《例5 航海――方位角》教学设计(辽宁省县级优课)

28.2.3 用解直角三角形解方位角、坡角的应用学案一、新课导入1.课题导入情景：如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？问题：怎样由方向角确定三角形的内角？2.学习目标（1）能根据方向角画出相对应的图形，会用解直角三角形的知识解决方位问题.（2）知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三角形的知识解决与坡度相关的实际问题.3.学习重、难点重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题.难点：将实际问题转化为数学问题（即数学建模）.教学过程：问题引入(2007南充)如图：一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C地,则A,C两地的距离为____二、探究例、(2006贵州)如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？练习：1.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60°方向上，航行12海里到达D 点，这时测得小岛A 在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？2.一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A 与他正东方向的亭子B 之间的距离，如图他们选择了与码头A 、亭子B 在同一水平面上的点P ，在点P 处测得码头A 位于点P 北偏西30°方向，亭子B 位于点P 北偏东43°方向；又测得P 与码头A 之间的距离为200米，请你使用以上数据求出A 与B 的距离。

3.为建设山水园林式城市，内江市正在对城区河段实行区域性景观打造.如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B,C.在点B 处测得点A 在北偏东30度方向上，在C 点处测得点A 在西北方向上，量得BC 长为200米.请你求出该河段的宽度（结果保留根号）.A4.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的B 处，这时，海轮所在的B 处距离灯塔P 有多远？ （精确到0.01海里）三、评价1.学生自我评价：在这节课的学习中你有哪些收获？掌握了哪些解题技巧和方法？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的主动性、小组交流协作情况、解题方法的掌握情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.65° 34°PBCA 803.教师的自我评价（教学反思）.本课时应先认知“方向角”“坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅助线，构建直角三角形.然后结合解直角三角形的相关知识加以解答，层层展开，步步深入.评价作业一、基础巩固（70分）1.(10分)已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（D）A.南偏东50°B.南偏东40°C.北偏东50°D.北偏东40°2.(10分)如图，某村准备在坡度为i=1∶1.5的斜坡上栽树，要求相邻两棵树根号）4.(20分)为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为1∶1.5，计算斜坡AB的长度(结果取整数).5.(20分)一轮船原在A处，它的北偏东45°方向上有一灯塔P，轮船沿着北偏西30°方向航行4 h到达B处，这时灯塔P正好在轮船的正东方向上.已知轮船的航速为25 n mile/h，求轮船在B处时与灯塔的距离（结果可保留根号）.解：过点A作AC⊥BP于点C.由题意知：∠BAC=30°,∠CAP=45°,AB=25×4=100.二、综合应用（20分）6.(20分)某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据计算AC,BD和AB的长度（结果保留小数点后两位）.解：如图所示，在Rt△BDE中，BE=5.00，∠DBE=30°,三、拓展延伸（10分）7.(10分)海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为162 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°方向上,且A，P之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航行,轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明.若有危险,轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向航行,才能安全通过这个海域?假设轮船沿东偏南α恰好能安全通过，此时航线AC与⊙P相切，即PC⊥AC.∴轮船自A处开始至少沿东偏南15度方向航行,才能安全通过这个海域.。

人教版数学九年级下册《例5 航海——方位角》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级下册《例5 航海——方位角》这一节主要介绍了方位角的概念及其应用。

通过本节课的学习，使学生理解方位角的含义，掌握方位角的计算方法，并能够运用方位角解决实际问题。

教材通过生动的航海实例，引导学生探究方位角，激发学生的学习兴趣，培养学生解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的变换、计算已经有一定的基础。

但是，对于方位角这个概念，他们可能比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过生动的实例，让学生感受方位角在实际生活中的应用，从而激发他们的学习兴趣。

同时，由于九年级的学生即将面临中考，他们的学习压力较大，因此在教学过程中，需要注重知识的巩固和拓展，提高他们的学习效果。

三. 教学目标1.理解方位角的概念，掌握方位角的计算方法。

2.能够运用方位角解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、思考能力和解决实际问题的能力。

四. 教学重难点1.方位角的概念。

2.方位角的计算方法。

3.方位角在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过生动的航海实例，引导学生探究方位角的概念和计算方法。

2.使用多媒体教学，展示航海图和实际问题，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中解决问题，提高他们的合作能力。

