北京市西城区2017届高三二模数学(文)试题【含答案】

2017西城区高三（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|1＜x＜2}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|﹣1＜x＜2}2．（5分）下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．（5分）已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B．x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．（5分）实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4]B．（﹣∞，7]C．[﹣，4]D．[﹣，7]6．（5分）设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2 B．14+4 C．26 D．12+28．（5分）8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）复数等于．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是．11．（5分）已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=．12．（5分）函数y=的定义域是；最小值是．13．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．14．（5分）设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f[f（9）]=；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．19．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．2．【解答】A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D3．【解答】模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．4．【解答】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．5．【解答】根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A6．【解答】若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C7．【解答】由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．8．【解答】每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】复数===i．故答案为：i．10．【解答】由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．11．【解答】∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．12．【解答】要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是4．故答案为：（0，+∞），413．【解答】△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．14．【解答】①当a=3时，f（9）=log39=2，∴f（2）=，∴f[f（9）]=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是[4，9）故答案为：，[4，9）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解答】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=3，a3+a6=11，∴a1+d=3，2a1+7d=11，解得a1=2，d=1．所以数列{a n}的通项公式为a n=2+（n﹣1）=n+1．（Ⅱ）b n=a n+=n+1+，∴S n=[2+3+…+（n+1）]+=+=﹣．16．【解答】（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．17．【解答】（Ⅰ）根据题意，=120+=123（h），=120+，又由题意，=，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．18．【解答】（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…（3分）所以AB⊥PD…（4分）（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…（5分）因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）19．【解答】（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．[（2分）]将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．[（4分）]∴椭圆C的方程是．[（5分）]（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．[（6分）]直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），[（7分）]令y=0，得x=，[（8分）]∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），[（9分）]令y=0，得x=，[（10分）]∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4[（12分）]∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．[（14分）]20．【解答】（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且f′（x）=3x2+2ax+b．[（1分）]当a=0时，f′（x）=3x2+b；（ⅰ）①当b≥0时，显然f（x）在R上单调递增，无极值点．[（2分）]②当b＜0时，令f′（x）=0，解得：x=±．[（3分）]f（x ）和f′（x）的变化情况如下表：（﹣∞，﹣）﹣（﹣，）（，+∞）所以，x=﹣是f（x）的极大值点；x=是f（x）的极小值点．[（5分）]（ⅱ）若x=x0是f（x）的极值点，则有3+b=0；若x=x0是f（x）的不动点，则有+bx0+3=x0，从上述两式中消去b，整理得：2+x0﹣3=0．[（6分）]设g（x）=2x3+x﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以b=﹣3=﹣3．[（8分）]（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．[（9分）]假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．[（11分）]所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．[（13分）]。

2017西城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．（5分）双曲线的一个焦点坐标为（）A．B．C．（2，0） D．（0，2）2．（5分）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）A．2 B． C．D．3．（5分）给出下列判断，其中正确的是（）A．三点唯一确定一个平面B．一条直线和一个点唯一确定一个平面C．两条平行线与同一条直线相交，三条直线在同一平面内D．空间两两相交的三条直线在同一平面内4．（5分）“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）设m∈R，命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）A．若方程x2=m有实根，则m≥0 B．若方程x2=m有实根，则m＜0C．若方程x2=m没有实根，则m≥0 D．若方程x2=m没有实根，则m＜06．（5分）下列直线中，与直线2x+y+1=0平行且与圆x2+y2=5相切的是（）A．2x+y+5=0 B．x﹣2y+5=0 C．D．7．（5分）F是抛物线y2=4x的焦点，P为抛物线上一点．若|PF|=3，则点P的纵坐标为（）A．±3 B． C．±2 D．±18．（5分）如图，E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，给出下列结论：①侧面PBC可以是正三角形；②侧面PBC可以是直角三角形；③侧面PAB上存在直线与CE平行；④侧面PAB上存在直线与CE垂直．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②③B．①③④C．②④D．①④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．（5分）命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．10．（5分）如果直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，那么a等于．11．（5分）双曲线x2﹣=1的离心率是，渐近线方程是．12．（5分）一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为．13．（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=DC=CB=1，，对角线．将△ACD沿AC所在直线翻折，当AD⊥BC时，线段BD的长度为．14．（5分）学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程．你需要测量的数据是（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）证明：BD⊥CE．16．（13分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．17．（13分）如图，在平面ABCD中，AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，△ADE是等边三角形，AD=DC=2AB=2，F，G分别为AD，DE的中点．（Ⅰ）求证：EF⊥平面ABCD；（Ⅱ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅲ）判断直线AG与平面BCE的位置关系，并加以证明．18．（13分）过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE ：S△OCE=1：3，求直线l的方程．19．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠BAC=90°，AB=AC=2，．M，N分别为BC和AA1的中点，P为侧棱BB1上的动点．（Ⅰ）求证：平面APM⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）若P为线段BB1的中点，求证：CN∥平面AMP；（Ⅲ）试判断直线BC1与PA能否垂直．若能垂直，求出PB的值；若不能垂直，请说明理由．20．（14分）已知抛物线y2=2x，两点M（1，0），N（3，0）．（Ⅰ）求点M到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M的直线l交抛物线于两点A，B，若抛物线上存在一点R，使得A，B，N，R四点构成平行四边形，求直线l的斜率．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．【解答】由双曲线得a2=3，b2=1，则c2=a2+b2=4，则c=2，故双曲线的一个焦点坐标为（2，0），故选：C2．【解答】由题意可知：椭圆的长轴长是焦距的2倍，即2a=2×2c，即a=2c，由椭圆的离心率e==，∴椭圆的离心率e=，故选D．3．【解答】在A中，不共线的三点唯一确定一个平面，故A错误；在B中，一条直线和直线外一个点唯一确定一个平面，故B错误；在C中，两条平行线与同一条直线相交，由由公理三及推论得三条直线在同一平面内，故C正确；在D中，空间两两相交的三条直线在同一平面内或在三个不同的平面内，故D错误．故选：C．4．【解答】若“mn＜0”，则m、n均不为0，方程mx2+ny2=1，可化为+=1，若“mn＜0”，、异号，方程+=1中，两个分母异号，则其表示双曲线，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充分条件；反之，若mx2+ny2=1表示双曲线，则其方程可化为+=1，此时有、异号，则必有mn＜0，故“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的必要条件；综合可得：“mn＜0”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的充要条件；故选C．5．【解答】命题“若m≥0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是命题“若方程x2=m没有实根，则m＜0”，故选：D6．