高中数学 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式的证明学案 苏教版必修5

总 课 题 不等式总课时 第25课时 分 课 题基本不等式的证明（一）分课时 第 1 课时教学目标理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系．探究并了解基本不等式的证明过程，会用各种方法证明基本不等式．理解基本不等式的意义，并掌握基本不等式中取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．重点难点 基本不等式证明方法；理解当且仅当b a =时取“=”号． 引入新课1．当b a ，满足条件__________时，基本不等式ab ba ≥+2成立，该不等式取符号的条件是____________________________________． 2．算术平均数的定义： 3．几何平均数的定义：4．算术平均数与几何平均数的关系 （1）基本公式：2ba ab +≤及语言叙述 （2）基本不等式的证明方法 （3）基本不等式成立的条件 （4）基本不等式的变形例题剖析设b a ，为正数，证明下列不等式：（1）2≥+baa b ；（2）21≥+aa ．变化：若b a ，都为负数，则分别比较baa b +与2；a a 1+与2-的大小．若b a R b a ≠∈，，，求证：22222-+>+b a b a ．例1 例2若b a ，都是正整数，求证：22ba b a ab +≤+．巩固练习1． 证明：（1）ab b a 222≥+；（2）x x 212≥+； （3）)0(21<-≤+x xx ．2．设R y x ∈，，求证：y x y x 422422+≥++．3．求证：2)2(222b a b a +≤+．课堂小结基本不等式证明方法；理解当且仅当b a =时取“=”号．例3课后训练班级：高一（ ）班 姓名：____________一 基础题1．若1>>b a ，=P b a lg lg ⋅，=Q )lg (lg 21b a +，lg=R 2ba +，则（ ） A ．Q P R <<B ．R Q P <<C ．R P Q <<D ．Q R P <<2．若0>>a b ，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．>a b ab ba >>+2 B ．>b a ba ab >+>2 C ．>b a ab ba >>+2D ．>>a b ab ba >+23．（1）24)14)(4(22=++=Q a a P ，，则P 与Q 的大小关系为_________． （2）已知1>a ，则a P 2log 21=与21log 2+=a Q 的大小关系为_________． 4．设a ，)0(∞+ ∈，b ，求证：ab ba ab≤+2．二 提高题5．设R y x ∈，，求证：)2(2522y x y x +≥++．6．已知00>>b a ，且b a ≠，求证：)(222b a ab +<．7．已知R b a ∈，，求证：12112222++≤+⋅+b a b a ．三 能力题8．求证：（1）b a b a 2log )(log 212221≤+；（2）1)4141(log 21-+≤+b a b a ．。

基本不等式的证明学习目标：1理解基本不等式的内容及证明．重点2能运用基本不等式证明简单的不等式．重点3能用基本不等式求解简单的最大小值问题．难点问题引入：把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为a。

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么a并非物体的实际质量。

不过，我们可做第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物体的质量为b。

那么如何合理地表示物体的质量呢？简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以A=2ba+表示物体的质量。

这样的做法合理吗？设天平的两臂长分别为l1,l2，物体实际质量为M，根据力学原理（当物体处于平衡状态时，动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂）有。

由此可知，物体的实际质量是。

对于正数a,b，我们把2ba+称为a,b的算术平均数，ab称为a,b的几何平均数。

两个正数的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？我们先取一些数作试验:算结果表明ab≤2。

也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等。

[自主预习·探新知]思考如何证明不等式错误!≤错误!a>0，b>01．算术平均数与几何平均数对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数．2．基本不等式如果a，b是正数，那么错误!错误!当且仅当a＝b时取“＝”，我们把不等式称为基本不等式．[合作探究·攻重难]，b为正数，证明下列不等式成立：1ba ab≥2;2 a1a≥2.=16，∈(−2,+∞),求此函数的最小值。

x+2变式：求函数＝错误!>－1的最小值，并求相应的值．应用基本不等式应注意的问题：1．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”成立吗？为什么？2．不等式“＋错误!≥2错误!＝2”,∈[4,+∞)成立吗？为什么？[当堂达标·固双基] 1．a＋1≥2错误!a>0中等号成立的条件是________．__2．函数f＝2＋错误!>0有最小值为______．3．已知>0，则函数f＝7－－错误!的最大值为________．4．已知a，b，c，d都是正实数．求证：错误!＋错误!≥45当>－1时，求＝错误!的最大值，并求相应的值．总结提炼：。

