6.2.1等式的性质与方程的简单变形

1.等式的性质与方程的简单变形第1课时由等式的性质到方程简单变形归纳导入复习导入类比导入悬念激趣同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．图6－2－1小时候的曹冲是多么聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的质量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．现在认识一下天平，然后回答下列问题：问题1：天平有什么作用呢？它代表什么意义呢？问题2：要让天平平衡应该满足什么条件？问题3：如果天平在平衡的条件下，左盘放着重(3x＋4)克的物体，右盘放着重4x克的物体，你知道怎样列式吗？问题4：已知方程4x＝3x＋4，你能求出x吗？[说明与建议] 说明：通过对天平的认识让学生感受等式可以类比天平，利用天平称物的图示可以形象直观地展现等式的性质，还可以直观地展现方程的求解过程，从而激发学生的求知欲．建议：充分发挥学生的主动性，注重训练学生的合作交流意识，通过解决问题，回顾以前知识，提醒学生注意与新知识的对比．上节课我们将几个实际问题转化成了数学模型即方程，只列出了方程，并没有求出方程的解．其实，在小学我们利用逆运算能够去求形如ax＋b＝c的方程的解，比如：5x＋4＝9.对于这样的方程：23x＝13，比较复杂，怎么解呢？要想求出这些复杂的一元一次方程的解，我们必须研究等式的性质，才可以解决这个问题．[说明与建议] 说明：学生感受到自己原先具有的知识已不能够解决目前的问题，学生遇到了困难，从而激发学生的求知欲，产生了克服困难的决心和信心，更能积极投入到新课的学习情境中去．建议：可让学生去解一下这个复杂的方程，让他们亲身体会此方程的复杂，然后小组讨论，是否能够找到解决办法．——教材第6页例1、例2 例1 解下列方程： (1)x －5＝7；(2)4x ＝3x －4. 例2 解下列方程： (1)－5x ＝2；(2)32x ＝13.【模型建立】利用等式的基本性质解方程就是通过对方程进行简单变形，使含未知数的项在一边，不含未知数的项在另一边，合并同类项后，两边同时除以未知数的系数即可．【变式变形】1．如果5a 3b 5与a 3b 6m －7是同类项，那么m 的值为( B )A ．－4B ．2C ．－2D ．42．当x ＝___3___时，代数式3x －7的值是2. 3．当k ＝__－12__时，方程5x －k ＝3x ＋8的解是－2. 4．解方程：(1)2－3x ＝5.[答案：x ＝－1] (2)－2x ＝6＋3x.[答案：x ＝－65](3)－35x ＋2＝－4.[答案：x ＝10] (4)－14x ＋1＝－2x ＋4.[答案：x ＝127][命题角度1] 等式的基本性质的应用此种题型考查学生对等式的基本性质的理解，应用等式的基本性质对方程进行简单变形． 例 把方程12x ＝1变形为x ＝2，其依据是__等式的性质2__．[命题角度2] 移项的识别移项的依据是方程的变形规则1，这一变形过程不改变方程的解．注意：(1)移项的时候一定要变号；(2)移项不等于移动，在等号一边利用加法交换律移动的项不能改变符号；(3)移项不改变方程中项的数目，不要漏写任一项．例 解方程6x ＋1＝－4，移项正确的是( D ) A ．6x ＝4－1 B ．－6x ＝－4－1 C ．6x ＝1＋4 D ．6x ＝－4－1[命题角度3] 利用等式的基本性质解方程利用等式的基本性质可以把一个等式进行变形，变成ax ＝b 的形式，然后两边同时除以a 即可．例 [湖州中考] 方程2x －1＝0的解是x ＝__12__．[命题角度4] 与其他知识综合此类型试题检测学生的审题能力，并能根据题意准确列出式子，利用一元一次方程的解法求出有关字母的值．例 x 为何值时，代数式2x －3与－3x ＋7的值互为相反数？[答案：x ＝4] [命题角度5] 解决实际应用题列方程解决实际问题是本章的重点及难点，此类型考题注重考查学生的综合分析能力及解决问题的能力，要求学生能够读懂题意，找准等量关系，正确列出方程并求解．图6－2－2例 [金华中考] 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图6－2－2方式进行拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可做多少人？ (2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？解：(1)4张餐桌：4×4＋2＝18(人)；8张餐桌：4×8＋2＝34(人)． (2)设这样的餐桌需要x 张，由题意得4x ＋2＝90，解得x ＝22. 答：这样的餐桌需要22张．练习1 P5 1．回答下列问题：(1)由a ＝b 能不能得到a －2＝b －2？为什么？ (2)由m ＝n 能不能得到－m 3＝－n3？为什么？(3)由2a ＝6b 能不能得到a ＝3b ？为什么？ (4)由x 2＝y3能不能得到3x ＝2y ？为什么？解：(1)能，根据等式的基本性质1，两边同时减去2. (2)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以－13.