【解答】设直线方程为2x+y+c=0，圆心到直线的距离d==，∴c=±5，故选A．7．【解答】抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线l为x=﹣1，设抛物线的点P（m，n），则由抛物线的定义，可得|PF|=d（d为P到准线的距离），即有m+1=3，解得，m=2，∴n2=8，解得n=±2故选：B8．【解答】由E为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点，知：在①中，当侧棱PB与底面边长相等时，侧面PBC是正三角形，故①正确；在②中，∵正四棱锥P﹣ABCD中PB=PC=PA=PD，∴当侧面PBC是直角三角形时，∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°，∵∠BPC=∠CPD=∠DPA=∠APB=90°不成立，故侧面PBC不可以是直角三角形，故②错误；在③中，若侧面PAB上存在直线与CE平行，则E与D点一定重合，与已知为正四棱锥P﹣ABCD侧棱PD上异于P，D的一点矛盾，故侧面PAB上不存在直线与CE平行，故③错误；在④中，侧面PAB上一定存在直线与CE垂直，故④正确．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．【解答】因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．10．【解答】∵直线ax+2y﹣3=0与2x﹣y=0垂直，∴2a+2×（﹣1）=0，解得a=1．故答案为：1．11．【解答】双曲线x2﹣=1中，a=1，b=，c=2，∴e==2，渐近线方程是y=±x．故答案为：2，y=．12．【解答】由三视图可得：该几何体的两个侧面都为边长为2的正方形，底面是等腰直角三角形，直三棱柱的高为2．∴该三棱柱的体积==4．故答案为：4．13．【解答】∵AD⊥BC，又∵在△ABC中，AC=，BC=1，AB=，∴AC2+BC2=AB2，可得：AC⊥BC，AD∩AC=A，∴BC⊥平面ADC，又∵BD⊂平面BCD，∴BC⊥CD，∵CD=BC=1，∴BD===．故答案为：．14．【解答】碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；设方程为y2=2px（p＞0），则将点（a，m），（a+h，n）代入抛物线方程可得m2=2pa，n2=2p（a+h），可得2p=，∴抛物线方程为y2=x．故答案为碗底的直径2m，碗口的直径2n，碗的高度h；y2=x．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点．又因为E是PA的中点，所以PC∥OE，…（3分）因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．…（6分）（Ⅱ）因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC．…（8分）因为PA⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，所以PA⊥BD．…（10分）又因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC，…（12分）又CE⊂平面PAC，所以BD⊥CE．…（13分）16．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）17．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为F为等边△ADE的边AD的中点，所以EF⊥AD．…（2分）因为AB⊥平面ADE，AB⊂平面ABCD，所以平面ADE⊥平面ABCD．…（4分）所以EF⊥平面ABCD．…（5分）解：（Ⅱ）因为AB⊥平面ADE，CD⊥平面ADE，所以AB∥CD，∠ADC=90°，四边形ABCD是直角梯形，…（7分）又AD=DC=2AB=2，所以，…（8分）又．所以．…（9分）（Ⅲ）结论：直线AG∥平面BCE．证明：取CE的中点H，连结GH，BH，因为G是DE的中点，所以GH∥DC，且GH=．…（11分）所以GH∥AB，且GH=AB=1，所以四边形ABHG为平行四边形，AG∥BH，…（12分）又AG⊄平面BCE，BH⊂平面BCE．所以AG∥平面BCE．…（13分）18．【解答】（Ⅰ）由已知，c=1，F（1，0），直线l的方程为y=2x﹣2．…（1分）设C（x1，y1），D（x2，y2），联立，消y得9x2﹣16x+6=0，…（3分）由韦达定理可知：，，…（4分）∴…（5分）=．∴|CD|=；…（6分）（Ⅱ）依题意，设直线l的斜率为k（k≠0），则直线l的方程为y=k（x﹣1），联立，消y得（1+2k2）x2﹣4k2x+（2k2﹣2）=0，…（7分）由韦达定理可知：…①，…②…（8分）∵S△ODE ：S△OCE=1：3，∴|DE|：|CE|=1：3，，∴2﹣x1=3（2﹣x2），整理得3x2﹣x1=4…③…（10分）由①③得，，…（11分）代入②，解得k=±1，…（12分）∴直线l的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1．…（13分）19．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，M为BC中点，且AB=AC，所以AM⊥BC．…（1分）又因为BB1∥AA1，且AA1⊥底面ABC，所以BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AM，…（3分）所以AM⊥平面BB1C1C．所以平面AMP⊥平面BB1C1C．…（5分）（Ⅱ）连结BN，交AP于Q，连结MQ，NP．因为N，P分别为AA1，BB1中点，所以AN∥BP，且AN=BP．所以四边形ANPB为平行四边形，…（7分）Q为BN中点，所以MQ为△CBN的中位线，所以CN∥MQ．…（8分）又CN⊄平面AMP，MQ⊂平面AMP，所以CN∥平面AMP．…（9分）解：（Ⅲ）假设直线BC1与直线PA能够垂直，又因为AM⊥BC1，所以BC1⊥平面APM，所以BC1⊥PM．…（10分）设PB=x，．当BC1⊥PM时，∠BPM=∠B1C1B，所以Rt△PBM∽Rt△B1C1B，所以．…（12分）因为，所以，解得．…（13分）因此直线BC1与直线PA不可能垂直．…（14分）20．【解答】（Ⅰ）由已知，抛物线y2=2x的准线方程为．所以，点M到抛物线准线的距离为．（Ⅱ）设直线l：y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），由得k2x2﹣（2k2+2）x+k2=0，所以，x1x2=1．①N，R在直线AB异侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AB，NR互相平分．所以，x1+x2=x R+x N，y1+y2=y R+y N，所以，，.．将（x R，y R）代入抛物线方程，得，即，解得k=0，不符合题意．②若N，R在直线AB同侧，A，B，N，R四点构成平行四边形，则AR，BN互相平分．所以，x1+x R=x2+x N，y1+y R=y2+y N，所以，x R=x2﹣x1+3，y R=y2﹣y1．代入抛物线方程，得，又，，所以，注意到，解得，y1=±1．当y1=1时，，k=﹣2；当y1=﹣1时，，k=2．所以k=±2．。

北京市西城区2017届高三二模数学试题（文）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B =（ ） （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是（ ） （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是（ ） （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（ ） （A ）1±（B ）2±（C ）4±（D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（ ）（A）（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）（A ）43 （B ）2 （C ）83（D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞（B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____． 10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c = . 12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．B 餐厅分数频数分布表设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值；（Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ．18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥；（Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．参考答案一、选择题 1．A2．A 3．D4．C5．D6．B7．A8．D二、填空题 9．12i +10．711．2 12．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42三、解答题15．解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+．所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① 因为β是锐角，所以ππ3π444β<+<，所以πsin()04β+>， ①式化简为π1cos()42β+=． 所以 ππ43β+=，所以π12β=．16．解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=， 所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12,M M ； 对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123,,N N N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(,)M M ，11(,)M N ，12(,)M N ，13(,)M N ，21(,)M N ，22(,)M N ，23(,)M N ，12(,)N N ，13(,)N N ，23(,)N N ，共10种．其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(,)M N ，12(,)M N ，13(,)M N ，21(,)M N ，22(,)M N ，23(,)M N ，共6种．故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==． （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看： 由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20，所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%．B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%． 所以会选择B 餐厅用餐．17．解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列， 所以 21n a n =-．因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列， 所以1n n b q-=．所以121n n n n c a b n q -=+=-+．因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列． （Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．当1q =时，2n S n n =+．当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．18．解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥ 又因为CD EA ⊥，所以CD ⊥平面EAD ．所以ED CD ⊥． （Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，所以//AD 平面FBC ． 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下： 连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．所以AD DM ⊥． 因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥． 在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点．所以12FM FC =．19．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x xx '=-+-．当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下： 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)xx -+=-，整理得2540x x -+=，解得1x =，或4x =． 