2020重庆中考数学25题二次函数专题练习

2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。

重庆市合川区第一中学2020 年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数1、已知二次函数y=ax 2﹣ 2ax+c （ a＞ 0）的图象与 x 轴的负半轴和正半轴分别交于A、 B 两点，与 y 轴交于点C，它的极点为P，直线 CP与过点 B 且垂直于x 轴的直线交于点D，且CP： PD=2： 3（1）求 A、 B 两点的坐标；（2）若 tan ∠ PDB= ，求这个二次函数的关系式．2、已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象与y 轴交于点C（ 0，﹣ 6），与 x 轴的一个交点坐标是 A （﹣ 2， 0）．（1）求二次函数的分析式，并写出极点 D 的坐标；（2）将二次函数的图象沿x 轴向左平移个单位长度，当y ＜ 0 时，求 x 的取值范围．3、如图，已知抛物线y= ﹣ x2+mx+3与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点C，点 B 的坐标为（3， 0）（1）求 m的值及抛物线的极点坐标．（2）点 P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P 的坐标．4、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 3（ a≠ 0）的极点为E，该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，与y 轴交于点C，且 BO=OC=3AO，直线 y=﹣x+1 与 y 轴交于点D．（1）求抛物线的分析式；（2）证明：△ DBO∽△ EBC；（3）在抛物线的对称轴上能否存在点 P，使△ PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出切合条件的 P 点坐标，若不存在，请说明原因．5、课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，假如制作窗框的资料总长为6m，怎样设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2．我们假如改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形构成的矩形，如图2，资料总长仍为6m，利用图3，解答以下问题：（1）若 AB为 1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请经过计算说明．6、正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，点E 是正方形内的抛物线上的动点．（1）成立适合的平面直角坐标系，①直接写出 O、P、 A 三点坐标；②求抛物线 L 的分析式；（2）求△ OAE与△ OCE面积之和的最大值．[ 根源 :]7、如图，抛物线y=ax 2+bx﹣ 5（ a≠ 0）与x 轴交于点A（﹣ 5， 0）和点B（3， 0），与y 轴交于点 C．（1）求该抛物线的分析式；（2）若点 E 为 x 轴下方抛物线上的一动点，当S△ABE=S△ABC时，求点 E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下，抛物线上能否存在点P，使∠BAP=∠ CAE？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，请说明原因．8、如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c（ a≠ 0）经过 A（﹣ 1，0）、B（ 3，0）、C（ 0，﹣ 3）三点，直线 l 是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点A、点 B 的距离之和最短时，求点P 的坐标；l 上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出全部切合条件的点M （3）点M也是直线的坐标．9、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+1 经过点A（ 4，﹣ 3），极点为点B，点 P 为抛物线上的一个动点，l 是过点（0，2）且垂直于y 轴的直线，过P 作PH⊥ l ，垂足为 H，连结PO．（1）求抛物线的分析式，并写出其极点 B 的坐标；（2）①当P 点运动到 A 点处时，计算： PO= ，PH= ，由此发现，PO PH（填“＞” 、“＜”或“=”）；②当 P 点在抛物线上运动时，猜想PO与 PH有什么数目关系，并证明你的猜想；（3）如图 2，设点 C（ 1，﹣ 2），问能否存在点 P，使得以 P，O，H为极点的三角形与△ ABC 相像？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明原因．10 、如图，已知抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ， 0 ），与 y 轴交于 C （ 0 ，﹣ 2 ）．（1 ）求抛物线的解析式；（2 ） H 是 C 关于 x 轴的对称点， P 是抛物线上的一点，当△ PBH 与△ AOC 相似时，求符合条件的 P 点的坐标（求出两点即可）；（3 ）过点 C 作 CD∥ AB， CD 交抛物线于点 D，点 M 是线段 CD 上的一动点，作直线 MN 与线段 AC 交于点 N，与 x 轴交于点 E，且∠ BME=∠ BDC，当 CN 的值最大时，求点 E 的坐标．11、如图，对称轴为直线 x=2 的抛物线 y=x 2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C，且点A 的坐标为（﹣ 1， 0）（1）求抛物线的分析式；（2）直接写出 B、 C 两点的坐标；（3）求过 O， B， C 三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）注：二次函数y=ax2+bx+c （ a≠ 0）的极点坐标为（﹣，）12、在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图搁置，点A、C 的坐标分别是（0，4）、（﹣1， 0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，获得平行四边形A′B′ OC′．（1）若抛物线经过点C、 A、A′，求此抛物线的分析式；（2）点 M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在哪处时，△ AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；（3）若 P 为抛物线上一动点，N 为 x 轴上的一动点，点Q坐标为（ 1， 0），当 P、N、 B、 Q 构成平行四边形时，求点P 的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N 的坐标．13、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax2+bx+2 过 B（﹣ 2， 6）， C（ 2， 2）两点．（1）试求抛物线的分析式；（2）记抛物线极点为 D，求△ BCD的面积；（3）若直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、 C）部分有两个交点，求 b 的取值范围．14、如图 1（注：与图 2 完整同样），二次函数y= x2+bx+c 的图象与x 轴交于 A（ 3，0），B （﹣ 1， 0）两点，与y 轴交于点C．（1）求该二次函数的分析式；（2）设该抛物线的极点为 D，求△ ACD的面积（请在图 1 中探究）；（3）若点 P， Q同时从 A 点出发，都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点抵达端点时，另一点也随之停止运动，当P，Q运动到 t 秒时，△ APQ沿 PQ所在的直线翻折，点 A 恰巧落在抛物线上 E 点处，请直接判断此时四边形 APEQ的形状，并求出 E 点坐标（请在图 2 中探究）．