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n r f x f y f z 0
x y z
9
3) 虚位移与实位移区别与联系
1）真实位移： dri ri (t dt) ri (t)
其和中 约束ri 方必程须同时满f (t足, ri运, ri动)。微0 分方程及初始条件，
2）可能位移：
FA
A
PA
FA
A
C FC
21
光滑铰链
固定铰链支座
A
球铰支座约束
圆柱铰链
C
• 蝶形铰链约束
A
B
22
3. 虚功
定义 质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功称为虚功
W
F
r
23
ri
ri (t dt) ri (t)
其中
ri
只须满足约束方程
f
(t,
ri
,
ri
)
0
，而
不必满足运动定律及初始条件。
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由定义知：真实位移是可能位移之一。 真实位
移是唯一的，可能位移有无穷多个。
Pi
dri
Pi
ri1 ri 2 ri 3
Fi
Fi
• 若约束球面的半径随时间匀速增加，
即
R R0 vt
则约束方程为：
R+vt
x2 y2 z2 (R vt)2 0
17
举例4:滑块
稳定几何约束条件下，无限小的实位移是虚位移之一
18
2. 理想约束
1)定义 约束反力在质点系的任何虚位移中所作元功之和等于零,这
种约束称为理想约束.
r 图中质点M有一虚位移
，其坐标 由（x,y,z）变为（x+δx，
y+δy，z+δz）
有虚位移后，质点的坐标仍
满足约束方程
f （x+δx，y+δy，z+δz） =0
将上式泰勒展开，舍去高 于1阶的高阶微量后
f （x+δx，y+δy，z+δz） =
f (x, y, z) f x f y f z
FNi
质点mi 的合约束反力
ri
质点的虚位移
理想约束条件
FNi
ri
0
19
2)常见的理想约束
支持刚体的固定点
刚性杆
y A
M
不可伸长的绳 O
光滑面（曲线）约束
光滑铰链
x
B
A P
20
光滑面约束
固定平面 固定曲面
齿轮的齿面
PA
A 的分析方法来求解呢？
杠杆
平衡条件：
F1a F2b 0 （a）
——— 微小角度
s atg 1
s btg 2 4
由于在新的位置系统仍然平衡
F1S1 F2S2 0
（b）
条件（a）和条件（b）是等价的
杠杆的平衡条件可用作用力在平衡附近的微小位移中所 作的功来建立。
虚功原理 ~
西霞院反调节水库
1
教学要求：
• 教学目标： • 对理想约束和虚位移有清晰的认识，并会计算虚位移。 • 能正确地运用虚位移原理求解物体系的平衡问题。 • 对广义力和广义坐标形式的虚位移有初步的理解，并会
计算广义力。 • 本节重点： • 虚位移、理想约束的概念，应用虚位移原理求解物体系
的平衡问题。 • 本节难点： • 广义力的概念，广义坐标形式的虚位移原理。
请问，对于一般的非自由 质点系是否能写出类似的平衡 条 件呢？答案是肯定的。
6
二. 基本概念
1. 虚位移
1)虚位移定义 某瞬时，质点系在约束所允许的条件下，
可能实现的任何无限小的位移。
T平面----过M点的切面
该瞬时虚位移 r
切面上过M点的任何无限小位移
受固定曲面S约束的质点M
7
2)虚位移与约束关系
5
由此可见，物体的平衡条件，不仅可以通过外力矢量和为0和外 力矩矢量和为0判定，还可以通过位移、做功概念来表述，即判
断一个状态是否平衡可以通过在这个状态附近一个可能发生的过
程中外力的功的特征来判定。
平衡条件： F mg sin 0 （a）
设想平衡附近的微小位移，再次平衡
Fs mg sins 0 （b）
x y z
f x f y f z 0
x y z
8
用n表示曲面f （x，y，z） =0
在（x,y,z）点处的单位法向矢量
n
f C(
i
f
j
f
k)
r
x
y
xi yj zk
z
虚位移如何反映了约束的几何性质： 虚位移r垂直于曲面上该点处的法线， 也就是说虚位移r必在通过该点的曲 面的切平面上。
俯视图
俯视图
11
3）约束对可能位移（真实位移）的限制：
设质系受到几何约束
和微分约束
N a i (t, ri
)
f (t, ri vi a
) 0, 0,
i1
1,2,..., l 1,2,...,s
几何约束对可能位移的限制方程为
N
f
i1 ri
ri
f t
t
0,
1,2,..., l
微分约束对可能位移的限制方程为
N
a i (t, ri ) ri a t 0, 1,2,...,s
i1
12
4）虚位移：满足下面齐次线性方程的ri 的集合。
N
f
i1 ri
ri
2
一. 问题的提出 二. 基本概念
本
1. 虚位移
节 主 要
1)虚位移定义 2)虚位移与约束关系 3) 虚位移与实位移区别与联系 4)举例
2. 理想约束
内 容
1)理想约束定义 2) 常见的理想约束
3.虚功
三. 虚功原理
1.虚功原理表述
2.虚功原理证明
3. 广义坐标中的虚功原理
4.虚功原理的应用
3
一. 问题的提出
与约束、所受力及运动情况有关
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4)举例
举例1:单摆
该瞬时摆锤虚位移 r 沿 AA1或AA2方向的任何无限小位移
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举例2:斜面
dr r
真实位移不仅与约束有关，还与运动、受力有关
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举例3:汽球 R
在半径为R的球面上质点运动，r-R=0 若取直角坐标系，则写为 x2+ y2 + z2 - R2=0
0,
1,2,..., l
N a
i
(t,
ri
)
ri
0,
1,2,...,s
i1
一种等价定义：虚位移是任何两个可能位移之差。
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虚位移与实位移区别与联系总结
虚位移
x r
无限小的位移 有多种不同方向 仅与约束有关
实位移
dx dr
无限小或有限位移 有确定的方向
