13小球称重问题

问题：13个球，其中有一个球与其他球质量不同，请用天平称三次找出这个球。

解答：第一次称：左边4个右边4个(一)假如平衡，那么很好办，坏球在剩下5个里。

拿这5个里面的3个出来，跟3个好球称。

如果平衡，坏球在剩下2个球里，拿任意一个跟一个好球称就可以了。

如果不平衡，坏球在拿出来的三个里面，这好像很难一次称出来，其实不然，因为我们通过这3个球和3个好球比较的结果，可以知道坏球是重的还是轻的，这样就可以解决问题了。

比如坏球是轻的，拿这3个球中任意2个放在天平两边，平衡，则剩下一个就是坏球，不平衡，轻的那边就是坏球。

坏球是重的情况同理。

(二)假如不平衡，设左边4个球为ABCD,右边4个球为EFGH，好球为O。

坏球是ABCDEFGH中的一个。

第二次称：将左边拿掉一个球D，右边拿掉两个球GH，然后将BC从左边挪到右边，将F从右边挪到左边，左边再加一个好球0，天平两边是AF0和EBC。

(1)如果AFO和EBC平衡，则坏球在拿掉的DGH三个里面，这好像又有些难办了，因为不知道坏球是轻还是重，别着急，继续看。

第三次称G和H，如平衡，则坏球是D。

如不平衡，则坏球在G和H中。

因为坏球在G和H中，说明ABCD 都是好球，这样第一次ABCD与EFGH称的结果就可以知道坏球是轻还是重，比如说坏球是重的，那么G和H中重的就是坏球。

(2)如果AFO和EBC不平衡，且倾斜方向与ABCD和EFGH的结果相同。

说明第二次称的时候坏球在没有挪动的球里，即在A和E里，2个球里找1个，很简单。

如果AFO和EBC不平衡，且倾斜方向与ABCD和EFGH的结果相反。

说明坏球在挪动的球里，即坏球在FBC三个球里。

第三次称B和C,如平衡，坏球是E。

如不平衡，说明坏球在B和C中的一个，参考第二次AF0和EBC称重的结果可知坏球是重还是轻，这样就可以找到坏球了。

称球问题——经典智力题推而广之三（五）五、四十个球的例子最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。

我们知道40 = (34-1)/2所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。

顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。

13 = (33-1)/2所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。

根据上一节的证明过程，这时我们要把这13个球分为3堆：第一堆：1-5第二堆：6-9，再加上标准球s第三堆：10-13我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

如果是左边重，那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球，而且它比标准球重，要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球，那么它比标准球轻。

用结论1来解决的问题，第三节末尾我们处理过27个球的问题，9个球的问题就是小菜了：|--右--( 4重)|--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻) | |--左--( 3重)|| |--右--( 8轻)(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。

如果平衡，那么就化为4个球有一个标准球2次称出的问题。

虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次，不过4个球的情况就太简单了，所以直接写出策略树：|--右--(10轻)|--右--(10;11)|--平--(12重)| |--左--(11轻)|| |--右--(13轻)(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--( )| |--左--(13重)|| |--右--(11重)|--左--(10;11)|--平--(12轻)|--左--(10重)把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策略树：|--右--( 1轻) |--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)| |--左--( 2轻)|| |--右--( 9重)|--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)| 3-4,7)| |--左--( 8重)| || | |--右--( 3轻)| |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)| |--左--( 4轻)|| |--右--(10轻)| |--右--(10;11)|--平--(12重)| | |--左--(11轻)| || | |--右--(13轻)(1-5; |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--( )6-9,s)| 12,s)| |--左--(13重)| || | |--右--(11重)| |--左--(10;11)|--平--(12轻)| |--左--(10重)|| |--右--( 4重)| |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)| | |--左--( 3重)| || | |--右--( 8轻)|--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)3-4,7)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)现在可以考虑40个球，无标准球的问题了。

现有十三个外形完全一样的球，其中有一个球的质量与另外十二个标准球的质量不同，试利用天平秤三次找出质量有问题的球。

秤法：1．将十三个球分成三组：第一、二组各4个，第三组5个。

将第一、二组放在天平的两边2．如果天平平衡，则这两组的八个球为标准球。

第二次，取三个标准球，及第三组五球中的3个放在天平的两边a)如果天平平衡，则问题球在第三组剩下的两个球中，再从中取其一与一个标准球比较，如果平衡，则第三组剩下的最后一球为问题球（但不知其轻还是重）；如果不平衡，则该球为问题球，且知其比标准球轻还是重；b)如果不平衡，则问题球在第三组的这3个球中，且知其比标准球轻还是重，不妨比标准球重；再从这3个球中取两个，分别放在天平的两边，如果平衡，则第三球为问题球，且较重；如果不平衡，重者为问题球。

