【经济数学基础】答案(完整版)

作业（一）（一）填空题3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是 .答案：2121+=x y4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 21. 函数212-+-=x x x y 的连续区间是（ ）答案：D ，可能是cA ．),1()1,(+∞⋃-∞B ．),2()2,(+∞-⋃--∞C ．),1()1,2()2,(+∞⋃-⋃--∞D ．),2()2,(+∞-⋃--∞或),1()1,(+∞⋃-∞ 2. 下列极限计算正确的是（ ）答案：B A.1lim=→xx x B.1l i m=+→xxxC.11sinlim 0=→xx x D.1si n l i m=∞→xx x3. 设y x =lg 2，则d y =（ ）．答案：B A ．12d xx B ．1d x x ln 10C ．ln 10xx d D ．1d xx4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( )是错误的．答案：BA ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微 5.当0→x 时，下列变量是无穷小量的是（ ）. 答案：C A ．x 2 B ．xx sinC ．)1ln(x +D ．x cos(三)解答题问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在；1lim ()lim (sin)x x f x x b b x--→→=+=，0sin lim ()lim 1x x x f x x++→→==，有极限存在，lim ()lim ()1x x f x f x b +-→→===（2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

电大经济数学基础形成性核查册及参照答案（一）填空题 1. limx sin x__________ _________ .答案： 0x 0x2. 设 f ( x) x 2 1, x0 0 处连续，则 k________ .答案： 1k ,x，在 x3. 曲线 yx 在 (1,1) 的切线方程是.答案： y1 x 12 24. 设函数 f ( x 1) x 2 2x 5 ，则 f ( x)__________ __ .答案： 2x5. 设 f ( x)x sin x ，则 f ( π __________ . 答案：π) 22（二）单项选择题1. 函数 y x 1的连续区间是（D ）x 2x 2A ． (,1) (1, )B ． ( , 2) ( 2,)C ． ( , 2) ( 2,1) (1,)D ． (, 2)( 2, ) 或( ,1) (1, )2. 以下极限计算正确的选项是（B ）x1B. limx1A. limx xxx 011D. lim sin x 1C. lim x sinxxxx3. 设 ylg2 x ，则 d y（ B ）．A ．1dxB ．1 dx C ．ln10dxD ．1dx2xx ln10xx4. 若函数 f ( x)在点 x 0 处可导，则 (B )是错误的．A ．函数 f (x)在点 x 0 处有定义B ． limf ( x)A，但A f (x 0 )xx 0C ．函数 f (x) 在点 x 0 处连续D ．函数 f (x) 在点 x 0 处可微5. 当 x0 时，以下变量是无量小量的是（C） .A ． 2xB ． sin xC ． ln(1x) D ． cos xx ( 三)解答题 1．计算极限（ 1） limx 22 3x21x 1x12原式 lim( x1)( x 2)x 1( x 1)( x 1)limx2 x 1 x1 12（ 2） lim x25x 6 1 x 2x26x 8 2原式 = lim(x - 2)(x - 3) x 2(x - 2)(x - 4)limx3 x2x 4 12（ 3）lim1 x 11x2x原式 =lim(1 x 1)( 1 x 1) xx( 1 x 1)1= limx 01 x 11 =2x 23x5 1 （ 4） lim2x3x 2x4 31 351xx 2原式 == 3 3 4 3x x 2（ 5）limsin 3x3 xsin 5x53sin 3x3lim 3x原式 =sin 5x=5 x55xx 2 44（ 6） limx2sin( x 2)原式 =limx 22)x2sin( xx 2lim ( x 2)x 2= 4=lim sin( x 2)x 2x 2x sin1b, x 02．设函数 f (x)xx 0 ，a,sin xx 0x问：（1）当 a, b 为何值时，f ( x) 在 x 0处有极限存在？（2）当 a, b 为何值时， f ( x) 在x0处连续 .解： (1) limf ( x) b , lim f ( x)1xx当a b 1时，有 lim f(x)f(0) 1x(2). 当ab 1时， 有lim f(x)f(0) 1x函数 f(x) 在 x=0 处连续 .3．计算以下函数的导数或微分：（ 1）yx22xlog 2 x22 ，求 y答案： y2x 2 x ln 21x ln 2（ 2）yax bcx ，求 yd答案：ya(cx d )c(ax b) ad bc (cxd) 2(cx d )2（ 3）y1，求 y3x 53(3x3答案： y5) 22（ 4） yx xe x ，求 y答案：y 1 (e x xe x ) = 1 e x xe x2 x 2 x（ 5）y eax sin bx ，求 dyy (e ax ) (sin bx e ax (sin bx)答案：∵ax axae sin bx be cosbxe ax (sin bx bcosbx)∴ dy e ax (a sin bx bcosbx)dx 1（ 6）y e x x x ，求 dy1 1 3答案：∵ y e x xx2 2( 311∴ dy x e x )dx2 x2（ 7）y cos x e x2 ，求 dy答案：∵ y sin x ( x) e x 2 (= sin x 2xe x22 x∴ dy ( sin x 2xe x2 )dx2 x（ 8）y sin n x sin nx ，求 y答案： y nsin n 1 x cos x n cosnx （ 9）y ln( x 1 x2 ) ，求y答案： y 1 ( x 1 x 2 )x 1 x 2=1 1 x2 x=x2 x 2x 1 1cot 1 1 3 x 2 2x（ 10）y 2 x ，求 yx x 2 )=1 (1 x )1 x2 1 x2x11x2111 1cos( x 2 x 6y 2xln 2 (cos ) 2) 答案：x12 cos11 112 x ln 2 sinxx 2x 3 6 x 54.以下各方程中y 是 x 的隐函数，试求 y 或dy(1) 方程两边对 x 求导：2x 2 y y y xy 3 0(2 y x) yy 2x 3所以 dyy 2x3dx2y x(2) 方程两边对 x 求导：cos(x y)(1 y ) e xy ( y xy )4[cos(x y)xe xy ] y4 cos(x y) ye xy所以y4 cos(x y) ye xy cos(x y)xe xy5．求以下函数的二阶导数：（ 1）yln(1x 2 ) ，求 y答案： (1)y2x1 x2y 2(1 x 2 ) 2x 2x2 2x 2(1 22(1 22x )x )(2)y (xy3x41 11 x 2x 2 )25 321x 243 21 1x 223 1 1y (1)4 4作业（二）（一）填空题1.若f (x)dx 2 x 2x c ，则 f ( x) __________ _________ .答案： 2x ln 2 22.(sinx) dx ________.答案： sin x c3. 若f ( x) dxF ( x) c ，则 xf (1 x 2 )dx.答案：1F (1 x 2 ) cd24.设函数eln(1 x 2)dx ___________ .答案： 0dx 15. 若 P(x) 01dt ，则 P ( x) __________ .答案：1x 2x1 t 21 （二）单项选择题1. 以下函数中，（ D2）是 xsinx的原函数．A ．1cosx 2B ．2cosx 2C ．- 2cosx2D ． -1cosx 2222. 以低等式成立的是（C ）．A ． sinxdxd(cosx)B ． ln xdxd( 1)xC ． 2 xdx1 d(2 x )D ．1 dx d xln 2x3. 以下不定积分中，常用分部积分法计算的是（C ）．A ． cos(2x1)dx ，B ．x 1 x 2 dxC ． xsin 2xdxD ．x 2 dx1 x4. 以下定积分计算正确的选项是（D）．12 d216B ．dx15x x11C ．23D ． sin d( xx )dx 0x x5. 以下无量积分中收敛的是（ B ）．A ．1(三)解答题1dx B ．112dx C ．e x dxD ．sinxdxxx 011.计算以下不定积分3x（ 1） 3xdx 原式 =3 x dx = (e )c3x ce x(e ) ln 3e x (ln 3 1)e（ 2）(1x) 213dx 答案：原式 = (x 2 2 x x 2 )dxx=14 32 5 c2x 23 x 2x 25x 24 (x 2)dx1 x 22x c（ 3）dx 答案：原式 =（ 4）1 1 dx答案：原式 = 1 d (1 2x)1ln 1 2x c 2x 2 1 2x 21 13（ 5）x 2 x2dx答案：原式 = 2 x 2 d (2 x 2 ) = ( 2 x2) 2 c2 3（ 6）sinxdx 答案：原式=2 sin xd x 2 cos x c x（ 7）xdx xsin2答案：∵ (+) x sinx2(-) 1 2 cosx2(+) 0 4 sinx2∴原式 = 2x cosx4 sinxc2 2（8） ln( x 1)dx答案：∵ (+) ln( x 1) 1(-)1x x 1∴原式 = x ln( x 1) x dxx 1= x ln( x 1) (1 1 )dxx 1 = x ln( x 1) x ln( x 1) c 2.计算以下定积分2xdx（ 1） 111x)dx 2 1)dx = 2 ( 1x2 x)12 2 5 9答案：原式 = (1 (x1 12 2 212e x（ 2） x2 dx11112e xx 2)d112答案：原式 =2 ( = ex e e 21xxe3（ 3）1dx1x 1 ln xe3x d(1 ln x) = 2 1 ln xe 3 答案：原式 =1 ln x 21x1（ 4）2x cos2xdx答案：∵ (+) xcos2x (-)11sin 2x2(+)01cos2x4∴ 原式 = (1x sin 2x1cos2x) 0224=1 1 1442e（ 5） x ln xdx 1答案：∵ (+)ln xx(-)1x 2x21 2ln x e1e∴ 原式 =x 12 xdx21 =e 2 1 x 21e1 (e2 1)2 444 xxx(1（ 6）答案：∵原式 = 44 xe xdx(-)1 -e x (+)0e x4e x ) 04∴xe xdx ( xex 0=5e 4 1故：原式 =55e4作业三（一）填空题10 4 51.设矩阵 A32 32 ，则 A 的元素 a 23 __________ ________ .答案： 321612.设 A, B 均为 3 阶矩阵，且 A B3，则2AB T = ________. 答案： 723. 设 A, B 均为 n 阶矩阵，则等式 ( AB) 2 A 2 2 ABB 2 成立的充分必要条件是.答案： AB BA4. 设 A, B 均为 n 阶矩阵， ( IB) 可逆，则矩阵 A BXX 的解 X__________ ____ .答案：( IB) 1 A1 01 0 0 5. 设矩阵 A020 ，则 A1__________ .答案：A0 10 0 032 10 03（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的选项是（ C ）．A ．若 A,B 均为零矩阵，则有 A B B ．若 AB AC ，且 A O ，则 BCC ．对角矩阵是对称矩阵D ．若 AO, B O ，则 AB O2. 设 A 为 34 矩阵， B 为5 2矩阵，且乘积矩阵 ACB T 有意义，则 C T 为（A ）矩阵．A ． 2 4B ． 4 2C ． 3 5D ． 533. 设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则以低等式成立的是（C ）．`A ． ( A B) 1A 1B 1 ，B ． ( A B) 1 A 1 B 14. 以下矩阵可逆的是（A）．1 2 31 01 A ．2 3 B ．10 1 0 0 3123C ．1 11 1 0 0D ．222 2 25. 矩阵 A3 3 3 的秩是（B ）．4 44A ． 0B ． 1C ．2D ．3三、解答题 1．计算2 1 0 1 1 2（ 1）3 1 0 =553（ 2）（ 3）2．计算0 2 1 1 0 0 03 0 00 0312 5 4= 0121 2 3 1 2 4 2 4 51 2 2 1 4 3 6 1 01 32 23 1 3 2 71 2 3 1 2 4 2 4 5 7 19 7 2 4 5 解1 221 4 3 6 17 12 0 6 1 013 223132 7 0 4 732 7515 2 =1 11 032142 31 12 33．设矩阵 A111 ， B 1 12 ，求 AB 。

电大天堂【经济数学基础】形成性考核册答案电大天堂【经济数学基础】形考作业一答案：（一）填空题 1.___________________sin lim=-→xxx x .0 2.设 ⎝⎛=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续，则________=k .答案：1 3.曲线x y =在)1,1(的切线方程是.答案：2121+=x y 4.设函数52)1(2++=+x x x f ，则____________)(='x f .答案：x 2 5.设x x x f sin )(=，则__________)2π(=''f 2π-（二）单项选择题1. 函数+∞→x ，下列变量为无穷小量是（ C ） A ．)1(x In + B ．1/2+x xC ．21xe - D ．xxsin2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xxx3. 设y x =lg2，则d y =（ B ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 4. 若函数f (x )在点x 0处可导，则( B )是错误的．A ．函数f (x )在点x 0处有定义B ．A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠C ．函数f (x )在点x 0处连续D ．函数f (x )在点x 0处可微5.若x xf =)1(，则()('=x f B ）A ．1/ 2xB ．-1/2xC ．x 1D ．x1- (三)解答题 1．计算极限（1）21123lim 221-=-+-→x x x x （2）218665lim 222=+-+-→x x x x x （3）2111lim 0-=--→x x x （4）3142353lim 22=+++-∞→x x x x x （5）535sin 3sin lim 0=→x x x （6）4)2sin(4lim 22=--→x x x2．设函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<+=0sin 0,0,1sin )(x x xx a x b x x x f ，问：（1）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处有极限存在？ （2）当b a ,为何值时，)(x f 在0=x 处连续.答案：（1）当1=b ，a 任意时，)(x f 在0=x 处有极限存在； （2）当1==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

