(完整版)相似三角形的动点问题题型(整理)

相似三角形的动点问题题型( 整理)相似三角形的动点问题一、动点型例 1、如图，已知等边三角形 ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形（点 M 的位置改变时，△ DMN 也随之整体移动）．（1）如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断EN 与 MF 有怎样的数量关系？点 F 是否在直线NE 上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图 2 证明；若不成立，请说明理由；（3）若点 M 在点 C 右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（ 1）的结论中 EN 与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例 2、如图，在矩形 ABCD 中， AB=12cm ，BC=8cm ．点 E、F、G 分别从点 A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点 E、 G 的速度均为 2cm/s，点 F 的速度为 4cm/s，当点 F 追上点 G（即点 F 与点 G 重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t 秒时，△EFG 的面积为 S（cm2）（1）当 t=1 秒时， S 的值是多少？（2）写出 S 和 t 之间的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围（3）若点 F 在矩形的边 BC 上移动，当 t 为何值时，以点 E、B、F 为顶点的三角形与以点 F、C、G 为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿AB、BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是2cm/s，当点 Q 到达点 C 时， P、 Q两点都停止运动，设运动时间为 t（s），（1）当 t＝2 时，判断△ BPQ 的形状，并说明理由；（2）设△ BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（3）作 QR//BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时，△ APR∽△ PRQ？2、如图，在直角梯形A BCD 中， AB ∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F 点以2cm／秒的速度在线段 AB 上由 A 向 B 匀速运动，E 点同时以 1cm／秒的速度在线段 BC 上由 B 向 C 匀速运动，设运动时间为 t 秒(0<t<5) ．1）求证：△ ACD ∽△ BAC ；2）求： DC 的长；3）试探究：△BEF 可以为等腰三角形吗？若能，求 t 的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC，∠B=90°，AD=6 ，BC=8 ， AB=3 3，点 M 是 BC 的中点．点 P 从点 M 出发沿 MB 以每秒 1 个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿 BM 返回；点 Q 从点M 出发以每秒 1 个单位长的速度在射线 MC 上匀速运动．在点 P， Q的运动过程中，以 PQ 为边作等边三角形 EPQ，使它与梯形ABCD 在射线 BC 的同侧．点 P，Q 同时出发，当点 P 返回到点 M 时停止运动，点Q 也随之停止．设点P，Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）设 PQ 的长为 y，在点 P 从点 M 向点 B 运动的过程中，写出 y 与 t 之间的函数关系式（不必写 t 的取值范围）；（2）当 BP=1 时，求△ EPQ 与梯形 ABCD 重叠部分的面积；（3）随着时间 t 的变化，线段 AD 会有一部分被△ EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出 t 的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例 1、如图，在 Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3 ，AB=5 ．点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒1 个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P、Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交PQ 于点 D，交折线Q同时出发，当点P也随之停止．设点QB-BC-CP 于点 E．点 P、Q 到达点 B 时停止运动，点P、Q 运动的时间是 t 秒（t＞0）．（1）当 t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；（2）在点P 从 C 向 A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求 t 的值．若不能，请说明理由；（4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出t 的值．迁移应用1、如图，已知矩形 ABCD 的边长 AB=3cm ，BC=6cm ．某一时刻，动点 M 从 A 点出发沿 AB 方向以 1cm/s 的速度向 B 点匀速运动；同时，动点N 从 D 点出发沿 DA 方向以 2cm/s 的速度向 A 点匀速运动，问：是否存在时刻 t，使以 A 、M 、 N 为顶点的三角形与△ ACD 相似？