直接与间接证明(3)[下学期] 北师大版

第 4 讲直接证明与间接证明一、知识梳理1．直接证明直接证明中最基本的两种证明方法是综合法和剖析法．(1)综合法：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公义等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立，这类证明方法叫做综合法．综合法又称为：由因导果法 (顺推证法 )．(2)剖析法：一般地，从要证明的结论出发，逐渐追求使它建立的充足条件，直至最后，把要证明的结论归纳为判断一个明显建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)，这类证明方法叫做剖析法．剖析法又称为：执果索因法(逆推证法 )．2．间接证明反证法：假定原命题不建立，经过正确的推理，最后得出矛盾，所以说明假定错误，从而证了然原命题建立，这样的证明方法叫做反证法．常用结论1．剖析法是执果索因，其实是找寻使结论建立的充足条件；综合法是由因导果，就是找寻已知的必需条件．2．用反证法证题时，第一否认结论，否认结论就是找出结论反面的状况，而后推出矛盾，矛盾能够与已知、公义、定理、事实或许假定等相矛盾．二、教材衍化1．关于随意角θ，化简cos4 θ－ sin4 θ＝ ( )A ． 2sin θB． 2cos θC．sin 2 θD． cos 2θ分析：选 D. 由于 cos4θ－ sin4θ＝ (cos2θ－ sin2θ)(cos2θ＋ sin2θ)＝ cos2θ－ sin2θ＝ cos 2θ，应选 D.2．设 m＝ 1＋3， n＝ 2 2，则 m 与 n 的大小关系是 ()A ． m＞ n B． m≥ nC．m＜n D． m≤ n分析：选 C.法一： m2－ n2＝ (1＋3)2－ (2 2) 2＝ 4＋2 3－ 8＝ 2 3－ 4＝12－16＜ 0，又 m＞ 0， n＞ 0.所以 m＜ n，应选 C.法二：假定 m≥ n，即 1＋3≥ 2 2.则有 (1＋3)2≥ (22)2，即 4＋2 3≥8，即 2 3≥4，即 3≥ 2，即 3≥ 4，明显错误，所以 m＜ n，应选 C.一、思虑辨析判断正误 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法的思想过程是由因导果，逐渐找寻已知的必需条件．()(2)剖析法是从要证明的结论出发，逐渐找寻使结论建立的充要条件．()(3)反证法是指将结论和条件同时否认，推出矛盾．()(4)用反证法证明时，推出的矛盾不可以与假定矛盾．()(5)经常用剖析法找寻解题的思路与方法，用综合法显现解决问题的过程．()答案： (1)√(2) ×(3) ×(4)×(5)√二、易错纠偏常有误区(1)“起码”否认犯错；(2)应用剖析法找寻的条件不充足．1．用反证法证明命题“三角形三个内角起码有一个不大于60°”时，应假设．答案：三角形三个内角都大于60°2．若用剖析法证明“设 a>b>c 且 a＋ b＋ c＝ 0，求证 b2－ ac< 3a”，则索的因是(填序号 )．①a－ b>0；② a－c>0；③ (a－b)( a－c)>0 ；④ (a－ b)(a－ c)<0.分析：由 a>b>c 且 a＋ b＋ c＝0，可得 b＝－ a－ c，a>0，c<0，要证b2－ ac< 3a，只要证( －a－ c)2－ ac<3a2，即证 a2－ ac＋ a2－ c2>0，即证，a( a－c)＋ ( a＋ c)( a－ c)>0，即证 (a－c)( a －b)>0.答案：③综合法 (师生共研 )(2019 高·考江苏卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中， D ，E 分别为 BC， AC 的中点， AB＝ BC.求证： (1)A1B1∥平面 DEC 1；(2)BE⊥C1E.【证明】(1)由于 D， E 分别为 BC， AC 的中点，所以 ED ∥AB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB∥A1B1，所以 A1B1∥ ED .又由于 ED平面DEC1，A1B1?/平面DEC1，所以 A1B1∥平面 DEC 1.(2)由于 AB＝ BC， E 为 AC 的中点，所以 BE⊥ AC.由于三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以 C1C⊥平面 ABC.又由于 BE平面ABC，所以C1C⊥ BE.由于 C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1C∩AC＝C，所以 BE ⊥平面 A1ACC 1.