九中学区高一年级下期期中考试数学试题

南京九中2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学试题一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．化简OA +OC -OB +CO=()A . AB B . BA C . 0D . AC2.1-2i 1+i +1+2i1-i =( )A ．-1B ．-iC ．1D ．i3．cos24°cos36°-sin24°cos54°的值等于( )A ．-32B ．32C ．-12D ．124．下列说法正确的是( )A ．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B ．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C ．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内D ．分别在两个平面内的两条直线是异面直线5．已知|a |=5，|b |=4，且a ⋅b =-12，则向量a 在向量b 上的投影向量为( )A ．-35bB ．35bC ．-34bD ．34b6．已知角α满足cos x -π3 =-13，则sin 2x -π6 =( A ．-79B ．79C ．-429D ．4297．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点M (3，-1)和点N (0,1)．若点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP |=4，则OP ⋅MN=( )A ．-6B ．-2C ．6D ．28．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD =1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94, 则ΔABC 的面积为A ．94B ．934C ．134D ．1334二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．下列化简正确的是( )A ．cos 2π8-sin 2π8=22B ．2sin 275°-1=12C ．1+tan15°1-tan15°=3D ．tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=-310．下列命题中正确的是( )A ．设a ，b 是非零向量, 若|a +b |=|a -b |, 则a ⋅b =0B ．设z 1，z 2为复数，若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C ．设a ，b ，c 为向量，a ≠0 ，若a ⋅b =a ⋅c，则b =c D ．设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，若z 1z 2 =z 1z 3 ，则z 2 =z 3 11．在ΔABC 中，下列说法正确的有( )A ．若A >B ，则sin A >sin B B ．若A >B ，则sin2A <sin2B C ．若A >B ，则cos A <cos B D ．若A >B ，则cos2A <cos2B12．已知f (x )=32sin ωx -cos 2ωx 2+12(ω>0)，则下列说法正确的是( )A ．若y =|f (x )|的最小正周期为π，则ω=2B ．若f (x )在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C ．若f (x )在(0,π)内单调，则0<ω≤23D ．若ω=2时，直线x =-2π3是函数f (x )图象的一条对称轴三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13.如图, 直观图ΔA B C 表示的平面图形ΔABC 是(锐角三角形、直角三角形、锐角三角形)若ΔA B C 的面积是1 , 则ΔABC 的面积是14．计算：4sin40°-tan40°= ．15. 在ΔABC 中, 若AB ⋅BC =2BC ⋅CA=3CA ⋅AB , 则tan Atan B +tan C=　．16．已知ΔABC 中，AB =1，AC =3，cos A =14，点E 在直线BC 上，且满足BE =AB +lAC (l ∈R )，则|AE |= ．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)如图, 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, EF 别为线段AB 1,BC 1的中点.(1)求证:EF ⎳平面A1B 1C 1D 1;(2)求异面直线EF 与C 1D 的所成角.设实部为正数的复数z，满足|z|=10，且复数(2+i)z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．(Ⅰ)求复数z；(Ⅱ)若z +m2(-1+i)+4mi(m∈R)为纯虚数，求实数m的值．19．(本小题满分12分)在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=60°，AB=23，BD=5．(Ⅰ)求cos∠ADB；(Ⅱ)若CD=3，求BC．在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD =12DC ，F 为线段AB 上一点．(1)若AD =xAB +yAC ，求x -y 的值．(2)求CF ⋅FA的取值范围：(3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⋅AB．21．(本小题满分12分)已知向量a =(cos α,5sin β+2sin α)，b =(sin α,5cos β-2cos α)，且a ⎳b．(1)求cos (α+β)的值；(2)若α，β∈0,π2 ，且tan α=13，求2α+β的值．在ΔABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b, c ,2sin A-sin Csin C=a2+b2-c2a2+c2-b2.(1)求角B的大小及y=sin2A+sin2C的取值范围：(2)设D是AC上一点, 且AD:DC=1:2,BD=1, 求a+3c的最大值.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~南京九中2021-2022学年度第二学期期中考试高一数学试题一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.化简OA +OC -OB +CO =()A.ABB.BAC.0D.AC【答案】B【解析】原式=OA -OB +0 =BA,故选：B 2.1-2i 1+i +1+2i1-i=()A.-1B.-iC.1D.i【答案】A【解析】1-2i 1+i +1+2i 1-i =(1-2i )(1-i )(1+i )(1-i )+(1+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=-1-3i 2+-1+3i2=-1．故选：A ．3.cos24°cos36°-sin24°cos54°的值等于()A.-32 B.32 C.-12 D.12【答案】D【解析】cos24°cos36°-sin24°cos54°=cos24°cos36°-sin24°sin36°=cos (24°+36°)=cos60°=12，故选：D ．4.下列说法正确的是()A.有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内D.分别在两个平面内的两条直线是异面直线【答案】C 【解析】~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱，如上图故A 不正确；如上图，B 不正确，根据平面推论，两两相交且不过同一点的三条直线显然在同一平面内C 正确，对于D ,分别在两个平面内的两条直线位置关系平行、相交、异面皆可故选：C ．5.已知|a |=5，|b |=4，且a ⋅b =-12，则向量a 在向量b 上的投影向量为()A.-35bB.35bC.-34bD.34b【答案】C【解析】设a 与b 的夹角为θ，则cos θ=a ⋅b|a ||b |=-125×4=-35，∴向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos θ⋅b |b |=5×-35 ×b4=-34b．故选：C ．6.已知角α满足cos x -π3 =-13，则sin 2x -π6=()A.-79 B.79 C.-429 D.429【答案】A【解析】设θ=x -π3，则cos θ=-13，sin 2x -π6 =sin 2θ+π3 -π6 =sin 2θ+π2 =cos2θ=2cos 2θ-1=2⋅-13 2-1=-79故选：A7.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，已知点M (3，-1)和点N (0,1)．若点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP |=4，则OP ⋅MN=()A.-6 B.-2 C.6 D.2【答案】B 【解析】点M (3，-1)可知OM 与x 轴正方向所角为30°，如图点M (3，-1)和点N (0,1)那么ON =1，MO =2，余弦定理可得∠MON =120°，点P 在∠MON 的角平分线上，且|OP|=4，那么∠MOP =∠NOP =60°，可得P 的坐标为(23,2)，∴OP ⋅MN=(23,2)⋅(-3，2)=-6+4=-2；故选：B ．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~8.图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小的正方形拼成一个大的正方形．某同学深受启发，设计出一个图形，它是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，如图2，若BD =1，且三个全等三角形的面积和与小正三角形的面积之比为94,则ΔABC 的面积为()A.94 B.934 C.134 D.1334【答案】D【解析】∵3S ΔADB S ΔDEF =3S ΔADB S ΔDEF =3∙12AD ∙BD ∙sin120°34AD -BD2=3AD AD -12=94∴AD =3,在ΔABD 中,由余弦定理可得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ⋅BD ⋅cos ∠ADB =32+12-2⋅3⋅1cos1200=13,∴S ΔABC =34AB 2=1334故选：D ．二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9.下列化简正确的是()A.cos 2π8-sin 2π8=22B.2sin 275°-1=12C.1+tan15°1-tan15°=3 D.tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=-3【答案】ACD【解析】对于A :cos 2π8-sin 2π8=cos π4=22，故A 正确;对于B :2sin 275°-1=-cos150∘=32，故B 错误;对于C :1+tan15°1-tan15°=tan45°+tan15°tan45°-tan45°tan15°=tan 45°+15° =tan60°=3故C 正确对于D ：tan20°+tan40°+tan120°tan20°tan40°=tan20°∙tan40°∙tan120°tan20°tan40°=tan120°=-3故D 正确故选：ACD ．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~10.下列命题中正确的是()A.设a ，b 是非零向量,若|a +b |=|a -b |,则a ⋅b =0B.设z 1，z 2为复数，若|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.设a ，b ，c 为向量，a ≠0 ，若a ⋅b =a ⋅c，则b =c D.设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，若z 1z 2 =z 1z 3 ，则z 2 =z 3【答案】AD【解析】对于B :设a ,b 是非零向量,若|a +b |=|a -b|,整理得:|a +b |2=|a -b |2,故a ⋅b =0,所以a ⊥b,故A 正确;对于B ，令z 1=1+i ，z 2=1-i ，则z 1+z 2=2，z 1-z 2=2i ，满足|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，但z 1z 2=2≠0，故B 错误．对于C ∵a ≠0 ，a ⋅b =a ⋅c ，∴a ⋅(b -c)=0，∴a⊥(b -c )，不一定有b =c ，故C 错误，对于D ，z 1，z 2，z 3为复数，z 1z 2 =z 1z 3 ⇒z 1 z 2 =z 1 z 3 又∵z 1 ≠0，∴z 1 =z 3 ，故D 正确，故选：AD ．11.在ΔABC 中，下列说法正确的有()A.若A >B ，则sin A >sin BB.若A >B ，则sin2A <sin2BC.若A >B ，则cos A <cos BD.若A >B ，则cos2A <cos2B【答案】ACD【解析】对于A ，因为A >B ⇒a >b ，由正弦定理，得2R sin A >2R sin B ，所以sin A >sin B ，A 正确；对于B ，若A =π2，B =π4，则sin (2A )=0，sin (2B )=1，可得sin2A <sin2B ，B 错误；对于C ，若A >B ，因为A ，B ∈(0,π)，且余弦函数y =cos x 在(0,π)上为减函数，故cos A <cos B ，C 正确；对于D ，若A >B ，且A ，B ∈(0,π)，则sin A >sin B >0，则cos2B =1-2sin 2B >1-2sin 2A =cos2A ，D 正确．故选：ACD ．12.已知f (x )=32sin ωx -cos 2ωx 2+12(ω>0)，则下列说法正确的是()A.若y =|f (x )|的最小正周期为π，则ω=2B.若f (x )在(0,π)内无零点，则0<ω≤16C.若f (x )在(0,π)内单调，则0<ω≤23D.若ω=2时，直线x =-2π3是函数f (x )图象的一条对称轴【答案】BCD【解析】函数f (x )=32sin ωx -cos 2ωx 2+12=32sin ωx -12cos ωx =sin ωx -π6，对于A ：当ω=2时，f (x )=sin 2x -π6的最小正周期为π，由于函数|f (x )|的周期减半，则最小正周期为π2，故A 错误；0<ω≤16~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~对于B ：令x =0，ωx -π6=-π6，由于x ∈(0,π)，所以ωx -π6∈-π6,ωπ-π6，由于f (x )在(0,π)内无零点，x =0是sin x 的零点，所以ωπ-π6≤0，故，故B 正确；对于C ：由于sin x 在-π2,π2 上单调递增，所以ωπ-π6≤π2，所以0<ω≤23，故C 正确；对于D ：当ω=2时，函数f -2π3 =sin -4π3-π6 =1，故直线x =-2π3是函数f (x )的一条对称轴，故D 正确．故选：BCD ．三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13.如图,直观图ΔA B C 表示的平面图形ΔABC 是(锐角三角形、直角三角形、锐角三角形)若ΔA B C 的面积是1,则ΔABC 的面积是【答案】直角三角形，22解析:由斜二测画法,知∠x O y =135°,则∠xOy =90°,所以ΔABC 是直角三角形.因为BC =B C,BC 边上的高是B C 边上的高的22倍，ΔA B C 的面积是1,所以ΔABC 的面积是2 2.14.计算：4sin40°-tan40°=【答案】3【解析】原式=4sin40°-sin40°cos40°=4sin40°cos40°-sin40°cos40°=2sin80°-sin40°cos40°=2cos10°-sin40°cos40°=2cos10°-sin (30°+10°)cos40°=2cos10°-12cos10°-32sin10°cos40°=32cos10°-32sin10°cos40°=332cos10°-12sin10° cos40°=3(cos30°cos10°-sin30°sin10°)cos40°=3cos40°cos40°=3．15.在ΔABC 中,若AB ⋅BC =2BC ⋅CA=3CA ⋅AB ,则tan Atan B +tan C=【答案】1【解析】法1：∵AB ⋅BC =2BC ⋅CA=3CA ⋅AB ,∴ac cos B =2ab cos C =3bc cos A ,根据正弦定理即a sin A=b sin B =csin C ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~∴ac cos B ∙b sin B =2ab cos C ∙c sin C =3bc cos A ∙asin A ,∴1tan B =2tan C =3tan A,∴tan A :tan B :tan C =3:1:2.∴tan A tan B +tan C=1法2：由共起点向量三边式：a 2+c 2-b 22=a 2+b 2-c 2=3b 2+c 2-a 2 2=ktan A tan B =c 2+a 2-b 2 c 2-a 2-b 2 =2k 2k 3=3，tan B tan C =a 2+b 2-c 2 a 2-b 2-c 2=k 2k =12∴tan A :tan B :tan C =3:1:2.∴tan Atan B +tan C=116.已知ΔABC 中，AB =1，AC =3，cos A =14，点E 在直线BC 上，且满足BE =AB +lAC (l ∈R )，则|AE |=【答案】10【解析】∵BE =AE -AB =AB+lAC ，∴AE =2AB +lAC ，且B ，E ，C 三点共线，∴2+l =1，l =-1，∴AE =2AB -AC ，且AB =1,AC =3,cos A =14，∴|AE |=(2AB -AC )2=4AB 2+AC 2-4AB ⋅AC =4+9-4×1×3×14=10．故答案为：10．四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分10分)如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,EF 别为线段AB 1,BC 1的中点.