15、如图，矩形的边 OA在 x 轴上，边 OC在 y 轴上，点 B 的坐标为（ 10， 8），沿直线 OD 折叠矩形，使点 A 正好落在 BC上的 E 处， E 点坐标为（ 6，8），抛物线 y=ax2+bx+c 经过 O、A、 E 三点．（1）求此抛物线的分析式；（2）求 AD 的长；（3）点 P 是抛物线对称轴上的一动点，当△PAD的周长最小时，求点P 的坐标．16、如图，抛物线 L： y=ax 2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B（ 3， 0）两点（ A 在 B 的左边），与 y 轴交于点 C（ 0， 3），已知对称轴 x=1．（1）求抛物线L 的分析式；（2）将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△OBC内（包含△OBC的界限），求 h 的取值范围；（3）设点 P 是抛物线L 上任一点，点Q在直线 l ：x=﹣ 3 上，△ PBQ可否成为以点P 为直角极点的等腰直角三角形？若能，求出切合条件的点P 的坐标；若不可以，请说明原因．参照答案 :1、解：（ 1）过点 P 作 PE⊥ x 轴于点 E，∵y=ax 2﹣ 2ax+c ，∴该二次函数的对称轴为： x=1，∴O E=1∵OC∥ BD，∴CP： PD=OE：EB，∴OE： EB=2： 3，∴E B= ，∴O B=OE+EB=，∴B（，0）∵A 与 B 对于直线x=1 对称，∴A（﹣，0）；（2）过点 C 作 CF⊥ BD于点 F，交 PE于点 G，令 x=1 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c ﹣ a，令 x=0 代入 y=ax 2﹣2ax+c ，∴y=c∴P G=a，∵CF=OB= ，∴t an ∠ PDB= ，∴F D=2，∵PG∥ BD∴△ CPG∽△ CDF，∴= =∴PG= ，∴a=，∴y= x2﹣ x+c ，把 A（﹣，0）代入y=x2﹣x+c， [ 根源 : ]∴解得： c=﹣ 1，∴该二次函数分析式为：y= x2﹣x﹣ 1．2、解：（ 1）∵把 C（ 0，﹣ 6）代入抛物线的分析式得：C=﹣6，把 A（﹣ 2，0）代入 y=x 2+bx ﹣6得： b=﹣ 1，∴抛物线的分析式为 y=x 2﹣ x﹣6．∴y= （ x﹣）2﹣．∴抛物线的极点坐标D（，﹣）．（2）二次函数的图形沿x 轴向左平移个单位长度得：y=（ x+2）2﹣．令 y=0 得：（ x+2）2﹣=0，解得： x1=，x2=﹣．∵a＞ 0，∴当 y＜ 0 时， x 的取值范围是﹣＜x＜．3、解：（ 1）把点 B 的坐标为（ 3， 0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得： 0=﹣ 32 +3m+3，解得： m=2，∴y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为：（ 1， 4）．（2）连结 BC交抛物线对称轴 l 于点 P，则此时 PA+PC的值最小，设直线 BC的分析式为： y=kx+b ，∵点 C（ 0， 3），点 B（ 3，0），∴，解得：，∴直线 BC的分析式为：y= ﹣x+3，当x=1 时， y=﹣1+3=2，∴当 PA+PC的值最小时，求点P 的坐标为：（1， 2）．4、解：（ 1）∵抛物线y=ax2 +bx﹣ 3，∴c= ﹣ 3，∴C（ 0，﹣ 3），∴O C=3，∵BO=OC=3AO，∴BO=3， AO=1，∴B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0），∵该抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，∴，∴，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 2x﹣3，（2）由（ 1）知，抛物线分析式为 y=x2 ﹣2x﹣ 3=（ x﹣ 1）2﹣4，∴E（ 1，﹣ 4），∵B（ 3， 0）， A（﹣ 1， 0）， C（ 0，﹣3），∴BC=3 ， BE=2 ，CE= ，∵直线 y=﹣ x+1 与 y 轴交于点 D，∴D（ 0， 1），∵B（ 3， 0），∴O D=1， OB=3，BD=，∴，，，∴，∴△ BCE∽△ BDO，（3）存在，原因：设P（ 1，m），∵B（ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3），∴BC=3，PB=，PC=，∵△ PBC是等腰三角形，①当 PB=PC时，∴=，∴m=﹣ 1，∴P（ 1，﹣ 1），②当 PB=BC时，∴3=，∴m=±，∴P（ 1，）或P（1，﹣），③当 PC=BC时，∴3 = ，∴m=﹣ 3±，∴P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣），∴切合条件的P点坐标为 P（ 1，﹣ 1）或 P（ 1，）或 P（ 1，﹣）或 P（ 1，﹣ 3+ ）或 P（ 1，﹣ 3﹣）5、解：（ 1）由已知可得： AD= ，则 S=1×2 m，（2）设 AB=xm，则 AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当 x= m时，且 x= m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，此刻窗户透光面积的最大值变大．6、解：（ 1）以 O点为原点，线段OA所在的直线为x 轴，线段OC所在的直线为y 轴成立直角坐标系，以下图．①∵正方形OABC的边长为 4，对角线订交于点P，∴点 O的坐标为（ 0， 0），点 A 的坐标为（ 4， 0），点 P 的坐标为（ 2，2）．②设抛物线L 的分析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线L 经过 O、 P、 A 三点，∴有，解得：，∴抛物线L 的分析式为y=﹣+2x．（2）∵点 E 是正方形内的抛物线上的动点，∴设点 E 的坐标为（ m，﹣+2m）（ 0 ＜ m＜ 4），∴S +S = OA?y + 2 2OC?x =﹣m+4m+2m=﹣（ m﹣ 3） +9，△ OAE OCE E E∴当 m=3时，△ OAE与△ OCE面积之和最大，最大值为9．7、解：（1）把 A、 B 两点坐标代入分析式可得，解得，∴抛物线分析式为y= x2+x﹣ 5；2（2）在 y= x + x﹣ 5 中，令 x=0 可得 y=﹣ 5，∴C（ 0，﹣ 5），∵S△ABE=S△ABC，且 E 点在 x 轴下方，∴E 点纵坐标和 C 点纵坐标同样，当 y=﹣ 5 时，代入可得x2+ x=﹣ 5，解得 x=﹣ 2 或 x=0（舍去）， [ 根源 : ] ∴E 点坐标为（﹣2，﹣ 5）；（3）假定存在知足条件的 P 点，其坐标为（ m， m2+ m﹣ 5），如图，连结 AP、CE、 AE，过 E 作 ED⊥ AC于点 D，过 P作 PQ⊥ x 轴于点 Q，则 AQ=AO+OQ=5+m，PQ=| m2+m﹣ 5| ，在 Rt △ AOC中， OA=OC=5，则 AC=5，∠ ACO=∠ DCE=45°，由（ 2）可得 EC=2，在 Rt △ EDC中，可得 DE=DC=，∴AD=AC﹣ DC=5﹣=4，当∠ BAP=∠ CAE时，则△ EDA∽△ PQA，∴=，即=，∴2（ 5+m）或2m+ m﹣5= m+ m﹣ 5=﹣（5+m），当2m﹣5= （ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m﹣ 5m﹣ 75=0，解得 m=舍去），当2m﹣5=﹣（ 5+m）时，整理可得2或 m=﹣ 5（与 A 点重合，m+ 4m+11m﹣ 45=0，解得 m=舍去），8、解：（ 1）将 A（﹣ 1， 0）、B（ 3， 0）、 C（ 0，﹣ 3）代入抛物线y=ax2 +bx+c 中，得：，解得：故抛物线的分析式：y=x2﹣ 2x﹣3．（2）当 P 点在 x 轴上， P，A，B 三点在一条直线上时，点P 到点 A、点 B的距离之和最短，此时 x=﹣=1，故 P（ 1， 0）；（3）以下图：抛物线的对称轴为：x=﹣=1，设 M（ 1， m），已知 A（﹣ 1， 0）、C（ 0，﹣3），则：22222 2MA=m+4，MC=（ 3+m） +1=m+6m+10， AC=10；2 2①若 MA=MC，则 MA=MC，得：2 2m+4=m+6m+10，解得： m=﹣ 1，2 2②若 MA=AC，则 MA=AC，得：2m+4=10，得： m=±；2 2③若 MC=AC，则 MC=AC，得：2m+6m+10=10，得： m1=0，m2=﹣ 6；当 m=﹣ 6 时， M、 A、 C 三点共线，构不可三角形，不合题意，故舍去；综上可知，切合条件的M点，且坐标为M（1，）（1，﹣）（1，﹣1）（1，0）．