由于 C1E平面A1ACC1，所以BE⊥ C1E.综合法证题的思路与方法(一题多解 )在△ ABC 中，设a ，b ， c分别是内角A ，B ，C 所对的边， 且直线 bx ＋ ycos A ＋cos B ＝ 0 与 ax ＋ ycos B ＋ cos A ＝ 0 平行，求证：△ABC 是直角三角形．证明：法一：由两直线平行可知bcos B － acos A ＝ 0，由正弦定理可知sin Bcos B － sin Acos11πA ＝ 0，即 2sin 2B － 2sin 2A ＝ 0，故 2A ＝ 2B 或 2A ＋ 2B ＝ π，即 A ＝ B 或 A ＋B ＝ 2.若 A ＝ B ，则πa ＝b ， cos A ＝ cos B ，两直线重合 ，不切合题意 ，故 A ＋ B ＝ ，即△ ABC 是直角三角形．2法二： 由两直线平行可知 bcos B － acos A ＝ 0，b 2＋c 2 －a 2a 2＋ c 2－b 2由余弦定理 ，得 a ·＝ b · ，2bc2ac所以 a 2(b 2＋ c 2－ a 2) ＝ b 2(a 2＋ c 2－ b 2)，所以 c 2(a 2－ b 2)＝ (a 2＋ b 2)( a 2－ b 2)，所以 (a 2－ b 2)(a 2＋ b 2－ c 2) ＝0，所以 a ＝ b 或 a 2＋ b 2＝c 2.若 a ＝b ，则两直线重合 ，不切合题意 ，故 a 2＋ b 2＝ c 2，即△ ABC 是直角三角形．剖析法 (师生共研 )△ ABC 的三个内角A，B，C 成等差数列， A，B， C 的对边分别为a，b， c.求证：1＋a＋ b1b＋ c3＝ a＋ b＋ c.11 3【证明】要证＋＝，即证a＋b＋c＋a＋b＋c＝ 3，也就是证 c ＋a＝ 1，a＋ b b＋ c a＋ b b＋ c只要证 c(b＋ c)＋ a(a＋ b)＝ (a＋ b)(b＋ c)，需证 c2＋ a2＝ ac＋ b2.又△ ABC 三个内角A， B， C 成等差数列，故 B＝ 60°，由余弦定理，得 b2＝c2＋ a2－ 2accos 60°，即 b2＝ c2＋ a2－ ac，故 c2＋ a2＝ ac＋b2建立．于是原等式建立．剖析法的证题思路先从结论下手，由此逐渐推出保证此结论建立的充足条件，而当这些判断恰好都是已证的命题 (定义、公义、定理、法例、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证．[提示 ]要注意书写格式的规范性．a＋ mb已知 m>0，a，b∈R ，求证：1＋m 2a2＋ mb2.≤1＋m证明：由于 m>0 ，所以 1＋ m>0.所以要证原不等式建立，只要证 (a＋ mb)2≤ (1＋ m) ·(a2＋ mb2 )，即证 m(a2－ 2ab＋ b2)≥ 0，即证 (a－ b)2≥ 0，而 (a－b)2≥0 明显建立，故原不等式得证．反证法 (师生共研 )1 1设 a>0， b>0，且 a＋ b＝a＋b.证明：(1)a＋ b≥ 2；(2)a2＋a<2 与 b2＋ b<2 不行能同时建立．11a＋ b【证明】由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝ 1，有 a＋ b≥ 2ab＝ 2，即 a＋ b≥ 2.(2)假定 a2＋ a<2 与 b2＋ b<2 同时建立，则由 a2＋ a<2 及 a>0，得 0<a<1；同理，0<b<1，进而 ab<1，这与 ab＝ 1 矛盾．故 a2＋ a<2 与 b2＋ b<2 不行能同时建立．反证法证明数学命题的步骤应用反证法时，当原命题结论反面有多种状况时，要对结论的反面的每一种状况都进行议论，进而达到否认结论的目的．已知 a， b， c，d∈ R，且 a＋ b＝ 1， c ＋d＝ 1， ac＋ bd>1. 求证： a， b，c， d 中起码有一个是负数．证明：假定a， b，c， d 都是非负数，由于a＋b＝ c＋ d＝ 1，所以 (a＋ b)( c＋d)＝ 1，即ac＋ bd＋ ad＋ bc＝ 1，又 ac＋ bd＋ad＋ bc≥ ac＋bd，所以 ac＋ bd≤ 1，与题设矛盾，故假定不建立，故 a， b， c，d 中起码有一个是负数．[基础题组练 ]1． (2020 ·阳示范高中联考衡(二 )) 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a， b， c 中恰有一个是偶数”的正确假定为()A ．自然数a， b， c 中起码有两个偶数B．自然数a，b， c 中起码有两个偶数或都是奇数C．自然数a，b， c 都是奇数D ．自然数 a ， b ， c 都是偶数分析： 选 B. “ 自然数 a ， b ，c 中恰有一个是偶数 ”说明有且只有一个是偶数 ，其否认是“ 自然数 a ， b ， c 均为奇数或自然数 a ， b ， c 中起码有两个偶数 ”．