（1），在△ABC 和△EDC 中，AC ＝CE ＝CB ＝CD ，∠ACB ＝∠ECD ＝，AB 与CE 交于F ，ED 与AB 、BC 分别交于M 、H ．（1）求证：CF ＝CH ；（2）如图（2），△ABC 不动，将△EDC 绕点C 旋转到∠BCE =时，试判断四边形ACDM 是什么四边形？并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）菱形，理由见解析【分析】（1）要证明CF=CH ，可先证明△BCF ≌△ECH ，由∠ABC=∠DCE=90°，AC=CE=CB=CD ，可得∠B=∠E=45°，得出CF=CH ；（2）当旋转角∠BCD=45°，推出四边形ACDM 是平行四边形，由AC=CD 判断出四边形ACDM 是菱形．【详解】（1）∵AC=CE=CB=CD ，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠A=∠B=∠D=∠E=45°，在△BCF 和△ECH 中，∵,∴△BCF ≌△ECH （ASA ），∴CF=CH ；（2）∠BCE=45°时，四边形ACDM 是菱形，理由如下：∵∠ACB=∠DCE=90°，∠BCE=45°，∴∠ACE=∠DCB=45°．∵∠E=45°，∴∠ACE =∠E ，∴AC ∥DE ，∴∠AMH=180°-∠A=135°，又∵∠A=∠D=45°，∴∠AMH+∠D=135°+45°=180， ∴AM ∥CD ，∴四边形ACDM 是平行四边形；∵AC=CD ，∴四边形ACDM 是菱形．【点睛】本题考查的是旋转的性质以及菱形的判定、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键．解题时注意：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 16．（2021·上海九年级专题练习）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P 处，直角尺的两边分别交AB 、BC 于点E 、F ，连接EF(如图1).(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).①求证：△APB∽△DCP；②求PC、BC的长.(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.②设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.【答案】(1)①证明见解析；②PC=2，BC=5；(2)①tan∠PEF的值不变；②x=或x=或x=.【分析】（1）①由勾股定理求BP，利用互余关系证明△APB∽△DCP；②利用相似比求PC，DP, 再根据BC=AD=AP+DP即可求得BC的长；（2）①tan∠PEF的值不变．理由为：过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形，同（1）的方法证明△APE∽△GFP，得相似比，再利用锐角三角函数的定义求值；②利用相似比求GP，再矩形性质求出BF，△PBF是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ) 当PB=PF时，根据BF=2AP求值；当BF=BP时，(Ⅱ)根据BP=求值；(Ⅲ) 当BF=PF时，根据PF=即可求出x值.【详解】解：(1)①如图3.2，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=90°，CD=AB=2，∴在Rt△ABC中，∠1+∠2=90°，=又∵∠BPC=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APB∽△DCP.②由△APB∽△DCP.∴，即.∴PC=2，DP=4.∴BC=AD=AP+DP=5.(2)①tan∠PEF的值不变.理由如下：如图3.1，过F作FG⊥AD，垂足为点G. 则四边形ABFG是矩形.∴∠A=∠PGF=90°，FG=AB=2，∴在Rt△APE中，∠1+∠2=90°，又∵∠EPF=90°,∴∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3. ∴△APE∽△GFP，∴.∴在Rt△EPF中，tan∠PEF=2.∴tan∠PEF的值不变.②由△APE∽△GFP.∴.∴GP=2AE=2x，∵四边形ABFG是矩形.∴BF=AG=AP+GP=2x+1.△PBF 是等腰三角形，分三种情况讨论：(Ⅰ)当PB=PF 时，点P 在BF 的垂直平分线上.∴ BF=2AP. 即2x+1=2，∴x=.(Ⅱ)当BF=BP 时，BP=BP=，∴2x+1=.∴x=.(Ⅲ)当BF=PF 时，∵PF=，∴(2x)2+22=(2x+1)2，∴x=.【点睛】本题是综合题：熟练掌握线段垂直平分线的判定、矩形的性质和相似三角形的判定方法和性质；灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系和计算线段的长；合理作平行线构建相似三角形是解决问题的关键．17．（2021·上海九年级专题练习）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝6，BC ＝8，tanD ＝2，点E 是射线CD 上一动点(不与点C 重合)，将△BCE 沿着BE 进行翻折，点C 的对应点记为点F ．(1)如图1，当点F 落在梯形ABCD 的中位线MN 上时，求CE 的长.(2)如图2，当点E 在线段CD 上时，设CE ＝x ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域.(3)如图3，联结AC ，线段BF 与射线CA 交于点G ，当△CBG 是等腰三角形时，求CE 的长．【答案】(1)；(2)(0＜x≤10)；(3)CE 的长为或 或．【分析】(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，根据折叠的性质以及梯形中位线定理，可判定△EFO 是等边三角形，即可得出∠FEB ＝60°，即∠CEB ＝60°，进一步在Rt △ECB 中，利用60°角的三角函数即可求出EC 的长；(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，根据BE 是CF 的垂直平分线，可得，易证△ECP ∽△CBP ，然后利用相似三角形的性质即可得出y 与x 之间的函数关系式；(3)当△CBG 是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①GB ＝GC ；②CB ＝CG ；③BC ＝BG ，分别根据折叠的性质以及直角三角形的边角关系，求得CE 的长．【详解】解：(1)把BE 与MN 的交点记为点O ，如图1，∵梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，∴∠C ＝90°，由翻折得∠CEB ＝∠FEB ，∠EFB ＝∠C ＝90°， ∵MN 是梯形ABCD 的中位线，∴MN ∥AB ∥CD ，∴∠CEB ＝∠FOE ，，∴∠FEB ＝∠FOE ，∴FE ＝FO ，∵∠EFB ＝90°，EO ＝BO ，∴FO ＝EO ，∴FE ＝FO ＝EO ，∴△EFO 是等边三角形，∴∠FEB ＝60°，∴∠CEB ＝60°，∴在Rt △ECB 中，tan 60BC EC ===︒(2)把BE 与CF 的交点记为点P ，如图2，由翻折得，BE 是CF 的垂直平分线，即∠EPC ＝∠BPC ＝90°，，∴S △EFC ＝2S △EPC ，S △BFC ＝2S △BPC ，∴，∵∠ECP +∠BCP ＝90°，∠CBP +∠BCP ＝90°，∴∠ECP ＝∠CBP ，又∵∠EPC ＝∠BPC ＝90°，∴△ECP ∽△CBP ，∴∴(0＜x≤10)；(3)当△CBG 是等腰三角形时，存在三种情况：①当GB ＝GC 时，延长BF 交CD 于点H ，如图3， ∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，∴AC ＝10，∵GB ＝GC ，∴∠GBC ＝∠GCB ，∵∠HCB ＝90°，∴∠CHB +∠GBC ＝90°，∵∠ABC ＝90°，∴∠CAB +∠GCB ＝90°，∴∠CHB ＝∠CAB ，∴4sin sin 5CHB CAB ∠=∠=， ∵∠ABC ＝90°，∴∠ACB +∠CAB ＝90°，∠ABG +∠GBC ＝90°，∴∠CAB ＝∠GBA ，∴GA ＝GB ，∴GA ＝GC ，∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝AB ＝6，∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝6﹣x ，∵∠HFE ＝90°，∴，解得，即；②当CB ＝CG ＝8时，AG ＝10﹣8＝2，∵AB ∥CD ，∴，∴CH ＝4AB ＝24，∵CE ＝x ，∴EF ＝x ，HE ＝24﹣x ，∵∠HFE ＝∠HCB ＝90°，∴sin24EF BC x CHB HE BH x ∠====-， 解得，即；③当BC ＝BG 时，F 点与G 点重合，如备用图，由翻折可得，BE 垂直平分线段GC ，∵∠CBE +∠BCA ＝90°＝∠CAB +∠BCA ，∴∠CBE ＝∠CAB ， ∴4tan tan 3CBE CAB ∠=∠=，∴，解得， 综上所述，CE 的长为或或．【点睛】本题以梯形为载体，重点考查了梯形的中位线定理、折叠的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形和等腰三角形的分类问题，涉及的知识点多，综合性强，解题时需要综合运用所学知识，注意知识的前后联系，有意识的运用数形结合、转化、分类和方程等数学思想方法. 18．（2021·上海九年级专题练习）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，点C 在线段AB 上，且2AOB AOC S S ∆∆=．（1）求点C 的坐标（用含有m 的代数式表示）；（2）将△AOC 沿x 轴翻折，当点C 的对应点C′恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式；（3）设点M 为（2）中所求抛物线上一点，当以A 、O 、C 、M 为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标．【答案】（1）（3，-2m ）；（2）；（3）或（或．【分析】（1）令x=0，即可求得B 的纵坐标，令x=0求得x ，则A 、B 的坐标即可求得，根据2AOB AOC S S ∆∆=．可以得到C 是AB 的中点，据此即可求得C 的坐标.（2）求得C 关于x 轴的对称点，代入抛物线的解析式，即可求得m 的值，进而求得抛物线解析式.（3）分AO 是平行四边形的对角线，OC 是平行四边形的对角线，AC 是平行四边形的对角线三种情况进行讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求解．【详解】（1）在直线中，令x=0，解得：y=-4m ，则B 的坐标是（0，-4m ），令y=0，解得：x=6，则A 的坐标是（6，0）．∵2AOB AOC S S ∆∆=．∴C 是AB 的中点.∴C 的坐标是（3，-2m ）.（2）∵将△AOC 沿x 轴翻折，点C 的对应点为C′，∴C′的坐标是（3，2m ），代入抛物线的解析式得：，解得：.∴抛物线的解析式是：.（3）设M 的坐标是（x ，y ），又C 的坐标是，当AO 是对角线时，AO 的中点是（3，0），则解得：.则M 的坐标是，满足函数的解析式.当AC 是平行四边形的对角线时，AC 的中点是：，则M 的坐标是是抛物线上的点.当OC 是平行四边形的对角线时，OC 的中点是，则，解得：.则M 的坐标是．点是抛物线上的点．综上所述，M 的坐标是：或（或．。