(1)求证:EF ⎳平面A 1B 1C 1D 1;(2)求异面直线EF 与C 1D 的所成角.【解析】证明：(1)设B 1C ∩BC =F ，连接AC∵E ,F 分别是B 1A ,B 1C 的中点∴EF ⎳AC ∵EF ⊄平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~∴EF ⎳平面ABC 1D 1．(2)∵四边形AB 1CD 为平行四边形，∴AB 1⎳CD 又EF ⎳AC∴异面直线EF 与C 1D 的所成角为∠B 1AC∵B 1A =AC =B 1C ∴ΔB 1AC 为等边三角形，∠B 1AC =60°∴异面直线EF 与C 1D 的所成角为60°18.(本小题满分12分)设实部为正数的复数z ，满足|z |=10，且复数(2+i )z 在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上．(Ⅰ)求复数z ；(Ⅱ)若z+m 2(-1+i )+4mi (m ∈R )为纯虚数，求实数m 的值．【解析】(Ⅰ)设z =a +bi ，a ，b ∈R ，a >0．由题意：a 2+b 2=10．①(2+i )(a +bi )=2a -b +(a +2b )i ，得2a -b +a +2b =0，3a +b =0，②①②联立，解得a =1．b =-3；得z =1-3i ．(Ⅱ)z+m 2(-1+i )+4mi =(-m 2+1)+(m 2+4m +3)i ；由题意可知-m 2+1=0m 2+4m +3≠0 ；解得m =1．19.(本小题满分12分)在平面四边形ABCD 中，∠ADC =90°，∠A =60°，AB =23，BD =5．(Ⅰ)求cos ∠ADB ；(Ⅱ)若CD =3，求BC ．【解析】(I )ΔABD 中，∠A =60°，AB =23，BD =5．由正弦定理得AB sin ∠ADB =BD sin ∠A ，所以23sin ∠ADB =532，所以sin ∠ADB =35，因为∠ADB 为锐角，所以cos ∠ADB =45；(II )因为∠ADC =90°，所以cos ∠BDC =sin ∠ADB =35，ΔBDC 中，由余弦定理得35=25+9-BC22×5×3，解得BC =4．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~20.(本小题满分12分)在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD =12DC ，F 为线段AB 上一点．(1)若AD =xAB +yAC ，求x -y 的值．(2)求CF ⋅FA的取值范围：(3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⋅AB．【解析】法1：基底法(1)∵BD =12DC ，∴AD -AB =12(AC -AD )，即32AD =AB +12AC ，∴AD =23AB +13AC ，又AD =xAB +yAC ，∴x =23,y =13，∴x -y =23-13=13；(2)∵在ΔABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，∴∠CAB =π3,BC =3，∴CF ⋅FA =(CA +AF )⋅FA =CA ⋅FA +AF ⋅FA ，设|AF|=x ，由题意，x ∈[0，2]，∴CF ⋅FA =|CA ||FA |cos ∠CAB -|AF |2=12x -x 2=-x -14 2+116，又x ∈[0，2]，∴-x -14 2+116∈-3,116 ，即CF ⋅FA 的取值范围为-3,116 ；(3)∵F 为线段AB 的中点，∴CF =CA +12AB =12CA +12CB ，∵直线CF 与AD 相交于点M ，不妨设CM =λCF(0<λ<1),AM =μAD (0<μ<1)，∴CM =λ2CA +λ2CB ，因此AM =CM -CA =λ2-1 CA +λ2CB ，又AD =CD -CA =23CB -CA ，故AM =μ23CB -CA ，因此λ2-1 CA +λ2CB =μ23CB -CA ，∴λ2-1=-μλ2=23μ，解得λ=45，∴CM ⋅AB =25CA +25CB ⋅(CB -CA )=25CB 2-25CA 2=45．~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~法2：建系法(1)由题意以点C 为坐标原点,以CB ,CA 所在直线为x ,y 轴建立直角坐标系,∵AB =2,AC =1,∠ACB =π2,∴BC =AB 2-AC 2=3,∵BD =12DC ,CD =23BC =233则C (0,0),A (0,1),B (3,0),D 233,0 ,设AB =a ,AC =b ,AD =233,-1 ,a =AB=(3,-1)b =AC =(0,-1),∵AD =xa +yb ,∴233,-1 =x (3,-1)+y (0,-1)∴233=3x -1=-x -y 解得x =23y =13则x -y =13.(2)直线AB 的方程为y =-33x +1,设F x ,-33x +1 ,x ∈[0,3],∴FA =-x ,33x,CF =x ,-33x +1 ∴CF ⋅FA =-43x 2+33x =-43x -38 2+116∴x ∈[0,3],∴x =38时,CF ⋅FA 取最大值为116,∴x =3,CF ⋅FA 取最小值为-3,则CF ⋅FA 的取值范围是-3,116.(3)∵F 为线段AB 的中点,∴F 32,12 ,则直线CF 的方程为y =33x (1)由A (0,1),D 233,0 ,得直线AD 的方程为y =-32x +1(2),联立(1)(2)解得M 235,25 ,∴CM =235,25 ∵A (0,1),B (3,0),∴AB=(3,-1),则CM ⋅AB =235×3+25×(-1)=45~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~21.(本小题满分12分)已知向量a =(cos α,5sin β+2sin α)，b =(sin α,5cos β-2cos α)，且a ⎳b．(1)求cos (α+β)的值；(2)若α，β∈0,π2 ，且tan α=13，求2α+β的值．【解析】(1)因为a ⎳b ，所以cos α(5cos β-2cos α)-sin α(5sin β+2sin α)=0，所以5(cos αcos β-sin αsin β)=2(sin 2α+cos 2α)=2，所以5cos (α+β)=2，即cos (α+β)=255．(2)因为α，β∈0,π2 ，所以0<α+β<π，因为cos (α+β)=255，所以sin (α+β)=55，所以tan (α+β)=12，因为tan α=13，所以tan (2α+β)=tan α+tan (α+β)1-tan αtan (α+β)=13+121-12×13=1，因为0<α+β<π，且cos (α+β)=255>0，所以0<α+β<π2，因为0<α<π2，所以0<2α+β<π．因为tan (2α+β)=1，所以2α+β=π4．22.(本小题满分12分)在ΔABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,2sin A -sin C sin C =a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2.(1)求角B 的大小及y =sin 2A +sin 2C 的取值范围：(2)设D 是AC 上一点,且AD :DC =1:2,BD =1,求a +3c 的最大值.【解析】(1)由余弦定理得2sin A -sin C sin C =a 2+b 2-c 2a 2+c 2-b 2=2ab cos C 2ac cos B =b cos Cc cos B 由正弦定理得∴b cos C c cos B =sin B cos C sin C cos B ∴2sin A -sin C sin C =sin B cos C sin C cos B~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~∵sin C ≠0∴2sin A cos B =sin C cos B +sin B cos C =sin B +C =sin A∵sin A ≠0∴cos B =12∵B ∈0,π ∴B =π3,故A +C =2π3,(2)∵cos ∠ADB +cos ∠CDB =0,∴1+19b 2-c 22⋅1⋅13b +1+49b 2-a 22⋅1⋅23b=0∴23b 2=a 2+2c 2-3(互补模型或向量或辅助线都可证明)又∵a 2+c 2-b 2=ac ∴2a 2+c 2-ac =3a 2+2c 2-3 即(a +c )2+3c 2=9,设a +c =3cos θ,3c =3sin θ∴a +3c =23sin θ+3cos θ=21sin (θ+φ)(其中tan φ=32当sin (θ+φ)=1时,a +3c 有最大值21.。

2019-2020学年包头九中高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已如实数a ，b 满足a >b >0.则下列不等式一定成立的是( )A. a +1b >b +1aB. ac >bcC. a −1b >b −1aD. a −1b <b −1a2. 数列{a n }中，a 1=3，且a n+1=a n −2(n ∈N ∗)，则a 8=( )A. 17B. 19C. −13D. −113. 已知在△ABC 中内角ABC 的对边分别为ab 边c 上的高为abcosCc，ab =2√2，则角C 的大小( )A. 14πB. 16πC. 12πD. 34π4. 设公比q =12的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S4a 3=( )A. 152B. 154C. 72D. 745. 在△ABC 中，D 为BC 边上的点，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λμ的最大值为( ) A. 1B. 12C. 13D. 146. 已知数列{a n }，a 2=1，a n +a n+1=2n,n ∈N ∗，则a 1+a 3的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 87. 已知D 是△ABC 中AC 边上一点，且ADDC =2+2√3，∠C =45°，∠ADB =60°，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 2 B. 0 C. √3D. 18. 某人计划年初向银行贷款m 万元用于买房．他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：分10次等额归还，每年一次，并从借后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为r ，且每年利息均按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，则每年应还款金额为( )元A. m⋅104⋅r(1+r)−1 B. m⋅104⋅r(1+r)−(1+r)C.m⋅104⋅r⋅(1+r)9(1+r)9−1D.m⋅104⋅r⋅(1+r)10(1+r)10−19. 在△ABC 中，若b 2tanA =a 2tanB ，则△ABC 的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰或直角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形10. 在等差数列{a n }中，若a 6+a 8+a 10=72，则2a 10−a 12的值为( )A. 6B. 16C. 24D. 6011.将甲、乙两颗骰子先后各抛掷一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两颗骰子所掷出的点数，若M(a,b)落在不等式x2+y2≤m(m为常数)所表示的区域内，设为事件C，要使事件C的概率P(C)=1，则m的最小值为()A. 52B. 61C. 72D. 712.为维护国家主权和领土完整，海监船310号奉命赴钓鱼岛海域执法巡航，当船航行到A处时测得钓鱼岛在我船北偏东45°方向上，船沿正东方向继续航行20海里到达B处后，又测得钓鱼岛在船北偏东15°方向上，则此时B处到钓鱼岛的距离为()A. 10海里B. 20海里C. 20√2海里D. 20√3海里二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若不等式ax2+bx+2>0的解集为，则a−b=________．14.在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c若a 2=b2+√3bc+c2，则A=______ ．15.设n为正整数，f(n)=1+++⋯+，计算得f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为_________________．16.已知等差数列{a n}的公差不为零，a1+a2+a5>13，且a1，a2，a5成等比数列，则a1的取值范围为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.解关于x不等式x2−x−a(a−1)>0(a∈R)．18.在等比数列{a n}中，它的前n项和是n，a1=1，S3=3a3时，求公比q和通项公式a n．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(sinA+sinB)2=sin2C+sinAsinB．(1)求C；(2)若a=2，c=3，求△ABC的面积．20.已知等差数列{a n)的首项a1=2，公差d=2，数列{b n}满足log3b n=−a n．2(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)求数列{a n+b n}的前n项和T n．21.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinA+sinC=2sinBcosC．(1)求B的大小；(2)若a=3，且AC边上的中线长为√19，求△ABC的面积．222.设M为部分正整数组成的集合，数列{a n}的首项a1=1，前n项和为S n，已知对任意整数k∈M，当整数n>k时，S n+k+S n−k=2(S n+S k)都成立(1)设M={1}，a2=2，求a5的值；(2)设M={3,4}，求数列{a n}的通项公式．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵a>b>0．A.a+1b −(b+1a)=(a−b)(1+1ab)>0，∴a+1b>b+1a，正确．B.ac与bc的大小关系与c有关系，因此不正确；C.a−1b −(b−1a)=(a−b)(1−1ab)与0的大小关系不确定，因此不正确．D.由C可知不正确．故选：A．根据a>b>0.A通过作差即可判断出结论．B.ac与bc的大小关系与c有关系．C.作差即可判断出结论．D.由C可知正误确．本题考查了不等式的基本性质、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：由a n+1=a n−2(n∈N∗)，可得：a n+1−a n=−2，∴数列{a n}是等差数列，公差为−2．a8=3−2×7=−11．故选：D．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：A解析：解：由题意，根据三角形的面积公式，可得：12absinC=12c⋅abcosCc，解得sinC=cosC，即tanC=1，又0<C<π，可得C=π4．故选：A．根据三角形的面积公式，解得sinC=cosC，即tanC=1，即可求解C的大小；本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，合理选择正、余弦定理求解，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．4.答案：A解析：解：∵公比q=12，∴S4a3=a1[1−(12)4]1−12a1(12)2=152．故选：A．利用等比数列的求和公式、通项公式，即可得出结论．本题考查等比数列的求和公式、通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，(λ>0,μ>0)∴λμ≤(λ+μ2)2=(12)2=14(当且仅当λ=μ时取“=”)．∴λμ的最大值为14．故选：D．在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，(λ、μ>0)，利用基本不等式即可求得λμ的最大值．本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，(λ>0,μ>0)是关键，属于中档题．6.答案：A解析：解：数列{a n}，a2=1，a n+a n+1=2n,n∈N∗，可得a1+a2=2，a2+a3=4，解得a1=1，a3=3，a1+a3=4．故选：A ．利用递推关系式，转化求解即可．本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．7.答案：B解析：解：令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ， 在△BCD 中，由正弦定理CDsin15°=BDsin45°=BCsin120°， 可得BD =CD⋅sin45°sin15°=√22√6−√24t =(1+√3)t ，在△ABC 中，由余弦定理可得， AB 2=AD 2+BD 2−2AD ⋅BD ⋅cos60° =4(1+√3)2t 2+(1+√3)2t 2−4(1+√3)2t 2⋅12 =3(1+√3)2t 2， 则AB =√3(1+√3)t ， 由于AB 2+DB 2=AD 2， 则AB ⊥DB ， 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0． 故选：B ．令CD =t ，则AD =2(1+√3)t ，由正弦定理和余弦定理即可求得BD ，AB ，再由勾股定理可得AB ⊥DB ，则由向量垂直的条件即可得到所求值．本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．8.答案：D解析：本题考查了函数模型的选择及应用，考查了简单的数学建模思想方法，关键是列出贷款和还款本息的等式，是中档题．设出每年应还款的数额，分别求出该人10年还款的现金与利息和以及银行贷款m 万元10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数． 解：设每年应还x 万元，还款10次， 则该人10年还款的现金与利息和为：x[1+(1+r)+(1+r)2+⋯+(1+r)9]， 银行贷款m 万元10年后的本利和为m(1+r)10．