13小球称重问题

问题：13个球，其中有一个球与其他球质量不同，请用天平称三次找出这个球。

解答：第一次称：左边4个右边4个(一)假如平衡，那么很好办，坏球在剩下5个里。

拿这5个里面的3个出来，跟3个好球称。

如果平衡，坏球在剩下2个球里，拿任意一个跟一个好球称就可以了。

如果不平衡，坏球在拿出来的三个里面，这好像很难一次称出来，其实不然，因为我们通过这3个球和3个好球比较的结果，可以知道坏球是重的还是轻的，这样就可以解决问题了。

比如坏球是轻的，拿这3个球中任意2个放在天平两边，平衡，则剩下一个就是坏球，不平衡，轻的那边就是坏球。

坏球是重的情况同理。

(二)假如不平衡，设左边4个球为ABCD,右边4个球为EFGH，好球为O。

坏球是ABCDEFGH中的一个。

第二次称：将左边拿掉一个球D，右边拿掉两个球GH，然后将BC从左边挪到右边，将F从右边挪到左边，左边再加一个好球0，天平两边是AF0和EBC。

(1)如果AFO和EBC平衡，则坏球在拿掉的DGH三个里面，这好像又有些难办了，因为不知道坏球是轻还是重，别着急，继续看。

第三次称G和H，如平衡，则坏球是D。

如不平衡，则坏球在G和H中。

因为坏球在G和H中，说明ABCD 都是好球，这样第一次ABCD与EFGH称的结果就可以知道坏球是轻还是重，比如说坏球是重的，那么G和H中重的就是坏球。

(2)如果AFO和EBC不平衡，且倾斜方向与ABCD和EFGH的结果相同。

说明第二次称的时候坏球在没有挪动的球里，即在A和E里，2个球里找1个，很简单。

如果AFO和EBC不平衡，且倾斜方向与ABCD和EFGH的结果相反。

说明坏球在挪动的球里，即坏球在FBC三个球里。

第三次称B和C,如平衡，坏球是E。

如不平衡，说明坏球在B和C中的一个，参考第二次AF0和EBC称重的结果可知坏球是重还是轻，这样就可以找到坏球了。

称球问题——经典智力题推而广之三（五）五、四十个球的例子最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。

我们知道40 = (34-1)/2所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。

顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。

13 = (33-1)/2所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。

根据上一节的证明过程，这时我们要把这13个球分为3堆：第一堆：1-5第二堆：6-9，再加上标准球s第三堆：10-13我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。

如果是左边重，那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球，而且它比标准球重，要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球，那么它比标准球轻。

用结论1来解决的问题，第三节末尾我们处理过27个球的问题，9个球的问题就是小菜了：|--右--( 4重)|--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻) | |--左--( 3重)|| |--右--( 8轻)(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。

如果平衡，那么就化为4个球有一个标准球2次称出的问题。

虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次，不过4个球的情况就太简单了，所以直接写出策略树：|--右--(10轻)|--右--(10;11)|--平--(12重)| |--左--(11轻)|| |--右--(13轻)(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--( )| |--左--(13重)|| |--右--(11重)|--左--(10;11)|--平--(12轻)|--左--(10重)把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策略树：|--右--( 1轻) |--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)| |--左--( 2轻)|| |--右--( 9重)|--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)| 3-4,7)| |--左--( 8重)| || | |--右--( 3轻)| |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)| |--左--( 4轻)|| |--右--(10轻)| |--右--(10;11)|--平--(12重)| | |--左--(11轻)| || | |--右--(13轻)(1-5; |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--( )6-9,s)| 12,s)| |--左--(13重)| || | |--右--(11重)| |--左--(10;11)|--平--(12轻)| |--左--(10重)|| |--右--( 4重)| |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)| | |--左--( 3重)| || | |--右--( 8轻)|--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)3-4,7)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)现在可以考虑40个球，无标准球的问题了。

