(完整版)数学模型第四版课后答案姜启源版

姜启源版《数学模型》第四章习题第7题一、问题重述某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。

从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。

为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。

此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。

2、假设每次切割都准确无误。

3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。

5、假设钢管余料价值为0。

6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。

四、模型建立根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数:4min M X i 1 0.1ii 1需求量的约束:每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750)极限情况下，根数的范围:D j le n jj 11850 一根原料钢管最多生产5根产品：4r j5,i 1,2,3,4j 1钢管根数和切割方法都为非负整数：r ijZ ,x iZ五、模型求解model :!数学模型132页题7; sets :!定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材；qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求；cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd;!定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ；lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets!目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用；min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少；@for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)：约束条件如下:x-i x 2 x 3x 4(4.1 )D j ，j 1,2,3, 4(4.2 )41750r ij le n j j 11850,i 123,4(4.3)D j1850 len j(4.4)@sum(qiegemoshi(i):r(i,j)*x(i))>=demand(j));! 整数约束;@for (qiegemoshi(i): @gin (x(i)));@for (links(i,j): @gin (r(i,j)));! 每一种切法不能超过限制1850 ，余料不超过100( 即产品加起来不小于@for1750 ) (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))>=1750);@for (qiegemoshi(i): @sum(changdu(j):r(i,j)*len(j))<=1850);! 极限情况下，最多22 根，最少19 根; @sum(qiegemoshi:x)>=19;@sum(qiegemoshi:x)<=22;! 一根原料钢管小于5 根产品; @for (qiegemoshi(i):@sum(changdu(j):r(i,j))<=5);data : demand=15 28 21 30; len=290 315 350 455;enddataend在lingo11 中运行，得到如下结果：Local optimal solution found.Objective value: 21.50000Objective bound: 21.50000Infeasibilities: 0.000000Extended solver steps: 155Total solver iterations: 20017Variable Value Reduced CostX( M1) 14.00000 -0.1000000X( M2) 4.000000 0.000000X( M3) 1.000000 0.1000000X( M4) 0.000000 0.2000000LEN( CD1) 290.0000 0.000000LEN( CD2) 315.0000 0.000000LEN( CD3) 350.0000 0.000000LEN( CD4) 455.0000 0.000000DEMAND( CD1) 15.00000 0.000000DEMAND( CD2) 28.00000 0.000000DEMAND( CD3) 21.00000 0.000000DEMAND( CD4) 30.00000 0.000000QIEFA( M1, CD1) 1.000000 0.000000QIEFA( M1, CD2) 2.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD3) 0.000000 0.000000 QIEFA( M1, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD1) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD3) 5.000000 0.000000 QIEFA( M2, CD4) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD1) 2.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD3) 1.000000 0.000000 QIEFA( M3, CD4) 2.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD1) 1.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD2) 0.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD3) 3.000000 0.000000 QIEFA( M4, CD4) 1.000000 0.000000。

第一部分 练习与思考题第1章 建立数学模型1.1 在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？（稳定的椅子问题见姜启源《数学模型》第6页）1.2 在商人们安全过河问题中，若商人和随从各四人，怎样才能安全过河呢？一般地，有n 名商人带n 名随从过河，船每次能渡k 人过河，试讨论商人们能安全过河时，n 与k 应满足什么关系。

（商人们安全过河问题见姜启源《数学模型》第7页）1.3 人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米。

问人、狗、鸡、米怎样过河？1.4 有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他的男子在一起。

问怎样过河？1.5 如果银行存款年利率为5.5%，问如果要求到2010年本利积累为100000元，那么在1990年应在银行存入多少元？而到2000年的本利积累为多少元？1.6 某城市的Logistic 模型为2610251251N N dt dN ⨯-=，如果不考虑该市的流动人口的影响以及非正常死亡。

