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天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
数学模型考试重点
【考点一】：P23 T9（4）
【考点二】：【P60—62 不允许缺货的存贮模型】【考点三】：P79 T4 【P68最优价格】
【考点四】：P173 T1 【P138 SIR模型】
【考点五】：【P296 regress命令】（波浪线处）
[ b , bint , r, rint , stats ] = regress (y , x , alpha )
【考点六】：P79 T2
【考点七】：【P85 LINDO命令】
（给出一个线性规划问题用LINDO格式写出）
【考点八】：【P103 LINGO命令】
（给出一个非线性规划问题用LINGO格式写出）
【考点九】：P226
给出一个正互反矩阵，判断矩阵的一致性是否在允许范围之内，即进行矩阵的一致性检验。
①利用和法算出最大特征值（P238）
②利用P288的（6）式算出CI
③利用P288的表2查出RI
④利用P229的（7）式判断CR是否小于0.1
【考点十】：【253 8.4节重点】
三人经商如何分配每人的收益
记住P254的（7）和（8）式
P270 T14
【考点十一】：P293 T2（第②问不管）【P273报童的诀窍】。
第4章 数学规划模型在上一章中我们看到，建立优化模型要确定优化的目标和寻求的决策。
用x 表示决策变量，)(x f 表示目标函数。
实际问题一般对决策变量x 的取值范围有限制，不妨记作x ∈Ω，Ω称为可行域。
优化问题的数学模型可表示为∈x x f Max Min ),()(或Ω在第3章x 通常是1维或2维变量，Ω通常是1维或2维的非负域。
实际中的优化问题通常有多个决策变量，用n 维向量T n x x x x ),,,(21 =表示，目标函数)(x f 是多元函数，可行域Ω比较复杂，常用一组不等式（也可以有等式）)(x g i ≤0 (i =1,2, …,m )来界定，称为约束条件。
一般地，这类模型可表述成如下形式=z Min x)(x f s.t.)(x g i ≤m i ,,2,1,0 =这里的s. t. (subject to)是“受约束于”的意思。
显然，上述模型属于多元函数的条件极值问题的范围，然而许多实际问题归结出的这种形式的优化模型，其决策变量个数n 和约束条件个数m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用微分法求解，数学规划是解决这类问题的有效方法。
需要指出的是，本章无意涉及数学规划（或运筹学）的具体计算方法，仍然着重于从数学建模的角度，介绍如何建立若干实际优化问题的模型，并且在用现成的数学软件求解后，对结果作一些分析。
4．1 奶制品的生产和销售企业内部的生产计划有各种不同的情况。
从空间层次来看，在工厂级要根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目标制订产品的生产计划，在车间级则要根据产品生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本为目标制订生产批量计划。
从时间层次看，若在短时间内认为外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计划，否则就要制订多阶段生产计划。
本节选择几个单阶段生产计划的实例，说明如何建立这类问题的数学规划模型，并利用软件求解的输出对结果作一些分析。
第四版姜启源数学模型复习总结（2015年春）【内容总结与思考】第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。
1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（）。
1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（）A。
数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。
B。
数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。
C。
数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。
D。
数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。
1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（）A。
数学模型和数学建模是完全相同的概念。
B。
数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。
C。
数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。
D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
第四版姜启源数学模型复习总结（2015年春）【内容总结与思考】第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。
建模的一般方法及其在建模中的应用。
建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。
建模的全过程（框图）4个环节的含义。
模型的特点（技艺性）。
模型分类（表现特征），建模中的能力培养。
数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。
模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。
抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。
数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。
1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（）。
1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（）A。
数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。
B。
数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。
C。
数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。
D。
数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。
1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（）A。
数学模型和数学建模是完全相同的概念。
B。
数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。
C。
数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。
D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。
§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了;数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。
例1-2-1 数学建模的具体应用为（）。