所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x x x '=-+-． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意． ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <． 由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ． 2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----．因为1202x x <<<，且0a >，所以21022a ax x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．20．解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的半焦距为c ．因为椭圆C ，所以2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =． 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22142xy +=． （Ⅱ）将y m =+代入22142x y+=， 消去y 整理得2220x m +-=． 令2224(2)0m m∆=-->，解得22m -<<．设1122(,),(,)A x yB x y．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB=点P 到直线0x=的距离为d ==．所以PAB △的面积12S AB d =⋅||m == 当且仅当m =S 所以PAB △（Ⅲ）||||PM PN=．证明如下：设直线PA，PB的斜率分别是1k，2k，则12k k+=．由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x-+-12211)(1)(m x x m x=+-++--1212(2)()1)x m x x m+-+--22)(2)()1)m m m-+---0=，所以直线PA，PB的倾斜角互补．所以12∠=∠，所以PMN PNM∠=∠．所以||||PM PN=．。

2020年北京市西城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1. 设全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，则集合（U A）∪B＝（）A. （﹣∞，2）B. [2，+∞）C. （1，2）D. （﹣∞，1）∪[2，+∞）【参考答案】D【试题解析】先求出U A，再求（U A）∪B得解【试题解答】U＝R，A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＜1}，∴U A＝{x|x≥2}，（U A）∪B＝（﹣∞，1）∪[2，+∞）.故选：D本题主要考查集合的补集和并集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2. 设复数z＝1+i，则z2＝（）A. ﹣2iB. 2iC. 2﹣2iD. 2+2i 【参考答案】A【试题解析】由z求得z，再利用复数的乘方运算求解即可.【试题解答】∵z＝1+i，∴2z＝（1﹣i）22=+-12i i＝﹣2i.故选：A.本题主要考查共轭复数的定义，考查了复数出乘方运算，属于基础题.3. 焦点在x轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是（）A. x2＝4yB. y2＝4xC. x2＝8yD. y2＝8x【参考答案】D 【试题解析】根据题意，设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>，结合抛物线的几何性质可得p 的值，代入抛物线的标准方程即可得答案.【试题解答】根据题意，要求抛物线的焦点在x 轴的正半轴上， 设其标准方程为22(0)y px p =>， 又由焦点到准线的距离为4，即p ＝4， 故要求抛物线的标准方程为y 2＝8x ， 故选：D.本题考查抛物线标准方程的求解，属于基础题 4. 在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，π6A =，则cosB =（ ） A.34B.4C.4D.4【参考答案】C 【试题解析】由题意可用正弦定理先求出sin B ，再由三角函数中的平方关系及B 角的范围，求出cos B ，进而得到答案. 【试题解答】在锐角ABC ∆中，若2a =，3b =，6A π=，∴由正弦定理sin sin a b A B =，可得13sin 32sin 24b A B a ⨯⋅===，∴由B为锐角，可得cos B = 故选：C本题主要考查正弦定理及三角函数中平方关系的应用，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.5. 函数f (x )＝x 1x-是（ ） A. 奇函数，且值域为（0，+∞） B. 奇函数，且值域为RC. 偶函数，且值域为（0，+∞）D. 偶函数，且值域为R 【参考答案】B 【试题解析】由奇偶性定义，求出函数f (x )为奇函数，再求出函数的导数，分析其单调性可得在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；作出函数的草图，分析其值域，即可得答案.【试题解答】根据题意，函数f (x )＝x 1x-，其定义域为{x |x ≠0}，有f （﹣x ）＝（﹣x ）﹣（1x -）＝﹣（x 1x-）＝﹣f (x )，即函数f (x )为奇函数， 其导数f ′(x )＝121x+，在区间（﹣∞，0）和（0，+∞）上都是增函数，且f （1）＝f （﹣1）＝0；其图象大致如图：其值域为R ； 故选：B.本题考查函数奇偶性的判断，值域的求解，属于基础题 6. 圆x 2+y 2+4x ﹣2y +1＝0截x 轴所得弦的长度等于（ ）A 2B. C. D. 4【参考答案】B 【试题解析】首先令y ＝0，整理得两根和与两根积，进一步求出弦长. 【试题解答】令y ＝0，可得x 2+4x +1＝0， 所以124x x +=-，121=x x ，所以12|AB x x =-==故选：B本题考查的是圆中弦长的求法，较简单. 7. 设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，则（ ） A. a b b c ->- B.111a b c<< C. 2a b c +> D. 以上三个选项都不对【参考答案】C 【试题解析】直接利用不等式的性质，结合特例，利用排除法，即可求解. 【试题解答】设,,a b c 为非零实数，且a b c >>，所以对于选项A ：当3,2,1a b c ===时，1a b b c -=-=，故错误. 对于选项B ：当0,1,2a bc 时，1a无意义，故错误. 对于选项C ：由于,a c b c >>，所以2a b c +>，故正确. 对于选项D ：由于C 正确，所以选项D 错误. 故选：C.本题主要考查了不等式的基本性质，其中解答中不等式的基本性质，以及合理利用特例，结合排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力.8. 设向量,a b →→满足1a b →→==，12a b →→⋅=，则()a x b x R →→+∈的最小值为（ ）A.B.C. 1D.【参考答案】B 【试题解析】两边平方，得出2a xb →→+关于x 的二次函数，从而得出最小值.【试题解答】解：222222132124a x b a x a b x b x x x →→→→→→⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当12x =-时，a x b →→+2=. 故选：B.本题考查向量的模的求解方法，利用二次函数求最值，考查运算能力，是中档题.9. 设{}n a 为等比数列，则“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【参考答案】C 【试题解析】对于任意的*2,m m m N a a +∈> ，即()210m a q >﹣.可得：2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈，解出即可判断出结论.【试题解答】解：对于任意的*2,m m m N a a +∈>，即()210m a q >﹣. ∴2010m a q ⎧⎨-⎩＞＞，2010m a q ⎧⎨-⎩＜＜，任意的*m N ∈， ∴01m a q ⎧⎨⎩＞＞，或001m a q ⎧⎨⎩＜＜＜. ∴“{}n a 为递增数列”，反之也成立.∴“对于任意的*2,m m m N a a +∈>”是“{}n a 为递增数列”的充要条件.故选：C.本题考查等比数列的单调性，充分必要条件，是基础题.10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直【参考答案】B 【试题解析】可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．【试题解答】将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C 两点重合，所以AB 与CD 相交， 故选：B本题考查平面展开图与其直观图的关系，考查空间想象能力，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在（1+5x ）6的展开式中，含x 的项系数为_____.【参考答案】30. 【试题解析】先写出二项式的展开式的通项，要求含x 的项系数，只要使得展开式中x 的指数是1，求得r ，代入数值即可求出含x 项的系数.【试题解答】展开式的通项公式为： ()6166155rr r r rr r T C x C x -+=⋅⋅=⋅⋅，令x 的指数为1，即r ＝1； ∴含x 的项系数为：16530C ＝； 故答案为：30.本题考查二项式中具体项的系数求解问题，属于基础题12. 在等差数列{a n }中，若a 1+a 2＝16，a 5＝1，则a 1＝_____；使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝_____.【参考答案】 (1). 9 (2). 5. 【试题解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1+a 2＝16，a 5＝1，可得2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1，解得：a 1，d ，可得a n ，令a n ≥0，解得n 即可得出.【试题解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 1+a 2＝16，a 5＝1， ∴2a 1+d ＝16，a 1+4d ＝1， 解得：a 1＝9，d ＝﹣2. ∴a n ＝9﹣2（n ﹣1）＝11﹣2n . 令a n ＝11﹣2n ≥0， 解得n 112≤=512+. ∴使得数列{a n }前n 项的和S n 取到最大值的n ＝5. 故答案为：9；5.本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列前n 项的和的最值，考查学生的计算能力，是中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____.【参考答案】4+45. 【试题解析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出几何体的表面积. 【试题解答】根据几何体的三视图转换为直观图为， 该几何体为底面为边长为2，高为2的正四棱锥体. 如图所示：所以212242212S =⨯+⨯⨯+=5故答案为：5本题考查了利用三视图求几何体的表面积，考查了空间想象能力和空间感，属于基础题.14. 能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【参考答案】4,2m n ==（答案不唯一）. 【试题解析】由题意可得满足20m n =+>或者0,20m n <+<即可，取满足上述条件的,m n 的值即可（答案不唯一）.【试题解答】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）. 故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.本题主要考查了椭圆与双曲线的标准方程，属于基础题.15. 已知函数f (x )的定义域为R ，满足f （x +2）＝2f (x )，且当x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3.有以下三个结论： ①f （-1）12=-； ②当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根； ③函数f (x )有无穷多个零点，且存在一个零点b ∈Z . 其中，所有正确结论的序号是_____. 【参考答案】①②. 【试题解析】由题意可得函数f (x )的大致图象，根据图像逐个判断，即可判断出所给命题的真假.【试题解答】如图：对①，因为函数f (x )的定义域为R，满足f （x +2）＝2f (x )，x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3，所以f （-1）12=f （-1+2） 12=f （1）12=•（21﹣3）12=-，所以①正确； 对②，f (x )的大致图象如图所示可得当a ∈（14，12]时，方程f (x )＝a 在区间[﹣4，4]上有三个不同的实根，所以②正确 对③，因为x ∈（0，2]时，f (x )＝2x ﹣3＝0， x ＝log 23，又因为f （x +2）＝2f (x )， 所以函数f (x )由无数个零点， 但没有整数零点，所以③不正确； 故答案为：①②.