大学经济数学基础考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 经济学中的边际成本是指：A. 总成本除以产量B. 增加一单位产量所带来的成本增加C. 固定成本D. 总成本答案：B2. 在完全竞争市场中，企业面临的需求曲线是：A. 水平的B. 垂直的C. 向右下倾斜的D. 向右上倾斜的答案：A3. 下列哪项不是宏观经济学的研究内容？A. 通货膨胀B. 失业率C. 个人收入D. 经济增长答案：C4. 边际效用递减原理指的是：A. 随着商品数量的增加，其边际效用递增B. 随着商品数量的增加，其边际效用递减C. 商品价格越高，边际效用越大D. 商品价格越低，边际效用越大答案：B5. 如果一个企业处于垄断地位，它将：A. 总是生产最少的产品以最大化利润B. 总是生产最多的产品以最大化利润C. 选择一个产量水平，使得边际收入等于边际成本D. 选择一个价格水平，使得消费者剩余最大答案：C6. 在下列哪种情况下，消费者剩余最大？A. 完全竞争市场B. 垄断市场C. 垄断竞争市场D. 寡头市场答案：A7. 机会成本是指：A. 放弃的下一个最佳选择的价值B. 放弃的总成本C. 放弃的固定成本D. 放弃的可变成本答案：A8. 如果两种商品是互补品，那么其中一种商品价格上升将导致：A. 另一种商品的需求量增加B. 另一种商品的需求量减少C. 互补商品的供应量增加D. 互补商品的供应量减少答案：B9. 根据科斯定理，如果产权界定清晰，并且交易成本为零，则：A. 资源配置将达到社会最优B. 资源配置将达到个人最优C. 资源配置将达到政府最优D. 资源配置将达到企业最优答案：A10. 在下列哪种情况下，政府可能会实施价格上限？A. 商品供应过剩B. 商品需求过剩C. 商品供应不足D. 商品需求不足答案：B二、简答题（每题10分，共30分）11. 简述边际分析在经济学中的应用。

