全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优(2)

北师大七下全等三角形的判定综合培优（解答题）1．如图，已知AB AC ⊥，AB AC =，AD AE =，BD CE =，试猜想AD 与AE 的位置关系并说明理由．2．已知:如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，ME∠AD ．求证:(1)AB=AE ；(2)AM 平分∠DAB ．3．如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB=CB ，BE=BD ，∠1=∠2．（1）求证：∠ABE∠∠CBD ；（2）证明：∠1=∠3．4．如图，∠ACB 和∠DCE 均为等腰三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE .若∠CAB ＝∠CBA ＝∠CDE ＝∠CED ＝50°.(1)求证：AD＝BE；(2)求∠AEB的度数．5．如图，已知∠ABC 中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D 为AB的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以1cm/s 的速度由点B 向点C 运动，同时，点Q 在线段CA 上由点C 向点A 运动．∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1 秒后，∠BPD 与∠CQP 是否全等，请说明理由；∠若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使∠BPD 与∠CQP 全等？（2）若点Q 以∠中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿∠ABC 三边运动，则经过后，点P 与点Q 第一次在∠ABC 的边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）6．如图（1）四边形ABCD中，已知∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，DA∠AB，点E在CD的延长线上，∠BAC＝∠DAE．（1）求证：∠ABC∠∠ADE；（2）求证：CA平分∠BCD；（3）如图（2），设AF是∠ABC的BC边上的高，求证：EC＝2AF．7．已知：如图，在∠ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C任作一射线CM，交AB于M，分别过A，B作AE∠CM，BF∠CM，垂足分别为E，F.(1)求证：∠ACE=∠CBF；(2)求证：AE=CF；(3)直接写出AE，BF，EF的关系式.8．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求证：AC=CD；（2）若AC =AE ，求∠DEC 的度数．9．如图，在四边形中ABCD 中，//,12,AB CD DB DC ∠=∠=，且DBC DCB ∠=∠.(1)求证: ABD EDC ∆≅∆;(2)若125,30A BDC ∠=︒∠=︒，求BCE ∠的度数.10．已知：如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ∠CE ，BE ∠CE ，垂足分别是点D ，E ．（1）求证：∠BEC ∠∠CDA ；（2）当AD ＝3，BE ＝1时，求DE 的长．11．如图，在四边形ABCD 中，AD∠BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ．（1）∠DAE 和∠CFE 全等吗？说明理由；（2）若AB ＝BC+AD ，说明BE∠AF ；（3）在（2）的条件下，若EF ＝6，CE ＝5，∠D ＝90°，你能否求出E 到AB 的距离？如果能请直接写出结果．12．如图1，AC BC =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点M ，连接CM ． ()1求证：BE AD =；()2求AMB ∠的度数（用含α的式子表示）； ()3如图2，当90α=o 时，点P 、Q 分别为AD 、BE 的中点，分别连接CP 、CQ 、PQ ，判断CPQ V 的形状，并加以证明．13．以点A 为顶点作等腰Rt∠ABC ，其中∠BAC=∠DAE=90°，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接BD 、CE,延长BD 交CE 于点F.（1）试判断BD、CE的关系，并说明理由；（2）把两个等腰直角三角形按如图2所示放置，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.14．如图：在∠ABC中，∠C=90°，AC=BC，过点C在∠ABC外作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN 于N．(1)MN=AM+BN成立吗？为什么？(2)若过点C在∠ABC内作直线MN，AM∠MN于M，BN∠MN于N，则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．15．如图，已知∠ABC是等边三角形，D、F分别为BC、AB边上的点，AF=BD,以AD为边作等边ΔADE.(1)求证:AE=CF;(2)求∠BEF的度数.16．如图所示，在∠ABC中，AD∠BC于D，CE∠AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD，(1)求证:∠ABD∠∠CFD；(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长。