∴x[1+(1+r)+(1+r)2+⋯+(1+r)9]=m(1+r)10， ∴x ⋅1−(1+r)101−(1+r)=m(1+r)10， 即x =mr(1+r)10(1+r)10−1万元，即每年应还款金额为m⋅104⋅r⋅(1+r)10(1+r)10−1元．故选D ．9.答案：B解析：解：∵三角形ABC 中，a 2tanB =b 2tanA ， ∴由正弦定理asinA =bsinB =2R 得：sin 2BsinA cosA=sin 2AsinB cosB，∵sinA ⋅sinB >0，所以sin2A =sin2B ，又A 、B 为三角形中的角， ∴2A =2B 或2A =π−2B ， ∴A =B 或A +B =π2． 故选B ．三角形ABC 中，利用正弦定理化简a 2tanB =b 2tanA ，再利用二倍角的正弦即可得到sin2A =sin2B ，从而得到：A =B 或A +B =π2，问题即可解决．本题考查三角形的形状判断，着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式，属于中档题．10.答案：C解析：本题考查等项数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．由等差数列的性质求出a 8=24，可得2a 10−a 12=2(a 1+9d)−(a 1+11d)=a 1+7d =a 8，由此能求出结果．解：∵在等差数列{a n }中，a 6+a 8+a 10=72， ∴a 6+a 8+a 10=3a 8=72， 解得a 8=24，∴2a10−a12=2(a1+9d)−(a1+11d)=a1+7d=a8=24．故选：C．11.答案：C解析：解：P(C)=1表示事件C为必然事件，即a2+b2≤m恒成立，∴m≥(a2+b2)max，∵甲、乙两颗骰子的点数的最大值都为6，试验(a2+b2)max=36+36=72，∴m≥72，故选：C．根据概率P(C)=1，得到事件C为必然事件，即a2+b2≤m恒成立，然后将不等式恒成立转化为求最值即可得到结论．正确理解P(C)=1是解决此题的关键，函数恒成立问题在高考中经常出现，此类问题的解题方法一般是分离参数后转化为最值问题，如本题．在难于分离参数时，可运用数形结合法解决．如：在上恒成立，求a的范围，就可运用二次函数图象来解决；又如：在上恒成立，求x的范围，则应该设，转化为在上恒成立，即只要即可．12.答案：C解析：解：设钓鱼岛的位置为C，则△ABC中，∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=20海里，∴BCsin45°=20sin30°，∴BC=20√2海里．故选：C．设钓鱼岛的位置为C，则△ABC中，∠A=45°，∠ABC=105°，∠C=30°，AB=20海里，利用正弦定理可得结论．本题考查正弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．13.答案：解析：试题分析：由题意可知是方程的根且.所以且，解得.所以．考点：一元二次不等式．14.答案：5π6解析：解：∵a 2=b2+√3bc+c2，∴b2+c2−a2=−√3bc，∴由余弦定理可得：cosA=b2+c2−a22bc =−√3bc2bc=−√32．∵A∈(0,π)，∴解得：A=5π6．故答案为：5π6．由已知整理可得b2+c2−a2=−√3bc，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =−√32，结合范围A∈(0,π)，即可解得A的值．本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题．15.答案：解析：试题分析：f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3可变形为，，，观察规律得考点：考查学生的数据观察分析能力点评：将已知的关系式变化为相同的形式，方便于找到其规律16.答案：(1,+∞)解析：解：因为a1，a2，a5成等比数列得到(a2)2=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简得d(d−2a1)=0，解得d=0(舍去)，d=2a1又因为a1+a2+a5>13，所以3a1+5d>13，把d=2a1代入解得a1>1，故答案为：(1,+∞)．由题意a 1，a 2，a 5成等比数列可得(a 2)2=a 1a 5，利用等差数列的通项公式化简后得到d =0或d =2a 1，又根据a 1+a 2+a 5>13，再利用等差数列的通项公式化简后，将d =2a 1代入即可求出a 1的取值范围．此题要求学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 17.答案：解：当a =12时，不等式化为(x −12)2>0解得：x ≠12，当a >12时，a >1−a 原不等式解得：x <1−a 或x >a ，当a <12时，a <1−a 原不等式解得：x <a 或x >1−a ，综上所述：当a =12时，不等式的解集为{x|x ≠12}，当a >12时，不等式的解集为{x|x <1−a 或x >a}，当a <12时不等式的解集为{x|x <a 或x >1−a}．解析：通过a 与12大小讨论，然后求解不等式的解集即可．本题考查含参数的二次不等式的解集的求法，考查转化思想以及计算能力． 18.答案：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1=1，S 3=3a 3时，∴1+q +q 2=3q 2，解得q =1或−12．∴q =1时，a n =n ．q =−12时，a n =(−12)n−1．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1=1，S 3=3a 3时，可得1+q +q 2=3q 2，解得q ，利用等比数列的通项公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19.答案：解：(1)∵(sinA +sinB)2=sin 2C +sinAsinB∴由正弦定理，得(a +b)2=c 2+ab ，∴a 2+b 2−c 2=−ab ，由余弦定理得：cosC =−12，∵0<C<π，∴C=2π3；(2)由a2+b2−c2=−ab，及a=2，c=3，得4+b2−9=−2b，∴b2+2b−5=0∴b=−1+√6∴△ABC的面积为S=12absinC=3√2−√32．解析：(1)由(sinA+sinB)2=sin2C+sinAsinB，根据正弦定理可得a，b，c之间的关系，然后由余弦定理求出cos C，再求出C；(2)由余弦定理，可得b的值，然后用面积公式求出S=12absinC求出面积．本题考查了正余弦定理和面积公式，考查了转化思想和计算能力，属基础题．20.答案：解：(1)等差数列{a n)的首项a1=2，公差d=2，可得a n=2+2(n−1)=2n；log3b n=−a n2=−n，即有b n=3−n；(2)a n+b n=2n+3−n，前n项和T n=(2+4+⋯+2n)+(3−1+3−2+⋯+3−n)=12n(2+2n)+13(1−13n)1−13=n2+2n+12(1−13n).解析：(1)运用等差数列的通项公式可得a n，再由对数的运算性质可得b n；(2)运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分组求和的数列求和方法，属于基础题．21.答案：解：(1)因为2sinA+sinC=2sinBcosC，所以2sin(B+C)+sinC=2sinBcosC，可得2sinBcosC+2cosBsinC+sinC=2sinBcosC，所以2cosBsinC+sinC=0，因为sinC≠0，所以2cosB+1=0，可得cosB=−12，因为B∈(0,π)，所以B=2π3．(2)由B=2π3，可得b2=a2+c2+ac=c2+3c+9，①在△ABC中，取AC的中点D，连接BD，因为a=3，BD=√192，所以在△CBD中，cosC=BC2+CD2−BD22BC⋅CD =9+b24−194ab，在△ABC中，cosC=BC2+AC2−AB22BC⋅AC=9+ b2−c22ab，所以9+b2−c2=2(9+b24−194)，②把①代入②，化简可得c2−3c−10=0，解得c=5，或c=−2(舍去)，所以c=5，所以△ABC的面积S=12acsinB=12×3×5×sin2π3=15√34．解析：(1)利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cosB=−12，结合B∈(0,π)，可得B的值．(2)由已知利用余弦定理得b2=c2+3c+9，在△ABC中，取AC的中点D，连接BD，在△CBD，△ABC中，利用余弦定理可得9+b2−c2=2(9+b24−194)，联立可得c2−3c−10=0，解得c的值，根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.答案：解：(1)由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S n+1+S n−1=2(S n+S1)，即(S n+1−S n)−(S n−S n−1)=2S1，又a1=1，则a n+1−a n=2a1=2，又a2=2，所以数列{a n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，故当n≥2时，a n=a2+2(n−2)=2n−2，所以a5=8；(2)根据题意可知当k∈M={3,4}，且n>k时，S n+k+S n−k=2(S n+S k)①，且S n+1+k+S n+1−k=2(S n+1+S k)②，②−①得：(S n+1+k−S n+k)+(S n+1−k−S n−k)=2(S n+1−S n)，即a n+1+k+a n+1−k=2a n+1，可化为：a n+1+k−a n+1=a n+1−a n+1−k所以n≥8时，a n−6，a n−3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，且a n−6，a n−2，a n+2，a n+6也成等差数列，从而当n≥8时，2a n=a n−3+a n+3=a n−6+a n+6，(∗)且a n−2+a n+2=a n−6+a n+6，所以当n≥8时，2a n=a n−2+a n+2，即a n+2−a n=a n−a n−2，于是得到当n≥9时，a n−3，a n−1，a n+1，a n+3成等差数列，从而a n−3+a n+3=a n−1+a n+1，由(∗)式可知：2a n=a n−1+a n+1，即a n+1−a n=a n−a n−1，当n≥9时，设d=a n−a n−1，则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由(∗)可知，2a n+6=a n+a n+12，得到2a n+7=a n+1+a n+13，两式相减得：2(a n+7−a n+6)=a n+1−a n+(a n+13−a n+12)，则a n+1−a n=2d−d=d，因此，a n−a n−1=d对任意n≥2都成立，又由S n+k+S n−k−2S n=2S k，可化为：(S n+k−S n)−(S n−S n−k)=2S k，当k=3时，(S n+3−S n)−(S n−S n−3)=9d=2S3；同理当k=4时，得到16d=2S4，两式相减得：2(S4−S3)=2a4=16d−9d=7d，解得a4=72d，因为a4−a3=d，解得a3=52d，同理a2=32d，a1=d2，则数列{a n}为等差数列，由a1=1可知d=2，所以数列{a n}的通项公式为a n=1+2(n−1)=2n−1．解析：(1)由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S n+1+S n−1= 2(S n+S1)都成立，变形后，利用S n+1−S n=a n+1，及a1=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；(2)当n大于k时，根据题意可得S n+k+S n−k=2(S n+S k)，记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②−①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a n−6，a n−3，a n，a n+3，a n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作(∗)，且a n−6，a n−2，a n+2，a n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a n+2−a n=a n−a n−2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a n−a n−1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入(∗)中，得到一个关系式，同时把n+7也代入(∗)得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a n−a n−1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a n−a n−1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a n−a n−1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．。

期中数学试卷（文科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共13小题，共65.0分）1.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（）A. B. C. D.2.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数，中位数的估计值为（）A. 62，62.5B. 65，62C. 65，62.5D. 62.5，62.53.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A. B. C. D.4.天气预报说，在今后的三天中，每三天下雨的情况不完全相同，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1，2，3，4表示下雨，从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据．据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）1907966191925271932812458569191683431257393027556488730113537989．A. B. C. D. 非ABC的结果5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，其棱长为2，P为该正方体内随机一点，则满足|PA|≤1的概率是（）A. B. C. D.6.已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )A. x2＋y2－2x－3＝0B. x2＋y2＋4x＝0C. x2＋y2＋2x－3＝0D. x2＋y2－4x＝07.在空间直角坐标系中，点A（-4，-1，-9）与点B（-10，1，-6）的距离是（）A. 5B. 6C. 7D. 88.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481 080702019.高三（3）班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知3号、17号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）A. 30B. 31C. 32D. 3310.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中，数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，则下列叙述正确的是（）A. ,乙比甲成绩稳定B. ,甲比乙成绩稳定C. ,乙比甲成绩稳定D. ,甲比乙成绩稳定11.执行如图所示的程序框图，若输出n的值为9，则判断框中可填入（）A. S≥45？B. S≥36？C. S＞45？D. S≥55？12.设α角属于第二象限，且|cos|=-cos，则角属于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限13.已知sinα=-，且α是第三象限的角，则tanα的值为（）A. B. - C. D. -二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）14.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件．15.经过点P（2，-3）作圆（x+1）2+y2=25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为______．16.若圆与圆相交于点A，B，则|AB|=_________．17.数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，则数据2x1-6，2x2-6，…，2x8-6的方差为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知-＜x＜0，sin x+cos x=．（1）求sin2x-cos2x的值；（2）求的值．19.设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0．（1）若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（2）若a是从区间[0，3]任取的一个数，b是从区间[0，2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．20.某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如表：月平均气温x（℃）171382月销售量y（件）24334055参考公式：线性回归方程为=bx+a，其中b==．（1）算出线性回归方程=bx+a；（a，b精确到十分位）（2）气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，求该商场下个月毛衣的销售量．21.已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-3=0，直线l：x-y+t=0．