9、（ 1）解：∵抛物线y=ax2 +1 经过点 A（ 4，﹣ 3），∴﹣ 3=16a+1，∴a=﹣， [ 根源 : 学 , 科 , 网 Z,X,X,K]∴抛物线分析式为y=﹣x2+1，极点 B（ 0， 1）．（2）①当 P 点运动到 A 点处时，∵ PO=5， PH=5，∴PO=PH，故答案分别为 5， 5， =．②结论： PO=PH．原因：设点 P 坐标（ m，﹣ m2+1），∵PH=2﹣（﹣m2+1） =m2+1PO=2 = m+1，∴PO=PH．（3）∵ BC==，AC==，AB==4 ∴BC=AC，∵PO=PH，又∵以 P， O， H为极点的三角形与△ABC相像，∴PH与 BC， PO与 AC是对应边，∴=，设点P（m，﹣m2+1），∴=，解得 m=± 1，∴点 P 坐标（ 1，）或（﹣1，）．10 、解：（ 1 ）∵抛物线与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）， B（ 4 ， 0），∴设抛物线的解析式为： y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），把（ 0 ，﹣ 2 ）代入 y=a （ x+1 ）（ x ﹣ 4 ），∴a= ，∴抛物线的解析式为： y= x 2﹣x ﹣ 2 ；（2 ）当△ PBH 与△ AOC 相似时，∴ △ AOC 是直角三角形，∴ △ PBH 也是直角三角形，由题意知： H（ 0 ，2 ），∴ OH=2，∵ A（﹣ 1 ， 0 ）， B（ 4 ，0 ），∴ OA=1， OB=4 ，∴∵ ∠ AOH=∠ BOH，∴ △ AOH∽ △ BOH，∴ ∠ AHO=∠ HBO，∴ ∠ AHO+∠ BHO=∠ HBO+∠ BHO=90 °，∴ ∠ AHB=90 °，设直线 AH 的解析式为： y=kx+b，把A（﹣ 1 ， 0 ）和 H（ 0 ， 2 ）代入 y=kx+b ，∴，∴ 解得，∴直线 AH 的解析式为： y=2x+2，联立，解得： x=1或x=﹣8，当x= ﹣ 1 时，y=0 ，当x=8 时，y=18∴ P 的坐标为（﹣ 1 ， 0 ）或（ 8， 18 ）（ 3 ）过点 M 作 MF⊥ x 轴于点 F，设点 E 的坐标为（ n ， 0 ）， M 的坐标为（ m， 0 ），∵ ∠ BME=∠ BDC，∴ ∠ EMC+∠ BME=∠ BDC+∠ MBD，∴ ∠ EMC=∠ MBD，∵CD∥ x 轴，∴ D 的纵坐标为﹣ 2 ，令 y= ﹣ 2 代入 y= x 2﹣x ﹣ 2 ，∴ x=0或x=3，∴ D（ 3，﹣ 2 ），∵ B（ 4， 0），∴由勾股定理可求得： BD=，∵ M（ m， 0），∴MD=3﹣ m， CM=m（ 0 ≤ m≤ 3 ）∴由抛物线的对称性可知：∠ NCM=∠ BDC，∴△ NCM∽ △ MDB，∴，∴，∴ CN= =﹣（ m﹣）2+ ，∴当 m= 时， CN 可取得最大值，∴此时 M 的坐标为（，﹣ 2 ），∴ MF=2， BF= ， MD=∴由勾股定理可求得： MB= ，∵E（ n， 0），∴ EB=4 ﹣ n，∵CD∥ x 轴，∴ ∠ NMC=∠ BEM，∠ EBM=∠ BMD，∴ △ EMB∽ △ BDM，∴，∴MB2 =MD? EB，∴= ×（ 4 ﹣ n ），∴n= ﹣，∴ E 的坐标为（﹣， 0 ）．11、解：（ 1）由 A（﹣ 1， 0），对称轴为 x=2，可得，解得，∴抛物线分析式为y=x 2﹣ 4x﹣5；（2）由 A 点坐标为（﹣ 1，0），且对称轴方程为 x=2，可知 AB=6，∴OB=5，∴B 点坐标为（ 5， 0），∵y=x 2﹣ 4x﹣ 5，∴C 点坐标为（ 0，﹣ 5）；（3）如图，连结BC，则△ OBC是直角三角形，∴过 O、 B、 C 三点的圆的直径是线段BC的长度，在Rt △ OBC中， OB=OC=5，∴BC=5 ，∴圆的半径为，∴圆的面积为π（）2=π．12、解：（ 1）∵平行四边形 ABOC绕点 O顺时针旋转 90°，获得平行四边形 A′ B′OC′，且点 A 的坐标是（ 0， 4），∴点 A′的坐标为：（ 4， 0），∵点 A、 C的坐标分别是（0， 4）、（﹣ 1， 0），抛物线经过点C、 A、 A′，设抛物线的分析式为：y=ax2+bx+c，∴，解得：，∴此抛物线的分析式为：y=﹣ x2+3x+4；（2）连结 AA′，设直线AA′的分析式为：y=kx+b ，∴，解得：，∴直线 AA′的分析式为：y=﹣ x+4，设点 M的坐标为：（ x，﹣ x2+3x+4），则S△AMA′= × 4×[ ﹣ x2+3x+4﹣（﹣ x+4） ]= ﹣ 2x2+8x=﹣2（ x﹣ 2）2+8，S△AMA′ =8，∴当 x=2 时，△ AMA′的面积最大，最大值∴M的坐标为：（2， 6）；（3）设点 P 的坐标为（ x，﹣ x2+3x+4），当 P， N， B， Q构成平行四边形时，∵平行四边形 ABOC中，点 A、 C的坐标分别是（ 0， 4）、（﹣ 1， 0），∴点 B 的坐标为（ 1， 4），∵点 Q坐标为（ 1， 0）， P 为抛物线上一动点， N为 x 轴上的一动点，①当 BQ为边时， PN∥ BQ， PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣ x2+3x+4= ± 4，当﹣ x2+3x+4=4 时，解得： x1=0， x2=3，∴P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）；2 ﹣ 4 时，解得： x = ， x = ，当﹣ x +3x+4=3 2∴P3（，﹣ 4）， P4（，﹣ 4）；②当 PQ为对角线时， BP∥ QN， BP=QN，此时 P 与 P ， P 重合；1 2综上可得：点P 的坐标为： P1（ 0， 4）， P2（ 3，4）， P3（，﹣ 4）， P4（，﹣4）；如图 2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0， 0）或（ 3， 0）．13、解：（ 1）由题意解得，∴抛物线分析式为y=x2﹣ x+2．（2）∵ y= x2﹣ x+2= （ x﹣1）2+ ．∴极点坐标（1，），∵直线 BC为 y=﹣ x+4，∴对称轴与BC的交点 H（ 1， 3），∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=?3+?1=3．（3）由消去y获得x2﹣x+4﹣2b=0，当△ =0 时，直线与抛物线相切，1﹣ 4（ 4﹣2b） =0，∴b= ，当直线 y=﹣x+b 经过点 C 时， b=3，当直线 y=﹣x+b 经过点 B 时， b=5，∵直线 y=﹣x 向上平移 b 个单位所得的直线与抛物线段BDC（包含端点B、C）部分有两个交点，∴＜b≤ 3．[ 根源 : ZXXK]14、解：（ 1）∵二次函数y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A（ 3， 0）， B（﹣ 1， 0），∴，解得：，∴y= x2﹣ x﹣ 4；（2）过点 D 作 DM⊥ y 轴于点 M，∵y= x2﹣x﹣ 4=（x﹣1）2﹣，∴点 D（ 1，﹣）、点C（0，﹣4），则S△ACD=S 梯形AOMD﹣ S△CDM﹣ S△AOC= ×（ 1+3）×﹣×（﹣4）× 1﹣× 3× 4=4；（3）四边形APEQ为菱形， E 点坐标为（﹣，﹣）．原因以下如图 2， E 点对于 PQ与 A 点对称，过点Q作， QF⊥ AP于 F，∵A P=AQ=t， AP=EP， AQ=EQ∴A P=AQ=QE=EP，∴四边形 AQEP为菱形，∵FQ∥ OC，∴== ，∴==∴AF= t ， FQ= t ?∴Q（ 3﹣t ，﹣t ），∵E Q=AP=t，∴E（ 3﹣t ﹣ t ，﹣t ），∵E 在二次函数y= x2﹣x﹣ 4 上，∴﹣t=（3﹣t ）2﹣（3﹣t ）﹣ 4，∴t=，或t=0（与A重合，舍去），∴E（﹣，﹣）．15、解：（ 1）∵四边形ABCD是矩形， B（ 10， 8），∴A（ 10， 0），又抛物线经过A、 E、 O三点，把点的坐标代入抛物线分析式可得，解得，∴抛物线的分析式为y=﹣x2+x；（2）由题意可知： AD=DE，BE=10﹣ 6=4， AB=8，设AD=x，则 ED=x， BD=AB﹣ AD=8﹣ x，在 Rt △ BDE中，由勾股定理可知2 2 2 2 2 2，解得 x=5，ED=EB+BD，即 x =4 +（ 8﹣ x）∴AD=5；（3）∵ y=﹣∴其对称轴为x2+x=5，x，∵A、 O两点对于对称轴对称，∴PA=PO，当P、 O、 D 三点在一条直线上时， PA+PD=PO+PD=OD，此时△ PAD的周长最小，如图，连结 OD交对称轴于点 P，则该点即为知足条件的点 P，由（ 2）可知 D点的坐标为（10， 5），设直线 OD分析式为y=kx ，把 D 点坐标代入可得5=10k，解得 k=，∴直线 OD分析式为y= x，令x=5，可得 y= ，∴P 点坐标为（ 5，）．