本题考查了类周期函数的图像与性质，考查了数形结合思想和函数方程思想，属于中当题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，D 是A 1C 1的中点，且AC ＝BC ＝AA 1＝2.（1）求证：BC 1∥平面AB 1D ；（2）求直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【参考答案】（1）证明见解析；（2）66. 【试题解析】（1）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ，可得BC 1∥DE ，再由直线与平面平行的判定得到BC 1∥平面AB 1D ；（2）由CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，得CA ，CB ，CC 1两两互相垂直，分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AB 1D 的一个法向量与1AB 的坐标，由两向量所成角的余弦值可得直线BC 与平面AB 1D 所成角的正弦值. 【试题解答】（1）证明：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ， 由ABC ﹣A 1B 1C 1为三棱柱，得A 1E ＝BE. 又∵D 是A 1C 1的中点，∴BC 1∥DE. ∵BC 1⊄平面AB 1D ，DE ⊂平面AB 1D ， ∴BC 1∥平面AB 1D ；（2）解：∵CC 1⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，∴CA ，CB ，CC 1两两互相垂直， 故分别以CA ，CB ，CC 1所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），B （0，2，0），A （2，0，0），B 1（0，2，2），D （1，0，2），∴()1222AB =-，，，()1120B D =-，，，()020BC =-，，. 设平面AB 1D 的法向量为()n x y z ，，=，由11222020n AB x y z n B D x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取y ＝1，得()211n =，，；设直线BC 与平面AB 1D 所成角为θ. 则sin θ＝|cos n BC ＜，＞|6n BC n BC⋅==⋅. ∴直线BC 与平面AB 1D本题考查线面平行的证明和求线面角的大小，考查了通过线线平行证明线面平行的方法，同时考查了空间直角坐标系，利用向量求线面角，是立体几何中较为常规的一类题型，有一定的计算量，属于中档题.17. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><<⎪⎝⎭同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③()01f =-；④06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）给出函数()f x 的解析式，并说明理由； （2）求函数()f x 的单调递增区间 【参考答案】（1）()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，理由见解析；（2）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【试题解析】（1）根据题意，先判断()f x 不能满足条件③，再由条件①求出2ω=，由条件②，得2A =，由条件④求出3πϕ=，即可得出函数解析式；（2）根据正弦函数的单调区间，列出不等式，即可求出结果. 【试题解答】（1）若函数()f x 满足条件③，则(0)sin 1f A ϕ==-. 这与0A >，02πϕ<<矛盾，故()f x 不能满足条件③，所以函数()f x 只能满足条件①，②，④. 由条件①，得2||ππω=， 又因为0>ω，所以2ω=. 由条件②，得2A =. 由条件④，得2sin 063f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为02πϕ<<，所以3πϕ=.所以2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （2）由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，得51212k x k ππππ-≤≤+， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 本题主要考查由三角函数的性质求函数解析式，以及求正弦型函数的单调区间，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.18. 随着科技的进步，视频会议系统的前景愈加广阔.其中，小型视频会议软件格外受人青睐.根据调查统计，小型视频会议软件下载量前6名的依次为A ，B ，C ，D ，E ，F .在实际中，存在很多软件下载后但并未使用的情况.为此，某调查公司对有视频会议需求的人群进行抽样调查，统计得到这6款软件的下载量W （单位：人次）与使用量U （单位：人次），数据用柱状图表示如图：定义软件的使用率tUW=，当t≥0.9时，称该款软件为“有效下载软件”.调查公司以调查得到的使用率t作为实际中该款软件的使用率.（1）在这6款软件中任取1款，求该款软件是“有效下载软件”的概率；（2）从这6款软件中随机抽取4款，记其中“有效下载软件”的数量为X，求X的分布列与数学期望；（3）将（1）中概率值记为x%.对于市场上所有小型视频会议软件，能否认为这些软件中大约有x%的软件为“有效下载软件”？说明理由.【参考答案】（1）23；（2）分布列见解析；期望为83；（3）不能；答案见解析.【试题解析】（1）计算各软件的使用率，得出有效下载软件的个数，从而可得出所求概率；（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，得出分布列和数学期望；（3）根据样本是否具有普遍性进行判断.【试题解答】解：（1）t A9196=＞0.9，t B8491=＞0.9，t C6985=＜0.9，t D5474=＜0.9，t E6469=＞0.9，t F6365=＞0.9.∴6款软件中有4款有效下载软件，∴这6款软件中任取1款，该款软件是“有效下载软件”的概率为42 63 =.（2）X的可能取值有2，3，4，且P（X＝2）22424625C CC==，P（X＝3）314246815C CC==，P（X＝4）4446115CC==，∴X的分布列为：E （X ）＝25⨯+315⨯+4153⨯=. （3）不能认为这些软件中大约有x %的软件为“有效下载软件”. 理由：用样本估计总体时应保证总体中的每个个体被等可能抽取，此次调查是对有视频会议需求的人群进行抽样调查，且只选取下载量排名前6名的软件，不是对所有软件进行的随机抽取6件的样本.本题考查随机事件的概率，超几何分布，考查数学建模能力与数学应用能力，是中档题. 19. 设函数()ln f x ax x =，其中a R ∈，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()3,2. （1）求a 的值；（2）求函数()f x 的极值； （3）证明:()2xx f x e e->. 【参考答案】（1）1a =；（2）极小值11e ef ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值；（3）证明见解析. 【试题解析】（1）由题意，结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程，代入已知点的坐标可求a ；（2）先对函数求导，结合导数与极值的关系即可求解； （3）由于()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e -+>，结合（2）可得()1ln f x x x e=≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）结合导数可证. 【试题解答】解：（1）()ln f x a x a '+=， 则()()10,1f f a '==，故()y f x =在()()1,1f 处的切线方程()1y a x =-， 把点()3,2代入切线方程可得，1a =，（2）由（1）可得()ln 1,0f x x x '=+>， 易得，当10x e<<时，()0f x '<，函数单调递减，当1x e >时,()0f x '>，函数单调递增，故当1=x e时，函数取得极小值11e e f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，没有极大值，证明：（3）()2x x f x e e ->等价于2ln 0x x x x e e-+>， 由（2）可得()1ln f x x x e =≥-（当且仅当1=x e时等号成立）①，所以21ln x x x xx x e e e e -+≥-，故只要证明10x xe e-≥即可，（需验证等号不同时成立）设()1x xg x e e =-，0x >则()1x x g x e-'=， 当01x <<时，()0g x '<，函数单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数单调递增， 所以()()10g x g ≥=，当且仅当1x =时等号成立，② 因为①②等号不同时成立， 所以当0x >时，()2xx f x e e->. 本题主要考查了导数的几何意义及导数与极值的关系，还考查了利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．20. 已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()0,1C O 为坐标原点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，D 为椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线CD 交x 轴于点P ，Q 为直线AD 上一点，且4OP OQ =⋅，求证：C 、B 、Q 三点共线.【参考答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析. 【试题解析】（1）将点C 的坐标代入椭圆E 的方程，可求得b 的值，再由椭圆E 的离心率可求得a 、c 的值，由此可得出椭圆E的方程；（2）设点()()0000,0D x y x y≠，可得出220044x y-=，求出直线CD的方程，可求得点P的坐标，由4OP OQ=⋅，可求得点Q的横坐标，代入直线AD的方程可求得点Q的坐标，验证BQ BCk k=，即可证得结论成立.【试题解答】（1）将点C的坐标代入椭圆E的坐标可得1b=，由题意可得2231ceaa cc⎧==⎪⎪⎪-=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得23ac=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，椭圆E的标准方程为2214xy+=；（2）椭圆E的左、右顶点分别为()2,0A-、()2,0B，设点()()0000,0D x y x y≠，则2214xy+=，则220044x y-=，直线CD斜率为01CDykx-=，则直线CD的方程为011yy xx-=+，令0y=，可得01xxy=-，即点,01xPy⎛⎫⎪-⎝⎭，设点()11,Q x y，由104OP OQ x x⋅==，可得()141yxx-=，直线AD的斜率为02ADykx=+，则直线AD的方程为()22yy xx=++，将()0041y x x -=代入直线AD 的方程得()()000002222y x y y x x -+=+，所以点Q 的坐标为()()()000000041222,2y y x y x x x ⎛⎫--+ ⎪ ⎪+⎝⎭， 直线BC 的斜率为101022BC k -==-- 直线BQ 的斜率为()()()2000000020000001012222222222424BQy x y x y y y y k x x y x x x y y -+-+===-+-----20000200002214242BC x y y y k y x y y -+==-=--， 又BQ 、BC 有公共点B ，因此，C 、B 、Q 三点共线.本题考查椭圆标准方程的求解，同时也考查了椭圆中三点共线的证明，考查计算能力，属于难题.21. 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中a m ，n （m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，20）表示位于第m 行第n 列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即b i ，j ≥b i +1，j ，其中i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20）. 表1表2（1）判断是否存在表1，使得表2中的b i ，j （i ＝1，2，…，40；j ＝1，2，…，20）等于100﹣i ﹣j ？等于i +2﹣j 呢？（结论不需要证明）（2）如果b 40，20＝1，且对于任意的i ＝1，2，…，39；j ＝1，2，…，20，都有b i ，j ﹣b i +1，j ≥1成立，对于任意的m ＝1，2，…，40；n ＝1，2，…，19，都有b m ，n ﹣b m ，n +1≥2成立，证明：b 1，1≥78；（3）若a i ，1+a i ，2+…+a i ，20≤19（i ＝1，2，…，40），求最小的正整数k ，使得任给i ≥k ，都有b i ，1+b i ，2+…+b i ，20≤19成立.