2．剖析法又称执果索因法，已知 x>0，用剖析法证明x时，索的因是 ()1＋ x<1＋ 2A ． x 2>2B ． x 2>4C ．x 2>0D ． x 2>11＋ x<1＋ x，只要证 ( 1＋ x)2< 1＋ x22分析： 选 C.由于 x>0，所以要证，即证 0<x，即22 4证 x 2 >0，明显 x 2>0 建立 ，故原不等式建立．3．在△ ABC 中， sin Asin C ＜ cos Acos C ，则△ ABC 必定是 () A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确立分析： 选 C. 由 sin Asin C ＜ cos Acos C 得cos Acos C － sin Asin C ＞0，即 cos(A ＋C)＞ 0，所以 A ＋C 是锐角 ，π 必是钝角三角形．进而 B ＞ ，故△ ABC21 xa ＋ b，B ＝ f(2ab4．已知函数 f(x) ＝ ， a ， b 是正实数， A ＝ fab)，C ＝ f ，则 A ，2 2a ＋ bB ，C 的大小关系为 ()A ．A ≤B ≤C B ． A ≤C ≤ B C ．B ≤ C ≤ AD ． C ≤ B ≤A分析： 选 A. 由于a ＋ b≥ ab ≥2ab，又 f(x)＝ 1 x在 R上是减函数 ，所以 fa ＋ b2a ＋ b222ab≤f( ab)≤ f a ＋ b ，即 A ≤ B ≤ C.5．设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f(x)单一递减，若 121x ＋ x >0 ，则 f(x ) ＋f(x 2)的值 ()A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正当D ．没法确立正负分析： 选 A. 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ，且当 x ≥ 0 时， f(x)是减少的 ，可知 f(x)是 R 上的减函数 ，由 x 1＋ x 2>0，可知 x 1>－ x 2， f(x 1)<f(－ x 2)＝－ f(x 2)，则 f(x 1 )＋ f(x 2)<0.6．用反证法证明命题“若 x2－( a＋ b)x＋ ab≠ 0，则 x≠ a 且 x≠ b”时，应假定为．分析：“ x≠ a 且 x≠ b”的否认是“ x＝a 或 x＝ b”，所以应假定为 x＝ a 或 x＝ b.答案： x＝ a 或 x＝b7．设 a＝3＋ 2 2， b＝ 2＋7，则 a， b 的大小关系为．分析： a＝3＋ 2 2， b＝ 2＋7，两式的两边分别平方，可得 a2＝ 11＋ 4 6， b2＝ 11＋47，明显 6< 7，所以 a<b.答案： a<b8．(2020 赣·州模拟 )假如 a a＋ b b＞ a b＋ b a，则 a，b 应知足的条件是．分析： a a＋ b b＞ a b＋b a，即 ( a－ b)2 ( a＋ b)＞ 0，需知足 a≥ 0，b≥ 0 且 a≠ b.答案： a≥ 0， b≥ 0 且 a≠b9．在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知 sin Asin B＋ sin Bsin C＋ cos 2B ＝1.(1)求证： a，b， c 成等差数列；2π(2)若 C＝3，求证： 5a＝ 3b.证明：(1) 由已知得 sin Asin B＋ sin Bsin C＝ 2sin2 B，由于 sin B≠ 0，所以 sin A＋ sin C＝2sin B，由正弦定理，有 a＋ c＝ 2b，即 a， b，c 成等差数列．2π222 2(2)由 C＝3， c＝ 2b－ a 及余弦定理得 (2b－ a) ＝ a ＋ b ＋ab，即有 5ab－ 3b ＝ 0，即 5a ＝3b.10．已知四棱锥S-ABCD 中，底面是边长为 1 的正方形，又 SB＝ SD＝2， SA＝ 1.(1)求证： SA⊥平面 ABCD ；(2)在棱 SC 上能否存在异于S，C 的点 F，使得 BF∥平面 SAD？若存在，确立 F 点的位置；若不存在，请说明原因．解： (1)证明：由已知得SA2＋ AD 2＝ SD2，所以 SA⊥ AD.同理 SA⊥ AB.又 AB∩ AD＝A， AB平面ABCD，AD平面 ABCD ，所以 SA⊥平面 ABCD .(2)假定在棱 SC 上存在异于 S ， C 的点 F ，使得 BF ∥ 平面 SAD.由于 BC ∥AD ， BC?/ 平面 SAD.所以 BC ∥平面 SAD ，而 BC ∩ BF ＝ B ，所以平面 FBC ∥ 平面 SAD.