（1）若直线l与圆C相切，求实数t的值；（2）若直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|=4，求实数t的值．22.上周某校高三年级学生参加了数学测试，年级组织任课教师对这次考试进行成绩分析．现从中随机选取了40名学生的成绩作为样本，已知这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组[40，50)；第二组[50，60)；…；第六组[90，100]，并据此绘制了如图所示的频率分布直方图．（1）估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名，求至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内的概率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵甲不输与甲、乙两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：甲不输的概率P=+=．故选：A．利用互斥事件的概率加法公式即可得出．本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，关键是判断出事件的关系，然后选择合适的概率公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：最高的矩形为第三个矩形，所以时速的众数为65前两个矩形的面积为（0.01+0.03）×10=0.4由于0.5-0.4=0.1，则，∴中位数为60+2.5=62.5故选C选出直方图中最高的矩形求出其底边的中点即为众数；求出从左边开始小矩形的面积和为0.5对应的横轴的左边即为中位数解决频率分布直方图的有关特征数问题，利用众数是最高矩形的底边中点；中位数是左右两边的矩形的面积相等的底边的值；平均数等于各个小矩形的面积乘以对应的矩形的底边中点的和．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查概率的求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题．用列举法求出基本事件总数和抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件个数，由此能求出概率．【解答】解：有放回地从5张标签随机地选取两张标签的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5),（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5）,共有25种.抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率=．故选D．4.【答案】C【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为=.故选：C本题考查模拟方法估计概率，解题的关键是利用等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．5.【答案】A【解析】解：由题意可知总的基本事件为正方体内的点，可求其体积23=8，满足|PA|≤1的基本事件为A为球心1为半径的球内部在正方体中的部分，其体积为V=×π×13=，故概率P==．故选：A．由题意可得概率为体积之比，分别求正方体的体积和八分之一球的体积可得．本题考查几何概型，涉及正方体和球的体积公式，属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】此题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准式方程，是一道中档题．由圆心在x轴的正半轴上设出圆心的坐标（a，0）且a大于0，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线3x+4y+4=0的距离，由直线与圆相切得到距离与半径相等列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．得到圆心的坐标，然后根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＞0），由题意知圆心到直线3x+4y+4=0的距离d===r=2，解得a=2，所以圆心坐标为（2，0）.则圆C的方程为：（x-2）2+y2=4，化简得x2+y2-4x=0故选：D．7.【答案】C【解析】解：∵点A（-4，-1，-9），点B（-10，1，-6），∴，则|AB|=||=．故选：C．由A，B的坐标求出的坐标，求其模可得A与B的距离．本题考查空间中两点间的距离，是基础的计算题．8.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查系统抽样的应用，根据条件求出样本间隔是解决本题的关键．根据系统抽样的定义确定样本间隔即可．【解答】解：样本间隔为56÷4=14，则另外一个号码为14+17=31，故选：B．10.【答案】C【解析】【分析】分别求出甲、乙二人的平均成绩和方差，由此能求出结果．本题考查甲、乙二人的平均成绩及稳定性的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意茎叶图性质的合理运用．【解答】解：甲的平均成绩=（73+78+79+87+93）=82，甲的成绩的方差=[（73-82）2+（78-82）2+（79-82）2+（87-82）2+（93-82）2]=50.4，乙的平均成绩=（79+89+89+92+91）=88，乙的成绩的方差=[（79-88）2+（89-88）2+（89-88）2+（92-88）2+（91-88）2]=21.6，∴＜，乙比甲成绩稳定．故选：C．11.【答案】A【解析】解：模拟执行程序框图，可得该程序运行后是计算S=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，满足条件后，输出n=9，由此得出判断框中的横线上可以填入S≥45？．模拟执行程序框图，可得该程序运行后是计算S的值，满足条件后输出n=9，由此得出判断框中的横线上应填入的条件．本题主要考查了程序框图的应用问题，正确判断退出循环的条件是解题的关键．12.【答案】C【解析】解：∵α是第二象限角，∴90°+k•360°＜α＜180°+k•360°，k∴45°+k•180°＜＜90°+k•180°k∈Z∴在第一象限或在第三象限，∵|cos|=-cos，∴cos＜0∴角在第三象限．故选：C．由α是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由|cos|=-cos，知cos＜0，由此能判断出角所在象限．本题考查角所在象限的判断，是基础题，比较简单．解题时要认真审题，注意熟练掌握基础的知识点．13.【答案】A【解析】解：∵sinα=-，且α是第三象限的角，∴cosα=-=-，则tanα==，故选：A．利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号求得cosα的值，可得tanα的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．14.【答案】18【解析】【分析】本题考查了分层抽样，属于基础题．由题意先求出抽样比例即为，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60件进行检验，抽样比例为=，15.【答案】x-y-5=0【解析】解：由圆（x+1）2+y2=25得到圆心C（-1，0），∴=-1，∵点P为弦AB的中点，∴CP⊥AB．∴k AB=-（-1）=1．∴弦AB所在直线方程为y-（-3）=x-2，化为x-y-5=0．故答案为x-y-5=0．由圆（x+1）2+y2=25得到圆心C（-1，0），利用斜率计算公式可得k CP，由于点P为弦AB的中点，利用垂径定理及其推论可得CP⊥AB．再利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得k AB，再利用点斜式即可得出．本题综合考查了斜率计算公式、垂径定理及其推论、相互垂直的直线斜率之间的关系、点斜式等基础知识与基本技能方法，属于基础题．16.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，圆的方程，属于中档题．求出两圆半径和圆心距，设=h，利用勾股定理列方程求出h，从而得出．【解答】解：设AB的中点为M，则AM⊥C1C2，==2，=2，=2，设=h，则=，=，∴+=2，解得h=，∴=2h=．故答案为．17.【答案】16【解析】解：∵数据x1，x2，…，x8平均数为6，标准差为2，∴数据x1，x2，…，x8的方差为4，∴数据2x1-6，2x2-6，…，2x8-6的方差S2=42=16．故答案为：16．利用公式D（ax+b）=a2D（x）求解．本题考查数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差性质的合理运用．18.【答案】解：（1）∵-＜x＜0，∴sin x＜0且cos x＞0∴sin x=，cos x=，∴sin2x-cos2x=；（2）由（1）知tan x==，∴==【解析】由题意可得sin x和cos x的值，代入要求的式子化简即可．本题考查同角三角函数的基本关系，属基础题．19.【答案】解：设事件A为“方程有实根”，,当a≥0，b≥0时，方程有实根的充要条件为a≥b,（1）由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件共12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）,其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，∴事件A发生的概率为P==;（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}∴所求的概率是.【解析】本题考查古典概型及其概率公式，考查几何概型及其概率公式，本题把两种概率放在一个题目中进行对比，得到两种概率的共同之处和不同点．首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a≥b，属于中档题.（1）本题是一个古典概型，试验发生包含的基本事件可以通过列举得到结果数，满足条件的事件在前面列举的基础上得到结果数，求得概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．20.【答案】解：（1），，，，，，∴线性回归方程为．（2）把x=6代入线性回归方程有，，故可估计该商场下个月毛衣的销售量为46件．【解析】（1）根据表格中的数据分别算出，，，再利用公式求出这两个系数即可求出线性回归方程；（2）把x=6代入线性回归方程求出即可．本题考查线性回归方程的求法，考查学生的运算能力，属于基础题．21.【答案】解：圆C的方程x2+y2-2x+4y-3=0化为标准方程为（x-1）2+（y+2）2=8，故圆心为C（1，-2），且半径，（1）∵直线l与圆C相切，∴圆心C到直线l的距离等于圆的半径，即，整理得|3+t|=4，解得t=1或t=-7；（2）由（1）知，圆心到直线l的距离，又|MN|=，r2=8，解得d=2，∴即．【解析】本题考查了圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是中档题．（1）把圆C的方程x2+y2-2x+4y-3=0化为标准方程为（x-1）2+（y+2）2=8，得到圆心为C（1，-2）和半径，由圆心C到直线l的距离等于圆的半径列出方程，求解即可得实数t的值；（2）由（1）知，圆心到直线l的距离，且|MN|=4，r2=8，解得d，进一步求出实数t的值．22.【答案】解：（1）因各组的频率之和为1，所以成绩在区间[80，90）内的频率为1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，所以这次月考数学成绩的平均分是0.05×45+0.15×55+0.45×65+0.20×75+0.10×85+0.05×95=68，由图象可知，众数的估计值是65;（2）设A表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选2名，至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”，由题意可知成绩在区间[80，90）内的学生所选取的有：40×0.1=4人，记这4名学生分别为a，b，c，d，成绩在区间[90，100]内的学生有0.005×10×40=2人，记这2名学生分别为e，f，则从这6人中任选2人的基本事件为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15种，事件“至少有1名学生的成绩在区间[90，100]内”的可能结果为：(a，e)，(a，f)，(b，e)，(b，f)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共9种，所以．故所求事件的概率为：．【解析】本题考查了频率分布直方图，考查了古典概型及其概率计算公式，解答的关键是对事件的列举做到不重不漏，属于中档题.（1）由各组的频率和等于1直接列式计算成绩在[80，90）的学生频率，再估计这次月考数学成绩的平均分和众数；（2）用列举法求出从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生的事件个数，列出至少有1名学生成绩在[90，100]的事件个数，然后直接利用古典概型概率计算公式求解．。

2021-2022学年黑龙江哈尔滨市第九中学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，复数1i z =+，则下列命题不正确的是（ ） A ．z 的共轭复数为1i z =-B ．z 的虚部为iC ．z 在复平面内对应的点在第一象限D ．||z =【答案】B【分析】根据复数的定义和几何意义解决即可.【详解】由题知，复数1i=(1,1)z =+的共轭复数为1i z =-，虚部为1，在复平面内对应的点为(1,1)在第一象限，||z =B 错误 故选：B2．某圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为（ ）A B C D【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r ，高为h ，根据侧面积，可求得r 值，进而可求得圆锥高h ，代入公式，即可得答案.【详解】设圆锥底面半径为r ，高为h ，则底面圆周长为2r π， 所以侧面面积12222r ππ⨯⨯=，解得1r =，所以圆锥的高h ，所以圆锥的体积2211133V r h ππ=⨯=⨯⨯.故选：C3．下列结论中不正确的是A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面 【答案】D【分析】由平面基本性质若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，可判断A,C 正确，由直线与直线外一点确定一个平面可得选项B 正确；由两条直线平行或相交，则可以确定一个平面可得选项D 错误.【详解】解：由平面基本性质可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则两平面相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A ，C 正确；当平面四个点中，有三点共线，由直线与直线外一点确定一个平面可得此四个点共面， 故假设不成立，即其中任意三点不共线，因此选项B 正确； 若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误. 故选D.【点睛】本题考查了平面的基本性质、线面关系，重点考查了空间想象能力，属基础题.4．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13C ．55D ．33【答案】C【分析】根据欧拉公式，结合复数除法的运算法则、复数模的公式进行求解即可.【详解】i πi(2e i)i [2(cos πisin π)i]i (2i)i 2iz z z z +⋅=⇒++⋅=⇒-+⋅=⇒=-+ 22i(2i)12i 125()()(2i)(2i)5555z z ---⇒==⇒=+-=-+--，故选：C5．如图所示，在ABC 中，点D 是线段AC 上靠近A 的三等分点，点E 是线段AB 的中点， 则DE =（ ）A ． 1136BA BC -- B ． 1163BA BC -- C ． 5163BA BC -- D ． 5163BA BC -+【答案】B【分析】由向量线性运算的几何意义即可计算【详解】()111111323263DE DA AE CA AB CB BA BA BA BC =+=+=+-=--.故选：B6．设a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， ①a α⊂、b β⊂，a β∥，b α； ②αγ∥，βγ∥； ③αγ⊥，βγ⊥； ④a α⊥，b β⊥，a b ．则αβ∥的充分条件可以是（ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．②④【答案】D【分析】根据线线、线面、面面关系对各选项逐一分析判断即可. 【详解】因为a ，b 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面， ①a α⊂、b β⊂，a β∥，b α，则α与β平行或相交，故①错误； ②αγ∥，βγ∥，则αβ∥，故②正确；③αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，故③错误； ④a α⊥，b β⊥，a b ，则αβ∥，故④正确；综上②④正确， 故选：D7．四氯化碳是一种有机化合物，分子式为4CCl ，是一种无色透明液体，易挥发，曾作为灭火剂使用．四氯化碳分子的结构为正四面体结构，四个氯原子（C l ）位于正四面体的四个顶点处，碳原子（C ）位于正四面体的中心．则四氯化碳分子的碳氯键（C-C l ）之间的夹角正弦值为（ ）．A 3B ．13C 6D ．223【答案】D【分析】将四面体放入正方体中进行计算，结合正方体和正四面体的几何特点，借助余弦定理即可容易求得结果.【详解】如图所示，正方体的棱长为a ，正四面体A BCD -2a ，又该正方体的体对角线长度为3a ，故32OA OB a ==， 根据题意可知，所求夹角为AOB ∠，在OAB 中，由余弦定理可得：2222222332144cos 32324a a a OA OB AB AOB OA OB a +-+-∠===-⨯⨯， 故22sin 3AOB ∠=，即四氯化碳分子的碳氯键（C-C l ）之间的夹角正弦值为223. 故选：D ．8．