新编高中数学人教A版-必修五-优化练习- 1.1.2 余弦定理

1.2余弦定理 （检测教师版）时间:40分钟 总分：60分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab <0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－19【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935，∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2D. 3【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，又A 为三角形的内角，∴A＝30°.【答案】 A5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a －c 2＋ac 2ac ＝a －c22ac＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A6．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( )A ．(5，5)B ．(1, 5)C ．(5，13)D ．(13，5)【解析】 三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0， 解得5<x <13.【答案】 C二、填空题（共2小题，每题5分，共10分）7．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________【解析】 由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，又cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，解得b ＝3或b ＝－13(舍去)．【答案】 38．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．【解析】 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c2＝－14. 【答案】 －14三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．【解】 (1)由正弦定理得a sin A ＝bsin B ＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径．又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B .又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋4a 2－2a 2＝9，解得a ＝3，故c ＝2 3.10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长.【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.。

1.1.2 余弦定理基础过关练题组一 已知两边和一角解三角形 1.在△ABC 中,a=1,B=60°,c=2,则b=( ) A.1 B.√2 C.√3 D.32.设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2√3,cos A=√32,且b<c,则b=( ) A.√3 B.2 C.2√2D.33.在△ABC 中,AB=√3,BC=1,A=30°,则AC= .4.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则sinBsinC的值为.题组二 已知三边解三角形5.在△ABC 中,若a=3,b=√7,c=2,则B=( ) A.π3B.π4C.π6D.2π36.在△ABC 中,c 2-a 2-b 2=√3ab,则角C 为( ) A.30°B.60°C.150°D.45°或135°7.若△ABC 的内角A,B,C 满足sin A∶sin B∶sin C=2∶3∶3,则cos B=( )A.14B.13C.12D.238.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a,b,c 满足b 2=ac,且c=2a,则 cos B 等于( ) A.14B.34C.√24D.√239.在△ABC 中,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=7,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.-32B.32C.-152D.152题组三利用余弦定理判断三角形的形状10.在△ABC中,A=60°,a2=bc,则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等边三角形11.若将直角三角形的三边增加同样的长度,则新三角形的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.由增加的长度确定题组四余弦定理及其推论的综合应用12.若钝角三角形的三边长分别为a+1,a+2,a+3,则a的取值范围是.,a=4,b+c=6,且b<c,求13.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=14b,c的值.14.在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边.若(a+b+c)(sin A+sin B-sin C)=3asin B,求C的大小.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=2,c=3,cos B=14.(1)求b的值;(2)求sin C的值.能力提升练一、选择题1.(2018云南玉溪一中高二下期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2·(1-sin A),则A=( )A.3π4B.π3C.π4D.π62.(2020安徽合肥一中、合肥六中高一期末,★★☆)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2=a2+bc.若sin B·sin C=sin2A,则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形3.(★★☆)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且b2=ac,则B的取值范围是( )A.(0,π3] B.[π3,π)C.(0,π6] D.[π6,π)4.(2020北京丰台高二月考,★★☆)如图所示,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为( )A.√3B.√5C.√2+1D.√25.(★★★)在△ABC 中,a,b,c 分别为角A,B,C 的对边,若c·cos B=b·cos C,且cos A=23,则sin B 等于( ) A.±√66B.√66C.±√306D.√3066.