10.3三元一次方程组以及解法
知识点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1. 三元一次方程的定义:
含有三个相同的未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.
要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
(2) 在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解
知识点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法
要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤： 1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
三元一次方程组解法
1 / 3 三元一次方程组解法
初中学生在用消元法解三元一次方程组时，因为未知数相对较多，常常陷入无法将方程专化成二元方程组或一元方程的困境。消元过程成了斩不断理还乱的局面。造成这种情况的原因，主要是方法没有掌握。这篇文章将通过具体例题的分析和解答，分析总结具体方法。
解三元一次方程组的基本思想是化归思想，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程或一元一次方程。
一、 含二元一次方程的三元一次方程的解法
这类方程一般有两种做法，一是方程组中某个二元一次方程不动，另两方程结合消去此方程中不含有的未知数，可以得到一个二元方程，将新方程与不动的方程联立，可以得到一个二次方程组。这种方法可简称“不动法”。
例解方程组 x﹢y+z=26 ①
2x+y-z=18 ②
x -z=1 ③
分析：③中不含y，可将①②结合，消去y，可得关于x、z方程,把这个方程与③结合，可以得一个二元一次方程组，先求出x、z，再求y 。
解：由②-①得：x-2z=-8 ④
由③④联立得：x-2z=-8
x-z=1
解这个方程组得: x=10
z=9
将 x=10 代入①得:10+y+9=26 y=7
∴ x=10
y=7
z=9
三元一次方程组解法
初中学生在用消元法解三元一次方程组时，因为未知数相对较多，常常陷入无法将方程专化成二元方程组或一元方程的困境。消元过程成了斩不断理还乱的局面。造成这种情况的原因，主要是方法没有掌握。这篇文章将通过具体例题的分析和解答，分析总结具体方法。
解三元一次方程组的基本思想是化归思想，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程或一元一次方程。
一、 含二元一次方程的三元一次方程的解法
这类方程一般有两种做法，一是方程组中某个二元一次方程不动，另两方程结合消去此方程中不含有的未知数，可以得到一个二元方程，将新方程与不动的方程联立，可以得到一个二次方程组。这种方法可简称“不动法”。
例解方程组 x﹢y+z=26 ○1
2x+y-z=18 ○2
x -z=1 ○3
分析：○3中不含y，可将○1○2结合，消去y，可得关于x、z方程,把这个方程与○3结合，可以得一个二元一次方程组，先求出x、z，再求y 。
解：由○2-○1得：x-2z=-8 ○4
由○3○4联立得：x-2z=-8
x-z=1
解这个方程组得: x=10
z=9
将 x=10 代入○1得:10+y+9=26 ∴ x=10
z=9 y=7 y=7
z=9
二是将二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，分别代入另外两个方程中去，就可以得到两个方程，将这两个方程联立可以得到一个二元一次方程组。这个方法可简称为“动法”。下面用这种方法将上面方程再解一次。
三元一次方程组解法举例
一、学习内容
我们知道，解二元一次方程组的基本方法是代入法和加减法，事实上，在求解过程中，不
管是代入或是加减，其目的是消元，把二元转化为一元，从而求解，类似，三元一次
方程组的解法也可以设法将三元二元一元.
二、例题分析
第一阶梯
[例1]解方程组
提示：解三元一次方程，可以先消去一个未知数化为二元一次方程来解，即三元转化二元转
化一元，因此代入消元、加减消元法均可运用。
解：把①代入②得5x+3(2x-7)+2z=2
整现得11x+2z=23 ④
④×2+③得25x=50，x=2
把x=2代入①和③得
y=-3，z=
∴是原方程的解 [例2]
提示：
此方程组是一个三元一次方程组，观察方程组，①中含有两个未知数，可以变形为y=2x-7
④，把④分别代入②，③，便于消去y，得到一个关于x，z的二元一次方程组，通过求解x，z便可求出y的值，从而达到解三元一次方程组的目的。
参考答案：
解：由①得y=2x-7④
将④分别代入② ③得
⑤-⑥得12x=48
∴x=4
把x=4代入⑤得
4+z=3
∴z=-1
把x=4，z=-1代入②得
4+2y+5(-1)=1
2y=2 ∴y=1
说明：
此题也可以用代入法求解x，z，一般来说，当方程组中某个未知数为1时，用“代入法”来求解比较简，当某个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时用"加减法"消元比较容易，特别对多元一次方程组，两者可以结合起来。
第二阶梯