2017年全国中考数学真题分类平移、旋转与轴对称解答题三、解答题1. (2017四川广安，24，8分)在4×4的方格内选5个小正方形，让它们组成一个轴对称图形，请在下图中画出你的4种方案．(每个4×4的方格内限画一种) 要求：(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶视为相连)(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．(每画对一种方案得2分，若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，视为一种方案)思路分析：在正方形中先画一条直线作为图案的对称轴，然后围绕该直线进行设计． 解：答案不唯一，如：2. （2017山东枣庄19，8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A （2，2），B （4，0），C （4，－4）．（1）请在图1中，画出△ABC 向左平移6个单位长度后得到的△111A B C ； （2）以点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的12，得到△222A B C ，请在图2中y 轴的右侧画出△222A B C ，并求出∠222A C B 的正弦值．思路分析：（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，∵A（2，2），C（4，－4），B（4，0），∴直线AC解析式为y＝－3x＋8，与x轴交于点D（83，0），∵∠CBD＝90°，∴CD ＝224BC 103BD +=， ∴sin ∠DCB ＝84101034103BD CD -==． ∵∠A 2C 2B 2＝∠ACB ， ∴sin ∠A 2C 2B 2＝sin ∠DCB ＝10． 3. （2017浙江金华，19，6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为A (－2，－2)，B (－4，－1)，C (－4，－4)．(1)作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A 1B 1C 1．(2)作出点A 关于x 轴的对称点A ＇.若把点A ＇向右平移a 个单位长度后落在△A 1B 1C 1的内部（不包括顶点和边界），求a 的取值范围．思路分析：(1)根据关于原点对应点的坐标特征，对应点的横纵坐标互为相反数，得到A ，B ，C 关于原点的对应点A 1，B 1，C 1，连接对应线段得到所作图形；(2)根据点关于x 轴对称点的特征，横坐标不变，纵坐标变为相反数，即可确定点A ＇，点A ＇向右平移4各单位长度与点A 1重合，向右平移6个单位长度，在边B 1C 1上，再根据要求“不包括顶点和边界”，可确定a 的取值范围．解：（1）如图，△A 1B 1C 1就是所求作的图形． （2）A ＇如图所示. a 的取值范围是4<a <6．4.（2017安徽中考18．·8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC和△DEF（顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l。

新人教版初中数学——图形的轴对称、平移与旋转知识点归纳及中考典型题解析一、轴对称图形与轴对称轴对称图形轴对称图形定义如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴如果两个图形对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴性质对应线段相等AB=ACAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角相等∠B=∠C∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′对应点所连的线段被对称轴垂直平分区别(1)轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，只对一个图形而言；(2)对称轴不一定只有一条(1)轴对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形；(2)只有一条对称轴关系(1)沿对称轴对折，两部分重合；(2)如果把轴对称图形沿对称轴分成“两个图形”，那么这“两个图形”就关于这条直线成轴对称(1)沿对称轴翻折，两个图形重合；(2)如果把两个成轴对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形1等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤（1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；（2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤（1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；（2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质（1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；（2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；（3）平移前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；（2）找出原图形的关键点；（3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤（1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；（2）找出原图形的关键点；（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；（4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称中心对称图形中心对称图形定义如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心如果一个图形绕某点旋转180°后与另一个图形重合，我们就把这两个图形叫做成中心对称性质对应点点A与点C，点B与点D点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′对应线段AB=CD，AD=BCAB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′对应角∠A=∠C∠B=∠D∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′区别中心对称图形是指具有某种特性的一个图形中心对称是指两个图形的关系联系把中心对称图形的两个部分看成“两个图形”，则这“两个图形”成中心对称把成中心对称的两个图形看成一个“整体”，则“整体”成为中心对称图形平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．考向一轴对称轴对称图形与轴对称的区别与联系区别：轴对称图形是针对一个图形而言，它是指一个图形所具有的对称性质，而轴对称则是针对两个图形而言的，它描述的是两个图形的一种位置关系，轴对称图形沿对称轴对折后，其自身的一部分与另一部分重合，而成轴对称的两个图形沿对称轴对折后，一个图形与另一个图形重合.联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体时，它就成了一个轴对称图形．典例1第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行，全国上下掀起喜迎冬奥热潮，下列四个汉字中是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】A【解析】A、是轴对称图形，故此选项正确；B、不是轴对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，故此选项错误．故选A．1．下列图形中不是轴对称图形的是A．B．C．D．考向二平移1．平移后，对应线段相等且平行，对应点所连的线段平行（或共线）且相等．2．平移后，对应角相等且对应角的两边分别平行或一条边共线，方向相同．3．平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，平移后新旧两图形全等．典例2下列运动中：①荡秋千；②钟摆的摆动；③拉抽屉时的抽屉；④工厂里的输送带上的物品，不属于平移的有A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】C【解析】①荡秋千，是旋转，不是平移；②钟摆的摆动，是旋转，不是平移；③拉抽屉时抽屉的运动，是平移；④工厂里的输送带上的物品运动，是平移；故选C．2．下列四组图形都含有两个可以重合的三角形，其中可以通过平移其中一个三角形得到另一个三角形的是A．B．C．D．3．如图，两只蚂蚁以相同的速度沿两条不同的路径，同时从A出发爬到B，则A．乙比甲先到B．甲比乙先到C．甲和乙同时到D．无法确定考向三旋转通过旋转，图形中的每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．在旋转过程中，图形的形状与大小都没有发生变化．典例3 如图，在ABC △中，65BAC ∠=︒，以点A 为旋转中心，将ABC △绕点A 逆时针旋转，得AB C ''△，连接BB '，若BB'AC ∥，则BAC '∠的大小是A ．15︒B ．25︒C ．35︒D ．45︒【答案】A【解析】∵△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB ′C ′的位置， ∴AB ′=AB ，∠B ′AC ′=∠BAC =65︒， ∴∠AB ′B =∠ABB ′， ∵BB ′∥AC ，∴∠ABB ′=∠CAB =65°， ∴∠AB ′B =∠ABB ′=65°， ∴∠BAB ′=180°–2×65°=50°，∴∠BAC ′=∠B ′AC ′–∠BAB ′=65°–50°=15°， 故选A ．4．五角星可以看成由一个四边形旋转若干次而生成的，则每次旋转的度数可以是A ．36°B ．60°C ．72°D ．90°5．如图将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△AED ，若点B 、D 、E 在同一条直线上，∠BAC =20°，则∠ADB的度数为A．55°B．60°C．65°D．70°考向四中心对称识别轴对称图形与中心对称图形：①识别轴对称图形：轴对称图形是一类具有特殊形状的图形，若把一个图形沿某条直线对称，直线两旁的部分能完全重合，则称该图形为轴对称图形．这条直线为它的一条对称轴．轴对称图形有一条或几条对称轴．②中心对称图形识别：看是否存在一点，把图形绕该点旋转180°后能与原图形重合．典例4下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是A．B．C．D．【答案】B【解析】A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；B、是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误；D、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项错误，故选B．6．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是A．B．C．D．1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是A．B．C．D．2．已知点A的坐标为（3，–2），则点A向右平移3个单位后的坐标为A．（0，–2）B．（6，–2）C．（3，1）D．（3，–5）3．下列说法中正确的有①旋转中心到对应点的距离相等；②对称中心是对称点所连线段的中点；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角；④任意一个等边三角形都是中心对称图形．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在方格纸中的△ABC经过变换得到△DEF，正确的变换是A．把△ABC向右平移6格B．把△ABC向右平移4格，再向上平移1格C．把△ABC绕着点A顺时针旋转90°，再向右平移6格D．把△ABC绕着点A逆时针旋转90°，再向右平移6格5．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（–2，–2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为A．（1，–1）B．（–1，–1）C．（1，1）D．（–1，1）6．在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为__________．7．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，若∠1=110°，则∠2=__________°．8．如图所示，直线EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，且分别交AD、BC于E、F，那么阴影部分的面积是平行四边形ABCD面积的____．9．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°<α<90°）．若∠1=112°，则∠α=__________°．10．△ABC 在平面直角坐标系xOy 中的位置如图所示．（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为__________； （2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为__________； （3）画出△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°得到的△A 3B 3C 3，并求点C 走过的路径长．11．如图，在ABC △中，D 为BC 上任一点，DE AC ∥交AB 于点E DF AB ，∥交AC 于点F ，求证：点E F ，关于AD 的中点对称．12．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（网格线的交点）上．