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第2课时-定理与证明PPT精品课件

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北师版数学八年级上册第2课时 与三角形外角有关的定理课件

北师版数学八年级上册第2课时 与三角形外角有关的定理课件

2 ∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB、PC. 求证：∠BPC > ∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）
∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于
任何一个和它不相邻的内角）
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°
1. 若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个
三角形是（ C ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2. 判断对错.
① 三角形的一个外角等于两个内角的和。（×） ② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。（√ ） ③ 三角形的一个外角大于任何一个内角。（ × ） ④ 三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角。（√ ）
定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
A
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
2
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
3 41
B
C
D
证明：∵ ∠4 +∠2+ ∠3=180°
（三角形内角和定理）
A
∴ ∠2+ ∠3= 180°-∠4（等式的性质）
2
∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)
3. 如图所示，在△ABC 中，E、F 分别 在AB、AC上，则下列各式不能成立
的是（ ）C
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A B.∠2=∠5-∠A C.∠5=∠1+∠4 D.∠1=∠ABC+∠4
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件

人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件


2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
318.45.北师大版八年级数学上册7.2 第2课时 定理与证明(课件)

318.45.北师大版八年级数学上册7.2 第2课时 定理与证明(课件)


香 。 雪 入 窗 ， 今
苍 茫 ， 罂 粟 纷 纷
不 若 笑 醉 一 回 。
一 杯 ？ 前 尘 旧 梦
繁 华 ， 怎 敌 我 浊
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
开离留去不念倾一为夜 古
始，不别成，了丝何静 去，终下离双道天纠泪谧 ；陌是相相，是涯缠悄，
路缠思思抹相的，落佳
韵 风 味
梦明
国 落 月
花， 间 。
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生 茫 茫 。
只 叹 伊 人 已 去 ，
雪 ， 茫 然 又 一 岁
举 杯 独 醉 ， 饮 罢
如 流 年 负 了 青 春
怅 泪 溶 了 雪 ，
月 光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮 一
弹 指 雪 花 ？ 谁 痴
无 月 亦 无 殇 。 谁
想一想：说明一个命题是假命题，通常举出一个例子就可以了， 使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例。 如何证实一个命题是真命题呢？
读一读
在数学发展史上，数学家们也遇到过类 似的问题。公元前3世纪，人们已经积累了 大量知识，在此基础上，古希腊数学家 欧几里得（公元前300前后）编写了一本书， 书名叫《原本》，为了说明每一结论的正确性，他在 编写这本 书时进行了大胆创新，挑选了一部分数学名词和一部分公认的真 命题作为证实其他命题的起始依据，其中的数学名词称为原名， 公认的真命题称为公理，除了公理外，其他真命题的正确性都通 过推理的方法证实，推理的过程称为证明，经过证明的真命题称 为定理，而证明所需要的定义、公理和其他定理都编写在要证明 的这个定理的前面。《原本》问世之前，世界上还没有一本数学 书籍像《原本》这样编排，因此，《原本》是一部具有划时代意 义的著作。
人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件

人教版数学七年级下册5-3-2命理、定理、证明(第2课时) 课件


①BC平分∠ABE； ②∠BCE＋∠D＝90°； ③AC∥BE； ④∠DBF＝2∠ABC. 其中正确的有( C ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．若a＝b，则a2＝b2是____真_____命题(选填“真”或“假”)， 其中“a＝b”是_题__设_______，“a2＝b2”是_结__论________．
7．如图，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1 ＝∠2，则图中互相平行的直线是__E_F_∥__C_D__，__B_C_∥__D_E___________．
8．如图，给出下面的推理，其中正确的是____①__②__④________． ①因为∠B＝∠BEF，所以AB∥EF； ②因为∠B＝∠CDE，所以AB∥CD； ③因为∠B＋∠BEC＝180°，所以AB∥EF； ④因为AB∥CD，CD∥EF，所以AB∥EF.
9．如图，AC⊥BC，垂足为点C，∠BCD是∠B的余角．求证： ∠ACD＝∠B.
证明：∵AC⊥BC(已知)， ∴∠ACB＝90°(______垂__直__的__定__义________)， ∴∠BCD是∠ACD的余角． ∵∠BCD是∠B的余角(已知)， ∴∠ACD＝∠B(____同__角__的__余__角__相__等______)．
c
2
a
证明的一般步骤： 1.分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根 据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； 2.根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； 3.经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地 写出证明过程.
如何判定一个命题是假命题呢？
只要举出一个例子(反例)，它符合命题 的题设，但不满足结论即可.
歌德的话蕴含了什么数学道理？
合作探究
定理与证明优质课件PPT