(3)能，根据等式的基本性质2，两边同时除以2. (4)能，根据等式的基本性质2，两边同时乘以6.2. 填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的： (1)如果x －2＝5，那么x ＝5＋________； (2)如果3x ＝10－2x ，那么3x ＋________＝10； (3)如果2x ＝7，那么x ＝________； (4)如果x －12＝3，那么x －1＝________.解：(1)2，等式的基本性质1. (2)2x ，等式的基本性质1. (3)72，等式的基本性质2. (4)6，等式的基本性质2. 练习2 P71．下列方程的变形是否正确？为什么？ (1)由3＋x ＝5，得x ＝5＋3； (2)由7x ＝－4，得x ＝－74；(3)由12y ＝0，得y ＝2；(4)由3＝x －2，得x ＝－2－3.解：(1)错误，3由等号左边移项到等号右边没有改变符号． (2)错误，方程两边同时除以7，得x ＝－47.(3)错误，方程两边同时乘以2，得y ＝0.(4)错误，x 由等号右边移项到等号左边没有改变符号． 2．(口答)求下列方程的解： (1)x －6＝6； (2)7x ＝6x －4； (3)－5x ＝60； (4)14y ＝12. 解：(1)x ＝12. (2)x ＝－4. (3)x ＝－12. (4)y ＝2. 练习3 P8 1．解下列方程： (1)3x ＋4＝0； (2)7y ＋6＝－6y ； (3)5x ＋2＝7x ＋8； (4)3y －2＝y ＋1＋6y ； (5)25x －8＝14－0.2x ； (6)1－12x ＝x ＋13.解：(1)移项，得3x ＝－4. 两边同时除以3，得x ＝－43.(2)移项，得7y ＋6y ＝－6. 合并同类项，得13y ＝－6. 两边同时除以13，得y ＝－613. (3)移项，得5x －7x ＝8－2. 合并同类项，得－2x ＝6. 两边同时除以(－2)，得x ＝－3. (4)移项，得3y －y －6y ＝1＋2. 合并同类项，得－4y ＝3. 两边同时除以(－4)，得y ＝－34.(5)两边同时乘以20，得8x －160＝5－4x . 移项，得8x ＋4x ＝5＋160. 合并同类项，得12x ＝165.两边同时除以12，得x ＝554. (6)两边同时乘以6，得6－3x ＝6x ＋2. 移项，得－3x －6x ＝2－6. 合并同类项，得－9x ＝－4. 两边同时除以(－9)，得x ＝ 49.2．试解6.1节中问题1所列出的方程． 解：移项，得44x ＝328－64. 合并同类项，得44x ＝264. 两边同时除以44，得x ＝ 6. 习题6.2.1 P9 1．解下列方程： (1)18＝5－x ； (2)34x ＋2＝3－14x ； (3)3x －7＋4x ＝6x －2； (4)10y ＋5＝11y －5－2y ； (5)x －1＝5＋2x ；(6)0.3x ＋1.2－2x ＝1.2－2.7x . 解：(1)移项，得x ＝5－18. 合并同类项，得x ＝－13. (2)移项，得34x ＋14x ＝3－2.合并同类项，得x ＝1.(3)移项，得3x ＋4x －6x ＝7－2. 合并同类项，得x ＝5.(4)移项，得10y －11y ＋2y ＝－5－5. 合并同类项，得y ＝－10. (5)移项，得x －2x ＝5＋1. 合并同类项，得－x ＝6， 两边同时除以－1，得x ＝－6. (6)移项，得0.3x －2x ＋2.7x ＝1.2－1.2. 合并同类项，得x ＝0. 2．解下列方程： (1)2y ＋3＝11－6y ； (2)2x －1＝5x ＋7； (3)13x －1－2x ＝－1； (4)12x －3＝5x ＋14. 解：(1)移项，得2y ＋6y ＝11－3. 合并同类项，得8y ＝8. 两边同时除以8，得y ＝1.(2)移项，得2x －5x ＝7＋1. 合并同类项，得－3x ＝8. 两边同时除以－3，得x ＝－83.(3)移项，得13x －2x ＝－1＋1.合并同类项，得－53x ＝0.两边同时除以－53，得x ＝0.(4)移项，得12x －5x ＝14＋3.合并同类项，得－92x ＝134.两边同时除以－92，得x ＝－1318.3．已知A ＝3x ＋2，B ＝4－x ，解答下列问题： (1)当x 取何值时，A ＝B? (2)当x 取何值时，A 比B 大4?解：(1)根据题意，要求3x ＋2＝4－x 的解． 解这个方程得x ＝12.所以当x ＝12时，A ＝B .(2)根据题意，要求3x ＋2－(4－x )＝4的解． 解这个方程得x ＝ 32.所以当x ＝32时，A 比B 大4.专题一 一元一次方程1. 在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( )A ．乘以同一个数．B ．乘以同一个整式．C ．加上同一个代数式．D ．都加上1． 2. 某种商品若按标价的八折出售，可获利20％，若按原标价出售，可获利( )．A ．25％B ．40％C ．50％D ．66.7％ 3. 下面判断中正确的是 [ ]A ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(同解B ．