第10课时：基本不等式（1）一、学习目标1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.体会证明不等式的基本思想方法。

3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。

2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

三、课堂探究：1、问题情境：某金店有一不准确的天平（臂长不等），你要买一串金项链，店主分别把项链放于左右两盘各称一次，分别称得a 和b ，那么项链的实际质量是多少呢？2、学生活动：3、猜想结论：四、建构数学1、如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？2、通过严格证明，得出下列结论：定理：3、观察下图，尝试给出上述基本不等式的几何意义是什么？4、这个基本不等式可否推广到“1,)n n n N >∈个（非负数”的情形呢四、数学应用1、例题例1.（1） 设0a >，证明：12a a +≥变式1：求函数1y x x =+的值域。

点评：通过这一题你有什么感想呢？b（2）设,a b 为正数，证明2b a a b +≥。

变式1：设,a b为正数，求证a b +≥ 点评：变式2：11,,1,4a b R a b a b∈+=+≥设且求证问题：你还能变出题来吗？例2、比较大小(lg lg )1,,lg 22a b a b a b P Q R ++>>===若，则,,P Q R 的大小关系为 。

2、练习(1)、有下列关于不等式的证明：4(1),,2;(2)0,4;(3)2;(4),0,()())() 2.b a a b R x x x a b x xa b R ab a b ab b a ba a ∈+≥=<+≤=≥=∈<⎡⎤+=--+-≤--=-⎢⎥⎣⎦若则若则1若x>0，则cosx+cosx 若且则cosx cosx 其中证明过程正确的序号是 .（2）、,(0,),a b ∈+∞若试比较大小2,2a b ab a b++,则 .（3）、已知,,a b c 均为正数，且1111,9a b c a b c ++=++≥求证：（4）、 若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是 ，a b +的取值范围是五、回顾小结学生回顾小结本节课所学内容及主要收获，教师总结。

执笔人：夏文秀 审核人： 2009 年 11 月 日基本不等式的证明（1） 第 30 课时一、学习目标 1.探索并了解基本不等式的证明过程。

2.体会证明不等式的基本思想方法。

3. 理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等二、学法指导1.理解基本不等式的三种证明方法并总结各种证法的思路与步骤。

2.注意基本不等式成立的条件以及等号成立的条件。

三．课前预习：1.设b a ,是正数，则它们的算术平均数为________________,几何平均数为___________.2.基本不等式的表达式：___________________,其中等号成立的条件是_______________.3.一个重要的不等式：______________________________四、课堂探究：1.重要不等式：如果R b a ∈,，那么ab b a 222≥+（当且仅当b a =时取“=”）．2.由引例和实验探索两个正数b a ,的算术平均数和几何平均数之间的大小关系。

3.如何证明基本不等式，每种方法的思路和步骤是什么？证法1：证法2：证法3：4.基本不等式的几何意义是什么？五．例题讲解例1. 设,a b 为正数，证明下列不等式成立：（1）2b a a b+≥； （2）12a a +≥例 2.已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222例3（选做）已知,,,a b c d 都是正数，求证()()4ab cd ac bd abcd ++≥．六．当堂练习：P88练习1，2，3七．反思总结。