§3实例1：椅子问题：实际问题转换为数学问题的方法：位置用角度，放平问题转化为连续函数的零点问题（连续函数的零点定理）矩形椅子问题：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。
设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。
（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。
（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<， 即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。
因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。
例1-3-1 椅子放稳问题中椅子的位置是用用（ ）来表示的，最后问题归结为（ ）。
例1-3-2 连续的零点定理可叙述为（ ） 1-4 实例2-商人过河问题：属于多步决策问题，即动态规划问题。
多步决策问题（确定多步的决策改变系统的状态）的三要素：状态，决策，状态转移方程（状态在决策下的转移律）。
例1-4-1商人过河问题属于（ ），该类问题三要素为（ ），在商人过河问题中，这三要素分别是（ ） 1-5实例3-施救问题。
药物排除过程-指数衰减方程：0,(0)dx x x x dtλ=-=，分离变量，积分得到，解0()t x t x e λ-=。
吸收-排除过程的方程：,(0)0dy x y y dtλμ=-=。
求解过程：凑微分（完全积分法）()00,()t t t dy d y x e e y x e dt dt λμμλμ--+== 积分得到()0(t)y(0)[1]t t x e y e μμλμλ--=--，因此 00()(0)[][]t t t t t x x y t e y e e e e μλμλμμλμλ-----=+-=--- 半衰期确定衰减系数：***00()/2,ln 2/t x t x e x t λλ-===例1-6-1 药物施救问题的微分方程模型为（ ）， 其解为（ ）例1-6-2§7 建模方法与步骤基本方法：机理分析与测试分析（统计分析）机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律测试分析（统计分析）：将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。
在建模中的应用：用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数。
能将道理讲道理，讲不清道理讲数据。
建模步骤：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。
模型准备：了解实际背景，明确建模目的，搜索相关信息，把握对象特征，形成一个较为“清晰”的问题。
模型假设：分析影响因素，分析设置变量，假设变量之间的关系，要在合理（保真）和简化（可行）之间折中，是数学建模艺术之所在。
模型构成：用数学语言，符号描述问题（特有规律的数学表示）。
尽量采用简单的数学工具。
模型求解：数学方法，软件和计算机求解析解，近似解或数值解。
模型分析：对结果进行误差分析，统计分析，敏感性分析，对算法和数据进行稳定性分析，对模型进行稳健性分析。
模型检验：与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性。
模型应用：把数学模型的结果翻译回原问题，解决实际问题。
建模的全过程（四个环节，两个世界，双向翻译）掌握框图：四个环节：表述（Formulation)-根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题求解（Solution)- 选择适当的数学方法求得数学模型的解答.解释（Interpretation)- 将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.验证（Verification)-用现实对象的信息检验得到的解答. §8 数学模型的特点与分类特点：逼真性与可行性（建模的两个重要方面，要折中兼顾，反映建模艺术）；渐进性-渐进不断改进的迭代过程；强健性（稳健性）-模型对假设条件的敏感性；可转移性-模型结构可借鉴可移植（数学建模ABC ）；模型的技艺性（与其说是一门技术，不如说是一门艺术）；模型的局限性（认识，手段）。
分类：应用领域，方法，表现形态，建模目的，了解程度。
表现形态分为：确定还是随机，静态还是动态，离散还是连续，线性还是非线性。
了解程度分为：白箱，灰箱，黑箱。
§6。
建模能力培养：想象力，洞察力，判断力。
类比和悟性，实践性。
【典型例题分析】习题 4,5,6,7,8习题4对矩形椅子问题构造模型并求解解：（1）用θ表示椅子对角线AC 与x 轴的夹角，因为假设地面是连续曲面，椅子各点到地面的距离是θ的连续函数。
设相邻的,A B 两点到地面的的距离之和为()f θ，,C D 两点到地面的距离之和为()g θ，令()()()h f g θθθ=-，则()h θ是θ的连续函数。
（2）因为假设地面是相对平坦的，在任一位置至少三只脚着地，不妨设0θ=时，(0)0,g(0)0f >=，(0)(0)(0)0h f g =->。
（3）将椅子旋转π，则,A B 旋转到原来,C D 的位置，,C D 旋转到,A B 的位置，即AB 与CD 的位置互换，因此有()(0)0,()f(0)0f g g ππ===>，因此()()()g(0)f(0)0h f g πππ=-=-<，即连续函数()h θ在[0,]π两端点异号，由连续函数的介值定理（零点定理），知存在一点*θ使*()0h θ=,即**()()f g θθ=。
因为**(),()f g θθ至少有一个为零，因此**()()0f g θθ==，即*θ对应的位置就是椅子能放稳的位置。
6.利用1.5节药物中毒施救模型确定孩子（血液总量为2000ml)及成人（血液总量为4000ml ）服用氨茶碱能引起严重中毒和致命的最小剂量。
提示：设初始剂量为x0,求解方程得到血液中的药物量)t (y ，即把)t (y 表示成0x 的函数。
求)t (y 的最大值m ax y ，它是0x 的函数。
根据中毒和致命的血药浓度可分别求出对应的血液药物量的上限，由此求出对应的0x ，即为最小剂量。
7.对于1.5节的模型，如果采用是体外血液透析的办法，求解药物中毒施救模型的血药浓度的变化并作图。
提示：由原模型求出2t ≤时的)t (y ，对于2t ≥，透析使μ变为μ6，)2(y 作为初始条件，求解2t ),t (y >，应用plot 作图。
例1 考虑药物中毒施救问题，肠胃道药物量()x t 和血液系统药物量()y t 满足0)0(,,)0(,0=μ-λ==λ-=y y x dtdy x x x dt dx（a ）求解微分方程初值问题的解(),()x t y t ，写出详细步骤； （b ）取2λμ=，求()y t 的最大值与0x 之间的关系。
解：（a ）t e x t x λ-=0)(，t e x y dt dy λ-λ=μ+0，t t e x y e dt d )(0)(λ-μμλ=，积分得到)1()()(0-λ-μλ=λ-μμt t e x t y e ，)()(0t t e e x t y μ-λ--μ-λλ-= （b ）当μ=λ2时，)1(2)(2)(020t t t t e e x e e x t y μ-μ-μ-μ--=-=其最大值为2/0m ax x y =，其时间为μ=/2ln *t 。
【拓展综合实验项目】1。
应用MATLAB 求解施救问题，图形显示不施救，口服活性炭和血液透析各种情况下的药物变化情况。
研究不同初始条件下的浓度变化情况。
2. 对于“小狗奔跑”问题，对于不同的初始条件，编程计算小狗最终的位置，用数值结果说明小狗最后的位置是不定的，在任何位置都是可能的。
该问题说明这是一个“混沌系统”，小狗的初始位置有各种各样的假设都是合理的，但初始条件的微小差异将导致其最终位置的非常大的变化。