16、解：（ 1）∵抛物线的对称轴x=1， B（3， 0），∴A（﹣ 1， 0）∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 C（ 0，3）∴当 x=0 时， c=3．又∵抛物线y=ax 2+bx+c 过点 A（﹣ 1， 0）， B（ 3， 0）∴，∴∴抛物线的分析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直线BC分析式为y= ﹣x+3，∵y= ﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴极点坐标为（ 1， 4）∵对于直线BC：y=﹣ x+1，当 x=1 时， y=2；将抛物线L 向下平移h 个单位长度， [ 根源 : 学 * 科*网 ]∴当 h=2 时，抛物线极点落在BC上；当 h=4 时，抛物线极点落在OB上，∴将抛物线L 向下平移h 个单位长度，使平移后所得抛物线的极点落在△的界限），OBC内（包含△OBC则 2≤ h≤ 4；（3）设 P（ m，﹣ m2+2m+3）， Q（﹣ 3， n），①当 P 点在 x 轴上方时，过 P 点作 PM垂直于 y 轴，交 y 轴与 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP 的延伸线于 N 点，以下图：∵B（ 3， 0），∵△ PBQ是以点 P 为直角极点的等腰直角三角形，∴∠ BPQ=90°， BP=PQ，则∠ PMQ=∠ BNP=90°，∠ MPQ=∠ NBP，在△ PQM和△ BPN中，，∴△ PQM≌△ BPN（ AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=﹣ m2+2m+3，依据 B 点坐标可得PN=3﹣m，且 PM+PN=6，重庆市合川区第一中学2020年中考九年级数学典型压轴题专练：二次函数(包含答案)2∴﹣ m+2m+3+3﹣ m=6，解得： m=1或 m=0，∴P（ 1， 4）或 P（ 0， 3）．②当 P 点在 x 轴下方时，过 P 点作 PM垂直于 l 于 M点，过 B 点作 BN垂直于 MP的延伸线与N 点，同理可得△ PQM≌△ BPN，∴PM=BN，2∴PM=6﹣（ 3﹣m） =3+m， BN=m﹣2m﹣ 3，2则 3+m=m﹣ 2m﹣ 3，解得 m=或．∴P（，）或（，）．综上可得，切合条件的点P 的坐标是（ 1，4），（ 0，3），（，）和（，）．。

中考数学复习《二次函数》专题训练-附带有参考答案一、选择题1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y=x2+1x B．y=12x(x-1) C．y=-2x-1 D．y=x(x2+1)．2．抛物线y=(x−2)2−3的顶点坐标是（）A．(2，−3)B．(−2，3)C．(2，3)D．(−2，−3)3．把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A．y=5(x−2)2+3B．y=5(x+2)2−3C．y=5(x+2)2+3D．y=5(x−2)2−34．函数y＝ax2与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A． B． C． D．5．函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k<3 B．k<3且k≠0 C．k≤3且k≠0 D．k≤36．若A（−5，y1），B（1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2+2x+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1<y2<y3B．y2<y3<y1C．y2<y1<y3D．y3<y1<y27．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论：①b＞0；②当x＞0，y随着x 的增大而增大；③（a+c）2﹣b2＜0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时，平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元时，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元二、填空题9．将二次函数y＝x2－2x化为y＝(x－h)2＋k的形式，结果为10．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标是（－1，0），（3，0），则此抛物线的对称轴是直线．11．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是.12．飞机着陆后滑行的距离y （单位：m）关于滑行时间t （单位：s）的函数解析式是y=60t-65t2，从飞机着陆至停下来共滑行米．13．已知如图：抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+n相交于点A(−52，74)、B(0，3)两点，则关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+n的解集是三、解答题14．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx−7的图象与二次函数y2=2x2+bx+c的图象交于A(1，−5)、B(3，t)两点.（1）求y1与y2的函数关系式；（2）直接写出当y1<y2时，x的取值范围；（3）点C为一次函数y1图象上一点，点C的横坐标为n，若将点C向右平移2个单位，再向上平移4个单位后刚好落在二次函数y2的图象上，求n的值.15．某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为60（元/件）.在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y（件）与销售价格x（元/件）之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：销售价格x（元/件）80 90 100 110日销售量y（件）240 220 200 180（1）若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式（不用写自变量x的取值范围）；（2）若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？（3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？（利润用w表示）16．如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线：l：y=−x−1与y轴交于点C，与抛物线y=−x2+bx+c的另一个交点为D(5，−6)，已知P点为抛物线y=−x2+bx+c上一动．点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的M点坐标．17．如图是北京冬奥会举办前张家口某小型跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−18x2+32x+32近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某滑雪爱好者小张从点O正上方A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−14x2+bx+c 运动．（1）当小张滑到离A处的水平距离为8米时，其滑行高度为10米，求出b，c的值；（2）在(1)的条件下，当小张滑出后离的水平距离为多少米时，他滑行高度与小山坡的竖直距离为是5米？2（3）若小张滑行到坡顶正上方，且与坡顶距离不低于4米，求b的取值范围．