3.4 基本不等式：2b a ab +≤3.4.1 基本不等式2b a ab +≤的证明 从容说课在前两节课的研究当中，学生已掌握了一些简单的不等式及其应用，并能用不等式及不等式组抽象出实际问题中的不等量关系，掌握了不等式的一些简单性质与证明，研究了一元二次不等式及其解法，学习了二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题.本节课的研究是前三大节学习的延续和拓展.另外，为基本不等式的应用垫定了坚实的基础，所以说，本节课是起到了承上启下的作用.本节课是通过让学生观察第２４届国际数学家大会的会标图案中隐含的相等关系与不等关系而引入的.通过分析得出基本不等式：2b a ab +≤，然后从三种角度对基本不等式展开证明及对基本不等式展开一些简单的应用,进而更深一层次地从理性角度建立不等观念.教师应作好点拨，利用几何背景，数形结合做好归纳总结、逻辑分析，并鼓励学生从理性角度去分析探索过程，进而更深层次理解基本不等式，鼓励学生对数学知识和方法获得过程的探索，同时也能激发学生的学习兴趣，根据本节课的教学内容，应用观察、类比、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，得出基本不等式，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.教学重点 1.创设代数与几何背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路.教学难点 1.对基本不等式从不同角度的探索证明；2.通过基本不等式的证明过程体会分析法的证明思路.教具准备 多媒体及课件三维目标 一、知识与技能1.创设用代数与几何两方面背景，用数形结合的思想理解基本不等式；2.尝试让学生从不同角度探索基本不等式的证明过程；3.从基本不等式的证明过程进一步体会不等式证明的常用思路，即由条件到结论，或由结论到条件. 二、过程与方法1.采用探究法，按照联想、思考、合作交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；3.将探索过程设计为较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.三、情感态度与价值观1.通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学，培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；2.学习过程中，通过对问题的探究思考，广泛参与，培养学生严谨的思维习惯，主动、积极的学习品质，从而提高学习质量；3.通过对富有挑战性问题的解决，激发学生顽强的探究精神和严肃认真的科学态度，同时去感受数学的应用性，体会数学的奥秘、数学的简洁美、数学推理的严谨美，从而激发学生的学习兴趣.教学过程导入新课探究：上图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？（教师用投影仪给出第24届国际数学家大会的会标，并介绍此会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.通过直观情景导入有利于吸引学生的注意力，激发学生的学习热情，并增强学生的爱国主义热情） 推进新课师 同学们能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？如何找？ （沉静片刻）生 应该先从此图案中抽象出几何图形.师 此图案中隐含什么样的几何图形呢？哪位同学能在黑板上画出这个几何图形？ （请两位同学在黑板上画.教师根据两位同学的板演作点评）（其中四个直角三角形没有画全等，不形象、直观.此时教师用投影片给出隐含的规范的几何图形）师 同学们观察得很细致，抽象出的几何图形比较准确.这说明，我们只要在现有的基础上进一步刻苦努力，发奋图强，也能作出和数学家赵爽一样的成绩.（此时，每一位同学看上去都精神饱满，信心百倍，全神贯注地投入到本节课的学习中来） ［过程引导］师 设直角三角形的两直角边的长分别为a 、b ，那么，四个直角三角形的面积之和与正方形的面积有什么关系呢？生 显然正方形的面积大于四个直角三角形的面积之和.师 一定吗？ （大家齐声：不一定，有可能相等）师 同学们能否用数学符号去进行严格的推理证明，从而说明我们刚才直觉思维的合理性？ 生 每个直角三角形的面积为ab 21，四个直角三角形的面积之和为2ab .正方形的边长为22b a，所以正方形的面积为a 2+b 2，则a 2+b 2≥2ab .师这位同学回答得很好，表达很全面、准确，但请大家思考一下，他对a2+b2≥2ab证明了吗？生没有，他仍是由我们刚才的直观所得，只是用字母表达一下而已.师回答得很好.（有的同学感到迷惑不解）师这样的叙述不能代替证明.这是同学们在解题时经常会犯的错误.实质上，对文字性语言叙述证明题来说，他只是写出了已知、求证，并未给出证明.（有的同学窃窃私语，确实是这样，并没有给出证明）师请同学们继续思考，该如何证明此不等式，即a2+b2≥2ab.生采用作差的方法，由a2+b2-2ab=(a-b)2，∵(a-b)2是一个完全平方数，它是非负数，即(a-b)2≥0，所以可得a2+b2≥2ab.师同学们思考一下，这位同学的证明是否正确？生正确.［教师精讲］师这位同学的证明思路很好.今后，我们把这种证明不等式的思想方法形象地称之为“比较法”，它和根据实数的基本性质比较两个代数式的大小是否一样.生实质一样，只是设问的形式不同而已.一个是比较大小，一个是让我们去证明.师这位同学回答得很好，思维很深刻.此处的比较法是用差和0作比较.在我们的数学研究当中，还有另一种“比较法”.（教师此处的设问是针对学生已有的知识结构而言）生作商，用商和“1”比较大小.师对.那么我们在遇到这类问题时，何时采用作差，何时采用作商呢？这个问题让同学们课后去思考，在解决问题中自然会遇到.（此处设置疑问，意在激发学生课后去自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）［合作探究］师请同学们再仔细观察一下，等号何时取到.生当四个直角三角形的直角顶点重合时，即面积相等时取等号.（学生的思维仍建立在感性思维基础之上，教师应及时点拨）师从不等式a2+b2≥2ab的证明过程能否去说明.生当且仅当(a-b)2=0，即a=b时，取等号.师这位同学回答得很好.请同学们看一下，刚才两位同学分别从几何图形与不等式两个角度分析等号成立的条件是否一致.（大家齐声）一致.（此处意在强化学生的直觉思维与理性思维要合并使用.就此问题来讲，意在强化学生数形结合思想方法的应用）板书：一般地，对于任意实数a、b，我们有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.［过程引导］师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师 为什么？生 因为不等式中的a 、b ∈R. 师 很好，我们来看一下代替后的结果.板书：ab b a ≥+2即2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0). 师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2b a +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解）师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab b a ≥+2， 只要证a +b ≥2ab ，要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，要证③，只要证：,0)(2≥-b a显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式. （此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度） ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础） ［合作探究］师 同学们能找出图中与a 、b 有关的线段吗？生 可证△A CD ∽△B CD,所以可得ab CD =.生 由射影定理也可得ab CD =.师 这两位同学回答得都很好，那ab 与2b a +分别又有什么几何意义呢？生ab 表示半弦长，2b a +表示半径长. 师 半径和半弦又有什么关系呢？ 生 由半径大于半弦可得ab b a ≥+2. 师 这位同学回答得是否很严密？生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2b a ab +≤(a ＞0,b ＞0). 课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab . 生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2b a ab +≤ (a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式.（此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.布置作业活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112+,ab ,2b a +,222b a +的大小关系，并证明你的结论.分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明.（方法二）创设几何直观情景.设A C=a ,B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得. 板书设计基本不等式2b a ab +≤的证明 一、实际情景引入得到重要不等式 课时小结a 2＋b 2≥2ab二、定理若a ＞0，b ＞0，课后作业 则ab b a ≥+2证明过程探索：。