(2019陕西西安一中高二上月考,★★★)在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC,则sin∠BAC=( )A.310B.√1010C.√55 D.3√1010二、填空题7.(2019广东东莞高二期末,★★☆)如图,四边形ABCD 中，∠BCD=45°, ∠ABC=60°，BC=2,则线段AC 长度的取值范围是 .8.(2020河北张家口高二期末,★★☆)在△ABC 中,已知a,b,c 分别是角A,B,C 的对边,cos A=34且c=2b,则a b= . 三、解答题9.(2020吉林松原扶余一中高一期末,★★☆)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,B=π3,b=√13,c=3,D 为BC 的中点. (1)求AD 的长; (2)求sin∠ADB 的值.10.(2020河南洛阳高二期末,★★★)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,BC 边上的中线AD=m,且a 2+2bc=4m 2. (1)求∠BAC;(2)若a=4,求△ABC 的周长的取值范围.答案全解全析基础过关练1.C 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2accos B=3,所以b=√3(负值舍去).2.B 由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bccos A 及已知得,22=b 2+(2√3)2-2×b×2√3×√32,即b 2-6b+8=0,解得b=2或b=4.因为b<c,所以b=2,故选B. 3.答案 1或2解析 由余弦定理的推论,得cos A=AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB,所以AC 2-3AC+2=0,解得AC=1或AC=2.经检验都符合要求,所以AC=1或AC=2. 4.答案 35解析 由余弦定理得,BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC·cos A,因为A=120°,AB=5,BC=7,所以49=25+AC 2+5AC,即AC 2+5AC-24=0, 解得AC=3或AC=-8(舍去).所以sinB sinC =AC AB =35.5.A 由余弦定理的推论及已知得cos B=a 2+c 2-b 22ac=12.因为B∈(0,π),所以B=π3.6.C 由已知得a 2+b 2-c 2=-√3ab, 由余弦定理的推论,得cos C=a 2+b 2-c 22ab=-√32.因为0°<C<180°,所以C=150°.7.B 由正弦定理,得a ∶b ∶c=sin A ∶sin B ∶sin C=2∶3∶3. 不妨设a=2k,b=3k,c=3k,则cos B=a 2+c 2-b 22ac=4k 2+9k 2-9k 22×2k×3k=13.8.B 由余弦定理的推论及已知可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=a 2+(2a )2-ac 2a ·2a=5a 2-2a 24a 2=34.9.C 由余弦定理的推论及已知得,cos C=52+32-722×5×3=-12,∴CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3×5×(-12)=-152.故选C. 10.D 在△ABC 中,∵A=60°,a 2=bc,∴由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A=b 2+c 2-bc=bc, ∴b 2+c 2-2bc=0,即(b-c)2=0,∴b=c,结合A=60°,得△ABC 一定是等边三角形.故选D.11.A 设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a 2+b 2=c 2,三边增加的同样的长度为x,则在新三角形中,由余弦定理的推论得,cos C=(a+x )2+(b+x )2-(c+x )22(a+x )(b+x )=2(a+b -c )x+x 22(a+x )(b+x )>0,即最大边c+x 所对的最大角C 为锐角,所以新三角形的形状是锐角三角形. 12.答案 0<a<2解析 由最大角的余弦值小于0及任意两边之和大于第三边可得{(a +1)+(a +2)>a +3,(a+1)2+(a+2)2-(a+3)22(a+1)(a+2)<0,解得0<a<2. 13.解析 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bccos A=(b+c)2-2bc-2bccos A, 将a=4,b+c=6,cos A=14代入,得bc=8,联立{b +c =6,bc =8,解得{b =2,c =4或{b =4,c =2.又b<c,所以b=2,c=4.14.解析 由正弦定理及已知,得(a+b+c)(a+b-c)=3ab,即(a+b)2-c 2=3ab,∴a2+b2-c2=ab,∴cos C=a2+b2-c22ab =12.∵C∈(0,π),∴C=π3.15.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得b2=22+32-2×2×3×14=10, ∴b=√10(负值舍去).(2)由余弦定理的推论及(1),得cos C=a2+b2-c22ab =2×2×√10=√108.∵C是△ABC的内角,∴sin C=√1-cos2C=3√68.能力提升练一、选择题1.C 由a2=b2+c2-2bccos A及b=c,a2=2b2·(1-sin A),可得b2+c2-2bccos A=2bc-2bcsin A,整理,得(b-c)2=2bc(cos A-sin A), 由此可得cos A-sin A=0,即cos A=sin A.又因为A∈(0,π),所以A=π4,故选C.2.C 在△ABC中,∵b2+c2=a2+bc,∴cos A=b2+c2-a22bc =bc2bc=12.由题意得A∈(0,π),∴A=π3.∵sin B·sin C=sin2A,∴bc=a2,代入b2+c2=a2+bc,得(b-c)2=0,解得b=c.∴B=C=π3. ∴△ABC的形状是等边三角形.故选C.3.A 由余弦定理的推论及已知,得cos B=a2+c2-b22ac =a2+c2-ac2ac=(a-c)2+ac2ac=(a-c)22ac+12≥12.由题意得B∈(0,π),所以B∈(0,π3].4.A ∵AD⊥AC,∴∠DAC=90°,∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠BAD+90°,∴sin∠BAC=sin (∠BAD+90°)=cos∠BAD=2√23.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=18+9-24=3, ∴BD=√3(负值舍去).5.D 由正弦定理和c·cos B=b·cos C得sin Ccos B=sin Bcos C,即sin(B-C)=0.又易知-180°<B-C<180°,所以B=C,进而得到b=c.因为cos A=23,所以由余弦定理可得a2=2b2-2b2·23,即3a2=2b2,再由余弦定理的推论得cos B=a2+c2-b22ac =23b22×√63b2=√66,故sin B=√306.6.D 如图,设BC边上的高AD=m,则BC=3m,BD=m,DC=2m,所以AC=√AD2+DC2=√5m,AB=√AD2+BD2=√2m.