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系，使点A坐标为（1，3），点B坐标为（2，1）；（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，并写出点C'的坐标；（3）判断△ABC的形状．并说明理由．13．如图，已知∠BAC=40°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，使得点B与CA的延长线上的点D重合，连接CE．（1）△ABC旋转了多少度？（2）连接CE，试判断△AEC的形状．（3）若∠ACE=20°，求∠AEC的度数．1．下列四个图形中，可以由下图通过平移得到的是A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标是A．（0，5）B．（5，1）C．（2，4）D．（4，2）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，1），点B（3，–1），平移线段AB，使点A落在点A1（–2，2）处，则点B的对应点B1的坐标为A．（–1，–1）B．（1，0）C．（–1，0）D．（3，0）4．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为A．30°B．90°C．120°D．180°5．如图，在ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B=60°，AB=3，则△ADE的周长为A．12 B．15 C．18 D．216．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若AA′=1，则A′D等于A．2 B．3 C．4 D．3 27．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为20，DE=2，则AE的长为A．4 B．25C．6 D．268．如图，将等边△AOB放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B在第一象限，将等边△AOB 绕点O顺时针旋转180°得到△A′OB′，则点B′的坐标是__________．9．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10 cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6 cm，连接BD，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点为点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为__________cm．10．如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________．11．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点O（0，0）、A（4，1）、B（4，4）均在格点上．（1）画出△OAB关于y轴对称的△OA1B1，并写出点A1的坐标；（2）画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°后得到的△OA2B2，并写出点A2的坐标；（3）在（2）的条件下，求线段OA在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．12．如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG=CH，直线GH绕点O 逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；（2）若∠α=90°，AB=9，AD=3，求AE的长．13．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△DEC，点A、B的对应点分别是D、E．（1）当点E恰好在AC上时，如图1，求∠ADE的大小；（2）若α=60°时，点F是边AC中点，如图2，求证：四边形BEDF是平行四边形．变式拓展1．【答案】A【解析】A．不是轴对称图形，故本选项符合题意；B．是轴对称图形，故本选项不符合题意；C．是轴对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选A．2．【答案】D【解析】A、可以通过轴对称得到，故此选项错误；B、可以通过旋转得到，故此选项错误；C、可以通过轴对称得到，故此选项错误；D、可通过平移得到，故此选项正确；故选D．3．【答案】C【解析】由平移的性质可知，甲、乙两只蚂蚁的行走的路程相同，且两只蚂蚁的速度相同，所以两只蚂蚁同时到达，故选C．4．【答案】C【解析】根据旋转的性质可知，每次旋转的度数可以是360°÷5=72°或72°的倍数．故选C．5．【答案】C【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AED，∴∠BAC=∠DAE=20°，AB=AE，∠BAE=90°，∴∠BEA=45°，∵∠BDA=∠BEA+∠DAE=45°+20°，∴∠BDA=65°.故选C．6．【答案】A【解析】A、是中心对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是旋转变换图形，故本选项错误；D、是旋转变换图形，故本选项错误．1．【答案】C【解析】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选C．2．【答案】B【解析】∵将点A（3，–2）向右平移3个单位所得点的坐标为（6，–2），∴正确答案是B选项.故选B．3．【答案】C【解析】①旋转中心到对应点的距离相等，正确；②对称中心是对称点所连线段的中点，正确；③旋转后的两个图形的对应边所在直线的夹角等于旋转角，正确；④任意一个等边三角形都是中心对称图形，错误．说法正确的有3个，故选C．4．【答案】D【解析】根据图象，△ABC 绕着点A 逆时针方向90°旋转与△DEF 形状相同，向右平移6格就可以与△DEF 重合．故选D ． 5．【答案】C【解析】菱形OABC 的顶点O （0，0），B （–2，–2）， 得D 点坐标为（022-，022-），即（–1，–1）． 每秒旋转45°，则第60秒时，得45°×60=2700°，2700°÷360°=7.5周， OD 旋转了7周半，菱形的对角线交点D 的坐标为（1，1）； 故选C ． 6．【答案】23-【解析】如图，作AH ⊥CD 于H ．∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =120°， ∴AB ∥CD ，∴∠D +∠BAD =180°， ∴∠D =60°， ∵AD =AB =2，∴AH =AD ·sin60°3= ∵B ，B ′关于EF 对称， ∴BE =EB ′，当BE 的值最小时，AE 的值最大，根据垂线段最短可知，当EB ′3AH ==时，BE 的值最小， ∴AE 的最大值=23， 故答案为：23． 7．【答案】55【解析】∵1110∠=︒，纸条的两边互相平行，∴3180118011070.∠=︒-∠=︒-︒=︒根据翻折的性质，()()1121803180705522∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒．故答案为：55． 8．【答案】14【解析】根据中心对称图形的性质，得AOE COF △≌△，则阴影部分的面积等于BOC △的面积，为平行四边形ABCD 面积的14．故答案为：14． 9．【答案】22【解析】如图，∵21112∠=∠=︒（对顶角相等），∴336090211268.∠=-⨯︒-=︒︒︒ ∴'906822BAB ∠=-=︒︒︒，∴旋转角'22.BAB α∠=∠=︒故答案为：22．10．【解析】（1）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称，则点A 1的坐标为（2，–3）．（2）将△ABC 向右平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2，则点B 2的坐标为（3，1）． （3）将△ABC 绕O 点顺时针方向旋转90°，则点C 走过的路径长=90π2180=π．11．【解析】如图，连接EF 交AD 于点O ．DE AC ∥交AB 于E DF AB ，∥交AC 于F ，∴四边形AEDF 是平行四边形， ∴点E F ，关于AD 的中点对称．12．【解析】（1）如图所示：（2）如图所示：'''A B C △即为所求：C '的坐标为()55-，； （3）2221454162091625AB AC BC =+==+==+=，，，∴222AB AC BC +=， ∴ABC △是直角三角形．13．【解析】（1）∵∠BAC =40°，∴∠BAD =140°，∴△ABC 旋转了140°．（2）由旋转的性质可知AC =AE ，∴△AEC 是等腰三角形． （3）由旋转的性质可知，∠CAE =∠BAD =140°，又AC =AE ， ∴∠AEC =（180°–140°）÷2=20°．1．【答案】D【解析】∵只有D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到； 故选D ． 2．【答案】B【解析】将点（2，1）向右平移3个单位长度，则所得的点的坐标横坐标增加3，即（5，1）．故选B ． 3．【答案】【解析】由点A （2，1）平移后所得的点A 1的坐标为（–2，2），可得坐标的变化规律是：左移4个单位，上移1个单位，∴点B 的对应点B 1的坐标为（–1，0）．故选C ． 4．【答案】C【解析】∵360°÷3=120°，∴旋转的角度是120°的整数倍，∴旋转的角度至少是120°．故选C ． 5．【答案】C【解析】由折叠可得，∠ACD =∠ACE =90°，∴∠BAC =90°， 又∵∠B =60°，∴∠ACB =30°，∴BC =2AB =6，∴AD =6，直通中考由折叠可得，∠E =∠D =∠B =60°，∴∠DAE =60°，∴△ADE 是等边三角形，∴△ADE 的周长为6×3=18，故选C ． 6．【答案】B【解析】∵S △ABC =16.S △A ′EF =9，且AD 为BC 边的中线，∴S △A ′DE =12S △A ′EF =92，S △ABD =12S △ABC =8， ∵将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移得到△A 'B 'C '，∴A ′E ∥AB ，∴△DA ′E ∽△DAB ， 则2()A'DE ABD S A'D AD S =△△，即299()1816A'D A'D ==+，解得A ′D =3或A ′D =﹣37（舍），故选B ． 7．【答案】D【解析】∵△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置．∴四边形AECF 的面积等于正方形ABCD 的面积等于20，∴AD =DC =2，∵DE =2，∴Rt △ADE 中，AE =22AD DE +=26，故选D ．8．【答案】（﹣2，﹣23） 【解析】作BH ⊥y 轴于H ，如图，∵△OAB 为等边三角形，∴OH =AH =2，∠BOA =60°，∴BH =3OH =23，∴B 点坐标为（2，23）， ∵等边△AOB 绕点O 顺时针旋转180°得到△A ′OB ′， ∴点B ′的坐标是（﹣2，﹣23）． 故答案为：（﹣2，﹣23）． 9．【答案】10–26【解析】如图，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，由旋转知：AD =AE ，∠DAE =90°，∠CAE =∠BAD =15°，∴∠AED =∠ADG =45°，在△AEF 中，∠AFD =∠AED +∠CAE =60°，在Rt △ADG 中，AG =DG =2AD =32， 在Rt △AFG 中，GF =3AG =6，AF =2FG =26，∴CF =AC –AF =10–26， 故答案为：10–26．10．【答案】23–2【解析】根据旋转过程可知：∠CAD =30°=∠CAB ，AC =AD =4．∴∠BCA =∠ACD =∠ADC =75°．∴∠ECD =180°–2×75°=30°．∴∠E =75°–30°=45°．过点C 作CH ⊥AE 于H 点，在Rt △ACH 中，CH =12AC =2，AH =23． ∴HD =AD –AH =4–23．在Rt △CHE 中，∵∠E =45°，∴EH =CH =2．∴DE =EH –HD =2–（4–23）=23–2．故答案为3–2．11．【解析】（1）如下图所示，点A 1的坐标是（–4，1）；（2）如下图所示，点A 2的坐标是（1，–4）；（3）∵点A （4，1），∴OA 221417+=∴线段OA 290(17)⨯π⨯=174π．12．【解析】（1）∵对角线AC的中点为O，∴AO=CO，且AG=CH，∴GO=HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，CD=AB，CD∥AB，∴∠DCA=∠CAB，且CO=AO，∠FOC=∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO=EO，且GO=HO，∴四边形EHFG是平行四边形；（2）如图，连接CE，∵∠α=90°，∴EF⊥AC，且AO=CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE=CE，在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2，∴AE2=（9–AE）2+9，∴AE=5．13．【解析】（1）如图1，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△DEC，点E恰好在AC上，∴CA=CD，∠ECD=∠BCA=30°，∠DEC=∠ABC=90°，∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA=12（180°–30°）=75°，∴∠ADE=90°–75°=15°；（2）如图2，∵点F是边AC中点，∴BF=12 AC，∵∠ACB=30°，∴AB=12AC，∴BF=AB，∵△ABC绕点A顺时针旋转60得到△DEC，∴∠BCE=∠ACD=60°，CB=CE，DE=AB，∴DE=BF，△ACD和△BCE为等边三角形，∴BE=CB，∵点F为△ACD的边AC的中点，∴DF⊥AC，易证得△CFD≌△ABC，∴DF=BC，∴DF=BE，而BF=DE，∴四边形BEDF是平行四边形．。