若存在，求 t的值．2、如图，正方形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 边的中点，点 P 在射线 AD 上，过 P 作 PF⊥AE于 F．（1）求证：△ PFA∽△ ABE ；（2）当点 P 在射线 AD 上运动时，设 PA=x，是否存在实数 x，使以 P，F，E 为顶点的三角形也与△ ABE相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知 A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q 同时在△ OAB 的边上按逆时针方向（→ O →A→B→O→）运动，开始时点 P 在点 B 位置，点 Q 在点 O 位置，点 P 的运动速度为每秒 2 个单位，点 Q 的运动速度为每秒 1 个单位．（1）在前 3 秒内，求△ OPQ 的面积 S 与时间 t 之间的关系式；并求出△ OPQ 的最大面积；（2）在前 10 秒内，秋 P、Q 两点之间的最小距离，并求此时点 P、Q 的坐标；（3）在前 15 秒内，探究 PQ 平行于△ OAB 一边的情况，并求平行时点P、Q 的坐标．yBO A x4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ ABC 是直角三角形，∠ ACB ，点 A、C 的坐标分别为A(-3,0) ，C(1,0)，BC AC34,（1）求过点 A 、B 的直线的函数表达式；（2）在 X 轴上找一点 D,连接 DB ，使得△ ADB与△ ABC 相似（不包括全等），并求点 D 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，如 P、Q 分别是 AB 和AD 上的动点，连接 PQ，设y B AP=DQ=m ，问是否存在这样的 m使得△ APQ 与△ ADB 相似，如存A O C x在，请求出 m 的值；如不存在，请说明理由．145、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 Y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处．已知折叠 CE= 5 5，且EA 3DA 4（1）判断 OCD 与△ ADE 是否相似？请说明理由；（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；（3）是否存在过点 D 的直线 L ，使直线 L 、直线 CE 与 x 轴所围C yB成的三角形和△ CDE 相似？如 E 果存在，请直接写出其解析式并O D A x 画出相应的直线；如果不存在，请说明理由．6、△ ABC 中， AB=AC=5 ，BC=6 ，点 P 从点 B 开始沿 BC 边以每秒 1 的速度向点 C 运动，点 Q 从点 C 开始沿 CA 边以每秒 2 的速度向点 A 运动，DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交BC 于点 E．点 P，Q 分别从 B，C 两点同时出发，当点 Q 运动到点 A 时，点 Q、p 停止运动，设它们运动的时间为 x．1）当 x=秒时，射线DE经过点C；2）当点 Q 运动时，设四边形 ABPQ 的面积为 y，求 y 与 x 的函数关系式；3）当点 Q 运动时，是否存在以P、Q、C 为顶点的三角形与△ PDE 相似？若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=CD=20cm ，AD=40cm ，∠ D=120°，点 P、Q 同时从 C 点出发，分别以 2cm/s 和 1cm/s 的速度沿着线段 CB 和线段 CD 运动，当 Q 到达点 D，点 P 也随之停止运动．设运动时间为 t（s）（1）当 t 为何值时，△ CPQ 与△ ABP 相似；（2）设△APQ 与梯形 ABCD 重合的面积为 S，求 S 与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠DAB=90 °， AD=2DC=4 ，AB=6 ．动点 M 以每秒 1 个单位长的速度，从点 A 沿线段 AB 向点 B运动；同时点 P 以相同的速度，从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动．当点 M 到达点 B 时，两点同时停止运动．过点 M 作直线 l ∥AD ，与线段 CD 的交点为 E，与折线 A-C-B 的交点为 Q．点 M 运动的时间为 t（秒）．（1）当 t=0.5 时，求线段 QM 的长；（2）当 0＜t＜2 时，如果以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值；（3）当 t＞2 时，连接 PQ 交线段 AC 于点 R．请探究CQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不RQ是，请说明理由．9、如图 1，直角梯形 ABCD 中，∠ A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点 E 从点 A 出发沿AD 方向以 1cm/s 的速度向中点 D 运动；点 F 从点 C 出发沿 CA 方向以 2cm/s 的速度向终点 A 运动，当点 E、点 F 中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为 ts．（1）当 t 为何值时，△ AEF 和△ ACD 相似？（2）如图 2，连接 BF，随着点 E、F 的运动，四边形 ABFE 可能是直角梯形？若可能，请求出t 的值及四边形 ABFE 的面积；若不能，请说明理由；（3）当 t 为何值时，△ AFE 的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC 是平行四边形．直线 l 经过 O、C 两点．点 A 的坐标为（8，0），点B 的坐标为（11，4），动点P 在线段 OA 上从点 O 出发以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，同时动点 Q 从点 A 出发以每秒2 个单位的速度沿 A→B→C 的方向向点 C 运动，过点 P 作 PM 垂直于 x 轴，与折线 O 一 C-B 相交于点 M ．当 P、Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒（ t＞0）．△ MPQ 的面积为 S．（1）点 C 的坐标为，直线l 的解析式为。