【参考答案】（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，；（2）证明见解析；（3）k ＝39. 【试题解析】（1）由1000i j --≥，140i ≤≤，120j ≤≤可知存在表1，使得,100i j b i j =--；若,2i j j i b -+=，则1,12i j j i b +-++=，故,1,10i j i j b b +-=-<，故不存在；（2）对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-成立，进而得()()()1,202,202,203,2039,2040,2039bb b b b b -+-++-≥，故1,2040,203940b b ≥+=，同理由对于任意的1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，得1,11,203878b b ≥+≥.（3）取特殊表1，得39k ≥，再证明39k ≤即可得39k =.【试题解答】解（1）存在表1，使得b i ，j ＝100﹣i ﹣j ，不存在表1，使得2ji j b i -=+，. 证明：（2）因为对于任意的1,2,3,39,1,2,,20i j ==，都有,1,1i j i j b b -≥-.所以1,202,20220320392040201,1,,1b b b b b b -≥--≥≥，，，，.所以()()()1202202203203920402039b b b b b b +++≥---，，，，，，，即12020403940b b ≥+=，，. 由于1,2,,40,1,2,3,,19m n ==，都有,12m n m n b b +-≥，.所以1,11,21,21,31,191,202,2,,2b b b b b b ≥--≥-≥所以()()()1112121311912038b b b b b b --++≥-+，，，，，，，即1178b ≥，.解：（3）当表1如下图时，其中，每行恰有1个0和19个1，每列恰有2个0和38个1.因此每行的和均为19，符合题意. 重新排序后，对应表2中，前38行中每行各数均为1，每行的和均为20，后两行各数均为0，因此k ≥39.以下先证：对于任意满足条件的表1，在表2中的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行）的全部实数（即包含12.20,,,r r r a a a ，，），假设表2的前39行中，不能包含原表1中任一行的全部实数、 则表2的前39行中至多含有表1中的40×19＝760个数. 这与表2中前39行中共有39×20＝780个数相矛盾.所以：表2的前39行中，至少包含原表1中某一行（设为第r 行），的全部实数.- 21 - 其次，在表2中，根据重排规则得：当39i ≥时，,39,,i j j i j b b a ≤≤，（1,2,,20j =）.所以1220122019i i i r r r b b b a a a ++⋯+≤++⋯+≤，，，，，，，所以39k ≤.综上所述39k =. 本题主要考查不等式，排列组合的综合应用，考查数学抽象，逻辑推理，数学运算等核心素养，是难题.。

北京市西城区2017届高三数学二模试题 文第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|11}A x x =∈-<<R ，{|(2)0}B x x x =∈⋅-<R ，那么A B = （A ）{|01}x x ∈<<R （B ）{|02}x x ∈<<R （C ）{|10}x x ∈-<<R（D ）{|12}x x ∈-<<R2．设向量(2,1)=a ，(0,2)=-b ．则与2+a b 垂直的向量可以是 （A ）(3,2)（B ）(3,2)-（C ）(4,6)（D ）(4,6)-3．下列函数中，值域为[0,1]的是 （A ）2y x = （B ）sin y x = （C ）211y x =+ （D）y 4．若抛物线2y ax =的焦点到其准线的距离是2，则a =（A ）1± （B ）2± （C ）4± （D ）8±5．设a ，0b ≠，则“a b >”是“11a b<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件6．在平面直角坐标系中，不等式组,020,0y x y -+⎨⎪⎪⎩≤≥≥表示的平面区域的面积是（A（B（C ）2 （D）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（A ）43 （B ）2（C ）83 （D ）48．函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是 （A ）(2,)+∞ （B ）(1,)+∞（C ）1(,)2+∞（D ）1(,)4+∞第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -，则复数z 的共轭复数z =____．10．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为____．11．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．若π3A =，a =1b =，则c =____．12．已知圆22:1O x y +=．圆O '与圆O 关于直线20x y +-=对称，则圆O '的方程是____．13．函数22, 0,()log , 0.x x f x x x ⎧=⎨>⎩≤则1()4f =____；方程1()2f x -=的解是____．14．某班开展一次智力竞赛活动，共a ，b ，c 三个问题，其中题a 满分是20分，题b ，c 满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a 与题b 的人数之和为29，答对题a 与题c 的人数之和为25，答对题b 与题c 的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数π()tan()4f x x =+．（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设β是锐角，且π()2sin()4f ββ=+，求β的值．16．（本小题满分13分）某大学为调研学生在A ，B 两家餐厅用餐的满意度，从在A ，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]，得到A 餐厅分数的频率分布直方图，和B 餐厅分数的频数分布表：（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A 餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B 餐厅评分在[0,20)范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率；（Ⅲ）如果从A ，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．17．（本小题满分13分）设{}n a 是首项为1,公差为2的等差数列，{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列．记n n n c a b =+，1,2,3,n =．（Ⅰ）若{}n c 是等差数列，求q 的值； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S ． B 餐厅分数频数分布表18．（本小题满分14分）如图，在几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为矩形，//EF CD ，CD EA ⊥，22CD EF ==，ED =M 为棱FC 上一点，平面ADM 与棱FB 交于点N ．（Ⅰ）求证：ED CD ⊥； （Ⅱ）求证：//AD MN ；（Ⅲ）若AD ED ⊥，试问平面BCF 是否可能与平面ADMN 垂直？若能，求出FMFC的值；若不能，说明理由．19．（本小题满分13分）已知函数()ln 2af x x x =+-，其中a ∈R ． （Ⅰ）给出a 的一个取值，使得曲线()y f x =存在斜率为0的切线，并说明理由； （Ⅱ）若()f x 存在极小值和极大值，证明：()f x 的极小值大于极大值．20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率是2，且过点P ．直线2y x m =+与椭圆C 相交于,A B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求PAB △的面积的最大值；（Ⅲ）设直线,PA PB 分别与y 轴交于点,M N ．判断||PM ，||PN 的大小关系，并加以证明．西城区高三模拟测试高三数学（文科）参考答案及评分标准 2017.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．A 2．A 3．D4．C 5．D6．B7．A8．D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．12i +10．711．212．22(2)(2)1x y -+-=13．2-；114．4；42注：第13、14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由πππ42x k +≠+，得ππ4x k ≠+，k ∈Z ． [ 3分] 所以 函数()f x 的定义域是π{|π,}4x x k k ≠+∈Z ．[ 4分]（Ⅱ）依题意，得ππtan()2sin()44ββ+=+． [ 5分]所以πsin()π42sin()π4cos()4βββ+=++．① [ 7分] 因为β是锐角，所以 ππ3π444β<+<，[ 8分]所以πsin()04β+>，[ 9分] ①式化简为π1cos()42β+=． [10分] 所以 ππ43β+=，[12分] 所以π12β=． [13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由A 餐厅分数的频率分布直方图，得对A 餐厅评分低于30的频率为(0.0030.0050.012)100.2++⨯=，[ 2分]所以，对A 餐厅评分低于30的人数为1000.220⨯=． [ 3分] （Ⅱ）对B 餐厅评分在[0,10)范围内的有2人，设为12M ,M ；对B 餐厅评分在[10,20)范围内的有3人，设为123N ,N ,N ． 从这5人中随机选出2人的选法为：12(M ,M )，11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，12(N ,N )，13(N ,N )，23(N ,N )，共10种．[ 7分]其中，恰有1人评分在[0,10)范围内的选法为：11(M ,N )，12(M ,N )，13(M ,N )，21(M ,N )，22(M ,N )，23(M ,N )，共6种．[ 9分]故2人中恰有1人评分在[0,10)范围内的概率为63105P ==．[10分] （Ⅲ）从两个餐厅得分低于30分的人数所占的比例来看：由（Ⅰ）得，抽样的100人中，A 餐厅评分低于30的人数为20， 所以，A 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为20%． B 餐厅评分低于30的人数为23510++=，所以，B 餐厅得分低于30分的人数所占的比例为10%．所以会选择B 餐厅用餐． [13分] 注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．17．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，所以 21n a n =-．[ 2分]因为 {}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列，所以1n n b q -=．[ 4分]所以121n n n n c a b n q -=+=-+．[ 5分]因为 {}n c 是等差数列， 所以2132c c c =+，[ 6分]即 22(3)25q q +=++，解得 1q =．[ 7分]经检验，1q =时，2n c n =，所以{}n c 是等差数列．[ 8分]（Ⅱ）由（Ⅰ）知121(1,2,)n n c n qn -=-+=．所以121111111(21)nnnnnnk k n k k k k k k k k k S c a b k qn q --========+=-+=+∑∑∑∑∑∑．[10分]当1q =时，2n S n n =+．[11分]当1q ≠时，211n n q S n q -=+-．[13分]18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥．[ 1分]又因为CD EA ⊥，[ 2分] 所以CD ⊥平面EAD ．[ 3分] 所以ED CD ⊥．[ 4分]（Ⅱ）因为ABCD 为矩形，所以//AD BC ，[ 5分]所以//AD 平面FBC ．[ 7分] 又因为平面ADMN平面FBC MN =，所以//AD MN ．[ 8分]（Ⅲ）平面ADMN 与平面BCF 可以垂直．证明如下：[ 9分]连接DF ．因为AD ED ⊥，AD CD ⊥， 所以AD ⊥平面CDEF ．[10分] 所以AD DM ⊥．因为//AD MN ，所以DM MN ⊥．[11分] 因为平面ADMN平面BCF MN =，若使平面ADMN ⊥平面BCF ，则DM ⊥平面BCF ，所以DM FC ⊥．[12分]在梯形CDEF 中，因为//EF CD ，ED CD ⊥，22CD EF ==，ED = 所以2DF DC ==．所以若使DM FC ⊥能成立，则M 为FC 的中点．所以12FM FC =．