这与平面 SBC 和平面 SAD 有公共点 S 矛盾，所以假定不建立．所以不存在这样的点F ，使得 BF ∥ 平面 SAD.[综合题组练 ]1．已知 a ， b ， c ∈ R ，若 b c b c≥－ 2，则以下结论建立的是 ()·>1 且 ＋a a a a A ． a ，b ，c 同号B ．b ， c 同号， a 与它们异号C ．a ， c 同号， b 与它们异号D ． b ， c 同号， a 与 b ， c 的符号关系不确立b cb c分析：选 A.由 ·>1 知a 与同号，a aab c >0，不等式 b c≥－ 2 明显建立 ， 若 >0且 a ＋ aa abc <0，则－ b >0，－ c>0， 若 <0且 a a aa－b＋－c≥ 2－b－cb＋ ca a a·a >2，即a a<－ 2，b c b且c，即 a， b，c 同号．这与＋≥－2矛盾，故 >0 >0a a a a2．( 应用型 )(一题多解 ) 若二次函数 f(x)＝ 4x2－ 2(p－ 2)x－ 2p2－ p＋ 1 在区间 [ － 1，1]内至少存在一点 c，使 f(c)＞0，则实数 p 的取值范围是．分析：法一 (补集法 ) ： f(x)在区间 [－ 1， 1]内起码存在一点 c.使 f(c)>0 ，该结论的否认是关于区间 [－ 1，1]内的随意一点 c，都有 f(c)≤ 0，f（－ 1）＝－ 2p2＋ p＋ 1≤ 0，3，令解得 p≤－ 3 或 p≥f（ 1）＝－ 2p2－ 3p＋9≤ 0， 23故知足条件的p 的取值范围为－3，2 .法二 (直接法 )：依题意有f( － 1)＞ 0 或 f(1) ＞ 0，即 2p2－ p－ 1＜ 0 或 2p2＋ 3p－ 9＜0，得－1＜ p＜ 1 或－ 3＜ p＜3，2 2故知足条件的p 的取值范围是－3，32.答案：－3，323．已知二次函数f(x)＝ ax2＋bx＋ c(a>0)的图象与x 轴有两个不一样的交点，若f(c)＝ 0，且 0<x<c 时， f(x)>0.(1)证明：1a是 f(x)＝ 0 的一个根；1(2)试比较a与 c 的大小．解： (1)证明：由于 f(x) 的图象与 x 轴有两个不一样的交点，所以 f(x)＝ 0 有两个不等实根x1，x2，由于 f(c)＝ 0，所以 x1＝ c 是 f(x)＝ 0 的根，又 x1 2 c，x ＝a1 1所以 x2＝≠ c，1所以是 f(x)＝ 0 的一个根．1 1(2)假定a<c，又a>0，由 0<x<c 时， f(x)>0，知 f 1>0 与 f1＝ 0 矛盾，a a所以1≥ c，又由于1≠ c，所以1>c.a a a4． (综合型 ) 若 f(x) 的定义域为 [a， b] ，值域为 [ a，b]( a＜b)，则称函数 f(x)是[ a， b]上的“四维光军”函数．(1)设 g(x)＝1x2－ x＋3是 [1， b]上的“四维光军”函数，求常数 b 的值；2 2(2)能否存在常数1是区间 [a，b]上的“四维光军”函数？a，b(a＞－ 2)，使函数 h(x)＝x＋2若存在，求出a， b 的值；若不存在，请说明原因．解： (1)由已知得g(x)＝12(x－ 1)2＋ 1，其图象的对称轴为x＝1，所以函数在区间[1 ， b] 上是增添的，由“四维光军”函数的定义可知，g(1)＝1，g(b) ＝b，即1b2－ b＋3＝ b，22解得 b＝ 1 或 b＝ 3.由于 b＞ 1，所以 b＝ 3.1(2)假定函数h( x)＝x＋2在区间 [a， b]( a＞－ 2)上是“四维光军”函数，1由于 h(x)＝在区间(－2，＋∞ )上是减少的，h（ a）＝ b，1 ＝ b，a＋2所以有即h（ b）＝ a， 1 ＝ ab＋ 2解得 a＝ b，这与已知矛盾．故不存在．。

核心素养测评三十六直接证明与间接证明、数学归纳法(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019·太原模拟)下列说法不正确的是( )A.综合法是由因导果顺推证法B.分析法是执果索因逆推证法C.综合法和分析法都是直接证法D.综合法和分析法在同一题的证明中不可能同时使用【解析】选D.综合法是由因导果的顺推证法、分析法是执果索因的逆推证法、分析法是从要证的结论出发,寻求使它成立的充分条件,即A,B,C正确;综合法与分析法在同一题的证明中可能同时采用,故D不正确.2.(2020·长春模拟)用反证法证明命题“若a2+b2=0(a,b∈R),则a,b全为0”,其反设正确的是( )A.a,b全为0B.a,b中只有一个为0C.a,b至少有一个为0D.a,b至少有一个不为0【解析】选D.“a,b全为0(a,b∈R)”的否定为:“a,b至少有一个不为0”.3.