3．如果第一、二组不平衡，则第三组为标准球。

将第一组的四个球标号为1，2，3，4，第二组的四个球标号为5，6，7，8，不妨第一组比第二组轻，记为（1，2，3，4） （5，6，7，8），易知，如果问题球较轻，则在1，2，3，4中，反之，在5，6，7，8中，记标准球为S。

4．第二次比较1，5，6，7与S，S，S，85．如果平衡，则问题球在2，3，4中，且较轻，再比较2与3，如果平衡，则4号球为问题球，且较轻；如果不平衡，则较轻者为问题球。

6．如果不平衡a)当（1，5，6，7） （S，S，S，8）时，则问题球在1，8中，再比较1与S，如果平衡，则8号球为问题球，且较重；如果不平衡，显然1号球为问题球，且较轻。

b)当（1，5，6，7） （S，S，S，8）时，则问题球在5，6，7中，且问题球较重，再比较5与6，如果平衡，则7号球为问题球，且较重；如果不平衡，则较重者为问题球。

（一）.问题是十三个小球，其中有一个坏球，不知道坏球是较轻还是较重；有一个没有砝码的天平可用。

探求最少的称量比较次数找到坏球。

Step1.将十三个小球分别编号为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13Step2.将十三个小球随机分为四组：A：1，2，3，4；B：5，6，7，8；C：9，10，11，12；D：13Step3.比较A组和B 组小球的重量；比较A组和C组的小球的重量a)两次比较均为平衡。

那么坏球为13号小球。

【两次】b)两次比较一次平衡，一次不平衡。

则A组全部是好球，将与A组平衡的组赋值为B组，将与A组不平衡的组赋值为C组。

坏球一定在C组中。

i.若A>C，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A<C，则坏球是质量较重（参数Huai=1）c)两次比较都不平衡。

则坏球在A组中；B组和C组以及D组都是好球i.若A<B，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A>B，则坏球是质量较重（参数Huai=1）（二）.问题转化为四个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有九个好球可用。

Step1.将这组赋值为X组，四个小球编号为：X1，X2 ，X3，X4。

Step2.将四个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中b)若Huai=1，则坏球在XA中（三）.问题转化为两个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有十一个好球可用。

Step1.将这组赋值为X组，两个小球编号为：X1，X2Step2.将两个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中【四次】b)若Huai=1，则坏球在XA中【四次】解题思路：12个标准球，1个非标准球。

⼩球称重问题~通过三次称重找出⼗⼆个⼩球质量不⼀样的⼩球，并判断⼩球轻重⼩球称重问题⼀、问题描述⼗⼆个⼩球进⾏称重，只能称三次，找出不⼀样的⼩球，并判断异球的轻重。

⼆、问题分析将12个⼩球分成三组，将⼩球分别标号为1到12，分组情况如下： A组⼩球：1,2,3,4； B组⼩球：5,6,7,8； C组⼩球：9,10,11,12情况分析：每个⼩球都有两种可能，⼀共会有24种判断结果。

三、算法分析第⼀次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第⼆次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放 在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号， 则它⽐标准球轻；如果是5号，则它⽐标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且⽐标准球轻； 2.如果平衡则5号是坏球且⽐标准球重； 3.这次不可能左重。

2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且⽐标准球轻。

第三次将2号放在左边，3号放在右边。

1.如果右重则2号是坏球且⽐标准球轻； 2.如果平衡则4号是坏球且⽐标准球轻； 3.如果左重则3号是坏球且⽐标准球轻。

3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且⽐标准球重。

第三次将6号放在左边，7号放在右边。

1.如果右重则7号是坏球且⽐标准球重； 2.如果平衡则8号是坏球且⽐标准球重； 3.如果左重则6号是坏球且⽐标准球重。

2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。

第⼆次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。

1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。

第三次将9号放在左边，10号放在右边。

1.如果右重则10号是坏球且⽐标准球重； 2.如果平衡则11号是坏球且⽐标准球重； 3.如果左重则9号是坏球且⽐标准球重。

2.如果平衡则坏球为12号。

第三次将1号放在左边，12号放在右边。

说明这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。

正因为需要做到一般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。

如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。

事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。

一、问题称球问题的经典形式是这样的："有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。

现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。

"这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。

它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。

2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。

第三次将2号放在左边，3号放在右边。

1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。

3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。

第三次将6号放在左边，7号放在右边。

1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。

2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。

第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。

1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。

第三次将9号放在左边，10号放在右边。

题中有☆ 者表示难度较大。

☆ ⒈ 称苹果??? 有十筐苹果，每筐里有十个，共100个，每筐里苹果的重量都是一样，其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤，但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。