2017年中考数学热身图形的平移（含解析）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年中考数学热身图形的平移（含解析））的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年中考数学热身图形的平移（含解析）的全部内容。

图形的平移一、选择题1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．2．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位,再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（)A．（6，1）B．（0，1）C．（0，﹣3）D．（6，﹣3）3．如图，矩形ABCD的对角线AC=10,BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．284．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分（图中阴影部分）的面积是( ）A．B．C．1 D．5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题6．在平面直角坐标第中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，1），B（1，3），将线段AB经过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点为A′（3，2），则点B的对应点B′的坐标是．7．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2，则BB1= ．8．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于cm．9．如图1，两个等边△ABD,△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为．10．如图,把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0)和原点O（0,0），它的顶点为P,它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．三、解答题11．如图，下列网格中，每个小正方形的边长都是1，图中“鱼”的各个顶点都在格点上．(1）把“鱼”向右平移5个单位长度,并画出平移后的图形．(2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．12．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0）,B(0，4）．（1)画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；(2)连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答，不必证明)13．如图，△ABC中,∠B=90°，AB=6cm,BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A，B，C的对应点分别是D，E，F，连接AD．求证:四边形ACFD是菱形．14．如图，矩形ABCD中，AB=6,第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位,得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n（n＞2）．(1）求AB1和AB2的长．（2）若AB n的长为56,求n．图形的平移参考答案与试题解析一、选择题1．将如图所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )A．B．C．D．【考点】生活中的平移现象．【分析】根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答．【解答】解：观察各选项图形可知，A选项的图案可以通过平移得到．故选：A．【点评】本题考查了生活中的平移现象，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小,学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．2．如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（）A．（6,1）B．（0，1）C．（0,﹣3）D．（6，﹣3）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【专题】推理填空题．【分析】四边形ABCD与点A平移相同，据此即可得到点A′的坐标．【解答】解：四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，因此点A也先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，由图可知，A′坐标为（0,1)．故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，本题本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．3．如图,矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）A．14 B．16 C．20 D．28【考点】平移的性质；勾股定理．【分析】根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．【解答】解:根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案：∵AC=10，BC=8，∴AB===6，图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28．故选D．【点评】此题主要考查了勾股定理以及平移的性质，得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周是解决问题的关键．4．如图，将边长为的正方形ABCD沿对角线AC平移，使点A移至线段AC的中点A′处，得新正方形A′B′C′D′，新正方形与原正方形重叠部分(图中阴影部分）的面积是（)A．B．C．1 D．【考点】平移的性质;正方形的性质．【专题】计算题．【分析】根据题意可得，阴影部分的图形是正方形，正方形ABCD的边长为，则AC=2,可得出A′C=1，可得出其面积．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为，∴AC=2,又∵点A′是线段AC的中点，∴A′C=1，∴S阴影=×1×1=．故选B．【点评】本题考查了正方形的性质及平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．5．如图，等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD,则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】平移的性质；等边三角形的性质；菱形的判定与性质．【分析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的;根据①的结论，可判断④正确．【解答】解：△ABC、△DCE是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD,∴∠ACD=180°﹣∠ACB﹣∠DCE=60°,∴△ACD是等边三角形，∴AD=AC=BC，故①正确；由①可得AD=BC,∵AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴BD、AC互相平分，故②正确；由①可得AD=AC=CE=DE，故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选D．【点评】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形，难度一般．二、填空题6．在平面直角坐标第中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2,1），B（1,3）,将线段AB 经过平移后得到线段A′B′，若点A的对应点为A′（3，2)，则点B的对应点B′的坐标是(6，4）．【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标．【解答】解:∵A（﹣2，1），A′(3，2），∴平移规律为横坐标加5,纵坐标加1,∵B(1,3）,∴1+5=6，3+1=4,∴点B′的坐标为（6,4)．故答案为：（6，4）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减,先确定出平移规律是解题的关键．7．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1．若BC=3，△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1= ．【考点】等腰直角三角形．【专题】压轴题．【分析】重叠部分为等腰直角三角形，设B1C=2x，则B1C边上的高为x，根据重叠部分的面积列方程求x,再求BB1．【解答】解：设B1C=2x,根据等腰三角形的性质可知，重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x，∴×x×2x=2，解得x=(舍去负值），∴B1C=2，∴BB1=BC﹣B1C=．故答案为．【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，平移的性质．关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质求斜边长．8．如图,△ABC中，∠A CB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 3 cm．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；平移的性质．【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知AD=BD=CD=AB=4cm；然后由平移的性质推知GH∥CD；最后根据平行线截线段成比例列出比例式，即可求得GH的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠ACB=90°,AB=8cm，D是AB的中点，∴AD=BD=CD=AB=4cm;又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1cm得到的，∴GH∥CD，GD=1cm，∴△AGH∽△ADC，∴=,即=,解得，GH=3 cm；故答案是：3．【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线、平移的性质．运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得相关线段的长度是解答此题的关键．9．如图1,两个等边△ABD，△CBD的边长均为1,将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为 2 ．【考点】平移的性质；等边三角形的性质．【分析】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B'D’的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2,即可得出答案．【解答】解：∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置,∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO,OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；故答案为:2．【点评】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO,OD′=D′E=OE,EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．10．如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m,抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0)，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据点O与点A的坐标求出平移后的抛物线的对称轴，然后求出点P的坐标，过点P 作PM⊥y轴于点M，根据抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,然后求解即可．【解答】解：过点P作PM⊥y轴于点M,∵抛物线平移后经过原点O和点A（﹣6，0),∴平移后的抛物线对称轴为x=﹣3,得出二次函数解析式为:y=（x+3)2+h,将（﹣6，0）代入得出:0=（﹣6+3）2+h，解得:h=﹣，∴点P的坐标是（﹣3，﹣），根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形NPMO的面积,∴S=|﹣3|×｜﹣|=．故答案为：．【点评】本题考查了二次函数的问题，根据二次函数的性质求出平移后的抛物线的对称轴的解析式，并对阴影部分的面积进行转换是解题的关键．三、解答题11．如图，下列网格中,每个小正方形的边长都是1,图中“鱼”的各个顶点都在格点上．（1）把“鱼”向右平移5个单位长度,并画出平移后的图形．（2）写出A、B、C三点平移后的对应点A′、B′、C′的坐标．【考点】利用平移设计图案．【专题】作图题．【分析】（1）将各能代表图形形状的点向右平移5个单位，顺次连接即可；（2）结合坐标系,可得出A′、B′、C′的坐标．【解答】解：（1）如图所示:．（2）结合坐标系可得：A'（5，2）,B'（0，6)，C’(1，0）．【点评】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求规范作图．12．如图，在直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣3，0)，B（0，4）．（1）画出线段AB先向右平移3个单位，再向下平移4个单位后得到的线段CD，并写出A的对应点D的坐标，B的对应点C的坐标；（2）连接AD、BC，判断所得图形的形状．（直接回答,不必证明）【考点】作图﹣平移变换；菱形的判定．【专题】作图题．【分析】（1）根据网格结构找出点C、D的位置，然后连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C、D的坐标；（2）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形判定．【解答】解:（1）如图所示，CD即为所求作的线段，D（0,﹣4)，C（3，0)；（2）∵AC、BD互相垂直平分，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了利用平移变换作图,菱形的判定,熟练掌握网格结构,准确找出点C、D的位置是解题的关键．13．如图，△ABC中,∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm,得到△DEF，A,B，C的对应点分别是D，E，F,连接AD．求证：四边形ACFD是菱形．【考点】菱形的判定;勾股定理;平移的性质．【专题】证明题．【分析】根据平移的性质可得CF=AD=10cm，DF=AC，再在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长为10，就可以根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论．【解答】证明:由平移变换的性质得：CF=AD=10cm,DF=AC,∵∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，∴AC===10，∴AC=DF=AD=CF=10cm,∴四边形ACFD是菱形．【点评】此题主要考查了平移的性质，菱形的判定，关键是掌握平移的性质：各组对应点的线段平行且相等；菱形的判定：四条边都相等的四边形是菱形．14．如图，矩形ABCD中，AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1，第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，第n次平移将矩形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向平移5个单位，得到矩形A n B n C n D n（n＞2）．（1）求AB1和AB2的长．（2）若AB n的长为56，求n．【考点】平移的性质；一元一次方程的应用；矩形的性质．【专题】规律型．【分析】(1）根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，进而求出AB1和AB2的长;（2）根据(1）中所求得出数字变化规律，进而得出AB n=（n+1）×5+1求出n即可．【解答】解：（1）∵AB=6，第1次平移将矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1,第2次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2…，∴AA1=5,A1A2=5，A2B1=A1B1﹣A1A2=6﹣5=1，∴AB1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，∴AB2的长为：5+5+6=16；（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，∴AB n=（n+1）×5+1=56，解得：n=10．【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5是解题关键．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折【基础知识梳理】 1.平移在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 . 2.平移的特征平移前后的两个图形对应点连线 且 ，对应线段 且 ，对应角 . 3.旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 .4.旋转的基本性质⑴旋转不改变图形的 和 ．⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离 . 【基础诊断】1、如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A ．把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B ．把△DEF 向右平移4个单位，再向下平移2个单位 C ．把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D ．把△DEF 向左平移4个单位，再向上平移2个单位2、如图，△AOB 是正三角形，OC⊥OB，OC ＝OB ，将△AOB 绕点O 按逆时针方向 旋转，使得OA 与OC 重合，得到△OCD，则旋转角度是( ) A ．150º B．120º C．90º D．60º3、如图：△ABC 的周长为30cm ，把△ABC 的边AC 对折，使顶点C 和点A 重合，折痕交BC 边于点D ，交AC 边与点E ，连接AD ，若AE=4cm ，则△ABD 的周长是（ ） A. 22cm B.20cm C. 18cm D.15cm【精典例题】例1、如图，将等腰直角△ABC 沿BC 方向平移得到△A 1B 1C 1．若BC ＝32，△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则BB 1＝ ．第1题图第2题图 第3题图例1图【点拨】∵△ABC 与△A 1B 1C 1重叠部分面积为2，则由三角形面积公式可知，重叠部分小三角形的直角边长为2，从而由勾股定理得B 1C ＝22，则BB 1＝BC －B 1C ＝2。

初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。

这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。

本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。

一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。

在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。

具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。

- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。

假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。

二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。

在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。

具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。

- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。

设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。

三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。

在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。

具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。

- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。

2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。

设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。

四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。

平移翻折旋转等几何变换的性质分析平移、翻折、旋转等几何变换是在平面上对图形进行操作的常用方法。

它们具有独特的性质与特点，本文将对这些几何变换的性质进行详细分析。

一、平移的性质分析平移是指将图形按照指定的方向和距离进行移动，而不改变其形状和大小。

平移的性质如下：1. 平移变换是保持图形各点之间距离和相对位置不变的变换。

即使图形进行平移，其各点之间的距离关系和相对位置仍然保持不变。

2. 平移变换的结果是与原图形全等的新图形。

即平移前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 平移变换可以通过向量的加法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行平移变换时，将其横向平移a个单位，纵向平移b个单位，则新点的坐标为A'(x+a, y+b)。

二、翻折的性质分析翻折是指沿直线将图形对称地折叠，使得每个点关于折叠线对称，从而得到一个新的图形。

翻折的性质如下：1. 翻折变换是保持图形各点到折叠线的距离不变，但改变图形的相对位置。

即折叠前后的图形各点到折叠线的距离相等。

2. 翻折变换的结果是与原图形全等的新图形。

具体而言，翻折变换前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 翻折变换可以通过向量的减法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行翻折变换时，将其关于折叠线的对称点的坐标表示为A'(-x, y')。