18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4与x轴交于A(4，0)、B(−3，0)两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线所对应的函数表达式．（2）如图①，点D是x轴下方抛物线上的动点，且不与点C重合．设点D的横坐标为m，以O、A、C、D 为顶点的四边形面积为S，求S与m之间的函数关系式．（3）如图②，连结BC，点M为线段AB上一点，点N为线段BC上一点，且BM=CN=n，直接写出当n为何值时△BMN为等腰三角形．参考答案 1．B 2．A 3．C 4．B 5．D 6．B 7．B 8．B9．y =(x −1)2−1 10．x ＝1 11．a ＜5 12．75013．x <−52或x >014．（1）解：把点A(1，−5)代入y 1=kx −7得−5=k −7 ∴y 1=2x −7；把点B(3，t)代入y 1=2x −7中，得t =−1 ∴A(1，−5)把点A 、B 分别代入y 2=2x 2+bx +c 中，得{−2=2+b +c−1=18+3b +c 解得{b =−6c =−1∴y 2=2x 2−6x −1； （2）x <1或x >3（3）解：∵点C 为一次函数y 1图象上一点，∴C(n ，2n −7)将点C 向右平移2个单位，再向上平移4个单位后得到点C ′(n +2，2n −3) 把C ′代入y 2=2x 2−6x −1，得2n −3=2(n +2)2−6(n +2)−1 解得n =±1 所以n 的值为1或-1 15．（1）y=-2x+400（2）解：由题意，得：(x −60)(−2x +400)=8000解得x 1=100，x 2=160 ∵公司尽可能多让利给顾客 ∴应定价100元（3）解：由题意，得w =(x −60−10)(−2x +400)=−2x 2+540x −28000 =−2(x −135)2+8450∵−2<0∴当x =135时，w 有最大值，最大值为8450. 答：当一件衣服定为135元时，才能使每天获利最大. 16．（1）解：∵直线l ：y =−x −1过点A∴A(−1，0)又∵D(5，−6)将点A ，D 的坐标代入抛物线表达式可得：{−1−b +c =0−25+5b +c =−6 解得{b =3c =4．∴抛物线的解析式为：y =−x 2+3x +4． （2）解：如图设点P(x ，−x 2+3x +4) ∵PE ∥x 轴，PF ∥y 轴则E(x 2−3x −5，−x 2+3x +4)，F(x ，−x −1) ∵点P 在直线l 上方的抛物线上∴−1<x <5∴PE =|x −(x 2−3x −5)|=−x 2+4x +5，PF =|−x 2+3x +4−(−x −1)|=−x 2+4x +5 ∴PE +PF =2(−x 2+4x +5)=−2(x −2)2+18． ∴当x =2时，PE +PF 取得最大值，最大值为18．（3）符合条件的M 点有三个：M 1(4，−5)，M 2(2+√14，−3−√14)， M 3(2−√14，−3+√14)． 17．（1）解：由题意可知抛物线C 2：y=−14x 2+bx+c 过点(0， 4)和(8， 10) 将其代入得：{4=c10=−14×82+8b +c解得 ∴b=114，c=4（2）解：由(1)可得抛物线Cq 解析式为： y=−14x 2+114x+4设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为52米，依题意得： −14m 2+114m +4−(−18m 2+32m +32)=52解得： m 1=10，m 2=0(舍)故运动员运动的水平距离为10米时，运动员与小山坡的竖直距离为为52米． （3）解：∵抛物线C 2经过点(0， 4) ∴c=4抛物线C 1： y=−18x 2+32x +32=−18(x −6)2+6 当x=6时，运动员到达坡项 即−14×62+6b+4≥4+6． ∴b ≥15618．（1）解：把A(4，0)、B(−3，0)代入y =ax 2+bx −4中 得{16a +4b −4=09a −3b −4=0解得{a =13b =−13∴这条抛物线所对应的函数表达式为y =13x 2−13x −4． （2）解：当x =0时y =−4∴C(0，−4)当−3<m <0时S =S △ODC +S △OAC =12×4×(−m)+12×4×4=−2m +8当0<m <4时S =S △ODC +S △OAD =12×4×m +12×4×(−13m 2+13m +4)=−23m 2+83m +8． （3）解：n =52，n =2511，n =3011．。

二次函数相关的最值问题例1. 如图，抛物线y＝－x2－4x＋5与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求直线AC的解析式及顶点D的坐标；(2)若Q为抛物线对称轴上一动点，连接QA、QC，求|QA－QC|的最大值及此时点Q的坐标；(3)连接CD，点P是直线AC上方抛物线上一动点(不与点A、C重合)，过P作PE∥x轴交直线AC于点E，作PF∥CD交直线AC于点F，当线段PE＋PF取最大值时，求点P的坐标及线段EF的长；(4)在(3)问的条件下，将P 向下平移34个单位得到点H ，在抛物线对称轴上找一点L ，在y 轴上找一点K ，连接OL ，LK ，KH ，求线段OL ＋LK ＋KH 的最小值，并求出此时点L(5)在(3)问的条件下，将线段PE 沿着直线AC 的方向平移得到线段P′E′，连接DP′，BE ′，求DP′＋P′E′＋E′B 取最小值时点E′的坐标．针对训练1．如图，直线y＝kx＋b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A(－4，0)、B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.(1)求直线y＝kx＋b的解析式；(2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x 的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；(3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．2．如图①，已知抛物线y＝－33x2＋2 33x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC 交DH的延长线于点E.(1)求线段DE的长度；(2)如图②，试在线段AE上找一点F，在线段DE上找一点P，且点M为线段PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少．3．如图，对称轴为直线x＝2的抛物线经过A(－1，0)，C(0，5)两点，与x轴另一交点为B.已知M(0，1)，E(a，0)，F(a＋1，0)，点P是第一象限内的抛物线上的动点．(1)求此抛物线的解析式；(2)若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？说明理由．4．已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax－3a(a≠0)图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H，B关于直线l：y＝33x＋3对称．(1)求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数的解析式；(3)过点B作直线BK∥AH交直线l于点K，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝－12x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，连接BC ，过点A 作AD∥BC 交y 轴于点D.(1)求平行线AD 、BC 之间的距离；(2)点P 为线段BC 上方抛物线上的一动点，当△PCB 的面积最大时，Q 从点P 出发，先沿适当的路径运动到直线BC 上点M 处，再沿垂直于直线BC 的方向运动到直线AD 上的点N 处，最后沿适当的路径运动到点B 处停止．当点Q 的运动路径最短时，求点Q 经过的最短路径的长．6．如图，抛物线y＝－34x2－94x＋3 3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点Q为顶点，点D为点C关于对称轴的对称点．(1)求点D的坐标和tan∠ABC的值；(2)若点P是抛物线上位于点B、D之间的一个动点(不与B、D重合)，在直线BC上有一动点E，在x 轴上有一动点F.