现有十三个外形完全一样的球，其中有一个球的质量与另外十二个标准球的质量不同，试利用天平秤三次找出质量有问题的球。

秤法：1．将十三个球分成三组：第一、二组各4个，第三组5个。

将第一、二组放在天平的两边2．如果天平平衡，则这两组的八个球为标准球。

第二次，取三个标准球，及第三组五球中的3个放在天平的两边a)如果天平平衡，则问题球在第三组剩下的两个球中，再从中取其一与一个标准球比较，如果平衡，则第三组剩下的最后一球为问题球（但不知其轻还是重）；如果不平衡，则该球为问题球，且知其比标准球轻还是重；b)如果不平衡，则问题球在第三组的这3个球中，且知其比标准球轻还是重，不妨比标准球重；再从这3个球中取两个，分别放在天平的两边，如果平衡，则第三球为问题球，且较重；如果不平衡，重者为问题球。

3．如果第一、二组不平衡，则第三组为标准球。

将第一组的四个球标号为1，2，3，4，第二组的四个球标号为5，6，7，8，不妨第一组比第二组轻，记为（1，2，3，4） （5，6，7，8），易知，如果问题球较轻，则在1，2，3，4中，反之，在5，6，7，8中，记标准球为S。

4．第二次比较1，5，6，7与S，S，S，85．如果平衡，则问题球在2，3，4中，且较轻，再比较2与3，如果平衡，则4号球为问题球，且较轻；如果不平衡，则较轻者为问题球。

6．如果不平衡a)当（1，5，6，7） （S，S，S，8）时，则问题球在1，8中，再比较1与S，如果平衡，则8号球为问题球，且较重；如果不平衡，显然1号球为问题球，且较轻。

b)当（1，5，6，7） （S，S，S，8）时，则问题球在5，6，7中，且问题球较重，再比较5与6，如果平衡，则7号球为问题球，且较重；如果不平衡，则较重者为问题球。

（一）.问题是十三个小球，其中有一个坏球，不知道坏球是较轻还是较重；有一个没有砝码的天平可用。

探求最少的称量比较次数找到坏球。

Step1.将十三个小球分别编号为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13Step2.将十三个小球随机分为四组：A：1，2，3，4；B：5，6，7，8；C：9，10，11，12；D：13Step3.比较A组和B 组小球的重量；比较A组和C组的小球的重量a)两次比较均为平衡。

那么坏球为13号小球。

【两次】b)两次比较一次平衡，一次不平衡。

则A组全部是好球，将与A组平衡的组赋值为B组，将与A组不平衡的组赋值为C组。

坏球一定在C组中。

i.若A>C，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A<C，则坏球是质量较重（参数Huai=1）c)两次比较都不平衡。

则坏球在A组中；B组和C组以及D组都是好球i.若A<B，则坏球是质量较轻（参数Huai=0）ii.若A>B，则坏球是质量较重（参数Huai=1）（二）.问题转化为四个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有九个好球可用。

Step1.将这组赋值为X组，四个小球编号为：X1，X2 ，X3，X4。

Step2.将四个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中b)若Huai=1，则坏球在XA中（三）.问题转化为两个小球，其中有一个坏球，已知坏球轻重（参数H），并且还有十一个好球可用。

Step1.将这组赋值为X组，两个小球编号为：X1，X2Step2.将两个小球分为两组，分别为XA；XBStep3.比较XA和XB小球的重量，肯定不平衡Step4.将较重的一组命名为XA组，将较轻的一组命名为XB组a)若Huai=0，则坏球在XB中【四次】b)若Huai=1，则坏球在XA中【四次】解题思路：12个标准球，1个非标准球。

⼩球称重问题~通过三次称重找出⼗⼆个⼩球质量不⼀样的⼩球，并判断⼩球轻重⼩球称重问题⼀、问题描述⼗⼆个⼩球进⾏称重，只能称三次，找出不⼀样的⼩球，并判断异球的轻重。

⼆、问题分析将12个⼩球分成三组，将⼩球分别标号为1到12，分组情况如下： A组⼩球：1,2,3,4； B组⼩球：5,6,7,8； C组⼩球：9,10,11,12情况分析：每个⼩球都有两种可能，⼀共会有24种判断结果。

三、算法分析第⼀次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第⼆次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放 在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号， 则它⽐标准球轻；如果是5号，则它⽐标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且⽐标准球轻； 2.如果平衡则5号是坏球且⽐标准球重； 3.这次不可能左重。