八年级上学期培优辅导2等腰直角三角形与全等三角形1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE 相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=﹣1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：①AD=BD；②CE=BH；③AE=BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是．4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD=CE；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；（3）连接PA，则△PAB面积的最大值为．（直接填写结果）5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD 平行．（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？①BD平分AN，；②BD⊥AP，（填写“成立”或“不成立”）；（2）证明（1）中你的判断．（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，请直接写出CE的长度．6．已知：如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．（1）如图1，当F在BC边上时，求证：CF=2ME；（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？为什么？（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N 分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．（1）求证：CM+CN=BD；（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．11．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．①试说明∠PCM=∠NCM的理由；②求证：MN2=AM2+BN2；（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．12．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA=PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP=AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN=CP，AM⊥PN，求的值．等腰直角三角形与全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE 相交于点F，连接CF，则下列结论，①BF=AC；②∠FCD=45°；③若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长；④若∠FBD=30°，BF=2，则AF=﹣1．其中正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】想办法证明△ADC≌△BDF即可一一判断；【解答】解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD 的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC，∴BF=AC，故①正确，∴FD=CD，∴∠FCD=∠CFD=45°，故②正确；若BF=2EC，根据①得BF=AC，∴AC=2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF=CF，BA=BC，∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+ CD，即△FDC周长等于AB的长，故③正确．∵∠FBD=30°，BF=2，∴DF=1，BD=AD=，∴AF=﹣1，故④正确，故选：D．【点评】此题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．2．如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE=CF，当BF+CE取得最小值时，∠AFB=（）A．112.5°B．105°C．90°D．82.5°【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE=FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH 的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB=105°．【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接BH交AD于E，连接FH，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴AC=BC，∠DAC=30°，∴AC=CH，∵∠BCH=90°，∠ACB=60°，∴∠ACH=90°﹣60°=30°，∴∠DAC=∠ACH=30°，∵AE=CF，∴△AEC≌△CFH，∴CE=FH，BF+CE=BF+FH，∴当F为AC与BH的交点时，BF+CE 的值最小，此时∠FBC=45°，∠FCB=60°，∴∠AFB=105°，故选：B．【点评】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度．二．填空题（共1小题）3．如图，△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与AD相交于点G，DF⊥AB于F，交BE于H．下列结论：①AD=BD；②CE=BH；③AE=BG；④CD+AG=BD．其中正确的序号是①③④．【分析】依据∠ABD=∠BAD，可得AD=BD，进而得出△ADC≌△BDG，以及△ABE ≌△CBE，根据全等三角形的对应边相等以及线段的和差关系，即可得到正确结论．【解答】解：∵∠ABC=45°，AD⊥BC ∴∠BAD=45°，∴∠ABD=∠BAD，∴AD=BD，故①正确；∵AD⊥BC，DF⊥AB∴∠DBG+∠C=90°=∠CAD+∠C，∴∠CAD=∠GBD，又∵AD=BD，∠ADC=∠BDG，∴△ADC≌△BDG（ASA），∴AC=BG，CD=GD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，又∵∠BEA=∠BEC=90°，BE=BE，∴△ABE≌△CBE（ASA），∴AE=CE=AC=BG，故③正确；又∵BH＞BG，∴BH＞CE，故②错误；∵DG+AG=AD，AD=BD，CD=GD，故答案为：①③④．∴CD+AG=BD，故④正确；【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，仔细分析图形并熟练掌握各性质是解题的关键．