方程132=-x 与方程x x x =-)32(没有相同的解C ．方程x x x =-)32(的解都是方程132=-x 的解D ．方程132=-x 的解都是方程x x x =-)32(的解专题二 探究题4. 对于数x ，符号[x ]表示不大于x 的最大整数.例如[3.14]＝3,[－7.59]＝－8,则满足关系式[377x +]＝4的x 的整数值有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个5. 现在弟弟的年龄恰是哥哥年龄的21，而九年前弟弟的年龄是哥哥年龄的51，则哥哥现在的年龄是___________岁．6.解方程：3x-1.10.4 －4x-0.20.3 ＝0.16-0.7x0.06状元笔记【知识要点】1.等式的基本性质：（1）等式的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；（2）等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.2.方程的变形规则：（1）方程的两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；（2）方程的两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变.3.方程的变形类型：（1）移项：依据方程的变形规则1，将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形；（2）将未知数的系数化为1：依据方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数的变形.4.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程.5.解一元一次方程的步骤： ①去分母 ②去括号 ③移项④合并同类项⑤化未知项的系数为1⑥检验方程的解一般不需答出，但要养成检验的习惯 6.列一元一次方程解应用题的步骤：①弄清题意，设未知数：求什么？用字母表示适当的未知数；②分析条件，找等量关系：找出已给出的数量及未知数之间的等量关系；③组织方程，列方程：对等量关系中涉及的量，列出所需的表达式，根据等量关系得到方程.④解所得的方程：求解所列出的一元一次方程，并检验所求的解是否原方程的解、是否符合实际意义.⑤写出答语.【温馨提示（针对易错）】1.判断一个方程是不是一元一次方程，首先在整式方程前提下，化简后满足只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程，像21=x，()1222+=+x x 等都不是一元一次方程.2.解方程时要注意：①方程两边不能乘以（或除以）含有未知数的整式，否则所得方程与原方程不同解；②去分母时，不要漏乘没有分母的项；③解方程时一定要注意“移项”要变号.【方法技巧】解方程的基本思想就是应用等式的基本性质进行转化，将方程化为“x ＝常数”的形式，最后的“常数”就是方程的解. 答案1.【答案】D2.【答案】C ．【解析】设商品的进价为a 元，标价为b 元， 则80%b －a ＝20%a ，解得b ＝32 a ，原标价出售的利润率为b-aa ×100%＝50%3.【答案】D【解析】方程132=-x 的解是2=x；方程x x x =-)32(的解是0=x 和2=x ．因此，A .B ．C ．的判断都是错误的，只有D 判断正确． 4. 【答案】D 5. 【答案】12【解析】设弟弟年龄是x ，则哥哥年龄是2x ，则依题意有5（x －9）＝(2x －9)， ∴x ＝ 12.6. 【答案】解：原方程变形为 30x-114 －40x-23 ＝16-70x6去分母，得3×(30x －11)－4×(40x －2)＝2×(16－70x ) 去括号，得90x －33－160x ＋8＝32－140x 移项， 得90x －160x ＋140x ＝32＋33－8 合并， 得70x ＝57 系数化为1，得x ＝5770“方程的简单变形”学习点拨学习方程变形的依据及方程的两种简单变形，是为进一步学习解一元一次方程作铺垫。

第1课时等式的性质1．借助天平的操作活动，发现并理解等式的性质．2．应用等式的性质进行等式的变换．3．经历观察、比较、抽象、归纳等思维活动，发展学生的数学思维能力．重点等式的性质和运用．难点引导学生发现并概括出等式的性质．一、创设情境，问题引入同学们，你们还记得“曹冲称象”的故事吗？请同学说说这个故事．小时候的曹冲是多么地聪明啊！随着社会的进步，科学水平的发达，我们有越来越多的方法测量物体的重量．最常见的方法是用天平测量一个物体的质量．我们来做这样一个实验，测一个物体的质量(设它的质量为x)．首先把这个物体放在天平的左盘内，然后在右盘内放上砝码，并使天平处于平衡状态，此时两边的质量相等，那么砝码的质量就是所要称的物体的质量．二、探索问题，引入新知请同学来做这样一个实验：如下图，天平处于平衡状态，它表示左右两个盘内物体的质量a，b是相等的．得到：a＝b.1．若在平衡天平两边的盘内都添上(或都拿去)质量相等的物体，则天平仍然平衡．