中考数学弧长和扇形面积和圆锥习题及答案解析

专题24 圆的有关计算☞解读考点知识点名师点晴弧长和扇形面积弧长公式会求n°的圆心角所对的弧长扇形面积公式会求圆心角为n°的扇形面积圆锥侧面积计算公式能根据公式中的已知量求圆锥中的未知量☞2年中考【题组】1．（河池）如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝忽略不计），如果圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是（）A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2【答案】A．【解析】试题分析：这张扇形纸板的面积=12×2π×10×24=240π（cm2）．故选A．考点：圆锥的计算．2．（凉山州）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】A．考点：圆锥的计算．3．（德州）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（）A．288° B．144° C．216° D．120°【答案】A．【解析】试题分析：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，则母线长是5x，设圆心角为n°，则524180n xxππ⨯⨯=，解得：n=288，故选A ．考点：圆锥的计算．4．（宁波）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（）A．5cm B．10cm C．20cm D．5πcm【答案】B．考点：圆锥的计算．5．（苏州）如图，AB为⊙O的切线，切点为B，连接AO，AO与⊙O交于点C，BD为⊙O的直径，连接CD．若∠A=30°，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积为（）A ．433π-B ．4233π-C ．3π-D ．233π-【答案】A ．【解析】试题分析：过O 点作OE ⊥CD 于E ，∵AB 为⊙O 的切线，∴∠ABO=90°，∵∠A=30°，∴∠AOB=60°，∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，∵⊙O 的半径为2，∴OE=1，CE=DE=3，∴CD=23，∴图中阴影部分的面积为：2120211233602⋅π⋅-⨯⨯=433π-．故选A ．考点：1．扇形面积的计算；2．切线的性质．6．（成都）如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和BC 弧线的长分别为（ ）A ．2，3πB ．23，πC ．3，23πD ．23，43π【答案】D ．考点：1．正多边形和圆；2．弧长的计算．7．（甘孜州）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4【答案】A．【解析】试题分析：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB=29021223602π⨯-⨯⨯=π﹣2．故选A．考点：扇形面积的计算．8．（攀枝花）如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=3，CE=1，则图中阴影部分的面积为（）A 239π439πC．29πD．49π【答案】D．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理的逆定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 9．（自贡）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝32，则阴影部分的面积为（ ）A ．2πB ．πC ．3πD ．32π【答案】D ． 【解析】试题分析：连接OD ．∵CD ⊥AB ，∴CE=DE=12CD=3（垂径定理），故S △OCE=S △ODE ，即可得阴影部分的面积等于扇形OBD 的面积，又∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°（圆周角定理），∴OC=2，故S 扇形OBD=2602360π⨯=32π，即阴影部分的面积为32π．故选D ．考点：1．扇形面积的计算；2．垂径定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形． 10．（达州）如图，直径AB 为12的半圆，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．12πB ．24πC ．6πD ．36π 【答案】B ．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．11．（德阳）如图，已知⊙O 的周长为4π，AB 的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2π-B ．3π-C ．πD ．2 【答案】A ．考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．12．（梧州）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（）A．95 B．185 C．365 D．725【答案】B．【解析】试题分析：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．∵MN的半圆的直径，∴∠MDN=90°．在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．∴阴影部分的面积=△DMN的面积．在Rt△AOD中，OD=22AD AO+=2263+=35，∴阴影部分的面积=△DMN的面积=12MN•AD=16562⨯⨯=185．故选B．考点：1．扇形面积的计算；2．勾股定理；3．综合题．13．（咸宁）如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在EF上，设∠BDF=α（0°＜α＜90°），当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积（）A．由小到大 B．由大到小 C．不变 D．先由小到大，后由大到小【答案】C．考点：1．扇形面积的计算；2．定值问题；3．综合题．14．（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB 与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA ：O1A1=k （k 为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB=∠A1O1B1；②△AOB ∽△A1O1B1；③11ABk A B ；④扇形AOB 与扇形A1O1B1的面积之比为2k ． 成立的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．弧长的计算；3．扇形面积的计算；4．新定义；5．压轴题．15．（邵阳）如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转次后，顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（ ）A ．πB ．3019.5πC ．3018πD ．3024π 【答案】D ． 【解析】试题分析：转动一次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，转动第二次的路线长是：90551802ππ⨯=，转动第三次的路线长是：9042180ππ⨯=，转动第四次的路线长是： 0，转动五次A 的路线长是：90331802ππ⨯=，以此类推，每四次循环，故顶点A 转动四次经过的路线长为：32π+52π+2π=6π，÷4=503余3，顶点A 转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．故选D ．考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型． 16．（北海）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】2．考点：圆锥的计算．17．（贵港）如图，已知圆锥的底面⊙O的直径BC=6，高OA=4，则该圆锥的侧面展开图的面积为．【答案】15π．【解析】试题分析：∵OB=12BC=3，OA=4，由勾股定理，AB=5，侧面展开图的面积为：12×6π×5=15π．故答案为：15π．考点：圆锥的计算．18．（庆阳）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=22，若把Rt△ABC绕边AB 所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为（结果保留π）．【答案】2π．【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB于点D，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴2，∴CD=2，以CD为半径的圆的周长是：4π．故直线旋转一周则所得的几何体得表面积是：2×12×4π×2282π．故答案为：82π．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．19．（贺州）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°得到矩形A′B′C′D′，则点B经过的路径与BA，AC′，C′B′所围成封闭图形的面积是（结果保留π）．【答案】2512 4π+．考点：1．扇形面积的计算；2．旋转的性质．20．（天水）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．【答案】4π．考点：1．弧长的计算；2．等边三角形的性质；3．综合题．21．（河南省）如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为．【答案】3 122π+．【解析】试题分析：连接OE、AE ，∵点C为OA的中点，∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE=2602360π⨯=23π，S扇形ABO=2902360π⨯=π，S扇形CDO=2901360π⨯=14π，∴S阴影=S扇形ABO﹣S扇形CDO﹣（S扇形AOE﹣S△COE）=121(13)432πππ---⨯⨯=3122π+．故答案为：3122π+．考点：扇形面积的计算．22．（烟台）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是．【答案】62．考点：圆锥的计算．23．（乐山）如图，已知A （23，2）、B （23，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（﹣2，23）的位置，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】34π．【解析】试题分析：∵A （232）、B （23，1），∴OA=4，13，∵由A （232）使点A 旋转到点A′（﹣2，23），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，''OB C OBC S S ∆∆=，∴阴影部分的面积等于S 扇形A'OA ﹣S 扇形C'OC=22114(13)44ππ⨯-⨯=34π，故答案为：34π．考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化-旋转．24．（镇江）图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形﹣正八边形．（1）如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接OD，已知OA=5，若扇形OAD（∠AOD＜180°）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于．【答案】（1）作图见试题解析；（2）15 8．试题解析：（1）如图所示，八边形ABCDEFGH即为所求；（2）∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠AOD=3608×3=135°，∵OA=5，∴AD的长=1355180π⨯=154π，设这个圆锥底面圆的半径为R，∴2πR=154π，∴R=158，即这个圆锥底面圆的半径为158．故答案为：158．考点：1．正多边形和圆；2．圆锥的计算；3．作图—复杂作图．25．（宁德）图（1）是一个蒙古包的照片，这个蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，如图（2）所示．（1）请画出这个几何体的俯视图；（2）图（3）是这个几何体的正面示意图，已知蒙古包的顶部离地面的高度EO1=6米，圆柱部分的高OO1=4米，底面圆的直径BC=8米，求∠EAO的度数（结果精确到0.1°）．【答案】（1）答案见试题解析；（2）26.6°．（2）连接EO1，如图所示，∵EO1=6米，OO1=4米，∴EO=EO1﹣OO1=6﹣4=2米，∵AD=BC=8米，∴OA=OD=4米，在Rt△AOE中，tan∠EAO=2142EOOA==，则∠EAO≈26.6°．考点：1．圆锥的计算；2．圆柱的计算；3．作图-三视图．26．（玉林防城港）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点且∠BOD=60°，过点D作⊙O的切线CD交AB的延长线于点C，E为AD的中点，连接DE，EB．（1）求证：四边形BCDE是平行四边形；（2）已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O的半径r．【答案】（1）证明见试题解析；（2）6．