[14分] 19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域是{|0D x x =>，且2}x ≠，且21()(2)a f x x x '=-+-．[ 2分] 当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．证明如下：[ 3分] 曲线()y f x =存在斜率为0的切线⇔方程()0f x '=存在D 上的解． 令2110(2)x x -+=-，整理得2540x x -+=， 解得1x =，或4x =．所以当1a =时，曲线()y f x =存在斜率为0的切线．[ 5分] 注：本题答案不唯一，只要0a >均符合要求． （Ⅱ）由（Ⅰ）得 21()(2)a f x x x '=-+-． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在区间(0,2)和(2,)+∞上单调递增，无极值，不合题意．[ 6分] ②当0a >时，令()0f x '=，整理得2(4)40x a x -++=． 由2[(4)]160a ∆=-+->，所以，上述方程必有两个不相等的实数解1x ，2x ，不妨设12x x <．由121244,4,x x a x x +=+>⎧⎨=⎩得1202x x <<<．[ 8分]()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 存在极大值1()f x ，极小值2()f x ．[10分]2121212121()()(ln )(ln )()(ln ln )2222a a a af x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-----． [11分]因为1202x x <<<，且0a >， 所以21022a ax x ->--，21ln ln 0x x ->， 所以 21()()f x f x >．所以()f x 的极小值大于极大值．[13分]20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距为c ．因为椭圆C，所以 2222222112c a b b a a a -==-=， 即 222a b =．[ 1分] 由22222,211,a b ab ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 解得 224,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩[ 3分] 所以椭圆C 的方程为22142x y +=．[ 4分]（Ⅱ）将y x m =+代入22142x y +=， 消去y整理得2220x m +-=．[ 5分] 令2224(2)0m m ∆=-->，解得22m -<<． 设1122(,),(,)A x y B x y ．则12x x +=，2122x x m =-．所以AB ===[ 6分]点P到直线0x +=的距离为d ． [ 7分]所以PAB △的面积12S AB d =⋅|m ==，[ 8分]当且仅当m =时，S所以PAB △．[ 9分] （Ⅲ）||||PM PN =．证明如下：[10分]设直线PA ，PB 的斜率分别是1k ，2k ，则12k k +=+[11分]由（Ⅱ）得1221(1)((1)(y x y x --+--12211)(1)(m x m x =+-++-1212(2)()1)x m x x m =+-+--22)(2)()1)m m m =-+---0=，所以直线PA ，PB 的倾斜角互补．[13分] 所以12∠=∠， 所以PMN PNM ∠=∠． 所以||||PM PN =．[14分]。

北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末高三数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．D 3．C 4．B 5．A6．C 7．A 8．C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．i 10．211．212．(0,)+∞；413[4,9) 注：第12，14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，则有113,2711.a d a d +=⎧⎨+=⎩[4分] 解得12a =，1d =．[6分]所以数列{}n a 的通项公式为1(1)1n a a n d n =+-=+．[7分]（Ⅱ）111122n n n a n b a n +=+=++．[8分] 因为数列11{}2n +是首项为14，公比为12的等比数列，[9分]所以11[1()](3)421212n n n n S -+=+-[11分] 2131122n n n +++=-．[13分]16．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()sin(2)(2cos 1)6f x x x ωω=-+-ππ(sin 2coscos 2sin )cos 266x x x ωωω=-+ [ 4分]12cos 22x x ωω=+ πsin(2)6x ω=+， [ 6分]所以()f x 的最小正周期2ππ2T ω==, 解得1ω=． [ 7分] （Ⅱ）由（Ⅰ）得 π()sin(2)6f x x =+．因为7π12x ≤≤0，所以ππ4π2663x +≤≤． [ 9分] 所以，当ππ262x +=，即π6x =时，()f x 取得最大值为1； [11分]当π4π263x +=，即7π12x =时，()f x 取得最小值为- [13分]17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）A 05244120123(h)5x ++++=+=，[2分]B 2370(120)1205a x -++++-=+，[3分] 由A B x x =，解得127a =．[4分]（Ⅱ）设A ，B 两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为2A s ，2B s ，则22A Bs s <．[7分] （Ⅲ）设A 型号手机为1A ，2A ，3A ，4A ，5A ；B 型号手机为1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C ．[8分]从被测试的手机中随机抽取A ，B 型号手机各1台，不同的抽取方法有25种．[10分]抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：11(A ,B )，14(A ,B )，31(A ,B )，34(A ,B )，共4种． [11分]因此4(C)25P =，所以21(C)1(C)25P P =-=． 所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是2125．[13分]18．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）因为90BAD ∠=，所以AB AD ⊥，[1分] 又因为AB PA ⊥，[2分]所以AB ⊥平面PAD ，[3分]所以AB PD ⊥．[4分]（Ⅱ）取PA 的中点F ，连接BF ，EF ．[5分]因为E 为棱PD 中点，所以//EF AD ，12EF AD =，又因为//BC AD ，12BC AD =，所以//BC EF ，BC EF =．所以四边形BCEG 是平行四边形，//EC BF ．[8分]又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 所以//CE 平面PAB ．[9分]（Ⅲ）在平面ABCD 上，延长AB ，CD 交于点M ．因为M AB ∈，所以M ∈平面PAB ；又M CD ∈，所以M ∈平面PCD ，所以平面PAB平面PCD PM =．[11分]在△ADM 中，因为//BC AD ，12BC AD =， 所以 22AM AB ==．[12分]因为PA PD ⊥，所以△APD 是等腰直角三角形，所以PA =．[13分]由（Ⅰ）得AM ⊥平面PAD ，所以AM PA ⊥．在直角△PAM 中，PM ==[14分]19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得12||||24PF PF a +==，2a =．[2分]将点P 的坐标代入22214x y b +=，得22114b+=，解得b =[4分]所以，椭圆C 的方程是22142x y +=．[5分]（Ⅱ）依题意，得1)Q -．设()00,M x y ，则有220024x y +=，0x ≠01y ≠±．[6分]直线MP的方程为1y x -=，[7分]令0y =，得0001x x y -=-，[8分]所以OE =．直线MQ的方程为1y x +=-，[9分]令0y =，得0001x x y +=+，[10分]所以OF =．所以2200202=1y x OE OF y -⋅- 2200202(42)=1y y y ---[12分] =4．所以OE OF ⋅为定值．[14分]20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，且2()32f x x ax b '=++．[1分]当0a =时，2()3f x x b '=+．（ⅰ）① 当0b ≥时，显然()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，无极值点．[2分]② 当0b <时，令()0f x '=，解得x =．[3分] ()f x 和()f x '的变化情况如下表：（ⅱ）若0x x =是()f x 的极值点，则有2030x b +=；若0x x =是()f x 的不动点，则有30003x bx x ++=．从上述两式中消去b ，整理得300230x x +-=．[6分]设3()23g x x x =+-．所以2()610g x x '=+>，()g x 在(,)-∞+∞上单调递增．又(1)0g =，所以函数()g x 有且仅有一个零点1x =，即方程300230x x +-=的根为01x =， 所以 2033b x =-=-．[8分]（Ⅱ）因为()f x 有两个相异的极值点1x ，2x ，所以方程2320x ax b ++=有两个不等实根1x ，2x ， 所以24120a b ∆=->，即230a b ->．[9分]假设存在实数a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点，则1x ，2x 是方程32(1)30x ax b x ++-+=的两个实根，显然1x ，20x ≠．对于实根1x ，有32111(1)30x ax b x ++-+=．①又因为211320x ax b ++=．②①3⨯-②1x ⨯，得 211(23)90ax b x +-+=． 同理可得222(23)90ax b x +-+=．所以，方程2(23)90ax b x +-+=也有两个不等实根1x ，2x ．[11分] 所以1223b x x a-+=-． 对于方程2320x ax b ++=，有 1223a x x +=-， 所以2233ab a--=-， 即2932a b -=-， 这与230a b ->相矛盾！所以，不存在a ，b ，使得1x ，2x 均为()f x 的不动点．[13分]。

第Ⅰ卷（选择题共40分）选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，那么A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可知：，，那么.本题选择A选项.2. 设向量，．则与垂直的向量可以是A. B. C. D.【答案】A3. 下列函数中，值域为的是A. B. C. D.【答案】D【解析】逐一考查函数的值域：的值域为；的值域为；的值域为；的值域为 .本题选择D选项.4. 若抛物线的焦点到其准线的距离是，则A. B. C. D.【答案】C5. 设，，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，满足，此时，充分性不满足；若，满足，此时，必要性不满足；综上可得“”是“”的既不充分也不必要条件.本题选择D选项.6. 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是A. B. C. D.【答案】B【解析】由不等式组绘制可行域如图所示，则，不等式组表示的平面区域的面积是 .本题选择B选项.7. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为A. B. C. D.【答案】A点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同．学%8. 函数．若存在，使得，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】D综合以上两种情况可得k的取值范围是.点睛：无论参数出现在什么类型的题目中，只要根据解题要求，即参数的存在对解题造成了怎样的阻碍，通过分类讨论，消除这种阻碍，使问题得到解决。

但需要注意一点，不能形成定势思维：有参数就一定要分类讨论。