答案：边际分析是经济学中一种重要的分析方法，它通过比较额外一单位的投入（边际成本）与额外一单位的产出（边际收益）来帮助企业或个人做出决策。

习题解答第一章 经济活动中的函数关系分析实训一（A ）1．填空题：（1）(,2][2,)-∞-+∞ ； （2）()3,5； （3）1x； （4）2x e ；2x e ； （5）473x -，提示：由()()47433433g f x x x =+=+-⎡⎤⎣⎦，所以()473x g x -=．2．（1）tan(2)y x =；（2）（3）y=；（4）y=lg(sin 2)x ．3．（1）cos y u =，1xu e =-； （2）ln y u =，222u x x =-+；（3）y =1u x =+；（4）y lg u v =，v =实训一（B ）1．由已知可知2110x -<-<，得到201x <<，即定义域为()()1,00,1- ．2．由()21f x x -=，可得()()2111f x x -=-+，所以()()21f x x =+．也可令1x t -=．3．（1）u y e =，sin u v =，2v x =；（2）log uv ay =，21u x =+，sin v w =，2w x =． 4． ()()()log log log a a a f x f y x y xy f xy +=+==；()()log log log a a axx f x f y x y f y y ⎛⎫-=-== ⎪⎝⎭． 实训二 （A ）1．填空题：（1）y =（2）[]1,3-； （3）2π-，4π； （4）12，π． 2．（1）⨯；（2）⨯；（3）⨯；（4）√．3．（1）由()cos 21y x =+，解得21arccos x y +=，()1arccos 12x y =-， 所以，()()11arccos 12fx x -=-．定义域：[]1,1x ∈-；值域：11,22y π-⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦（2）由()1ln 2y x =++，解得12y x e -+=，12y x e -=-，所以，()112x fx e --=-定义域：(),x ∈-∞+∞；值域：()2,y ∈-+∞ 4．【水面波纹的面积】设面积为S （2cm ），时间为t （s ），则()22502500S t t ππ==【仪器初值】()0.04200.800208986.58Q Q e Q e -⨯-===解得0.808986.582000Q e =≈．实训二（B ）1．由()x a f x x b +=+，解得反函数为()11a bx f x x --=-． 由已知()1x a f x x b -+=+，可得1a bx x a x x b-+=-+，相比较，可得a 为任意实数，1b =-．2．由()ln x x ϕ=，()21ln 3g x x ϕ=++⎡⎤⎣⎦，可得()221ln 3ln 3x x g x e e e ϕ+=⋅⋅=⎡⎤⎣⎦所以，()213x g x e+=．实训三【商品进货费用】 设批次为x ，由题意： 库存费：11250030000242C x x=⋅⋅=； 订货费：2100C x =． 【原料采购费用】设批量为x ，库存费用为1C ，进货费用为2C ，进货总费用为12C C C =+．1122C x x=⋅⋅= 23200640000200C xx=⋅=所以进货总费用为：12640000C C C x x=+=+． 【商品销售问题】设需求函数关系式为：d Q ap b =+，其中p 为定价． 由已知可得：1000070700073a ba b=+⎧⎨=+⎩，解得1000a =-，80000b =，所以100080000d Q p =-+； 供给函数为：1003000s Q p =+平衡状态下：价格70p =；需求量10000d Q =． 【商品盈亏问题】设()()()()2015200052000L x R x C x x x x =-=-+=-．()6001000L =； 无盈亏产量：()0L x =，解得400x =． 【供给函数】答案：1052PQ =+⋅． 【总成本与平均成本】总成本()1306C Q Q =+，[]0,100Q ∈． 平均成本()13061306Q C Q Q Q+==+，[]0,100Q ∈．第一章自测题一、填空题1、[2,1)(1,1)(1,)---+∞2、(,)-∞+∞3、(,1)a a --4、23x x -5、2ln(1)x -6、arcsin 2x7、cos(ln )x8、2142R Q Q =-+9、22()2505;()6248100R x x x L x x x =-=-+- 10、6P = 二、选择题1、C2、B3、B4、D5、C三、计算解答题1、（1）22log , 1y u u x ==+（2）1x y u e ==+ 2、1()1 , ()1f x x f x x -=+=- 四、应用题1、（1） 6 , 8P Q == （2） 3.5 , 3P Q == （3） 6.5 , 7P Q ==2、（1）()10200C x x =+，()200()10C x C x x x==+ （2）()15R x x =（3）()()()5200L x R x C x x =-=-，无盈亏点：40x =五、证明题（略）第二章 极限与变化趋势分析实训一（A ）1．（1）×；（2）√；（3）×；（4）×；（5）√． 2．（1）收敛，且lim 0n n x →∞=；（2）发散，lim n n x →∞=∞；（3）收敛，且lim 2n n x →∞=；（4）发散．3．（1）收敛，且lim 2x y →∞=；（2）收敛，且0lim 1x y →=；（3）收敛，且lim 1x y →+∞=；（4）发散．【产品需求量的变化趋势】lim lim 0t t t Q e -→+∞→+∞==．实训一（B ）（1）无穷大；（2）无穷大；（3）无穷大；（4）无穷大． 【人影长度】越靠近路灯，影子长度越短，越趋向于0．实训二 （A ）1．填空题（1）5；（2）2；（3）1；（4）13；（5）∞；（6）∞；（7）2． 2．（1）()()()()2211111112lim lim lim 21121213x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===---++； （2）(222211lim2x x x x x x →→→===--；（3）()()2322000222lim lim lim 211x x x x x x x x x x x x x →→→---===---； （4）()()211121111lim lim lim 111112x x x x x x x x x →→→--⎛⎫-===-⎪---++⎝⎭． 3．（1）222112lim lim 2111x x x x x x x →+∞→+∞-⎛⎫-==- ⎪+--⎝⎭； （2）()()()1121lim lim lim 22222222n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞⎛⎫++++-⎛⎫-=-==- ⎪⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 【污染治理问题】由题意可知，该问题为等比级数问题，首项为a ，公比为45，则设n 周后所剩污染物为n a ，则45nn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为4lim 05nn a →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以，可以确定随着时间的推移能将污染物排除干净．【谣言传播】 （1）1lim (t)lim11ktt t P ae -→∞→∞==+；（2）121(t)0.8110t P e-==+，可解得2ln 407.38t =≈．实训二（B ）1．填空题（1）32π-； （2）0；0．（无穷小与有界函数的乘积为无穷小）（3）0a =，2b =-．2．（1）()3320lim3h x h x x h→+-=；（2）442x x x →→→===．3．由()3lim 30x x →-=，且232lim 43x x x kx →-+=-，可得()23lim 20x x x k →-+=，解得3k =-．4．由题意可知()()21116lim lim 511x x x x x ax bx x→→--++==--，可得7a =-，6b =．实训三 （A ）1．填空题（1）1e -；（2）3e -；（3）e ；（4）e ；（5）3k =；（6）5050.1230⨯⨯=万元，()55010.125038.1⨯+-=万元，50.125041.1e ⨯=万元． 2．（1）6e -；（2）1e -；（3）2e -；（4）01e =． 3．（1）0.042003 6.68rtPe e ⨯==万元； 2.25o P =万元．（2）24.38t p =万元；24.43t p =万元．实训三（B ）1．（1）(()0111lim 1lim 1lim 11x x x x x x e x x x --→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎫-=-=-==⎢⎥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（2）()15lim 15xx x x e →→∞=+=；（3）()1111111lim lim 11xxx x xx e ---→→=+-=；（4）()()()1000ln 121limlim ln 12limln 12x x x x x x x xx →→→+=+=+ ()()112limln 12lnlim 12ln 2x xx x x x e →→=+=+==．2．322lim lim 122x xc x x x c c e e x c x c →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，所以3c =． 实训四 （A ）1．填空题 （1）(]0,3；（2）()243,110,1x x x f x x ⎧-+≤-=⎨>⎩；（3）()0lim 1x f x -→=-，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在； （4）()(),22,-∞--+∞ ； （5）1x =，2x =；（6）1k =．2．图略，()0lim 1x f x -→=，()0lim 0x f x +→=，()0lim x f x →不存在． 3．()()1lim 11x f x f -→==，()1lim 2x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在1x =处不连续．【个人所得税计算】个人所得税的起征点为月收入3500元．850035005000-=，50000.2555455⨯-=；1200035008500-=，85000.25551145⨯-=．【出租车费用】图略，()8, 322, 3836, 8x f x x x x x ≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩．实训四 （B ）1．图略，()()0lim 10x f x f -→=-=，()0lim 0x f x +→=，因为()()11lim lim x x f x f x -+→→≠，所以()f x 在0x =处不连续．2．由连续的定义可知：()()220lim 1xx k f x e →==+=．3．因为()01f =，()01lim sin00x x f x→=≠（无穷小与有界函数的乘积）， 所以0x =为第一类的可去间断点．第二章自测题一、填空题 1、1- 2、1 3、12- 4、345、221,02,0x x x x ⎧+=⎪⎨≠⎪⎩6、1-7、100 ; 0 8、0.035; 5.15e(万)(万)二、选择题1、C2、A3、C4、A5、B 三、计算解答题1、（1）原式=211(1)1 lim lim0(1)(1)1x xx xx x x→→--==+-+（2）原式=lim lim x x=1lim2x==-（3）设1xe t-=，则ln(1)x t=+，0x→时，0t→，原式=10011lim lim1ln(1)ln(1)limln(1)t ttttt ttt→→→==+⋅++1111lnln[lim(1)]ttet→===+（4）原式=sin[lim sin[limx x→+∞=s i n[l]s i n00x===2、(0)2f=00l i m()l) x x xf x---→→→==00lim lim(12x x--→→==+=00lim()lim(2)2x xf x x++→→=+=lim()2(0)xf x f→∴==()f x∴在0x=点连续，从而()f x在(,)-∞+∞内连续.四、应用题第三章经济最优化问题分析实训一（A ）1．填空题（1）45x ； （2）2313x -； （3）23x ； （4）5232x --；（5）2ln 2x ； （6）1ln10x ； （7）0； （8）0．2．2log y x =，1ln 2y x '=．212ln 2x y ='=，122ln 2x y ='=．3．（1）()141y x -=-，即43y x =-； （2）()222y x +=--，即22y x =-+； （3）cos y x '=，312x k y π='==，切线方程为123y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即126y x π=-． 实训一（B ）1．()()()20001sin010limlim lim sin 00x x x x f x f x f x x x x→→→-'====-．2．()()()()000002lim h f x h f x f x h f x h →+-+--()()()()0000022lim2h f x h f x hh f x h f x h →+-=+--()()()()00000022limlim 12h h f x h f x hh f x h f x h →→+-=⋅=+--． 其中()()()00002lim2h f x h f x f x h→+-'=，()()()()()00000021limh h f x f x h f x f x h f x →='+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦． 3．因为3,02⎛⎫⎪⎝⎭不在21y x =上，不是切点．设过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭与21y x =相切的切线的切点坐标为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则切点为21,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程为：()2312Y X a a a -=--，有已知3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭在切线上，带入可得1a =，所以切线方程为：()121y x -=--，即23y x =-+．实训二 （A ）1．（1）223146y x x x '=+-； （2）11'ln n n y nx x x --=+； （3）21'41y x x =++； （4）2cosx cosx sinx'(x 1)x y +-=+． 2．（1）22'1xy x =+； （2）22'2sin3x 3cos3x x x y e e =+； （3）'y = （4）22sec cos122'csc sinx 2tan 2cos sin222x x y x x x x ====．3．（1）''2y =； （2）''2x x y e xe --=-+（3）222222(1x )2(2x)''224(1x )x y x x --+-==-+--； （4）2322222(1x)2''2arctanx 1(1x )x x x y x +-=++++． 4．（1）2212dy x xdx y y --+==；（2）x y x y dy y e y xy dx e x xy x++--==--． 【水箱注水】由24r h =，12r h =，22311133212h v r h h h πππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，两边求导得214v h h π''=，由已知2v '=，3h =，带入可得： 1294h π'=，89h π'=所以水位上升的速度为89π米/分．【梯子的滑动速度】由题意可得22100x y +=，两边求导可得：220dx dy xy dt dt +=，即dx y dy dt x dt=-， 将8y =，6x =，0.5dy dt =带入可得：820.563dy dt =-⨯=-．所以梯子的另一端华东的速度为23米/秒．负号表示运动方向． 实训二 （B ）1．（1）11(1ln )e x e x y x x x e -=+++； （2）()()1112121y x x x ⎫'=--⎪⎪-+⎭． 2．()()cos sin x x y e x f e x ''=++． 3．将1y y xe -=两边对x 求导可得：0y y dy dy e xe dx dx --=，即1y ydy e dx xe =-．…………（1） 将0,1x y ==带入（1）可得：y e '=． 对（1）继续求导，()()()22121y y y y y y y e xe e e xy e y e xe ''----''==-．4．（1）22x z z xy x ∂'==∂， 22y zz yx y ∂'==∂； （2）2xy x z z ye xy x ∂'==+∂，2xy y z z xe x y∂'==+∂． 实训三 （A ）1．填空题（1）单调递增区间，(),0-∞；单调递减区间()0,+∞． （2）6a =-．（3）驻点． （4）()00f x ''<．2．()()3444110y x x x x x '=-=-+=，得驻点1230,1,1x x x ==-=，单调递增区间：()()1.0 1.-+∞ ，单调递减区间：()().10.1-∞- ．3．()()23693310y x x x x '=--=-+=，得驻点121,3x x =-=．又由于：66y x ''=-，()1120y ''-=-<，所以11x =-为极大点，极大值为0； ()360y ''=>，所以23x =为极小点，极小值为32-．【定价问题】21200080R PQ P P ==-，25000502500050(1200080)6250004000C Q P P =+=+-=-， 224000160T Q P ==-，21200080625000400024000160L R C T P P P P =--=--+-+28016160649000P P =-+-160161600L P '=-+=，解得：101P =， 167080L =．【售价与最大利润】1100200Q p =-，21100200R PQ P P ==-；220019004400L R C P P =-=+-，40019000L P '=-+=，解得 4.75P =此时：150Q =，112.5L =． 【最小平均成本】210000501000050x x c x x x ++==++；21000010c x '=-+=，解得100x =．【最大收入】315x R px xe -==，33155x x R exe--'=-3(155)0x x e-=-=，解得：3x =，此时115p e -=，145R e -=．实训三 （B ）1．（1）设()1xf x e x =--，()10xf x e '=->（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． （2）设()()ln 1f x x x =-+，()1101f x x'=->+（0x >），说明()f x 在0x >时单调递增，又()00f =，所以，当0x >时，()()00f x f >=，所以不等式成立． 2．()cos cos3f x a x x '=+，没有不可导点，所以cos cos 033f a πππ⎛⎫'=+=⎪⎝⎭，得2a =．又()2sin 3sin3f x x x ''=--，03f π⎛⎫''=<⎪⎝⎭，所以3x π=为极大值点，极大值为3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭【采购计划】 设批量为x ，采购费：132********200C x x =⨯=； 库存费：222xC x =⨯=；总费用：12640000C C C x x=+=+； 264000010C x'=-+=，解得800x =唯一驻点， 所以采购分4次，每次800吨，总费用最小．第三章自测题一、填空题 1． 2 2． 12-3． 21x -4． 1-5． 212c o s x xx+ 6． 17． 2l n3x + 8． 2 ; 09． 11ln ; ln y x y x yxy y x x xy --+⋅⋅+10． 12x =二、选择题1、C2、A3、A4、D5、A 三、计算解答题1、（1）([1]y x '''=+=+[12]()1x =⋅⋅⋅==（2）222()()2x x x x y e x e x xe e --'''=⋅+⋅-=- 2、方程221x y xy +-=两边对x 求导，得22()0x y y y x y ''+⋅-+= 解得：22y xy y x-'=-，将0,1x y ==代入，得切线斜率12k =，所以，切线方程为：11(0)2y x -=-，即：220x y -+=. 3、定义域(,)-∞+∞2363(2)y x x x x '=-=- 令0y '=，得驻点120,2x x ==递增区间：(,0)-∞、(2,)+∞ 递减区间：(0,2)极大值：(0)7f = 极小值：(2)3f = 四、应用题1、50S t ==(50)50dSt dt'== 所以，两船间的距离增加的速度为50千米／小时. 2、第四章 边际与弹性分析实训一（A ）1．填空题（1）0.2x ∆=， 2.448y ∆=， 2.2dy =． （2）1x dy edx ==． （3）12dy x dx x ⎛⎫=+⎪⎝⎭． （4）cos(21)x +，2cos(21)x +． （5）[]()f g x '，[]()()f g x g x ''．2．（1）(12)dy x dx =+； （2）221dy dx x =+； （3）222(22)x x dy xe x e dx --=-； （4）322(1)dy x x dx -=-+； （5）23(1)1dy dx x =-+； （6）1dx dy x nx=． 3．()ln 11x y x x '=+++，11ln 22x y ='=+，所以11ln 22x dy dx =⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 【金属圆管截面积】2s r π=，2200.05ds r r πππ=∆=⨯=．实训一（B ）1．（1）2sec x ；（2）1sin 5x 5；（3）2x ；（4）232x ；（5）21x +；（6）arctan x ． 2．将x yxy e+=两边对x 求导，()1x yy xy ey +''+=+，解得：x y x ye yy x e ++-'=-，所以x y x ye ydy dx x e++-=-．3．（1110.001 1.00052≈+⨯=；（20.02221 2.001783⎛⎫==≈+= ⎪⨯⎝⎭； （3）()ln 1.01ln(10.01)0.01=+≈； （4）0.0510.05 1.05e ≈+=． 【圆盘面积的相对误差】2s r π=，0.2r ∆≤()'2s ds s r r r r π∆≈=∆=∆（1）()()22482240.29.65s ds cm cm πππ∆≈=⨯⨯==； （2）2220.22 1.67%24r r r s ds s s r r ππ∆∆∆≈===⨯≈． 实训二 （A ）1．（1）()2'2x f x xe =；（2）[]1'()(1)a bf x x e a x ac --=++．2．（1）()21900110090017751200C =+⨯=；17757190036C ==． （2）()39002C '=，表示第901件产品的成本为32个单位；()51000 1.673C '=≈，表示第1001件产品的成本为53个单位． 3．（1）(50)9975R =；9975199.550R ==． （2）()502000.0250199R '=-⨯=，表示第51件产品的收入为199个单位． 4．22()()100.01520050.01200L R x C x x x x x x =-=---=--，50.020L x '=-=，解得唯一驻点250x =，所以当每批生产250个单位产品时，利润达到最大．实训二（B ）1．()()()()()242,04282, 4x x x x L x R x C x x x ⎧--+≤≤⎪=-=⎨⎪-+>⎩， 即()232,0426, 4x x x L x x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨⎪->⎩，求导()3,041, 4x x L x x -+≤<⎧'=⎨->⎩，令()0L x '=解得3x =百台（唯一驻点） 所以每年生产300台时，利润达到最大．()()430.5L L -=-万元，在最大利润的基础上再生产1百台，利润将减少0.5万元．2．()0.50.25C a a =+（万元）()2152R a aa =- ()22150.50.25 4.750.522a L a a a a a =---=-+-令() 4.750L a a '=-+=，解得 4.75a =（百台）又()10L a ''=-<，有极值的第二充分条件，可知当 4.75a =为最大值（唯一驻点） 所以该产品每年生产475台时，利润最大．实训三 （A ）1．填空题 （1）1axy=；（2）21x Ey Ex ==；（3）1ln()4p η=-；（4）()334η=，()41η=，()554η=． 2．（1）15x η=； （2）3(3)5η=，价格为3时，价格上涨1%，需求下降0.6%，缺乏弹性；(5)1η=，价格为5时，价格上涨1%，需求下降1%，单位灵敏性； 6(6)5η=，价格为6时，价格上涨1%，需求下降1.2%． 3．（1）500P =元时，100000Q =张． （2）18002ppη=-．（3）1η=时，18002600p p p =-⇒=所以：当0600p ≤<时，1η<；当600900p <≤时，1η>．实训三 （B ）1．（1）224202EQ x x Q Ex Q x '==--，243x EQ Ex ==-，所以价格增长5%，需求量减少6.7%；（2）()()3220R x xQ x x x ==--，x =403Q =．2．（1）2Q P '=-，48P Q ='=-，经济意义：在价格4P =的基础上，增加一个单位，需求量减少8个单位．（2）22275P P Q Q P η'=-=-，4320.542359P η===，经济意义，在4P =的基础上涨1%，需求减少0.54%．（3）375R PQ p p ==-，3375375p p p pη-=-，(4)0.46η=，经济意义，在4P =的基础上，若价格上涨1%，收入上涨0.46%．（4）198(6)0.46234η-=≈-，经济意义，在6P =的基础上，若价格上涨1%，收入减少0.46%． （5）375R p p =-，275305R p p '=-=⇒=，又6R p ''=-，()5300R ''=-<，所以由极值的第二充分条件，可知5P =时，总收入最大．第四章自测题一、填空题 1． 22 ; 2xxe e2．212x 3． arctan x4． 0.1 ; 0.63 ; 0.6 5． 45 ; 11 ; 456．10 ; 10% ; 变动富有弹性 7． 15%20% 8． 10% 二、选择题1、C2、B3、D4、A5、C 三、计算解答题1、（1）2222222()()2(2)x x x x y x e x e xe x e x ''''=⋅+⋅=+⋅2222222(1)x x x x e x e x e x =+=+ 22(1)xd y y d x xe x d x'∴==+ （2）222sin(12)[sin(12)]y x x ''=+⋅+2222s i n (12)c o s (12)(12)x x x '=+⋅+⋅+ 24s i n (24)x x =+ 24s i n (24)d y y d x x x d x'∴==+ 2、方程242ln y y x -=两边对x 求导，得31224dy dyy x dx y dx⋅-⋅⋅= 解得，3221dy x y dx y =-，3221x y dy dx y ∴=-3、四、应用题1、（1）()60.04C Q Q '=+ ()300()60.02C Q C Q Q Q Q==++（2）2300()0.02C Q Q'=-+令()0C Q '=，得Q = （3）2()()(204)204R Q P Q Q Q Q Q Q =⋅=-⋅=-2()()() 4.0214300L Q R Q C Q Q Q =-=-+- ()8.0414L Q Q '=-+ 令()0L Q =，得Q =2、 4Q P '=-（1）(6)24Q '=-，6P =时，价格上升1个单位，需求量减少24个单位.（2）22224(1502)15021502P P P Q P Q P P η''=-⋅=-⋅-=-- 24(6)13η=6P =时，价格变动1%，需求量变动2413% （3）23()()(1502)1502R P Q P P P P P P =⋅=-⋅=-33(1502)1502E R P PR P P E P R P P''=⋅=⋅--2215061502P P -=-61113P EREP==-6P =时，若价格下降2%，总收入将增加2213%第五章 经济总量问题分析实训一（A ）1．填空题（1）3x ，3x C +； （2）3x ，3x C +； （3）cos x -，cos x C -+；（4C ； （5）arctan x ，arctan x C +．2．（1）B ； （2）C ； （3）D ； （4）A ．3．（1）5322225x x C -+；（2）31cos 3xx e x C --+；（3）21x x C x-++； （4）(2)ln 2xe C e+． 4．（1）1arctan x C x--+；（2）sin cos x x C ++． 【曲线方程】由题意()21f x x '=+，所以()()()23113f x f x dx x dx x x C '==+=++⎰⎰，又过点()0,1带入，得到1C =，所以曲线方程为：()3113f x x x =++． 【总成本函数】由题意可得()220.01C x x x a =++，又固定成本为2000元，所以 ()220.012000C x x x =++． 【总收入函数】()()278 1.2780.6R x x dx x x C =-=-+⎰，由()000R C =⇒=，所以总收入函数为()2780.6R x x x =-．实训一（B ）1．填空题（1）sin 2ln x x x +；（2）223cos3x e x +；（3）ln x x C +． 2．（1）D ； （2）B ．3．（1）322233331u u u I du u du u u u -+-⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰ 2133ln 2u u u C u=-+++； （2）)32332333I dx x x C ===-+⎰；（3）()222222121212arctan 11x x I dx dx x C x x x x x ++⎛⎫==+=-++ ⎪++⎝⎭⎰⎰； （4）()()()1111tttt te e I dt edt e t C e +-==-=-++⎰⎰．实训二 （A ）1．填空题 （1）212x ； （2）x e --； （3）ln x ； （4）arctan x ； （5）23x x +； （6）arcsin x ． 2．（1）B ； （2）B ．3．（1）()()()11cos 2121sin 2122I x d x x C =++=++⎰； （2）()()3212313139I x x C =+=++；（3）()()231ln ln ln 3I x d x x C ==+⎰；（4）111xx I e d e C x ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰．4．（1）sin sin sin x xI e d x eC ==+⎰； （2）()()11ln 11x xx I d e e C e =+=+++⎰；（3）()()2222ln 22d x x I x x C x x -+==-++-+⎰；（4）22221111111x x x I dx dx x x x ++-⎛⎫==+- ⎪+++⎝⎭⎰⎰ 21l n (1)a r c t a n 2x x x C=++-+． 5．（1）()x x x x x I xd e xe e dx xe e C -----=-=-+=--+⎰⎰；（2）()()()ln 1ln 1ln 1I x dx x x xd x =+=+-+⎰⎰()()11ln 1ln 111x x x x dx x x dx x x +-=+-=+-++⎰⎰()()l n 1l n 1x x x x C =+-+++． 【需求函数】由已知，()111000ln3100033p pQ p dp C ⎛⎫⎛⎫=-⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 又因为0p =时，1000Q =，代入上式，得到0C =．所以，()110003pQ p ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【资本存量】由已知，32()2(1)y I t dt t C ===++⎰⎰因为0t =时，2500498y C C =+=⇒= 所以，322(1)498y t =++．实训二 （B ）1．填空题（1）ln ()f x C +；（2）arctan(())f x C +；（3）'()()xf x f x C -+． 2．（1）()()2arctan 1x x x d e I e C e ==++⎰；（2）()()11131431dx I dx x x x x ⎛⎫==-⎪-+-+⎝⎭⎰⎰113l n 3l n 1l n 441x I x x C C x -=⎡--+⎤+=+⎣⎦+；（3）()()2arctan 111dxI x C x ==++++⎰；（4）()22222x x x x x I x d e x e e dx x e xe dx -----=-=-+=--⎰⎰⎰()22222x x x x x x I x e xe e C x e xe e C ------=----+=-+++． 【物体冷却模型】设()T t 为t 时刻物体的温度，由冷却定律可得：0()dTk T T dt=-， 分离变量0dT kdt T T =-，两边积分0dTkdt T T =-⎰⎰，可得：()0ln ln T T kt c -=+，0()kt T t T ce =+．由已知()0100T =，()160T =，020T =，带入得到：80c =，ln 2k =-， 所以ln2()2080t T t e -⋅=+， 当ln 23020803te t -⋅=+⇒=．实训三 （A ）1．填空题 （1）122lim(1)nn i i n n→∞=+∑；（2）2)x dx -；（3）2π；（4）0． 2．（1）12010(3)3S x dx =+=⎰； （2）12218(2)3S x x dx -=--=⎰；（3）1303(1)4S x dx =-=⎰或034S ==⎰．实训三 （B ）1．（1）分割：将[]0,4n 等分，每份长度为4n ；（2）近似代替：2412823i i n iA n n n⎡⎤+⎛⎫∆=⋅+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；（3）求和：()2212221111281281282nnni ii i n n n in n iA A n nn===++++≈∆===∑∑∑； （4）取极限：()2211282lim16n n n n A n→∞++==． 2．1sin xdx π⎰．3．22211113ln ln 222x dx x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰．实训四 （A ）1．填空题（1）64；（2）1；（3）2π；（4）3；（5）1． 2．（1）()()()44341118111144I x d x x =--=-=⎰； （2）()()44223328I x dx xx =+=+=⎰；（几何上为直角三角形的面积）（3）22242200111222x x e I e dx e -===⎰； （4）2112111xx I e d e e x =-=-=⎰（5）01cos sin 222x x x I dx πππ++===⎰； （6）0；（利用当积分区间为对称区间，被积函数为奇函数时定积分的性质） （7）121211122222235I xdx xdx xdx xdx -=+=+=+=⎰⎰⎰⎰；（8）02sin 4I xdx π==⎰．（利用定积分的周期性）【资本存量问题】 （1）434211214I t ===⎰（万元）；（4）33224422820 6.87x xtx x ⎛⎫==-=⇒=≈ ⎪⎝⎭⎰．【投资问题】01000P =，200A = 0.05()200T t tdP e dt-= 0.05()0.05020040004000TT t T t P edt e -==-+⎰ 10t =，0.5400040002595t P e=-+= 因为0.515741600T P e-≈<，所以，此项投资不恰当．实训四 （B ）1．因为()1229214x dx --+=-⎰，()1129214x dx -+=⎰，()20216x dx +=⎰，()21214x dx +=⎰， ()3222213x dx +=⎰， 所以应该分两种情况： （1）因为()3403kf x dx =⎰，()()332240221816333k f x dx x dx -+=-==⎰⎰ 所以，0k =； （2）因为()()102112f x dx f x dx ---=⎰⎰，由对称性可知1k =-．2．对()21f x dx -⎰作代换令1x t -=（切记：定积分的换元要换限，积分值不变），则有：()()21011f x dx f t dt --=⎰⎰，所以，()()21101101112tte f x dx f t dt dt dt e t ---==+++⎰⎰⎰⎰ ()()()()001101011132ln 1ln 2ln 121t t td e ed te t e t e --+=++=+++=+++⎰⎰． 3．()()()()11111111I xf x dx xdf x x f x f x dx ----'===-⎰⎰⎰()()()()21111110x f f e f f --=+--=+-=．因为()()222x x f x e xe --'==-，()f x 为奇函数，所以()()110f f +-=．【储存费用问题】第五章自测题一、填空题 1．sin x x e c ++2．5314453x x x c -++ 3．ln xdx4．21ln 2x c +5．196．327．94π8．21200 ;200Q Q - 9．二、选择题1、D2、B3、A4、B5、C 三、计算解答题 1、（1）原式=1111()(3)(2)532dx dx x x x x =--+-+⎰⎰ 113[l n 3l n 2]l n 552x x x c cx -=--++=++ （2）原式=22111112sin ()cos cos cos1d x x x πππ-==-⎰2、（1）222222212(1)()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x ++++==++⎰⎰22111()arctan 1dx x c x x x=+=-+++⎰（2）222222212(1)3()()(1)(1)x x x F x G x dx dx x x x x -+--==++⎰⎰ 22131()3arctan 1dx x c x x x=-=--++⎰3、原式=31222(1)(1)1)33x x =+=+=⎰⎰四、应用题 1、（1）32412)2(24S x x dx x x =-=-=（2）1100()()1x x S e e dx ex e =-=-=⎰2、（1）2()()(100020)C Q C Q dQ Q Q dQ '==-+⎰⎰2311000103Q Q Q c =-++(0)9000C = ，9000c ∴=， 321()10100090003C Q Q Q Q ∴=-++ ()3400R Q Q = 321()()()10240090003L Q R Q C Q Q Q Q =-=-++- （2）令()()R Q C Q ''=，得60Q = 最大利润(60)99000L =（元） 3、.期末考试（90分钟）一、选择题（每题3分，共9分）1、设()0, 0x f x k x ≠=⎪=⎩在0x =处连续，问k =（ ）。