2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且⽐标准球轻。

第三次将2号放在左边，3号放在右边。

1.如果右重则2号是坏球且⽐标准球轻； 2.如果平衡则4号是坏球且⽐标准球轻； 3.如果左重则3号是坏球且⽐标准球轻。

3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且⽐标准球重。

第三次将6号放在左边，7号放在右边。

1.如果右重则7号是坏球且⽐标准球重； 2.如果平衡则8号是坏球且⽐标准球重； 3.如果左重则6号是坏球且⽐标准球重。

2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。

第⼆次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。

1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。

第三次将9号放在左边，10号放在右边。

1.如果右重则10号是坏球且⽐标准球重； 2.如果平衡则11号是坏球且⽐标准球重； 3.如果左重则9号是坏球且⽐标准球重。

2.如果平衡则坏球为12号。

第三次将1号放在左边，12号放在右边。

说明这篇文章试图给出称球问题的一个一般的和严格的解答。

正因为需要做到一般和严格，就要考虑许多平时遇不到的特别情形，所以叙述比较繁琐。

如果对读者对严格的证明没有兴趣，可以只阅读介绍问题和约定记号的第一、第二节，以及第三节末尾27个球的例子，和第五节13个球和40个球的解法。

事实上所有的技巧都已经表现在这几个例子里了。

一、问题称球问题的经典形式是这样的："有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。

现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。

"这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。

它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。

2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。

第三次将2号放在左边，3号放在右边。

1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。

3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。

第三次将6号放在左边，7号放在右边。

1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。

2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。

第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。

1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。

第三次将9号放在左边，10号放在右边。

题中有☆ 者表示难度较大。

☆ ⒈ 称苹果??? 有十筐苹果，每筐里有十个，共100个，每筐里苹果的重量都是一样，其中有九筐每个苹果的重量都是1斤，另一筐中每个苹果的重量都是0.9斤，但是外表完全一样，用眼看或用手摸无法分辨。

现在要你用一台普通的大秤一次把这筐重量轻的找出来。

☆☆ ⒉ 称零件??? 有13个零件，外表完全一样，但有一个是不合格品，其重量和其它的不同，且轻重不知。

请你用天平称3次，把它找出来(此题难度较大，只要能做出来，便说明智力非凡。

时间不限)。

⒊ 九死一生??? 古时一位农民被人诬陷，农民据理力争，县官因已经接受别人的贿赂，不肯放人，又找不到理由，就出了个坏主意。

叫人拿来十张纸条，对农民说：“这里有十张纸条，其中有九张写的‘死’, 一张写的‘生’,你摸一张，如果是‘生’,立即放你回去，如果是‘死’,就怪你命不好,怨不得别人。

”聪明的农民早已猜到纸条上写的都是“死”，无论抓哪一张都一样。

于是他想了个巧妙的办法，结果死里逃生了。

你知道他想的什么办法吗？⒋ 一张假币??? 一天傍晚，一个体鞋店来了一位顾客，拿出10元钱买一双布鞋。

该鞋７元一双，需要找给顾客３元。

因为没有零钱，鞋店老板拿着这张10元钱到隔壁小店破成零钱，找给顾客3元，顾客拿着钱和鞋走了。

第二天，隔壁小店来人说昨天的钱是假的,老板只好拿出10元钱，叹口气说：今天的损失太大了。

请你帮他算一算，他一共损失了多少钱☆ ⒌ 买烟?? 60年代的哈尔滨。

一天，一个小商店里来了一位不速之客。

他对售货员说：我是南方人到哈尔滨出差，想带哈尔滨特产的“哈尔滨、迎春、葡萄”烟回去给大伙尝一尝。

我现在只有３元钱，全都买烟。

”当时的价格分别是0.29元、0.27元和0.23元。

售货员经计算后，满足了他的要求。

这位南方人每种烟买了几盒？☆ ⒍ 遗嘱??? 古时候，一位老者已气息奄奄。

临终前，把两个儿子唤到床前，曰：“你们骑马到西山然后回来，谁的马跑得慢，家产就归谁。

13个小球，其中12个为标准球，重量一样，1个为非标准球，重量轻或重，有一个天平，请用三次称量，找出这个非标准球。

为方便说明问题，首先为13个小球标号，分别为1-13.（思路：1. 第一次称量时尽可能的将小球等分成三份，编号为（1、2、3、4）的小球为一组，编号为（5、6、7、8）的小球为一组，编号为（9、10、11、12、13）的小球为一组。