在△ABC中,由余弦定理的推论,得cos∠BAC=AB2+AC2-BC22×AB×AC =-√1010.所以sin∠BAC=3√1010.二、填空题7.答案[√3,2)解析在△ABC中,由余弦定理可得,AC2=AB2+22-4AB·cos 60°=(AB-1)2+3, ∴AC≥√3,当且仅当AB=1时取等号.∵∠BCD=45°,∴∠ACB<45°,又∠ABC=60°,∴∠BAC>180°-45°-60°=75°,∴AC<BC=2.综上可得,AC∈[√3,2).8.答案√2解析由余弦定理的推论及已知可得,cos A=b2+c2-a22bc =b2+4b2-a24b2=34,解得ab=√2.三、解答题9.解析(1)在△ABC中,由余弦定理得13=9+a2-2×3×a×12,解得a=4或a=-1(舍去).∵D为BC的中点,∴BD=2.在△ABD 中,由余弦定理得AD 2=AB 2+BD 2-2AB·BD·cos∠ABD=9+4-2×3×2×12=7,∴AD=√7(负值舍去). (2)在△ABD 中,由正弦定理得ADsin∠ABD =ABsin∠ADB,∴sin ∠ADB=ABsin∠ABD AD=3√2114.10.解析 (1)在△ABD 中,由余弦定理得,cos∠ADB=m 2+a 24-c 2ma.在△ACD 中,由余弦定理得,cos∠ADC=m 2+a24-b 2ma.∵∠ADB+∠ADC=π,∴cos ∠ADB+cos∠ADC=0,∴b 2+c 2=2m 2+12a 2,∴m 2=12(b 2+c 2)-14a 2. 又a 2+2bc=4m 2,∴a 2+2bc=2b 2+2c 2-a 2,即b 2+c 2-a 2=bc,∴cos ∠BAC=b 2+c 2-a 22bc=12.∵0<∠BAC<π,∴∠BAC=π3.(2)由a=4,∠BAC=π3及正弦定理得asin∠BAC =bsinB =csinC =4sinπ3=8√33,∴b=8√33sin B,c=8√33sin C=8√33·sin (2π3-B),∴b+c=8√33sin B+8√33sin (2π3-B)=4√3·sin B+4cos B=8sin (B +π6).∵0<B<2π3,∴π6<B+π6<5π6,∴12<sin (B +π6)≤1,∴b+c ∈(4,8],∴△ABC 的周长的取值范围是(8,12].。

1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1．在△ABC 中，b ＝5，c ＝53，A ＝30°，则a 等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．10[答案] A[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴a 2＝52＋(53)2－2×5×53×cos30°， ∴a 2＝25，∴a ＝5.2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于( ) A ．π3B ．π6C ．2π3D ．π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－b 2－c 2－bc 2bc ＝－12，又∵0<A <π，∴A ＝2π3.3．(2014·全国新课标Ⅱ理，4)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式． ∵S △ABC ＝12ac sin B ＝12×2×1×sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝π4时，经计算△ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．当B ＝3π4时，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，解得b ＝5，故选B ．4．(2014·江西理，4)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B ．932C ．332D ．3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式．由题设条件得a 2＋b 2－c 2＝2ab －6，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin π3＝12×6×32＝332.选C ．5．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ， 则cos B ＝( ) A ．14 B ．34 C ．24D ．23[答案] B[解析] 由b 2＝ac ，又c ＝2a ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－a ×2a 2a ·2a ＝34.6．(2015·广东文，5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a ＝2，c ＝23， cos A ＝32，且b ＜c ，则b ＝( ) A ．3 B ．2 2 C ．2 D ． 3[答案] C[解析] 由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0， ∴b ＝2或b ＝4. 又∵b <c ，∴b ＝2.二、填空题7．以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形．(填：锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大，设这个最大角为α，则cos α＝16＋25－362×4×5＝18>0，因此0°<α<90°. 8．若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形，则x 的取值范围为________． [答案] (5，13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时，x 2＋4－9>0，∴x >5， 长为x 的边所对的角为锐角时，4＋9－x 2>0，∴x <13， ∴5<x <13.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .[解析] 解法一：在△ABC 中，由A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，知B ＝60°.a ＋c ＝8，ac ＝15，则a 、c 是方程x 2－8x ＋15＝0的两根．解得a ＝5，c ＝3或a ＝3，c ＝5. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋25－2×3×5×12＝19.∴b ＝19.解法二：在△ABC 中，∵A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝82－2×15－2×15×12＝19.∴b ＝19.10．在△ABC 中，已知sin C ＝12，a ＝23，b ＝2，求边c .[解析] ∵sin C ＝12，且0<C <π，∴C 为π6或5π6.