经济数学基础形成性考核册及参考答案作业（一）（一）填空题 1. .答案: 02.设 , 在 处连续, 则 .答案：13.曲线 在 的切线方程是 .答案:4.设函数 , 则 .答案:5.设 , 则 .答案： （二）单项选择题1.函数 的连续区间是....）答案: D A. B. C. D. 或2.下列极限计算正确的是... ）答案：B A.1lim=→xx x B.1lim 0=+→xx xC.11sinlim 0=→x x x D.1sin lim =∞→xx x3.设 , 则 （. ）. 答案: ........A. B. C. D.4.若函数.(x)在点x0处可导，则.. )是错误的. 答案: .. A ．函数f (x)在点x0处有定义 B ． , 但C. 函数f (x)在点x0处连续D. 函数f (x)在点x0处可微 5.当 时，下列变量是无穷小量的是...）.答案: C A. B. C. D. (三)解答题 1. 计算极限（1）=-+-→123lim 221x x x x )1)(1()1)(2(lim 1+---→x x x x x = )1(2lim 1+-→x x x = 21- （2）8665lim 222+-+-→x x x x x =)4)(2()3)(2(lim 2----→x x x x x = )4(3lim 2--→x x x = 21（3）x x x 11lim 0--→=)11()11)(11(lim 0+-+---→x x x x x=)11(lim+--→x x x x =21)11(1lim 0-=+--→x x（4）=+++-∞→42353lim22x x x x x 31423531lim 22=+++-∞→xx x x x（5）=→x x x 5sin 3sin lim0535sin 33sin 5lim 0x x x x x →=53（6）=--→)2sin(4lim 22x x x 4)2sin()2)(2(lim 2=-+-→x x x x2. 设函数 ,问: （1）当 为何值时, 在 处有极限存在？ （2）当 为何值时, 在 处连续.答案: （1）当 , 任意时, 在 处有极限存在； （2）当 时, 在 处连续。

第17题: 下面哪一个可以用泊松分布来衡量( B)。

A一个班学生们的身高B一段道路上碰到坑的次数C投掷硬币时遇到正面朝上的概率D某稀有金属的半衰期长短第18题: 线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的( C)为最小。

A水平距离的平方和B垂直距离的和C垂直距离的平方和D垂直距离的平方第19题: 当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间( B)。

A几乎没有什么相关性B近乎完全负相关C近乎完全正相关D可以直接用一个变量代替另一个第20题: 关于概率，下列说法正确的是( ABC)。

A是度量某一事件发生的可能性的方法B概率分布是不确定事件发生的可能性的一种数学模型C值介于0和1之间D所有未发生的事件的概率值一定比1小第21题: 下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性( ABC )。

A外汇走势B不良贷款率预测C证卷走势D税收确认第22题: 什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法( BD )。

A不确定有什么样的结果空间B不确定结果的范围是已知的C不确定结果发生的概率不一样D不确定结果具有等可能性第23题: 关于协方差，下列说法正确的有( ABD )。

A协方差体现的两个随机变量随机变动时的相关程度B如果P=1，则I 和n有完全的正线性相关关系C方差越大，协方差越大D Cov(x,η)=E(X-EX)( η-Eη)第24题: 关于中位数，下列理解错误的有( BC )。

A当所获得的数据资料呈偏态分布时，中位数的代表性优于算术平均数B当观测值个数为偶数时,(n+1)/2位置的观测值，即X（n+1）/2为中位数C当观测值个数为偶数时，（n+1）/2位置的观测值，X（n+1）/2为中位数D将资料内所有观测值从小到大一次排列，位于中间的那个观测值，称为中位数第25题: 线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的( BD )。