第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在复平面内，复数对应的点是，则复数的共轭复数____．【答案】【解析】由题意可知： .10. 执行如图所示的程序框图，输出的值为____．【答案】11. 在中，角，，的对边分别是，，．若，，，则____．【答案】【解析】解：由余弦定理有：，即：，整理可得：，△ABC的边长为正数，则： .12. 已知圆．圆与圆关于直线对称，则圆的方程是____．【答案】【解析】设圆C的圆心(a,b),因为圆C的圆心与圆O:x2+y2=1的圆心关于直线l:x+y−2=0对称，所以，解得a=2，b=2；又圆的半径为1，则所求圆的方程为：(x−2)2+(y−2)2=1.13. 函数则____；方程的解是____．【答案】 (1). (2). 或【解析】解：由函数的解析式有：，当时，，当时，，综上可得，方程的解是或.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．14. 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是____；该班的平均成绩是____．【答案】 (1). (2).÷20=42（分）.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数．（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）设是锐角，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：(1)利用题意求得函数的定义域为．(2) 依题意，得．化简为．则．①式化简为．所以，所以．16. 某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以为组距分成组：，，，，，，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：B餐厅分数频数分布表（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评分低于30的人数；（Ⅱ）从对B餐厅评分在范围内的人中随机选出2人，求2人中恰有1人评分在范围内的概率；（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．【答案】（1）20（2）（3）见解析（Ⅱ）对B餐厅评分在范围内的有2人，设为；对B餐厅评分在范围内的有3人，设为．从这5人中随机选出2人的选法为：，，，，，，，，，，共10种．学%其中，恰有1人评分在范围内的选法为：，，，，，，共6种．故2人中恰有1人评分在范围内的概率为．注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．点睛：一是在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率/组距，而不是频率；二是利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.17. 设是首项为,公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列．记，．（Ⅰ）若是等差数列，求的值；（Ⅱ）求数列的前项和．【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：(1)利用题意结合等差数列的性质可求得q=1，注意检验所得的结果；(2)利用题意分组求和即可，注意等比数列求和公式中讨论q=1和q≠1两种情况.试题解析：解：（Ⅰ）因为是首项为，公差为的等差数列，所以．因为是首项为，公比为的等比数列，所以．当时，．18. 如图，在几何体中，底面为矩形，，，，．为棱上一点，平面与棱交于点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若，试问平面是否可能与平面垂直？若能，求出的值；若不能，说明理由．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）【解析】试题分析：(1)利用题意证得平面．所以．(2)利用线面平行的性质定理平面．所以．(3)假设平面是否可能与平面垂直，结合题意可求得试题解析：解：（Ⅰ）因为为矩形，所以．又因为，所以平面．所以．因为平面平面，若使平面平面，则平面，所以．在梯形中，因为，，，，所以．所以若使能成立，则为的中点．所以．点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。

2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜2}2．下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣104．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，7] C． D．6．设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+28．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数等于．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是．11．已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= ．12．函数y=的定义域是；最小值是．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a= ．14．设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f= ；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在等差数列{a n}中，a2=3，a3+a6=11（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=a n+，其中n∈N*，求数列{b n}的前n项和S n．16．（13分）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（13分）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1 （Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．19．（14分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．20．（13分）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f（x）有两个相异的极值点x1，x2，试问：是否存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点？证明你的结论．2016-2017学年北京市西城区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x2﹣1＞0}，那么A∩B=（）A．{x|0＜x＜1} B．{x|1＜x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即B={x|x＜﹣1或x＞1}，∵A={x|0＜x＜2}，∴A∩B={x|1＜x＜2}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．下列函数中，定义域为R的奇函数是（）A．y=x2+1 B．y=tanx C．y=2x D．y=x+sinx【考点】函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．y=x2+1是偶函数，不满足条件．B．y=tanx是奇函数，但函数的定义域不是R，不满足条件．C．y=2x为增函数，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x+sinx是奇函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义是解决本题的关键．要求熟练掌握常见函数的奇偶性的性质，比较基础．3．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B．0 C．﹣3 D．﹣10【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的S，k的值，可得当k=4时不满足条件k ≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．【解答】解：模拟程序的运行，可得k=1，S=1满足条件k≤3，执行循环体，S=1，k=2满足条件k≤3，执行循环体，S=0，k=3满足条件k≤3，执行循环体，S=﹣3，k=4不满足条件k≤3，退出循环，输出S的值为﹣3．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题．4．已知双曲线x2﹣=1（b＞0）的一个焦点是（2，0），则其渐近线的方程为（）A．x±y=0 B． x±y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．【解答】解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=，可得渐近线方程为y=±x．故选B．【点评】本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．5．实数x，y满足，则y﹣4x的取值范围是（）A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，7] C． D．【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，然后分析平面区域里各个点，然后将其代入y﹣4x中，求出y﹣4x的取值范围．【解答】解：根据约束条件画出可行域由图得当z=y﹣4x过点A（﹣1，0）时，Z最大为4，无最小值故所求y﹣4x的取值范围是（﹣∞，4]．故选：A【点评】在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．6．设，是非零向量，且≠±．则“||=||”是“（）⊥（）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据向量数量积的应用以及充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“（）⊥（）”，则“（）•（）=0，即“||2=||2”，即||=||，反之当||=||，则（）•（）=||2﹣||2=0，即（）⊥（），故“||=||”是“（）⊥（）”的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量垂直与向量数量积的关系是解决本题的关键．7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）A．20+2B．14+4C．26 D．12+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得几何体是四棱锥并画出直观图，由三视图判断出线面的位置关系，并求出几何体的高和侧面的高，分别求出各个侧面和底面的面积，即可得到答案．【解答】解：由三视图得几何体是四棱锥P﹣ABCD，如图所示：且PE⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，AB=4、AD=2，面PDC是等腰三角形，PD=PC=3，则△PDC的高为=，所以△PDC的面积为：×4×=2，因为PE⊥平面ABCD，所以PE⊥BC，又CB⊥CD，PE∩CD=E，所以BC⊥面PDC，即BC⊥PC，同理可证AD⊥PD，则两个侧面△PAD、△PBC的面积都为：×2×3=3，侧面△PAB的面积为：×4×=6，且底面ABCD的面积为：4×2=8，所以四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2+2×3+6+8=20+2，故选A．【点评】本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体、判断出几何体的结构特征是解题的关键，考查空间想象能力．8．8名象棋选手进行单循环赛（即每两名选手比赛一场）．规定两人对局胜者得2分，平局各得1分，负者得0分，并按总得分由高到低进行排序．比赛结束后，8名选手的得分各不相同，且第二名的得分与最后四名选手得分之和相等．则第二名选手的得分是（）A．14 B．13 C．12 D．11【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据完成本题主要抓住了“每场产生的分数”、“第二名的得分与最后四名所得的总分一样多”、“得分互不相同”这三个关健点进行分析的．【解答】解：每名需要进行7场比赛，则全胜的得14分，而最后4人之间赛6场至少共得12分，所以第二名的得分至少为12分．如果第一名全胜，则第二名只输给第一名，得12分；如果第二名得13分，则第二名6胜1平，第一名最好也只能是6胜1平，与题目中得分互不相同不符．所以，第二名得分为12分．故选：C【点评】本题考查了合情推理的问题，关键掌握关键的语言，属于基础题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．复数等于i ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简复数为a+bi的形式即可．【解答】解：复数===i．故答案为：i．【点评】本题考查复数的乘除运算，复数的化简，考查计算能力．10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，﹣1），则△AOB的面积是 2 ．【考点】两点间距离公式的应用；点到直线的距离公式．【分析】求出直线AB的方程，|AB|，O到AB的距离，即可求出△AOB的面积．【解答】解：由题意，直线AB的方程为y﹣1=（x﹣1），即x+y﹣2=0，|AB|==2，O到AB的距离为=，∴△AOB的面积是=2，故答案为2．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查两点间的距离公式，属于中档题．11．已知圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值．