得到：a＋c＝b＋c a－c＝b－c2．若把平衡天平两边盘内物体的质量都扩大(或缩小)相同的倍数，则天平仍然平衡．得到：ac＝bc(c≠0)ac＝bc(c≠0)观察上面的实验操作过程，回答下列问题：(1)从这个变形过程，你发现了什么一般规律？(2)这几个等式两边分别进行了什么变化？等式有何变化？(3)通过上面的操作活动，你能说一说等式有什么性质吗？结论：等式的基本性质：性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等式仍然成立．如果a ＝b ，那么a ＋c ＝b ＋c ，a －c ＝b －c.性质2：等式两边都乘或除以同一个数(除数不为0)，等式仍然成立．如果a ＝b ，那么ac ＝bc ，a c ＝b c(c≠0)． 【例1】 用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据等式的哪一条性质，以及怎样变形的：(1)如果2x ＋7＝10，那么2x ＝10－________________________________________；(2)如果a 4＝2，那么a ＝________________________________________； (3)如果2a ＝1.5，那么6a ＝________________________________________；(4)如果－5x ＝5y ，那么x ＝________________________________________．分析：根据等式的基本性质进行填空．解：(1)根据等式的性质1，若2x ＋7＝10，则2x ＝10－7(等式的两边同时减去7，等式仍成立)；故填：7(等式的两边同时减去7，等式仍成立)；(2)根据等式性质2，若a 4＝2，则a ＝8(等式的两边同时乘以4，等式仍成立)；故填：8(等式的两边同时乘以4，等式仍成立)；(3)根据等式性质2，若2a ＝1.5，则6a ＝4.5(等式的两边同时乘以3，等式仍成立)；故填：4.5(等式的两边同时乘以3，等式仍成立)；(4)根据等式性质2，若－5x ＝5y ，则x ＝－y(等式的两边同时除以－5，等式仍成立)；故填：－y(等式的两边同时除以－5，等式仍成立)．点评：等式性质：1.等式的两边同时加上或减去同一个数或同一个整式，等式仍成立；2.等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或整式，等式仍成立．三、巩固练习1．下列说法正确的是( )A ．等式两边都加上一个数或一个整式，所得结果仍是等式B ．等式两边都乘以一个数，所得结果仍是等式C ．等式两边都除以同一个数，所得结果仍是等式D ．一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加，所得结果仍是等式2．对于数x ，y ，c ，下列结论正确的是( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y3．在方程的两边都加上4，可得方程x ＋4＝5，那么原方程是________．4．在方程x －6＝－2的两边都加上________，可得x ＝________.5．方程5＋x ＝－2的两边都减5得x ＝______.6．如果－7x ＝6，那么x ＝________.7．只列方程，不求解．某制衣厂接受一批服装订货任务，按计划天数进行生产，如果每天平均生产20套服装，就比订货任务少100套，如果每天平均生产32套服装，就可以超过订货任务20套，问原计划几天完成？四、小结与作业小结通过及时的练习对所学新知进行巩固和深化，在练习中，要求学生说出计算的依据，帮助学生巩固等式性质的同时，也提升了说理能力．作业1．教材第5页“练习”．2．完成练习册中本课时练习．本节课教学中，充分利用原有的知识，探索、验证，从而获得新知，给每个学生提供思考、表现、创造的机会，使他成为知识的发现者、创造者，培养学生自我探究和实践能力．通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现的过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高．参观三元一次方程组景点景点一什么叫做三元一次方程组方程组有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.如1325x yy zx z+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩就是一个三元一次方程组.参观提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数.景点二解三元一次方程组基本思路解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程.参观提示：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似，可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想.