当四边形ABPD的面积最大时，一动点G从点P出发以每秒1个单位的速度沿P→E→F的路径运动到点F，再沿线段FA以每秒2个单位的速度运动到A点后停止，当点F的坐标是多少时，动点G 在运动过程中所用时间最少？二次函数相关的最值问题答案例1. 解：(1)∵y ＝－x 2－4x ＋5＝－(x 2＋4x )＋5＝－(x ＋2)2＋9，∴D (－2，9)．当x ＝0时，y ＝5，∴C (0，5)．当y ＝0时，x 1＝1，x 2＝－5，∴A (－5，0)，B (1，0)，∴y AC ＝x ＋5；(2)因为点Q 在抛物线对称轴上，由抛物线对称性知QA ＝QB ，由C (0，5)和B (1，0)可求得y BC ＝－5x ＋5，根据三角形三边关系可知，当点Q ，C ，B 三点共线时，|QB －QC |最大，即|QA －QC |最大，可求直线y BC ＝－5x ＋5与抛物线对称轴交点Q 为(－2，15)，此时|QA －QC |最大值＝BC ＝26.解：(3)过P 作PQ ∥y 轴，交AC 于Q ，再作FM ⊥PQ 于M ，如图①，直线AC ：y ＝x ＋5，设P (t ，－t 2－4t ＋5)，Q (t ，t ＋5)，∴PQ ＝(－t 2－4t ＋5)－(t ＋5)＝－t 2－5t .∵∠PEF ＝∠CAO ＝45°，∴PE ＝PQ ＝－t 2－5t ，∵PF ∥CD ，∴k CD ＝－2＝k PF ，∴tan ∠MPF ＝12， 设FM ＝n ＝MQ ，则PM ＝2n ，PQ ＝3n ，PF ＝5n ，即PF ＝53PQ ，∴PE ＋PF ＝(3＋5)n ＝(1＋53)PQ ， ∴当PQ 最大时，PE ＋PF 取最大值，而PQ ＝－t 2－5t ＝PE ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋522＋254， 当t ＝－52时，PE ＋PF 取最大值， 此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，354，EF ＝2PM ＝25 26. (4)如图②：在(3)问的条件下，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，354， ∴H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，8，作H 关于y 轴的对称点H 1， 作O 关于抛物线对称轴对称点O 1，所以O 1(－4，0)，H 1⎝ ⎛⎭⎪⎫52，8， 连接O 1H 1，则O 1H 1长即为OL ＋LK ＋KH 的最小值，直线O 1H 1：y ＝1613x ＋6413， ∴直线O 1H 1与抛物线对称轴交点即为L 点的位置，此时L ⎝⎛⎪⎫－2，3213OL ＋LK ＋KH 的最小值＝O1H 1＝5217；(5)在(3)问的条件下，P ′E ′＝PE 25在线段PE 平移过程中，PE 即P′E′长度不变，将DP′沿P′E′向右平移PE 的长即254个单位，得到D′E′，如图③， 则四边形D′DP′E′为平行四边形，故DP′＝D′E′，要使得DP′＋P′E′＋E′B 最小，即DP′＋E′B 最小，即要使D′E′＋E′B 最小，当D′，E ′，B 三点共线时，D ′E ′＋E′B 最小，设D′B 与直线AC 交于点E″.由题意知D′⎝ ⎛⎭⎪⎫174，9，直线BD′：y ＝3613x －3613， ∴E ″⎝ ⎛⎭⎪⎫10123，21623，即点E ′的坐标为(10123，21623)． 针对训练：1. 解：(1)∵直线y ＝kx ＋b 经过A (－4，0)、B (0，3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－4k ＋b ＝0，b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34，b ＝3.∴y ＝34x ＋3.(2)过点P 作PH ⊥AB 于点H ，过点H 作x 轴的平行线MN ，分别过点A 、P 作MN 的垂线段，垂足分别为M 、N .设H (m ，34m ＋3)，则M (－4，34m ＋3)，N (x ，34m ＋3)，P (x ，－x 2＋2x ＋1)． ∵PH ⊥AB ，∴∠PHN ＋∠AHM ＝90°，∵AM ⊥MN ，∴∠MAH ＋∠AHM ＝90°.∴∠MAH ＝∠PHN ，∵∠AMH ＝∠PNH ＝90°，∴△AMH ∽△HNP .∵MA ∥y 轴，∴△MAH ∽△OBA .∴△OBA ∽△NHP .∴NH 3＝PN 4＝PH 5. ∴x －m 3＝（34m ＋3）－（－x 2＋2x ＋1）4＝d 5. 整理得：d ＝45x 2－x ＋85，所以当x ＝58时，d 取最小值，此时P (58，11964)．(3)抛物线的对称轴为直线x ＝1，作点C 关于直线x ＝1的对称点C ′，过点C ′作C ′F ⊥AB 于F .过点F 作JK ∥x 轴，分别过点A 、C ′作AJ ⊥JK 于点J ，C ′K ⊥JK 于点K ，则C ′(2，1)．设F (m ，34m ＋3)， ∵C ′F ⊥AB ，∴∠AFJ ＋∠C ′FK ＝90°，∵C ′K ⊥JK ，∴∠C ′＋∠C ′FK ＝90°，∴∠C ′＝∠AFJ ，∵∠J ＝∠K ＝90°，∴△AFJ ∽△FC ′K .∴AJ FK ＝JF C ′K ，∴34m ＋32－m ＝m ＋434m ＋2，解得m ＝825或m ＝－4(不符合题意，舍去)∴F (825，8125)，∵C ′(2，1)，∴FC ′＝145. 142. 解：(1)对于抛物线y ＝－33x 2＋2 33x ＋3， 令x ＝0，得y ＝3，即C (0，3)，D (2，3)，∴DH ＝3，令y ＝0，即－33x 2＋2 33x ＋3＝0，得x 1＝－1，x 2＝3， ∴A (－1，0)，B (3，0)，∵AE ⊥AC ，EH ⊥AH ，∴△ACO ∽△EAH ，∴OC AH ＝OA EH ，即33＝1EH ，解得：EH ＝3，则DE ＝2 3；(2)如图②，找点C 关于DE 的对称点N (4，3)，找点C 关于AE 的对称点G (－2，－3)，连接GN ，交AE 于点F ，交DE 于点P ，即G 、F 、P 、N 四点共线时，△CPF 的周长＝CF ＋PF ＋CP ＝GF ＋PF ＋PN 最小，直线GN 的解析式：y ＝33x －33；直线AE 的解析式：y ＝－33x －33；直线DE 的解析式：x ＝2.联立得：F (0，－33)，P (2，33)， 过点M 作y 轴的平行线交FH 于点Q ，设点M (m ，－33m 2＋2 33m ＋3)， 则Q (m ，33m －33)(0≤m ≤2)； ∴S △MFP ＝S △MQF ＋S △MQP ＝12MQ ×2＝MQ ＝－33m 2＋33m ＋4 33， ∵对称轴为直线m ＝12，而0≤12≤2，抛物线开口向下， ∴m ＝12时，△MPF 的面积有最大值，为17 312.3. 解：(1)∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝m ′(x －2)2＋k .将A (－1，0)，C (0，5)代入得：⎩⎪⎨⎪⎧9m ′＋k ＝0，4m ′＋k ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ′＝－1，k ＝9，∴y ＝－(x －2)2＋9＝－x 2＋4x ＋5.(2)∵M (0，1)，C (0，5)，△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3.令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6.∵点P 在第一象限，∴P (2＋6，3)．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则四边形PMEF 的周长最小． 如图，将点M 向右平移1个单位长度(EF 的长度)，得M 1(1，1)；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2(1，－1)；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P (2＋6，3)，M 2(1，－1)代入得：⎩⎨⎧（2＋6）m ＋n ＝3，m ＋n ＝－1，解得：m ＝4 6－45，n ＝－4 6＋15， ∴y ＝4 6－45x －4 6＋15. 当y ＝0时，解得x ＝6＋54.∴F (6＋54，0)． ∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14.∴a ＝6＋14时， 四边形PMEF 周长最小．4. 