相似三角形的动点问题一、动点型例1、如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．例2、如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．点E、F、G分别从点A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动．点E、G的速度均为2cm/s，点F的速度为4cm/s，当点F追上点G（即点F与点G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第t秒时，△EFG的面积为S（cm2）（1）当t=1秒时，S的值是多少？（2）写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围（3）若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F、C、G为顶点的三角形相似？请说明理由．迁移应用1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q 到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90o，AC⊥BC，AB=10cm,BC=6cm，F点以2cm／秒的速度在线段AB上由A向B匀速运动，E点同时以1cm／秒的速度在线段BC 上由B向C匀速运动，设运动时间为t秒(0<t<5)．1）求证：△ACD∽△BAC；2）求：DC的长；3）试探究：△BEF可以为等腰三角形吗？若能，求t的值；若不能，请说明理由．3、如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，BC=8，AB=33，点M 是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）；（2）当BP=1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积；（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．二、动点加动线例1、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当t=2时，AP= ，点Q到AC的距离是；（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与t的函数关系式；（不必写出t 的取值范围（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；（4）当DE经过点C时，请直接写出t的值．迁移应用1、如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：是否存在时刻t，使以A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值．2、如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是BC 边的中点，点P 在射线AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ．（1）求证：△PFA ∽△ABE ；（2）当点P 在射线AD 上运动时，设PA=x ，是否存在实数x ，使以P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由．3、如图，已知A （8，0），B （0，6），两个动点P 、Q 同时在△OAB 的边上按逆时针方向（→O →A →B →O →）运动，开始时点P 在点B 位置，点Q 在点O 位置，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位．（1）在前3秒内，求△OPQ 的面积S 与时间t 之间的关系式；并求出△OPQ 的最大面积； （2）在前10秒内，秋P 、Q 两点之间的最小距离，并求此时点P 、Q 的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ 平行于△OAB 一边的情况，并求平行时点P 、Q 的坐标．4、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形，∠ACB ，点A 、C 的坐标分别为A(-3,0)，C(1,0)，43AC BC , （1）求过点A 、B 的直线的函数表达式；（2）在X 轴上找一点D,连接DB ，使得△ADB 与△ABC 相似（不包括全等），并求点Dyx O AB的坐标；（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．5、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在Y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处．已知折叠CE=55，且43DAEA（1）判断OCD与△ADE是否相似？请说明理由；x（2）求直线CE与x轴交点P的坐标；（3）是否存在过点D的直线L，使直线L、直线CE与x轴所围成的三角形和△CDE相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存Array在，请说明理由．