三、旋转的性质分析旋转是指围绕指定的旋转中心，按照指定的旋转角度将图形沿逆时针或顺时针方向旋转，从而得到一个新的图形。

旋转的性质如下：1. 旋转变换是保持图形上各点到旋转中心的距离和相对位置不变的变换。

旋转前后的图形各点到旋转中心的距离保持不变，且各点的相对位置不变。

2. 旋转变换的结果是与原图形全等的新图形。

即旋转前后的图形在大小和形状上完全相同，只是位置不同。

3. 旋转变换可以通过矩阵乘法来表示。

设图形上一点的坐标为A(x, y)，进行旋转变换时，将其绕旋转中心点逆时针旋转θ角度得到的新点的坐标表示为A'(x', y')。

初中数学中的形的平移旋转与翻折初中数学中的形的平移、旋转与翻折形的平移、旋转与翻折是初中数学中的重要概念和技巧。

通过学习这些内容，我们可以深入理解几何图形的性质和变化规律，提高数学解题的能力和思维逻辑能力。

本文将着重介绍初中数学中形的平移、旋转与翻折的概念、性质和相关解题方法。

一、形的平移1. 平移的概念平移是指在平面上，将一个点或者图形沿着特定的方向和距离移动之后的位置与移动前的位置相对应的变换。

2. 平移的性质（1）平移不改变图形的大小和形状。

（2）平移保持图形内部的所有角度和线段的相对关系不变。

（3）平移不改变图形的面积和周长。

3. 平移的表示方法和步骤平移可以用向量表示或者用坐标表示。

对于向量表示，我们可以通过指定平移向量的大小和方向来表示平移的规律。

对于坐标表示，我们可以通过向图形内的每个点添加相同的坐标改变量来得到平移后的图形。

平移的步骤一般为：（1）标出移动前的图形和参考点；（2）选择适当的方向和距离，确定平移的规律；（3）根据规律，将每个点移动到对应的位置，得到平移后的图形。

二、形的旋转1. 旋转的概念旋转是指在平面或空间中，围绕特定的中心点，按照一定的角度和方向，将一个点或者图形转到另一个位置的变换。

2. 旋转的性质（1）旋转不改变图形的形状。

（2）旋转保持图形内角度大小和线段的相对关系不变。

（3）旋转不改变图形的面积和周长。

3. 旋转的表示方法和步骤旋转可以通过给出旋转的中心点、旋转的角度和方向来表示旋转的规律。

在实际解题中，我们常常使用逆时针旋转的角度来表示旋转。

旋转的步骤一般为：（1）标出旋转前的图形和旋转的中心点；（2）选择适当的旋转角度和方向，确定旋转的规律；（3）根据规律，将图形的每个点旋转对应的角度和方向，得到旋转后的图形。

三、形的翻折1. 翻折的概念翻折是指通过将图形沿着一条直线对称折叠，使得折叠后的一部分与折叠前的另一部分重合的变换。

2. 翻折的性质（1）翻折不改变图形的形状。

2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题(解析版)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2017春季中考数学第五讲图形的平移、旋转、折叠问题【基础回顾】考点聚焦1.了解轴对称图形和图形成轴对称的概念,知道线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、圆等常见的轴对称图形；了解平移、旋转的概念、掌握平移变换、旋转变换的基本性质,能按要求作出简单平面图形平移后的图形.2.掌握中心对称的概念,会判断一些基本图形的中心对称性,理解中心对称与旋转变换的区别.3.探索图形之间的变换关系(轴对称、平移、旋转及其组合),能灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计.考点一轴对称图形、轴对称变换例1、如图,将三角形纸片ABC沿DE折叠,使点A落在BC边上的点F处,且DE∥BC,下列结论:①△BDF是等腰三角形;②DE=1BC;③四边形ADFE2是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正确的个数是( ).A.1B.2C.3D.4【思路点拨】如图,分别过点D，E作BC的垂线DG，EH；连接AF,由于折叠是轴对称变换知AF与DE垂直,因为DE∥BC，所以AF与BC垂直,且AM=MF,可以证明点D，E分别1BC是AB,AC的中点,即DE是△ABC的中位线,所以②DE=2是正确的；由于折叠是轴对称变换知AD=DF,AE=EF,所以DA=DB=DF,所以①△BDF是等腰三角形是正确的；因DG∥AF∥EH,所以∠BDG=∠DAM,又因为DG是等腰三角形BDF的高,所以∠BDF=2∠DAM,同理∠CEF = 2 ∠EAM, 所以④∠BDF+∠FEC=2∠A是正确的；如图显然四边形ADFE不是菱形,③是错误的．【参考答案】C【方法归纳】轴对称图形的定义：把一个图形沿着一条直线对折后,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.轴对称图形的性质：(1)对应点所连的线段被对称轴垂直平分；(2)对应线段相等、对应角相等,对应的图形是全等图形.【误区提醒】折纸问题是近年来中考中的热点问题,本题巧妙的运用平行线性质、折叠全等不变性质得到三角形中位线,如果能顺利地判断出这一点,其他问题就将迎刃而解.在解题时不要受给出的图形影响,如△ABC像是等腰三角形,就认为△ABC就是等腰三角形,那样的话四边形ADFE就是菱形了,造成判断上的错误.此外,轴对称图形是指一个图形,而轴对称变换是指两个图形之间的关系.考点二中心对称图形、中心对称例2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ).【思路点拨】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形是轴对称图形；把一个平面图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知A是轴对称图形,且有1条对称轴,但不是中心对称图形；B是中心对称图形,不是轴对称图形；C是轴对称图形,有1条对称轴,但不是中心对称图形；D既是中心对称图形又是轴对称图形,有4条对称轴．【参考答案】B【方法归纳】如果一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合,我们把这种图形叫做中心对称图形.成中心对称的两个图形的对称点的连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.【误区提醒】中心对称图形是指一个图形,而中心对称是指两个图形之间的关系.考点三平移变换例3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2，0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为 .【思路点拨】作AM⊥x轴于点M.根据等边三角形的性质得OA=OB=2，∠AOB=60°，在Rt△OAM中,利用含30°角的直角三角形的性质求出OM=1，AM=3，从而求得点A的坐标为（1，3），直线OA的解析式为y=3x,当x=3时，y=33,所以点A′的坐标为（3，33），所以点A′是由点A向右平移2个单位，向上平移23个单位后得到的，于是得点B′的坐标为（4,23）.【参考答案】（4,23）【方法归纳】本题考查了坐标与图形变化——平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.也考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质.求出点A′的坐标是解题的关键.考点四旋转变换例4、在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段AD是BC边上的中线,如图1,将△ADC沿直线BC平移,使点D与点C重合,得到△FCE,如图2,再将△FCE绕点C顺时针旋转,设旋转角为α(0°＜α≤90°),连接AF,DE．(1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角α的度数；(2)探究旋转过程中四边形ADEF能形成哪些特殊四边形？请说明理由．【思路点拨】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点E和点D在直线AC两侧；②点E和点D在直线AC同侧；(2)在旋转过程中,总是存在AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证明．解：(1)在图1中,∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°．如图2,当点E和点D在直线AC两侧时,由于∠ACE=150°,∴α=150°-120°=30°.当点E和点D在直线AC同侧时,由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°.∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角α为30°或90°;(2)四边形ADEF能形成等腰梯形和矩形．∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC=1BC．2又∵AD是BC边上的中线,∴AD=DC=1BC=AC.∴△ADC为正三角形．2①当α=60°时,如图3,∠ACE=120°+60°=180°.∵CA=CE=CD=CF,∴四边形ADEF 为矩形．②当α≠60°时,∠ACF ≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF ≠120°．显然DE ≠AF ．∵AC=CF,CD=CE,∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°.∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°,∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF ∥DE ．又∵DE ≠AF,AD=EF,∴四边形ADEF 为等腰梯形．【方法归纳】旋转的概念：在平面内,将一个图形绕一个定点沿某一个方向转动一个角度,这种图形的运动称为旋转,这个定点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角.旋转变换的性质：经过旋转,图形上每个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,旋转变换不改变图形的形状和大小,是全等变换.【误区提醒】决定旋转变换的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度,作图按三个步骤进行：(1)在已知图形上找一些关键的点；(2)画出这些关键点的对应点；(3)顺次连接这些对应点.考点五 图形变换的应用例5、如图，矩形纸片ABCD ，将△AMP 和△BPQ 分别沿PM 和PQ 折叠（AP ＞AM ），点A 和点B 都与点E 重合；再将△CQD 沿DQ 折叠，点C 落在线段EQ 上的点F 处.（1）判断△AMP ，△BPQ ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？（2）如果AM=1，sin ∠DMF=53，求AB 的长.【思路点拨】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC ，所以△AMP ∽△BPQ ∽△CQD ；（2）先证明MD=MQ ，然后根据sin ∠DMF=53 MD DFDFMD=35，设DF=3x ，MD=5x ，再分别表示出AP ，BP ，BQ ，根据△AMP ∽△BPQ ，列出比例式解方程求解即可.解：（1）△AMP ∽△BPQ ∽△CQD.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°.由折叠的性质可知∠APM=∠EPM ，∠EPQ=∠BPQ.∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°.∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP.∴△AMP ∽△BPQ.同理：△BPQ ∽△CQD.根据相似的传递性可得△AMP ∽△CQD ；（2）∵AD ∥BC ，∴∠DQC=∠MDQ.由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM.∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ.∵AM=ME ，BQ=EQ ，∴BQ=MQ-ME=MD-AM.∵sin ∠DMF=53=MD DF ，则设DF=3x ，MD=5x ，则BP=PA=PE=23x ，BQ=5x-1. ∵△AMP ∽△BPQ ，∴BQ AP BP AM =，即1-x 52x 32x31=，解得x=92（舍去）或x=2，∴AB=6.【方法归纳】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，图形的折叠是对称变换，是一种全等变换.【误区提醒】折叠问题要注意找正确边角的等量关系，本题求AB 长时，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边并列比例式.【例题讲解】1.图形的平移：如图1，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（2, 0），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（）．A．（4，23） B．（3，33） C．（4，33） D．（3，23）图1 图 2 图3 图4答案 A．思路如下：如图，当点B的坐标为（2, 0），点A的横坐标为1．当点A'的横坐标为3时，等边三角形A′OC的边长为6．在Rt△B′CD中，B′C＝4，所以DC＝2，B′D＝23．此时B′(4,23)．2.图形的折叠：如图2，在矩形ABCD中，AD＝15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．如果AD＝3GD，那么DE＝_____．答案35．思路如下：如图，过点F作AD的平行线交AB于M，交DC于N．因为AD＝15，当AD＝3GD时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5．在Rt△AMF中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以AM＝55．设DE＝m，那么NE＝55m-．由△AMF∽△FNE，得AM FNMF NE=，即5555m=-．解得m＝35．3.图形的旋转：如图3，已知Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AC ＝6，BC ＝4，将△ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，若点F 是DE 的中点，连接AF ，则AF = ． 答案 5．思路如下： 如图，作FH ⊥AC 于H ．由于F 是ED 的中点，所以HF 是△ECD 的中位线，所以HF ＝3．由于AE ＝AC －EC ＝6－4＝2，EH ＝2，所以AH ＝4．所以AF ＝5．4.三角形： 如图4，△ABC ≌△DEF （点A 、B 分别与点D 、E 对应），AB ＝AC ＝5，BC ＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点E 在BC 边从B 向C 移动（点E 不与B 、C 重合），DE 始终经过点A ，EF 与AC 边交于点M ，当△AEM 是等腰三角形时，BE ＝_________．答案 116或1．思路如下： 设BE ＝x ． 由△ABE ∽△ECM ，得AB EA EC ME =，即56EA x ME =-． 等腰三角形AEM 分三种情况讨论：①如图2，如果AE ＝AM ，那么△AEM ∽△ABC ．所以5566EA ME x==-．解得x ＝0，此时E 、B 重合，舍去． ②如图3，当EA ＝EM 时，516EA x ME==-．解得x ＝1． ③如图4，当MA ＝ME 时，△MEA ∽△ABC ．所以6556EA ME x ==-．解得x ＝116．图2 图3 图45.四边形：如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4．点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G 、H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ）．A ．25B ．35C ．5D ．6图5 图6 图7答案 C ．思路如下：拖动点E 在AB 上运动，可以体验到，当EF 与AC 垂直时，四边形EGFH 是菱形（如图2）．如图3，在Rt △ABC 中，AB ＝8，BC ＝4，所以AC ＝45．由cos ∠BAC ＝AB AO AC AE =，得82545AE =．所以AE ＝5．图2 图36.圆：如图1，⊙O 的半径为2，AB ，CD 是互相垂直的两条直径，点P 是⊙O 上任意一点（P 与A ，B ，C ，D 不重合），过点P 作PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥CD 于点N ，点Q 是MN 的中点，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径长为__________．A. 4πB. 2πC. 6πD. 3π 答案 A ．思路如下：拖动点P 在圆周上运动一周，可以体验到，当点P 沿着圆周转过45°时，点Q 走过的路径是圆心角为45°半径为1的一段弧．如图2，四边形PMON 是矩形，对角线MN 与OP 互相平分且相等，因此点Q 是OP 的中点．如图3，当∠DOP ＝45°时，'D Q 的长为121=84ππ⨯⨯．图2 图37.函数图像：如图7，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，联结PA ．设PA ＝x ，PB ＝y ，则(x －y )的最大值是_____．答案 2．思路如下：拖动点P 在圆上运动一周，可以体验到，AF 的长可以表示x －y ，点F 的轨迹象两叶新树丫，当AF 最大时，OF 与AF 垂直（如图2）．如图3，AC 为⊙O 的直径，联结PC ．由△ACP ∽△PAB ，得AC PA AP PB =，即8x x y =．所以218y x =． 因此2211(4)288x y x x x -=-=--+．所以当x ＝4时，x －y 最大，最大值为2．图2 图3【课后练习】1.如图1，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，联结A′C，则△A′B′C的周长为_______．（答案 12）图1 图2 图3 图42.如图2，已知在矩形ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处，且点C′、D′、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D′F与BE交于点G．设AB＝t，那么△EFG的周长为______________（用含t的代数式表示）．答案23t．思路如下：如图2-1，等边三角形EFG的高＝AB＝t，计算得边长为23t．图2-1 图3-13.如图3，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AC上一点，且AD＝3，如果△ABD绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D旋转至D'，那么线段DD'的长为．答案125．思路如下：如图3-1，由△ABC∽△ADD'，可得．5∶4＝3∶DD'．4.如图4，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP的长等于__________cm．答案 1或2．思路如下：如图2，当PQ＝AE时，可证PQ与AE互相垂直．在Rt△ADE中，由∠DAE＝30°，AD＝3，可得AE＝23．在Rt△APM中，由∠PAM＝30°，AM＝3，可得AP＝2．在图3中，∠ADF＝30°，当PQ＝DF时，DP＝2，所以AP＝1．图2 图35.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变．当∠B＝90°时，如图5-1，测得AC＝2．当∠B＝60°时，如图5-2，AC等于（）．(A)2； (B)2； (C) 6； (D) 22．图5-1 图5-2 图6答案 (A)．思路如下：拖动点A绕着点B旋转，，当∠B＝90°时，△ABC是等腰直角三角形；当∠B＝60°时，△ABC是等边三角形（如图3）．6.如图6，在矩形ABCD中，AD＝8，E是AB边上一点，且AE＝1AB，⊙O经4过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线相交于另一点F，且EG∶EF＝5∶2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是________．答案 12或4．思路如下：拖动点B运动，可以体验到，⊙O的大小是确定的，⊙O既可以与BC相切（如图3），也可以与AD相切（如图4）．如图2，在Rt△GEH中，由GH＝8，EG∶EF＝5∶2，可以得到EH＝4．在Rt△OEH中，设⊙O的半径为r，由勾股定理，得r2＝42＋(8－r)2．解得r＝5．设AE＝x，那么AB＝4x．如图3，当⊙O与BC相切时，HB＝r＝5．由AB＝AE＋EH＋HB，得4x＝x＋4＋5．解得x＝3．此时AB＝12．如图4，当⊙O与AD相切时，HA＝r＝5．由AE＝AH－EH，得x＝5－4＝1．此时AB＝4．图2 图3 图47.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为3的⊙M与射线BA相切,切点为N,且AN=3.将Rt△ABC顺时针旋转120°后得到Rt△ADE,点B,C 的对应点分别是点D,E．(1)画出旋转后的Rt△ADE；(2)求出Rt△ADE 的直角边DE被⊙M截得的弦PQ的长度；(3)判断Rt△ADE的斜边AD所在的直线与⊙M的位置关系,并说明理由.【思路点拨】(1)点A 不动,由于∠BAC=60°,因此旋转120°后AE 与AB 在同一条直线上；(2)过点M 作MF ⊥DE,垂足为F.连接MP,构造出Rt △MPF ，再通过勾股定理解直角三角形并结合垂径定理即可求解；(3)易猜想AD 与⊙M 相切.欲证AD 与⊙M 相切,只需HM=NM 即可,而HM=NM 可由△MHA ≌△MNA 得到． 证明：(1)如图1，Rt △ADE 就是旋转后的图形；(2)如图2,过点M 作MF ⊥DE,垂足为F,连接MP ．在Rt △MPF 中,MP=3,MF=4-3=1,由勾股定理易得PF=2,再由垂径定理知PQ=2PF=22；(3)AD 与⊙M 相切．证法一：如图2,过点M 作MH ⊥AD 于H,连接MN, MA,则MN ⊥AE 且MN=3.在Rt △AMN 中,tan ∠33AN MN ，∴∠MAN=30°. ∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°.∴∠MAN=∠MAD=30°.∴MH=MN(由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH=3,从而得MH=MN 亦可). ∴AD 与⊙M 相切；证法二：如图2,连接MA,ME,MD,则S △ADE =S △AMD +S △AME +S △DME ,过M 作MH ⊥AD 于H, MF ⊥DE 于F, 连接MN, 则MN ⊥AE 且MN=3,MF=1,∴21AC ·BC=21AD ·MH+21AE ·MN+21DE ·MF,由此可以计算出MH=3.∴MH=MN. ∴AD 与⊙M 相切．【方法归纳】本题综合了旋转、垂径定理、勾股定理、等腰三角形、圆与直线的位置关系等有关知识,是一道中等偏上的题,有一定区分度.其中证明圆与直线相切时通常是“作垂直,证半径”．。