三．解答题（共9小题）4．如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=45°，AC=4，D，E分别是AB，AC的中点．若Rt△ADE绕点A逆时针旋转，得到Rt△AD1E1，如图2，设旋转角为α（0＜α≤180°），记直线BD1与CE1的交点为P．（1）求证：BD=CE；（2）当∠CPD1=2∠CAD1时，求CE12的长；（3）连接PA，则△PAB 面积的最大值为2+2．（直接填写结果）【分析】（1）首先证明AC=AB，总感觉中点的性质即可证明EC=BD．（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．只要证明△ABD1≌△ACE1，即可推出∠CPD1=90°，推出∠CAD1=45°，推出∠BAD1=135°可得∠D1AF=45°=∠AD1E1，再利用勾股定理即可解决问题；（3）作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，由D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上推出当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB 的距离最大，由此即可解决问题；【解答】解：（1）如图1中，∵∠A=90°，∠B=45°，∴∠B=∠C=45°，∴AC=AB，∵EC=AC，BD=AB，∴EC=DB．（2）延长BA交D1E1于F，如图2中，设AC交BD1于K．在△ABD1和△ACE1中，∴△ABD1≌△ACE1∴∠ABD1=∠ACE1，CE1=BD1∵∠ABK+∠AKB=90°，∵∠AKB=∠CKP，∴∠ACP+∠CKP=90°∴∠CPD1=90°∴∠CAD1=45°，∴∠BAD1=135°∴∠D1AF=45°=∠AD1E1，在Rt△AD1E1中，AD1=AE1=2，∴AF=D1F=D1E1==；∵∠AFD1=90°，∴CE12=BD12=BF2+FD12=20+8．（3）如图作PG⊥AB，交AB所在直线于点G，∵D1，E1在以A为圆心，AD为半径的圆上，当BD1所在直线与⊙A相切时，直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大，此时四边形AD1PE1是正方形，PD1=2，则BD1==2 ，∴∠ABP=30°，∴PB=2+2 ，∴点P到AB所在直线的距离的最大值为：PG=1+．∴△PAB的面积最大值为AB×PG=2+2 ，故答案为2+2 ．【点评】此题是几何变换综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．5．如图，E为菱形ABCD的边CD上任意点，将CE绕点E旋转一定角度后与AD 平行．（1）如图，若CE旋转后得到PE和NE，试判断下列结论是否成立？①BD平分AN，成立；②BD⊥AP，成立（填写“成立”或“不成立”）；（2）证明（1）中你的判断．（3）若∠ABC=60°，AB=BM=+1，请直接写出CE的长度．【分析】（1）根据题意、结合图形进行猜测；（2）连接AC、PC、CN，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理证明∠ECP=∠DCA，得到A、P、C三点共线，根据菱形的性质证明即可；（3）根据菱形的性质和余弦的定义求出BH，得到HM，根据三角形中位线定理求出CN，根据余弦的定义求出PN，根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）①BD平分AN，成立；②BD⊥AP，成立，故答案为：①成立；②成立；（2）连接AC、PC、CN，∵EP=EC，∴∠ECP=∠EPC，∴∠ECP==90°﹣∠PEC，同理，∠DCA=90°﹣∠ADC，∵PN∥AD，∴∠PEC=∠ADC，∴∠ECP=∠DCA，∴A、P、C三点共线，∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵CE=PE=EN，∴∠PCN=90°，∴CN∥BD，又AH=HC，∴AM=MN，即BD平分AN；（3）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD=∠ABC=30°，∴BH=AB×cos30°=，∴HM=BM﹣BH=+1﹣=，∵AH=HC，AM=MN，∴CN=2HM=﹣1，∴PN==，∴CE=PN=．【点评】本题考查的是菱形的性质、锐角三角函数的定义的应用，掌握菱形的四条边相等、每条对角线平分一组对角、锐角三角函数的定义是解题的关键．6．已知：如图，两个直角三角形△ABC和△BEF，∠ABC=∠BEF=90°，AB=BC，BE=EF，连接AF，点M为AF的中点，连ME．（1）如图1，当F在BC边上时，求证：CF=2ME；（2）如图2，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度，当F在△ABC内部时，上述结论是否仍然成立？为什么？（3）如图3，将△BEF绕顶点B逆时针旋转一个角度．当F在△ABC外部时，过B作BH⊥ME于H，EH=2，BH=4，ME=5，求四边形CFEB的面积．【分析】（1）延长EF交AB于D，如图1，则可判断△BED和△BEF为全等的等腰直角三角形，先证明ME为△FAD的中位线得到AD=2ME，再利用等腰直角三角形的性质和等量代换得到AD=CF，于是有CF=2ME；（2）延长FE到点G，使EG=EF，如图2，连结AG、BG，先证明ME为△FAG的中位线得到AG=2ME，然后证明△ABG≌△CBF得到AG=CF，所以CF=2ME；（3）先判断出BH⊥ME，再根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF（AAS），进而求出QH=2，即可得出结论、【解答】证明：（1）如图1，延长FE 交AB于G∵△EBF为等腰直角三角形∴∠BEF=∠BEG=90°，∠FBE=∠GBE=45°在△FBE和△GBE中∴△FBE≌△GBE（ASA）∴EF=EG又M为AF的中点∴ME=AG∵BF=BG，AB=CB∴CF=AG∴CF=2ME（2）CF=2ME，理由：如图2，延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；∵△BEF为等腰直角三角形∴△BFG为等腰直角三角形，∴∠CBF=∠ABG，在△BCF和△BAG中，∴△BCF≌△BAG（SAS）∴CF=AG∵M、E分别为AF、FG的中点∴CF=2ME（3）如图3，延长FE至G，且使EG=FE，连接BG，AG；同（2）的方法得，△BCF≌△BAG（SAS），∴∠BCF=∠BAF，∵∠BAC+∠BCA=90°，∴∠CAG+∠ACF=90°，∴CF⊥AG，∵点M是AF的中点，∴AM=FM，∵EF=EG，∴CF⊥ME，∴∠EQF=90°，∵BH⊥ME，∴∠BHE=∠EQF=90°，∴∠BEH+∠EBH=90°，∵∠BEH+∠FEQ=90°，∴∠EBH=∠FEQ，∵BE=FE，根据三垂直模型，得△BHE≌△EQF （AAS）∴BH=QE=4，MQ=5﹣4=1∵EH=2∴QH=4﹣2=2∵CF=2ME∴CF=10∴S四边形CFEB=S梯形BHQC+2S△BEH=20．