景点三一般步骤观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数；利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组；解二元一次方程组，求到两个未知数的值；将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求到第三个位置的值；5．写出三元一次方程组的解.参观提示：对于有的三元一次方程组可直接消元，得到一元一次方程.景点四实地体验例解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=-+=++③.72②,3423①,223yxzyxzyx分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①，②中的未知数z 的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解.解： ①×2+②，得5x+8y=7，④，解③，④组成的方程组⎩⎨⎧=+=-785,72y x y x ，得⎩⎨⎧-==1,3y x把x=3，y=-1代入①，得z=1，所以原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧=-==.1,1,3z y x第2章代数式2.1 用字母表示数【知识与技能】1.借助生活中的实例，体会用字母表示数的必要性和重要性.2.在具体的情境中能利用字母表示数进行表达和交流.【过程与方法】在探索现实世界数量关系的过程中，体验用字母表示数的简明性.【情感态度】培养学生的数学意识，渗透归纳猜想、数形结合等数学思想方法.【教学重点】理解字母表示数的意义.【教学难点】探索规律，并用字母表示一般规律的过程.一、情景导入，初步认知1.“1只青蛙1张嘴，2只青蛙2张嘴，3只青蛙3张嘴……”这首歌能唱完吗？2.你能用一句话表示这首儿歌吗？几只青蛙就有几张嘴，所以我们可以说“n只青蛙n 张嘴.”这样唱起来也就简单多了.3.像这样从一只青蛙、二只青蛙到很多只青蛙，我们可以用字母n来表示，这就是我们今天要学习的内容：“字母表示数”.【教学说明】导入环节选择从儿歌入手，学生会感觉比较亲切，也降低了学生对字母表示数的难度与知识间的衔接.二、思考探究，获取新知1.动脑筋：中科院院士袁隆平指导的“Y两优2号”百亩超级杂交水稻，以亩产926.6千克，创造大面积水稻亩产的最高纪录.（1）根据上面数据完成下表:(2)如果用字母a表示亩数，那么水稻的总产量是多少？（3）如果平均亩产为bkg，那么a亩水稻的总产量是多少？【教学说明】以产量问题为情境，从实际出发，以小学中的算术为基础，通过活动，让学生初步体会用字母表示数的方法.2.2011年9月29日21时16分，我国成功发射了“天宫一号”飞行器，它是目前中国最大、最重的在轨飞行航天器.已知“天宫一号”大约每小时飞行2.844万千米，则它飞行2小时、2.5小时飞船分别飞行了多少万千米？如果飞行t小时，那么它飞行了多少万千米？【教学说明】以学定教，创设充分的机会，让学生自主探索、合作探究，让学生亲身经历“从具体事物——学生个性化的符号表示——学会数学表示”这一逐步符号化、形式化的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.3.仔细观察上面所列的式子，并请相互讨论交流：用字母表示式子时应注意些什么？【归纳结论】用字母表示式子时应注意：1.在含有字母的式子里，数字和字母，字母和字母中间的乘号可以记作“．”，也可以省略不写.省略乘号时，一般把数字写在字母的前面.2.两个相同字母相乘时，写成乘方的形式.3.当数字1与字母相乘时，1也省略不写.【教学说明】教学中要不断给学生提供字母表示数的机会，让他们在具体情境中反复体会字母表示数的意义.三、运用新知，深化理解1.教材P56例1、例2.2.原产量n千克增产20%之后的产量应为（B）A.（1-20%）n千克B.（1+20%）n千克C. n+20%千克D. n×20%千克3.如果m表示奇数，n表示偶数，则m+n表示（A）A.奇数B.偶数C.合数D.质数4.一个两位数，个位是a，十位比个位大1，这个两位数是（D）A.a(a+1)B.(a+1)aC.10(a+1)aD.10(a+1)+a5.用字母表示a的5倍的平方与b的差正确的是（A）A.(5a)2-bB.5a2-bC.5(a2-b)D.25(a2-b)6.根据题意列代数式.(1)平行四边形高为a，底为b，求面积.解：ab（2）一个二位数十位为x ，个位为y ，求这个数解：10x+y（3）某工程甲独做需x 天，乙独做需y 天，求两人合作需几天完成？解：1÷(11x y +) （4）甲乙两数和的2倍为n ，甲乙两数之和为多少？解：2n 7.小明今年x 岁，爸爸y 岁，3年后小明和爸爸的年龄之和是多少？解：x+y+68、小丁和小亮一起去吃冰糕，小丁花了m 元，小亮花了n 元，已知每个冰糕0.5元，小丁和小亮各吃了几个？解：小丁：0.5m 小亮：0.5n 9.小明坐计程车，发现：请用x 表示y.解：y=5+20.5x - 10.一根木棍原长为m 米，如果从第一天起每天折断它的一半.（1）请写出木棍第一天，第二天，第三天的长度分别是多少？（2）试推断第n 天木棍的长度是多少？解：（1）;;248m m m （2）2n m 【教学说明】练习的设计围绕教学目标，面向全体学生，体现了层次性，让学生充分理解，也是对本课知识的深化.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、3题.教学中暴露出了很多不足：问题一是课堂讨论气氛不够热烈，学生参与学习的兴奋度不高，责任在于我课前缺少对学生的调动和鼓励.问题二是学生在用字母表示数量关系的环节略显吃力，虽说这对于学生来说有点抽象，但如果我能再细致到位的引导和启发，相信学生会有更为主动的思考.对于这节课中出现的问题既是警示牌，同时更是我今后要努力完善的方向.。