2017年中考数学一轮复习专题图形折叠问题综合复习一选择题：1.如图，E是矩形ABCD中BC边的中点，将△ABE沿AE折叠到△AFE，F在矩形ABCD内部，延长AF交DC于G点，若∠AEB=55°，则∠DAF=( )A．40° B．35° C．20° D．15°2.如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（）A．50° B．55° C．60° D．65°3.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12 D．164.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD=8，AB=4，则DE长为（）A．3 B．4 C．5 D．65.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB=3，则BC的长为（）A．1 B．2 C. D.6.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67.如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE=5，BF=3，则CD的长是（）A.7B.8 C．9 D． 108.如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（）A．78° B．75° C．60° D．45°9.如图，将边长为12cm的正方形ABCD折叠，使得点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．若CE的长为7cm，则MN的长为（）A． 10 B． 13 C． 15 D． 1210.如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内翻折，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH=12厘米，EF=16厘米，则边AD的长是 ( )A．12厘米 B．16厘米 C．20厘米 D．28厘米11.如图，在矩形 OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线 OB 折叠后，点 A 与点 D 重合，OD 与 BC交于点 E，则点 D 的坐标是（）A．（4，8）B．（5，8）C．（，） D．（，）12.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（）A. B. 2 C. 3 D.13.如图，矩形纸片ABCD中，AD=3cm，点E在BC上，将纸片沿AE折叠，使点B落在AC上的点F处，且∠AEF=∠CEF，则AB的长是( )A.1 cm B．cm C．2 cm D． cm14.如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A1恰好落在∠BCD的平分线上时，CA1的长为（）A．3或4 B．4或3C．3或4 D．3或415.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AB，BC上，且AE=AB．将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q．对于下列结论：①EF=2BE，②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．①④16.如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若此时=,则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为( )A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 917.图，矩形ABCD中，点E是AD的中点，将△ABE折叠后得到△GBE，延长B G交CD于点F，若CF=1，FD=2，则BC的长为( )A.3B.2C.2D.218.如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）.A．2 B．3 C．4 D．519.如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在点A′、D′处，且A′D′经过点B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，的值为（）A．B．C．D．20.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5.折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC 边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动。

函数中的图形平移、旋转、折叠问题一、函数中的图形平移问题[例1]已知一条直线经过点A（0，4）、点B（2，0）（如图1），将这条直线向左平移与x轴负半轴，y 轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC。

求以直线CD为图象的函数解析式。

[例2]已知抛物线y=x2-2x-8,若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（点A在点B的左侧），且它的顶点为P1）求t an∠PAB的值2）如果要使∠PAB=45需将抛物线向上平移几个单位？[例3]在直角坐标平面内，把过原点的直线l与双曲线：y=12x在第一象限的交点记作A，已知A点的横坐标为11）求直线l的函数解析式2）将直线l向上平移4个单位后，直线l与x轴，y轴分别交于B、C两点，求△BOC的面积。

[例4]如图3，边长为2的等边三角形OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，B 点位于第一象限。

将三角形OAB 绕点O 顺时针旋转30度后，点A 恰好落在双曲线y=xk (x>0)上。

1） 求双曲线y=xk (x>0)的解析式；2） 等边三角形OAB 继续按顺时针旋转多少度后，A 点再次落在双曲线上？[例5]如图4，圆O 的半径为1，圆心在坐标轴原点，点A 的坐标为（-2，0），点B 的坐标为（0，b ）（b>0）。