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中12,3,4AB AD AA ===，点M 为棱1AA 的中点，若N 为底面1111D C B A 内一点，满足//MN 面1BDC ，设直线MN 与直线1CC 所成角为α，则tan α的取值范围是（ ）A ．3313413⎡⎢⎣B ．3313413⎡⎢⎣C ．3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3113,262⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】C【分析】先根据面面平行找出与平面1BDC 平行的平面MEF ，确定底面1111D C B A 内一点N 所在线段EF 上，然后将直线MN 与直线1CC 所成角转化为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠，再在直角三角形1A MN 中，通过线段1A N 的最值即可得到1tan A MN ∠的最值，从而得到tan α的取值范围.【详解】取11A D 中点E ，取11A B 中点F ，连接ME ，MF ，EF ，1AD ，1AB ，11B D . 在长方体1111ABCD A B C D -中，11AB C D =，11//AB C D ， 所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//AD BC ，又因为M ，E 分别为1AA ，11A D 的中点，所以1//ME AD ，所以1//ME BC ， 又因为ME ⊄平面1BDC ，1BC ⊂平面1BDC ，所以//ME 平面1BDC . 因为11AD B C =，11//AD B C ，所以四边形11ADC B 为平行四边形，所以11//AB DC ，又因为M ，F 分别为1AA ，11A B 的中点，所以1//MF AB ，所以1//MF C D ， 又因为MF ⊄平面1BDC ，1C D ⊂平面1BDC ，所以//MF 平面1BDC . 因为MEMF M =，ME ⊂平面MEF ，MF ⊂平面MEF ，所以平面//MEF 平面1BDC .所以底面1111D C B A 内满足满足//MN 面1BDC 的点N 在线段EF 上， 又因为11//AA CC ，所以直线MN 与直线1CC 所成角即为直线MN 与直线1AA 所成角1A MN ∠. 在线段EF 上任取一点N ，连接1A N ，MN ，因为1AA ⊥底面1111D C B A ，1A N ⊂底面1111D C B A ，所以11AA A N ⊥， 所以1A MN ∆为直角三角形， 1111tan tan 2A N A NA MN AA α=∠==，在1A MN ∆中，11A F =，132A E =，EF ==， 因为点N 在线段EF 上，所以当1A N EF ⊥时，1A N 的长度最小，此时可利用等面积法11111122A EF S A N EF A F A E ∆=⋅=⋅，解得1A N =所以tan α的最小值为31331313226=， 当点N 和点E 重合时1A N 的长度最长为32，所以tan α的最大值为33224=，所以tan α的取值范围是3313,264⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C.二、多选题9．已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，R μ∈，则（ ） A ．若//a c ，则32λ=B ．若(2)a b c +⊥，则4λ=C ．若a tb c =+，则4t λ+=-D ．a b μ+的最小值为75【答案】ABD【分析】对于A 选项，根据平面向量平行的判定条件求解参数λ； 对于B 选项，根据平面向量垂直的判定条件求解参数λ；对于C 选项，将向量a ，b 及c 代入等式，根据平面向量相等的判定条件求解参数λ与t 的关系； 对于D 选项，根据向量的模长计算公式表示出向量a b μ+的模长，然后根据二次函数求解最小值》 【详解】对于A 选项，已知//a c ，则()()312λ-⨯-=⨯，解得32λ=，故A 选择正确； 对于B 选项，()21,4a b +=，由于()2a b c +⊥，则()1410λ⨯+⨯-=，解得4λ=，故B 选择正确；对于C 选项，由于a tb c =+，则()()()()3,22,1,12,1t t t λλ-=+-=+-，得3221t t λ-=+⎧⎨=-⎩，解得93t λ=-⎧⎨=⎩，故6t λ+=-，故C 选择不正确；对于D 选项，()32,2a b μμμ+=-++，(3a b μ+=-+， 当45μ=时等号成立，即a b μ+的最小值为D选项正确. 故选：ABD10．在ABC 中，角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知60,4B b =︒=，则下列判断中正确的是（ ） A ．若π4A =，则a =B ．若92a =，则该三角形有两解 C ．ABC 周长有最大值12 D ．ABC 面积有最小值【答案】ABC【分析】对于ABC ，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D ，由正弦定理得164sin sin sin 23ABCSac B A C ==，根据三角恒等变换解决即可. 【详解】对于A ，60,4B b =︒=，π4A =，由正弦定理得sin sin b aB A = 所以24sin 2sin 46b Aa B===A 正确； 对于B ，由正弦定理得sin sin b a B A=得，所以9sin 22sin 14a B A b ===<，因为,a b A B A >⇒>有两个解， 所以该三角形有两解，故B 正确； 对于C ，由2222cos ba c ac B =+-，得2222223116()3()()()44a c ac a c ac a c a c a c =+-=+-≥+-+=+，所以8a c +≤，当且仅当a c =时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C 对； 对于Dsin sin sin b a cB AC ===得,a A c C =, 故164sin sin sin 23ABCS ac B A C == sin(120)A A ︒=- 1sin )2A A A =+16331sin 2(1cos 2)344A A ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦16311cos(260)322A ︒⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦831cos(2120)32A ︒⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦由于1(0,120),2120(120,120),cos(2120),12A A A ︒︒︒︒︒︒⎛⎤∈---∈- ⎝∈⎥⎦，无最小值，所以ABC 面积无最小值，有最大值为43，故D 错误. 故选：ABC11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，线段11B D 上有两个动点,E F ，且1EF =，则当,E F 移动时，下列结论正确的是（ ）A ．//AE 平面1C BDB ．1AC ⊥平面AEFC ．三棱锥A BEF -的体积为定值D ．三棱锥A BEF -的体积不是定值【答案】ABC【分析】由面面平行证明线面平行判断A ；由线面垂直的判定定理判断B ；由AEF △的面积为定值，B 到平面AEF 的距离为定值，判断CD.【详解】连接1111,,,,D A AB C D BD C B ，正方体1111ABCD A B C D -中，1111////BD B D AB DC ，，从而易得：平面11//AB D 平面1BDC ，又 AE ⊂平面11AB D ，//AE ∴平面1C BD ，选项A 正确.连接11,D A AB ，11C A 与11B D 相交于点G ，1A C 与AG 交于点H ，12,426AG AG ==+=，18236,43C GH A ==+=，1233A H =，22211A H GH G A ∴+=，1AC AG ∴⊥，易知11B D ⊥平面11ACC A ，即1111B D A C ⊥，由线面垂直的判定可知，1A C ⊥平面11AB D ，即1A C ⊥平面AEF ，故B 正确；AEF △中，EF =1，点A 到B 1D 1距离不变，AEF ∴的面积为定值，且B 到平面11AB D 的距离为定值，即B 到平面AEF 的距离为定值，故三棱锥A BEF -的体积为定值，故C 正确，D 错误； 故选：ABC12．如图，我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体，它有60个顶点，每个顶点发出的棱有3条，设其顶点数V ，面数F 与棱数E ，满足2V F E +-=（Euler's formula ），据此判断，关于这个多面体的说法正确的是（ ）A ．共有20个六边形B ．共有10个五边形C ．共有90条棱D ．共有32个面 【答案】ACD【分析】分别设出正五边形和正六边形的个数，利用关系式即可解出正五边形和正六边形的数量，以及棱数和面数. 【详解】解：由题意，设共有m 个正五边形，n 个正六边形，()5656232m n m nm n ++++-= 解得：12m =. B 错误. ∵顶点数：56603m nV +==， 解得：20n =， ∴A 正确.面数：32F m n =+=. ∴D 正确. 棱数：56902m nE +==. C 正确. 故选：ACD.三、填空题13．在正三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，30ASB ASC BSC ∠=∠=∠=︒，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬过的最短路程为___________． 【答案】2【分析】沿棱SA 将正三棱锥展开，做出展开图，由题中条件，结合展开图，即可得出结果.【详解】将正三棱锥S ABC -沿棱SA 展开，得到如下图形， 由展开图可得，沿1AA 爬行时，路程最短； 因为1SA =，30ASB ASC BSC ∠=∠=∠=︒， 所以190ASA ∠=︒，因此221112AA =+=. 故答案为：2. 14．已知向量()2,a λ=，()1,2b =()R λ∈，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围为___________．【答案】1λ>-且4λ≠.【分析】根据已知可得0a b ⋅>，且,a b 不共线，求解即可.【详解】由a b ∥得，2210，4λ=. 由已知得，π0,2a b <<，所以cos ,0a b a b a b ⋅=>，即0a b ⋅>，且,a b 不共线. 则212220a b λλ⋅=⨯+=+>，1λ>-.又,a b 不共线，则4λ≠.所以，λ的取值范围为1λ>-且4λ≠.故答案为：1λ>-且4λ≠.15．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = ________ m.【答案】1006【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填1006【解析】正弦定理及运用．16．表面积为32π的球面上有四点S A B C 、、、且ABC 是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若面SAB ⊥ 面ABC ，则棱锥S ABC -体积的最大值为__________．【答案】758【分析】作图，找出图中的几何关系，显然SAB △ 是等腰三角形时，体积S ABC V - 最大.【详解】'O 是ABC 的中心，显然当SBC △ 是等腰三角形时S ABC V -最大，G 是AB 的中点，由于平面SAB ⊥ 平面ABC ，SG AB ⊥ ，SG ⊂ 平面SAB ，平面SAB平面ABC =AB ，SG ∴⊥ 平面ABC ，即SG 是三棱锥S-ABC 的高； 过球心O 作平面SAB 的垂线，垂足为H ，则H 必定在AG 上，并且有'OO ⊥ 平面ABC ， 设球O 的半径为R ，依题意则有2432,23R R ππ==，'3OO = ，22BO SO R ===， 在'Rt OBO 中，'2'25BO BO OO -= ，351523AB ∴==， '5OH O G ==，22'33533,SH SO OH HG OO SG SH HG =-====+= ， 2111537515sin 603328S ABC ABC V S SH ︒-==⨯⨯= ； 故答案为：758.四、解答题17．已知向量||1a =，||2b =，a 与b 的夹角为3π. (1)求a b ⋅及||a b +；(2)求()()2a b a b +⋅-．【答案】(1)1a b ⋅=，||7a b +=(2)4-【分析】（1）由数量积公式计算a b ⋅，再由22||2a b a a b b +=+⋅+求解即可；（2）展开由数量积公式计算.【详解】（1）12cos 13a b π⋅=⨯⨯=，2222||212127a b a a b b +=+⋅+=+⨯+=（2）()22()2211224a b a b a a b b +⋅-=-⋅-=--⨯=- 18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，F 为AE 的中点．(1)求证：//CE 平面BDF ；(2)求三棱锥E BDF -的体积．【答案】(1)证明见解析(2)13【分析】(1)利用中位线的性质、线面平行的判定定理即可证明；(2)利用等体积法求解即可.【详解】（1）如图，连接AC 交BD 于点O ，再连接OF , 在ACE △中，O 为AC 中点，F 为AE 的中，所以//OF CE ,且CE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ,所以//CE 平面BDF .（2）因为该几何体为正方体，所以点D 到平面11ABB A 的距离等于AD ，所以点D 到平面BEF 的距离等于AD ， 根据等体积法可知11113323E BDF D BEF BEF V V S AD EF AB AD --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△. 19．在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知(),2m a c b =-,()cos ,cos n C A = ,且m n ⊥.(1)求角A 的大小;(2)若5b c +=,ABC ∆求ABC ∆的周长【答案】(1)3π；(2)5【解析】（1）由向量垂直关系得到数量积为零的等式，利用正弦定理边化角，结合两角和差公式、诱导公式可化简得到cos A ，进而求得A ；（2）根据三角形面积公式构造方程求得bc ，利用余弦定理可求得a ，进而得到所求周长.【详解】（1）m n ⊥ ()cos 2cos 0m n a C c b A ∴⋅=+-=由正弦定理得：()sin cos sin 2sin cos 0A C C B A +-=即：()sin cos cos sin 2sin cos sin 2sin cos 0A C A C B A A C B A +-=+-=A B C π++= ()sin sin A C B ∴+= sin 2sin cos 0B B A ∴-=()0,B π∈ sin 0B ∴≠ 1cos 2A ∴=()0,A π∈ 3A π∴=（2）11sin sin 223ABC S bc A bc π∆====4bc ∴= 由余弦定理得：()22222cos 22cos 2512133a b c bc A b c bc bc π=+-=+--=-=a ∴=ABC ∆∴的周长5L abc =++=【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、利用两角和差公式和诱导公式化简、平面向量数量积、三角形面积公式和余弦定理的应用等知识，属于常考题型.20．如图，平面//α平面//β平面γ，异面直线 a b 、分别与平面αβγ、、 相交于点、、A B C 和点D E F 、、．已知15AC =，2DE =，:1:4AB BC =，求AB 、BC 、DF 的长．【答案】3AB =，12BC =，10DF =【分析】连接AF 交平面β于点G ，连接BG ，EG ，利用面面平行的性质定理得到//BG CF ，//EG AD ，再根据三角形相似得到对应边的比例，利用相似比例即可得到答案.【详解】连接AF 交平面β于点G ，连接BG ，EG ，因为平面//β平面γ，平面ACF ⋂平面β于BG ，平面ACF ⋂平面γ于CF ，所以//BG CF ，所以ABG ACF ∠=∠，AGB AFC ∠=∠，又因为BAG CAF ∠=∠，所以BAGCAF ∆∆， 所以AB AG AC AF =， 因为15AC =，:1:4AB BC =，所以3AB =，12BC =，所以15AB AG AC AF ==， 因为平面//β平面α，平面⋂ADF 平面β于EG ，平面⋂ADF 平面α于AD ，所以//EG AD ，所以FEG FDA ∠=∠，FGE FAD ∠=∠，又因为AFD GFE ∠=∠，所以AFD GFE ∆∆，所以FE FG FD FA =，因为15AG AF =，所以45FG AF AG AF AF -==， 所以45FE FG FD FA ==，所以15DE FD EF FD FD -==， 又因为2DE =，所以10DF =，所以3AB =，12BC =，10DF =.21．如图，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，将ACD 沿AC 折起，使得点D 到达点P 的位置，3PB(1)证明：平面PAB ⊥平面ABC ；(2)求异面直线PC 与AB 所成角的余弦值.【答案】(1)见解析 (2)34【分析】（1）根据勾股定理，线面垂直的判定定理证明即可；（2）在长方体中还原三棱锥-P ABC ，找到异面直线所成角，余弦定理解决即可.【详解】（1）证明：因为1,2,3BC PC PB ===，所以222BC PB PC +=，所以BC PB ⊥，因为,,,BC AB PB AB B PB AB ⊥⋂=⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB因为BC ⊂平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC .（2）由（1）得BC ⊥平面PAB ，因为在PAB 中，=132PA PB AB ==，，,即222+PA PB AB =所以PA PB ⊥，根据题意可做长方体如图因为由图知//AB QC ，所以异面直线PC 与AB 所成角等于直线PC 与QC 所成角，连接QP ,因为2,2,1,3AB PC PA PB ====,所以2,2QC QP ==，设直线PC 与QC 所成角为θ，所以在PCQ △中，2224423cos 284PC QC QP PC QC θ+-+-=== 所以异面直线PC 与AB 所成角的余弦值为34. 