题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目1：函数的定义域为（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调增加的是（）.答案：题目2：下列函数在指定区间上单调减少的是（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则（）.答案：题目3：设，则=（）．答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目4：当时，下列变量为无穷小量的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目5：下列极限计算正确的是（）.答案：题目6：（）.答案：0题目6：（）.答案：-1题目6：（）.答案：1题目7：（）.答案：题目7：（）.答案：（）.题目7：（）.答案：-1题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：题目8：（）.答案：（）.题目9：（）.答案：4题目9：（）.答案：-4题目9：（）.答案：2题目10：设在处连续，则（）.答案：1 题目10：设在处连续，则（）.答案：1 题目10：设在处连续，则（）.答案：2题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目11：当（），（）时，函数在处连续.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目12：曲线在点的切线方程是（）.答案：题目13：若函数在点处可导，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处可微，则（）是错误的．答案：，但题目13：若函数在点处连续，则（）是正确的．答案：函数在点处有定义题目14：若，则（）.答案：题目14：若，则（）.答案：1题目14：若，则（）.答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目15：设，则（）．答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目16：设函数，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目17：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目18：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目19：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目20：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目21：设，则（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目22：设，方程两边对求导，可得（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：题目23：设，则（）.答案：-2题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目24：函数的驻点是（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目25：设某商品的需求函数为，则需求弹性（）.答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目1：下列函数中，（）是的一个原函数．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目2：若，则（）．答案：题目2：若，则（）. 答案：题目3：（）. 答案：题目3：（）．答案：题目3：（）. 答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目4：（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目5：下列等式成立的是（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目6：若，则（）．答案：题目6：若，则（）. 答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目7：用第一换元法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目8：下列不定积分中，常用分部积分法计算的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目9：用分部积分法求不定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目10：（）. 答案：0题目10：（）．答案：0题目10：（）. 答案：题目11：设，则（）. 答案：题目11：设，则（）．答案：题目11：设，则（）. 答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目12：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目13：下列定积分计算正确的是（）．答案：题目14：计算定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目14：（）．答案：题目14：（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目15：用第一换元法求定积分，则下列步骤中正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目16：用分部积分法求定积分，则下列步骤正确的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目17：下列无穷积分中收敛的是（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目18：求解可分离变量的微分方程，分离变量后可得（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是答案：题目19：根据一阶线性微分方程的通解公式求解，则下列选项正确的是（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目20：微分方程满足的特解为（）．答案：题目1：设矩阵，则的元素（）．答案：3题目1：设矩阵，则的元素a32=（）．答案：1题目1：设矩阵，则的元素a24=（）．答案：2题目2：设，，则（）．答案：题目2：设，，则（）答案：题目2：设，，则BA =（）．答案：题目3：设A为矩阵，B为矩阵，且乘积矩阵有意义，则为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目3：设为矩阵，为矩阵，且乘积矩阵有意义，则C为（）矩阵．答案：题目4：设，为单位矩阵，则（）答案：题目4：设，为单位矩阵，则(A - I )T =（）．答案：题目4：，为单位矩阵，则A T–I =（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目5：设均为阶矩阵，则等式成立的充分必要条件是（）．答案：题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：对角矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：数量矩阵是对称矩阵题目6：下列关于矩阵的结论正确的是（）．答案：若为可逆矩阵，且，则题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：0题目7：设，，则（）．答案：-2, 4题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目8：设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目9：下列矩阵可逆的是（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目10：设矩阵，则（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目11：设均为阶矩阵，可逆，则矩阵方程的解（）．答案：题目12：矩阵的秩是（）．答案：2题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目12：矩阵的秩是（）．答案：3题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-2题目13：设矩阵，则当（）时，最小．答案：-12题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．答案：题目14：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则该方程组的一般解为（），其中是自由未知量．选择一项：A.B.C.D.答案：题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1 题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：1题目15：设线性方程组有非0解，则（）．答案：-1题目16：设线性方程组，且，则当且仅当（）时，方程组有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组没有唯一解．答案：题目16：设线性方程组，且，则当（）时，方程组有无穷多解．答案：题目17：线性方程组有无穷多解的充分必要条件是（）．答案：题目17线性方程组有唯一解的充分必要条件是（）．：答案：题目17：线性方程组无解，则（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）．答案：题目18：设线性方程组，则方程组有解的充分必要条件是（）答案：题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组无解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有无穷多解．答案：且题目19：对线性方程组的增广矩阵做初等行变换可得则当（）时，该方程组有唯一解．答案：题目20：若线性方程组只有零解，则线性方程组（）答案：解不能确定题目20：若线性方程组有唯一解，则线性方程组（）．答案：只有零解题目20：若线性方程组有无穷多解，则线性方程组（）．答案：有无穷多解一、计算题（每题6分，共60分）1.解：综上所述，2.解：方程两边关于求导：，3.解：原式=。