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出EF=EG，解（2）的关键是判断出△BCF≌△BAG，解（3）的关键是判断出△BHE≌△EQF（AAS）．7．已知，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°（1）如图①，若CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上，试探究线段BE和CD的数量关系，并证明你的结论．（2）如图②，若点D在线段BC延长线上，∠EDB=∠ACB，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）如图1，证明△ABM≌△ACD，得CD=BM，再证明△MEC≌△BEC，得BE=EM，则BE=CD；（2）如图2，根据（1）作辅助线，证明DE∥QC，利用（1）的结论即可．【解答】解：（1）如图1，BE=CD，理由是：∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∵∠BAC=90°，∴∠BEC=∠BAC，∵∠EDB=∠ADC，∴∠ABM=∠ACD，∵AB=AC，∠BAM=∠BAC=90°，∴△ABM≌△ACD，∴CD=BM，∵∠MCE=∠BCE，EC=EC，∠BEC=∠MEC=90°，∴△MEC≌△BEC，∴BE=EM，∴BE=BM=CD；（2）如图2，BE=DF，理由是：作∠ACB的平分线，交BE于Q，交AB于M，由（1）得：BQ=MC，∵∠BDE=∠ACB，∠BCM=∠ACB，∴∠BDE=∠BCM，∴CQ∥DE，∴，，∴，∴，∴BE=DF．【点评】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，在证明线段的和、差及倍数关系时，如果这些线段不在同一直线上，可以利用证明三角形全等，将线段转化到同一直线上，再证明其数量关系．8．如图，等腰△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=AC，BE垂直于直线CD于点E．（1）求∠BCD的度数；（2）求证：CD=2BE；（3）若点O是AB的中点，请直接写出BC、BD、CO三条线段之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出∠A=45°，利用等腰三角形进行解答即可；（2）作AH⊥CD于H，根据全等三角形的判定和性质解答即可；（3）过D作DH⊥BC于点H，利用等腰直角三角形的性质证得Rt△COD≌Rt△CHD，得出CH=CO，进一步利用性质求得BC=CH+BH=CO+BD即可．【解答】解：（1）∵等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∴∠A=∠CBA=45°，∵AD=AC，∴∠ACD=67.5°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=22.5°；（2）作AH⊥CD于H，如图：∵BE⊥直线CD于E，AC=AD，∴CD=2CH，∠BEC=∠AHC=90°，∵∠BCE+∠DCA=∠HAC+∠DCA=90°，∴∠BCE=∠CAH，在△CBE与△ACH中，，∴△CBE≌△ACH（AAS），∴CH=BE，即CD=2CH=2BE；（3）如图，过D作DH⊥BC于点H，由（1）可知∠BCD=22.5°，∵O是AB的中点，∴∠BCO=45°，∴∠DCO=∠HCD=22.5°，∴DO=DH，在Rt△COD和Rt△CHD中，，∴Rt△COD≌Rt△CHD，∴CH=CO，∴∠DBH=45°，∠DHB=90°，∴BH=BD，∴BC=CH+BH=CO+BD．【点评】此题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用等腰三角形的角度与边之间的关系是解决问题的关键．9．已知，在△ABC中，CA=CB，CA、CB的垂直平分线的交点O在AB上，M、N 分别在直线AC、BC上，∠MON=∠A=45°（1）如图1，若点M、N分别在边AC、BC上，求证：CN+MN=AM；（2）如图2，若点M在边AC上，点N在BC边的延长线上，试猜想CN、MN、AM之间的数量关系，请写出你的结论（不要求证明）．【分析】（1）连接CO，在线段AM上截取AQ=CN，连接OQ，由O为CA、CB的垂直平分线的交点，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到OA=OB=OC，又AC=BC得到∠A=∠B=45°，再根据三线合一的性质得到CO与AB 垂直且CO为顶角的平分线，由∠A和∠B求出∠ACB为直角，得到∠OCB也为45°，利用SAS得到三角形AOQ与三角形CON全等，根据全等三角形的对应边相等，对应角相等得到OQ=ON，∠AOQ=∠CON，等量代换得到∠QON为直角，又∠MON为45°，所以∠QOM也为45°，得两角相等，然后由OQ=ON，求出的两角相等，OM为公共边，利用SAS得到三角形OQM与三角形MON全等，根据全等三角形的对应边相等得到QM=MN，由AM=AQ+QM，等量代换即可得证；（2）在CA的延长线上截取AQ=CN，同（1）利用两次全等即可得到QM=MN，由QM=AQ+AM，等量代换得证．【解答】解：（1）连接OC，在AM上截取AQ=CN，连接OQ，∵O为CA、CB的垂直平分线的交点，∴OC=OA=OB，∵AC=BC，∴OC⊥AB，CO平分∠ACB，∴∠A=∠B=45°，即∠ACB=90°，∴∠OCN=45°，即∠OCN=∠A=45°，在△AOQ和△CON中，，∴△AOQ≌△CON（SAS），∴OQ=ON，∠AOQ=∠CON，∵OC⊥AB，∴∠AOC=∠AOQ+∠COQ=90°，∴∠CON+∠COQ=90°，即∠QON=90°，又∠MON=45°，∴∠QOM=45°，在△QOM和△NOM中，∴△QOM≌△NOM（SAS），∴QM=NM，则AM=AQ+QM=CN+MN；（2）MN=AM+CN．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，线段的和、差、倍、分问题通常情况下先在较长的线段上截取一段与其中一条线段相等，然后构造全等三角形证明剩下的线段与另一条线段相等，本题的突破点是截取出AQ=CN，构造全等三角形，证明QM=NM．10．如图1，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，D为AB的中点，M，N分别为AC，BC上的点，且DM⊥DN．（1）求证：CM+CN=BD；（2）如图2，若M，N分别在AC、CB的延长线上，探究CM、CN、BD之间的数量关系．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，再利用等角的余角相等得到∠CDM=∠BDN，然后根据“ASA”可判断△CMD≌△BDN，则CM=BN；（2）根据等腰直角三角形的性质和等腰直角三角形斜边上的中线性质得到∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，求出∠DCM=∠DBN=135°，然后根据“ASA”可判断△DCM≌△DBN，推出CM=BN即可．