(2019·三明模拟)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n应等于( )A.1B.4C.5D.6【解析】选D.n=1时,左边=2,右边=4;n=2时,左边=4,右边=9;n=3时,左边=8,右边=16;n=4时,左边=16,右边=25;n=5时,左边=32,右边=36;n=6时,左边=64,右边=49,所以初始值n应等于6.4.设n∈N,则-与-的大小关系是( )A.->-B.-<-C.-=-D.不能确定【解析】选B.由题意知,(-)-(-)=(+ )-(+),因为(+)2-(+)2=2[-]=2(-)<0,所以-<-.5.(2020·湖州模拟)用数学归纳法证明不等式++…+≥(n∈N*),则当n=k+1时,左端应在n=k的基础上加上( )A.B.-C.++D.+-【解析】选D.当n=k时,等式左端=++…+,当n=k+1时,等式左端=++…+,增加了+-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·平遥模拟)用数学归纳法证明某个命题时,左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3),从n=k到n=k+1左边需增加的代数式为________________.【解析】用数学归纳法证明左边为1·2·3·4+2·3·4·5+…+n·(n+1)·(n+2)·(n+3)的过程中,从n=k到n=k+1时,左边需增加的代数式是(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)答案:(k+1)·(k+2)·(k+3)·(k+4)7.(2020·南通模拟)用反证法证明命题:“若(a-1)·(b-1)·(c-1)>0,则a,b,c中至少有一个大于1”时,要做的假设是“假设a,b,c________________”.答案:都不大于18.(2019·绍兴模拟)用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”,第一步应验证的等式是________________,从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的代数式是________________. 世纪金榜导学号【解析】用数学归纳法证明“1-+-+…+-=++…+(n∈N*)”,第一步应验证的等式为:1-=;从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是:-=-.答案:1-=-三、解答题(每小题10分,共20分)9.在数列{a n}中,a1=2,a n+1=λa n+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*,λ>0).(1)求a2,a3,a4.(2)猜想{a n}的通项公式,并加以证明.【解析】(1)a2=2λ+λ2+2(2-λ)=λ2+22,a3=λ(λ2+22)+λ3+(2-λ)22=2λ3+23,a4=λ(2λ3+23)+λ4+(2-λ)23=3λ4+24.(2)由(1)可猜想数列通项公式为:a n=(n-1)λn+2n.下面用数学归纳法证明:①当n=1,2,3,4时,等式显然成立,②假设当n=k(k≥4,k∈N*)时等式成立,即a k=(k-1)λk+2k,那么当n=k+1时,a k+1=λa k+λk+1+(2-λ)2k=λ(k-1)λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=(k-1)λk+1+λk+1+2k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,所以当n=k+1时,a k+1=[(k+1)-1]λk+1+2k+1,猜想成立,由①②知数列的通项公式为a n=(n-1)λn+2n(n∈N*,λ>0).10.设f(n)=1+++…+,是否存在关于正整数n的函数g(n),使等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=g(n)·[f(n)-1]对于n≥2的一切正整数都成立?并证明你的结论. 世纪金榜导学号【解析】当n=2时,由f(1)=g(2)·[f(2)-1],得g(2)===2,当n=3时,由f(1)+f(2)=g(3)·[f(3)-1],得g(3)===3,猜想g(n)=n(n≥2).下面用数学归纳法证明:当n≥2时,等式f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n[f(n)-1]恒成立.①当n=2时,由上面计算知,等式成立.