习 题 四1．设总体X 服从正态分布N ()6212,,,, 3,10X X X ⋯是它的一组样本，∑==6161i i X X（1）写出X 所服从的分布； （2）求X ＞11的概率.解 （1）X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛63,102，即X ～N ⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,10.（2）{}{}⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--=≤-=231011 2310 111 111 X P X P X P ＞⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-Φ-=231011 1 =1-Φ(0.8165) .解法一：{}().2061.0 7939.01 82.0111=-≈Φ-≈＞X P解法二：查表得：Φ(0.81) = 0.7910， Φ(0.82) = 0.7939，可以求出一条过点（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直线，其方程为：(),.x .....y 81081082079100793*******---+= 对于x ∈(0.81，0.82)，我们用上述直线方程近似Φ(x )，则有 Φ (0.8165)().7929.081.08165.081.082.07910.07939.07910.0≈---+≈ 故{}()2071.0 7929.01 8165.0111=-=Φ-=＞X P这种方法，称为线性插值法；利用线性插值法，可以提高查表精度.2. 设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本， ∑==ni i X n X 11，分别按总体服从下列指定分布求E (X )，D (X ).（1）X 服从0-1分布：{}()1011,k ,p p k X P kk =-==-；（2）X 服从二项分布：{}(),k ,p p C k X P km kk m 01=-==-1，2，…，m ；（3）X 服从泊松分布：{}k k k X P k,0,e !＞λλλ-===0，1，2，…；（4）X 服从均匀分布：f (x ) =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他； 0 1,,b x a ,a b（5）X 服从指数分布：f (x ) =().0,0e ＞＞λλλx x - 解（1）X 服从0-1分布，EX =p ，DX =p (1-p ),故.· 1 1 1 1111p npn EX n X E n X n E X E ni i n i i n i i ==∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=⎪⎭⎫⎝⎛∑====ni in i i n i i DX n X D n X n D X D 121211 1 1 ()().111 · 1 2p p np np n-=-=（2）X 服从二项分布，EX =mp ，DX =mp (1-p )，同（1），可以求得().p mp nX D ,mp X E -==11（3）X 服从泊松分布EX =λ，DX =λ，同（1），可以求得：E X =λ，D X =n1λ.（4）X 服从均匀分布()1222a b DX ,ba EX -=+=， 同（1），可以求得()na b X D ,b a X E 1222-=+=.（5）X 服从指数分布其他211λλ==DX ,EX ,同（1），可以求得211λλn X D ,EX ==.注 一般地讲，设X 1，X 2，…，X n 是总体X 的样本，∑==ni i X n X 11，若X 的样本与方差均存在，则 .DX nX D ,EX X E 1== 对于本题，也可以先证明上述一般结果，再把一般结果分别应用到各个小题.3．设总体X 服从正态分布()230.,N μ，X 1，X 2，…，X n 是总体X 的一组样本，X 是样本均值，试问：样本容量n 至少应取多大，才能使{}.95.01.0 ≥-＜μX P解 X ～N ()230.,μ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n.,N X 230μ～ 故{}1.0 ＜μ-X P.n n n n n n /..n /.X n /..P 132313333010303010-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=ΦΦΦΦΦμ＜＜根据题目的要求,.n ,.n 97503950132≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ΦΦ查表得Φ(1.96)=0.975. 故..n .n57349613≥≥， 因为n 只能取正整数，所以，样本容量n 至少应取35.4．设X 1，X 2，…，X 6为正态总体N ()220,的一个样本，求⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=612546i i .X P ＞. 解 由X i ～N ()220，（i =1，2， (6)， 知20-i X ～N （0，1）（i =1，2，…，6），且它们相互独立，故()14122X X i ～, ∑=6122641i i X X ）（～ 所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=＞6.5461i 2i X P ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑=6i i X P 12＞1.63541＝=0.955．设总体X 和Y 相互独立，都服从正态分布N （30，32），X 1，X 2，…，X 20，Y 1，Y 2，…，Y 25分别是来自X 和Y 的样本.求＞0.4Y X -的概率.解 由X i ～N （30，32）（i =1，2，…，20），Y i ～N （30，32）（i =1，2，…，25）， 知),203(30,2N X ～),253(30,2N Y ～又X 与Y 相互独立，所以X 与Y 也相互独立.从而 )，253＋203(0，22N Y X ～－即).(0,0.92N Y X ～- 故{}4.0>-Y X P{}4.0·2>-=Y X P{}[]4.01·2<--=Y X P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=9.004.012Φ()[]4444.012Φ-= ()67.012-= 66.0=.6．设X 和Y 是来自正态总体N (μ , σ2)的容量为n 的两个样本均值.试确定n ，使得两个样本均值之差超过σ的概率大约为0.01.解 ,1,~2⎪⎭⎫⎝⎛σμn N X,1,~2⎪⎭⎫ ⎝⎛σμn N Y因为X ，Y 是两个不同的样本，故X 与Y 相互独立，X 与Y 也相互独立.从而 ,2,0~2⎪⎭⎫⎝⎛-σn N Y X故{}σ>-Y X P{}σ>-=Y X P 2{}[]σ<--=Y X P 12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=σσn Φ2012 .212⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n Φ 根据题设,01.0212≈⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n Φ ,995.02≈⎪⎪⎭⎫⎝⎛n Φ 查表得2n,58.2≈ n =13.3128.所以n 可以取13或14.7.设X 服从正态分布N （2,σμ），1021,,,X X X ⋯是X 的样本.试求下列概论：（1）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σμσi i X P（2）().3.210125.0221012⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-∑≤=σσX X p i i解 (1)()(),10,,2,1,~2⋯=i N X i σμ()(),10,2,11,0~2⋯=-i N X i σμ从而 ()∑⎪⎭⎫⎝⎛-=10122,10~i i X χσμ即()()∑-=10122.10~12i i X χμσ记()()∑-==101222, . 10~,1i i W X W 于是则χμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤=1012223.210125.0i i X P σμσ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X P μσ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P{}{}235.2>-≥=W P W P）分布表， （查1001.099.02=-=n χ .98.0=(2) 根据样本方差的性质，()()∑--=101222,110~1i i X X χσ记 ()()∑-==101222, ,9~,1i i x W X X W 于是则σ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤∑-≤=2210123.210125.0σσi i X X P()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑≤-≤==101222315.2i i X X P σ{}235.2≤≤=W P{}{}5.223<-≤=W P W P {}[]{}[]5.21231≥-->-=W P W P {}{}235.2>-≥=W P W P 005.0975.0-= .97.0=8.用附表4求下列各式中的λ值：(){};95.0912=>λχP ）（(){};01.0922=<λχP ）（ (){};025.01532=>λχP ）（ (){};025.01542=<λχP ）（解 （1）.325.3＝直接查表得λ（2）由(){},01.092=<λχP得(){},99.092=>λP χ 查表得.088.2=λ（3）直接查表，.488.27=λ （4）由(){},025.0152=<λP χ 得{}，＝＞975.0)5(2λP χ 查表得.262.6=λ9.用附表5求下列各式中的λ值：（1）(){};05.010=>λt P（2）(){};90.010=<λt P （3）(){};05.010=>λt P （4）(){};01.010=<λt P （5）(){}.025.0150=>λt P 解 （1）.228.2＝直接查表得λ（2）(){}90.010=<λt P 由 得 (){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){}0,05.0103>=>λλ知）由（t P 故有(){},10.010=>λt P 查表得.812.1=λ(){},0 ,01.0104<=<λλ知）由（t P (){}01.010=->-λt P(){}()002.010>-=->λλt P查表，.764.2764.2-==-λλ， 比较大，）因为（1505=n 由(){},025.0150=>λt P 知(){},05.0150=>λt P查表得.96.1=λ10.用附表6求下列各式的λ值：(){};05.0981=>λ，）（F P(){};05.09,82=<λF P ）（ (){};95.015,103=>λF P ）（(){}.90.015,104=<λF P ）（解 (1)先找05.0=a 的表，在该表中，找9,821==n n 对应的λ值，可知.23.3=λ （2）在这里先复习一下F 分布的一个性质：若F~F ()(). ,~1, ,m n F Fn m 则利用上述性质，可得： (),05.08,91=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P (),05.018,9=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P查表得,39.31=λ故.295.039.31≈=λ (){},95.010,153=>λF P ）（(){},05.015,10=<λF P(),05.010,151=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<λF P(),05.0110,15=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>λF P 查表得,85.21=λ.351.085.21==λ (){},90.015,104=<λF P ）（(){},10.015,10=>λF P 查表得.06.2=λ11.设总体X 服从标准正态分布N （0,1）n X X X ,,,,21 为其样 本，S 2为样本方差，X 为样本均值，求D (X ), E (S 2).解 ⎪⎭⎫⎝⎛∑==n i i X n D X D 11)((1)⎪⎭⎫ ⎝⎛∑==n i i X D n 121 ∑==ni i DX n 121 n .n 21=.1n= （2）解法一：()22i i i EX DX EX +=01+=().,,2,11n i ==()22X E X D X E +=01+=n,1n=故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X X n E S E 12211()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X X E n 1211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+--==n i i i X X X X E n 122211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑+--===n i n i i i X n X X X E n 1122211⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅∑--==212211X n X n X X E n n i i⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==n i i X n X E n 12211⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i X nE EX n 12211 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-⨯-=n n n n 1111 ()111--=n n.1= 解法二：()()()[]22X X E X X D XX E i i i -+-=-()0+-=X X D i()X X D i-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=n X X X X D n i 21⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--=+-n i i i X n X n X n n X n X n D 11111111 +⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-111i i X n D X n D⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i X n D X n D X n n D 1111 ()+-+++=-ii DX n n DX n DX n 221212111 n i DX n DX n 21211+++ ()个个　i n i n n n n n n --+++-+++=222212211111 ()()2221111-+-=n n n n .1nn -= 故()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑--==ni i XX n E S E 12211()∑--==n i i X X E n 1211()∑--==n i i X X E n 1211 ∑--==n i n n n 1111 ()111--=n n .1=12. A 牌灯泡的平均寿命为1400小时，标准差为200小时.B 牌灯泡的平均寿命为1200小时，标准差为100小时，从两种牌子的灯泡中各取250个进行测试.问A 牌灯泡的平均寿命至少大于B 灯泡寿命（1）180小时，（2）230小时的概率分别是多少？解 （1）因为题中未给出两种牌子灯泡的寿命所服从的分布，因而不能严格地利用其分布进行计算.题中考虑的问题主要是对250个灯泡进行测试，因试验的数比较多，故可以使用中心极限定理.按照中心极限定理,Y X 与近似地服从正态分布.22001400,250X N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，21001200,250Y N ⎛⎫ ⎪⎝⎭近似服从，根据题意, X Y 与相互独立，故().200,200,250100250200,1200140022N N Y X 即－近似服从⎪⎪⎭⎫⎝⎛+- 从而 {}{}1801180≤--=>-Y X P Y X P()1801F -= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--≈2002001801Φ ()4142.11--=Φ()[]4142.111Φ--=()4142.1Φ=.9213.0≈注 在查表时，表中没有1.4142，因而需要使用()41.1Φ ()922200421920730..Φ ,.==进行线性插值，可得()()()()[]41.142.141.142.141.14142.141.14142.1ΦΦΦΦ---+≈ .9213.0={}2302>-Y X P ）　（ {}2301≤--=Y X P ()2301F -=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2002002301Φ ()983.011213.21-=-=Φ 017.0=.注 2.1213未在表中，但与表中的2.12比较接近，在对精度要求不太高的情况下，可以用2.12来代替2.1213. 如果对精度要求比较高，就需要使用（1）中使用的线性插值方法.13.分别从方差为20和35的正态总体中抽取容量为8和10的两个样本，求第一个样本方差是第2个样本方差两倍以上的概率范围. 解 对于第1个样本.20 ,8211==σn 对于第2个样本 .35 ,10222==σn 统计量(),n ,n F ~S S F 11212222121--=σσ即 ().9,7~35/20/2221F S S F =故 {}22212S S P ≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=22221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯≥⋅=2203520352221S S P⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=5.335/20/2221S S P{}.5.3≥=F P 查F 分布表{},05.029.3=>F P{}.025.020.4=>F P由 {}{}{},20.45.329.3>>≥>>F P F P F P 可得 {},025.05.305.0>≥>F P 即 {}.025.0205.02221>⋅≥>S S P所求的概率范围为（0.025，0.05）.14.设n X X X ,,,21 是取自正态总体()2,σμN 的一个样本，S 2为样本方差，求满足等式95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P 的最小n 值. 解由 ,95.05.122≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤σS P知 ,05.05.122≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧>σS P即 ()())(.05.015.1122A n S n P ≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-σ 依题设，易知()221σS n -服从自由度为()1-n 的2x 分布. 根据上侧分位数的定义，我们得到如下等式 ()() .05.011205.022=⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-n S n P χσ（B ） 由（A ）、（B ）两个式子，可以得到()() .115.1205.0->-n n χ（C ） （A ）式与（C ）式等价，因此满足（C ）式的最小n 值即为满足（A ）式的最小n 值.查表并整理得n()()()()115.1115.11205.0205.0->----n n n n n χχ2 1 1.5 3.841 ×3 2 3 5.991 ×4 3 4.5 7.815 × 25 24 36 36.415 × 26 25 37.5 37.652 × 27 26 39 38.885 √ 28 27 40.5 40.113 √故所求的最小n 值为27.15. 已知X 服从n 个自由度的t 分布，求证X 2服从自由度为 （1，n ）的F 分布，即()n F X ,1~2 证 当()()时n W N U 2~,1,0~χ()n t n~/W UX ＝()1~,/2222χU nW U X 又=所以().,1~/1//222n F nW U n W U X ==16.设92,,,1X X X 是来自正态总体）（22,0N 的简单随机样本，求系数a ,b ,c ,使 ()()()298762543221X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从χ2分布，并求其自由度.解 由于X i 独立同分布，有()(),2.2 ,0~,2,0~2212N X X N X i +(),2.3 ,0~2543N X X X ++(),42 ,0~29876N X X X X +++从而()()()(), 1 ~121, 1 ~81225432221χχX X X X X +++ ()(). 1 ~161224321χX X X X +++由χ2分布的可加性知，()()()29876254322116112181X X X X X X X X X ++++++++ ().3~2χ所以，当分布，的服从自由度为时，23Q 161,121,81χc b a ==().3~Q 2χ即17.设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布N （0，32），X 1, X 2,…, X 9和Y 1,Y 2, …,Y 9分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，试证统计量292221921Y Y Y X X X T ++++++=服从自由度为9的t 分布.证 首先将X i ,Y i 分别除以3，使之化为标准正态.令()).1,0(~,1,0~,9,,2,1,3,3N Y N X i Y Y X X i i i i i i ''=='='则 再令()().1,0~3.9,0~,X 921N X N X X X X '''++'+'='则().9~,222/92/22/12χY Y Y Y Y '+++='因此 2/92/22/1921292221921Y Y Y X X X Y Y Y X X X T +++'++'+'=++++++= .,9/3/222相互独立，且Y X Y X Y X ''''=''=由服从t 分布统计量的典型模式知，T 服从自由度为9的t 分布，即T ~t ( 9 ).18.设总体X 服从正态分布N (),,2σμ从中抽取一个样本X 1,X 2,…,X n +1. 记()∑∑==--==n i n i ni n i n .X X n S ,X n X 1212111试证：().1~11--⋅++n t S n X X n nnn 分析：因为()()分布知，由t ,n ~S n n11222--χσ分子需要一个服从标准正态分布的随机变量，故只需证明σnn X X n n -++11()1,0~N 即可.证 ().2,~,2,~X 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+n N X N n n σμσμ,1,0~21⎪⎭⎫⎝⎛+-+σn n N X X n n 故 (), ,N ~n nX X n n X X U n n n n 101111+⋅-=+-=++σσ()()相互独立，、且W n S n W nU , 1~1222--=χσ所以 ().1~1/--=n t n W U T又 ()1/11221--+⋅-=+n S n n n X X T n nn σσ,11+⋅-=+n nX X X n n n 从而().1~11-+⋅-+n t n n S X X n n 19. 设X 1,X 2,…,X n 是来自总体()2,σμN 的样本，记∑==ni n 11d .μ-i X 试证：()().π21d ,π22n D E σσ⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ｄ证明 记,μ-=i i X Y 则().,,2,1,,0~2n i N Y i =σ()()dy eπ21222σσμy ii y Y E X E -∞+∞-⎰==-dy eπ220222⎰=∞+-σσy y .π2e π2202 22σσσ=-=∞+-y ()()()()[]22iiii Y E Y E Y D X D -==-μ()22π2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=σi i EY DY 22π20σσ-+=,π212σ⎪⎭⎫⎝⎛-=所以 ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i n i iX E n X n E E 1111d μμ.π2π21σσ=⋅=n n ()()∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑-===ni i ni i X D n X n D D 12111d μμ.π212n σ⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 20.设总体X 服从正态分布N (62，100)，为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解 设需要样本容量为n , 则(),1,0~/N n X nX ⋅-=-σμσμ{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧->-=>n n X P X P 106260106360()().95.02.02.01≥=--=n Φn Φ查标准正态分布表，得 ().95.064.1≈Φ 所以 .24.672.064.164.12.02=⎪⎭⎫⎝⎛≥⇒≥n n故样本容量至少应取68.21.设X 1,X 2,…,X 9为来自总体X ～N (a ,22),Y 1,Y 2,…,Y 16为来自总体Y ～N (b ,22)的两个相互独立的简单随机样本. 记()()∑∑==-=-=911612221i j j i .YY Q ,X X Q求满足下列各式的常数.,,,,,212121γγββαα {}{};05.0)1(1121=≤=≥a Q P a Q P {};9.0)2(1=<-βa X P;9.0)3(22=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-βQ b Y P.05.0)4(112212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P解 从而由题设知,4)1(2σ==DX()∑-===912211)8(~414i i X X Q W χ，故 {}.05.0442121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≡≥ααQ P Q P{}().507.1584,05.005.202)8(05.201===≥χαχW P 类似地 {},05.0444111111=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=≤αααW P Q P Q P.733.2)8(495.201==χα 所以 .028.62;932.10733.2421==⨯=αα()()(),1,0~233/29/21N a X a X a X U -=-=-=σ {}⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-=<-112323ββa X P a X P,9.02311=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=βU P查标准正态分布得.093.1,64.12311==ββ所以 ()(),1,0~24/216/)3(2N b Y bY b Y U -=-=-=σ()()∑-===1612222.15~414j j Y Y Q W χ可见 ().15~15/22t W U T =即 ()(),15~615415/41222t Q Y Q bY T -=-=所以 .9.01541542222=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-ββQ b Y P Q b Y P查表得{}{}.9.0753.1 10.0753.1=<=≥T P T P ， 可知 .113.0 ,753.115422==ββ即()()可得由,8,15~18/15/F 412F Q Q =,05.01588/15/212212=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥γγQ Q P Q Q P,05.01588/15/112112=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤γγQ Q P Q Q P因此 ().0375.622.38,15158205.02=⇒==γγF().709.0645.2115,81158105.01=⇒==γγF习 题 五1. ∑==ni i X n X X X X X 1n 21,1,,,的样本，是总体设 ()∑--==n i i X X n S 122, 11分别按总体服从下列分布求().2S E （1）X 服从均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=,0,,1)(b x a a b x f（2）X 服从泊松分布：{},0,e !