6.2.1.1等式的性质与方程的简单变形★等式的基本性质(1）等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式 如果 a = b ,那么 a 十 c ＝b 十 c,a 一C = b 一 C .(2）等式两边都乘（或都除以）同一个数（除数不能为0),所得结果仍是等式． 如果 a =b 、那么 ac = bc ,“ cbc a ( c ≠0). ★方程变形规则(1）方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,方程的解不变； (2）方程两边都乘（或都除以）同一个不等于0的数,方程的解不变． ★移项：把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项． 注：(1）方程中的项是包括它前面的符号的；(2）移项要变号．★将方程的两边都除以未知数的系数,这样的变形就是“将未知数的系数化为1”一．选择题（共5小题） 1．下列变形不正确的是（ ） A ．若a ＝b ,则a +c ＝b +c B ．若a +c ＝b +c ,则a ＝b C ．若ac ＝bc ,则a ＝bD ．若a ＝b ,则ac ＝bc2．下列等式变形正确的是（ ） A ．若2x ＝1,则x ＝2B ．若4x ﹣1＝2﹣3x ,则4x +3x ＝2﹣1C ．若﹣2x ＝3,则D ．若,则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝13．已知x ＝y ,则下列各式①x ﹣3＝y ﹣3,②4x ＝6y ,③﹣2x ＝﹣2y ,④,⑤,⑥,其中正确的有（ ） A ．①②③B ．④⑤⑥C ．①③⑤D ．②④⑥4．已知关于x 的方程2x +a ﹣5＝0的解是x ＝2,则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．9D ．﹣95．下列说法正确的是（ ）A ．在等式2x ＝a ﹣2b 两边除以2,可得x ＝a ﹣bB．在等式ab＝ac两边除以a,可得b＝cC．在等式a＝b两边除以（c2+2）,可得D．在等式两边除以a,可得b＝c二．填空题（共5小题）6．若2m+5＝1,则m＝．7．已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝﹣2,则a的值为．8．已知5a+2b＝3b+10,利用等式性质可求得10a﹣2b的值是．9．由﹣x＝6得x＝﹣24,下列方法：①方程两边同乘﹣1；②方程两边同乘﹣4；③方程两边同除以﹣；④方程两边同除以﹣4．其中正确的有．（填序号）10．已知关于x的方程3x+1＝4与2x+a＝1有相同的解,则a的值等于．三．解答题（共4小题）11．在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果x一2＝3,那么x＝,理由：根据等式性质,在等式两边．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝．理由：根据等式性质．在等式两边（3）如果3x＝4+2x,那么x＝,理由：根据等式性质,在等式两边．（4）如果﹣＝,那么m＝．理由：根据等式性质,在等式两边．12．用等式性质求下列方程的解．（1）﹣5x＝5﹣6x（2）0＝3x﹣9（3）x+＝（4）﹣2y+1＝1．13．已知3a m﹣1b3与4ab n﹣1是同类项,试判断x＝是否为方程2x﹣4＝的解．14．阅读下列材料：问题：怎样将0.表示成分数？小明的探究过程如下：设x＝0.①10x＝10×②10x＝8.③10x＝8④10x＝8+x⑤9x＝8⑥⑦．根据以上信息,回答下列问题：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是；（2）仿照上述探求过程,请你将0.表示成分数的形式．6.2.1.1等式的性质与方程的简单变形参考答案与试题解析★等式的基本性质(3）等式两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式 如果 a = b ,那么 a 十 c ＝b 十 c,a 一C = b 一 C .(4）等式两边都乘（或都除以）同一个数（除数不能为0),所得结果仍是等式． 