②假设n=k(k≥2)时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)=k[f(k)-1]成立,那么当n=k+1时,f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k=(k+1)-k=(k+1)[f(k+1)-1],所以当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对一切n≥2的正整数n,等式都成立.故存在函数g(n)=n,使等式成立.(15分钟30分)1.(5分)分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是( )A.x2>2B.x2>4C.x2>0D.x2>1【解析】选C.因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.2.(5分)若a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断:①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0;②a>b与a<b及a=b中至少有一个成立;③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立.其中判断正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.①②正确,③中,a≠c,b≠c,a≠b可能同时成立,如a=1,b=2,c=3.3.(5分)用数学归纳法证明++…+>(n≥2)的过程中,设f(k)=++…+,从n=k递推到n=k+1时,不等式左边为( )A.f(k)+B.f(k)++C.f(k)++…+-D.f(k)+-【解析】选 C.当n=k时,左端=++…+,那么当n=k+1时,左端=++…+++…+,故第二步由k到k+1时,不等式左边为f(k)++…+-.【变式备选】已知n∈N*,用数学归纳法证明f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时.假设当n=k(k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立,需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是( )A.f(k+1)=f(k)+3k-5B.f(k+1)=f(k)+3k-2C.f(k+1)=f(k)+3k+1D.f(k+1)=f(k)+3k+4【解析】选C.因为用数学归纳法证明等式f(n)=1+4+7+…+(3n-2)=时,假设n=k时,命题成立,f(k)=1+4+7+…+(3k-2)=,则当n=k+1时,左端为f(k+1)=1+4+7+…+(3k-2)+[3(k+1)-2]需要用到的f(k+1)与f(k)之间的关系式是f(k+1)=f(k)+3k+1.4.(5分)(2019·太原模拟)用反证法证明“若x2-1=0,则x=-1或x=1”时,应假设________________.【解析】“x=-1或x=1”的否定是“x≠-1且x≠1”.答案:x≠-1且x≠15.(10分)已知数列{a n}满足:a1=2,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),n∈N*.世纪金榜导学号(1)求证:数列为等差数列,并求出数列{a n}的通项公式.(2)记b n=(n∈N*),用数学归纳法证明:b1+b2+…+b n<1-,n∈N*.【证明】(1)a1=2,na n+1=(n+1)a n+n(n+1),可得=+1,则数列为首项为2,公差为1的等差数列,则=2+n-1=n+1,即a n=n(n+1).(2)b n==,当n=1时,b1=,1-=,即<;假设n=k时,不等式b1+b2+…+b k<1-成立,k∈N*.当n=k+1时,b1+b2+…+b k+b k+1<1-+,要证1-+<1-,即证<-,即证2(k+1)<2k+3,显然成立,即n=k+1时,不等式成立.则证得b1+b2+…+b n<1-,n∈N*.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