>==-λλλx x X P x.),2,1,0( =x（3）X 服从二项分布：()()xm x x p P C x X P m--==1().,2,1,0m x =解 ，因为DX S E =)(2故由方差的计算公式可以直接求出E (S 2).（1）X 服从均匀分布()().1222a b DX S E -== （2）X 服从泊松分布 ().2λ==DX S E （3）X 服从二项分布()().12p np DX S E -==2. 设X 1,X 2,…,X n 是总体X 的一个样本,.μ=EX 试证：()∑-==n i i X n S 12201ˆμ是总体方差的无偏估计量. 证 由期望公式有()()()∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-===ni i X E n X n E S E 12n 1i 2i 2011ˆμμ ∑=⋅===n i i DX nDX n DX n 1.11所以，()∑-==ni iX n S 12201ˆμ是DX 的无偏估计量 . 3. 对样本X 1,X 2,…,X n 作变换()()0,,≠-=m m a a X m Y i i 为常数 试证：;)1(a mYX +=.1)2(222Y X S mS =证 ()得由因为a X m Y m i i -=≠,0)1(,1a Y m X i i +=∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+====n i n i i i a Y m n X n X 11111∑+==n i i a Y m n 111a Y m Y n m n i i +=∑⋅==1111其他.()∑--=-n i i X X X n S 12211)2( ∑⎪⎭⎫⎝⎛--+-==n i i a Y m a Y m n 121111()∑--=-n i i Y Y m n 122 111()∑--⋅=-n i i Y Y n m 122 111.122Y S m=4. 设X 1 , X 2 , … , X n 是X 的一样本，试证估计量,11∑==ni i X n X ,)a a (X a W ni i i ini i 1011=≥=∑∑==为常数，都是EX 的无偏估计，且X 的方差不超过W 的方差.证 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛∑===ni i n i i EX n X n E X E 1111因为X 与X i 同分布，所以EX i =EX .故 EX X E =同理，∑=∑===ni i i i ni i EX a X a E EW 11.1EX a EX ni i =∑==所以.的无偏估计都是与EX W X由于∑∑⋅=====n i n i i i a DX DX a DW DX nX D 1122,,1根据柯西不等式 ∑=∑≥==n i n i i i a a n 1212,1)(得 ,1DX nDW ≥从而有 .DW X D ≤5. 从某种灯泡的总体中，随机抽取10个样本，测得其寿命(小时)为1520 1483 1827 1654 1631 1483 1411 1660 1540 1987试求方差的无偏估计 .解 因为()∑-==n i i X X n S 122 1是方差的无偏估计量，故只要计算S 2的值.1411148316311654182714831520(101++++++=X)198715401660+++ 6.1619=()()∑∑-=--===n i n i i i X X X n S 112226.161991 11=30892.49.6. 设X 1,X 2,…,X n ()2≥n 为正态总体()2,σμN 的一个样本，适当选择常数C ，使()∑-=+-11221n i i i .X X C 的无偏估计为σ解 设()().112121∑-=-=+n i i i n X X C ,X ,,X X ϕ由期望的定义与性质可得()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑-=-=+112121 ,,, n i i i n X X C E X X X E ϕ()∑+-=-=++1121212n i ii i i X X X X E C[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X X E X E C()[]∑+-=-=++112121)()(2)(n i i i i i X E X E X E X E C[]∑-+-=-=+1122221)()()(n i ii X E EX EX X E C ()(),21221122σσσσ=-=∑+=-=n C C n i故 ().121-=n C7. 设总体X 的密度函数是⎩⎨⎧><<=-. ,,,x ，x );x (f 其他00101αααα n x x x ,,,21 是一组样本值，求参数α的最大似然估计量.解 似然函数.1111-=-=∏=∏=ααααini n ini x x L.ln )1(ln ln 1∑-+==ni i x n L αα,0ln d dlnL 1=∑+==ni i x n αα 得 .)ln 1(ln 111-==∧∑=∑=ni i mi ix n x n α 8. 设总体X 服从韦布尔分布，密度函数是0,0,0e );(1>>>=--αθθαθαθαx x x f x其中α为已知，X 1, X 2, … , X n 是来自X 的样本,求参数θ的最大似然估计. 解 似然函数 αθαθαiX i ni X L --==e Π11.e Π11αθααθiX i ni nnX --==∑∑--++===n i ni i i X X n n L 11.ln )1(ln ln ln αθααθ∑=-==n i i X n L 1,0d dln αθθ 从而得到111)1(ˆ-==∑=∑=ni i ni iX n Xn Q αα 9.设总体X 服从马克斯韦尔分布，密度函数是⎪⎩⎪⎨⎧≤>>=-0,0,0,0,e π4);(2)(32x x x x f x ααααX 1, X 2, … , X n 是总体X 的样本，求α的最大似然估计. 解 似然函数2eπ4Π321⎪⎭⎫ ⎝⎛-==ααi x i ni X L21e π4Π321∑⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅⋅=n i i X n i ni X αα ∑-===ni i i n i X n X L 122211-ln 3π4Πln ln αα∑=+-==ni i X n L 123023d dln ααα 所以 ∑==n i i X n a 12.32ˆ10.已知某电子仪器的使用寿命服从指数分布，密度函数是0,0e );(>>=-λλλλx x f x今随机抽取14台，测得寿命数据如下(单位：小时)1812 1890 2580 1789 2703 1921 2054 1354 1967 2324 1884 2120 2304 1480 求λ的最大似然估计值. 解 由于指数分布λ的最大似然估计2013 ,11==∑==∧X X Xn n i i又λ所以 .20131=∧λ 11.设总体X 服从［a , b ］区间上的均匀分布，n x x x ,,,21⋯是总体X 的一组样本,求a 和b 的最大似然估计量.解 似然函数()=b a x x x L n ,,,,2,1 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-. ,0,,,,,)(121其他b x x x a a b n n由于似然方程组()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=∂∂=-=∂∂++,0,0L 11n n a b n bL a b n a 无解，不存在驻点，考虑边界上的点， 因为,,,,21b x x x a n ≤≤故有{},,,,m in 21n x x x a ≤{}.,,,m a x 21n x x b ≥a b -越小L 越大，所以当{}==b x x x a n ,,,,m in 21 {}时，n x x x ,,,m ax 21 L 取到最大值.即：{}{}n n x x x b x x x a ,,,m ax ,,,,m in 2121 ==∧∧是a , b 的最大似然估计量. 12.设总体X 的密度函数为()0,0e1, >>=-θθθθx x f x问∑==ni i X n X 11是否为θ的无偏估计？为什么？ 解 因总体X 是服从参数θλ1=的指数分布，由指数分布的期望公式知，,1θλ==EX又 ,EX X E =所以 . ,的无偏估计是即θθX X E =13.求习题7,10,11中的参数的矩估计. 解 （7）由于()⋅+=⋅⎰=⎰∞-+∞=-1d 01d ,1αααααx x x x x xf EX故，11V =+αα解得 .111V V -=α 取 ∑===ni iX X n V 11.1ˆ 所以α的矩估计量.1ˆXX-=α（10）已知，x x f λλ-=e )(.11,1ˆ1111V EX V X X n V ni i===∑===λλ，所以 .201311ˆ1ˆ1===X V λ（11）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+==),(31,222221b ab a EX V b a EX V即 ⎩⎨⎧=++=+,3,22221V b ab a V b a ⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=⇒.)(3,)(321212121V V V b V V V a 用 ∑===ni K iK V ），K X n V 1,21( 1ˆ估计 得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=，S X b ，S X a20203ˆ3ˆ其中 ∑-==n i i X X n S 1220.)(114．对球的直径作了5次测量，测量的结果是37.6 33.636.6 32.6 37.6(厘米)，试求样本均值和样本方差.解 35.6)37.632.636.637.633.6(51=++++=X (厘米)∑++++=-==n i i X X S 122222203.001.002.002.0(41)(41.105.5)02.042-⨯=15．在一批螺丝钉中，随机抽取16个，测其长度(厘米)为：2.23 2.21 2.20 2.24 2.22 2.25 2.21 2.24 2.25 2.23 2.25 2.21 2.24 2.23 2.25 2.22设螺丝钉的长度服从正态分布，试求总体均值μ的90％置信区间. (1)若已知σ＝0.01 (2)若σ未知解 (1)由于已知σ＝0.01，α＝0.1 .64.105.02==u u α所以μ的置信区间为23216116010641160106411.X X ..X ,..X ni i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∑= 故得μ的90％置信区间为(2.226，2.234)(2)由(1)知23.2=X00028.0 0042.0151)(15116122=⨯∑=-==i i X X S 由α＝0.10，查自由度为15的t 分布，得分位数,223.240167.0753.123.2)1(.753.1)15(21.0=⨯-=--=n S n t X t α( 2.237.X t n α+=得EX 的置信度为0.9的置信区间为(2.223，2.237).16．设正态总体的方差σ2为已知，问抽取的样本容量n 应为多大，才能总体均值μ的置信度为0.95的置信区间长不大于L .解 正态总体置信区间长为,22n σu α.96.1025.02==u u α由题意 .96.1422222L n σL nσu ≤⨯⇒≤σ故 2237.15Lσn ≥.17．在测量反应时间中，一心理学家估计的标准差是0.05秒，为了以95％的置信度使他的平均反应时间的估计误差不超过0.01秒，应取容量为多大的测量样本？解 若假定反应时间X 服从正态分布，则由16题解的结果可以直接求出n .06.96)02.005.0(37.15)01.02(05.022222=≥⨯==n L ，σ 所以应取样本容量n ＝97.若没有正态性假定，则可用切贝绍夫不等式进行估计，但比较粗，此题因n 较大，故可以假定其服从正态分布.18．对某机器生产的滚珠轴承随机抽取196个样本，测得直径的均值为0.826厘米，样本标准差0.042厘米，求滚珠轴承均值的95％与99％置信区间.解 因样本容量n 较大，故可假定滚珠轴承的直径x 服从正态分布.由已知.042.0826.0 196===，S X ，n .58.296.1005.0025.02===U ，u u α将上述各值代入置信区间公式中，可得)196042.096.1826.0 196042.096.1826.0(⋅+⋅-，).832.0 ,820.0(≈)14042.058.2826.0 14042.058.2826.0(⋅+⋅-，).834.0 ,818.0(≈19．在一批铜丝中，随机抽取9根，测得其抗拉强度为：578 582 574 568 596 572 570 584 578设抗拉强度服从正态分布，求σ2的置信度为0.95的置信区间.解 由于铜丝抗拉强度服从正态分布，σ2的置信区间为.)1()1()1()1(22 12222⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----n S n n S n ααχχ，经计算 ∑===ni i X X 1,57891.592)(912=∑-=i i X X .535.17)8( ,180.2)8(2025.012975.02====χλχλ 置信区间为 (33.76，271.56).20．求习题14的期望与方差的0.90置信区间. 解 由14题知.5,105.5,35.642=⨯==-n S X.711.0)4(,488.9)4(,132.2)4(295.0205.09.0===χχtμ的置信区间 ⎝⎛⨯--5105.5132.235.64， )372.6 ,328.6(5105.5132.235.64≈⎪⎪⎭⎫⨯+- 2σ的置信区间⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯--711.04105.5 ,488.94105.544 ).00309.0 ,00023.0(≈*21．为比较A 牌与B 牌灯泡的寿命，随机抽取A 牌灯泡10只，测得平均寿命1400=A X 小时，样本标准差=A S 52小时；随机抽取B 牌灯泡8只，测得平均寿命=B X 1250小时，样本标准差=B S 64小时，设总体都服从正态分布，且方差相等，求二总体均值B A μμ-的95％置信区间.解 由题设22BA σσ=，故两总体均值差的置信区间为 )([ 21X X -,11)2(2121n n S n n t w++-+-α ]11)((212121n n S n n t X X W+++-α (*) ,56.57281064)18(52)110( 2)1()1(2222=-+-+-=-+-+-=B A BB A A W n n S n S n S.120.2)16(,1.278110156.571105.021=≈+=+t n n S W将以上各数值代入(*)，得B A μμ-的置信区间为(92.65，207.35).22．从二正态总体X 、Y 中分别抽取容量为16和10的两个样本，求得∑∑=-=-==16110122.180)(038)(i i i i Y Y X X ，试求方差比22yx σσ的95％置信区间.解 已知380) ,1016161i 2i 21=∑-===X X n n （，∑===-=101i 222122033.25180)(，S S ，y y i 从而又α＝0.05，查F 分布上侧分位数表，得F 0.025(15, 9) = 3.77, F 0.025(9, 15) = 3.12， 代入方差比的置信区间⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----22211222221212)1 ,1(,)1,1(1S S n n F S S n n F αα 得 0.95置信区间为).95.3,34.0(2033.2512.32033.2577.31=⎪⎭⎫ ⎝⎛，23．在某一地区中，随机对100名成年居民作民意测验，有80％的居民支持粮食调价，求在该地区的所有居民中，支持粮食调价的比率的0.95与0.99的置信区间.解 因为100,9.08.01.08.0ˆ=≤≤=n ，p是大样本，由比率的置信区间公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--n p p u p n p pu p )ˆ1(ˆˆ,)ˆ1(ˆˆ22αα得 .0784.004.096.11002.08.096.1)ˆ1(ˆ2=⨯=⨯=-n p p u α所以置信区间为(0.7216，0.8784).同理可得置信度为0.99的置信区间为 )04.058.28.0,04.058.28.0(⨯+⨯- ≈(0.697，0.903)*24．欲估计某县城拥有洗衣机的家庭所占比率，随机抽查了15户，其中6户有洗衣机，求该县城购置洗衣机家庭比率的0.99置信区间. 解 利用二项分布和F 分布的关系∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-n k kn k k n np f p f F p p C μ,)1()1(12 其中)(x F 是自由度为n f μ21=和)1(22+-=n n f μ的F 分布函数，可得p 的α-1置信区间,22,1111⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++b f f a f f其中),2,2()1(),,(2112/2122/2-+-==-f f F f b f f F f a αα而),(21f f F β是自由度为),(21f f 的F 分布水平β上侧分位数.我们利用上面公式求p 的0.90置信区间)ˆ,ˆ(21p p，其中15=n ，6=n μ，90.01=-α，10.0=α；自由度n f μ21=，20)1(22=+-=n n f μ，由附表可直接查出F 0.05(f 2，f 1)＝F 0.05(20，12)＝2.54；该表中查不到F 0.05(f 1+2，f 2-2)＝F 0.05(14, 18)，故用线性内插法求其近似值：由附表6，有F 0.05(10, 18)＝2.41，F 0.05(15, 18)＝2.27 则F 0.05(14, 18)≈F 0.05(15, 18)+[]18) (15,18) (10,0.050.05F F - ＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得105.0-F (14, 18)＝1/2.298＝0.435. 从而，有a ＝f 2F 0.05(f 2, f 1)＝20×2.54＝50.8，b ＝(f 2-1)105.0-F (f 1+2，f 2-1)＝18×0.435＝7.83.于是1ˆp＝191.08.50121211=+=+a f f , 2ˆp＝.641.083.714142211=+=+++b f f最后，求得p 的0.90置信区间为(0.191，0.641).*25.设总体X 的期望为μ，方差为σ2，分别抽取容量为n 1、n 2的两个独立随机样本，1X ，2X 为两个样本的均值，试证：如果a ，b 是满足a +b =1的常数，则Y ＝a 1X +b 2X 就是μ的无偏估计量，并确定a ，b ，使DY 最小.证 由两个样本独立知1X 与2X 独立，有EY ＝E (a 1X +b 2X )＝aE 1X +bE 2X ＝a μ+b μ＝μ(a +b )＝μ，所以Y 是μ的无偏估计量.DY ＝D (1X a +2X b )＝12X D a +22X D b＝a 2·DX n n b DX n n 222212111⋅+ =.22212σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+n b n a为使DY 最小，需求2212n b n a +的最小值. 设 g (a )＝12n a +.)1()1(21212222n n a n a n n a -+=- g ′(a )＝.)1(222112n n a n a n --令 g ′(a )＝0， 得 a ＝211n n n +，由于a +b =1,所以，b ＝211n n n +. 将a =211n n n +，b =211n n n +代入DY 中， 得 (DY )min ＝212n n +σ.*26．设总体X 、Y 相互独立，且X ～N (μ1，σ2)，Y ～N (μ2，σ2)，从中分别取容量为n 1，n 2的简单随机样本，记21S ，22S 为样本方差，试证：当常数a ，b 满足a +b ＝1时，Z ＝a 21S +b 22S 是σ2的无偏估计量，并确定a ，b ，使DZ 最小.证 因为21S 与22S 是来自两个总体的样本方差，故相互独立.由期望和方差的性质，有EZ ＝E (a 21S +a 22S )=aE 21S +bE 22S ,又21S 与22S 都是σ2的无偏估计量，故 EZ ＝a σ2+b σ2=σ2(a +b )=σ2.DZ =a 2D 21S +b 2D 22S=a 2·1214-n σ+b 21224-n σ=42212211σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n b n a .(*)为使DZ 达到最小值，仿25题g (a )=)1)(1()1)(1()1(1)1(12121222212----+-=--+-n n a n a n n a n a ， 求 g ′(a )=0， 即可得到 a =21,21212211-+-=-+-n n n b n n n .代入DZ 中，得 (DZ )min =22214-+n n σ.注：在(*)式中用到D (S 2)＝124-n σ这一结论.因为∑-=-=ni i X X S n 12222)(11σσ～)1(2-n x .已知Γ(α，β)的方差等于2βα，而χ2(n )＝Γ⎪⎭⎫ ⎝⎛21，2n ，故χ2(n )的方差等于2n ，于是)1(2122-=⎪⎭⎫⎝⎛-n S n D σ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12)(42n S D σ.习 题 六 5.由经验知某味精厂袋装味精的重量X ～N(μ，σ2)，其中μ＝15，σ2＝0.05，技术革新后，改用机器包装，抽查8个样品，测得重量为(单位:克)：14.7 15.1 14. 8 15 15.3 14.9 15.2 14.6. 已知方差不变，问机器包装的平均重量是否仍为15？(显著水平α＝0.05) 解 待检验的假设是H 0 : μ＝15. 取统计量U ＝nX σ15-，在H 0成立时，U ～N (0，1).查表知P ｛｜U ｜≥1.96｝＝0.05. 根据样本值计算得X ＝14.95，6325.0805.01595.140-=-=U .因｜U 0｜＝0.6325＜1.96故H 0相容，即不能否认机器包装的平均重量仍为15.6.已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N (4.550，0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果估计方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝4.550. 因X ＝4.484，故 ｜U 0｜＝833.19108.0550.4=-X .在H 0成立条件下，U ～N (0，1)，查表知P {｜U ｜＞1.96}＝0.05. 而｜U 0｜＝1.833＜1.96，故H 0相容，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.7．在某砖厂生产的一批砖中，随机地抽测6块，其抗断强度为：32.66 30.06 31. 64 30.22 31.8731.05公斤/厘米2.设砖的抗断强度X ～N (μ，1.12).问能否认为这批砖的抗断强度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝32.5 在H 0成立条件下统计量 nX U σ5.32-=～N (0，1)，查表知 P {｜U ｜＞2.58}＝0.01. 由样本值算得X ＝31.25｜U 0｜＝78.261.15.3225.31=-＞2.58.故否定H 0，即不能认为这批砖的抗断强度为32.50公斤/厘米2.8．某厂生产的钢筋断裂强度X ～N (μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今从现在生产的一批钢筋中抽测9个样本，得到的样本均值X 较以往的均值μ大17(公斤/厘米2).设总体方差不变，问能否认为这批钢筋的强度有明显提高(α＝0.05，α＝0.1)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≤μ0. 取统计量nX U σμ0-=， 由题设知 X -μ0＝17，U ＝457.193517=查表得 P {U ＞1.64}＝0.05，故α＝0.05时，H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为这批钢筋的强度有明显提高. 当 α＝0.1时，查表得P {U ＞1.29}＝0.1， U ＝1.457＞1.25，故应否定H 0，即在α＝0.1水平下可以认为这批钢筋的强度有明显提高.9．某灯泡厂生产的灯泡平均寿命是1120小时，现从一批新生产的灯泡中抽取8个样本，测得其平均寿命为1070小时，(样本方差S 2＝1092(小时2)，试检验灯泡的平均寿命有无变化(α＝0.05和α＝0.01)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝1120. 取统计量T ＝nSX 1120-，在H 0成立条件下，T ～t (n -1).由样本值 X ＝1070，S ＝109，得 T 0＝81091120-1070＝1. 297.当α＝0.05时，查t 分布临界值表，得t 0.05(7)＝2.365，因｜T 0｜＝1.297＜2.365，故H 0相容，即在α＝0.05水平下不能认为平均寿命有显著变化. 当α＝0.01时，查t 分布临界值表，t 0.01(7)＝3.499，｜T 0｜＝1.297＜3.499.故H 0相容，即在α＝0.01水平下不能认为灯泡的平均寿命有显著变化. 10．正常人的脉博平均为72次/分，今对某种疾病患者10人，测其脉博为54 68 65 77 70 64 69 72 6271(次/分).设患者的脉博次数X 服从正态分布，试在显著水平α＝0.05下，检验患者的脉博与正常人的脉博有无差异？ 解 待检验的假设是H 0 : μ＝72(σ未知). 取统计最T ＝nX 72-，当H 0成立时，T ～t (n -1). 由样本值算得X ＝67.2，∑=--==n i i X X n S 122178.40)(11，故 ｜T 0｜＝3947.2106.3472-67.2=. α＝0.05时，查t 分布临界值表得t 0.05(9)＝2.262，而｜T 0｜＝2.3947＞2.262.故否定H 0，即在显著水平α＝0.05下，患者的脉博与正常人的脉博有显著差异.11．过去某工厂向A 公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B 公司订购原料，随机抽取向B 公司订的8次货，交货天数为： 46 38 40 39 52 35 48 44问B 公司交货日期是否较A 公司为短(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H 0 : μ≥49.1. 使用统计量T ＝nSX 1.49-，α＝0.05，自由度为7，查t 分布临界值表t 0.1(7)＝1.895，故H 0在检验水平α＝0.05的否定域为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-= 1.895＜81.49-S X V .由样本值算得X ＝42.75，S 2＝32.7832， 因此 S ＝5.7257.87257.51.4975.420-=T = -3.137＜-1.895，。