解：(1)依题意，得ax 2＋2ax －3a ＝0(a ≠0)，解得x 1＝－3，x 2＝1，∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为(－3，0)，B 点坐标为(1，0)，证明：∵直线l ：y ＝33x ＋3， 当x ＝－3时，y ＝33×(－3)＋3＝0，∴点A 在直线l 上．(2)过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝33x ＋3对称，∴AH ＝AB ＝4， 又∵点H 为抛物线顶点，则点H 在抛物线对称轴上，∴AH ＝BH ＝AB ＝4.在Rt △ACH 中，由勾股定理得CH ＝AH 2－AC 2＝2 3，∴顶点H (－1，2 3)，代入二次函数解析式，解得a ＝－32，∴二次函数解析式为y ＝－32x 2－3x ＋3 32.(3)直线AH 的解析式为y ＝3x ＋3 3，直线BK 的解析式为y ＝3x －3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3，y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3， 即K (3，2 3)，则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，过点K 作KD ⊥x 轴于D ，作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则KE ＝KD ＝2 3，QM ＝MK ，QE ＝EK ＝2 3，AE ⊥QK ，∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值，∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°， 由勾股定理得QB ＝8，∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8.5. 解：(1)令y ＝0，即－12x 2＋2x ＋3＝0， 解得：x 1＝－2，x 2＝3 2，∴A (－2，0)，B (3 2，0)，∵当x ＝0时，y ＝3，∴C (0，3)， 在Rt △BOC 中，BO ＝3 2，CO ＝3，∴BC ＝3 3，∴sin ∠CBO ＝CO BC ＝33. 因为AD ∥BC ，∴sin ∠BAD ＝sin ∠CBO ＝33. 过B 作BH ⊥AD 于点H ，∴sin ∠BAD ＝BH AB ＝33，∴BH ＝4 63； ∴平行线AD 、BC 间的距离为43 6. (2)过P 作PQ ∥y 轴，交BC 于点Q ，设P (m ，－12m 2＋2m ＋3)，∵直线BC ：y ＝－22x ＋3，∴Q (m ，－22m ＋3)， ∴S △PCB ＝12·PQ ·(x B －x C )＝3 22(－12m 2＋3 22m )， 当m ＝3 22时，S △CPB 最大，此时，P (3 22，154)． 取点B 关于AD 的对称点B ′，将B ′沿B ′B 方向平移4 63个单位长度得B ′′，此时B ′′与点H (5 23，－83)重合． 连接HP ，交BC 于点M ，点M 即为所求．∴(PM ＋NM ＋BN )最小＝PH ＋MN ＝593712＋4 63.6. 解：(1)令－34x 2－94x ＋3 3＝0，解得x 1＝－4 3，x 2＝3，∴A (－4 3，0)，B (3，0)， 在y ＝－34x 2－94x ＋3 3中，令x ＝0，则y ＝3 3， ∴C (0，3 3)，∴OC ＝3 3，BO ＝3，在Rt △COB 中，∴tan ∠ABC ＝OC OB＝3，由y ＝－34x 2－94x ＋3 3知，对称轴直线为x ＝－3 32，∴点D (－3 3，3 3)；(2)由B (3，0)，D (－3 3，3 3)可得直线BD 解析式：y ＝－34x ＋3 34， 过P 作PK ⊥x 轴交BD 于点K ，设P (m ，－34m 2－94m ＋3 3)，则K (m ，－34m ＋3 34)， S 四边形ABPD ＝S △ABD ＋S △PBD ，S △ABD 是定值，∴S 四边形ABPD 最大时，即S △PBD 最大． S △PBD ＝12(x B －x D )(y P －y K )＝－32m 2－3 3m ＋272， 当m ＝－b 2a ＝－3时，S △PBD 最大，此时点P 坐标为(－3，9 32)． 作点P (－3，9 32)关于直线BC 的对称点P ′(－310，24 35)， 以A 为顶点，在x 轴下方作∠BAT ＝30°，过P ′作直线AT 的垂线分别交BC 、x 轴于点E 、F ，此时，点G 在运动过程中所用时间最少，3 10－245，0)．点F坐标为(－。

二次函数二次函数压轴题总结：（凡解析几何问题，均是以几何性质探路，代数书写竣工。

） 已知、 y=322--x x （以下几种分类的函数解析式就是这个）1、和最小，差最大 在对称轴上找一点P ，使得PB+PC 的和最小，求出P 点坐标 在对称轴上找一点P ，使得PB-PC 的差最大，求出P 点坐标解决方案：识别模型，A 、若为过河问题模型，根据“异侧和最小，同侧差最大，根据问题同侧异侧相互转化”；B 、若有绝对值符号或不隶属于过河问题，可将问题形式平方，构建函数，转化为求函数最值问题（若表达式中含有根式等形式，可考虑用换元法求最值）。

2、求面积最大 连接AC,在第四象限抛物线上找一点P ，使得ACP ∆面积最大，求出P 坐标解决方案：熟悉基本图形的面积公式【或根据拼图思想，采用割补法求面积（注意不重不漏）。

】，根据问题，灵活选择面积公式，务必使表达式简单，变量的最值好求，讲变量的最值问题转化为：”定值+变量的最值“3、讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为直角三角形，求出P 坐标或者在抛物线上求点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的直角三角形．解决方案：此类问题是分类讨论思想能力的考察，由于直角三角形的”直角边“”和“斜边”不确定而展开讨论。

在不忘三角形满足三边关系的条件下，勿忘“等腰直角三角形”。

4、讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P ，使得ACP ∆为等腰三角形，求出P 坐标 解决方案：分析同上4，在能组成△的大前提下，根据谁作为腰，谁作为底边展开讨论。

5、讨论平行四边形 1、点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以B ，A ，F ，E 四点为顶点的四 边形为平行四边形，求点F 的坐标解决方案：从平行四边形的性质入手，已知三点求另外一点，分析其位置情况（分别以3点中任一已知两点的线段为平行四边形的边或其对角线来展开所有的情况的讨论）。

6、相似三角形 问抛物线上是否存在一动点D ，使得△ABD ∽△ABC 。

二次函数的综合题22、如图，抛物线y=21x 2+bx+c 与直线y=kx+m 交于A （4,2）B （0，-1）. ⑴ 求抛物线与直线的解析式；⑵ 设点C 为抛物线的顶点，求△ABC 的面积；⑶ 若点D 是直线l 下方抛物线上的一个动点，点D 的横坐标为m ，求△ABD 的最大面积及求此时点D 的坐标.23、已知抛物线y=-x 2+bx+c 过点A （4,0）、B （1,3），顶点为C. ⑴ 求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标； ⑵ 求△ABC 的面积；⑶ 记该抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P （m ，n ）在第四象限，点P 关于直线l 对称的点为E ，点E 关于x 轴的对称点为点F ，若四边形OFAP 的面积为20，求点P 的坐标.24、如图，已知抛物线c bx ax y ++=2（a ≠0）经过A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点.