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2021/02/01
13
C B
2021/02/01
9
2 如图，已知平行线AB,CD被直线EF所截，
（1） 若∠1= 110o，则∠2=＿11＿0o（两直线平行，内错角相等） （2） 若∠1= 110o，则∠3=＿11＿0o（两直线平行，同位角相等） （3） 若∠1= 110o，则∠4=＿70＿o （两直线平行,同旁内角互补）
定理与证明
2021/02/01
2002年5月1
课时目标：
1进一步学习定理的证明，掌握证明 的步骤。
2了解举反例证明假命题的方法。
2021/02/01
2
复习：
问：“邻补角的平分线互相垂直”的题
设、结论是什么？ 根据命题的题意画出图形，根据命题的
题设写出“已知”，根据命题的结论写 出
“求证”。
2021/02/01
3
已知：如图，∠ AOB+ ∠ BOC=180
OE平分∠ AOB，
OF平分∠ BOC。
求证：OE ⊥OF。
2
1
2021/02/01
4
平行线的性质公理：
两条平行直线被第三条直线所截， 同位角相等。
简称：两直线平行，同位角相等。
2021/02/01
5
3 猜测一下，两直线平行，内错角之间有何
关系呢？ 为什区别
作业：P99
2021/02/01
性质中的条件和结论分别是判定中 的结论和条件。
A组 9，10，11
12
Thank you
感谢聆听 批评指导
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年XX月XX日
感谢您的观看！本教学内容具有更强的时代性和丰富性，更适合学习需要和特点。为了 方便学习和使用，本文档的下载后可以随意修改，调整和打印。欢迎下载！
定理与证明PPT教学课件

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代换)．又∵AB∥DC(已知)，∴∠1＝∠3(两直线平行，内错角相
等)．∴∠2＝∠3(等量代换)，∴DE∥FB(同位角相等，两直线平行)
8．(8分)如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠1＝∠2. 求证：DG∥BA.
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(垂直于 同一直线的两直线平行)，∴∠1＝∠BAD(两直线平行，同 位角相等)．∵∠1＝∠2(已知)，∴∠2＝∠BAD(等量代 换)，∴DG∥BA(内错角相等，两直线平行)
11．(10分)已知：如图，AD⊥BC于点D，EF⊥BC于点F，交AB于 点G，交CA延长线于点E，∠1＝∠2.求证：AD平分∠BAC.
解：∵AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，∴AD∥EF(垂直于同一条直线 的两条直线成平行)，∠1＝∠DAG(两直线平行，内错角相等)，∠2＝ ∠CAD(两直线平行，同位角相等)，∵∠1＝∠2(已知)，∴∠DAG＝ ∠CAD(等量代换)，即AD平分∠BAC
7．(8分)已知：如图，∠ABC＝∠ADC，BF和DE分别是∠ABC和 ∠ADC的平分线，AB∥DC.
求证：DE∥FB.
解：∵BF和DE分别是∠ABC和∠ADC的平分线(已知)，∴∠2
＝
1 2
∠ABC，∠1＝
1 2
∠ADC(角平分线的定义)．∵∠ABC＝∠
ADC(已知)，∴
1 2
∠ABC＝
1 2
∠ADC(等式的性质)，∴∠2＝∠1(等量
求证：AD∥BE.
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠4＝∠___B_A(F 两直线平行，同位角相等)． ∵∠3＝∠4(已知)， ∴∠3＝∠___B_A(F 等量代换)． ∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠1＋∠CAF＝∠2＋∠CAF( 等式性)质， 即∠_B_A__F＝∠__D_A_，C ∴∠3＝∠__D__A(C 等量代换)． ∴AD∥BE( 内错角相等两直线平行)．
最新北师版八年级初二数学上册《定理与证明》名师精品课件