当C ＝π6时，cos C ＝32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4，即c ＝2. 当C ＝5π6时，cos C ＝－32，此时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝28，即c ＝27.能力提升一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( ) A ．322B ．332C ．32D ．3 3[答案] B[解析] 由余弦定理，可得cos A ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝42＋32－1322×3×4＝12，所以sin A ＝32. 则AC 边上的高h ＝AB sin A ＝3×32＝332，故选B ． 2．在△ABC 中，∠B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( ) A ．不等边三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ＝12，则(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又∠B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形．3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6， 则cos B ＝49＋25－362×5×7＝1935.又AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(π－B ) ＝－|AB →|·|BC →|cos B ＝－7×5×1935＝－19.4．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为( ) A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π3[答案] B[解析] ∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，∵0<C <π，∴C ＝π3.二、填空题5．(2015·重庆文，13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. [答案] 4[解析] ∵3sin A ＝2sin B ， ∴3a ＝2b ，又∵a ＝2，∴b ＝3. 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×(－14)＝16，∴c ＝4.6．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1，D 是边BC 上一点，DC ＝2BD ，则AD →·BC →＝________.[答案] －83[解析] 由余弦定理，得BC 2＝22＋12－2×2×1×(－12)＝7，∴BC ＝7，∴cos B ＝4＋7－12×2×7＝5714.∴AD →·BC →＝(AB →＋BD →)·BC →＝AB →·BC →＋BD →·BC → ＝－2×7×5714＋73×7×1＝－83.三、解答题7．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积． [解析] 如图，连结AC ．∵B ＋D ＝180°，∴sin B ＝sin D ．S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB ·BC ·sin B ＋12AD ·DC ·sin D ＝14sin B ．由余弦定理，得AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ， 即40－24cos B ＝32－32cos D ．又cos B ＝－cos D ， ∴56cos B ＝8，cos B ＝17.∵0°<B <180°，∴sin B ＝1－cos 2B ＝437. ∴S 四边形ABCD ＝14sin B ＝8 3.8．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79.(1)求a 、c 的值； (2)求sin(A －B )的值．[解析] (1)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得，b 2＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，又已知a ＋c ＝6，b ＝2，cos B ＝79，∴ac ＝9.由a ＋c ＝6，ac ＝9，解得a ＝3，c ＝3. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝79，∴sin B ＝1－cos 2B ＝429. 由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝223，∵a ＝c ，∴A 为锐角，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13.∴sin(A －B )＝sin A cos B －cos A sin B ＝223×79－13×429＝10227.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a ＝3，C ＝60°，△ABC 的面积为332，求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC ＝12ab sin C ，∴332＝12×3b ×sin60°＝12×3b ×32， ∴b ＝2.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9＋4－2×3×2×cos60° ＝9＋4－2×3×2×12＝7，∴c ＝7.。

[课时作业][组基础巩固]．△中，＝，则角是( )．钝角．锐角．直角．°解析：由余弦定理：＝＝＝>，∴<°.答案：．在△中，若＋<，则△的形状是( )．直角三角形．钝角三角形．不能确定．锐角三角形解析：由正弦定理，＋<，∴<，即<，∴>°.答案：．若△的内角，，满足＝＝，则＝( )解析：由正弦定理：＝＝，∴＝，＝，由余弦定理＝＝＝.答案：．在△中，＝，＝，＝，则＝( )解析：在△中，由余弦定理＝＋－··＝＋－＝，∴＝，由正弦定理)＝)，解得＝.答案：．如果等腰三角形的周长是底边长的倍，那么它的顶角的余弦值为( )解析：设三角形的底边长为，则周长为，∴等腰三角形腰的长为.设顶角为α，由余弦定理，得α＝＝.答案：．边长为的三角形中，最大角与最小角之和为( )．°．°．°．°解析：设边长为的对角分别为，，，则<<.∴＝＝.∴(＋)＝－＝－，∴＋＝°.答案：．在△中，若＝，＋＝，＝－，则＝.解析：∵＋＝，∴＝－.由余弦定理得＝＋－，即＝＋(－)－××(－)×，解得＝.答案：．△的内角，，的对边分别为，，，若，，满足＝，且＝，则＝.解析：因为＝，且＝，所以＝＝＝.答案：．在△中，＋＝，＋＝，＝，求.解析：在△中，由＋＝，＋＋＝°，知＝°.＋＝，＝，则，是方程－＋＝的两根．解得＝，＝或＝，＝.由余弦定理，得＝＋－＝＋－×××＝.∴＝.．在△中，角，，的对边分别为，，，且＝，＝，＝，求＋＋的值．解析：∵＝，∴＝(＋－)．同理＝(＋－)，＝(＋－)．∴＋＋＝(＋＋)＝.[组能力提升]．如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为( )．直角三角形．锐角三角形．由增加长度决定．钝角三角形解析：设直角三角形的三条边分别为，，，为直角边，设同时增加长度，则三边长变为＋，＋，＋(>)，最大角仍为角，由余弦定理＝＝。