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的判定；3．扇形面积的计算；4．综合题．27．（扬州）如图，已知⊙O的直径AB=12cm，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．（1）求证：∠PCA=∠B；（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）53π或133π或233π．【解析】试题分析：（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有三种情况，即：①当∠AOQ=∠AOC=50°时；②当∠BOQ=∠AOC=50°时；③当∠BOQ=50°时，即∠AOQ=230°时；分别求得点Q所经过的弧长即可．试题解析：（1）连接OC，∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．分类讨论；4．综合题；5．轨迹．【题组】1．（·扬州）如图，已知正方形边长为1，若圆与正方形的四条边都相切，则阴影部分的面积与下列各数最接近的是（）A.1.0 B．2.0 C.3.0 D.4.0【答案】B．【解析】试题分析：∵正方形的边长为1，圆与正方形的四条边都相切，∴22S S S10.510.250.215ππ=-=-⋅=-≈阴影正方形圆．∵0.215最接近0.2，∴阴影部分的面积与下列各数最接近的是0.2故选B．考点：1．圆和正方形的面积；2．无理数的大小估计；3．转换思想的应用．2．（·金华）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是（）A．5:4 B．5:2 C52 D52【答案】A．故选A．考点：1．等腰直角三角形的判定和性质；2．勾股定理；3．扇形面积和圆面积的计算．3．（·辽宁省本溪市）底面半径为4，高为3的圆锥的侧面积是（）A．12π B．15π C．20π D．36π【答案】B．【解析】试题分析：∵圆锥的底面半径为3，高为4，∴母线长为5，∴圆锥的侧面积为：πrl=π×3×5=15π，故选B．考点：圆锥的计算．4．（·山东省莱芜市）一个圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则该圆锥的高是（）A．R B．12R C3R D．32R【答案】D．【解析】试题分析：圆锥的底面周长是：πR；设圆锥的底面半径是r，则2πr=πR．解得：r=12R2213()22R R-=．故选D．考点：圆锥的计算．5．（·贵州安顺市）已知圆锥的母线长为6cm，底面圆的半径为3cm，则此圆锥侧面展开图的圆心角是（）A ． 30°B ． 60°C ．90°D ．180°【答案】D ．考点：圆锥的计算．6．（湖南衡阳市）圆心角为120，弧长为12π的扇形半径为 （ ） A ．6 B ．9 C ．18 D ．36 【答案】C ．【解析】试卷分析：12012180rππ=，解得：r=18．故选C ．考点：圆的计算．7． （南京） 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展开，得到一个扇形，若圆锥底面圆半径r=2cm ，扇形圆心角120θ=︒，则该圆锥母线长l 为 cm ．【答案】6． 【解析】试题分析：∵圆锥底面圆半径r=2cm ， ∴根据圆的周长公式，得圆的周长为2r 4ππ=，∵侧面展开后所得扇形弧长等于圆的周长，∴扇形弧长4π=．又∵侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，∴根据扇形的弧长公式，侧面展开后所得扇形的弧长为()120l4l 6180cm ππ⋅⋅=⇒=．考点：圆锥和扇形的计算． 8．（·呼和浩特）一个底面直径是80cm ，母线长为90cm 的圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为 ． 【答案】1600．考点：圆锥的计算．9．（·潍坊）如图，两个半径均为3的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，且每个圆都经过另一个圆的圆心，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】233π-．【解析】试题分析：如图，连接O1O2，过点O1作O1H ⊥AO2于点H ，由题意可得：AO1=O1O2=AO2=3，∴△AO1O2是等边三角形．∴11233HO O O sin60322=︒=⋅=．∴()12122AO O AO O 6031333S 3S 223,2460ππ∆⨯=⨯⨯===扇形．∴12212AO O AO AO O 33S S S 24π∆=-=-弓形扇形．∴图中阴影部分的面积为：33423324ππ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ．考点：1．扇形面积的计算；2．等边三角形的判定和性质；3．相交两圆的性质；4． 锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值；6．转换思想的应用． 10．（·重庆A ）如图，△OAB 中，OA=OB=4，∠A=30°，AB 与⊙O 相切于点C ，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）【答案】4433π-．考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的性质；3．含30度角的直角三角形的性质；4．勾股定理；5．扇形面积的计算；6．转换思想的应用．☞考点归纳归纳 1：弧长公式 基础知识归纳：n °的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180n r l π=注意问题归纳：①在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的倍数，n 和180都不要带单位．②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示．④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【例1】在半径为2的圆中，弦AB 的长为2，则AB 的长等于（ ）A ．3πB ．2πC ．23πD ．32π【答案】C ．考点：弧长的计算． 归纳 2：扇形面积 基础知识归纳：扇形面积公式：lR R n S 213602==π扇注意问题归纳：其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长．【例2】如图，将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，则S 扇形= cm²【答案】4． 【解析】试题分析：设围成扇形的角度为n ，∵将长为8cm 的铁丝AB 首尾相接围成半径为2cm 的扇形，∴围成扇形的弧长为4cm ．∴根据弧长公式，得n 23604n 180ππ⋅⋅=⇒=，∴根据扇形面积公式，得()223602S 4cm 360π⋅⋅==．考点：扇形的计算． 归纳 3：圆锥的侧面积 基础知识归纳：圆锥的侧面积：122S l r rlππ=•=，其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径．注意问题归纳：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等．②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．【例3】一个圆锥的高为4cm ，底面圆的半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A ． 12πcm2 B ．15πcm2 C ．20πcm2 D ．30πcm2考点：圆锥的计算．归纳 4：阴影部分面积基本方法归纳：求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．注意问题归纳：求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．【例4】如图，扇形OAB中，∠AOB=60°，扇形半径为4，点C在AB上，CD⊥OA，垂足为点D，当△OCD的面积最大时，图中阴影部分的面积为．π-．【答案】24考点：扇形面积的计算．☞1年模拟1．（湖北省宜昌市兴山县校级模拟）劳技课上，小颖将一顶自制的圆锥形纸帽戴在头上，已知纸帽底面圆半径为10cm，母线长50cm，则这顶纸帽的侧面积为（）cm2．A．250π B．500π C．750π D．1000π【解析】试题分析：底面圆的半径为10cm ，则底面周长=20πcm ，侧面面积=π×10×50=500πcm2．故选B ．考点：圆锥的计算．2．（湖北省广水市校级模拟）如图，圆锥体的高h=2cm ，底面半径r=2cm ，则圆锥体的全面积为（ ）cm2．A ．4π B ．8π C ．12π D ．（4+4）π【答案】C ． 【解析】试题分析：底面圆的半径为2，则底面周长=4π，因为底面半径为2cm 、高为23cm ，所以圆锥的母线长为4cm ，即可求得侧面面积=12×4π×4=8π；底面积为=4π，所以全面积为：8π+4π=12πcm2．故选C ． 考点：圆锥的有关计算．3．（山东省高密市模拟考试）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为2cm ，那么这个圆锥的侧面积是（ ）A ．210cmB ．210cm π C ．220cm D ．220cm π 【答案】B ．考点：1．圆锥的侧面展开图；2．扇形的面积计算．4．（山东省新泰市模拟考试）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A ．77π338-B ．47π338+C ．πD ．4π33+【答案】C ．【解析】试题分析：连接BH ，BH1，∵O 、H 分别为边AB ，AC 的中点，将△ABC 绕点B 顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，∴△OBH ≌△O1BH1，利用勾股定理可求得BH=437+=，所以利用扇形面积公式可得()()22360132********BH BC πππ=⨯-=-．故选C ．考点：扇形面积的计算．5．（江苏省兴化顾庄等三校校级模拟）若粮仓顶部是圆锥形，且这个圆锥的高为2m ，母线长为2.5m ，为防雨需在粮仓顶部铺上油毡，则这块油毡的面积是 m2．【答案】154π．考点：圆锥的计算．6．（河南省三门峡市模拟考试）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，分别以A 、C 为圆心，以2AC的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为 ．【答案】24-254πcm2．【解析】试题分析：如图：∵Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，∴AC=2286+=10cm，△ABC的面积是：12AB•BC=12×8×6=24cm2．∴S阴影部分=12×6×8-2905360π⨯=24-254πcm2,故阴影部分的面积是：24-254πcm2．考点：扇形面积的计算．7．（湖北省武汉市校级模拟）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点A、B、C的坐标分别是A（-2，3）、B（-1，2）、C（-3，1），△ABC 绕点O顺时针旋转90°后得到△A1B1C1．（1）在正方形网格中作出△A1B1C1；（2）求点A经过的路径弧AA1的长度；（结果保留π）（3）在y轴上找一点D，使DB+DB1的值最小，并直接写出D点坐标．【答案】（1）图形详见解析；（2132；（3）（0，53）．试题解析：解：（1）如图如下：考点：作图—旋转变换；待定系数法求解析式；弧长公式．8．（广东省中山市校级模拟）如图，AB是的直径，点D在上，∠DAB＝45°，BC∥AD，CD∥AB．（1）、判断直线CD 与的位置关系，并说明理由；（2）、若的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）、相切；（2）、324．【解析】试题分析：（1）、连接OD，根据OA=OD，∠ODA=45°得出∠AOD=90°，根据CD∥AB 得出∠ODC=90°，从而说明切线；（2）、首先求出梯形OBCD的面积，然后利用梯形的面积减去扇形OBD的面积求出阴影部分的面积．考点：切线的判定、扇形的面积计算．9．（山东省博兴县校级模拟）如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求弦BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）3；（3）6π．【解析】试题分析：（1）连接OC交BD于点E，根据∠CDB=∠OBD=30°得出∠COB=60°，∠OEB=90°，根据AC∥BD得到∠OCA=90°；（2）根据OB=6，OE⊥BD，∠OEB=30°，求出OE和BE的长度，然后计算出BD的长度；（3）根据△OBE和△CDE全等，将阴影部分的面积转化成扇形OBC的面积，然后根据扇形的面积计算公式进行求解．试题解析：（1）证明：连接OC，交BD于点E．∵∠CDB=∠OBD=30°∴∠COB=60°，∠OEB=90°∵AC∥BD ∴∠OCA=∠OEB=90°∴OC⊥AC ∴AC是⊙O的切线．（2）∵∠OEB=90°，∠OBD=30°∴OC⊥BD，321==OB OE∴BE=DE=33273622==-∴362==DEBD（3）∵OE=CE，∠OEB=∠CED=90°，BE=DE，∴△OEB≌△CED∴ππ63606602=⋅==OBCSS扇形阴影考点：切线的判定、垂径定理、扇形的面积计算．10．（山东省高密市模拟考试）如图，BE是⊙O的直径，点A在EB的延长线上，弦PD⊥BE，垂足为C，连接OD，∠AOD=∠APC．（1）求证：AP是⊙O的切线．（2）若⊙O的半径是4，AP=43，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）16433π-．考点：1．切线的证明；2．勾股定理；3．特殊角的三角函数值；4．扇形的面积计算．。