22．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =，且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求多面体ABCD EFG -的体积.(3)若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60︒，求线段DP 的长．【答案】(1)见解析(2)133 3【分析】（1）建立空间直角坐标系证明0MN n ⊥即可得证；（2）间接法11111ABCD EFG ABCD EB C G B B EF F BCC B V V V V ----=--求体积即可；（3）设线段DP 的长为h （[]0,2h ∈），空间向量法解决线面角即可求解.【详解】（1）根据题意，可以建立以D 为原点，分别以,,DA DC DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系，因为//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =， 且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===，所以(0,0,0),(2,0,0),(1,2,0)D A B ，(0,2,0),(2,0,2),(0,1,2)C E F ， 3(0,0,2),(0,,1),(1,0,2)2G M N ， 证明：依题意得(0,2,0)DC =，(2,0,2)DE =，设0(,,)n x y z =为平面CDE 的法向量，所以00·0·0n DC n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即20220y x z =⎧⎨+=⎩，令1z =-，可得0(1,0,1)n =-， 又因为3(1,,1)2MN =-， 所以00MN n ⋅=，所以0MN n ⊥，因为MN ⊄平面CDE ，所以//MN 平面CDE ；（2）因为//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥ ，且,//EG AD CD FG =，且2,CD FG DG =⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===， 所以,,,DG AD DG CD DG EG DG FG ⊥⊥⊥⊥,将多面体ABCD EFG -补充得如图，所以11111ABCD EFG ABCD EB C G B B EF F BCC B V V V V ----=--111111111()()2332EB C G EFG B C F BC AD CD DG S S S DG BC DG FC ⎡⎤⎛⎫=+---+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ()11111113(12)22(12)2211121212322233⎡⎤⎛⎫=+-+---= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭（3）设线段DP 的长为h （[]0,2h ∈）， 所以点P 的坐标为(0,0,)h ，所以(1,2,)BP h =--， 因为DC ⊥平面ADGE ,所以设(0,2,0)DC =为平面ADGE 的一个法向量， 所以|||cos ,|||||BP DC BP DC BP DC h ⋅==sin60︒==解得[]0,2h =，所以线段DP。

2022-2023学年浙江省杭州九中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1．sin13π6=（ ）A ．12B ．−12C ．√32D ．−√322．在下列向量组中，可以把向量a →=（3，2）表示出来的是（ ） A ．e 1→=（0，0），e 2→=（1，2） B ．e 1→=（﹣1，2），e 2→=（5，﹣2） C ．e 1→=（3，5），e 2→=（6，10）D ．e 1→=（2，﹣3），e 2→=（﹣2，3）3．已知向量a →=(1，2)，b →=(2+x ，1−y)，且a →⊥b →，则2y ﹣x 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣4C ．4D ．04．现有一个底面半径为4cm ，高为6cm 的圆柱形铁块，将其磨制成一个球体零件，则该球体零件的最大体积是（ ） A ．2563πcm 3 B ．36πcm 3C ．2513πcm 3 D ．40πcm 35．已知函数f(x)=sin(2x +π3)．给出下列结论： ①f （x ）的最小正周期为π2；②f(π2)不是f （x ）的最大值；③把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f （x ）的图象；④直线x =−512π是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④B ．②④C ．②③D ．①②④6．如图，在等边△ABC 中，BC ＝4，点P 为边BC 上的一动点，则PA →⋅PC →的最小值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．−837．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为（ ）A ．√153B ．32√35π27C ．128√2π81D ．8√338．函数y ＝2cos x （0＜x ＜π）和函数y ＝3tan x 的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A ．√3π2B ．√3π3C ．√2π2D ．√2π3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在△ABC 中，AB =√3，AC ＝1，B =π6，则△ABC 的面积可以是（ ） A ．√32B ．1C ．√33D ．√3410．已知向量a →=（√3，1），b →=（cos α，sin α），α∈[0，π2]，则下列结论正确的有（ ） A ．|b|→=1B ．若a →∥b →，则tan α=√3C ．a →⋅b →的最大值为2D ．|a →−b →|的最大值为311．已知a ，b 是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βB ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则α与β一定相交C ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线D ．若a ∥b ，b ⊂α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线12．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m ．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，则（ ）A ．A ＝4B ．ω=π30C ．cosφ=√398D ．b ＝2.5三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知角α终边经过点P （m ，﹣3），且tanα=−34，则sin α的值为 ． 14．已知sin （π6+α）=35，π3＜α＜5π6，则cos α＝ ．15．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为60°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于线段BD 上，则山高AB ＝ 米．16．已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5五个点，满足A n A n+1→⋅A n+1A n+2→=0（n ＝1，2，3），|A n A n+1→|•|A n+1A n+2→|＝n +1（n ＝1，2，3），则|A 1A 5→|的最小值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）已知π2＜α＜π，sinα=13，求sin2α的值；（2）已知sin(π3−θ)=13，求sin(2π3+θ)−cos(5π6−θ)的值． 18．（12分）已知平行四边形ABCD 中，EC →=2DE →，FC →=2BF →，FG →=2GE →． （1）用AB →，AD →表示AG →；（2）若|AB|→=6，|AD|→=3√2，∠BAD ＝45°，如图建立直角坐标系，求GB →和DF →的坐标．19．（12分）已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，且∠A 1B 1C 1＝60°． （Ⅰ）求证：C 1D ∥平面AB 1C ； （Ⅱ）求二面角B 1﹣AC ﹣D 1的余弦值．20．（12分）在①ba =√3sinA，②2b sin A ＝a tan B ，③（a ﹣c ）sin A +c sin （A +B ）＝b sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____． （1）求角B ；（2）若a +c ＝4，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积．21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面ABCD 是矩形，且AB =√2，AD =√3．（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求直线AC 与平面APD 所成的角的正弦值．22．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx −cos 2ωx(ω＞0)的图象相邻对称中心之间的距离为π2．（1）求函数f （x ）在[0，π2]上的单调递增区间；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣b ，且g （x ）在[−π2，π2]上有两个零点，求b 的取值范围及x 1+x 2的值．2022-2023学年浙江省杭州九中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分． 1．sin13π6=（ ）A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin13π6=sin （2π+π6）＝sinπ6=12．故选：A ．2．在下列向量组中，可以把向量a →=（3，2）表示出来的是（ ） A ．e 1→=（0，0），e 2→=（1，2） B ．e 1→=（﹣1，2），e 2→=（5，﹣2） C ．e 1→=（3，5），e 2→=（6，10）D ．e 1→=（2，﹣3），e 2→=（﹣2，3）解：根据a →=λe 1→+μe 2→，选项A ：（3，2）＝λ（0，0）+μ（1，2），则 3＝μ，2＝2μ，无解，故选项A 不能；选项B ：（3，2）＝λ（﹣1，2）+μ（5，﹣2），则3＝﹣λ+5μ，2＝2λ﹣2μ，解得，λ＝2，μ＝1，故选项B 能．选项C ：（3，2）＝λ（3，5）+μ（6，10），则3＝3λ+6μ，2＝5λ+10μ，无解，故选项C 不能． 选项D ：（3，2）＝λ（2，﹣3）+μ（﹣2，3），则3＝2λ﹣2μ，2＝﹣3λ+3μ，无解，故选项D 不能． 故选：B ．3．已知向量a →=(1，2)，b →=(2+x ，1−y)，且a →⊥b →，则2y ﹣x 的值为（ ） A ．﹣3B ．﹣4C ．4D ．0解：∵a →⊥b →，∴a →⋅b →=2+x +2(1−y)=x −2y +4=0，则2y ﹣x ＝4． 故选：C ．4．现有一个底面半径为4cm ，高为6cm 的圆柱形铁块，将其磨制成一个球体零件，则该球体零件的最大体积是（ ） A ．2563πcm 3 B ．36πcm 3C ．2513πcm 3 D ．40πcm 3解：当球与圆柱的表面相切时，体积最大，设球的半径为R ． 若球与圆柱的上下底面相切，则2R ＝6，R ＝3；若球与圆柱的侧面相切，则R ＝4．因为3＜4，所以球只能与上下底面相切，即半径R ＝3，体积为43πR 3=36π．故选：B ．5．已知函数f(x)=sin(2x +π3)．给出下列结论： ①f （x ）的最小正周期为π2；②f(π2)不是f （x ）的最大值；③把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数y ＝f （x ）的图象；④直线x =−512π是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．③④B ．②④C ．②③D ．①②④解：对于①，f （x ）的最小正周期为T =2π2=π，故①不正确； 对于②，f(π2)=sin(2⋅π2+π3)=−sin π3=−√32，所以②正确；对于③，把函数y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π3个单位长度得到y =sin2(x +π3)=sin(2x +2π3)，所以③不正确；对于④，令2x +π3=kπ+π2，k ∈Z ，得x =kπ2+π12，k ∈Z ，当k ＝﹣1时，x =−512π，即直线x =−512π是函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴，所以④正确． 故选：B ．6．如图，在等边△ABC 中，BC ＝4，点P 为边BC 上的一动点，则PA →⋅PC →的最小值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．﹣2D ．−83解：由题意在等边△ABC 中，BC ＝4，设PC →=λBC →，(0≤λ≤1)， 则PA →⋅PC →=(PC →+CA →)⋅PC →=λ2BC →2+CA →⋅λBC →=16λ2+λCA →⋅BC →=16λ2+λ×4×4×cos120°=16λ2−8λ=16(λ−14)2−1，当λ=14时，PA →⋅PC →取到最小值﹣1，故选：B ．7．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为（ ）A ．√153B ．32√35π27C ．128√2π81D ．8√33解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP ′，由余弦定理可得cos ∠P ′OP =OP 2+OP′2−PP′22OP⋅OP′=−12，∴∠P ′OP =2π3．设底面圆的半径为r ，则有2πr =2π3×4，解得r =43． ∴这个圆锥的高为h =√16−169=8√23，这个圆锥的体积为V =13Sℎ=13×πr 2×ℎ=13π×169×8√23=128√2π81． 故选：C ．8．函数y ＝2cos x （0＜x ＜π）和函数y ＝3tan x 的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ） A ．√3π2B ．√3π3C ．√2π2D ．√2π3解：函数y ＝2cos x （0＜x ＜π）和函数y ＝3tan x 的图象相交于A 、B 两点，O 为坐标原点， 由2cos x ＝3tan x ，可得2cos 2x ＝3sin x ，即 2sin 2x +3sin x ﹣2＝0， 求得sin x =12，或sin x ＝﹣2（舍去），结合0＜x ＜π， ∴x =π6，或 x =5π6．∴A （π6，√3）、B （5π6，−√3）．根据函数图象的对称性可得线段AB 的中点C （π2，0），∴△OAB 的面积等于△OAC 的面积加上△OBC 的面积， 等于12•OC •|y A |+12OC •|y B |=12•OC •|y A ﹣y B |=12•π2•2√3=√32π，故选：A ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．在△ABC 中，AB =√3，AC ＝1，B =π6，则△ABC 的面积可以是（ ） A ．√32B ．1C ．√33D ．√34解：∵AB =√3，AC ＝1，B =π6，∴由正弦定理可得：AB sinC=AC sinB，∴sin C =AB⋅sinB AC =√32， ∴C =π3，A =π2，S =12AB •AC sin A =√32或C =2π3，A =π6，S =12AB •AC sin A =√34． 故选：AD ．10．已知向量a →=（√3，1），b →=（cos α，sin α），α∈[0，π2]，则下列结论正确的有（ ）A ．|b|→=1B ．若a →∥b →，则tan α=√3C ．a →⋅b →的最大值为2D ．|a →−b →|的最大值为3解：对于A ，|b →|=√cos 2α+sin 2α=1，A 正确；对于B ，若a →∥b →，则√3sinα−cosα=0，∴tanα=√33，B 错误； 对于C ，a →⋅b →=√3cosα+sinα=2sin(α+π3)，最大值为2，C 正确；对于D ，作图可知，当α=π2，即b →=(0，1)时，|a →−b →|取得最大值√3，D 错误．故选：AC ．11．已知a ，b 是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法中正确的是（ ） A ．若α∥β，a ⊂α，则a ∥βB ．若α∩β＝b ，a ⊂α，则α与β一定相交C ．若α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则a 与b 是异面直线D ．若a ∥b ，b ⊂α，则直线a 平行于平面α内的无数条直线 解：对于A ，若 α∥β，a ⊂α，则 a ∥β，故A 正确；对于 B ，若 α∩β＝b ，a ⊂α，则 a ∥β 或 a 与 β 相交，故错误；对于 C ，若 α∥β，a ⊂α，b ⊂β，则 a ∥b 或 a 与 b 是异面直线，故C 错误；对于 D ，若 a ∥b ，b ⊂α，则因为在 α 内存在无数条直线和 b 平行，故直线 a 平行于平面 α 内的无数条直线，故D 正确． 故选：AD ．12．如图，一个半径为4m 的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2.5m ．设筒车上的某个盛水筒P 到水面的距离为d （单位：m ）（在水面下时，d 为负数），若以盛水筒P 刚浮出水面时开始计算时间，d 与时间t （单位：s ）之间的关系为d =Asin(ωt +φ)+b(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)，则（ ）A ．A ＝4B ．ω=π30C ．cosφ=√398D ．