如果 a =b 、那么 ac = bc ,“ cbc a ( c ≠0). ★方程变形规则(3）方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式,方程的解不变； (4）方程两边都乘（或都除以）同一个不等于0的数,方程的解不变． ★移项：把等式一边的某项改变符号后移到另一边,叫做移项． 注：(1）方程中的项是包括它前面的符号的；(2）移项要变号．★将方程的两边都除以未知数的系数,这样的变形就是“将未知数的系数化为1”一．选择题（共5小题） 1．下列变形不正确的是（ ） A ．若a ＝b ,则a +c ＝b +c B ．若a +c ＝b +c ,则a ＝b C ．若ac ＝bc ,则a ＝bD ．若a ＝b ,则ac ＝bc【解答】解：A 、若a ＝b ,则a +c ＝b +c ,原变形正确,故本选项不符合题意； B 、若a +c ＝b +c ,则a ＝b ,原变形正确,故本选项不符合题意； C 、若ac ＝bc ,c ≠0,则a ＝b ,原变形不正确,故本选项符合题意； D 、若a ＝b ,则ac ＝bc ,原变形正确,故本选项不符合题意． 故选：C ．2．下列等式变形正确的是（ ） A ．若2x ＝1,则x ＝2B ．若4x ﹣1＝2﹣3x ,则4x +3x ＝2﹣1C ．若﹣2x ＝3,则D ．若,则3（3x +1）﹣2（1﹣2x ）＝1【解答】解：A 、若2x ＝1,则x ＝,原变形错误,故这个选项不符合题意；B、若4x﹣1＝2﹣3x,则4x+3x＝2+1,原变形错误,故这个选项不符合题意；C、若﹣2x＝3,则x＝﹣,原变形正确,故这个选项符合题意；D、若﹣＝1,则3（3x+1）﹣2（1﹣2x）＝6,原变形错误,故这个选项不符合题意；故选：C．3．已知x＝y,则下列各式①x﹣3＝y﹣3,②4x＝6y,③﹣2x＝﹣2y,④,⑤,⑥,其中正确的有（）A．①②③B．④⑤⑥C．①③⑤D．②④⑥【解答】解：①x﹣3＝y﹣3,③﹣2x＝﹣2y,⑤正确,故选：C．4．已知关于x的方程2x+a﹣5＝0的解是x＝2,则a的值为（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【解答】解：把x＝2代入方程得：4+a﹣5＝0,解得：a＝1,故选：A．5．下列说法正确的是（）A．在等式2x＝a﹣2b两边除以2,可得x＝a﹣bB．在等式ab＝ac两边除以a,可得b＝cC．在等式a＝b两边除以（c2+2）,可得D．在等式两边除以a,可得b＝c【解答】解：A、在等式2x＝a﹣2b两边除以2,可得x＝﹣b,故不合题意；B、当a＝0时,该结论不成立,故不合题意；C、由于c2+1≥1,在等式a＝b两边除以（c2+1）,可得,故符合题意；D、存在等式两边乘以a,可得b＝c,故不合题意；故选：C．二．填空题（共5小题）6．若2m+5＝1,则m＝﹣2．【解答】解：∵2m+5＝1,∴2m＝1﹣5,∴2m＝﹣4,∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．7．已知关于x的方程2x+a+5＝0的解是x＝﹣2,则a的值为﹣1．【解答】解：把x＝﹣2代入方程得：﹣4+a+5＝0,解得：a＝﹣1,故答案为：﹣1．8．已知5a+2b＝3b+10,利用等式性质可求得10a﹣2b的值是20．【解答】解：∵5a+2b＝3b+10,∴5a﹣b＝10,∴10a﹣2b＝20,故答案为：20．9．由﹣x＝6得x＝﹣24,下列方法：①方程两边同乘﹣1；②方程两边同乘﹣4；③方程两边同除以﹣；④方程两边同除以﹣4．其中正确的有②③．（填序号）【解答】解：根据等式的性质,由﹣x＝6得x＝﹣24,是利用了等式的性质2,等式两边都乘以﹣4,或都除以﹣的结果,故答案为：②③．10．已知关于x的方程3x+1＝4与2x+a＝1有相同的解,则a的值等于﹣1．【解答】解：3x+1＝4,3x＝4﹣1,3x＝3,x＝1．将x＝1代入2x+a＝1得：2×1+a＝1,2+a＝1,a＝1﹣2,a＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题（共4小题）11．在下列各题的横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍是等式,并说明根据的是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果x一2＝3,那么x＝5,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都加2．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝﹣y．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立．在等式两边都除以﹣2（3）如果3x＝4+2x,那么x＝4,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都减2x．（4）如果﹣＝,那么m＝﹣2n．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都乘以﹣10．【解答】解：（1）如果x﹣2＝3,那么x＝5,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都加2．