三元一次方程组的解法教案

三元一次方程组解法

初中学生在用消元法解三元一次方程组时，因为未知数相对较多，常常陷入无法将方程专化成二元方程组或一元方程的困境。消元过程成了斩不断理还乱的局面。造成这种情况的原因，主要是方法没有掌握。这篇文章将通过具体例题的分析和解答，分析总结具体方法。

解三元一次方程组的基本思想是化归思想，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程或一元一次方程。

一、 含二元一次方程的三元一次方程的解法

这类方程一般有两种做法，一是方程组中某个二元一次方程不动，另两方程结合消去此方程中不含有的未知数，可以得到一个二元方程，将新方程与不动的方程联立，可以得到一个二次方程组。这种方法可简称“不动法”。

例解方程组 x﹢y+z=26 ○1

2x+y-z=18 ○2

x -z=1 ○3

分析：○3中不含y，可将○1○2结合，消去y，可得关于x、z方程,把这个方程与○3结合，可以得一个二元一次方程组，先求出x、z，再求y 。

解：由○2-○1得：x-2z=-8 ○4

由○3○4联立得：x-2z=-8

x-z=1

解这个方程组得: x=10

z=9

将 x=10 代入○1得:10+y+9=26 ∴ x=10

z=9 y=7 y=7

z=9

二是将二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，分别代入另外两个方程中去，就可以得到两个方程，将这两个方程联立可以得到一个二元一次方程组。这个方法可简称为“动法”。下面用这种方法将上面方程再解一次。

数学教案：三元一次方程组的解法举例

引言

三元一次方程组是高中数学中的重要内容，解三元一次方程组是求解多元线性方程组的基础。本文将以举例的方式介绍解三元一次方程组的具体步骤与方法。

问题描述

给定一个三元一次方程组：

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃

我们的任务是求解方程组的解(x, y, z)。

方法一：消元法

步骤：

1. 通过行初等变换将方程组化为阶梯型方程组。

2. 对阶梯型方程组进行回代，求解未知数的值。

举例

考虑以下三元一次方程组：

2x + 3y - z = -1

x - y + 3z = 9

3x + 2y + 2z = 7

Step 1：将方程组化为阶梯型方程组 首先，我们可以通过多次行初等变换将方程组化为阶梯型方程组。具体的步骤如下： 1. 将第二行乘以2，得：2x - 2y + 6z = 18 2. 将第三行减去3倍的第一行，得：-7y - z = 10 3. 将第三行减去5倍的第二行，得：-7y - 5z = -23

现在，方程组变为：

2x + 3y - z = -1

2x - 2y + 6z = 18

-7y - 5z = -23

Step 2：回代求解未知数的值

从最后一行开始，一步一步回代求解未知数的值。 1. 从最后一行可得 -7y -

5z = -23，解得 y = -2 - z 2. 将 y 的值代入到第一行，得 2x + 3(-2 - z) -

z = -1，整理得到 2x - 6 - 3z - z = -1 3. 继续整理可得 2x - 4z = 5

现在，我们得到了两个含有未知量的方程：

2x - 4z = 5

y = -2 - z

通过进一步的求解，可以求得 (x, y, z) 的具体值。

方法二：矩阵法

步骤：

1. 将三元一次方程组表示成矩阵形式。

2. 应用矩阵的行列式和逆矩阵的性质求解未知数的值。

8.4《三元一次方程组的解法》教学设计

班级：七二 教者： 时间：2013.5.29

【学习目标】：

1、掌握三元一次方程组的概念。

2、掌握简单的三元一次方程组的解法。

3、进一步体会消元转化思想。

一、回顾旧知，导入新课

1、什么是二元一次方程组

2、解二元一次方程组有那几种方法

3、解题采用什么思想

二、板书课题，展示学习目标

三、第一次“先学后教”

（一）出示自学指导一

（二）先学

过渡语：自学时注意力要集中，看谁掌握效果最好。

1.学生看书、思考，教师巡视、督促学生紧张的自学。

2.汇报学习效果，完成自学指导各空。

3.出示检测题一 （投影检测一）

4.检测：学生根据所学知识举手回答问题。 （三）后教

1.更正：若学生问题回答有错误，其他同学举手更正并说出原因

2.讨论：怎样解三元一次方程组

四、第二次“先学后教”

（一）出示自学指导二

（二）先学

①学生看书、思考，教师巡视、督促学生紧张自学。

②出示检测题二

过渡语：刚才同学们进行了认真的自学，现在来检测一下学习效果！

③检测：两名学生板演，其他学生在下面做，教师巡视，收集学生存在的

问题，进行二次备课，为后教做准备。

（三）后教

①更正：所有学生看板演内容，谁发现有错误或不完整的地方，举手，更正、补充。

②展示学生作业

教师巡视，若发现学生作业有问题，收集典型进行展示，让其他学生找出存在问题并更正。

五、当堂训练： （投影当堂训练）

：

自 学 指 导（一）

1.认真看课本P103-P104例1前的内容,完成下列问题：

（1）方程组含有 ______未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是 ______，并且一共有 方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组。

1 / 10

三元一次方程组的解法

【教学目标】

1．通过教学三元一次方程组，培养学生的运算能力、推理能力。

2．了解三元一次方程组的定义；

3．掌握三元一次方程组的解法。

【教学重难点】

重点：三元一次方程组的解法

难点：三元一次方程组的解法过程中的方法选择

【课时设计】

2课时

【第一课时】

【教学过程】

（一）课前设计

一、预习任务

阅读教材，思考：什么是三元一次方程？什么是三元一次方程组？解三元一次方程组的步骤是？

二、预习自测

1．下列方程，是三元一次方程的是（ D ）

A．073223xxx B．532yx

C．421zyx D．π2zyx

2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（ B ）

A．72,72,32yxyxyx B．632,73,52zyzxyx 2 / 10

C．43,52,31zyxzyxzyx D．7,6,5bayyxzyx

3．解方程组333,4211,57xyzxyzxyz要使运算简便，消元应选（ B ）

A．先消x B．先消y C．先消z D．先消常数项

（二）课堂设计

1．知识回顾

（1）解二元一次方程组的基本思想：消元思想；

（2）解二元一次方程组的常见消元方法：

（3）代入消元法；

（4） 加减消元法。

2．问题探究

探究1：认识三元一次方程组

小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元的纸币各多少张？

设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程：