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其他公理
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会 学到）都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代 替”.这一性质也看作公理,简称为“等量代换”.
证明定理“对顶角相等” 例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O，
∠AOC与∠BOD是对顶角. 求证：∠AOC =∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O ( 已知 )
总结归纳
一些条件
推理的过 程叫证明
经过证明的真命 题叫定理
+
推理
原名、公理
证实其他命 题的正确性
公理
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等.
又 b ∥ c（已知）
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
随堂练习
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ B ）
A.定理 B.公理
C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线”
这个语句是（C ）
A.定理
B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列命题中，属于定义的是（ D ） A.两点确定一条直线； B.同角的余角相等； C.互补的两个角是邻补角； D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度. 4.下列句子中，是定理的是（B,C ），是公理的 是（ A ）. A.若a=b，b=c，则a=c；
2 定义与命题 第2课时 定理与证明 公开课获奖课件

2 定义与命题 第2课时 定理与证明 公开课获奖课件


【变式训练】 3. 已知∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠2＝90°，则∠1＝∠3，理由是 ___同__角__或__等__角__的__余__角__相__等_____． 4. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上，求证：∠1＋ ∠2＝90°.
解：∵a∥b(已知)，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．又∵∠BAC ＝90°(已知)，∠1＋∠3＋∠BAC＝180°(平角的定义)，∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠1＋∠2＝90°(等量代换)
A．公理和定理都是真命题
B．公理就是定理，定理也是公理
C．公理和定理都可以作为推理论证的依据
D．公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
知识点二：证明
【典例导引】 【例2】 在下面的括号内，填上推理的根据： 如图，已知AB∥CD，BE∥CF，求证：∠B＋∠C＝180°.
证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠B＝∠BGC(两直线平行，内错角相等)， 又∵BE∥CF(已知)， ∴∠BGC＋∠C＝180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∴∠B＋∠C＝180°(等量代换)． 【方法点拨】 证明题步骤：(1)审题，分清命题的条件和结论；(2)画图， 结合图形写出已知、求证；(3)分析因果关系，找出证明途径；(4)有条理地 写出证明过程.
撪撬撮撯撱揿撴撵撶撷撸撹 撺挞撼撽挝擀擃掳擅擆擈擉 擌擎擏擐擑擓携擖擗擘擙擛
擜擝擞擟抬擢擤擥举擨
9. (揭阳模拟)已知命题“两条直线被第三条直线所截，如果同位 角的平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．
(1)画出符合命题的几何图形； (2)用几何符号表述这个命题； (3)证明这个命题是真命题．
北师版
第七章 平行线的证明
2 定义与命题
第2课时 定理与证明
华东师大版数学八年级上册1第2课命题、定理与证明课件

华东师大版数学八年级上册1第2课命题、定理与证明课件

“内错角相等，两直线平行”是平行线的判定定理.
定理揭示了客观事物的本质属性.
基本事实、定理、命题、真命题、假命题之间有什关系？
命题
真命题
假命题
基本事实
定理
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
解：当n=1时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=2时，n2-3n+7=5，是质数， 当n=3时，n2-3n+7=7，是质数， 当n=4时，n2-3n+7=11，是质数， 当n=5时，n2-3n+7=17，是质数，
思考1：当n＝1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值是 质数吗？你能肯定：对于所有的自然数，式子n2-3n+7的 值都是质数吗？
所以，当n=1，2，3，4，5时，代数式n2-3n+7的值
全都是质数．
当n=6时，n2-3n+7=62-18+7=25=52. 所以，对于所有自然数，式子n2-3n+7的值不都是质数.
已知：如图，已知AB∥CD， OP，MN分别平分∠BOM， ∠OMD，OP、MN交于G点， 求证：MN⊥OP.
证明：∵AB∥CD， ∴∠BOM+∠OMD=180°(两直线平行，同旁内角互补)， ∵OP 、 MN分别平分∠BOM，∠OMD， ∴2∠POM+2∠NMO=180°. ∴∠POM+∠NMO=90°. ∴∠MGO=90°. ∴MN⊥OP．
新知讲授
上面这些命题是通过长期实践总结出来，被大家公认的真 命题.我们将这些命题视为基本事实.
它们是我们在继续学习过程中用来判断其他命题真假的原 始根据，即出发点. “同位角相等，两直线平行”是基本事实，那么七年级我 们学过的命题“内错角相等，两直线平行”是什么呢？
浙教版数学八年级上册证明第2课时三角形内角和定理及推论课件