设该市1990年人口总数为8000000人，试求该市在未来的人口总数。

当∞→t 时发生什么情况。

1.7 假设人口增长服从这样规律：时刻t 的人口为)(t x ，最大允许人口为m x ，t 到t t ∆+时间内人口数量与)(t x x m -成正比。

试建立模型并求解，作出解的图形并与指数增长模型和阻滞增长模型的结果进行比较。

1.8 一昼夜有多少时刻互换长短针后仍表示一个时间？如何求出这些时间？1.9 你在十层楼上欲乘电梯下楼，如果你想知道需要等待的时间，请问你需要有哪些信息？如果你不愿久等，则需要爬上或爬下几个楼层？1.10 居民的用水来自一个由远处水库供水的水塔，水库的水来自降雨和流入的河流。

水库的水可以通过河床的渗透和水面的蒸发流失。

如果要你建立一个数学模型来预测任何时刻水塔的水位，你需要哪些信息？第2章 初等模型2.1 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。

对于6。

4节蛛网模型讨论下列问题：（1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数量1+k x 和k x 决定。

如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并与6.4的结果进行比较。

（2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。

解:（1)设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为：)2(11k k k x x f y +=++ 则 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ,k=1，2，….该方程的特征方程为022=++αβαβλλ与6.4节中 )2(11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0〈αβ〈2, 即为0p 点的稳定条件。

（2）设 )2(11k k k x x f y +=++ )2(11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2(0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2(0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y ，得到0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为02423=+++αβαβλαβλλ令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ：syms x asolve(4*x^3+a*x^2+2＊a*x+a==0,x)解得 1x = （36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（-a^2＊（a — 27））^（1/2)）^（1/3）/12 — a/12 + (a*(a — 24))/（12＊（36*a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2)＊(-a^2＊（a — 27）)^（1/2))^(1/3）)；2x = -（2＊a*(36*a^2 - 216＊a — a^3 + 24＊3^（1/2）＊（—a^2＊(a - 27））^（1/2）)^（1/3） — 3^（1/2)*a*24＊i — 3^（1/2）*（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24＊3^(1/2）＊(—a^2*(a — 27））^(1/2))^(2/3）*i - 24＊a + 3^(1/2)＊a^2*i+ (36*a^2 - 216＊a - a^3 + 24＊3^（1/2）*(-a^2＊（a — 27）)^（1/2）)^（2/3) + a^2)/（24*(36*a^2 — 216*a - a^3 + 24＊3^(1/2)＊（-a^2*（a — 27））^（1/2）)^（1/3））；3x =—（2＊a*（36*a^2 - 216*a — a^3 + 24＊3^（1/2)*(-a^2*（a - 27))^（1/2))^(1/3) + 3^(1/2)＊a ＊24*i + 3^（1/2）*(36＊a^2 - 216＊a — a^3 + 24*3^(1/2）＊(-a^2*(a - 27））^（1/2))^(2/3)*i — 24＊a - 3^（1/2)＊a^2＊i + (36＊a^2 - 216＊a - a^3 + 24*3^(1/2）*(-a^2＊（a - 27))^(1/2))^（2/3) + a^2）/（24＊（36＊a^2 — 216＊a — a^3 + 24*3^（1/2）*（—a^2*(a -27）)^(1/2）)^(1/3））；其中1x 为实根，2x 与3x 为一对共轭虚根。

数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。

安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。

以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。

允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。

模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。

把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。

如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。

二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。

数学模型作业六道题作业一1.P56.8一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。

解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式：M=ρV。

我们假定鱼池中是同一种鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成正比。

即：V=k 1L 3，因此，模型为：……………………………模型一33111M V k l K L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 1，如下图1所示：图1从图1结果可以得到参数K 1=0.014591，所以模型为：31M 0.014591 L =上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