1.1.2 余弦定理双基达标 限时20分钟1．在△ABC 中，已知a ＝9，b ＝23，C ＝150°，则c 等于( )．A.39B ．8 3C ．10 2D ．7 3解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝92＋(23)2－2×9×23cos 150°＝147＝(73)2，∴c ＝7 3. 答案 D2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( )．A.π3B.π6C.π4D.π12解析 ∵c <b <a ，∴最小角为角C .∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝49＋48－132×7×43＝32.∴C ＝π6，故选B.答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形解析 ∵c 2－a 2－b 22ab>0，∴c 2－a 2－b 2>0.∴a 2＋b 2<c 2.∴△ABC 为钝角三角形．故选C. 答案 C4．已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________. 解析 ∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac . ∴原式为0. 答案 05．在△ABC 中，若(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )，则A ＝________. 解析 ∵(a －c )(a ＋c )＝b (b ＋c )， ∴a 2－c 2＝b 2＋bc ，即b 2＋c 2－a 2＝－bc .∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12.∵0°<A <180°，∴A ＝120°. 答案 120°6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝14，a ＝4，b ＋c ＝6，且b <c ，求b ，c 的值．解 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴16＝(b ＋c )2－2bc －12bc∴bc ＝8，又∵b ＋c ＝6，b <c ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝6，bc ＝8，得b ＝2，c ＝4或b ＝4，c ＝2(舍)． ∴b ＝2，c ＝4.综合提高 限时25分钟7．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则三角形一定是( )．A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形 解析 由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－ac ， ∴a 2＋c 2－2ac ＝0，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c . ∵B ＝60°，∴A ＝C ＝60°. 故△ABC 为等边三角形． 答案 B8．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则AB →·A C →等于 ( )．A.152 B ．－152 C.1532D ．15 解析 ∵cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos∠BAC ＝5×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152，故选B. 答案 B9．在锐角△ABC 中，边长a ＝1，b ＝2，则边长c 的取值范围是________． 解析 ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝1＋4－4cos C ＝5－4cos C .又∵0<C <π2，∴cos C ∈(0,1)．∴c 2∈(1,5)．∴c ∈(1，5)． 答案 (1，5)10．已知等腰△ABC 的底边BC ＝2，腰AB ＝4，则腰上的中线长为________．解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝42＋42－222×4×4＝78.设其中一腰中线长为x ，则x 满足：x 2＝42＋22－2×4×2cos A ＝20－16×78＝6.∴x ＝ 6.答案611．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．解 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12.∵0<B <π，∴B ＝π3.(2)法一 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a .由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714.∵0<A <π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114. ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二 将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a . 由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又∵b ＝7a >a ，则B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714.∴tan A ＝sin A cos A ＝35.12．(创新拓展)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sinB ＋(2c ＋b )sinC .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． 解 (1)由已知，根据正弦定理得 2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ， 即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－12.又A ∈(0，π)，∴A ＝2π3.(2)由(1)中a 2＝b 2＋c 2＋bc 及正弦定理，可得 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即⎝⎛⎭⎪⎫322＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 又sin B ＋sin C ＝1，得sin B ＝sin C ＝12，又0<B ，C <π3，∴B ＝C ，∴△ABC 为等腰的钝角三角形．。