2021高中数学第3章不等式第四节基本不等式1基本不等式的证明学案苏教版必修5知识点课标要求题型说明差不多不等式的证明1.把握差不多不等式2baab+≤（a≥0，b≥0）；2.能用差不多不等式证明简单不等式（指只用一次差不多不等式，即可解决的问题）选择题填空题差不多不等式的证明中要注意多次运用公式等号能否同时取到，这一章节也是不等式的难点。

二、重难点提示重点：明白得把握差不多不等式，并能利用差不多不等式证明不等式。

难点：明白得差不多不等式等号成立的条件。

考点一：差不多不等式假如a，b是正数，那么2baab+≤（当且仅当a＝b时取“＝”），我们把不等式2baab+≤称为差不多不等式。

【要点诠释】① 关于正数a，b，我们把2ba+称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数，差不多不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

② 关于“=”的明白得应为若a b=，则2a bab+=且若2a bab+=，则a b=，也确实是说当a b≠时，2a bab+>③ 注意222a b ab+≥与2a bab+≥,a b R∈，后者是*,a b R∈。

考点二：差不多不等式的其他形式差不多不等式的四种形式① 222a b ab+≥；（,a b R∈）；② 222a b ab +≤（,a b R ∈）；③ 2a b ab +≥（*,a b R ∈）；④ 22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（,a b R ∈）。

【要点诠释】①②两种形式的前提是,a b R ∈，③④两种形式的前提是*,a b R ∈；四种形式等号成立的条件差不多上a b =。

考点三：利用差不多不等式证明不等式（1）注意均值不等式的前提条件；（2）通过加减项的方法配凑成使用算术平均数与几何平均数定理的形式； （3）注意“1”的代换；（4）灵活变换差不多不等式的形式并注意其变形式的运用。

如22(0)b a b a a +≥>；22(0)b b a a a≥-> （5）合理配组，反复应用不等式。

基本不等式的证明（学案）教学目标：（1）学会推导不等式2a bab +≤，理解不等式的几何意义。

（2）知道算术平均数、几何平均数的概念 （3）会用基本不等式求一些简单的最值问题 教学重点：基本不等式2a bab +≤的推导及应用。

教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。

教学过程：一、导入新课1、 如图所示，这时我国古代数学家赵爽的弦图。

在北京召开的24届国际数学家大会上作为会标。

探究：这会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 设小直角三角形的两条直角边为、a b ，正方形的面积1 = 。