经济数学基础复习资料答案一、单项选择题1．设xx f 1)(=，则=))((x f f （C ）． A ．x 1 B ．21xC ．xD ．2x2．设11)(+=xx f ，则=))((x f f （A ）．A ．11++x xB ．x x +1C ．111++xD ．x+11 3．设xx f +=11)(，则=))((x f f （A ）．A ．x x ++21B ．x x ++12C ．x +21D ．x+114．下列各函数对中，（D ）中的两个函数相等．A ．2)()(x x f =，x x g =)( B ．11)(2--=x x x f ，1)(+=x x gC ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(=D ．x x x f 22cos sin )(+=，1)(=x g 5．下列各函数对中两个函数相等的是（C ）． A ．2)(x x f =，x x g =)( B ．2)()(x x f =，x x g =)(C ．3ln )(x x f =，x x g ln 3)(= D ．2ln )(x x f =，x x g ln 2)(= 6．函数xx y -++=41)2ln(的定义域是(A)．A ．)42(，-B ．)4()42(∞+-，，C ．)4(，-∞D ．)2(∞+， 7．函数x x y -++=5)1ln(1的定义域为（D ）． A ．),1(+∞- B ．,5](-∞ C ．]5,1(- D ．]5,0()0,1( - 8．函数242--=x x y 的定义域是（B ）． A ．)2[∞+-， B ．)2()22[∞+-，， C ．)2()2(∞+---∞，， D ．)2()2(∞+-∞，， 9．函数lg(1)xy x =+的定义域是 (D ）．A ．1x >-B ．0x >C ．0x ≠D ．10x x >-≠且 10．下列函数在区间),(+∞-∞上单调增加的是（C ）．A ．x sinB ．x 21 C ．x 3 D ．31x - 11．下列函数在区间)(∞+-∞，上是单调下降的是（D ）． A ．x sin B ．x3 C ．2x D ．x -5 12．下列函数在区间),(+∞-∞上单调减少的是（D ）．A ．x cosB ．x 2C ．2x D ．x -2 13．下列函数在区间),(+∞-∞上单调减少的是（D ）． A ．x sin B ．x 2 C ．2x D ．x -3 14．下列函数中的单调减函数是(C)．A ．3x y = B ．xy 1=C ．x y -=D ．x e y = 15．下列函数在指定区间),(+∞-∞上单调增加的是（B ）．A ．x sinB ．x eC ．2x D ．x -3 16．下列函数在区间),(+∞-∞上单调减少的是（D ）． A ．x cos B ．x 2 C ．2x D ．x -3 17．下列函数中，（D ）在区间),(+∞-∞上是单调减少的． A ．x e B ．x sin C ．12+-x D ．23+-x 18．函数1)(2-=x x f 在区间]10[，上是（A ）． A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增加后减少 D ．先减少后增加 19．下列结论中，（D ）是正确的．A ．基本初等函数都是单调函数B ．偶函数的图形关于坐标原点对称C ．周期函数都是有界函数D ．奇函数的图形关于坐标原点对称 20．下列函数中为偶函数的是(A)．A ．x x y sin =B ．x x y +=2C ．xxy --=22 D ．x x y cos =20．下列函数中为偶函数的是(C)．A ．x x y -=2B ．11ln +-=x x y C ．2x x e e y -+= D ．x x y sin 2=21．下列函数中为奇函数的是（B ）．A ．x x sin 3B ．)1ln(2x x ++ C ．2x x e e -+ D ．2sin 2+x x22．下列函数中为奇函数的是（C ）．A ．x x sinB ．x lnC ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +23．下列函数中为奇函数的是（C ）． A ．x x y -=2B ．xxe e y -+= C ．11ln+-=x x y D ．x x y sin = 24．极限=--→11sin)1(lim 1x x x (C)． A ．-1 B ．1 C ．0 D ．不存在25．极限=→xx x 21sinlim 0(C)． A ．21B ．2C ．0D ．不存在 26．已知1sin )(-=xxx f ，当（A ）时，)(x f 为无穷小量。