专题26 与弧长、扇形面积有关的问题1.扇形弧长面积公式（1）弧长的计算公式（2）扇形面积计算公式2.弓形的面积（1）弓形的定义：由弦及其所对的弧（包括劣弧、优弧、半圆）组成的图形叫做弓形。

（2）弓形的周长＝弦长＋弧长（3）弓形的面积当弓形所含的弧是劣弧时，如图1所示，当弓形所含的弧是优弧时，如图2所示，当弓形所含的弧是半圆时，如图3所示，3．圆柱侧面积体积公式（1）圆柱的侧面积公式S侧=2πrh（2）圆柱的表面积公式：S表=S底×2+S侧=2πr2+2πr h专题知识回顾1802360rnrnlππ=⋅=2360rnsπ⋅=lrs21=或4.圆锥侧面积体积公式（1）圆锥侧面积计算公式从右图中可以看出，圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形= = πrl（2）圆锥全面积计算公式:S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ）【例题1】（2019•湖北武汉）如图，AB 是⊙O 的直径，M 、N 是（异于A.B ）上两点，C 是上一动点，∠ACB 的角平分线交⊙O 于点D ，∠BAC 的平分线交CD 于点E ．当点C 从点M 运动到点N 时，则C.E 两点的运动路径长的比是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【解析】如图，连接E B ．设OA ＝r ．易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，由题意∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．如图，连接E B ．设OA ＝r ．专题典型题考法及解析∵AB 是直径， ∴∠ACB ＝90°， ∵E 是△ACB 的内心， ∴∠AEB ＝135°， ∵∠ACD ＝∠BCD ， ∴＝，∴AD ＝DB ＝r ，∴∠ADB ＝90°，易知点E 在以D 为圆心DA 为半径的圆上，运动轨迹是，点C 的运动轨迹是，∵∠MON ＝2∠GDF ，设∠GDF ＝α，则∠MON ＝2α∴＝＝．【例题2】(2019山西）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =32，BC =2，以AB 的中点为圆心，OA 的长为半径作半圆交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ） A.2435π- B.2435π+ C.π-32 D.234π-【答案】A【解析】作DE ⊥AB 于点E ，连接OD ，在Rt △ABC 中：tan ∠CAB =3BC AB ==， ∴∠CAB =30°，∠BOD =2∠CAB =60°. 在Rt △ODE 中：OE =21OD =23，DE =3OE =23.S 阴影=S △ABC -S △AOD -S 扇形BOD=2116022360AB BC OD DE OB π︒⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅︒=211360532323(3)22236042ππ︒⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-︒，故选A【例题3】（2019·贵州安顺）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r ＝2，扇形的圆心角θ＝120°，则该圆锥母线l 的长为 ．【答案】6【解析】根据题意得2π×2＝，解德l ＝6，即该圆锥母线l 的长为6．一.选择题1.（2019•四川省广安市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝4，以BC 为直径的半圆O 交斜边AB 于点D ，则图中阴影部分的面积为（ ）专题典型训练题A．π﹣B．π﹣C．π﹣D．π﹣【答案】A．【解析】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，中考常考题型．根据三角形的内角和得到∠B＝60°，根据圆周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴OC＝OD＝2，∴CD＝BC＝2，图中阴影部分的面积＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣。