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab>0，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形2．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－193．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b ＝( )A ．3B ．2 2C ．2 D. 34．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°5．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 的对边，且b 2＝ac ，则B 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B.⎣⎡⎭⎫π3，π C.⎝⎛⎦⎤0，π6 D.⎣⎡⎭⎫π6，π6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝________ 7．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a,2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长.参考答案1．【解析】 由题意知a 2＋b 2－c 22ab<0，即cos C <0，∴△ABC 为钝角三角形．【答案】 C2．【解析】 由余弦定理的推论知cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】 D3．【解析】 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋12－6b ，解得b ＝2或4.又b <c ，∴b ＝2.【答案】 C4．【解析】 ∵sin C ＝23sin B ，由正弦定理，得c ＝23b ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32， 又A 为三角形的内角，∴A ＝30°.【答案】 A5．【解析】 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝(a －c )2＋ac 2ac ＝(a －c )22ac ＋12≥12， ∵0<B <π，∴B ∈⎝⎛⎦⎤0，π3.故选A. 【答案】 A6．【解析】 由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ，又cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0， 解得b ＝3或b ＝－13(舍去)． 【答案】 37．【解析】 由正弦定理知：a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ．设sin A ＝5k ，sin B ＝7k ，sin C ＝8k ，∴a ＝10Rk ，b ＝14Rk ，c ＝16Rk ，∴a ∶b ∶c ＝5∶7∶8，∴cos B ＝25＋64－492×5×8＝12，∴B ＝π3. 【答案】 π38．【解析】 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理得2b ＝3c ，即b ＝32c .又b －c ＝14a ，∴12c ＝14a ，即a ＝2c .由余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝94c 2＋c 2－4c 22×32c 2＝－34c 23c 2＝－14. 【答案】 －149．【解】 (1)由正弦定理得a sin A ＝b sin B＝2R ，R 为△ABC 外接圆半径． 又b sin A ＝3a cos B ，所以2R sin B sin A ＝3·2R sin A cos B .又sin A ≠0，所以sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝ 3.又因为0<B <π，所以B ＝π3. (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，得9＝a 2＋c 2－ac ，∴a 2＋4a 2－2a 2＝9，解得a ＝3，故c ＝2 3.10．【解】 (1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)， ∴C ＝2π3. (2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根， ∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.。

1.1.2余弦定理（一）一、选择题1．在△ABC 中，已知13,34,8===c b a ，则△ABC 的最小角为（ ）A ．3πB ．4π Ｃ．4π Ｄ．12π2．在△ABC 中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++,则角Ａ等于（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0120 Ｄ．01503．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ）Ａ．0075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b aＣ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a4在△ABC 中，已知)(2222444b a c c b a +=++则角Ｃ＝（ ）Ａ．030 Ｂ．060 Ｃ．0013545或 Ｄ．01205．某人朝正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点恰好3km ，那么x 的值为（ ） A. 3 B. 23 C. 23或3 D. 36．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是（ ）A ．90° B.120° C .135° D.150°二、填空题7．已知锐角三角形的边长为1、3、a ，则a 的取值范围是________8．在△ABC 中，三边的边长为连续自然数，且最大角是钝角，这个三角形三边的长分别为_______三、解答题9．在△ABC 中，已知030,35,5===A c b ，求C B a 、、及面积S10．在△ABC 中，已知Ａ＞Ｂ＞Ｃ,且Ａ=2Ｃ,8,4=+=c a b ,求c a 、的长.1.1.2余弦定理（一） 一、选择题1.B2.B3.D4.C5.C6.B二、填空题7．1022＜a＜8. 32 三、解答题 9. 解 由余弦定理，知A bc c b a cos 2222-+=2530sin 3552)35(5022=⨯⨯-+=∴5=a 又∵b a =∴030==A B∴00120180=--=B A C432530sin )35(521sin 210=⨯⨯==A bc S10. 解：由正弦定理，得C c A a sin sin = ∵Ａ＝２Ｃ ∴Cc C a sin 2sin = ∴C c a sin 2= 又8=+c a ∴ c c cocC 28-= ① 由余弦定理，得 C C c Cab b a c 222222cos 1616cos 4cos 2-+=-+= ②① 入②，得 )(44524516舍或⎩⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==a c a c ∴516524==c a ，。