6、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点P从点B开始沿BC边以每秒1的速度向点C运动，点Q从点C开始沿CA边以每秒2的速度向点A运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E．点P，Q分别从B，C两点同时出发，当点Q运动到点A时，点Q、p停止运动，设它们运动的时间为x．1）当x= 秒时，射线DE经过点C；2）当点Q运动时，设四边形ABPQ的面积为y，求y与x的函数关系式；3）当点Q运动时，是否存在以P、Q、C为顶点的三角形与△PDE相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．7、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=20cm，AD=40cm，∠D=120°，点P、Q同时从C点出发，分别以2cm/s和1cm/s的速度沿着线段CB和线段CD运动，当Q到达点D，点P也随之停止运动．设运动时间为t（s）（1）当t为何值时，△CPQ与△ABP相似；（2）设△APQ与梯形ABCD重合的面积为S，求S与t的函数关系式，写出自变量的取值范围．8、如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C-D-A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD 的交点为E ，与折线A-C-B 的交点为Q ．点M 运动的时间为t （秒）． （1）当t=0.5时，求线段QM 的长；（2）当0＜t ＜2时，如果以C 、P 、Q 为顶点的三角形为直角三角形，求t 的值； （3）当t ＞2时，连接PQ 交线段AC 于点R ．请探究RQCQ是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．9、如图1，直角梯形ABCD 中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm ，BC=8cm ，点E 从点A 出发沿AD 方向以1cm/s 的速度向中点D 运动；点F 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向终点A运动，当点E、点F中有一点运动到终点，另一点也随之停止．设运动时间为ts．（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？（2）如图2，连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值及四边形ABFE的面积；若不能，请说明理由；（3）当t为何值时，△AFE的面积最大？最大值是多少？10、如图，在平面直角坐标系中．四边形OABC是平行四边形．直线l经过O、C两点．点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（11，4），动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位的速度向点A运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动，过点P作PM垂直于x轴，与折线O一C-B相交于点M．当P、Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P、Q运动的时间为t秒（t＞0）．△MPQ的面积为S．（1）点C的坐标为，直线l的解析式为。

动点问题答案：1．如图①，点A '，B '的坐标分别为（2，0）和（0，4-），将A B O ''△绕点O 按逆时针方向旋转90°后得ABO △，点A '的对应点是点A ，点B '的对应点是点B ．（1）写出A ，B 两点的坐标，并求出直线AB 的解析式； （2）将ABO △沿着垂直于x 轴的线段CD 折叠，（点C 在x 轴上，点D 在AB 上，点D 不与A ，B 重合）如图②，使点B 落在x 轴上，点B 的对应点为点E ．设点C 的坐标为（0x ，），CDE △与ABO △重叠部分的面积为S ． i ）试求出S 与x 之间的函数关系式（包括自变量x 的取值范围）；ii ）当x 为何值时，S 的面积最大？最大值是多少？iii ）是否存在这样的点C ，使得ADE △为直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．1．答案解：（1）(02)(40)A B ，，， ························ （2分） 设直线AB 的解析式y kx b =+，则有240b k b =⎧⎨+=⎩ 解得122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线AB 的解析式为122y x =-+ ··················· （3分）（2）i ）①点E 在原点和x 轴正半轴上时，重叠部分是CDE △．则1111(4)22222CDE S CE CD BC CD x x ⎛⎫===--+ ⎪⎝⎭△·· 21244x x =-+ 当E 与O 重合时，12242CE BO x ==∴<≤ ············· （4分） ②当E 在x 轴的负半轴上时，设DE 与y 轴交于点F ，则重叠部分为梯形CDFO.