4.注重知识的巩固和拓展，通过大量的练习，提高学生的解题能力。

六. 教学准备1.准备相关的航海资料和图片，用于导入和展示。

2.准备方位角的计算练习题，用于巩固知识。

3.准备多媒体教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示航海图和实际的航海实例，引导学生思考航海中如何确定方向。

让学生感受到方位角在航海中的重要性，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解方位角的概念，通过示例，让学生理解方位角的含义。

然后，介绍方位角的计算方法，让学生掌握如何计算方位角。

28.2解直角三角形（第二课时）一、内容与内容解析1.内容利用解直角三角形解决实际问题2.内容解析本节是在学习锐角三角形之后，结合已学过的勾股定理，研究解直角三角形的问题。

本课内容既能加深对锐角三角形函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到了承上启下的作用。

本节课的教学重点是：解直角三角形二、目标和目标解析1.目标（1）了解解直角三角形的意义和条件（2）能根据直角三角形中除直角以外的两个元素（至少有一个是边），解直角三角形。

2.目达成目标（1）的标志是：知道解直角三角形的内涵，以及根据直角三角形中已知元素，明确所有要求的未知元素；根据已知条件，能从全等三角形判定定理的角度，判断是否能解直角三角形。

达成目标（2）的标志是：根据元素间的关系，选择适当的直角三角形，求出所有未知元素。

三、教学问题诊断分析在直角三角形的边角关系中，三边之间的关系、两锐角之间的关系比较直接，而两边的比与一个锐角的关系，虽然通过锐角三角函数概念的学习，学生有了一定的基础，但在具体的直角三角形中，根据已知条件选择恰当的锐角三角函数，还是有些困难，易混淆，也易出错。

另外，解直角三角形往往需综合使用勾股定理、锐角三角函数等知识，具有一定的综合性。

本节课的教学难点是：恰当选择锐角三角函数，把已知和未知联系起来。

四、教学过程设计1、温故知新问题1先画图后求解。

一艘货轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿着正南方向航行，另一艘货轮从P点出发，沿着南偏东30°的方向。

两艘货轮在B点相遇，问AB两点之间的距离是多少？师生活动：教师用视频演示作图过程，学生利用勾股定理解决两点间的距离问题。

设计意图：通过作图，让学生体会确定方位角的过程，让学生能直观地感知角度的变化。

追问1：是否有其他方法？设计意图：提出问题，引发学生思考，明确学习内容，引导学生把注意力聚焦在思考利用直角三角形解决实际问题。

《28.2.2解直角三角的应用——方向角》教学设计
一、教材分析
本节课在前面研究了解直角三角形的方法，通过例3、例4介绍了利用直角三角形中余弦、正切关系解决有关测量、建筑等方面的实际问题的基础上，结合“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题介绍解直角三角形的理论在实际中的应用，进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具，在思想和方法上是提升．
二、学情分析
本节内容的难点是实际问题转化成数学模型，学生学习是有一定难度的。

三、教学目标
1．了解方向角的命名特点，能准确指出方向角，将实际问题转化解直角三角形的问题，选择适当的锐角三角函数解决方向角问题。

2.体会“数学建模”和“数形结合”的思想，培养学生分析问题和解决问题的能力。

3、经历实践—理论—实践的认识过程，激发学生学习兴趣，培养学生用数学的意识。

教学重点
恰当运用锐角三角函数解决方向角问题。

教学难点
学会准确分析问题并将实际问题转化为数学模型。

四、教学过程
(一)温故知新
解直角三角形的依据有哪些？
(1)三边之间关系
(2)锐角之间关系
(3)边角之间关系
（二）新课引入
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线.
东
北
西北方向 北偏东65度。

28.2.2 解直角三角形应用举例—航海问题教学目标：知识与技能：1、使学生了解方位角的特征，能准确表示出方位角。

2、巩固用三角函数及勾股定理有关知识解决实际问题，学会用方位角解决航海问题．过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，体会解决问题的思维过程。

情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．学会合作探究，提高学生的学习数学的兴趣。

教学重点、难点重点：用三角函数及勾股定理有关知识解决航海问题难点：学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型教学过程：一、复习旧知、引入新课【复习】1、创设情境，引入航海问题。

2回顾什么叫做解直角三角形？如何解直角三角形？3、回顾方位角。

二、探索新知、分类应用【活动一】例1如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东600方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东300方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）方法小结：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题；（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）（2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数或勾股定理解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）检验是否符合题意，得到实际问题的答案。