24.4弧长和扇形面积弧长公式　半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)题型1：运用公式计算弧长1.已知一个扇形的圆心角是150°，半径是3，则该扇形的弧长为（ ）A．B．C．D．【分析】利用弧长公式直接计算即可．【解答】解：这个扇形的弧长＝＝π，故选：A．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l＝．【变式1-1】如图，AB是圆O的直径，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，则弧BD的长为（ ）A．πB．4πC．2πD．45π【分析】求出圆心角∠BOD的度数，再根据弧长的计算公式进行计算即可．【解答】解：∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°，由弧长公式得，弧BD的长为＝π，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧长的计算，掌握弧长的计算公式是正确解答的前提，求出圆心角的度数是解决问题的关键．【变式1-2】如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，若∠A＝20°，AB＝6，则弧长为（ ）A．B．C．D．【分析】连结CO，根据AO＝CO，得到∠A＝∠C＝20°，根据三角形内角和定理求出圆心角的度数，根据直径的长求出半径，根据弧长公式l＝即可得出答案．【解答】解：如图，连结CO，∵AO＝CO，∴∠A＝∠C＝20°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠C＝140°，∵直径AB＝6，∴半径r＝3，∴长＝＝，故选：C．【点评】本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式l＝是解题的关键．题型2：列方程求圆心角或半径2.已知一段弧长为9.42cm，该段弧所在的圆的半径为6cm，求这段弧所对的圆心角度数．【分析】根据弧长公式，即可求出弧所对的圆心角的度数．【解答】解：设圆心角的度数为n，根据题意得，＝9.42＝3π，∴n＝3π×180°÷6π＝90°．故这段弧所对的圆心角度数为：90°．【点评】本题考查了弧长的计算，牢记弧长公式是解题的关键．【变式2-1】如图，劣弧AB的长为6π，圆心角∠AOB＝90°，求此弧所在圆的半径．【分析】根据弧长公式l＝，代入求出r的值即可．【解答】解：由题意得，6π＝，∴r＝12．答：此弧所在圆的半径为12．【点评】本题考查了弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．【变式2-2】已知圆上一段弧长为4πcm，它所对的圆心角为100°，求该圆的半径．【分析】设该圆的半径为R，根据弧长公式列出方程，解方程可得．【解答】解：设该圆的半径为Rcm，根据题意，得：＝4π，解得：R＝，答：该圆的半径为cm．【点评】本题考查了弧长公式：l＝（n为弧所对的圆心角的度数，R为弧所在圆的半径）．题型3：弧长计算中的最值问题（提升）3.如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OB＝2，点D为弦AB上一动点（不与A，B两点重合），连接OD并延长交于点C，当CD为最大值时，的长为（ ）A．B．C．D．π【分析】根据垂线段最短得出当OC⊥AB时，OD最短，此时CD最大，求出∠BOC的度数，再根据弧长公式求出即可．【解答】解：当OC⊥AB时，OD最短（垂线段最短），此时CD最大，∵∠AOB＝120°，OD⊥AB，OD过圆心O，∴＝，且弧的度数是60°，∴∠BOC＝60°，∴的长为＝，故选：B．【点评】本题考查了垂径定理，垂线段最短等知识点，能求出∠BOC的度数是解此题的关键【变式3-1】如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交BC于点D，点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为（ ）A．B．C．D．【分析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∴CD′＝＝＝2，的长＝＝，∴阴影部分周长的最小值为2+＝．故选：C．【点评】本题考查与圆有关的计算，掌握轴对称的性质，弧长的计算方法是正确计算的前提，理解轴对称解决路程最短问题是关键．【变式3-2】如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C在上，且∠AOC＝60°，点P是线段OB上一动点，若OA＝2，则图中阴影部分周长的最小值是 ．【分析】延长AO到D，使OD＝AO，得到点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P 与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，根据等腰三角形的性质得到∠D＝∠OCD＝30°，过C 作CE⊥AO于E，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：延长AO到D，使OD＝AO，∵∠AOB＝90°，∴点A与点D关于OB对称，连接CD交OB于P′，当点P与点P′重合时，图中阴影部分周长的值最小，∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝30°，∴∠DOC＝120°，∵OD＝OA＝OC，∴∠D＝∠OCD＝30°，过C作CE⊥AO于E，∴∠CEO＝90°，∴∠OCE＝30°，∵OC＝OA＝2，∴OE＝OC＝1，∴DE＝OE+OD＝3，CE＝＝＝，∴CD＝＝＝2，∴AP′+CP′＝2，∵的长＝＝π，∴图中阴影部分周长的最小值是2+π，故答案为：2+π．【点评】本题考查了弧长的计算，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．题型4：弧长计算与实际应用问题4.有一段圆弧形公路，弯道半径为45米，请你计算，圆心角等于60°的圆弧形公路有多少米长？（精确到0.1米）【分析】根据弧长公式计算即可得．【解答】解：圆心角等于60°的圆弧形公路长为＝15π≈47.1米，答：圆心角等于60°的圆弧形公路长47.1米．【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式4-1】如图，已知中心线的两个半圆弧半径都为1000mm，两直管道的长度都为2000mm，求图中管道的展直长度（即图中虚线所表示的中心线的长度，精确到1mm）【分析】先计算出扇形的弧长再加上直管道的长度即可．【解答】解：图中管道的展直长度＝2×+4000＝2000π+4000≈10280（mm）．【点评】主要考查了扇形的弧长公式，这个公式要牢记．弧长公式为：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．扇形面积公式 半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n°的圆心角所对的扇形面积公式：题型5：应用公式计算扇形面积5.一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（ ）A．30πcm2B．60πcm2C．120πcm2D．180πcm2【分析】先根据题意可算出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可得出答案．【解答】解：根据题意可得，设扇形的半径为rcm，则l＝，即10π＝，解得：r＝12，∴S＝＝＝60π（cm2）．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．【变式5-1】已知一个扇形的圆心角的度数为120°，半径长为3，则这个扇形的面积为多少？（结果保留π）【分析】根据扇形的面积公式S＝πR2直接计算即可．扇形＝πR2＝×π×32＝3π，【解答】解：S扇形答：这个扇形的面积为3π．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记公式和准确计算是解题的关键．【变式5-2】如图、A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求扇形OAC的面积．【分析】连接OB，证明△AOB，△BOC都是等边三角形，得∠AOC＝120°，利用扇形面积公式计算即可．【解答】解：如图，连接OB，∵四边形ABCO是菱形，∴OA＝OC＝AB＝BC＝OB，∴△AOB，△BOC都是等边三角形，∴∠AOC＝120°，∴S＝＝．扇形OAC【点评】本题考查扇形面积公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．题型6：列方程求圆心角或半径6.已知扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，则扇形的半径为（ ）A．6cm B．12cm C．18cm D．36cm【分析】设扇形的半径为r，再根据扇形的面积公式求出r的值即可．【解答】解：设扇形的半径为r，∵扇形的圆心角为30°，面积为3πcm2，∴＝3π，解得r＝6（cm）．故选：A．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．【变式6-1】已知一个扇形的半径为R，圆心角为n°，当这个扇形的面积与一个直径为R的圆面积相等时，则这个扇形的圆心角n的度数是（ ）A．180°B．120°C．90°D．60°【分析】根据扇形和圆的面积公式列方程即可得到结论．【解答】解：根据题意得，＝（）2π，解得：n＝90，故选：C．【点评】本题考查了扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解题的关键．【变式6-2】已知⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，圆心角∠AOB是多少度？【分析】根据扇形的面积公式S＝，得n＝，代入数据计算即可．【解答】解：设∠AOB＝n，∵⊙O的半径为2cm，扇形AOB的面积为πcm2，∴S＝＝＝π，解得：n＝90°，∴∠AOB是90°．【点评】本题考查了扇形的面积，熟记扇形的面积公式是解题的关键．题型7：扇形计算与实际应用问题7.如图，一扇形纸扇完全打开后，AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为18cm，求纸扇上贴纸部分的面积．【分析】先求出AD的长度，再根据扇形的面积公式分别求出扇形DAE和扇形BAC的面积即可．【解答】解：∵AB＝30cm，BD＝18cm，∴AD＝AB﹣BD＝30﹣18＝12（cm），∴纸扇上贴纸部分的面积S＝S扇形BAC ﹣S扇形DAE＝﹣＝300π﹣48π＝252π（cm2）．【点评】本题考查了扇形的面积公式，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为．【变式7-1】某灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径OA＝24cm，OC ＝12cm，∠AOB＝135°．（计算结果保留π）（1）若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），至少需要多长的花边？（2）求灯罩的侧面积（接缝处忽略不计）．【分析】（1）主要是求阴影部分扇形环的外环和内环的弧长之和，即求优弧AB+优弧CD；直接利用弧长公式求解即可．（2）求扇环的面积，即S侧＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）．【解答】解：（1）优弧的长为（cm），优弧的长为（cm），至少需要花边的长度为30π+15π＝45π（cm）；（2）灯罩的侧面积＝S阴影＝（π×242﹣S扇形OAB）﹣（π×122﹣S扇形OCD）＝．【点评】主要考查了利用弧长公式和扇形的面积公式，通过面积差求扇形的面积．【变式7-2】如图，一只小羊被主人用绳子拴在长为5米，宽为2米的长方形水泥台的一个顶点上，水泥台的周围都是草地．（1）若绳子长为4米，求这只羊能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）（2）为了增加小羊吃草的范围，现决定把绳子的长度增加到6米，求这只羊现在能吃到草的区域的最大面积．（结果保留π）【分析】（1）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可；（2）先根据题意和扇形面积公式列出算式，再求出即可．【解答】（1）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝+＝13π（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是13π平方米；（2）解：当绳子长为4米时，这只羊能吃到草的区域的最大面积S＝++＝（平方米），答：这只羊能吃到草的区域的最大面积是平方米．【点评】本题考查了矩形的性质和扇形的面积计算，能根据扇形公式列出算式是解此题的关键．题型8：求阴影部分面积-规则图形8（S阴=S扇-S△）.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，AB＝2，以点B为圆心，AB为半径画弧，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，则图中阴影部分面积为（ ）A．B．C．D．【分析】根据S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴cos A＝＝，∴∠A＝60°，∵BA＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∴S阴＝S扇形BAD﹣S△ABD＝﹣×22＝π﹣，故选：B．【点评】本题考查扇形面积的计算，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．【变式8-1】（S阴=S大扇-S小扇）如图是2022年杭州亚运会徽标的示意图，若AO＝5，BO＝2，∠AOD＝120°，则阴影部分面积为（ ）A．14πB．7πC．D．2π【分析】根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC，求解即可．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝﹣＝＝7π，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积，解题的关键是熟记扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．【变式8-2】（化零为整）如图，分别以n边形的顶点为圆心，以2为半径画圆，则图中阴影部分面积之和为（ ）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】由题意得到各顶点的扇形圆心角之和即为n边形外角和，利用扇形面积公式计算即可求出阴影部分面积．【解答】解：∵n边形的外角和为360°，半径为2，∴S 阴影＝＝4πcm 2，故选：D ．【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及多边形的内角和与外角和，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．【变式8-3】（S 阴=S △-S 扇）如图，正三角形ABC 的边长为8，点D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，4为半径作圆，则图中阴影部分的面积为 16﹣8π　．（结果保留π）【分析】连接AD ，根据等边三角形的性质得出AB ＝AC ＝BC ＝8，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，求出圆的半径为4，再分别求出△ABC 的面积和三个扇形的面积即可．【解答】解：连接AD ，则BD ＝CD ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝8，∴BD ＝CD ＝4，即三个圆的半径都是4，由勾股定理得：AD ＝＝＝4，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣3S 扇形BFD ＝﹣3×＝16﹣8π，故答案为：16﹣8π．【点评】本题考查了等边三角形的性质，扇形的面积公式等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．题型9：求阴影部分面积-不规则图形9（割补法）.如图，在正方形ABCD中有一点P，连接AP、BP，旋转△APB到△CEB的位置．（1）若正方形的边长是8，PB＝4．