（第26题图）OFE OAB △∽△ 1122OF OA OF OE OE OB ∴==∴=， 又42OE x =-1(42)22OF x x ∴=-=-213222224CDFO x S x x x x ⎡⎤⎛⎫∴=-+-+=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦四边形· ············ （5分）当点C 与点O 重合时，点C 的坐标为(0,0)02x ∴<< ······························ （6分）综合①②得22124(24)432(02)4x x x S x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-+<<⎪⎩≤ ··············· （7分）ii ）①当24x <≤时，221124(2)44S x x x =-+=- ∴对称轴是4x = 抛物线开口向上，∴在24x <≤中，S 随x 的增大而减小∴当2x =时，S 的最大值＝21(24)14⨯-= ··············· （8分）②当02x <<时，22334424433S x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭∴对称轴是43x =,抛物线开口向下 ∴当43x =时，S 有最大值为43····················· （9分）综合①②当43x =时，S 有最大值为43················· （10分）iii ）存在，点C 的坐标为302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫ ⎪⎝⎭， ················· （14分） 附：详解：①当ADE △以点A 为直角顶点时，作AE AB ⊥交x 轴负半轴于点E ，AOE BOA △∽△,12EO AO AO BO ∴==;21AO EO =∴=,∴点E 坐标为（1-，0）∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，②当ADE △以点E 为直角顶点时,同样有AOE BOA △∽△,12OE OA AO BO ==1(10)EO E ∴=∴，,∴点C 的坐标502⎛⎫ ⎪⎝⎭，,综合①②知满足条件的坐标有302⎛⎫ ⎪⎝⎭，和502⎛⎫⎪⎝⎭，．3．直线)0(≠+=k b kx y 与坐标轴分别交于A 、B 两点，OA 、OB 的长分别是方程048142=+-x x 的两根（OB OA >），动点P 从O 点出发，沿路线O →B →A 以每秒1个单位长度的速度运动，到达A 点时运动停止．（1）直接写出A 、B 两点的坐标；（2）设点P 的运动时间为t (秒)，OPA ∆的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；M ，使以O 、M 的坐标；若不存在，请说(1) )6,0(),0,8(B A ……………………….各1分 (2)∵8=OA ，6=OB ，∴10=AB当点P 在OB 上运动时，t OP =1，t t OP OA S 4821211=⨯⨯=⨯=；..............1分 当点P 在BA 上运动时，作OA D P ⊥2于点D ， 有ABAP BO D P 22= ∵t t AP -=-+=161062，∴53482tD P -=………………………1分 ∴51925125348821212+-=-⨯⨯=⨯⨯=t t D P OA S ……………………1分（3）当124=t 时，3=t ，)3,0(1P ，………………………………1分此时，过AOP ∆各顶点作对边的平行线，与坐标轴无第二个交点，所以点M 不存在；……………………………………………………………………………1分当125192512=+-t 时，11=t ，)3,4(2P ，........................1分 此时，)3,0(1M 、)6,0(2-M (1)4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ． （1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．5．（2009年浙江丽水）已知直角坐标系中菱形ABCD 的位置如图，C ，D 两点的坐标分别为(4,0)，(0,3).现有两动点P ,Q 分别从A ,C 同时出发，点P 沿线段AD 向终点D 运动，点Q 沿折线CBA 向终点A 运动，设运动时间为t 秒. (1)填空：菱形ABCD 的边长是 ▲ 、面积是 ▲ 、 高BE 的长是 ▲ ； (2)探究下列问题：①若点P 的速度为每秒1个单位，点Q 的速度为每秒2个单位.当点Q 在线段BA 上时，求△APQ 的面积S 关于t 的函数关系式，以及S的最大值。

相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：1、2、（选做题）如图,已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s.当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ的形状,并说明理由;(2)设△BPQ的面积S(cm2),求S与t之间的函数关系式;(3)作QR∥BA交AC于点R, 连接PR,当t为何值时,△APR∽△PRQ.相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.2、（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.。

相似三角形中的动点问题（1）例1：如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从点C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需的时间是多少秒？练习1：在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=20cm, BC=15cm,现有动点P从点A出发,沿AC向点C方向运动，动点Q 从点C出发,沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s,点Q的速度是2cm/s，它们同时出发,当有一点到达所在线段的端点时,就停止运动,设运动时间为t.求:(1)当t=3s时，P,Q两点之间的距离是多少？(2)若△CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.