【探究活动二】思考1、一艘船自西向东航行，航行到什么位置时离小岛最近？为什么？垂线段最短思考2、船有触礁的危险吗？茫茫大海中有一个小岛A,该岛四周16海里内有暗礁.今有货船由东向西航行,开始在距A岛30海里南偏东600的B处。

货船继续向西航行途中会有触礁的危险吗?这个问题归结为:在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求出AC的长与16比较大小。

【探究活动三】例2 海中有一个小岛A，它周围8千米内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东600方向上，航行12千米到达C点，这时测得小岛A 在北偏东300方向上。

28.2.2解直角三角形的应用举例（三）——《航海方位角》教学设计教学内容：人教版九年级数学下册28.2.2解直角三角形的应用举例，P76页例5。

教学目标：例5是解直角三角形的方法在解决航海问题中的应用，《课程标准》对其要求是：1、弄清“北偏东”、“南偏东”等确定方位的常用术语；2、根据题意，画出示意图；3、利用解直角三角形的知识解答相关问题。

在此基础上，我对本节教学内容还制定了如下目标：数学怡情：结合郑和下西洋的历史适度实行学科融合，充分发挥每一份教育资源的作用，利用数学情境的艺术性、数学活动的探索性和创造性，感悟数学与生活之美、体验思维成长之乐；水平发展：提升数学建模水平，能将实际问题准确转化为数学符号及语言，并在观察、类比、猜想、分析、验证、归纳、应用、拓展等过程中，提升自身发掘知识、概括知识和应用知识的水平；面向未来：“授人以鱼不如授人以渔”，借助知识的形成过程，感受并学习数学应用于实践的方法，为今后更好的将数学应用于生活奠定基础。

教学重点：利用解直角三角形的方法解决航海问题中的应用。

教学难点：1、画示意图；2、结合条件和问题构造直角三角形。

教学支持：多媒体、几何画板。

流程创意：借郑和下西洋的行程串引教学内容，单线层层递进。

教学过程设计：环节一知识的孕育导学语：提到航海，咱们中国历史上有一位著名的航海家，他是郑和，我们通过短片先了解一下这段历史。

历史导学：多媒体播放郑和下西洋相关史料，时长约1分钟；过渡语：这节课，我们就随着郑和下西洋的航程，看看解直角三角形在航海方位角问题中如何应用。

首先，我们做一下准备工作--回顾方位角的相关知识。

环节二知识的回顾1、方位角概念。

（形式：多媒体播放）2、方位角作图：（形式：学生动手作图）作图计算 已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西40°，外婆家到学校与到小明家的距离相等，则学校在小明家的________。

教学活动方式：学生先动手作图，然后点学生依次回答作图步骤，课件依次动画演示作图。

28.2解直角三角形（4）——方位角问题教学目标1.使学生了解方位角的概念，能根据直角三角形的知识解决航海中的相关测量问题，会把实际问题转化为数学问题来解决.2.通过本节的教学，进一步把形和数结合起来，提升学生分析问题、解决实际问题的水平.3.通过本节课的学习，进一步增强转化、化归的水平，及应用数学的意识.教学重难点重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归纳为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题.难点：画出示意图并寻找适当的边角关系快捷解题.教学准备多媒体课件教学过程一、回顾旧知我们上节课已经归纳过利用解直角三角形来解决实际问题的基本步骤.谁能结合实例谈谈主要步骤是怎样的？其中你认为关键的步骤是什么？最难的又是哪一点？今天这节课我们将继续探索实际问题中的位置和数量关系，进一步学习利用解直角三角形来解决某些特定的实际问题.二、问题（教材76页例5）解题之前结合示意图讲清楚方位角的意义.多媒体出示例5.例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？1.引导学生先读题，并回答：（1）你读取到了哪些信息？请将文字信息转化成数学信息，结合图形表述出来.（2）题目中哪些量是已知的，哪些量是未知的？（3）你认为哪些是解决问题的关键条件？需要添加别的条件吗，比如辅助线？（4）由这些关键条件，你找到未知量与已知量之间的关系了吗？你认为能够怎样求解？2.师生共同解决问题，教师示范过程的书写.此题需添加辅助线，并解决两个直角三角形方可得到准确答案，应注意规范书写.三、随堂练习教材77页练习1、2.四、梳理知识1.你对航海问题中距离的测量有哪些理解？你认为解决此类问题的关键是什么？2.“斜坡问题”中你认为有哪些需注意的地方？3.谈谈你对这个节“解直角三角形”学习的理解.五、布置作业1. 教材78页习题28.2第3、5、8、题.2. 选做题：习题28.2第9题.备选题：（1）如图，△ABC 中,∠A=30°,32,23t a n ==AC B ,则AB= .（2）如图，在测量塔高AB 时，选择与塔底在同一水平面的同一直线上的C 和D 两点，用测角仪器测得塔顶A 的仰角分别是30°和60°.已知测角仪器高CE=1.5 m ，CD=30 m ，求塔高AB.（答案保留根号）。

