三元一次方程组的解法 精品课教案

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三元一次方程组的解法

【教学目标】

1．通过教学三元一次方程组，培养学生的运算能力、推理能力。

2．了解三元一次方程组的定义；

3．掌握三元一次方程组的解法。

【教学重难点】

重点：三元一次方程组的解法

难点：三元一次方程组的解法过程中的方法选择

【课时设计】

2课时

【第一课时】

【教学过程】

（一）课前设计

一、预习任务

阅读教材，思考：什么是三元一次方程？什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的步骤是？

二、预习自测

1．下列方程，是三元一次方程的是（ D ）

A．073223xxx B．532yx

C．421zyx D．π2zyx

2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ）

A．72,72,32yxyxyx B．632,73,52zyzxyx 2 / 10

C．43,52,31zyxzyxzyx D．7,6,5bayyxzyx

3．解方程组333,4211,57xyzxyzxyz要使运算简便，消元应选（ B ）

A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）解二元一次方程组的基本思想：消元思想；

（2）解二元一次方程组的常见消元方法：

（3）代入消元法；

（4） 加减消元法。

2．问题探究

探究1：认识三元一次方程组

小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张？

设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程：

yxzyxzyx4225212

三元一次方程组：含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

探究2：如何解三元一次方程组

二元一次方程组可以利用 法或 法消去一个未知数，化成 方程求解。那么能否用同样的思路，消去三元一次方程组的一个或两个未知数，把它转化成二元一次方程组或一元一次方程呢？观察方程组：

yxzyxzyx4225212 ①

②

③ 3 / 10

仿照前面学过的代入法，可以把③分别带入①②，得到两个只含y，z的方程：

4y＋y＋z＝12

4y＋2y＋5z＝22

即2256125zyzy

得到二元一次方程组后就不难求出y和z的值，进而可以求出x了。

【典例剖析】

解方程组34145217223xyzxyzxyz，①，②；③

解：由①+③，②+2×③消去z得56175923.xyxy，

解得12xy，

代入①得z=3．

即原方程组的解为12,3.xyz，

三、课堂总结

【知识梳理】

解三元一次方程组的基本思路是：通过“ ”或“ ”进行消元，把“ ”转化为“ ”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。

【重难点突破】

解三元一次方程组时，确定消元对象的方法：

当方程组中有二元的方程时，则让另外两方程相加、减消去第一个方程中不含的未知数，从而化三元为二元；当方程组中的三个方程均有三个未知数时，则观察三个未知数的系数，一般选择系数较为简单的未知数作为消元对象。

解三元一次方程组的技巧：

对具有特殊形式的三元一次方程组，通常将三个方程同时进行适当变形。

四、随堂检测 4 / 10

1．将三元一次方程组540,3411,2xyzxyzxyz①②③经过步骤①-③和③×4＋②消去未知数z后，得到的二元一次方程组是( A )

A．432753xyxy B．432231711xyxy C．342753xyxy D．342231711xyxy

知识点：解三元一次方程组

2．已知方程组2,21xykxy的解满足x+y=3，则k的值为( B )

A．10 B．8 C．2 D．-8

知识点：解三元一次方程组

3．由方程组27,28,29,xyyzzx可以得到zyx的值等于( A )

A．8 B．9 C．10 D．11

知识点：解三元一次方程组

4．解下列三元一次方程组：

(1)24,31,7xyxzxyz①②；③ (2)273:2:5:1:zyxzyyx

知识点：解三元一次方程组

解：(1)由①，得y=4-2x。④

由②，得z=13x。⑤

把④、⑤代入③，得x+4-2x+13x=7．解得x=-2．

所以y=8，z=1．

所以原方程组的解为2,8,1.xyz

(2)由①，得y=5x。④ ①

②③ 5 / 10

由②，得z=32y=152x。⑤

把④、⑤代入③，得x+5x+152x=27．解得x=2．

所以y=10，z=15．

所以原方程组的解为2,10,15.xyz

【第二课时】

【教学过程】

（一）课前设计

一、预习任务

阅读教材，思考：运用三元一次方程组解决实际问题的关键是什么？一般步骤是什么？

二、预习自测

1．下列方程，是三元一次方程的是（ D ）

A．073223xxx B．532yx

C．421zyx D．π2zyx

2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ）

A．72,72,32yxyxyx B．632,73,52zyzxyx

C．43,52,31zyxzyxzyx D．7,6,5bayyxzyx 6 / 10

3．解方程组zyxzyxzyx75,1124,333要使运算简便，消元应选（ B ）

A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）解三元一次方程组的基本思路是什么？消元

（2）采用哪些方法进行消元？加减消元法、代入消元法

2．问题探究

【探究一】 三元一次方程组解决非负数问题

例1 若|a－b－1|＋(b－2a＋c)2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值。

【知识点：解三元一次方程组】

解析：本题考查非负数性质的综合应用，要使等式成立必须使每个非负数都为0.

解：因为三个非负数的和等于0，所以每个非负数都为0.

可得方程组020201bccabba，解得243cba

方法总结：非负数之和为0，隐含着每个非负数都为0，从而可列方程组求解。

【探究二】 利用三元一次方程组求数字问题

例2 一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的34，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1．将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数。

【知识点：三元一次方程组的应用】

解析：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z，则原三位数可表示为100x＋10y＋z。

解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x、y、z。

由题意，得4951010010100143zyxxyzzyxzy，解得863zyx 7 / 10

答：原三位数是368．

方法总结：解数字问题的关键是正确地用代数式表示数。如果一个两位数的十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么这个两位数可表示为10a＋B．如果一个三位数的百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，那么这个三位数可表示为100a＋10b＋c，依此类推。

【探究三】 列三元一次方程组解决实际问题

例3 某汽车在相距70km的甲、乙两地往返行驶，因途中有一坡度均匀的小山。该汽车从甲地到乙地需要2．5h，而从乙地到甲地需要2．3h。假设汽车在平路、上坡路、下坡路的时速分别是30km、20km、40km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？

【知识点：三元一次方程组的应用】

解析：题中有三个等量关系：

① 上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70km；

② 从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2．5h；

③ 从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2．3h。

解：设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度分别是xkm，ykm和zkm。

由题意，得3.24030205.240302070xyzzyxzyx，解得45412zyx

答：从甲地到乙地的过程中，上坡路是12km，平路是54km，下坡路是4km。

方法总结：解此题的关键是理解汽车在往返行驶的过程中，如果从甲地到乙地是上坡路段，那么从乙地到甲地时就变成了下坡路段。

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三、课堂总结

【知识梳理】

【重难点突破】

方程组解决实际问题方法

在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程。

四、随堂检测

1．在等式2yaxbxc中，当1x时，0;y当2x时，3;y当5x时，60.y求,,abc的值。

【知识点：解三元一次方程组】

解：将x，y带入可得：

③ 60=c+5b+25a② 3=c+2b+4a① 0=c+b-a

②-①=3a+3b=3

③-②=21a+3b=57

所以：18a=54

解得：5- =c2- =b3=a

2．若|x+2y-5|+(2y+3z-13)2+(3z+x-10)2=0，试求x，y，z的值。

三元一次方程组的解法 应用 列三元一次方程组解应用题 步骤 1.审：弄清题意，找出已知量、未知量及三个等量关系；2.设：设出三个未知数；3.列：根据等量关系列出三元一次方程组；4.解：解所列的三元一次方程组，求出未知数的值；5.答：写出答案. 三元一次方程组 消元 二元一次方程组 消元

一元一次方程