浙教版数学八年级上册证明第2课时三角形内角和定理及推论课件


A E
1
2
C
D
证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， 作辅助线
则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°, ∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°（等量代换）.
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°.
这两种添线根据都是通过平行线的性质，利用内错角
2、星期天，小明见爸爸愁眉苦脸地在看一张图纸，他便悄 悄地来到爸爸身边，想看爸爸为什么犯愁．爸爸见到他， 高兴地对他说：“来帮我一个忙，你看这是一个四边形零 件的平面图，它要求∠BDC等于140°才算合格．”小明通 过测量得∠A＝90°，∠B＝19°，∠C＝40°后就下结论说 此零件不合格.于是爸爸让小明解释这是为什么？
已知：如图，直线AB∥CD，直线EF 分别交AB、CD于点E、F，EH、FG 分别平分∠BEI、∠DFE. 求证：EH∥FG.
I
1H
A
E
B
2G
CF
D
证明：∵直线AB∥CD（已知），
∴ ∠BEI=∠DFE（两直线平行，同位角相等），
又∵ EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE，
∴∠1= ∠BEI，∠2= ∠DFE（角平分线的定义）， I
B
C
练习2、如图，在△ABC中，∠B=50°， ∠C=60°，点D是BC 边上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么∠EDF=_1_1_0_°.
解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）， ∴∠A=180°-∠B-∠C =70°， 又∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠AED=∠DFA=90°，∴ ∠EDF=110°.
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第七章 平行线的证明 7.2 定义与命题
八年级数学·北师版 第2课时 定理与证明
学习目标
1.了解公理、定理与证明的概念并了解本套教材所采用的公 理．（重点） 2.体会命题证明的必要性，体验数学思维的严谨性．（难点）
导入新课
观察与思考
如何证实一个命题是真命题呢？
用我们以前学过 的观察,实验,验证
特例等方法.
哦……那可 怎么办
这些方法往 往并不ຫໍສະໝຸດ 靠.能不能根据已经知 道的真命题证实呢?
那已经知道的真命 题又是如何证实的?
讲授新课
一 公理与定理
思考：如何证实一个命题是真命题呢？ 了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得
(Euclid,公元前300前后)；找出下列各个定义并举例． 1.原名:某些数学名词称为原名. 2.公理:公认的真命题称为公理. 3.证明:除了公理外,其他真命题的正确性都 通过推理的方法证实.推理的过程称为证明. 4.定理:经过证明的真命题称为定理.
∴ ∠AOB与∠COD都是平角(
平)角的定义
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180° ∠BOD＋∠AOD＝180°
( 补角的定义)
∴ ∠AOC =∠BOD (
同角的补)角相等
典例精析
例2 已知：b∥c， a⊥b ．
求证：a⊥c． 证明： ∵ a ⊥b（已知）
b
c
1
2
a
∴ ∠1=90°（垂直的定义）
又 b ∥ c（已知）
其他公理
等式的有关性质和不等式的有关性质（以后将会学到）都可以看作公理． “在等式或不等式中,一个量可以用它的等量来代替”.这一性质也看作公 理,简称为“等量代换”.
典例精析
证明定理“对顶角相等”
例1：如图，直线AB与直线CD相交于点O， ∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD
证明： ∵直线AB与直线CD相交于点O ( ) 已知
∴ ∠2=∠1=90°（两直线平行，同位角相等）
∴ a ⊥ c（垂直的定义）.
当堂练习
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
B
A.定理 B.公理
C.定义 D.只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是
（）
C
A.定理
B.公理 C.定义 D.只是命题
3.下列命题中，属于定义的是（ D ） A.两点确定一条直线； B.同角的余角相等； C.互补的两个角是邻补角； D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度.
总结归纳
一些条件 +
原名、公理
推理的过程叫证 明
推理
证实其他命 题的正确性
经过证明的真命题叫 定理
公理
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条: 1.两点确定一条直线; 2.两点之间线段最短; 3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这 两条直线平行（简 述为：同位角相等，两直线平行）; 5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等; 7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等; 8.三边分别相等的两个三角形全等.
4.下列句子中，是定理的是（ B,C ），是公理的是（ A ）. A.若a=b，b=c，则a=c； B.对顶角相等 C.全等三角形的对应边相等，对应角相等
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汇报人：XXX
时间：20XX.XX.XX