【解答】证明：（1）如图1，连接CD，∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，∴∠CDB=90°，∵DM⊥DN，∴∠MDN=90°，∴∠MDC=∠BDN=90°﹣∠CDN，在△CMD和△BND中，，∴△CMD≌△BND（ASA），∴DM=BN，在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=BD，即CM+CN=BN+CN=BC=BD；（2）解：CN﹣CM=BD，理由是：如图2，连接CD，∵△ACB是等腰直角三角形，D为斜边AB的中点，∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，AC=BC，CD⊥AB，CD=BD=AD，∴∠CDB=90°，∠DCM=∠DBN=135°，∵DM⊥DN，∴∠MDN=90°，∴∠MDC=∠BDN=90°﹣∠CDN，在△CMD和△BND中，，∴△CMD≌△BND（ASA），∴DM=BN，在Rt△CDB中，∠CDB=90°，CD=BD，由勾股定理得：BC=BD，即CN﹣CM=CN﹣BN=BC=BD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，能推出△CMD≌△BND是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．11．如图1，在等腰三角形Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，M、N在斜边上，且∠MCN=45°．（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP（如图2）．①试说明∠PCM=∠NCM的理由；②求证：MN2=AM2+BN2；（2）如图3，若原题中点N仍在线段AB上，而点M在BA的延长线上时，试判断AM、BN、MN之间的数量关系并说明理由．【分析】（1）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，根据SAS 证得△MCP≌△MCN，得出MP=MN，再根据∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，运用勾股定理得出Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，进而得到MN2=AM2+BM2；（2）将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，得出∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，根据SAS证得△MCP△MCN，进而得出MP=MN，再根据∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，得到∠PAM=90°，在Rt△APM 中，根据勾股定理得到PM2=AM2+AP2，进而得出MN2=AM2+BM2．．【解答】解：（1）①如图2，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则∠BCN=∠ACP，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠MCN=45°，∴∠ACM+∠BCN=45°，∴∠ACP+∠ACM=45°，∴∠PCM=∠NCM；②证明：由旋转可得△CAP≌△CBN，∴AP=BN，PC=NC，∠CAP=∠B=45°，在△MCP和△MCN中，，∴△MCP≌△MCN（SAS），∴MP=MN，∵∠PAM=∠CAP+∠CAB=90°，∴Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，∴MN2=AM2+BM2；（2）MN2=AM2+BM2，理由：如图，将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°得△ACP，连接MP，则∠PCN=∠ACB=90°，PC=NC，AP=BN，∠CAP=∠B=45°，∵∠MCN=45°，∴∠PCM=90°﹣45°=45°，∴∠PCM=∠NCP，在△MCP和△MCN中，，∴△MCP△MCN（SAS），∴MP=MN，∵∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°，∴∠PAM=90°，∴Rt△APM中，PM2=AM2+AP2，∴MN2=AM2+BM2．【点评】此题属于三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理及全等三角形的判定与性质的综合应用．解题的关键是运用：旋转前、后的图形全等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．12．在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为AC上一点，M为BC上一点．（1）若AM⊥BP于点E．①如图1，BP为△ABC的角平分线，求证：PA=PM；②如图2，BP为△ABC的中线，求证：BP=AM+MP．（2）如图3，若点N在AB上，AN=CP，AM⊥PN ，求的值．【分析】（1）①只要证明PM⊥BC，利用角平分线的性质定理即可解决问题；②作CH⊥AC交AM的延长线于H．只要证明△BAP≌△ACH，△CMP≌△CMH，即可解决问题；（2）如图3中，作PG⊥AC交BC于G，连接GN，AG交于点H．首先证明四边形ANGP是矩形，推出∠HAP=∠HPA，AG=PN，再证明△ABM≌△ACG，可得AM=AG，推出AM=PN即可解决问题；【解答】（1）①证明：如图1中，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴ABC=∠ACB=45°，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠PBC=22.5°，∴∠APB=67.5°，∵BE=BE，∠AEB=∠BEM=90°，∴△BEA≌△BEM，∴BA=BM，AE=EM，∴PB垂直平分线段AM，∴PA=PM，∵EP⊥AM，∴∠BPM=∠BPA=67.5°，∴∠CPM=∠C=45°，∴∠PMC=90°，∵PA⊥AB，BP平分∠ABC，∴PA=PM．②如图2中，作CH⊥AC交AM的延长线于H．∵∠APB+∠PAE=90°，∠PAE+∠H=90°，∴∠APB=∠H，∵∠BAP=∠ACH=90°，AB=AC，∴△BAP≌△ACH，∴PA=CH=PC，PB=AH，∵CM=CM，∠PCM=∠MCH=45°，∴△CMP≌△CMH，∴PM=MH，∴PB=AH=AM+MH=AM+PM．（2）解：如图3中，作PG⊥AC交BC于G，连接GN，AG交于点H．∵∠GPC=90°，∠C=45°，∴∠PGC=∠C=45°，∴PG=PC，∵AN=PC，∴AN=PG，∵AN∥PG，∴四边形ANGP是平行四边形，∵∠NAP=90°，∴四边形ANGP是矩形，∴∠HAP=∠HPA，AG=PN，∵∠BAM+∠MAP=90°，∠APH+∠MAP=90°，∴∠BAM=∠HPA=∠CAG，∵AB=AC，∠B=∠C，∴△ABM≌△ACG，∴AM=AG，∴AM=PN，∴=1．【点评】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。