因此，有必要改进模型。

如果只假定鱼的横截面是相似的，假设横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，即：V=k 2d 2L ，因此，模型为：身长/cm 36.831.843.836.832.145.135.932.1质量/g 76548211627374821389652454胸围/cm24.821.327.924.821.631.822.921.6t h i ng sin………………………………模型二22222M V k d K d L L ρρ===利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数K 2，如下图2所示：图2从图2可以得到参数K 2=0. 032248，所以模型为：22M 0.032248d L=将实际数据与模型结果比较如表1所示：表1实际数据M 76548211627374821389652454模型一M 1727.165469.2141226.061727.165482.6291338.502675.108482.619模型二M 2729.877465.2481099.465729.877482.9601470.719607.106483.9602.P131.2 一家出版社准备在某市建立两个销售代理点，向7个区的大学生售书，每个区的大学生数量（单位：千人）已经表示在图上。

数学模型作业六道题 作业一1. P56.8 —垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量 给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计 鱼的重量的方法。

假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 解：要求鱼的体重，我们利用质量计算公式： M=p V 。

我们假定鱼池中是同一种 鱼，于是可以近似地考虑其密度是相同的。

至于鱼的体积问题，由于是同一种 类，可以假定这种鱼在体型上是一致的。

我们假设鱼的体积和鱼身长的立方成 正比。

即：V=k i L 3，因此，模型为:利用Eviews 软件，用最小二乘法估计模型中的参数 K i ，如下图1所示:□ Equition: UNKTLED Workfile; 123::31\*1 諭][Pror][口bject] [Print][Mame|[Frea«]旦tinatdForecast]甌:Dependent Variable: Y Method: I east SquaresDate-05/11/13 Trne;16;16Samplv; 1 8Included ob5e[v<itcins;8Coefficient Std Errort-StatisticProb.X0.014591 0.0C0232 62.9T 072 O.QOOOR-squanedAd listed R-squared S-E. of rearession Sum squared residLog IlkfilihODd DurtJin-Wats^n stat0.988135 0.988135 37r 22294 9698.B32 -39.75279 2.076976Mean dependert var S.D. dependentvar Akaike info criteionSchwarz criterion Hannan-Quinn triter765.3750 341.7258 10.18820 101S313 10.12122图1从图1结果可以得到参数K=0.014591，所以模型为:上述模型存在缺陷，因为它把肥鱼和瘦鱼同等看待。

2021-11第4版姜启源数学模型复习总结(1) 第四版姜启源数学模型复习总结第1章：了解模型的概念与分类，熟练掌握数学模型的定义，数学模型的重要应用，建模的重要例子-指数模型,Logist模型。

建模的一般方法及其在建模中的应用。

建模的一般步骤（每步的主要内容与问题）。

建模的全过程（框图）4个环节的含义。

模型的特点（技艺性）。

模型分类（表现特征），建模中的能力培养。

数学建模实例的建模思想及其步骤§1 数学模型的概念：模型：模型是为了一定目的，对客观事物的一部分信息进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物。

模型的分类：具体模型（或物质模型，实的），包括直观模型，物理模型。

抽象模型（或理想模型，虚的），包括思维模型，符号模型，数学模型。

数学模型：对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

1-1-1 模型是为了特定的目的，将原型的（）而得到的原型替代物。

1-1-2数学模型可以描述为：对于一个现实对象，（）。

1-1-3 关于数学模型的如下论述中正确的是（） A。

数学模型是以现实世界的特定问题为研究对象。

B。

数学模型只是对实际问题的近似表示，其中包含一些简化假设。

C。

数学模型表示是某一特定问题的内在规律的数学表示，是以方程和函数关系表示的数学结构。

D。

数学模型是现实问题的真实的描述，不能做任何假设和简化。

1-1-4 关于数学建模的如下论述中正确的是（） A。

数学模型和数学建模是完全相同的概念。

B。

数学建模是一个全过程，包括表述、求解、解释和验证四个环节。

C。

数学建模全过程涉及两个世界是现实世界和虚拟世界，涉及的“双向翻译”是同声翻译和文献翻译。

D.数学建模过程是一个从理论-实践-再理论-再实践不断改进的过程。

§2 建模的重要意义（1）数学以空前的广度和深度向一切领域渗透在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具了; 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地. 数学建模的具体应用：分析与设计，预测与决策，优化与控制，规划与管理。