1）当b 为何值时，直线AB 与圆O 相离？相切？相交？ 2）当直线AB 与圆O 相切时，求直线AB 的解析式。

[例6]已知抛物线y=x 2-2x+m 与x 轴相交于A （x 1,0）、B （x 2,0）（x 2>x 1）。

1） 若点P （-1，2）在抛物线y=x 2-2x+m 上，求m 值。

2） 若抛物线y=ax 2+bx+c 与抛物线y=x 2-2x+m 关于y 轴对称，点Q 1（-2，q 1）、Q 2（-3，q 2）都在抛物线y=ax 2+bx+c 上，比较q 1与q 2的大小。

[例7]如图6，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 本别在x 轴、y 轴上，点A 的坐标为（0，3），点B 的坐标为（5，0），点E 是BC 边上的一个点，如把矩形AOBC 沿AE 翻折后，C 点恰好落在x 轴上点F 处。

专题 图形的轴对称、平移与旋转目录一、考情分析二、知识建构考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别题型02 与图形变化有关的作图问题题型03 几何图形的平移变化题型04 与函数图象有关的平移变化题型05 几何图形的折叠问题题型06 与函数图象有关的轴对称变化题型07 几何图形的旋转变化题型08 与函数图象有关的旋转变化题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题题型10 与图形变化有关的最值问题【核心提炼·查漏补缺】【好题必刷·强化落实】考点图形的轴对称、平移与旋转题型01 图形的识别平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．轴对称图形定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形.在判断一个图形是否为轴对称图形、中心对称图形时，要明确以下两点:1）如果能找到一条直线(对称轴)把一个图形分成两部分，且直线两旁的部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形;2）把一个平面图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原图形重合，那么这个图形就是中心对称图形.1．（2023·湖南郴州·中考真题）下列图形中，能由图形a通过平移得到的是（ ）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江大庆·中考真题）搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭于2023年5月30日成功发射升空，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名航天员开启“太空出差”之旅，展现了中国航天科技的新高度．下列图标中，其文字上方的图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2023·湖北荆州·中考真题）观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（ ）A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形4．（2022·宁夏·中考真题）如图，将三角尺直立举起靠近墙面，打开手机手电筒照射三角尺，在墙面上形成影子．则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换（）A．平移B．轴对称C．旋转D．位似题型02与图形变化有关的作图问题解决图形变化有关的作图问题方法：1）平移与旋转作图都应抓住两个要点:一是平移、旋转的方向；二是平移的距离及旋转的角度.2）基本的作图方法是先选取已知图形的几个关键点，再根据平移或旋转的性质作它们的对应点，然后以“局部带动整体”的思想方法作变换后的图形.3）无论是平移、轴对称与旋转，都不改变图形的大小和形状.1．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1),B (1,−2)，C(3,−3)．(1)将△ABC向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2．(3)将△A2B2C2着原点O顺时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．2．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；(2)将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；(3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．3．（2022·广西河池·中考真题）如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B （2，3），C（1，2）．(1)画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2:1，并写出点B2的坐标．题型03 几何图形的平移变化平移变换问题:分几何图形平移变换和函数图像平移变换. 平移是将一个图形沿某一方向移动一段距离，不会改变图形的大小和形状，只改变图形的位置.在图形的变化过程中，解决此类问题的方法很多，而关键在于解决问题的着眼点，从恰当的着眼点出发，再根据具体图形变换的特点确定其变化.1．（2023·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，菱形OABC的顶点A的坐标为(−2,0)，∠AOC=60°．将菱形OABC沿x轴向右平移1个单位长度，再沿y轴向下平移1个单位长度，得到菱形OA′B′C′，其中点B′的坐标为（）A．(−2,3−1)B．(−2,1)C．(−3,1)D．(−3,3−1)2．（2023·河南·中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M(4,0)的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1 C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC 绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为______个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α(0°<α<90°)，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在（2）的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．3．（2023·吉林·中考真题）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形其中判定的依据是__________．【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB<BC，FG≤BC），其中AB=EF，∠B=∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，且EF始终在边BC 上．当MD =MG 时，延长CD ，HG 交于点P ，得到图③．若四边形ECPH 的周长为40，sin ∠EFG =45（∠EFG 为锐角），则四边形ECPH 的面积为_________．4．（2023·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，菱形ABCD 的顶点A(3,0),B(0,1),D(23,1)，矩形EFGH 的顶点E 0,−3,0,(1)填空：如图①，点C 的坐标为________，点G 的坐标为________；(2)将矩形EFGH 沿水平方向向右平移，得到矩形E ′F ′G ′H ′，点E ，F ，G ，H 的对应点分别为E ′，F ′，G ′，H ′．设EE ′=t ，矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分的面积为S ．①如图②，当边E ′F ′与AB 相交于点M 、边G ′H ′与BC 相交于点N ，且矩形E ′F ′G ′H ′与菱形ABCD 重叠部分为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当233≤t ≤1134时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．题型04 与函数图象有关的平移变化1．（2023·湖南益阳·中考真题）我们在学习一次函数、二次函数图象的平移时知道：将一次函数y =2x 的图象向上平移1个单位得到y =2x +1的图象；将二次函数y =x 2+1的图象向左平移2个单位得到y =(x +2)2+1的图象．若将反比例函数y =6x 的图象向下平移3个单位，如图所示，则得到的图象对应的函数表达式是 ．2．（2023·山东青岛·中考真题）许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y 轴上，坐标原点O为伞骨OA，OB的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上，OA，OB关于y轴对称．OC=1分米，点A到x轴的距离是0.6分米，A，B两点之间的距离是4分米．(1)求抛物线的表达式；(2)分别延长AO，BO交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；(3)以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S1，将抛物线向右平移m(m>0)个单位，得到一条新S1，求m的值．抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为S2．若S2=35x2+bx−4的图像与x轴相交于点A(−2,0)、B，其顶点是3．（2023·江苏·中考真题）如图，二次函数y=12C．(1)b=_______；(2)D是第三象限抛物线上的一点，连接OD，tan∠AOD=5；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线经过2点D，过点(k,0)作x轴的垂线l．已知在l的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求k的取值范围；(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点Q，且其顶点P落在原抛物线上，连接PC、QC、PQ．已知△PCQ是直角三角形，求点P的坐标．4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，抛物线y1=ax2+bx+c的图象经过A(−6,0)，B(−2,0)，C(0,6)三点，且一次函数y=kx+6的图象经过点B．(1)求抛物线和一次函数的解析式．(2)点E，F为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点F的左侧．这样的E，F两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由．(3)将抛物线y1=ax2+bx+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线y2，此抛物线的图象与x轴交于M，N两点（M点在N点左侧）．点P是抛物线y2上的一个动点且在直线NC下方．已知点P的横坐标为m．过点P作PD有最大值，最大值是多少？PD⊥NC于点D．求m为何值时，CD+12题型05 几何图形的折叠问题【问题情境】如图1，小华将矩形纸片ABCD先沿对角线BD折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线BD上，点B的对应点记为B′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F.【活动猜想】（1）如图2，当点B′与点D重合时，四边形BEDF是哪种特殊的四边形？答：_________.【问题解决】（2）如图3，当AB=4，AD=8，BF=3时，求证：点A′，B′，C在同一条直线上.【深入探究】（3）如图4，当AB与BC满足什么关系时，始终有A′B′与对角线AC平行？请说明理由.（4）在（3）的情形下，设AC与BD，EF分别交于点O，P，试探究三条线段AP，B′D，EF之间满足的等量关系，并说明理由.2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图1，在▱ABCD纸片中，AB=10，AD=6，∠DAB=60°，点E为BC边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C′、D′，射线C′E与射线AD交于点F．(1)求证：AF=EF；(2)如图2，当EF⊥AF时，DF的长为______ ；(3)如图3，当CE=2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C′D′于点N，连接AN、EN，求△ANE的面积．3．（2023·辽宁大连·中考真题）综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；（2）如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．4．（2022·河南·中考真题）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．题型06 与函数图象有关的轴对称变化1．（2022·四川巴中·中考真题）函数y=|ax2+bx+c|(a>0,b2−4ac>0)的图象是由函数y=ax2+bx+c (a>0,b2−4ac>0)的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（）①2a+b=0；②c=3；③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．A．①②B．①③C．②③④D．①③④2．（2023·四川德阳·中考真题）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(−4,0)，B(2,0)，与y轴交于点C(0,−4)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，如果把抛物线x轴下方的部分沿x轴翻折180°，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象．当平面内的直线y=kx+6与新图象有三个公共点时，求k的值；(3)如图2，如果把直线AB沿y轴向上平移至经过点D，与抛物线的交点分别是E，F，直线BC交EF于点H，过=25．求点F的坐标．点F作FG⊥CH于点G，若DFHG3．（2023·山东日照·中考真题）在平面直角坐标系xOy内，抛物线y=−ax2+5ax+2(a>0)交y轴于点C，过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D．(1)求点C，D的坐标；(2)当a=1时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线AD上方抛物线上3一点，将直线PD沿直线AD翻折，交x轴于点M(4,0)，求点P的坐标；(3)坐标平面内有两点+1,F(5,a+1)，以线段EF为边向上作正方形EFGH．①若a=1，求正方形EFGH的边与抛物线的所有交点坐标；②当正方形EFGH的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为5时，求a的值．24．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=ax2+bx−3经过点B(6,0)和点D(4,−3)与x轴另一个交点A．抛物线与y轴交于点C，作直线AD．(1)①求抛物线的函数表达式②并直接写出直线AD的函数表达式．(2)点E是直线AD下方抛物线上一点，连接BE交AD于点F，连接BD，DE，△BDF的面积记为S1，△DEF 的面积记为S2，当S1=2S2时，求点E的坐标；(3)点G为抛物线的顶点，将抛物线图象中x轴下方部分沿x轴向上翻折，与抛物线剩下部分组成新的曲线为C1，点C的对应点C′，点G的对应点G′，将曲线C1，沿y轴向下平移n个单位长度（0<n<6）．曲线C1与直线BC的公共点中，选两个公共点作点P和点Q，若四边形C′G′QP是平行四边形，直接写出P的坐标．题型07几何图形的旋转变化旋转变换问题:分为几何图形旋转变换和与函数图象有关的旋转变化.在实际解题中，若我们能恰当地运用图形的旋转变换，往往能起到集中条件、开阔思路、化难为易的效果，图形的旋转变换，既要借助于推理，但更要借助于直觉和观察，变换的意识与变换的视角，会使这种直觉更敏锐，使这种观察更具眼力. 1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN 始终与正方形的边AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN．【探究一】如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到点H在直线AB上．求证：∠CNM=∠CNH；【探究二】在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F．求证：△CEF∽△CNM；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD与三角尺45°角两边CM，CN分别交于点E，F．连接AC 的值．交BD于点O，求EFNM2．（2023·湖南·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，D为AB上的一点，过点D作BC的平行线DE交AC于点E，点P是线段DE上的动点（点P不与D、E重合）．将△ABP绕点A逆时针方向旋转60°，得到△ACQ，连接EQ、PQ,PQ交AC于F．(1)证明：在点P的运动过程中，总有∠PEQ=120°．(2)当AP为何值时，△AQF是直角三角形？DP3．（2022·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的内部，连接AD，将线段AD 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AE，连接BD，DE，CE．(1)判断线段BD 与CE 的数量关系并给出证明；(2)延长ED 交直线BC 于点F ．①如图2，当点F 与点B 重合时，直接用等式表示线段AE ，BE 和CE 的数量关系为_______；②如图3，当点F 为线段BC 中点，且ED ＝EC 时，猜想∠BAD 的度数，并说明理由．题型08 与函数图象有关的旋转变化1．（2021·青海西宁·中考真题）如图，正比例函数y =12x 与反比例函数y =k x (x >0)的图象交于点A ，AB ⊥x 轴于点B ，延长AB 至点C ，连接OC ．若cos ∠BOC =23，OC =3．（1）求OB 的长和反比例函数的解析式；（2）将△AOB 绕点О旋转90°，请直接写出旋转后点A 的对应点A '的坐标．2．（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为A(1,4)，且与x 轴交于点B(−1,0)．(1)求二次函数的表达式；(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点P(m,0)旋转180°，此时点A、B的对应点分别为点C、D．①连结AB、BC、CD、DA，当四边形ABCD为矩形时，求m的值；②在①的条件下，若点M是直线x=m上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．x2+bx+c的图象经过点A(0,2)，3．（2023·辽宁沈阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=13与x轴的交点为点B(3,0)和点C．(1)求这个二次函数的表达式；(2)点E，G在y轴正半轴上，OG=2OE，点D在线段OC上，OD=3OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE=a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F 按顺时针方向旋转α(0°<α≤180°)后得到△G′FH′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′4．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在平而直角坐标系中，二次函数y=−3x2+23x的图象与x轴分别交于点O,A，顶点为B．连接OB,AB，将线段AB绕点A按顺时针方向旋转60°得到线段AC，连接BC．点D,E分别在线段OB,BC上，连接AD,DE,EA,DE与AB交于点F,∠DEA=60°．(1)求点A,B的坐标；(2)随着点E在线段BC上运动．①∠EDA的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，△BDE 的面积为 ．题型09 利用平移、轴对称、旋转的性质解决多结论问题1．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，把一个边长为5的菱形ABCD 沿着直线DE 折叠，使点C 与AB 延长线上的点Q 重合．DE 交BC 于点F ，交AB 延长线于点E ．DQ 交BC 于点P ，DM ⊥AB 于点M ，AM =4，则下列结论，①DQ =EQ ，②BQ =3，③BP =158，④BD ∥FQ ．正确的是（ ）A ．①②③B ．②④C ．①③④D ．①②③④2．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC =∠DAE =90°，点D 是BC 边上的动点（不与点B 、C 重合），DE 与AC 交于点F ，连结CE ．下列结论：①BD =CE ；②∠DAC =∠CED ；③若BD =2CD ，则CF AF =45；④在△ABC 内存在唯一一点P ，使得PA +PB +PC 的值最小，若点D 在AP 的延长线上，且AP 的长为2，则CE =2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④3．（2022·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD 为正方形，将△EDC 绕点C 逆时针旋转90°至△HBC ，点D ，B ，H 在同一直线上，HE 与AB 交于点G ，延长HE 与CD 的延长线交于点F ，HB =2，HG =3．以下结论：①∠EDC =135°；②EC 2=CD ⋅CF ；③HG =EF ；④sin ∠CED =23．其中正确结论的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2023·山东日照·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：①EM=EN；；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所②四边形MBND的面积不变；③当AM:MD=1:2时，S△MPE=9625有正确结论的序号是．题型10 与图形变化有关的最值问题1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB=10，AD=42，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC．点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME ∥DN，则AM+ME的最小值是（）A．23B．3C．32D．422．（2023·湖北十堰·中考真题）在某次数学探究活动中，小明将一张斜边为4的等腰直角三角形ABC(∠A=90°)硬纸片剪切成如图所示的四块（其中D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，G，H分别为DE，BF的中点），小明将这四块纸片重新组合拼成四边形（相互不重叠，不留空隙），则所能拼成的四边形中周长的最小值为，最大值为．3．（2023·黑龙江绥化·中考真题）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点E为高BD上的动点．连接CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到CF．连接AF，EF，DF，则△CDF周长的最小值是．4．（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB 的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°（如图2），求MN的长．5．（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A′P′C，连接PP′，由PC =P ′C ，∠PCP ′=60°，可知△PCP ′为 ① 三角形，故PP ′=PC ，又P ′A ′=PA ，故PA +PB +PC =PA ′+PB +PP ′≥A ′B ，由 ② 可知，当B ，P ，P ′，A 在同一条直线上时，PA +PB +PC 取最小值，如图2，最小值为A ′B ，此时的P 点为该三角形的“费马点”，且有∠APC =∠BPC =∠APB = ③ ；已知当△ABC 有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC ≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．(2)如图4，在△ABC 中，三个内角均小于120°，且AC =3，BC =4，∠ACB =30°，已知点P 为△ABC 的“费马点”，求PA +PB +PC 的值；(3)如图5，设村庄A ，B ，C 的连线构成一个三角形，且已知AC =4km ，BC =23km ，∠ACB =60°．现欲建一中转站P 沿直线向A ，B ，C 三个村庄铺设电缆，已知由中转站P 到村庄A ，B ，C 的铺设成本分别为a 元/km ，a 元/km ，2a 元/km ，选取合适的P 的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a 的式子表示）轴对称与轴对称图形定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.区别1）轴对称是指两个图形折叠重合.2）轴对称对称点在两个图形上.3）轴对称只有一条对称轴.1）轴对称图形是指本身折叠重合.2）轴对称图形对称点在一个图形上.3）轴对称图形至少有一条对称轴.联系1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合.2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称.性质1）关于某条直线对称的两个图形是全等形.2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.判定1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称.2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线.常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等.这个点叫做它的对称中心.区别中心对称是指两个图形的关系中心对称图形是指具有某种特性的一个图形联系两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称.中心对称的性质：1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；2）中心对称的两个图形是全等图形.找对称中心的方法和步骤：方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离．平移的性质：1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等.2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等.3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离.旋转的三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．旋转的性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．1. 图形的旋转由旋转中心、旋转方向与旋转的角度所决定.2. 旋转中心可以是图形外的一点，也可以是图形上的一点，还可以是图形内的一点.3. 对应点之间的运动轨迹是一段圆弧，对应点到旋转中心的线段就是这段圆弧所在圆的半径.4. 旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．一、单选题1．（2023·山西吕梁·模拟预测）在我国“福禄寿喜”一般是指对人的祝福，代表健康长命幸福快活和吉祥如。