（2）如果﹣2x＝2y．那么x＝﹣y．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立．在等式两边都除以﹣2．（3）如果3x＝4+2x,那么x＝4,理由：根据等式性质等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都减2x．（4）如果﹣＝,那么m＝﹣2n．理由：根据等式性质等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,在等式两边都乘以﹣10,故答案为：5,等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,都加2；﹣y,等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,都除以﹣2；4,等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母）,等式仍成立,都减2x；﹣2n,等式的两边同时乘以（或除以）同一个不为0数（或字母）,等式仍成立,都乘以﹣10．12．用等式性质求下列方程的解．（1）﹣5x＝5﹣6x（2）0＝3x﹣9（3）x+＝（4）﹣2y+1＝1．【解答】解：（1）﹣5x＝5﹣6x﹣5x+6x＝5﹣6x+6x,则x＝5；（2）0＝3x﹣99＝3x﹣9+9,则3x＝9,解得：x＝3；（3）x+＝x+﹣＝﹣,则x＝,解得：x＝；（4）﹣2y+1＝1﹣2y+1﹣1＝1﹣1,解得：y＝0．13．已知3a m﹣1b3与4ab n﹣1是同类项,试判断x＝是否为方程2x﹣4＝的解．【解答】解：根据题意得：,解得：,则x＝＝3,把x＝3代入2x﹣4＝2,＝,左边＝右边,则x＝3是方程2x﹣4＝的解．14．阅读下列材料：问题：怎样将0.表示成分数？小明的探究过程如下：设x＝0.①10x＝10×②10x＝8.③10x＝8④10x＝8+x⑤9x＝8⑥⑦．根据以上信息,回答下列问题：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等；（2）仿照上述探求过程,请你将0.表示成分数的形式．【解答】解：（1）从步骤①到步骤②,变形的依据是：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等…（1分）从步骤⑤到步骤⑥,变形的依据是：等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等．…（2分）故答案为：等式的基本性质2：等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等；等式的基本性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子）,结果仍相等．（2）设0.＝x,…（3分）100x＝100×0.,…（4分）100x＝36.,100x＝36+x,…（5分）99x＝36,．…（6分）。

6.2 解一元一次方程6.2.1 等式的性质与方程的简单变形第一课时 等式的性质1.熟练掌握等式的基本性质2.利用等式的基本性质对等式进行变形.一、情境导入 同学们，你们认识天平吗?它有什么特征?通过下面几幅图片你能说说当天平两边满足怎样的数量关系时，才能保持平衡？二、合作探究探究点一：等式的基本性质已知m ＝n ，则下列等式不成立的是（ ） A.m －1＝n －1 B.－2m －1＝－1－2nC.m 3＋1＝n3＋1 D.2－3m ＝3n －2 解析：由等式的基本性质1，在等式两边同时减去1，结果仍相等，A 成立；在等式两边同时乘以－2，得－2m ＝－2n ，两边再同时加上－1，结果仍相等，B 成立；在等式两边同时除以3，得m 3＝n3，两边再同时加上1，结果仍相等，C 成立；只有D 不成立.故选D.方法总结：对等式进行变形，必须在等式的两边同时进行，即同加或同减，同乘或同除，不能漏掉一边，且同加或同减，同乘或同除的数必须相同.阅读理解题：下面是小明将等式x -4=3x -4进行变形的过程： x -4+4=3x -4+4，① x=3x ，② 1=3．③（1）小明①的依据是 ． （2）小明出错的步骤是 ，错误的原因是 ． （3）给出正确的解法．解析：根据等式的性质解答即可．解：（1）等式的两边都加（或减）同一个数（或整式），结果仍得等式； （2）③，等式两边都除以x ，x 可能为0； （3）x -4=3x -4， x -4+4=3x -4+4，x=3x，x-3x=0，-2x=0，x=0．方法总结：本题主要考查等式的基本性质．在等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立，这里的数或字母没有条件限制，但是在等式的两边同时乘以或除以同一个数或字母时，这里的数或字母必须不为0．探究点二：等式基本性质的应用【类型一】应用等式的性质对等式进行变形.用适当的数或整式填空，使所得结果仍是等式．（1）如果2x+7=10，那么2x=10-_______；相同的四则运算，否则就会破坏原来的相等关系。