等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。

等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。

（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。

）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2. 定理及其推论的作用。

等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。

或150。

或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。

第三节等腰三角形与直角三角形基础过关1. (沪科八下练习1题改编)一个三角形是直角三角形,其中两条直角边长是2、3,则斜边长是( )A. 4B. 5C. 13D. 52. (内江)一个等腰三角形的底边长是6,腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根,则此三角形的周长是( )A. 16B. 12C. 14D. 12或163. (合肥第六次大联考)如图,在△ABC中,AD＝DB＝BC,若∠C＝54°,则∠A的度数为( )A. 27°B. 30°C. 36°D. 45°第3题图4. (福建)如图,等边三角形ABC中,AD⊥BC,垂足为D,点E在线段AD上,∠EBC＝45°,则∠ACE等于( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°第4题图5. (包头)如图,在△ABC 中,AB＝AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE＝90°,AD＝AE.若∠C ＋∠BAC＝145°,则∠EDC的度数为( )A.17.5°B.12.5°C.12°D.10°第5题图6. (天水)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为( )A. (1,1)B. (1,3)C. (3,1)D. (3,3)第6题图7. (益阳)已知M、N是线段AB上的两点,AM＝MN＝2,NB＝1,以点A为圆心,AN长为半径画弧；再以点B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接AC、BC,则△ABC一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形8. (安徽定心卷)如图,在△ABC中,∠A＝30°,AB＝AC,点D在边AB上,且CD＝CB＝2,则AD的长为( )第8题图A. 4B. 3C. 2D. 29. (甘肃省卷)定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中,∠A＝80°,则它的特征值k＝.10. (绥化)如图,在△ABC中,AB＝AC,点D在AC上,且BD＝BC＝AD,则∠A＝度.第10题图11. (株洲)如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CM是斜边AB上的中线,E、F分别为MB、BC的中点,若EF＝1,则AB＝.第11题图12. (2020原创)如图,在△ABC中,点D,E分别是BC,AC的中点,且BE⊥AD于点O,若BD＝10,BO＝8,则AO的长为.第12题图13. (宜宾)如图,已知直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,AC＝4,BC＝3,则AD＝.第13题图14. (沪科八上P74习题4题改编)如图,已知EA⊥AB,CB⊥AB,EA＝AB＝2BC,D为AB的中点,以下结论：①DE＝AC；②DE⊥AC；③∠CAB＝30°；④∠EAF＝∠ADE.其中正确的是(只填序号).第14题图15. (娄底)如图,△ABC中,AB＝AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE＝3 cm,则BF＝cm.第15题图16. 如图,△ABC是等腰三角形,AB＝AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.(1)证明：△ADF是等腰三角形；(2)若∠B＝60°,BD＝4,AD＝2,求EC的长.第16题图能力提升1. (陕西)如图,在△ABC 中,∠B ＝30°,∠C ＝45°,AD 平分∠BAC,交BC 于点D,DE ⊥AB,垂足为E.若DE ＝1,则BC 的长为( )A. 2＋ 2B. 2＋ 3C. 2＋ 3D. 3第1题图2. (2020原创)如图,在边长为8的等边△ABC 中,D,E 分别为AB,BC 的中点,EF ⊥AC 于点F,G 为EF 的中点,连接DG,则DG 的长为( )A. 4B. 2 5C. 833D. 19第2题图3. (湘西州)如图,在△ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12,AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D,连接BD,若cos ∠BDC ＝57,则BC 的长是( )A. 10B. 8C. 4 3D. 2 6第3题图4. (曲靖)如图,在△ABC 中,AB ＝13,BC ＝12,点D 、E 分别是AB 、BC 的中点,连接DE 、CD,如果DE ＝2.5,那么△ACD 的周长是 .第4题图5. (徐州)函数y ＝x ＋1的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点C 在x 轴上,若△ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C 共有 个.满分冲关1. (2020原创)如图,在等边△ABC中,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,点P是线段DF上的一个动点,连接BP,EP,则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是( )A. AFB. DPC. ABD. DF第1题图2. 如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝4,BC＝6,CD平分∠ACB交AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,连接AP、PE,则AP＋PE的最小值是( )A. 213B. 4 5C. 3 5D. 2 5第2题图3. (哈尔滨)在△ABC中,∠A＝50°,∠B＝30°,点D在AB边上,连接CD,若△ACD为直角三角形,则∠BCD的度数为度.参考答案第三节等腰三角形与直角三角形基础过关1. C2. A 【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3,5.但长度为3,3,6的三条线段不能构成三角形,故该三角形的三边为5,5,6,即周长为16.3. A 【解析】∵DB＝BC,∠C＝54°,∴∠BDC＝∠C＝54°,∵AD＝DB,∴∠A＝∠DBA,∴∠A＝12∠BDC＝27°.4. A 【解析】∵△ABC为等边三角形,AD⊥BC,∴BD＝DC,∠ACB＝60°,∴AD垂直平分线段BC,∴BE ＝CE,∴∠EBC＝∠ECB＝45°,∴∠ACE＝∠ACB－∠ECB＝60°－45°＝15°,故选A.5. D 【解析】∵AB＝AC,∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°,∴∠B＝180°－(∠C＋∠BAC)＝35°,∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°,∴∠ADC＝90°－∠C＝55°.