b ＝2.5解：振幅A 即为半径，∴A ＝4；∵筒车按逆时针方向每分钟转2圈，∴ω=2×2π60=π15； b =d max +d min 2=4+2.5+(2.5−4)2=2.5； ∵t ＝0，d ＝0，∴0＝4sin φ+2.5，∴sinφ=−2.54=−58， ∵−π2＜φ＜π2，∴cosφ=√1−(58)2=√398． 故选：ACD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知角α终边经过点P （m ，﹣3），且tanα=−34，则sin α的值为 −35． ． 解：∵tanα=−3m =−34，∴m ＝4，∴sinα=3√m 2+9=−35．故答案为：−35．14．已知sin （π6+α）=35，π3＜α＜5π6，则cos α＝ 3−4√310．解：∵已知sin （π6+α）=35，π3＜α＜5π6，∴π2＜π6+α＜π，cos （π6+α）=−45．∴cos α＝cos[（π6+α）−π6]＝cos （π6+α）cos π6+sin （π6+α）sin π6=−45×√32+35×12=3−4√310，故答案为3−4√310．15．如图，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为60°和30°，已知CD ＝200米，点C 位于线段BD 上，则山高AB ＝ 100√3 米．解：依题意，∠ADC ＝30°，∠ACB ＝60°，AB ⊥BD ， 在Rt △ABD 中，BD =ABtan30°=√3AB ， 在Rt △ABC 中，BC =ABtan60°=√33AB ，而BD ﹣BC ＝CD ，则√3AB −√33AB =2√33AB =200， AB =2002√33=200×√32=100√3，所以山高AB 等于100√3米． 故答案为：100√3．16．已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5五个点，满足A n A n+1→⋅A n+1A n+2→=0（n ＝1，2，3），|A n A n+1→|•|A n+1A n+2→|＝n +1（n ＝1，2，3），则|A 1A 5→|的最小值为 √63．解：设|A 1A 2→|=x ，则|A 2A 3→|=2x ，|A 3A 4→|=3x 2，|A 4A 5→|=83x ，设A 1（0，0），如图，∵求|A 1A 5→|的最小值，则A 2（x ，0），A 3(x ，2x )，A 4(−x 2，2x )，A 5(−x 2，−23x )，∴|A 1A 5→|2=(−x 2)2+(−23x )2=x 24+49x 2≥23，当且仅当x 24=49x 2，即x =2√33时取等号， ∴|A 1A 5→|的最小值为√63． 故答案为：√63． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知π2＜α＜π，sinα=13，求sin2α的值； （2）已知sin(π3−θ)=13，求sin(2π3+θ)−cos(5π6−θ)的值． 解：（1）因为π2＜α＜π，所以cos α＜0，因为sinα=13，所以cosα=−√1−(13)2=−2√23， 所以sin2α=2sinαcosα=2×13×(−2√23)=−4√29． （2）由于2π3+θ=π−(π3−θ)，5π6−θ=π2+(π3−θ)， 故sin （2π3+θ）﹣cos （5π6−θ）=sin(π3−θ)+sin(π3−θ)＝2×13=23．18．（12分）已知平行四边形ABCD 中，EC →=2DE →，FC →=2BF →，FG →=2GE →．（1）用AB →，AD →表示AG →；（2）若|AB|→=6，|AD|→=3√2，∠BAD ＝45°，如图建立直角坐标系，求GB →和DF →的坐标．解：（1）由题意可得AE →=AD →+DE →=AD →+13AB →，AF →=AB →+BF →=AB →+13AD →， 又FG →=2GE →，所以AG →−AF →=2（AE →−AG →），所以AG →=23AE →+13AF →=23（AD →+13AB →）+13（AB →+13AD →）=59AB →+79AD →． （2）过点D 作AB 的垂线交于点D ′，如图，于是在Rt △ADD ′中，由∠BAD ＝45°，可知，AD ′＝3，根据题意得各点坐标为A （0，0），B （6，0），C （9，3），D （3，3），E （5，3），F （7，1），则AG →=59AB →+79AD →=59（6，0）+79（3，3）＝（173，73）， 所以G （173，73）， 所以AB →=（6，0），AG →=（173，73）， 所以GB →=AB →−AG →=(13，−73)，DF →=（4，﹣2）． 19．（12分）已知直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，且∠A 1B 1C 1＝60°．（Ⅰ）求证：C 1D ∥平面AB 1C ；（Ⅱ）求二面角B 1﹣AC ﹣D 1的余弦值．（Ⅰ）证明：ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以AD ∥B 1C 1，且AD ＝B 1C 1，所以四边形AB 1C 1D 为平行四边形，则C 1D ∥AB 1，又C 1D ⊄面AB 1C ，AB 1⊂面AB 1C ，所以C 1D ∥面AB 1C ；（Ⅱ）解：取AC 中点O ，连接OB 1，OD 1，因为直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的所有棱长均为2，则AB 1＝B 1C ＝D 1C ＝AD 1=2√2，则OB 1⊥AC ，OD 1⊥AC ，由二面角定义，∠B 1OD 1即为二面角B 1﹣AC ﹣D 1的平面角，在等腰△AB 1C 中，OB 1=√B 1C 2−(12AC)2=√8−1=√7，同理，OD 1=√7，在△B 1OD 1中，cos ∠B 1OD 1=OB 12+OD 12−B 1D 122OB 1⋅OD 1=7+7−122×7×7=17， 故二面角B 1﹣AC ﹣D 1的余弦值为17．20．（12分）在①b a =√3sinA ，②2b sin A ＝a tan B ，③（a ﹣c ）sin A +c sin （A +B ）＝b sin B 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____．（1）求角B ；（2）若a +c ＝4，求△ABC 周长的最小值，并求出此时△ABC 的面积．解：选①b a =√3sinA ，（1）由正弦定理可得sinBsinA =√3sinA ，即为√3sin B ＝1+cos B ，即有sin （B −π6）=12，由于0＜B ＜π，可得B −π6=π6，即B =π3； （2）由余弦定理可得a 2+c 2﹣b 2＝2acc cos B ＝ac ，即为（a +c ）2﹣b 2＝3ac ，即b 2＝16﹣3ac ，若a +c ＝4，则4≥2√ac ，可得ac ≤4（当且仅当a ＝c ＝2时取得等号），则b ≥√16−3×4=2，所以△ABC 周长的最小值为6，此时△ABC 的面积为√34×4=√3． 选②2b sin A ＝a tan B ，（1）由正弦定理可得2sin B sin A ＝sin A tan B ，因为sin A ＞0，sin B ＞0，所以2sin B =sinB cosB ，即cos B =12，由于0＜B ＜π，可得B =π3；（2）由余弦定理可得a 2+c 2﹣b 2＝2acc cos B ＝ac ，即为（a +c ）2﹣b 2＝3ac ，即b 2＝16﹣3ac ，若a +c ＝4，则4≥2√ac ，可得ac ≤4（当且仅当a ＝c ＝2时取得等号），则b ≥√16−3×4=2，所以△ABC 周长的最小值为6，此时△ABC 的面积为√34×4=√3． 选③（a ﹣c ）sin A +c sin （A +B ）＝b sin B ，（1）由正弦定理和诱导公式可得（a ﹣c ）a +c 2＝b 2，即为a 2+c 2﹣b 2＝ac ，由余弦定理可得cos B =a 2+c 2−b 22ac =12， 由于0＜B ＜π，可得B =π3；（2）由余弦定理可得a 2+c 2﹣b 2＝2acc cos B ＝ac ，即为（a +c ）2﹣b 2＝3ac ，即b 2＝16﹣3ac ，若a +c ＝4，则4≥2√ac ，可得ac ≤4（当且仅当a ＝c ＝2时取得等号），则b ≥√16−3×4=2，所以△ABC 周长的最小值为6，此时△ABC 的面积为√34×4=√3． 21．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝1，底面ABCD 是矩形，且AB =√2，AD =√3．（1）求证：AD ⊥平面PCD ；（2）求直线AC 与平面APD 所成的角的正弦值．解：（1）证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AD ⊥PC ，又AD ⊥CD ，PC ∩CD ＝C ，PD ，CD ⊂平面PCD ，故AD ⊥平面PCD ．（2）设点C 到平面APD 的距离为h ， 由V C ﹣APD ＝V P ﹣ACD 知，13S △APD ⋅ℎ=13S △ACD ⋅PC ， 因为AD ⊥平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥PD ，则PD =√PC 2+CD 2=√1+2=√3， S △APD =12⋅AD ⋅PD =12×√3×√3=32， S △ACD =12⋅AD ⋅CD =12×√3×√2=√62， 可得ℎ=√63，所以直线AC 与平面APD 所成的角的正弦值是ℎAC =√3015． 22．（12分）已知函数f(x)=√3sinωxcosωx −cos 2ωx(ω＞0)的图象相邻对称中心之间的距离为π2．（1）求函数f （x ）在[0，π2]上的单调递增区间；（2）若函数g （x ）＝f （x ）﹣b ，且g （x ）在[−π2，π2]上有两个零点，求b 的取值范围及x 1+x 2的值． 解：（1）因为f(x)=√32sin2ωx −1+cos2ωx 2=sin(2ωx −π6)−12， 由题意可以得f （x ）的最小正周期为T =2×π2=π，即2π2ω=π，所以ω＝1，f(x)=sin(2x −π6)−12，因为x ∈[0，π2]，所以−π6≤2x −π6≤5π6，由−π6≤2x −π6≤π2，得到0≤x ≤π3， 所以f （x ）在[0，π2]上的单增区间为[0，π3]；（2）解：由g （x ）＝0，可得f （x ）＝b ， 即sin(2x −π6)=12+b ， 设t =2x −π6，因为x ∈[−π2，π2]，所以t ∈[−7π6，5π6]，结合y ＝sin t 的图象，又因为sin(−7π6)=sin 5π6=12上， 所以12+b ∈(−1，12)∪(12，1)， 故b ∈(−32，0)∪(0，12)， 由正弦函数的对称性可得t 1+t 2＝π或t 1+t 2＝﹣π， 当t 1+t 2＝π时，则有2x 1−π6+2x 2−π6=π， 所以x 1+x 2=2π3；当t 1+t 2＝﹣π时，则有2x 1−π6+2x 2−π6=−π，x 1+x 2=−π3； 综上所述：b ∈(−32，0)∪(0，12)；x 1+x 2=2π3或−π3．。

哈尔滨市第九中学2023～2024学年度下学期期中学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项．．．．符合题意）1．若复数z 满足32i 4i z +-=+，则z =（）．A ．13i--B ．13i+C ．1i +D ．1i--2．下列向量中与()2,3a =-共线的是（）．A ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,13⎛⎫-⎪⎝⎭C ．31,2⎛⎫--⎪⎝⎭D ．()1,23．下列说法正确的是（）．A ．以直角三角形的一条边为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥B ．以直角梯形的一腰为轴旋转一周形成的旋转体是圆台C ．圆柱、圆锥、圆台都有两个质面D ．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的半径大于圆锥的高4．在ABC △中，AB =，45A =︒，75C =︒，则BC =（）．A ．3-BC ．2D ．3+5．已知向量a ，b满足(1,a = ，1a b ⋅=- ，则()2a a b ⋅-= （）．A ．3B ．4C ．5D ．66．如图所示的正六棱柱，其底面边长是2，体对角线1BE =，则它的表面积为（）．A．24B．16+C．24+D．24+7．在锐角三角形ABC中，()222bc a b c-=-，a=ABC△周长的取值范围是（）．A．(+B．(3,2⎤+⎦C．(3D．(3,38．某同学打算测量一座塔ED的高，他在山下A处测得塔尖D的仰角为45︒，再沿AC方向前进20米到达山脚点B，测得塔尖点D的仰角为60︒，塔底点E的仰角为30︒，那么在下列选项中，塔高最接近．．（）米．1.7≈1.4≈）A．31.33B．31.94C．32.45D．33.21二、多选题（共3小题，每小题有多个选项．．．．．符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知1z与2z是共轭虚数，以下四个命题一定正确的是（）．A．12z z=B．2121z z z⋅=C．12z z+∈R D．12zz∈R10．在图示正方体中，O为BD中点，直线1AC⋂平面1C BD M=，下列说法正确的是（）．A．A，C，1C，1A四点共面B．1C，M，O三点共线C．M∈平面11BB D D D．1A C与BD异面11．《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，如图所示，该几何体是上、下底面均为扇环的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．图中的曲池，1AA 垂直于底面，15AA =，底面扇环所对的圆心角为π2，弧AD 的长度是弧BC 长度的3倍，2CD =，则下列说法正确的是（）．A ．弧AD 长度为3π2B ．曲池的体积为10π3C ．曲池的表面积为1014π+D ．三棱锥1A CC D -的体积为5第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3小题，每小题5分）12OD BA ⋅=__________．13．如图，直角梯形ABCD 是某个多边形的斜二测直观图，45ABC ∠=︒，1AD DC ==，DC BC ⊥，则该多边形原本的面积为__________．14．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为3km ，高为，B 是母线SA 上一点，且7km AB =．现要建设一条从A 到B 的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A 出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为__________千米．四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，7a =，3b =且3sin 5sin C B =．（1）求c ；（2）求A 的大小及ABC △的面积．16．已知()2,1A -，()1,3B -，()3,4C ，()1AD AB AC λλ=-+，λ∈R ．（1）若点D 在第一、三象限的角平分线上，求λ的值；（2）若点D 为线段BC 的一个三等分点，求D 的坐标．17．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，M ，N ，Q ，S 分别为PC ，CD ，AB ，PA 的中点．（1）求证：平面MNQ ∥平面PAD ；（2）求证：NS ∥平面PBC ．18．Ⅰ．四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：（1）如图，A ，B ，C ，D 四点共圆，BD 为外接圆直径，CB CD =，30ACD ∠=︒，4AB =，求BD 与AC 的长度；Ⅱ．古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．根据上述材料，解决以下问题：图1图2（2）见图1，若AB =，1BC =，π2ACD ∠=，AC CD =，求线段BD 长度的最大值；（3）见图2，若2AB =，6BC =，4AD CD ==，求四边形ABCD 面积取得最大值时角A 的大小，并求出此时四边形ABCD 的面积．19．我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对()()1212,,z z z z C ∈视为一个向量，记作()12,z z α= ．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量()12,z z α=，()34,z z β= 的数量积记作αβ⋅ ，定义为1324z z z z αβ⋅=+ ；复向量α的模定义为α= ．（1）设()3,4α=，()1,i i β=- ，求复向量α与β 的模；（2）已知对任意的实向量α与β，都有αβαβ⋅≤ ，当且仅当α与β 平行时取等；①求证：对任意实数a ，b ，c ，d ，不等式ac bd +≤成立，并写出此不等式的取等条件；②求证：对任意两个复向量α与β，不等式αβαβ⋅≤仍然成立；（3）当αβαβ⋅= 时，称复向量α 与β 平行．设()1,2i i α=+-，(),i z β= ，z ∈C ，若复向量α与β平行，求复数z 的值．。