(3)当t为多少时,以点C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似？练习2：课后作业：（选做题）如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s,点Q 运动的速度是2cm/s.当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t=2时，判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积S(cm2),求S 与t 之间的函数关系式; (3)作QR ∥BA 交AC 于点R, 连接PR,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ.1、2、相似三角形中的动点问题（2）例2：如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=3, DC=5, AB=42,∠B=45°,动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动;动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动,设运动时间为t秒.(1)求BC的长;(2)当MN∥AB时, 求t的值;(3)试探究:t为何值时,△MNC为等腰三角形.练习：课后作业：1、平面直角坐标系中,已知点A(0，6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动,同时Q点从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q移动的时间为t秒;(1)求直线AB的解析式;(2)当t为何值时, 以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似？(3)当t=2秒时,四边形OPQB的面积是多少个平方单位.（选做题）（3）在AB上是否存在点M,使得△EFM为等腰直角三角形？若存在，请求出EF的长；若不存在，请简要说明理由.2、。

相似三角形提高一、相似三角形动点问题1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BB 1∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF ⊥AC 交射线BB1于F ，G 是EF 中点，连接DG ．设点D 运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；（2）当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．2.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB=6m ，BC=8m ，动点P 以2m/s 的速度从A 点出发，沿AC 向点C 移动．同时，动点Q 以1m/s 的速度从C 点出发，沿CB 向点B 移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t 秒．（1）①当t=2.5s 时，求△CPQ 的面积；②求△CPQ 的面积S （平方米）关于时间t （秒）的函数解析式；（2）在P ，Q 移动的过程中，当△CPQ 为等腰三角形时，求出t 的值．3.如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上运动，DE 平分∠CDB 交边BC 于点E ，EM ⊥BD ，垂足为M ，EN ⊥CD ，垂足为N ．（1）当AD ＝CD 时，求证：DE ∥AC ；（2）探究：AD 为何值时，△BME 与△CNE 相似？4.如图所示，在△ABC 中，BA ＝BC ＝20cm ，AC ＝30cm ，点P 从A 点出发，沿着AB 以每秒4cm 的速度向B 点运动；同时点Q 从C 点出发，沿CA 以每秒3cm 的速度向A 点运动，当P 点到达B 点时，Q 点随之停止运动．设运动的时间为x ．（1）当x 为何值时，PQ ∥BC ？（2）△APQ 与△CQB 能否相似？若能，求出AP 的长；若不能说明理由．5.如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t （s ）表示移动的时间（0＜t ＜6）。

专题13难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (9)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (17)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (25)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (31)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (40)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【答案】185或367或365【分析】根据题意可知B B∠=∠【详解】解：∵在Rt ABC△中，【变式训练】【答案】经过0.8s或2s秒时，△△【分析】设经过t秒时，QBP边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：BP BQ(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【答案】(1)3050 1113或；(2)2或3．∵QE⊥AO，BO⊥AO，∴QE∥BO，∴△AEQ∽△AOB，∴45 QE BO AQ AB==(1)填空：当t=___________时，AF CE=，此时BH (2)当BEF△与BEH△相似时，求t的值．