）第一次称量：天平左右两边分别放置（1、2、3、4）和（5、6、7、8），如果天平左右两边平衡，则表示非标准球在（9,10,11,12,13）中。

如果天平左右两边不等，则说明非标准球在（1,2,3,4）或（5,6,7,8）中。

下边按这两种情况分别说明后两次的测量。

第一种，非标准球在（9,10,11,12,13）中，（思路：三个球可以一次测出结果，故从未知中拿出三个球与已知标准球比较）第二次称量：天平左右分别放置（1、2、3）和（9、10、11），如果天平平衡，则表示（9,10,11）为标准球，那么12,13中有非标准球。

第三次称量：天平左右两端分别放置1号球和12号球，平衡则说明13号是非标准球，但不能判断其轻重；不平衡则说明12号是非标准球，12号端下沉则说明12号为重球，12号端上升则说明12号为轻球。

如果在第二次称量时，天平不平衡，则说明（9、10、11）中有非标准球，而且还可以根据天平的倾斜判断吃非标准球的轻重。

如果（9、10、11）端沉，则说明非标准球是重球，反之则为轻球。

此时第三次称量只要比较其中两个球，例如9和10，如果平衡则说明11号是非标准球，如果不平衡，且上次称量中得知非标准球的重球的话，则下沉端为非标准球，反之上次称量中得知非标准球的轻球的话，则上浮端为非标准球。

以上为第一种，第一次称量天平平衡的所有情况。

第二种，第一次称量不平衡，假设（1、2、3、4）比（5、6、7、8）沉，（1、2、3、4）比（5、6、7、8）轻的情况与沉的情况类似，不做赘述。

称球问题——经典智力题推而广之三（二）二、记号我们先不忙着马上着手解决上述问题。

先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。

大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。

在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；……12. 12号是坏球，且较重；13. 1号是坏球，且较轻；14. 2号是坏球，且较轻；……24. 12号是坏球，且较轻。

没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。

当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是1. 1号是坏球，且较轻；2. 2号是坏球，且较轻；3. 3号是坏球，且较轻；4. 4号是坏球，且较轻；5. 5号是坏球，且较重；6. 6号是坏球，且较重；7. 7号是坏球，且较重；8. 8号是坏球，且较重。

我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：(1重)和(2轻)我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。

我们把上面这次称量记为(1,2,3,4; 5,6,7,8)或(1-4; 5-8)也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。

在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量(1-4；5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。

我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。

这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。

1、称重问题结论1：1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。

现有N个小球，其中有一个坏球不知比标准球轻还是重。

我们令H={log3(2N)}。

1)要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称H次。

假设N≠2，我们有2)如果N＜(3H-1)/2，那么称H次就足够了；3)如果N=(3H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球，但不足以保证知道坏球比标准球轻还是重；4)如果N=(3H-1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保证找到坏球和知道，知道坏球比标准球轻还是重。

五、四十个球的例子最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。

我们知道40 = (34-1)/2所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。

顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。

13 = (33-1)/2所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。

【定理】假设N 个球中有一个不标准,且已知是轻的,则可以称{log3(N)}次将非标准球找出来。

现在，在已知坏球轻重的情况下，我们得到了把坏球找出来的最少次砝码问题一端放砝码，需要1，2,4,8,16,32，依次相加二端放砝码，需要1,3,9,27,82，依次相加2014年国考行测备考：拉灯问题思路分析2013年07月29日10:39 华图公务员微博我有话说拉灯问题曾是困惑很多学员的难题，特别是当灯的总数量比较大的时候，如何来确定此类问题最终亮着的或灭掉的灯的数量是此类问题的关键。

华图教育[微博]主要从以下几个题型具体分析解决此类问题的思路。

一、初等拉灯问题---倍数、约数例1：走廊里有10盏电灯，从1到10编号，开始时电灯全部关闭。

有10个学生依次通过走廊，第1个学生把所有的灯绳都拉了一下，第2个学生把2的倍数号的灯绳都拉了一下，第3个学生把3的倍数号的灯绳都拉了一下……第10个学生把第10号灯的灯绳拉了一下。