求阴影部分面积；（2）若PB＝4，PA＝7，∠APB＝135°，求PC的长．【分析】（1）根据旋转的性质得到△APB≌△CEB，则BP＝BE，∠ABP＝∠EBC；以B为圆心，BP 画弧叫AB于F点，如图，易得扇形BFP的面积＝扇形BEQ，则图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，于是S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ，然后根据扇形的面积公式计算即可；（2）连PE，利用△APB≌△CEB得到BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，易得△PBE为等腰直角三角形，则∠BEP＝45°，PE＝4，则∠PEC＝135°﹣45°＝90°，然后在Rt△PEC中根据勾股定理计算即可得到PC的长．【解答】解：（1）∵把△APB旋转到△CEB的位置，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE，∠ABP＝∠EBC，以B为圆心，BP画弧叫AB于F点，如图，∴扇形BFP的面积＝扇形BEQ，∴图形ECQ的面积＝图形AFP的面积，∴S阴影部分＝S扇形BAC﹣S扇形BFQ＝﹣＝12π；（2）连PE，∴△APB≌△CEB，∴BP＝BE＝4，∠ABP＝∠EBC，PA＝EC＝7，∠BEC＝∠APB＝135°，∴△PBE为等腰直角三角形，∴∠BEP＝45°，PE＝4，∴∠PEC＝135°﹣45°＝90°，∴PC＝＝＝9．【点评】本题考查了扇形的面积公式：S＝（其中n为扇形的圆心角的度数，R为半径）．也考查了正方形和旋转的性质．【变式9-1】（等面积法）如图，A是半径为1的⊙O外的一点，OA＝2，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连接AC．则图中阴影部分面积等于（ ）A．B．C．D．【分析】△OBC与△BCA是同底等高，则它们的面积相等，因此阴影部分的面积实际是扇形OCB的面积；扇形OCB中，已知了半径的长，关键是圆心角∠COB的度数．在Rt△ABO中，根据OB、OA 的长，即可求得∠BOA的度数；由于OA∥BC，也就求得了∠OBC的度数，进而可在△COB中求出∠COB的度数，由此可根据扇形的面积公式求出阴影部分的面积．【解答】解：OB是半径，AB是切线，∵OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∴sin A＝＝，∴∠A＝30°，∵OC＝OB，BC∥OA，∴∠OBC＝∠BOA＝60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影＝S扇形CBO＝＝．故选：A．【点评】本题利用了平行线的性质，同底等高的三角形面积相等，切线的概念，正弦的概念，扇形的面积公式求解．【变式9-2】（构造法）求阴影部分面积．【分析】构造图2，得到图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，易求得图2中S1+S2+S3+S4的值，得到图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）．【解答】解：如图：图1中的S1、S2、S3、S4，与图2中的S1、S2、S3、S4相等，由图2可知：S1+S2+S3+S4＝（2a）2﹣πa2＝4a2﹣πa2，图1中的阴影为﹣（S1+S2+S3+S4）＝πa2﹣（4a2﹣πa2）＝2πa2﹣4a2．【点评】本题考查了图形面积的计算，利用图形的等面积变换可以简化计算．圆锥的侧面积和全面积 连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线. 圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n°，则 圆锥的侧面积2360l S rl p p =扇n =，圆锥的全面积.注意： 扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.题型10：求圆锥的侧面积（全面积）10.已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）A ．24B ．48C ．12πD ．24π【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积．【解答】解：它的侧面展开图的面积＝×2π×4×6＝24π．故选：D ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-1】一个圆锥的底面直径是8cm ，母线长为9cm ，则圆锥的全面积为（ ）A ．36πcm 2B ．52πcm 2C ．72πcm 2D ．136πcm 2【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算出圆锥的侧面积，然后计算侧面积与底面积的和．【解答】解：圆锥的全面积＝π×42+×2π×4×9＝52π（cm 2）．故选：B ．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式10-2】如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为 120°，求这个扇形的面积．【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可．【解答】解：∵底面圆的面积为100π，∴底面圆的半径为10，∴扇形的弧长等于圆的周长为20π，设扇形的母线长为r，则＝20π，解得：r＝30，∴扇形的面积为πrl＝π×10×30＝300π，【点评】本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．题型11：计算底面半径或展开图圆心角11.圆锥的轴截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（ ）A．60°B．90°C．120°D．180°【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，∵它的轴截面是正三角形，∴R＝2r，∴2πr＝，解得n＝180°，故选：D．【点评】用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．【变式11-1】一个扇形半径30cm，圆心角120°，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（ ）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm【分析】设圆锥底面半径为rcm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到2πr＝，然后解方程即可．【解答】解：设圆锥底面半径为rcm，根据题意得2πr＝，解得r＝10，即圆锥底面半径为10 cm．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式11-2】如图，圆锥的侧面积恰好等于其底面积的2倍，求该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数．【分析】设出母线长与底面半径，根据题意和圆的面积，扇形的面积公式求解．【解答】解：设母线长为R，圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为n，底面半径为r．∴底面周长＝2πr，底面面积＝πr2，侧面积＝×2πr×R＝πRr＝2×πr2，∴R＝2r，∴＝2πr＝πR，∴n＝180°．【点评】本题利用了扇形的面积公式，圆的面积公式，弧长公式，圆的周长公式求解．注意圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．题型12：圆锥计算与实际应用问题12.用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示．（1）求圆锥的高；（2）求所需铁皮的面积S（结果保留π）．【分析】（1）根据勾股定理即可求出高；（2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△AOB中，根据勾股定理，AO＝＝＝30（cm），∴圆锥的高为30cm；（2）80π×50＝2000π（cm2），答：所需铁皮的面积为2000πcm2．【点评】本题考查的是圆锥的计算，正确理解圆锥与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【变式12-1】一个圆锥形沙堆，底面半径是5米，高是2.5米．（π取3）（1）求这堆沙子有多少立方米？（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺多少米？（3）在（2）的条件下，一台压路机的前轮直径是1m，前轮宽度是2m．如果前轮每分钟转动6周，这台压路机压一遍这段路面大约需要多少分钟？（得数保留整数．）【分析】（1）根据圆锥的体积公式求出这堆沙子的立方米数；（2）根据体积相等列式计算；（3）根据压路机一分钟压的面积，进而求出需要的分钟数．【解答】解：（1）圆锥的体积＝×π×52×2.5＝π≈62.5（立方米），答：这堆沙子约有62.5立方米；（2）用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺的米数为：62.5÷（10×0.02）＝312.5（米），答：用这堆沙子在10m宽的公路上铺2cm厚的路面，能铺312.5米；（3）压路机一分钟压的面积＝π×1×2×6≈36（平方米），则这台压路机压一遍这段路面大约需要的时间＝312.5×10÷36≈87（分）．【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的体积公式、圆的面积公式是解题的关键．【变式12-2】蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，其外形可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建20个底面半径为4m，总高为4.5m，外围（圆柱）高为1.5m的蒙古包（不包含底面圆），至少需要多少m2的毛毡？【分析】由底面圆的半径＝4米，由勾股定理求得母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【解答】解：∵底面半径＝4米，高为4.5m，外围（圆柱）高1.5m，∴圆锥高为：4.5﹣1.5＝3（m），∴圆锥的母线长＝＝5（m），∴圆锥的侧面积＝π×4×5＝20π（平方米）；圆锥的周长为：2π×4＝8π（m），圆柱的侧面积＝8π×1.5＝12π（平方米）．∴故需要毛毡：20×（20π+12π）＝640π（平方米）．【点评】此题主要考查了勾股定理，圆面积公式，扇形的面积公式，矩形的面积公式等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．题型13：圆锥与最短距离13.如图，AB为圆锥轴截面△ABC的一边，一只蚂蚁从B地出发，沿着圆锥侧面爬向AC边的中点D，其中AB＝6，OB＝3，请蚂蚁爬行的最短距离为 ．【分析】先把圆锥侧面展开得到扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，利用弧长公式得到2π×3＝，解得n＝180，则∠CAB′＝90°，利用勾股定理计算出B′D，然后根据两点之间线段最短求解．【解答】解：圆锥的侧面展开图为扇形CAC′，如图，设圆锥的侧面展开图的圆心角为n，根据题意得2π×3＝，解得n＝180，∴∠CAB′＝90°，∵D为AC的中点，∴AD＝3，在Rt△ADB′中，B′D＝＝3，∴蚂蚁爬行的最短距离为3．故答案为3．【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式13-1】已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线PB的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离．【分析】最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算．【解答】解：圆锥的底面周长是8π，则8π＝，∴n＝120°，即圆锥侧面展开图的圆心角是120度．∴∠APB＝60°，∵PA＝PB，∴△PAB是等边三角形，∵C是PB中点，∴AC⊥PB，∴∠ACP＝90度．∵在圆锥侧面展开图中AP＝12，PC＝6，∴在圆锥侧面展开图中AC＝＝6cm．最短距离是6cm．【点评】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．【变式13-2】圆锥的底面半径是3，母线长是9，P是底面圆周上一点：从点P拉一根绳子绕圆锥侧面一周，再回到P点，求这根绳子的最短长度．【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到的扇形的弧所对直径，转化为求直径的长的问题．【解答】解：将圆锥侧面沿AB剪开展平，连BB′，则BB′就是所求绳子长．由2π×3＝得n＝120，作AC⊥BB'，则∠2＝60°BB'＝2BC，∴∠3＝30°∴AC＝，BC＝，∴BB′＝9．【点评】本题主要考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．一、单选题1．如图，△ABC内接于⊙O，∠A=60°，OM⊥BC于点M，若OM=2，则BC的长为（ ）A ．4πB ．43πC ．83πD ．163π【答案】C 【解析】【解答】解：如图示，链接OC ，OB ，∵∠A =60°∴∠COB =120° ,∵OM ⊥BC ， OM =2∴∠COM =60° ， OC =OM cos60∘=212=4 ，∴BC =120∘×2×π×4360∘=83π ，故答案为：C【分析】链接OC ，OB ，利用圆周角定理可得 ∠COB =120° ，根据 OM ⊥BC ， OM =2 ，可求出 OC =4 ，利用弧长公式即可求出 BC 的长度.2．扇形的圆心角为60°，面积为6π，则扇形的半径是（ ）A ．3B ．6C ．18D ．36【答案】B 【解析】【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．【解答】扇形的面积=60πr 2360=6π．解得：r=6，故选：B ．3．如图， AC ⊥BC ， AC =BC =8 ，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心， BC 为半径作 AB ，过点O 作AC 的平行线交两弧于点D 、E ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．20π3−8B ．20π3C ．−20π3D ．+20π3【答案】A【解析】【解答】解：如图，连接CE.∵AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝8，以BC 为直径作半圆，圆心为点O ；以点C 为圆心，BC 为半径作弧AB ，∴∠ACB ＝90°，OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8.又∵OE ∥AC ，∴∠ACB ＝∠COE ＝90°.∴在Rt △OEC 中，OC ＝4，CE ＝8，∴∠CEO ＝30°，∠ECB ＝60°，OE ＝4，∴S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE＝ 60π×82360−14×42π−12×4×= 20π3−8故答案为：A.【分析】如图，连接CE.图中S 阴影＝S 扇形BCE −S 扇形BOD −S △OCE .根据已知条件易求得OB ＝OC ＝OD ＝4，BC ＝CE ＝8，∠ECB ＝60°，OE ＝4，所以由扇形面积公式、三角形面积公式进行解答即可.4．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．1534﹣ 32πB ．1532 ﹣ 32πC ．734﹣ π6D ﹣ π6【答案】A【解析】【解答】解：如图连接OD 、CD ．∵AC 是直径，∴∠ADC=90°，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，∵OC=OD ，∴△OCD 是等边三角形，∵BC 是切线．∴∠ACB=90°，∵BC=2，∴AB=4，AC=6，∴S 阴=S △ABC ﹣S △ACD ﹣（S 扇形OCD ﹣S △OCD ）= 12 ×6×2 ﹣ 12 ×3× ﹣（ 60π⋅32360 ﹣ 34×32）= ﹣ 32 π．故答案为：A ．【分析】如图连接OD 、CD ．根据圆周角定理及三角形内角和及同圆的半径相等得出△OCD 是等边三。