直接证明与间接证明__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________(1)了解直接证明的一种基本方法──综合法、分析法； (2) 了解间接证明的一种基本方法──反证法；(3)了解综合法、分析法、反证法的思考过程与特点,会用综合法、分析法、反证法证明数学问题.类型一、直接证明： 一. 综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.2.思维特点：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示要证明的结论)()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒二.分析法1.定义：一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止,这种证明方法叫做分析法.2. 思维特点：执果索因步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法3.框图表示：(用Q 表示要证明的结论,P n 表示充分条件)()()1121().....()n n n Q P P P P P P P -⇐←⇐←⇐←⇐4.分析法的书写格式：类型二、反证法：反证法：假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。

（2）反证法的一般步骤：a、反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；b、归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；c、下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

课时作业(六十)［第60讲直接证明与间接证明](时间:45分钟分值：100分)基础热身1．用反证法证明命题:“三角形三个内角中至少有一个不大于60°”时，应假设（）A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°2．若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定3．要证:a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明( )A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－错误!≤0C.错误!－1－a2b2≤0D．(a2－1）(b2－1）≥04．已知a，b是不相等的正数，x＝错误!，y＝错误!，则x，y的大小关系是________．错误!5．一个质点从A出发依次沿图K60－1中线段到达B，C，D，E，F,G，H，I，J各点，最后又回到A，其中：AB⊥BC,AB∥CD∥EF∥HG∥IJ，BC∥DE∥FG∥HI∥JA.欲知此质点所走路程，至少需要测量n条线段的长度，则n＝（)A．2 B．3C．4 D．56．若a＝错误!，b＝错误!，c＝错误!，则( )A．a<b<c B．c〈b<aC．c<a〈b D．b〈a<c7．使不等式错误!<错误!成立的条件是( ）A．a>b B．a<bC．a>b，且ab〈0 D．a〉b,且ab>08．设a〉0,b>0,则下列不等式中不恒成立的是（)A．（a＋b）错误!≥4 B．a3＋b3≥2ab2C．a2＋b2＋2≥2a＋2b D。

错误!≥错误!－错误!9．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：①（a－b）2＋（b－c)2＋(c－a)2≠0;②a>b与a〈b及a＝b中至少有一个成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同时成立．其中判断正确的个数是（)A．0 B．1C．2 D．310．已知函数f(x）＝错误!错误!,a,b∈R＋，A＝f错误!，B＝f(错误!)，C ＝f错误!，则A，B,C的大小关系为________．11．若P＝错误!＋错误!，Q＝错误!＋错误!(a≥0），则P，Q的大小关系是________．12．若直线ax＋2by－2＝0(a〉0，b〉0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则1a＋错误!的最小值为________．13．如果函数f（x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1，x2,…，x n，都有错误!≤f错误!.若y＝sin x在区间（0,π)上是凸函数,那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．14．(10分)若a,b,c均为实数，且a＝x2－2y＋错误!，b＝y2－2z＋错误!，c＝z2－2x＋错误!，求证：a，b，c中至少有一个大于0。