∵AD＝AE,∴∠ADE＝45°,∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝10°.6. B 【解析】如解图,过点B作BD⊥OA于点D,∵△OAB为等边三角形,边长为2,∴∠BOA＝60°,OA＝OB＝2,∴OD＝1,BD＝OB·sin60°＝2×32＝3,∴点B的坐标为(1,3)．第6题解图7. B 【解析】如解图,∵AM＝MN＝2,NB＝1,∴AB＝AM＋MN＋NB＝2＋2＋1＝5. 由作法知,AC＝AN＝4,BC ＝BM＝3.∵BC2＋AC2＝AB2,∴△ABC一定是直角三角形．第7题解图8. C 【解析】∵∠A＝30°,AB＝AC,∴∠B＝75°.又∵CD＝CB,∴∠CDB＝∠B＝75°,∴∠DCA＝∠CDB －∠A＝75°－30°＝45°,如解图,过点D作DE⊥AC于点E,则CE＝DE,设CE＝DE＝x,则AD＝2x,CD＝ 2 x,∵CD＝2,∴x＝1,∴AD＝2.第8题解图9. 85或14 【解析】当∠A 为顶角时,则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A)＝50°,此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时,则顶角(∠B 或∠C)＝180°－2∠A ＝20°,此时的特征值k ＝20°80°＝14.∴特征值k 为85或14. 10. 36 【解析】由等腰三角形的性质等边对等角可得∠C ＝∠ABC ＝∠CDB ＝2∠A,设∠A ＝x,则∠C ＝∠ABC ＝2x,∴x ＋2x ＋2x ＝180°,可得∠A ＝x ＝36°.11. 4 【解析】在Rt △ABC 中,∵∠ACB ＝90°,CM 是斜边AB 上的中线,∴AB ＝2MC.∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点,∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1,∴MC ＝2EF ＝2,∴AB ＝2MC ＝4.12. 12 【解析】∵BE ⊥AD,BD ＝10,BO ＝8,∴OD ＝102－82＝6,∵AC 、BC 上的中线交于点O,∴AO ＝2OD ＝12.13. 165 【解析】根据勾股定理可知,AB ＝AC 2＋BC 2＝42＋32＝5.S △ABC ＝12·3·4＝6.∵S △ABC ＝12×AB×CD ＝52CD ＝6,∴CD ＝125.在Rt △ACD 中,AD ＝AC 2－CD 2＝42－（125）2＝165.14. ①②④ 【解析】∵D 为AB 的中点,∴AD ＝BD.∵AB ＝2BC,∴AD ＝BC.又∵∠EAD ＝∠ABC ＝90°,AE ＝AB,∴△EAD ≌△ABC(SAS)．∴∠E ＝∠CAB,DE ＝AC,①正确；∵EA ⊥AB,∴∠E ＋∠EDA ＝90°,即∠CAB ＋∠EDA ＝90°,∴∠AFD ＝90°,∴DE ⊥AC,②正确；∵AC ≠2BC,∴∠CAB ≠30°,③错误；∵DE ⊥AC,∴∠E ＋∠EAF ＝90°,∠FAD ＋∠ADE ＝90°.又∵∠E ＝∠FAD,∴∠EAF ＝∠ADE,④正确；∴正确的是①②④.15. 6 【解析】∵AB ＝AC,AD ⊥BC,∴BD ＝DC,∴S △ABC ＝2S △ABD ,即12AC·BF＝2×12AB·DE ,∴BF ＝2DE ＝2×3＝6 cm.16. (1)证明：∵AB ＝AC, ∴∠B ＝∠C. ∵FE ⊥BC,∴∠F ＋∠C ＝90°,∠BDE ＋∠B ＝90°. ∴∠F ＝∠BDE. 又∵∠BDE ＝∠FDA, ∴∠F ＝∠FDA. ∴AF ＝AD.∴△ADF 是等腰三角形； (2)解：∵DE ⊥BC, ∴∠DEB ＝90°. ∵∠B ＝60°,BD ＝4,∴BE ＝12BD ＝2.∵AB ＝AC,∴△ABC 是等边三角形． ∴BC ＝AB ＝AD ＋BD ＝6. ∴EC ＝BC －BE ＝6－2＝4. 能力提升1. A 【解析】如解图,过点D 作DF ⊥AC 于点F.∵AD 平分∠BAC,且DE ⊥AB,∴DE ＝DF ＝1.在Rt △BDE 中,∠B ＝30°,∴BD ＝2DE ＝2.在Rt △CDF 中,∠C ＝45°,∴CD ＝2DF ＝2,∴BC ＝BD ＋CD ＝2＋ 2.第1题解图2. D 【解析】∵△ABC 是边长为8的等边三角形,D 、E 分别为AB 、BC 的中点,∴DE ∥AC,DE ＝12AC ＝4,∵EF ⊥AC,∴∠DEF ＝∠EFC ＝90°.∵∠C ＝60°,CE ＝12BC ＝4,∴EF ＝2 3.∵G 为EF 的中点,∴EG ＝12EF ＝3.在Rt △DEG 中,DG ＝DE 2＋EG 2＝42＋（3）2＝19.3. D 【解析】∵cos ∠BDC ＝57,∴设DC ＝5x,BD ＝7x.又∵EF 是线段AB 的垂直平分线,∴AD ＝DB ＝7x.又∵AC ＝12,∴5x ＋7x ＝12,解得x ＝1.在Rt △BDC 中,CD ＝5,DB ＝7,BC ＝BD 2－CD 2＝72－52＝2 6.4. 18 【解析】∵点D 、E 分别是AB 、BC 的中点,∴DE ＝12AC.∵DE ＝2.5,∴AC ＝5.∵AB ＝13,BC ＝12,∴AC 2＋BC 2＝169,AB 2＝169,∴AB 2＝AC 2＋BC 2,∴△ABC 是直角三角形,∵点D 是AB 的中点,∴CD ＝AD ＝12AB ＝6.5,∴△ACD 的周长为5＋6.5＋6.5＝18.5. 4 【解析】由等腰三角形分类讨论有三种情况,如解图,AB ＝AC 1,AB ＝AC 4；AB ＝BC 3；AC 2＝BC 2.则满足条件的点C 有4个．第5题解图满分冲关1. C 【解析】如解图,连接AE 交DF 于点H,∵在等边△ABC 中,D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点,∴AE ⊥BC,DF ∥BC.∴AE ⊥DF,AH ＝EH.∴点A 、E 关于DF 对称,即当点P 和点D 重合时,此时BP ＋EP 最小．∵AP ＝EP,BP ＝BD,∴BP ＋EP 的最小值为BD ＋AD ＝AB.第1题解图2. D 【解析】如解图,在CB 上截取CM ＝CA,连接DM,PM.∵CD 平分∠ACB,∴∠ACD ＝∠MCD.在△CDA 和△CDM 中,⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CM ，∠ACD ＝∠MCD ，CD ＝CD ，∴△CDA ≌△CDM(SAS)．∴AD ＝MD,∴点A,M 关于线段CD 对称,连接ME 交CD于点P,此时AP ＋PE 有最小值为ME,在Rt △MCE 中,ME ＝EC 2＋CM 2＝22＋42＝2 5.∴AP ＋PE 的最小值为2 5.第2题解图3. 10或60 【解析】分两种情况：①如解图①,当∠ADC ＝90°时, ∵∠B ＝30°, ∴∠BCD ＝90°－30°＝60°；②如解图②,当∠ACD ＝90°时,∵∠A ＝50°,∠B ＝30°, ∴∠ACB ＝180°－30°－50°＝100°,∴∠BCD ＝100°－90°＝10°,综上所述,∠BCD 的度数为10°或60°.图①图② 第3题解图。