当BEF BHE △∽△时：BE BF BH BE=即()24212t t =-⨯，解得：317t =+(负值已舍)；综上，t 的值为2或4或317+【点睛】此题考查了相似图形，掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键．【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】例题：（2023春·江西九江·九年级统考期中）如图，菱形16BD =，点P 是AD 上一点，【答案】8或294或6465-【分析】分三种情况讨论：当角形的判定与性质即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD∴7DF =，∵90,QFD AOD QDF ∠=∠=︒∠∴QDF ADO ∽ ，∴AD OD QD FD =，即1087QD =，∴354QD =，∴OA PE ∥，∴AOD PED ∽ ，∴AD AO OD PD PE ED==，即10106-∴1216,55PE ED ==，12【变式训练】【答案】2或8【分析】由矩形的性质，垂直的定义推出=，列出关于x的方程，求出设DE x=，【详解】解：设DE x【答案】487或163【分析】分两种情形：如图明BPM BDC ∽△△，利用相似三角形的性质列式计算即可；设CM PM PN CN ===∵PM CD ∥，∴BPM BDC ∽△△，∴PM BM CD BC =，设MC MP y ==．∵16AB =，12BC =，∴22BD BC CD =+=由折叠的性质得PD =【答案】4或134或11926【分析】由翻折变换的性质得：AE则BG FG ==12BF ，90BCG B A ∠=︒-∠=∠，又90CGB ACB ∠=∠=︒，∴CGB ACB ∽，【答案】53或634或6【分析】通过直角三角形未确定直角分三种情况进行讨论，利用互余关系，得到三角形相似，得到边长比例关系进行求解即可．∴90AED CEP∠+∠＝ ，∵矩形ABCD，∴90C D∠∠== ，∴90CEP CPE∠+∠= ，∵90DAE BAE BAE BAP ∠+∠=∠+∠=同理得到ADE ABP ，∴1259AD DE AB PB BP===，同理得：ABP PCE ~ ，∴9124AB BP x PC CE x ===-，∴126x x ==，【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【答案】8 5【分析】作点理可求得AB=点H，交AB于点则PC PC '=，90ACB ∠=︒ ，90C HC '∴∠=︒，此时，PH PC PC '+=+C H BC '∥ ，【变式训练】【答案】32【分析】取BE 的中点，连接12BH BE =，可得到BH BF BF BC =1DF FC DF FH +=+，当点∵BEM △沿着BM 翻折得到 ∴BF BE =，∵4BC =，E 是BC 中点，∴122BE BC ==，4【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，平行四边形的性质与判定，勾股定理，轴对称的性质，相似三角形的性质与判断，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线确定是解题的关键．【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）．．．．【答案】B【分析】分别求出点F 在边重合时时，点F 在边即可求解．【详解】解：24AB PA ==，【变式训练】1．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，90,3,4ACB AC BC ∠=︒==，点P 为边AB 上一动点，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设,AP x CQ y ==，则y 关于x 的函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B⊥，∵直线l AB∠=∠=∴BPQ ACB ∵B B∠=∠，A．．．D．【分析】分三种情况讨论得出y关于x的函数关系式即可得出答案．与点A重合时，【点睛】本题考查动点问题函数图像，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，反比例函数及一次函数的图像．解题的关键和难点在于根据点3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线下方的l上的一动点AB=，设AD若6．．．．【答案】B【分析】根据AE BD ∥得∠，根据直线l 是线段AB 的中垂线可得132BC AB ==，再证 ，然后根据相似三角形列比例式化简可得定函数图像即可即可解答．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与△【答案】(1)()3,0t ，()12,2t (2)四边形APCQ 的面积不会随时间【变式训练】【答案】（1）DG BE =；（2）12DG BE DG BE =⊥，．理由见解析；（3）2；（4）410∵矩形ECGF 、矩形ABCD ，∴90ECG BCD ∠=∠=︒，∴DCG BCE ∠=∠，∵:2:41:2CD CB ==，:CG CE ∴::CD CB CG CE =，则90ENC CMG ∠=∠=︒，∵90ECG ∠=︒，∴ECN GCM GCM ∠+∠=∠+∠根据解析（3）可知，点G 的运动轨迹是直线∵DG GG '=，∴BG DG BG GG BG ''+=+=，∵两点之间线段最短，∴此时BG GD +的值最小，最小值为特例故知：（1）勤奋小组从特殊情况入手：如图1，45B ∠=︒，E 为AB 的中点，则变式探究（2）希望小组受此启发，作了如下改变：如图2，将（1）中“B ∠进行解答即可；（3）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，证明EMG ENF △∽△，结合解直角三角形的知识进行解答即可．