1.1.2 余弦定理1．在△ABC 中，a 2＋b 2<c 2，则这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形2．在△ABC 中，已知a 2＋b 2－c 2＝ab ，则C 等于( )A ．60°B ．120°C ．30°D ．45°或135°3．在△ABC 中，a ：b ：c ＝3：5：7，则△ABC 的最大角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则这个三角形是( )A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形5．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →的值为( )A ．19B ．14C ．－18D ．－196．在△ABC 中，已知a ，b 是方程x 2－5x ＋2＝0的两根，C ＝120°，则边c ＝____________. 7．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值为____________．8．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝__________. 9．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，则角C ＝________.10．在△ABC 中，已知a ＝7，b ＝10，c ＝6，判断△ABC 的形状．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C .(1)求角A 的大小；(2)若a ＝7，b ＋c ＝4，求bc 的值．12．在△ABC 中，m ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，sin C 2，n ＝⎝⎛⎭⎫cos C 2，－sin C 2，且m 与n 的夹角为π3. (1)求C ；(2)已知c ＝72，三角形面积S ＝332，求a ＋b .参考答案1．【解析】由a 2＋b 2<c 2，知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，又0<C <π，∴C 为钝角．故△ABC 为钝角三角形． 【答案】B2．【解析】由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12，又0°<C <180°，∴C ＝60°. 【答案】A3．【解析】由a ：b ：c ＝3：5：7，知最大边为c ，∴最大角为C ，设a ＝3k ，b ＝5k ，c ＝7k (k >0)，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0°<C <180°，∴C ＝120°. 【答案】D4．【解析】由b 2＝ac 及余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos60°， 即ac ＝a 2＋c 2－ac ，∴(a －c )2＝0，∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 【答案】B5．【解析】由余弦定理，得cos B ＝AB 2＋BC 2－CA 22·AB ·BC＝72＋52－622·7·5＝1935.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 〈AB →，BC →〉＝7×5×⎝⎛⎭⎫－1935＝－19. 【答案】D6．【解析】由韦达定理，得a ＋b ＝5，ab ＝2.由(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ， 得a 2＋b 2＝52－2×2＝21. ∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝23. ∴c ＝23. 【答案】237．【解析】c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝72＋82－2×7×8×1314＝9.∴c ＝3，因此最大角为B ，由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－17.【答案】－178．【解析】由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1＋3－72×1×3＝－32，∴B ＝5π6.【答案】5π69．【解析】由(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝ab ，得(a ＋b )2－c 2＝ab ，即 a 2＋b 2－c 2＝－ab . 由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12.∴c ＝2π3.【答案】2π310．解：由余弦定理，知cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝72＋62－1022×7×6＝－528.在△ABC 中，0°<B <180°，∴90°<B <180°. ∴△ABC 为钝角三角形．11．解：(1)根据正弦定理及2b ·cos A ＝c ·cos A ＋a ·cos C ，得2sin B cos A ＝sin C cos A ＋sin A cos C ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∵sin B ≠0，∴cos A ＝12.∵0<A <π，∴A ＝π3.(2)根据余弦定理得7＝a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc ，∵b ＋c ＝4，∴bc ＝3. 12．解：(1)∵m ＝(cos C 2，sin C2)，n ＝(cos C 2，－sin C2)，∴m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C2＝cos C .又m ·n ＝|m |·|n |cos π3＝12，∴cos C ＝12.又0<C <π，∴C ＝π3.(2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72，∴494＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab . ∵S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ，而S ＝332，∴ab ＝6.∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214.∴a ＋b ＝112.。