第五讲 绝对值专题(一)

第五讲 解读绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础．绝对值又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组)、解不等(组)等问题有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面人手：l ．去绝对值的符号法则：⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a2．绝对值基本性质 ①非负性：0≥a ；②b a ab ⋅=；③)0(≠=b ba b a ；④222a a a ==． 3．绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例题【例1】(1)已知321===c b a ，，，且c b a >>，那么c b a -+＝ ． (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)已知d c b a 、、、是有理数，169≤-≤-d c b a ，，且25=+--d c b a ， 那么=---c d a b ．( “希望杯”邀请赛试题)思路点拨 (1)由已知条件求出c b a 、、的值，注意条件c b a >>的约束；(2)若注意到9+16＝25这一条件，结合绝对值的性质，问题可获解．【例2】 如果c b a 、、是非零有理数，且0=++c b a ，那么abc abc c c b b a a +++的所有可能的值为( )．A ．0B ． 1或一lC ．2或一2D ．0或一2(山东省竞赛题)思路点拨 根据b a 、的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键【例3】已知12--b •ab 与互为相反数，试求代数式：)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值． (“五羊杯”竞赛题)思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出b a 、的值．【例4】化简(1)12-x ； (2)31-+-x x ； (3)121++--x x ．思路点拨 (1)就012012<-≥-x x ，两种情形去掉绝对值符号；(2)将零点1，3在同一数轴上表示出来，就1<x ，1≤x<3，x ≥3三种情况进行讨论；(3)由02101=--=+x x ，，得3,11==-=x x x ，．【例5】已知a 为有理数，那么代数式4321-+-+-+-a a a a 的取值有没有最小值？如果有，试求出这个最小值；如果没有，请说明理由．思路点拨 a 在有理数范围变化，4321----a a a a 、、、的值的符号也在变化，解本例的关键是把各式的绝对值符号去掉，为此要对a 的取值进行分段讨论，在各种情况中选取式子的最小值．注：①我们把大于或等于零的数称为非负数，现阶段a 、n a 2是非负数的两种重要形式，非负数有如下常用性质：(1) a ≥0，即非负敷有最小值为0；(2)若0=+++h b a ，则0====h b a②形如(2)的问题称为多个绝对值问题，解这类问题的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号、即令各绝对值代数式为0，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简求值即可．请读者通过本例的解决，仔细体会上述解题步骤．学力训练1．若有理数x 、y 满足2002(x 一1)2 +0112=+-y x ，则=+22y x ．2．已知3,5==b a ，且a b b a -=-，那么b a += ．3．已知有理数c b a 、、在数轴上的对应位置如图所示： 则b a c a c -+-+-1化简后的结果是 ．湖北省选拔赛题)4．若b a 、为有理数，那么，下列判断中：(1)若b a =，则一定有b a =； (2)若b a >，则一定有b a >； (3)若b a >，则一定有b a >；(4)若b a =，则一定有22)(b a -=．正确的是 (填序号)5．已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数a ，1，一l ，那么1+a 表示( )．A ．A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ． A 、C 两点到原点的距离之和 (江苏省竞赛题)6．已知a 是任意有理数，则a a --的值是( )．A ．必大于零B ．必小于零C 必不大于零D ．必不小于零7．若1++b a 与2)1(+-b a 互为相反数，则a 与b 的大小关系是( )．A ．b a >B ．b a =C ．b a <D ．b a ≥8．如图，有理数b a 、在数轴上的位置如图所示，则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个9．化简：(1)3223++-x x ； (2)1331++--x x ．10．求满足1=+-ab b a 的非负整数对(a ，b)的值．(全国初中联赛题)11．若2-<x ，则=+-x 11 ；若a a -=，则=---21a a ．12．能够使不等式0)1)((<+-x x x 成立的x 的取值范围是 ．l3．a 与b 互为相反数，且54=-b a ，那么12+++-ab a b ab a ＝ ． 14．设c b a 、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且c b a ≤≤，则a c c b b a -+-+-可能取得的最大值是 ．(江苏省竞赛题) ．15．使代数式x xx 43-的值为正整数的x 值是( )．A ．正数B ．负数C ．零D ． 不存在的16．如果02=+b a ，则21-+-ba b a 等于（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．517．如果150<<p ，那么代数式1515--+-+-p x x p x 在15≤≤x p 的最小值是（ ）．A ．30B ．0C ．15D ．一个与p 有关的代数式18．设0=++c b a ，0>abc ，则cb a b ac a c b +++++的值是（ ）． A ．-3 B ．1 C ．3或-1 D ．-3或119．有理数c b a 、、均不为零，且0=++c b a ，设b a ca c bc b ax +++++=，试求代数式20029919+-x x 的值．20．若c b a 、、为整数，且19919=-+-a c b a ，求c b b a a c -+-+-的值．21．已知1,1≤≤y x ，设421--++++=x y y y x M ，求M 的最大值与最小值．22．已知02003200232120032002321=-+-++-+-+-x x x x x ， 求代数式20032002212222x x x x +--- 的值．参考答案。

《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。

绝对值指的是一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用“｜｜”来表示。

例如，数字 5 的绝对值是 5，记作|5| ＝ 5；数字－5 的绝对值也是5，记作|－5| ＝ 5。

从几何意义上来说，绝对值就是一个数到原点 0 的距离。

距离是没有方向的，所以绝对值一定是非负的。

二、绝对值的性质1、非负性绝对值的结果总是非负的，即对于任意实数 a，有|a| ≥ 0。

2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么|a| ＝｜a|。

3、若|a| ＝ a，则a ≥ 0；若|a| ＝ a，则a ≤ 0这意味着当绝对值符号内的数为非负数时，去掉绝对值符号后，数不变；当绝对值符号内的数为负数时，去掉绝对值符号后，要在数前加上负号。

三、绝对值的计算1、正数的绝对值是它本身例如，｜7| ＝ 72、负数的绝对值是它的相反数例如，｜－8| ＝ 83、 0 的绝对值是 0即|0| ＝ 04、多个数的运算当计算包含绝对值的式子时，需要先根据绝对值的性质去掉绝对值符号，再进行运算。

例如，计算|3 5|，先计算 3 5 ＝－2，因为－2 是负数，所以|3 5| ＝｜－2| ＝ 2。

四、绝对值方程1、形如｜x| ＝ a （a ≥ 0）的方程当a ≥ 0 时，方程|x| ＝ a 的解为 x ＝ ±a。

例如，｜x| ＝ 5，那么 x ＝ 5 或 x ＝－5。

2、形如｜ax ＋ b| ＝ c （c ≥ 0）的方程先将方程变形为 ax ＋ b ＝ ±c，然后分别解这两个方程。

例如，｜2x 1| ＝ 3，可变形为 2x 1 ＝ 3 或 2x 1 ＝－3，分别解得x ＝ 2 或 x ＝－1。

五、绝对值不等式1、形如｜x| ＜ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 a ＜ x ＜ a。

例如，｜x| ＜ 3，解集为－3 ＜ x ＜ 3。

2、形如｜x| ＞ a （a ＞ 0）的不等式其解集为 x ＜ a 或 x ＞ a。