第五讲平移、旋转、翻折热点规律透视：1. 平移和旋转是两种全等的几何变换。

平移过程中，整体与任一部分的变换规律完全一致；旋转过程中也遵循这个规则；2. 翻折问题与轴对称图形有着紧密的内在联系。

（1）一个图形翻折成另一个图形，则这个图形翻折的部分翻折前后全等；（2）一个图形中的一个点绕着一条直线旋转180°与另一个点重合，则这条直线是这两个点连线的中垂线。

3. 这些几何变换有一个共同点：变换前后的图形全等。

实践应用：1.（2013•广安）将点A（﹣1，2）沿x轴向右平移3个单位长度，再沿y轴向下平移4个长度单位后得到点A′的坐标为．2.（2013宜宾）如图，将面积为5的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为．3.（2013•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °．4. （2013•牡丹江）如图，△ABO中，AB⊥OB，OB=，AB=1，把△ABO绕点O旋转150°后得到△A1B1O，则点A1的坐标为（）A．（﹣1，）B．（﹣1，）或（﹣2，0）C．（，﹣1）或（0，﹣2）D．（，﹣1）5.（2013•巴中）如图：（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（直接写出结果）6.（2013娄底）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含︒60角的直角三角板ABC 与AFE 按如图（1）所示位置放置放置，现将AEF t △R 绕A 点按逆时针方向旋转角()︒<<︒900αα，如图（2），AE 与BC 交于点M ，AC 与EF 交于点N ，BC 与EF 交于点P .（1）求证：AN AM =； （2）当旋转角︒=30α时， 四边形ABPE 是什么样的特殊四边形？并说明理由.7.（2013•襄阳）如图1，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形． （1）连结BE ，CD ，求证：BE=CD ；（2）如图2，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 度时，边AD′落在AE 上；②在①的条件下，延长DD’交CE 于点P ，连接BD′，CD′．当线段AB 、AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．8.（2013•遵义）如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N ． （1）求证：CM=CN ；（2）求证：四边形AMCN 是菱形；（3）若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3：1，求的值．9. 如图，平面直角坐标系中有一个边长为2的 正方形AOBC ，M 为OB 的中点，将△AOM 沿直线AM 对折，使O 点落在'O 处，连结'OO ，过'O 点作OB N O '于N .（1）写出点A 、B 、C 的坐标；（2）判断△AOM 与△'ONO 是否相似，若是，请给出证明； （3）求'O 点的坐标.10.已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到图3的位置时，直接写出线段BM、DN和MN之间的数量关系.FECBAB'C'1.(2013河南省)如图，矩形ABCD中，3,4AB BC==,点E是BC边上一点，连接AE，把B∠沿AE折叠，使点B落在点'B处，当△'CEB为直角三角形时，BE的长为2.（2013•常州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O 的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC= °，∠A′BC= °，OA+OB+OC= ．3.如图，Rt△AB C 是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E，CC 的延长线交BB 于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；（2）设∠ABC=α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．4. 正方形ABCD中，点E、F分别是边AD、AB的中点，连接EF.（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为：；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转900，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系.。