全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。

全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。

本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。

一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。

在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。

1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。

3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。

利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。

二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。

利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。

例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。

如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。

2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。

通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。

例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。

然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。

3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。

通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。

全等三角形综合培优试题姓名: 日期:全等三角形培优试题三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法，有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．1、如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.2、如图在ABC ∆中，︒=∠90C ，AC=BC ，AD 则DEB ∆的周长是（ ） A. 6cm B. 7cmC. 8cmD. 9 cm 3、如图,已知在△ABC 中,AB =AC ,D 为BC A..90°－∠A B. 90°－21∠A C. 180°－∠A D. 45°－21∠A4、已知如图(1)，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：(1)BD ＝DE ＋CE ；(2)若直线AE 绕A 点旋转到(2)位置时(BD ＜CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请予证明．(3)若直线AE 绕A 点旋转到图(3)位置时，(BD ＞CE)，其余条件不变，问BD 与DE 、CE 的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD 、DE 、CE 的关系．5、已知：如图5—132，点C 在线段AB 上，以AC 和BC 为边在AB 的同侧作正三角形△ACM 和△BCN ，连结AN 、BM ，分别交CM 、CN 于点P 、Q ．求证：PQ ∥AB ．A F C GBE6、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ．7、已知△ABC ，AB=AC ，E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点，且BE=CF ，EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ．3、在Rt △ABC 中，∠B AC ＝90°，AB=AC ，CE ⊥BD 的延长线于E ，∠1=∠2求证：BD ＝2CE ．4、在△ABC 中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B ．求证：AB=AC+CD ．5、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB ＝AC －BD ，则∠B ∶∠6、如图，三角形纸片ABC 中，∠A ＝65°，∠B ＝75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1＝20°，则∠2的度数为______．7、如图，在正方形ABCD 中，△PBC 、△QCD 是两个等边三角形，PB 与DQ 交于M ，BP 与CQ 交于E ，CP 与DQ 交于F 。

全等三角形、等腰三角形与直角三角形综合培优（5）1．如图，四边形ABCD中，AC、BD为对角线，△ABC为等边三角形，∠ADC=30°，AD=2，BD=3，则CD的长为．2．如图的方格纸上画有AB、CD两条线段，按下列要求作图：（1）请你在图（1）中画出线段AB关于CD所在直线成轴对称的图形；（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的3条线段组成轴对称图形，请画出所有情形．3.如图，△ABC是等边三角形，D为AC边上的一点，且∠1=∠2，BD=CE．求证：△ADE是等边三角形．4．如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，M为BD中点，N为AC中点．求证：MN⊥AC．5．如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC 上．从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1．（1）小棒能无限摆下去吗？答：．(填“能”或“不能”)（2）若已经摆放了3根小棒，则θ1 =______，θ2 =_____，θ3=_____；（用含θ的式子表示）（3）若只能摆放4根小棒，求θ的范围.6．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）试判断△COD的形状，并说明理由．（2）△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．7．如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠DBP=∠DBC．求证：∠P=30°．8 已知：如图，△ABD和△BEC均为等边三角形，M、N分别为AE和DC•的中点，那么△BMN是等边三角形吗？说明理由．9.如图，已知在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=)(21AD AB ，求∠ABC+∠ADC 的度数。

八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。

全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质：对应角相等,对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等,面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：（1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4）有公共角的，公共角常是对应角． （5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角）是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边（或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： （1） 边角边定理(SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． （2） 角边角定理(ASA ):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． （3) 边边边定理(SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等． (4) 角角边定理(AAS ）：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5) 斜边、直角边定理（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中,注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础．例题精讲板块一、截长补短【例1】 (06年北京中考题）已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOEC B A4321FDOE CB A【解析】 BE CD BC +=，理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ， 利用SAS 证得BEO ∆≌BFO ∆,∴12∠=∠,∵60A ∠=︒,∴1901202BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，∴180A DOE ∠+∠=,∴180AEO ADO ∠+∠=，∴13180∠+∠=， ∵24180∠+∠=，∴12∠=∠，∴34∠=∠,利用AAS 证得CDO ∆≌CFO ∆，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．【例2】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点（点B 除外），作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?N E B M A DGNEB M A D【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠， ∴DGM MBN ∆∆≌，∴DM MN =．【变式拓展训练】如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM ⊥且与ABC∠外角的平分线交于点N ,MD 与MN 有怎样的数量关系？N CDE B M A NCDEB M A【解析】 猜测DM MN =。