称球问题12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)参考答案1：首先，把12个小球分成三等份，每份四只。

拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。

那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。

把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。

如果不平衡，在天平上面的那三个里。

而且知道是重了还是轻了。

剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。

（第三次）情况二：天平倾斜。

特殊的小球在天平的那八个里面。

把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。

剩下的确定为四个正常的记为C。

把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C 小球放一边。

（第二次）情况一：天平平衡了。

特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。

把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。

（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。

特殊的小球在A1和B1之间。

随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。

（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。

特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。

把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。

（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。

将十二个球编号为1-12。

第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。

1.如果右重则坏球在1-8号。

第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。

就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。

1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。

如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。

第三次将1号放在左边，2号放在右边。

1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。

已知：有1个标准球，在3次以内找出13个球之中不标准的那个。

建立模型：（a、b、c、d、e）
其中：a表示未知标准与否的球的个数；
b表示已知标准的球的个数；
c表示可能超重的球的个数；
d表示可能过轻的球的个数；
e表示剩余称量次数；
初始条件为：（1,13,0,0,3）
称量过程中：-1表示左边重，0表示一样重，1表示右边重。

注：第二次称量结束后，所有情况归为完全相同的3类，故不做重复说明，仅用“与（x，y）相同”代替，其中的x和y表示第一次和第二次称量的结果。

如：与（1,1）相同，就表示其结果与称量过程中，两次都是右边重的结果一样。

董老师，组织图做得比较小，不然放不下。

建议在300%左右的比例看，效果会好一点。

组织图如下：。

关于12个⼩球称重的问题，终于得出了以下答案⼯作后发觉脑⼦如果不⽤是要⽣锈的，所以以这道题来练练脑袋。

在某⼈的帮助下，我得出了以下答案，希望有什么补充的⼤家提出来。

问题：12个⼩球，其中有⼀个重量和其他的不同（以下称为坏球，其余11球称为好球），使⽤⽆砝码的天平称量3次，如何确定出那个⼩球有问题。

解答：⾸先将12个⼩球分为3组，分别是A1 A2 A3 A4, B1 B2 B3 B4以及C1 C2 C3 C4。

情况⼀：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰平衡，坏球肯定是C1 C2 C3 C4中的⼀个。

任意拿好球A1 A2与C1 C2称量。

1.若天枰达到平衡，则坏球必在C3 C4中，之后再次选⼀好球与C3或C4称量，此时若称量C3时天枰平衡，则坏球必是C4；若称量C3时天枰倾斜，则C3即是坏球。

2.若天秤倾斜，则坏球必在C1 C2中，之后的⽅法不再复述，与上⾯相同。

情况⼆：A1 A2 A3 A4与B1 B2 B3 B4进⾏称量，此时若天枰倾斜，进移动⼩球，从⽽进⾏第⼆次测量。

此处可知C1 C2 C3 C4必是好球。

拿出⼩球A1 A2 A3,使A4 B1 B2 B3与B4 C1 C2 C3进⾏第⼆次称量。

这种情况下我们可得出以下⼏种情况。

第⼆次称量时天枰达到平衡：第⼆次称量时天枰达到平衡, 此时若B球中的任意⼀球是坏球，则会造成天秤的不平衡，所以B的四球肯定是好球，继续推得A4是好球，此时坏球必是拿出的A1 A2 A3中的⼀个。

第三次称量⽤A1与A2，此时若天枰平衡，A3必是坏球；此时若天枰倾斜⼜可分为两种情况，若第⼀次称量时天枰左重右轻，可知坏球肯定⽐好球重，那么第三次称量天秤倾斜时，则哪边重哪边是坏球。

反之若第⼀次称量时天秤左轻右重，可知坏球肯定⽐好球轻，那么第三次称量天枰倾斜时，哪边轻哪边就是坏球。

第⼆次称量时天秤倾斜⽅向不变（此时A1 A2 A3肯定是好球）即第⼀次称量左边⽐右边重，第⼆次称量仍然左边⽐右边重。