测量数据处理及测量误差分析优秀课件

为 0.683。
因此，x
分别发生在区间［-2σ，2σ］
i
和［-3σ，3σ］的概率为
p
xi
2
2
1
exp
xi 2
2 2
dxi
0.955
2 2
p
xi
3
3
1
exp
xi2
2 2
dxi
0.997
3 2
☆ 在［-3σ，3σ］区间内， 发xi生的概率为 99.7%，
而不发生的概率只有0.3%，即每 测得1000次，其误差绝对值大于3σ的次数 仅有3次。因此，在有限次的测量中， 就 把 3σ定义为测量样本的极限误差
得不到，随机误差也难以得到。为此，采用最优
概值来代替 X0 ；
对应地引进剩余误差来代替
X0
1 n
n i 1
Xi
随机误差。其定义为：当进行有限次测量时，
各测得值 Xi与最优概值 X0 之差，称为剩余 误差或残差，用ν表示，
即： vi X i X 0
n
i
i1n i1Fra bibliotekXin i1
X0
n i1
当n =1时， X=X0 n 1 X X 0 2 0
11 0
上式无实际意义。说明对某一被测量仅测量 一次，其标准误差是无法用贝塞尔公式来确定的。 这也说明贝塞尔公式只有 n＞1 才有意义。 若测量之前不知道σ ，就必须用统计的方法计算
出σ ；初定时，测量次数最好不小于 6 次。
2.2 数据处理的基本原理与基本概念
2.1 随机误差
将上式两边开方，取算术平方根，得
1 lim n n
n
vi2
i 1
n
σ定义为测量值的标准误差或均方根误差，
也称标准偏差，简称标准差。
☆ 由于在实际测量中，n 为有限次。贝塞尔公式
1 n 1
n i 1
xi2
n1
σ反映了测量结果的精密度，σ小表示精
密度高，测量值集中；σ大表示精密度低，
测量值分散。
讨论 σ 计算 ？
2.1 随机误差
四、基于σ的随机误差的分布概率函数
设测量值 Xi 在 X0 到 X0+dX 范围内出现
的概率为p，它正比于dX，并与 X0值有关。
pX X i X dX (X )dX
(X ) 定义为测量值的分布密度函数或概率
分布函数，显然
p
Xi
X dX
测量数据处理及测量 误差分析
学习和掌握的内容 ( Keys)
1. 随机误差的分析、处理 2. 数据处理的基本原理与基本概念 3. 直接测量值和间接测量值的处理 4. 有效数字和等精度测量结果的处理 5. 系统误差的分析、处理
2.1 随机误差
一、随机误差的性质
在等精度测量条件 ( 测量次数 i= n >1 ) 下, 对 X
1
对于服从正态分布的随机误差 xi ，其概率密
度函数为：
f (xi )
1
xi
exp 2 2
2
2.1 随机误差
基于σ值变化的随机误差 xi 的概率分布
2.1 随机误差
上式的特征：
1.σ愈小， x 愈大，说明绝对值小的随机误
差出现的概率大；相反，绝对值大的随机误差
出现的概率小。随着σ的加大， x很快趋于
n
最小二乘法原理。而且， vi2 min 则意味着 i 1 n1 的值也小，测量结果的精密度高 。
二、测量误差的评价指标及其定义
1. 测量列的标准误差σ 及其极限误差Δmax 由前述可知，在有限次测量过程中，测量 列的标准误差σ：
n 1
1 n 1
n i 1
vi2
—贝塞尔公式
在贝塞尔公式中，n ＞1 ？
所做测量后得到Xi, { X1， X2, …, Xn }称为测量列
或者测量样本。分别将 f (Xi) –Xi 和f (xi) –xi ( xi = Xi - X0 )绘制在坐标图上 ( f (Xi) 和f (xi)分别称 为测量值和测量误差的概率函数 )，可得：
2.1 随机误差
一、随机误差的性质
（1）图1所示为测量值 Xi 的概率分布曲线
置信概率 p{ xi } ：
由概率论可知，对于服从正态分布的 xi ，
其 在区间［-σ，σ］发生的概率为
p
xi
1
exp
xi 2 2 2
dxi
0.683
2
其含义为，在进行大量等精度测量时，随机
误差在该区间［-σ，σ］发生的概率为 68.3%；
或者说，对应的测量值出现在该区间
［X0-σ，X0+σ］（该区间在概率论中称为置 信区间）内的概率（在概率论中称为置信概率）
随机误差的有界性。分析曲线 (2)可知，
随着 xi 的增加，f(xi) 迅速地减小，即大误
差出现的可能性很小，也就是说，随机误差
数值的出现有一定的范围；
由正态曲线的对称性可知，
n
随机误差的总和有一定的
lim
n
i 1
xi
0
补偿性。即
2.1 随机误差
二、剩余误差
在对测量数据进行测量的过程中，因 X0永远
Xi
n
1 n
n i1
Xi
0
2.1 随机误差
三、测量值 Xi的方差与标准差
当 n 时，测量值与最优概值之差的平
方和的统计平均值，就称为方差。
2 lim 1 n
n n i1
Xi X0
2
lim
n
1 n
n i1
vi2
2 称为测量值 Xi的样本方差，简称方差
vi 取平方的目的是：1. vi 无论 是正是负， 其平方总是正的，相加的和不会等于零，从 而可以用来描述测量值的分散程度。2. 在计 算过程中不必考虑的符号，给数据处理带来 方便。但是，导致了其单位是对应测量值量 纲的平方，使用不便。
一、最小二乘法原理
实际测量所得到的一系列数据 中的每一个
随机误差 xi 都满足误差方程(2)。如果测量列
X i 为等精度测量，为了求得最优概值，则
必须满足：目标函数
n
vi2 min
n
i 1
note：
i 0
i 1
即在等精度测量中，为了求 Xi 的最优概值
就要使各测量值的残差平方和为最小，这就是
f (Xi)
1
Xi
exp 2 2
2
(1)
（2）图2所示为测量误差 xi 的概率分布曲线
f (xi )
1
xi
exp 2 2
2
(2)
2.1 随机误差
一、随机误差的性质
随机误差的正、负值的分布具有对称性；
随机误差数值分布的规律性，即绝对值小
的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现
的概率小；
零，即超过一定界限的随机误差实际上几乎不 出现 (随机误差的有界性)。 2. 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 (随机误差的对称性和抵偿性)。 3. σ愈小，正态分布曲线愈尖锐，表明测量值 越集中，精密度高；反之，σ愈大，曲线愈平 坦，表明测量值分散，精密度越低。
2.2 数据处理的基本原理与基本概念