【解答】解：∵圆（x﹣1）2+y2=4与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，抛物线y2=2px（p＞0）的准线为x=﹣，∴1+=2，解得p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径是关键．12．函数y=的定义域是（0，+∞）；最小值是 4 ．【考点】函数的最值及其几何意义；函数的定义域及其求法．【分析】要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0；函数y==．【解答】解：要使函数y=有意义，则⇒x＞＞0∴定义域为（0，+∞）；函数y==，∴最小值是 4．故答案为：（0，+∞），4【点评】本题考查了函数的定义域、值域，属于基础题．13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若c=3，C=，sinB=2sinA，则a=．【考点】正弦定理．【分析】利用由正弦定理可得b=2a，再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，由此求得a的值．【解答】解：△ABC中，∵c=3，C=，sinB=2sinA，∴由正弦定理可得b=2a．再由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+4a2﹣2a•2a•cos，求得a=，故答案为：．【点评】此题考查学生灵活运用正弦、余弦定理化简求值，灵活运用三角形的面积公式化简求值，是一道基础题．14．设函数f（x）=，其中a＞0①若a=3，则f= ；②若函数y=f（x）﹣2有两个零点，则a的取值范围是=，②分别画出y=f（x）与y=﹣2的图象，如图所示，函数y=f（x）﹣2有两个零点，结合图象可得4≤a＜9，故a的取值范围是+=+=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2016秋•西城区期末）已知函数f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1（ω＞0）的最小正周期为π（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的倍角公式以及辅助角公式将函数进行化简即可．（Ⅱ）求出角的取值范围，结合三角函数的最值性质进行判断求解即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（2ωx﹣）+2cos2ωx﹣1=sin2ωxcos﹣cos2ωxsin+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），所以f（x）的最小正周期T=，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得 f（x）=sin（2x+），因为0≤x≤，所以≤2x+≤，所以，当2x+=，即x=时，f（x）取得最大值为1；当2x+=，即x=时，f（x）取得最小值为﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．17．（13分）（2016秋•西城区期末）手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间．为了解A，B两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取A，B两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：已知 A，B两个型号被测试手机待机时间的平均值相等．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断A，B两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；（Ⅲ）从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率．（注：n个数据x1，x2，…，x n的方差s2=，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）根据题意，由平均数的计算公式可得=120+=123（h），=120+，又由题意，=，计算可得a的值，（Ⅱ）根据题意，直观分析两组数据的波动大小，即可得答案，（Ⅲ）根据题意，设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．用列举法可得从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台的取法数目，进而可得C事件包含的情况数目，由古典概型的计算公式，计算可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意， =120+=123（h），=120+，又由题意， =，解可得，a=127；（Ⅱ）设A，B两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为、，结合数据分析可得，B型号的手机数据波动较大，即有＜，（Ⅲ）设A型号手机为A、B、C、D、E；B型号手机为1、2、3、4、5；“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件C．从被测试的手机中随机抽取A，B型号手机各1台，不同的抽取方法有（A，1）、（A，2）、（A，3）、（A，4）、（A，5）、（B，1）、（B，2）、（B，3）、（B，4）、（B，5）、（C，1）、（C，2）、（C，3）、（C，4）、（C，5）、（D，1）、（D，2）、（D，3）、（D，4）、（D，5）、（E，1）、（E，2）、（E，3）、（E，4）、（E，5）、共25种．抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：（A，1），（A，4），（C，1），（C，4），共4种；则至少有1台的待机时间超过122小时的选法有25﹣4=21种，故P（C）=；所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是．【点评】本题考查利用列举法计算古典概率，涉及数据的平均数、方差的计算，关键是分析题意，得到数据．18．（14分）（2016秋•西城区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1（Ⅰ）求证：AB⊥PD（Ⅱ）若E为PD的中点，求证：CE∥平面PAB（Ⅲ）设平面PAB∩平面PCD=PM，点M在平面ABCD上．当PA⊥PD时，求PM的长．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）由AB⊥AD，又AB⊥PA，可证线面垂直AB⊥平面PAD，利用线面垂直的性质可证AB⊥PD．（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF，通过证明四边形BCEG是平行四边形，可证EC∥BF，利用线面平行的判定定理即可证明CE∥平面PAB．（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M，由于平面PAB∩平面PCD=PM，通过证明PA=，AM⊥PA，利用勾股定理即可得解．【解答】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为∠BAD=90°，所以AB⊥AD，…（1分）又因为AB⊥PA，…（2分）所以AB⊥平面PAD，…所以AB⊥PD…（Ⅱ）取PA的中点F，连接BF，EF…因为E为棱PD中点，所以EF∥AD，EF=AD，又因为BC∥AD，BC=AD，所以BC∥EF，BC=EF．所以四边形BCEG是平行四边形，EC∥BF…（8分）又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，所以CE∥平面PAB…（9分）（Ⅲ）在平面ABCD上，延长AB，CD交于点M．因为M∈AB，所以M∈平面PAB；又M∈CD，所以M∈平面PCD，所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）在△ADM中，因为BC∥AD，BC=AD，所以AM=2AB=2…（12分）因为PA⊥PD，所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=…（13分）由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．在直角△PAM中，PM==…（14分）【点评】本题主要考查了线面垂直的判定与性质，线面平行的判定定理，勾股定理的综合应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．19．（14分）（2016秋•西城区期末）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的两个焦点是F1，F2，点P（，1）在椭圆C上，且|PF1|+|PF2|=4（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P关于x轴的对称点为Q，M是椭圆C上一点，直线MP和MQ与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2，将点P（，1）的坐标代入，解得：b=即可求得椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意可知：设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），令y=0，得x=，从而丨OE丨=丨丨．，同理即可求得丨OF丨=丨丨，则丨OE丨•丨OF丨=丨丨=丨丨=4．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a=4，即a=2．将点P（，1）的坐标代入，得，解得：b=．∴椭圆C的方程是．（Ⅱ）证明：由Q关于x轴于P对称，得Q（，﹣1）．设M（x0，y0），则有x02+2y02=4，x0≠，y0≠±1．直线MP的方程为y﹣1=（x﹣），令y=0，得x=，∴丨OE丨=丨丨．直线MQ的方程为：y+1=（x﹣），令y=0，得x=，∴丨OF丨=丨丨．∴丨OE丨•丨OF丨=丨丨•丨丨=丨丨=丨丨=4∴丨OE丨•丨OF丨=4丨OE丨•丨OF丨为定值．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系的应用，考查三角形的面积公式，直线的点斜式方程，考查计算能力，属于中档题．20．（13分）（2016秋•西城区期末）对于函数f（x），若存在实数x0满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+3，其中a，b∈R（Ⅰ）当a=0时，（ⅰ）求f（x）的极值点；（ⅱ）若存在x0既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值；（Ⅱ）若f （x ）有两个相异的极值点x 1，x 2，试问：是否存在a ，b ，使得x 1，x 2 均为f （x ）的不动点？证明你的结论．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）（i ）求出函数的导数，通过讨论b 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点，（ii ）得到函数g （x ）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x 0﹣3=0的根为x 0=1，从而求出b 的值即可；（Ⅱ）假设存在，根据题意得到+a+（b ﹣1）x 1+3=0．①，3+2ax 1+b=0．②，得到a 2﹣3b=﹣，这与a 2﹣3b ＞0相矛盾！判断结论即可．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为R ，且f′（x ）=3x 2+2ax+b ． 当a=0时，f′（x ）=3x 2+b ；（ⅰ）①当b ≥0时，显然f （x ）在R 上单调递增，无极值点． ②当b ＜0时，令f′（x ）=0，解得：x=±．f （x ）和f′（x ）的变化情况如下表：所以，x=﹣是f （x ）的极大值点；x=是f （x ）的极小值点．（ⅱ）若x=x 0是f （x ）的极值点，则有3+b=0；若x=x 0是f （x ）的不动点，则有+bx 0+3=x 0，从上述两式中消去b ， 整理得：2+x 0﹣3=0．设g （x ）=2x 3+x ﹣3．所以g′（x）=6x2+1＞0，g（x）在R上单调递增．又g（1）=0，所以函数g（x）有且仅有一个零点x=1，即方程2+x0﹣3=0的根为x0=1，所以 b=﹣3=﹣3．（Ⅱ）因为f（x（有两个相异的极值点x1，x2，所以方程3x2+2ax+b=0有两个不等实根x1，x2，所以△=4a2﹣12b＞0，即a2﹣3b＞0．假设存在实数a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点，则x1，x2是方程x3+ax2+（b﹣1）x+3=0的两个实根，显然x1，x2≠0．对于实根x1，有+a+（b﹣1）x1+3=0．①又因为3+2ax1+b=0．②①×3﹣②×x1，得a+（2b﹣3）x1+9=0．同理可得a+（2b﹣3）x2+9=0．所以，方程ax2+（2b﹣3）x+9=0也有两个不等实根x1，x2．所以x1+x2=﹣．对于方程3x2+2ax+b=0，有 x1+x2=﹣，所以﹣=﹣，即a2﹣3b=﹣，这与a2﹣3b＞0相矛盾！所以，不存在a，b，使得x1，x2均为f（x）的不动点．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及新定义问题，分类讨论思想，是一道综合题．。