现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。

☆☆ ⒉ 称零件??? 有13个零件，外表完全一样，但有一个是不合格品，其重量和其它的不同，且轻重不知。

请你用天平称3次，把它找出来(此题难度较大，只要能做出来，便说明智力非凡。

时间不限)。

⒊ 九死一生??? 古时一位农民被人诬陷，农民据理力争，县官因已经接受别人的贿赂，不肯放人，又找不到理由，就出了个坏主意。

叫人拿来十张纸条，对农民说：“这里有十张纸条，其中有九张写的‘死’, 一张写的‘生’,你摸一张，如果是‘生’,立即放你回去，如果是‘死’,就怪你命不好,怨不得别人。

”聪明的农民早已猜到纸条上写的都是“死”，无论抓哪一张都一样。

于是他想了个巧妙的办法，结果死里逃生了。

你知道他想的什么办法吗？⒋ 一张假币??? 一天傍晚，一个体鞋店来了一位顾客，拿出10元钱买一双布鞋。

该鞋７元一双，需要找给顾客３元。

因为没有零钱，鞋店老板拿着这张10元钱到隔壁小店破成零钱，找给顾客3元，顾客拿着钱和鞋走了。

第二天，隔壁小店来人说昨天的钱是假的,老板只好拿出10元钱，叹口气说：今天的损失太大了。

请你帮他算一算，他一共损失了多少钱☆ ⒌ 买烟?? 60年代的哈尔滨。

一天，一个小商店里来了一位不速之客。

他对售货员说：我是南方人到哈尔滨出差，想带哈尔滨特产的“哈尔滨、迎春、葡萄”烟回去给大伙尝一尝。

我现在只有３元钱，全都买烟。

”当时的价格分别是0.29元、0.27元和0.23元。

售货员经计算后，满足了他的要求。

这位南方人每种烟买了几盒？☆ ⒍ 遗嘱??? 古时候，一位老者已气息奄奄。

临终前，把两个儿子唤到床前，曰：“你们骑马到西山然后回来，谁的马跑得慢，家产就归谁。

13个小球，其中12个为标准球，重量一样，1个为非标准球，重量轻或重，有一个天平，请用三次称量，找出这个非标准球。

为方便说明问题，首先为13个小球标号，分别为1-13.（思路：1. 第一次称量时尽可能的将小球等分成三份，编号为（1、2、3、4）的小球为一组，编号为（5、6、7、8）的小球为一组，编号为（9、10、11、12、13）的小球为一组。

）第一次称量：天平左右两边分别放置（1、2、3、4）和（5、6、7、8），如果天平左右两边平衡，则表示非标准球在（9,10,11,12,13）中。

如果天平左右两边不等，则说明非标准球在（1,2,3,4）或（5,6,7,8）中。

下边按这两种情况分别说明后两次的测量。

第一种，非标准球在（9,10,11,12,13）中，（思路：三个球可以一次测出结果，故从未知中拿出三个球与已知标准球比较）第二次称量：天平左右分别放置（1、2、3）和（9、10、11），如果天平平衡，则表示（9,10,11）为标准球，那么12,13中有非标准球。

第三次称量：天平左右两端分别放置1号球和12号球，平衡则说明13号是非标准球，但不能判断其轻重；不平衡则说明12号是非标准球，12号端下沉则说明12号为重球，12号端上升则说明12号为轻球。

如果在第二次称量时，天平不平衡，则说明（9、10、11）中有非标准球，而且还可以根据天平的倾斜判断吃非标准球的轻重。

如果（9、10、11）端沉，则说明非标准球是重球，反之则为轻球。

此时第三次称量只要比较其中两个球，例如9和10，如果平衡则说明11号是非标准球，如果不平衡，且上次称量中得知非标准球的重球的话，则下沉端为非标准球，反之上次称量中得知非标准球的轻球的话，则上浮端为非标准球。

以上为第一种，第一次称量天平平衡的所有情况。

第二种，第一次称量不平衡，假设（1、2、3、4）比（5、6、7、8）沉，（1、2、3、4）比（5、6、7、8）轻的情况与沉的情况类似，不做赘述。