人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》28.2 解直角三角形教学设计教学目标：1、知识与技能熟练使用直角三角形的三边关系，锐角三角函数的基本知识，将实际问题转化为求解直角三角形问题。

通过观察、思考、实践、交流等数学活动，让学生在实际应用中将实际问题转化为求解直角三角形问题。

3、情感态度与价值观通过小组交流，讨论学习，增强同学们的合作意识，培养积极向上的团队精神；通过观察、欣赏，通过对实际问题的转化，让学生体验生活中处处有数学，生活离不开数学。

教学重点：解直角三角形教学难点：应用锐角三角函数解直角三角形教学工具：多媒体教学课件教学课时：4课时教学过程：一、回顾解直角三角形的依据（1）三边之间的关系222c b a =+ （2）两锐角之间的关系∠A ＋∠B ＝90° （3）边角之间的关系正弦 c aA sinA =∠=斜边的对边余弦 c bA cos =∠=斜边的邻边A正切 baA A tan =∠∠=的邻边的对边A教师活动：引导学生回顾上节所学解直角三角形的要素，求解问题。

学生活动：通过解直角三角形，熟悉解直角三角形的一般步骤。

二、应用1.一个钢球沿坡角31 °的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是(单位：米)（ ）A. 5cos31 °B.5sin31 °C. 5tan31 °D. 5cot31 °2.如图：在Rt △ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,已知CD=2,AC=3.则sinB=_____.3105米ABCD学生活动：通过教师的引导，实际问题转化为解直角三角形，找到问题的突破口，求解问题。

基本概念在解直角三角形及应用时经常接触到的一些概念 （1）仰角和俯角：（2）方位角：教师活动：给学生讲解仰角和俯角以及方位角的概念，使学生在后面的问题中能熟练使用。

应用3.如图：一艘轮船由海平面上A 地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B 地,再由B 地向北偏西200的方向行驶40海里到达水平线铅垂线仰角 俯角 视线视线30°45° BO A 东西 北 南C 地,则A,C 两地的距离为________。

教案课题：解直角三角形的应用举例航海——方位角一、教学目标1、知识与技能：能运用解直角三角形解决航行——方位角问题；2、过程与方法：培养学生分析问题、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想和方法二、教学重、难点1、重点：能应用解直角三角形的知识解决航海——方位角的实际问题；2、难点：能应用解直角三角形的知识解决航海——方位角的实际问题；三、学法与教法1、学法：学生采用分组合作、探究、归纳与总结的学习方法；2、教法：导引学生对问题进行分析，找出问题的关键，寻求解决问题的方法；四、课时安排1课时五、授课类型新课六、教学过程（一）自学反馈引入新知1、什么叫解直角三角形2、什么叫方向角设计意图：通过引导学生回顾所学知，加深学生对所学知识的印象，也为学习新知识打下基础，从而引入新课。

（二）合作探索例5如图，一艘海轮位于灯塔ile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，B处距离灯塔P有多远解：如图，在R t△APC中，PC=PA﹒cos90°-65°=80×cos25°≈在R t△APC中，∠B=34°,)(13034sin 505.72sin ,sin mile n B PC PB PB PC B ≈==∴=因此，当海轮到达位于灯塔P 的南偏东34°方向时，它距离灯塔P 大约130海里。

设计意图：通过设计例题，引导学生去分析问题、解决问题，让学生通过例题的讲解，在解题的思路中有解直角三角形解决航海——方向角的实际问题的思维能力。

（三）中考链接（2022贵州铜仁市，22，10分）如图，一艘轮船航行到B 处，测得小岛A 在船的北偏东60°的方向，轮船从B 处继续向正东方向航行到200海里到达C 处时，测得小岛A 在船的北偏东30°的方向，已知小岛170海里内有暗礁，若轮船不改变航向继续向前行驶，试问轮船有无触礁的危险（732.13≈ ）设计意图：让学生会学以致用，并将所学习的知识渗透到中考中，让学生对中考中本知识点有一点的了解。