圆锥1、圆有关的计算: (1)弧长计算公式：180Rn l π=（R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数，l 为弧长） (2)扇形面积：2360R n S π=扇形或lR S 21=扇形（R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数，l 为扇形的弧长） (3) 圆锥：扇形到圆锥三个不变量侧面积计算公式：圆锥的母线即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长，这样，S 圆锥侧=S 扇形=21·2πr · l = πrl其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的地面半径。

圆锥全面积计算公式S 圆锥全=S 圆锥侧＋S 圆锥底面= πr l ＋πr 2=πr （l ＋r ） 圆锥的高：22r R h -=算弧长：【经典例题1】如图，在▱ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB ＝12，∠C ＝60°，则FE ︵的长为__π__．（可改面积）【解析】如图连接OE 、OF ，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90∘，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60∘，∴∠A=∠C=60∘，∠D=120∘，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60∘，∴∠DFO=120∘，∴∠EOF=360∘−∠D−∠DFO−∠DEO=30∘，E^F的长=30⋅π⋅6180=π．故答案为：π．练习1-1（2020吉林）如图，在四边形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F．若∠ABD＝∠ACD＝30°，AD＝1，则的长为（结果保留π）．【解析】在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD ＝∠CBD ＝30°，∠ADB ＝∠CDB ，CD ＝AD ＝1， ∴∠ABC ＝60°，∵AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ， ∴BD ⊥AC ，且AO ＝CO ， ∴∠ACB ＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD ＝∠ACB +∠ACD ＝90°， 在Rt △BCD 中，∵∠CBD ＝30°， ∴BD ＝2CD ＝2， 在Rt △COD 中，∵∠ACD ＝30°， ∴OD ＝CD ＝， ∴OB ＝BD ﹣OD ＝2﹣＝，∴的长为：＝，故答案为．练习1-2(2020·南充）如图，AB 是O 的直径，CD 是弦，点,C D 在直径AB 的两侧．若::2:7:11AOC AOD DOB ∠∠∠=，4CD =，则CD 的长为（ ）A ．2πB ．4π C．2D【解析】D 运动路径长度【经典例题2】（2020四川南充）如图，四个三角形拼成一个风车图形，若AB ＝2，当风车转动90°，点B 运动路径的长度为（ ）ODCBAA ．πB ．2πC ．3πD ．4π 【解析】由题意可得：点B 运动路径的长度为=90×π×2180=π，故选：A ．练习2-1如图，将边长为1 cm 的等边三角形ABC 沿直线l 向右翻动（不滑动），点B 从开始到结束，所经过路径的长度为( )A.23πcm B. (2+32π)cm C. 34πcm D. 3cm 【解析】∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ACB=60∘， ∴∠AC(A)=120∘，点B 两次翻动划过的弧长相等，则点B 经过的路径长=2×1801120⨯π=34π.故选C.练习2-2如图，把Rt △ABC 的斜边AB 放在直线L 上，按顺时针方向在L 上转动两次使它转到△DEF 的位置，设BC=3，AC=1，则点A 运动到点D 的位置时，点A 经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线L 所围成的面积是多少？【解析】∵BC=3，AC=1，∴tan ∠ABC=BC AC =31=33，AB=2)3(122=+， ∴∠ABC=30∘， ∴∠CBF=150∘， ∴点A 经过的路线长=1802150⨯π+180190⨯π=π613. ∴点A 经过的路线与直线L 所围成的面积=3604150⨯π+360190⨯π=π1223.练习2-3如图所示，将边长为8cm 的正方形ABCD 沿直线l 向右翻动（不滑动），当正方形连续翻动三次后，正方形ABCD 的中心经过的路线长是__________cm ．lABCD(A)(D)…【解析】正方形的对角线长是82cm ，翻动一次中心经过的路线是半径是对角线的一半为半径，圆心角是90度的弧。

九年级数学弧、扇形及圆锥相关计算全解（圆）基础练习试卷简介:全卷共三个大题，第一题是选择题，6小题，每题6分；第二题是填空题，4小题，每题6分；第三题是计算题，2小题，每题20分，满分100分，测试时间60分钟。

本套试卷立足弧长公式、扇形面积公式、锥形侧面积公式，考察了学生对弧长公式、扇形面积公式、锥形侧面积公式技巧的掌握。

有些题目计算起来有点复杂，学生在做题过程中可以回顾本章知识点，认清自己对知识的掌握及灵活运用程度。

学习建议:本讲主要内容是弧、扇形面积、圆锥侧面积的运算技巧，在中考时常以填空题或选择题的形式出现，技巧的运用能力需要大家通过大量的联系可以练就。

大家需牢记各个公式之间的联系，并且计算时一定要认真仔细，计算结果要带上单位，务必保证结果正确。

本章题目灵活多变，但万变不离其宗，只要掌握最基本的计算公式，再多加练习，就能轻松掌握。

一、单选题(共6道，每道6分)1.如图已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A.4π cm2B.6π cm2C.9π cm2D.12π cm2答案：D解题思路：圆锥的侧面积即为扇形AOB的面积，由扇形面积公式（cm2 ）易错点：不会把圆锥的侧面积转化为扇形的面积，另外扇形面积公式不熟悉试题难度：一颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算2.如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．则半径为2的“等边扇形”的面积为（）A.B.C.D.答案：C解题思路：由扇形面积公式。

易错点：对这种形式的扇形面积公式不熟悉。

试题难度：二颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算3.如图，已知圆O的半径OA=6，∠AOB=90°，则∠AOB所对的弧AB长为（）A.B.C.D.答案：B解题思路：由弧长公式易错点：弧长公式不熟练.试题难度：三颗星知识点：弧长、扇形、圆锥、圆柱的相关计算4.将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，AO的长为4cm ，OC的长为2cm ，则图中阴影部分的面积为（）A.B.C.D.答案：C解题思路：连结OB，把阴影部分分割为扇形AOB和Rt△OBC。

01已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A．圆锥的底面半径为3 B．tanα=C．圆锥的表面积为12πD．该圆锥的主视图的面积为8已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A．圆锥的底面半径为3 B．tanα=C．圆锥的表面积为12πD．该圆锥的主视图的面积为8【考点】圆锥的计算．【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长=2πr=，求出r以及圆锥的高h即可解决问题．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h．由题意：2πr=，解得r=2，h==4，所以tanα==，圆锥的主视图的面积=×4×4=8，表面积=4π+π×2×6=16π．∴选项A、B、C错误，D正确．故选D．【点评】本题考查圆锥的有关知识，记住侧面展开图的弧长=2πr=，圆锥的表面积=πr2+πrl是解决问题的关键，属于中考常考题型．02如图，是半径为1的圆弧，∠AOC 等于45°，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s 的取值范围是 （ ）A ．42242+≤≤S B ．42242+≤<S C ．22222+≤≤S D ．22222+<<S如图，是半径为1的圆弧，∠AOC 等于45°，D 是上的一动点，则四边形AODC 的面积s 的取值范围是 （ ）A ．42242+≤≤S B ．42242+≤<S C ．22222+≤≤S D ．22222+<<S 答案:B 解析如图，过点C 作CF 垂直AO 于点F,过点D 作DE 垂直CO 于点E, ∵CO=AO=1，∠COA=45°所以CF=FO=22，∴S △AFC=22121⨯⨯42=则面积最小的四边形面积为D 无限接近点C 所以最小面积无限接近42但是不能取到∵△AOC 面积确定，∴要使四边形AODC 面积最大，则要使△COD 面积最大。

浙教新版九年级上册《3.8弧长及扇形的面积》2024年同步练习卷（3）一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若扇形的圆心角为，半径为6，则该扇形的弧长为()A. B. C. D.2.如图，半径是1，A、B、C是圆周上的三点，，则劣弧的长是()A.B.C.D.3.如图是两个同心圆的一部分，已知，则的长是的长的()A.B.2倍C.D.4倍4.如图，在的正方形网格中，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的长为()A.B.C.D.5.如图，内接于，，若，则的长为()A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

6.已知弧的长为，弧的半径为6cm ，则圆弧的度数为______.7.一块等边三角形木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，如图所示，若翻滚了40次，则B 点所经过的路径长度为______.8.如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为2，则该莱洛三角形的周长为______.9.在半径为6cm 的圆中，的圆心角所对的弧长为______10.如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为以点O 为圆心，4为半径画弧，交图中网格线于点A 、B ，则的长为______.11.已知一个半圆形工件，搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为6m ，则圆心O 所经过的路线长是______结果用表示三、计算题：本大题共1小题，共6分。

12.如图，已知四边形ABCD 内接于圆O ，连接BD ，，求证：；若圆O 的半径为3，求的长．四、解答题：本题共2小题，共16分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