四个直角三角形的面积和2= 。

1 与 2的大小关系： 思考：当a=b 时,1 与 2的大小关系：2、（动手实验思考）材料：准备好两张大小不一的正方形纸张,一张边长为a,另一张边长为b 二、新课学习1、重要不等式: 一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立 特别的,如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得2、基本不等式均值不等式）：2a bab +≤00a ,b >> 变形： ， 当且仅当 时,等号成立 其中2a b+叫做a,b 的算术平均数， ab 叫做a,b 的几何平均数基本不等式的文字语言：两个非负数的算数平均数不小于几何平均数 从数列角度，可以叙述：两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项 3、基本不等式的几何意义探究：如右图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点， AC=a,BC=b过点作点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 1）图中你能找到长度为2a b+ 与的线段吗？它们分别有什么几何意义呢？2）移动点C 在线段AB 上的位置，你有什么结论呢？半径不小于半弦 4、 两个公式的对比结论:一正二定三相等 三、实战演练的最小值求函数、已知例xx x f x 1)(,01+=>2)(112121)(0的最小值为时取等号即当且仅当解：x f x xx x x x x x f x ∴===•≥+=∴> 变式：的取值的最小值和此时，求函数已知x x x x f x 11)(1)1(-+=> 3)(21113111)1(2111111)(01,1的最小值为时，取到等号即当且仅当解x f y x x x x x x x x x x f x x =∴=-=-=+-•-≥+-+-=-+=>->构建“定”的最值求函数已知xx x f x 1)(,0)2(+=<2)(112121:的最小值是时，等号成立即当且仅当解x f y x xx xx x x =∴-===•≥+错因：正 正解：2-)(112)(2)(1)()(1)(1)(0,0有最大值为时取等号即当且仅当解：x f y x xx x f x x x x x x x f x x =∴-=-=--≤∴≥-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--=+=>-∴< 的取值的最小值和此时求函数已知x xx x f x 1)(,2)3(+=≥ 2)(2121)(2的最小值为解：x f y xx x x x f x =∴=•≥+=≥ 错因：相等正解：[)25)2()(,21)(,2==∴+∞+=≥f x f y xx x f x 的最小值为为单调递增函数在由对勾函数可得解改编：≥+>abb a ab 则若,0)1(练1、 1）、若0ab >，则a bb a+≥，求函数的最小值已知函数)2(23)()2(>-+=x x x x f例2（1）用篱笆围一个面积为100㎡的矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？（2） 探究：正实数,，若积是定值,x y _______xy =x y +长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？趣味数学故事:年轻聪明的王子想买商人手中的宝石，于是商人拿出一个制造不精确的天平（天平两臂的长度不相等），商人想出了一个自认为很公平的办法：先把宝石放在左托盘称出重量（a ），再把宝石放在右托盘称出重量（b ），最后取他们的平均数，王子会同意吗？ （四）小结思考题：（1）已知、都是正数，求证：（＋）（2＋2）（3＋3）≥８33的最大值，求设)1(10)2(x x y x -=<< 的最小值求函数23)()3(22++=x x x f。

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3．4.1 基本不等式的证明1．理解基本不等式的内容及证明．(重点)2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点）3．能用基本不等式求解简单的最大(小）值问题．(难点）［基础·初探］教材整理1 算术平均数与几何平均数阅读教材P96，完成下列问题．对于正数a,b,我们把错误!称为a，b的算术平均数,错误!称为a，b的几何平均数．若两个正数a，b的算术平均数为2,几何平均数为2，则a＝________，b＝________.【解析】由题意可知错误!∴错误!∴a＝2，b＝2。

【答案】 2 2教材整理2 基本不等式阅读教材P97～P98，完成下列问题．如果a，b是正数，那么错误!≤错误!（当且仅当a＝b时取“＝"），我们把不等式错误!≤错误!（a≥0，b≥0)称为基本不等式．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）对任意a，b∈R，都有a＋b≥2错误!成立．( )(2）不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2。

( ）【答案】（1)×（2)√［质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：__________________________________________________[小组合作型］用基本不等式证明不等式已知a,b，c（1)求证:a＋b＋c≥错误!＋错误!＋错误!；（2）求证:错误!＋错误!＋错误!≥a＋b＋c.【精彩点拨】（1）利用a＋b≥2ab,a＋c≥2ac，b＋c≥2错误!求证；(2）利用错误!＋b≥2错误!;错误!＋c≥2错误!；错误!＋a≥2错误!求证．【自主解答】(1）∵a>0,b>0，c>0,∴a＋b≥2错误!，a＋c≥2错误!，b＋c≥2错误!。