【详解】解：（1）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，∵90CAB ∠=︒，AD BC ⊥，45B ∠=︒，∴45MAE NBE ∠=∠=︒，∵90AME ENB ∠=∠=︒，∴AME △和ENB △为等腰直角三角形，∵E 为AB 的中点，∴AE BE =，∴EM EN =，∵AD BC ⊥，,EM AD EN BC ⊥⊥，∴四边形M END 是矩形，∴90MEN ∠=︒，∵EF CE ⊥，∴MEG CEN CEN NEF ∠+∠=∠+∠，∴MEG NEF ∠=∠，在MEG 和NEF 中，MEG NEF EM EN EMG ENF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴(ASA)MEG NEF ≌，∴EF EG =，故答案为：EF EG =；（2）过点E 作,EM AD EN BC ⊥⊥，垂足分别为,M N ，同理可得四边形M END 是矩形，∴90MEN ∠=︒，∵EF CE ⊥，∴MEG CEN CEN ∠+∠=∠+∠同（2）可得EMG ENF △∽△，∴EG EM EF EN=，∵B α∠=，AE kBE =，【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】5BC 【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析；②AE MN ∥，理由见解析；(3)223或4．【分析】（1）根据题可得90AEC ACE ∠+∠=︒、90ACD ACE ∠+∠=︒（2）①90EAC BAD ∠=∠=︒ ．EAC BAC BAD BAC ∴∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠．AB AD = ，由（1）知AEC ACD ∠=∠，(ASA)BAE DAC ∴ ≌．BE DC ∴=．∵M ，F 分别是BD ，BC 的中点，MF ∴是BCD △的中位线．2CD MF ∴=．2BE MF ∴=．②//AE MN ，理由如下：（3）解：①如图：当点E在线段CF交于点K，335,AB AB BC == ,∴5BC =∵四边形ABCD 是矩形，∴90BCD AB CD ∠=︒⊥，，∴90OHC BCD OPC ∠=∠=∠=∴四边形OHCP 是矩形，同理可得OPF OHE ∽，即∴3354CF CP PF =+=+=【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【尝试应用】①2，【拓展提高】∥，交作CE AP∴∽APB CEBPA AB∴=，CE BC∠PB平分APC∴∠=∠APB CPB∴∠=∠，CPB E=延长PC至T，使CT PC延长PC 至Q ，使PQ AP =PCD QCB ∴∽ ，PD PC BQ CQ∴=，PB 平分APC ∠，AP AB m PC BC n∴==，不妨设AP ma =，PC na =由上知：PAB QPB ≌ ，BQ AB m ∴==，(1)操作推断如图1，点P是正方形纸片ABCD的边AD的中点，沿BP折叠，使点A落在点连接PF．则BPF∠＝︒．(2)迁移探究小华在（1）的条件下，继续探究：如图2，延长PM交CD于点E，连接设BF与AD交于E，∵DF AB∥，∴ABE DFE∽，∴AB AE BE DF DE EF==，∵DF AB∥，∴ABH DFH∽，∴AB AH BH DF DH FH==，。

x A O Q P B y动点问题 题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点 1、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式； （3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

图（3）ABC OEF AB CO D图（1）ABOE FC 图（2） 2、如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论xy M CD P QOAB 3、如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

相似三角形难题精选模块一：相似三角形中的动点问题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C 沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．如图，在△ABC中，ABC＝90°，AB=6m，BC=8m，动点P以2m/s的速度从A 点出发，沿AC向点C移动．同时，动点Q以1m/s的速度从C点出发，沿CB向点B移动．当其中有一点到达终点时，它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时，求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P，Q移动的过程中，当△CPQ为等腰三角形时，求出t的值．如图1，在Rt△ABC中，ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边AB上运动，DE 平分CDB交边BC于点E，EM⊥BD，垂足为M，EN⊥CD，垂足为N．（1）当AD＝CD时，求证：DE∥AC；（2）探究：AD为何值时，△BME与△CNE相似？如图所示，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从A点出发，沿着AB 以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时，PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q 同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。