13.本小题8分一段铁丝长，把它弯成半径为160cm的一段圆弧，求铁丝两端间距离.14.本小题8分如图，在矩形ABCD中，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动，转动3s后停止，则顶点A经过的路程为多长？答案和解析1.【答案】B【解析】解：弧长故选：根据弧长公式进行求解即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：2.【答案】B【解析】解：连OB，OC，如图，，，劣弧的长故选连OB，OC，根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算劣弧的长．本题考查了弧长公式：也考查了圆周角定理．3.【答案】A【解析】解：设，，则，，的长是的长的故选：利用弧长公式计算即可．本题考查了弧长公式：弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为熟记公式是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：根据图示知，，的长为：故选根据图示知，所以根据弧长公式求得的长．本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题．连接OB，OC，首先证明是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．【解答】解：连接OB，，，，，的长为，故选：6.【答案】【解析】解：设圆心角为n，则即圆弧的度数的把数量关系对应代入弧长公式，即可求解．主要考查了弧长公式：本题是利用弧长公式作为相等关系求圆心角的度数，即弧度．7.【答案】【解析】解：从图中发现：B点从开始至结束所走过的路径长度为两段弧长即第一段，第二段故B点翻滚一周所走过的路径长度，三次一个循环，……1，若翻滚了40次，则B点所经过的路径长度为故答案为：B点翻滚一周所走过的路径长度为两段弧长，一段是以点C为圆心，BC为半径，圆心角为，第二段是以A为圆心，AB为半径，圆心角为的两段弧长，依弧长公式计算即可．本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，求出两次旋转的角度是解题的关键．8.【答案】【解析】解：该莱洛三角形的周长故答案为：直接利用弧长公式计算即可．本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键．9.【答案】【解析】解：半径为6cm的圆中，的圆心角所对的弧长为：故答案为：直接利用弧长公式求出即可．此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．10.【答案】【解析】解：如图，，，，，的长，故答案为：如图，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理得到，根据弧长公式计算即可．本题考查了弧长的计算、解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，属于中考常考题型．11.【答案】【解析】解：由图形可知，圆心先向前走的长度即圆的周长，然后沿着弧旋转圆的周长，最后向右平移50米，所以圆心总共走过的路程为圆周长的一半即半圆的弧长加上50，由已知得圆的半径为3，设半圆形的弧长为l，则半圆形的弧长，故圆心O所经过的路线长故答案为：根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即根据弧长的公式先求出半圆形的弧长，即半圆作无滑动翻转所经过的路线长，把它与沿地面平移所经过的路线长相加即为所求．本题主要考查了弧长公式，同时考查了旋转的知识．解题关键是得出半圆形的弧长=半圆作无滑动翻转所经过的路线长．12.【答案】证明：四边形ABCD内接于圆O，，，，；解：连接OB、OC，，，由圆周角定理得，，的长【解析】根据圆内接四边形的性质求出，根据等腰三角形的判定定理证明；连接OB、OC，根据圆周角定理求出，根据弧长公式计算即可．本题考查的是圆内接四边形的性质、弧长的计算，掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键．13.【答案】解：设半径为160cm的一段圆弧的角度为n，则解得所以铁丝两端间距离为【解析】由半径为160cm的一段圆弧的长度为一段铁丝长，求得圆弧的角度，进一步利用勾股定理求得结论即可．此题考查弧长计算公式的运用，以及．勾股定理的运用，注意利用特殊的角度直接解决问题14.【答案】解：由勾股定理得矩形ABCD的对角线长为10，从A到，，路线长为；从到，，路线长为；从到，，路线长为；所以顶点A经过的路程为【解析】由勾股定理得矩形ABCD的对角线长为10，从A到是以B点为圆心AB为半径的弧，从到是以C为圆心AC为半径的弧，从到是以D为圆心AD为半径的弧，利用弧长公式即可求出顶点A经过的路线长．本题主要考查圆的弧长公式，旋转的性质以及勾股定理的运用，此题正确理解题意也很重要．。

【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

接此类题目时，要求考生熟记弧长的计算公式，扇形的面积公式等基本知识，在做题时注意找出已知量，标出所求量，根据公式计算即可。

【2022·江苏徐州·中考真题】如图，圆锥的母线AB＝6，底面半径CB＝2，则其侧面展开图扇形的圆心角α＝_______．【考点分析】本题考查圆的周长公式，弧长公式，方程思想在初中数学的学习中非常重要，是中考的热点，在各种题型中均有出现，要特别注意．【思路分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到6180απ⨯＝2π•2，然后解方程即可．【2022·江苏宿迁·中考真题】将半径为6cm，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径为______cm．【考点分析】本题考查了扇形、圆锥的知识；解题的关键是熟练掌握弧长公式、圆锥的性质，从而完成求解．【思路分析】根据弧长公式、圆锥的性质分析，即可得到答案．【2021·江苏徐州·中考真题】如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长l为8cm，扇形的圆心角90θ=︒，则圆锥的底面圆半径r为__________cm．【考点分析】本题考查了弧长、圆周长的知识；解题的关键是熟练掌握弧长计算的性质，从而完成求解．【思路分析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案．【2021·江苏宿迁·中考真题】已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°，则它的侧面展开图面积为_____________．【考点分析】考查了圆锥的计算，解题的关键是了解圆锥的侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长，难度不大．【思路分析】首先根据底面圆的半径求得扇形的弧长，然后根据弧长公式求得扇形的半径，然后利用公式求得面积即可．1．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室二模）把半径为12且圆心角为150︒的扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面圆的半径为__________．2．（2022·江苏·徐州市第十三中学三模）用一个直径为30cm圆形扫地机器人，打扫一间长为4m、宽为3m 的矩形房间，则打扫不到的角落的面积为______．（结果保留π）3．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）已知圆锥的底面圆半径是2，母线长是3，则圆锥的侧面积为______．4．（2022·江苏常州·二模）已知圆锥的底面半径为9，高为12，则这个圆锥的侧面积为____________．5．（2022·江苏南京·二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若扇形的半径R＝6cm，扇形的圆心角θ＝120°，该圆锥的高为______cm．6．（2022·江苏扬州·三模）小红用图中所示的扇形纸片制作一个圆锥形容器（接缝忽略不计）的侧面，已知扇形纸片的半径为5cm，圆心角为240°，那么这个圆锥形容器底面半径为______cm．7．（2022·江苏南京·二模）如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，则阴影部分的面积为______．8．（2022·江苏·二模）如图，将半径为4，圆心角为120°的扇形OAB绕点B逆时针旋转60°，得到扇形O'A'B，其中点A的运动路径为AA ，则图中阴影部分的面积和为_______．9．（2022·江苏无锡·模拟预测）学习圆锥有关知识的时候，韩老师要求每个同学都做一个圆锥模型，小华用家里的旧纸板做了一个底面半径为3cm ，母线长为5cm 的圆锥模型，则此圆锥的侧面积是__cm 2． 10．（2022·江苏徐州·二模）如图，圆锥的底面半径r 为6cm ，高h 为8cm ，则圆锥的侧面积为______2cm （结果保留π）．11．（2022·江苏南京·一模）如图，正方形ABCD 的边长为3，点E 为AB 的中点，以E 为圆心，3为半径作圆，分别交AD 、BC 于M 、N 两点，与DC 切于P 点．则图中阴影部分的面积是 _____．12．（2022·江苏苏州·一模）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，60DAB ∠=︒，4AB =．分别以点A ，点C 为圆心，AO ，CO 长为半径画弧交AB ，AD ，CD ，CB 于点E ，F ，G ，H ，则图中阴影部分面积为______．（结果保留根号和π）13．（2022·江苏南京·一模）如图，在正五边形ABCDE中，BD、CE相交于点O．以O为圆心，OB为半径画弧，分别交AB，AE于点M，N．若BC＝2，则MN的长为______（结果保留π）．AB=，将半圆O绕点B顺时针旋转45︒得到半圆'O，与14．（2022·江苏无锡·一模）如图，半圆O的直径6AB交于点P，图中阴影部分的面积等于__________．15．（2022·江苏无锡·一模）如图，边长为2的等边ABC的中心与半径为2的O的圆心重合，E，F分别是CA，AB的廷长线与O的交点，则图中阴影部分的面积为__________．16．（2022·江苏扬州·一模）如图，等腰Rt△AOD的直角边OA长为2，扇形BOD的圆心角为90°，点P 是线段OB的中点，PQ⊥AB，且PQ交弧DB于点Q．则图中阴影部分的面积是______．17．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，小明利用半径为40cm的扇形纸片制作成一个圆锥形纸帽（接缝忽略不计），若圆锥底面半径为10cm，那么这个圆锥的侧面积是_____cm2．（结果用含π的式子表示）18．（2022·江苏·靖江市滨江学校一模）如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝AD＝2，则BE的长为_____．19．（2022·江苏苏州·二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC 于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为_______．20．（2022·江苏盐城·一模）如图，半径为3的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为弧上一点，CD⊥OA，CE ⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为40°，则图中阴影部分的面积为_______．21．（2022·江苏徐州·模拟预测）如图，扇形OAB是一个圆锥的侧面展开图，∠AOB＝120°，AB的长为6πcm，则该圆锥的侧面积为_______cm2（结果保留π）．22．（2022·江苏·苏州高新区实验初级中学三模）如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，点C 是AB 的中点，过点C 的切线交OB 的延长线于点E ，当BE ＝43 __________________．23．（2022·江苏南京·模拟预测）如图，在Rt AOB 中，90AOB ︒∠=，3OA =，2OB =，将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是________．24．（2022·江苏南京·模拟预测）OABC 中，D 为边BC 上一点，且CD ＝1，以O 为圆心，OD 为半径作圆，分别与OA 、OC 的延长线交于点E 、F ，则阴影部分的面积为__．25．（2022·江苏无锡·模拟预测）如图，AB 是半圆O 的直径，以O 为圆心，C 为半径的半圆交AB 于C 、OC=，则图中阴影部分的面积为_________（结果保留D两点，弦AF切小半圆于点E．已知2OA=，1π）【填空题】必考重点11 弧长、扇形与圆锥侧面积的有关计算圆的有关计算主要包括弧长的计算、扇形的面积、圆锥的侧面积以及圆锥的半径或母线的长度计算，是江苏省各地市中考的必考点，难度一般或较为简单。

弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积 一、 温故而知新1、（ 旅顺）若圆锥的底面周长为20π，侧面展开后所得扇形的圆心角为120°，则圆锥的侧面积为 ．2、（2009 海南）正方形ABCD 的边长为2cm ，以B 点为圆心，AB 长为半径作，则图中阴影部分的面积为（ ） A 、（4— π）cm 2 B 、（8—π ）cm 2 C 、（2π —4）cm 2 D 、（π —2）cm 23、（2008 山西）要在面积为1256m 2的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是 m （π取3.14）4、（2009 陕西）已知圆柱的底面半径为3，高为8，求得这个圆柱的侧面积为（ ）A 、48πB 、48C 、24πD 、24 二、考点解读 （1）、考点1、圆周长：C=2πR2、弧长：L= n πR3、扇形面积：S=n πR 2=LR 4、圆柱的侧面积 S=2πr ·h （r 是底面积，r 是底面半径） S 表 =S 侧 + 2S 底=2πr ·h+ 2πr 2AC 11801360125、圆锥的侧面积 S=L ·2πr=πrL （L 是母线，r 是底面半径） S 表=S 侧 + S 底=πrL+πr 2 （2）、难点1、圆锥、圆柱侧面展开图的计算2、弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时 S 弓形=S 扇形－S ▲ ② 当弓形的弧是优弧时S 弓形=S 扇形+S ▲2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，一般不能直接利用公式，常采用① 割补法 ② 拼凑法 ③ 等积变形法 二、 例题讲解1、如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，求这个圆锥的 侧面积．解：根据条件得：圆锥母线长为10cm ，所以圆锥侧 面积为：S=πrL=π·6·10=60π变式题：如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为 2、AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、 BD 的延长线交于点C ，若CE=2，则图中阴影部分的 面积是（ ）A 、π－B 、πC 、π－D 、π解、∵ ∴ ∠A=∠ABC=600 ∴△ABC 是等边三角形 又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 即 BE ⊥AE ，∴AC=2CE=4=AB124332323313AE ED DB ==∴S 阴=S 扇形OBE －S ▲ABE =π－故选A变式题：AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是半圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若OA=2，则图中阴影部分的面积是（ ）3、已知矩形ABCD 的一边AB=5cm,另一边AD=2cm ，求：以直线AB 为轴旋转一周，所得到的圆柱的表面积 解：C=2π·AD=4π(cm)S=2π·AD 2+C ·AB=28π(cm 2) 变式题：已知矩形ABCD 的一边AB=10πcm,另一边AD=4cm ，求：将BC 、AD 边重合后所得圆柱的体积 三、 中考视窗1、（2009 广东）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短D 路线的长度是 (结果保留根式)． 解、小虫爬行的最短路线的长度是==22 如图，已知△ABC ，AC ＝BC ＝6，∠C ＝90°．O 是AB 的中点，⊙O与AC 相切于点D 、与BC 相切于点E ．设⊙O 交OB 于F ，连DF 并延长交CB 的延长线于G ． （1）∠BFG 与∠BGF 是否相等？为什么？（2）求由DG 、GE 和弧ED 围成图形的面积（阴影部分）．解： （1）∠BFG ＝∠BGF连OD ，∵OD ＝OF （⊙O 的半径）， ∴∠ODF ＝∠OFD∵⊙O 与AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC433π22222+2A B C DE F GOABCDEFGO又∵∠C ＝90°，即GC ⊥AC ，OD ∥GC ∴∠BGF ＝∠ODF又∵∠BFG ＝∠OFD ，∴∠BFG ＝∠BGF （2）连OE ，则ODCE 为正方形且边长为3∵∠BFG ＝∠BGF ∴BG ＝BF ＝OB －OF ＝3－3∴阴影部分的面积＝△DCG 的面积－(正方形ODCE 的面积－扇形ODE 的面积) ＝·3·(3＋3)－(32－·32)＝＋－ 四、 牛刀小试1、钟表的轴心到分针针端的长为5cm ，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（A ） （B ） （C ） （D ）2、已知圆锥侧面展开图的圆心角为90°，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）A ．1：2B ．2：1C ．1：4D ．4：13、如图，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心、2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交 AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．4－πB ．4－πC ．8－πD ．8－π221241ππ4922949cm 310πcm 320πcm 325πcm 350π949894984圆锥的底面半径为3cm ，母线长为5cm ，则它的侧面积为（ ） A. 60πcm 2 B. 45πcm 2 C. 30πcm 2 D15πcm 2、5、如图1，O 为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD ，沿母线AB 剖开，得剖面矩形ABCD ，AD ＝24 cm ，AB ＝25 cm ．若的长为底面周长的，如图2所示． (1)求⊙O 的半径；）(2)求这个圆柱形木块的表面积．(结果可保留和根号)六、总结、反思、感悟32弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积答案温故知新：1、A 2、A 3、4、300π例题变式题： 1、216o解：（cm ） C=2πr=12π∴n= 2、解：∵∴ ∠AOE=600, ∠BOE=1200又 AB 是⊙O 的直径 ∴∠AEB=900 ，即 BE ⊥AE ，O 为AB 中点∴S △AOE = S △OBE∵D 、E 是半圆的三等分点 ∴ S 弓AE = S 弓BD ，∴ S 阴= S 弓BE - S 弓BD = S 弓BE - S 弓AE=（ S 扇BE - S △OBE ）-（ S 扇AE - S △AOE ）= S 扇BE - S 扇AE=·120π·22-·60π·22=π3．解：R==5(cm) V=π·R 2·AD=100π(cm 3)牛刀小试：1、A 2、C 3、B 4、D00180216CLπ=AE ED DB ==13601360232ABπ5、（1） 连接0A ，过点O 作OH ⊥AD ∵的长是底面圆周长的∴∠AOD=1200 在Rt ▲AHO 中，AO=（2）S 表=2π·AO ·AB+2π·AO 2=（）π32012sin 60。

弧长和扇形面积及圆锥、圆柱面积 温故而知新1、（2009旅顺）若圆锥的底面周长为20 n ，侧面展开后所得扇形的 圆心角为120°贝卩圆锥的侧面积为 _______________2、（2009海南）正方形ABCD 勺边长为2cm,以B 点为圆心，AB 长为 半径作AC ,则图中阴影部分的面积为（）2 2A 、 （4— n ） cmB 、 （8— n ） cm22C 、（ 2 n — 4） cmD 、（兀—2） cm3、（2008山西）要在面积为1256吊的三角形广场ABC 的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪， 要求 草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径 应是—叱 （n 取3.14 ）4、（2009陕西）已知圆柱的底面半径为 3,高为8,求得这个圆柱 的侧面积为（）A 48 nB 、 48C 、 24 nD 、 24 二、考点解读 （1）、考点 1、圆周长：C=2兀R2、弧长：L=丄n n R1803、 扇形面积：S 二丄n n F f =- LR36024、 圆柱的侧面积 S=2 n r • h （r 是底面积，r 是底面半径）2S 表=S 侧 + 2S 底=2 n r • h+ 2 n rB CA5、圆锥的侧面积S= ?L • 2n r= n rL （L是母线，r是底面半径）33S 表=S 侧 + S 底=n rL+ n r (2)、难点1、 圆锥、圆柱侧面展开图的计算2、 弓形面积的求法：① 当弓形的弧是劣弧时S 弓形=S 扇形一& ② 当弓形的弧是优弧时S 弓形=S 扇形+&2、阴影部分面积的计算：阴影部分的面积一般是不规则图形的面积，形法1、如图，圆锥的底面半径为6cm 高为8cm 求这个圆锥的 侧面积.解：根据条件得：圆锥母线长为10cm 所以圆锥侧 面积为：S=n rL= n • 6 • 10=60 n变式题：如图，圆锥的底面半径为 6cm,高为8cm, 则将该圆锥沿母线剪开后所得扇形对应的圆心角为2、AB 是O O 的直径，点D E 是半圆的三等分点，AE BD 的延长线交于点C,若CE=2则图中阴影部分的 面积是( )又AB 是O 0的直径 •••/ AEB=90 即 BE 丄 AE 二 AC=2CE=4=AB故选A解、T AE 二 ED 二DB/ A=Z ABC=60ABC 是 等边三角形般不能直接利用公式，常采用①割补法②拼凑法③等积变例题讲解• •S 阴=S 扇形OBE变式题：AB 是。