哈尔滨市第九中学校2022-2023学年度高一下学期期中考试数学学科试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I 卷选择题一、单选题(本题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)2．已知非零向量a ，b 满足b =，且()()32a b a b -⊥+，则a 与b 的夹角为（）A ．2x >B ．2x <C ．2x <<D ．2x <≤6．在ABC 中，设()222AC ABAM AC AB -=⋅-，那么动点M 的轨迹必通过ABC 的（）界意义的重要贡献.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，三斜求积术即已知三边长求三角形面积的方法，用公式表示为：ABC S =其中,,a b c 是ABC 的内角,,A B C 的对边.已知ABC 中，cos a B C c =，cos a Ac C=，则ABC 面积的最大值为（）A B C ．2434D ．2438二、多选题(本题共4个小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．下列说法正确是（）A ．三棱锥是四面体，正三棱锥是正四面体B ．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形C ．平行的线段在直观图中仍然平行D ．圆心和圆上两点可确定一个平面10．已知两个单位向量1e 、2e 的夹角为π2θθ⎛⎫≠⎪⎝⎭，若12c xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量c 的斜坐标，若()11,a x y = ，()22,b x y =，则（）A ．()1212,a b x x y y -=--B ．a =C ．()11,a x y λλλ=D ．1212a b x x y y ⋅=+A ．该圆台轴截面ABCD 面积为B ．该圆台的体积为314πcm 312．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，ABC ∆的面积为S ，若22aS =，则下列结论一定正确的有（）A ．a bc =B ．22222tan a c b a A -+=C ．c bb c +的最大值为5D ．2a bc有最小值第II 卷非选择题三、填空题(本题共有4个小题，每小题5分，共20分)13．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2，弧长为2π的扇形，则该圆锥的体积为__________________.14．在ABC 中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若()20,0AF xAB y AC x y =+>> ，则12x y+的最小值为____________.15．已知集合{}i i ,N n n M x x n -+⊆=+∈∣（其中i 为虚数单位），则满足条件的集合M 的个数为___________.16．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得35m CD =，135ADB ∠= ，15BDC DCA ∠=∠= ，120ACB ∠= ，则A 、B 两点的距离为___________m．四、解答题(本题共有6个小题，共70分)17．（本小题10分）如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥1A A BD -，求：(1)截去的三棱锥1A A BD -的体积；(2)剩余的几何体的表面积．19．（本小题12分）已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，7a =,()2cos 32cos c B a b C =-.(1)求cos C ；(2)若2B C =，M 为ABC 的内心，求AMC 的面积.20．（本小题12分）如图，一座山其高AD 为100m ，一辆汽车在一条水平的公路上沿直线从B 往C 匀速行驶，在B 处测得山顶A 的仰角为30 ，经过20s 后汽车到达C 处，这时测得山顶A 的仰角为45，且90BAC ∠= .（1）求这辆汽车的速度；（2）若汽车从B 往C 行驶5秒时到达E 处，求此时山顶A 与汽车的距离AE .22.在锐角ABC 中，设边,,a b c 所对的角分别为,,A B C ，且22a b bc -=．(1)求角B 的取值范围；(2)若4c =，求ABC 中AB 边上的高h 的取值范围．参考答案：。

2023北京九中高一（下）期中数 学一、单选题（本大题共10小题，共50.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.给出下列命题正确的是( )A. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |，则a ⃗ =b ⃗ B. 若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ =c ⃗ C. 若|a ⃗ |=|b ⃗ |且a ⃗ //b ⃗ ，则a ⃗ =b ⃗ D. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ 2.在△ABC 中，A 为钝角，则点P(tanB,cosA)( )A. 在第一象限B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限3.要得到函数y =cos(2x +π3)的图象，只需将函数y =cos2x 的图象( ) A. 向左平移π3个单位 B. 向左平移π6个单位 C. 向右平移π6个单位 D. 向右平移π3个单位 4.函数f(x)=cos 22x −sin 22x 的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π5.已知tanα=2，tanβ=3，则tan (α+β)=( )A. 5B. −17C. 57D. −16.设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是非零向量，则“a ⃗ ⋅b ⃗ =a ⃗ ⋅c ⃗ ”是“b ⃗ =c ⃗ ”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知cos (π4−α)=45，则sin 2α=( )A. −725B. 725C. −15D. 158.已知函数f(x)=sinωx −cosωx(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，则下列结论错误的是( )A. f(x)的图象关于点(−3π8,0)对称 B. f(x)在[−π12,π4]上单调递增 C. f(x)在[0,π2]上的值域为[−1,1]D. 将f(x)的图象向右平移π8个单位长度，得到的函数图象关于y 轴对称9.已知ΔABC 的外接圆的圆心为O ，AB =2√ 3,AC =2√ 2，M 是线段BC 的中点，则AM → ⋅AO → =( )A. 3B. 4C. 5D. 610. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC 中，BC AC=√5−12.根据这些信息，可得sin 234°=( )A. 1−2√ 54B. −3+√ 58C. −√ 5+14D. −4+√ 58二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知tanα=2，则2sinα−cosαsinα+cosα=______．12. 已知向量a ⃗ =(λ , −2)，b ⃗ =(1 , 3)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则| a ⃗ +b ⃗ |= ．13. 已知α，β都为锐角，sinα=35，cos(α+β)=513，则cosβ的值为 ． 14. 求值：tan55∘+tan65∘−√ 3tan55∘tan65∘= ．15. 如图，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置P 0(单位圆与x 轴正半轴的交点)开始沿单位圆按逆时针方向运动角α(0<α<π2)到达点P 1，然后继续沿单位圆逆时针方向运动π3到达点P 2，若点P 2的横坐标为−45，则cosα的值等于 ．16. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角为α，现已知阴影部分与大正方形的面积之比为58，则锐角α= ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。

包九中度第二学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题（每题5分，共计60分）1.若a ，b R ∈，则下列命题正确的是（ ） A. 若a b >，则22a b > B. 若a b >，则22a b >C. 若a b >，则22a b >D. 若a b ≠ab =【答案】C 【解析】当1,2a b ==-时，a b >，但2214a b =<=，命题A 不正确；当1,2a b =-=-时，12a b =>-=，但2214a b =<=，命题B 不正确； 若a b >，则0a >，故有a b >，所以22a b >，命题C 正确； 当1,1a b =-=，则11a b =-≠=，但221a b ==，命题D 不正确。

2.等差数列{}n a 中，若2816a a +=，46a =，则公差d 的值为（ ） A. 1 B. 2-C. 1-D. 2【答案】D 【解析】 【分析】由等差中项的性质求得58a =，进而可求公差.【详解】等差数列{}n a 中，528216a a a =+=，所以58a =， 所以54862d a a =-=-=. 故选D.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，属于基础题.3.在ABC ∆中,若60A =︒，45C =︒，c =a =（ ）A. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】依题意，由正弦定理sin sin a cA C=即可求得a 得值.【详解】由正弦定理得，sin sin 2c A a C ==. 故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，属于基础题．4.在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若 1411,8a a ==，则该数列的前10项和为（） A. 8122-B. 9122-C. 10122- D.11122-【答案】B 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，由1411,8a a ==得334118a a q q ===，故12q =。

丰城市第九中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷一、单选题：（每小题5分，共40分）1. 已知向量，，则（ ）A. B. C. D. 2. 若，，则角终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 角的终边上有一点，，则（）A.B. C. D. 14.已知，则（ ）A.B. C. 2 D. 5. 在中，，点是边上的中点，，，则的值为（ ）A. B. C. 14 D. 6. 已知四边形是以和为底边的梯形，（），，（，是平面内两个非零且不共线向量），则（ ）A. B.C. D. 67. 《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男了在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手臂长约为米，整个肩宽约为米.“弓”所在圆的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之向的距离约为（）(参考数据：)的(1,2)a = 2(3,2)a b += b =(1,2)-(1,2)(5,6)(2,0)sin()0πα->tan(π)0α+<αα(,)P a a (0)a ≠sin α=cos 1sin 12x x =-1sin cos xx+=1212-2-Rt ABC △AC BC ⊥D AB 6BC =8CA =AB CD ⋅14-6-12-ABCD AB CD 2AB ma b =+ m ∈R 3BC a b =+42BD a b =+ a bm =23-236-4π8π1.73≈≈A. 1.612米B. 1.768米C. 1.868米D. 2.045米8. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（ ）A. ①④B. ②③C. ②D. ②③④二、多选题：（每小题6分，共18分，选错不给分，部分选对按比例给分）9. 有以下四个命题，正确命题是（ ）A. 若函数为奇函数，则为的整数倍B. 若函数为奇函数，则为的整数倍C. 对于函数，若，则必是的整数倍D. 对于函数，若，则必是的整数倍10. 设，是平面内相交为的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若，则把有序对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若与共线，则 D. 若，则11. 设点M 是所在平面内一点，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则点M ，B ，C 三点共线的()sin 4f x x ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭(0)>ω[0,]π()f x (0,π)()f x π2ω1317,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭()f x π0,15⎛⎫⎪⎝⎭()sin()f x x ωϕ=+ϕπ()cos()f x x =+ωϕϕπ()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()()12f x f x =12x x -π()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()()120f x f x ==12x x -2πOx Oy 601e 2ex y 12a xe ye =+ (),x y a Oxy (),a x y = 124m e e =- 128n e e λ=+()1,4m =-m =m n 2λ=-m n ⊥28λ=-ABC V 34AM AC AB =-B. 在中，若，则为等腰三角形C. 若点M 是的重心，则D. 若且，则面积是面积的三、填空题：（每小题5分，共15分）12. 已知为锐角，且，则__________.13. 函数的定义域为__________．14. 如图，在中，已知，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且，，点F 为线段DE 上的动点，则的取值范围是________.四、解答题：（15题13分，16.17每小题15分，18.19每小题17分）15. 已知，，，求：（1）；（2）与的夹角.16. 已知函数.（1）求的最小正周期和对称轴;（2）若，求的值域.17. 已知内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.（1）求角的大小；（2）若的面积为，，求的周长.的的ABC V 0AB ACBC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭ABC V ABC V 0MA MB MC ++=AM xAB y AC =+ 13x y +=MBC V ABC V 23απ3cos(65α+=7πsin()6α+=π6tan 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭ABC V 2,3,60AB AC BAC ==∠=︒3AC AE = 2AB AD =BF CF ⋅ 1a =b = (1,a b += a b - a b + a b -()πcos 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭()f x ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦()f x ABC V tan A =B ABC V 14b =ABC V18. 已知点是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.（1）求的解析式；（2）将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位得到的图象，若在区间上有最大值没有最小值，求实数的取值范围.19. 已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）若为的相伴特征向量，求实数m 的值；（2）记向量的相伴函数为，求当且时的值；（3）已知，，为（1）中函数，，请问在图象上是否存在一点P ，使得，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．的()()()()1122,,,A x f x B x f x ()()π0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭()01f =-()()12f x f x -=12x x -π()f x ()y f x =12π4()y g x =()g x ()0,m m ()sin cos f x a x b x =+(,)OM a b =()f x ()f x OM()OT =u u u r ()sin 6h x m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(ON =u u u r ()f x 8()5f x =,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭sin x (2,3)A -(2,6)B ()h x ()23x x h πϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y x ϕ=AP BP ⊥丰城市第九中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷 答案一、单选题：（每小题5分，共40分）【1题答案】【答案】A 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】B 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】C 【7题答案】【答案】B 【8题答案】【答案】B二、多选题：（每小题6分，共18分，选错不给分，部分选对按比例给分）【9题答案】【答案】AD 【10题答案】【答案】ACD 【11题答案】【答案】BCD三、填空题：（每小题5分，共15分）【12题答案】【答案】##45-0.8-【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】四、解答题：（15题13分，16.17每小题15分，18.19每小题17分）【15题答案】【答案】（1）2 （2）【16题答案】【答案】（1）最小正周期为，； （2）.【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）； （2； （3）存在点，使得.ππ,Z 23k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣11,162⎡⎤-⎢⎥⎣⎦23ππ122k x ππ=-+()k ∈Z 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2π3B =30()π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π5π,88⎛⎤⎥⎝⎦2m =-(0,2)P AP BP ⊥。