⑴ 求这条抛物线的解析式；⑵ E 为抛物线上的动点，当以A 、B 、E 为顶点的三角形与△COB 相似时，求点E 的坐标； ⑶ 若将直线BC 平移，使其经过点A ，且与抛物线相交于点D ，连接BD ，求∠BDA 的度数.25、如图，抛物线322--=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 是抛物线的顶点. ⑴ 求B 、C 、D 三点的坐标；⑵ 连接BC 、BD 、CD ，若点P 为抛物线上一动点，设点P 的横坐标为m ，当△B C D△P B CS S =时，求m 的值（点P 不与点D 重合）；⑶ 连接AC ，将△AOC 沿x 轴正方向平移，设移动距离为a ，当点A 和点B 重合时，停止运动，设运动过程中△AOC 与△BOC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与a 之间的函数关系式，并写出相应的自变量a 的取值范围.26、如图⑴，抛物线52++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为5+=x y ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D （-2，-3）在对称轴上.⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 如图⑴，若点M 是线段OE 上一点（点M 不与点O 、E 重合），过点M 作MN ⊥x 轴，交抛物线于点N ，记点N 关于抛物线的对称轴的对称点为点F ，点P 是线段MN 上一点，且满足MN=4MP ，连接FN 、FP ，作QP ⊥PF 交x 轴于点Q ，且满足PF=PQ ，求点Q 的坐标；⑶ 如图⑵，过点B 作BK ⊥x 轴交直线AC 于点K ，连接DK 、AD ，点H 是DK 的中点，点G 是线段AK 上任意一点，将△DGH 沿GH 翻折得△D ¹GH ，求当KG 为何值时，△D ¹GH 与△KGH 重叠部分的面积是△DGK 面积的41.图⑴ 图⑵备用图27、如图，二次函数y=ax 2+bx （a≠0）的图象经过点A （1，4），对称轴是直线x=-23 ，线段AD 平行于x 轴，交抛物线于点D ．在y 轴上取一点C （0，2），直线AC 交抛物线于点B ，连结OA ，OB ，OD ，BD ． （1）求该二次函数的解析式；（2）求点B 坐标和坐标平面内使△EOD ∽△AOB 的点E 的坐标；（3）设点F 是BD 的中点，点P 是线段DO 上的动点，问PD 为何值时，将△BPF 沿边PF 翻折，使△BPF 与△DPF 重叠部分的面积是△BDP 的面积的41？28、如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于C （0，-3），顶点为D.连接BC 、BD 、AC 、CD.将△AOC 绕点O 逆时针旋转90°得△MOB.⑴ 求抛物线的解析式及直线BD 的解析式；⑵ ① 操作一：动点P 从点M 出发到x 轴上的点N ，又到抛物线的对称轴上的点Q ，再回到y 轴上的点C ，当四边形MNQC 的周长最小时，则四边形MNQC 的最小周长为 ，此时，tan ∠OMN=② 操作二：将△AOC 旋转过程中，A 的对应点1A ，点C 的对应点1C ，当 O 1A ⊥AC 时，求直线O 1C 与抛物线的交点的坐标；⑶ 将△BOM 沿y 轴的负半轴以每秒1个单位的速度平移，当BM 过点D 时停止平移，设平移的时间为t 秒，△BOM 与△BCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 的函数关系式及相应的t 的取值范围29、如图⑴，抛物线52++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，直线AC 的解析式为5+=x y ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，点D （-2，-3）在对称轴上.（1）求此抛物线的解析式；（2）如图（1），若点M 是线段OE 上一点（点M 不与点O 、E 重合），过点M 作MN轴，交抛物线于点N ，记点N 关于抛物线对称轴的对称点为点F ，点P 是线段MN 上一点，且满足MN=4MP ，连接FN 、FP ，作QP PF 交轴于点Q ，且满足PF=PQ ，求点Q 的坐标；（3）如图（2），过点B 作BK轴交直线AC 于点K ，连接DK 、AD ，点H 是DK 的中点，点G 是线段AK 上任意一点，将DGH 沿GH 边翻折得，求当KG为何值时，与重叠部分的面积是DGK 面积的.30、已知如图，抛物线33122+--=x x y 与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，点D 为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x 轴相交于点E.⑴ 如图① 点F 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，过点F 作FG ∥x 轴，交直线AC 与点G ，求线段FG 的最大值；⑵ 如图② 点P 为x 轴下方、对称轴左侧抛物线上的一点，连接PA ，以线段PA 为边作等腰直角三角形PAQ ，当点Q 在抛物线对称轴上时，求点P 的坐标；⑶ 如图③ 将线段AB 绕点A 顺时针旋转30°，与y 轴相交于点M ，连接BM.点S 是线段AM 的中点，连接OS ，得△OSM.若点N 是线段BM 上一动点，连接SN ，将△SMN 绕点S 逆时针旋转60°得到△SOT ，延长TO 交BM 于点K.若△KTM 的面积等于△ABM 的面积的121，求线段MN 的长.31、如图1，已知抛物线c bx x y ++=23经过点A （3，0），点B （-1，0），与y 轴负半轴交于点C ，连接BC 、AC ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形的面积等于△ABC 的面积的23倍？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. ⑶ 如图2，直线BC 与抛物线的对称轴交于点K ，将直线AC 绕点C 按顺时针方向旋转°α，旋转中直线A ´C 与抛物线的另一个交点为M.求在旋转过程中△MCK 为等腰三角形时点M 的坐标.32、已知，抛物线33163310332+-=x x y 与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C.⑴ 设抛物线的顶点为P ，点M 为抛物线BP 之间的一动点，求四边形ABMP 面积的最大值； ⑵ 把△APB 翻折，使点P 落在线段AB 上（不与A 、B 重合），记作P ´,折痕为EF ，设 AP ´=x ，PE=y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；⑶ 当点P ´在线段AB 上运动但不与A 、B 重合时，能否使△BFP ´为直角三角形？若能，请求出此时点P ´的坐标；若不能，请你说明理由.33、如图，若二次函数363632--=x x y 的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与直线x y 3=交于C 、D 两点，抛物线的顶点为E.⑴ 若点F 在y 轴正半轴上，且使得△AEF 的面积为235，求点F 的坐标； ⑵ 点M 为线段CD 上一点，过点M 作MN ∥x 轴，交抛物线对称轴右侧部分于点N ，当线段MN 的长度取得最大值时，求tan ∠MAB 的值⑶ 如图② 点G 在直线x y 3=上，其横坐标与B 点的横坐标相同.点A 关于直线x y 3=的对称点A ´（此时点A ´会落在抛物线上),连接AA ´，交直线x y 3=于点H ，连接AG 、A ´G.已知点P 在线段AG 上，点Q 在线段A ´G 上，且AP=2GQ ，连接PQ 、QH 、PH ，若将△APH 和△A ´QH 分别沿PH 、QH 翻折，恰好使得翻折后A 点和A ´点的对称点都落在直线PQ 上，求此时线段AP 的长.34、如图，抛物线42-+=bx ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=25，直线421-=x y 经过B 、C 两点. ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若在对称轴右侧的抛物线上有一点P ，过点P 作PD ⊥直线BC ，垂足为D ，当∠PBD=∠ACO 时，求出点P 的坐标；⑶ 如图2，过点C 作CE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接AE ，点F 是线段CE 上的动点，过点F 作FG ⊥x 轴，交AE 于H ，垂足为点G ，将△EFH 沿直线AE 翻折，得到△EMH ，连接GM.是否存在这样的点F ，使△GHM 是等腰三角形？若存在，求出对应的EF 的长度；若不存在，请说明理由35、已知抛物线c bx x y ++-=23与x 轴交于点A （1，0）、B （3，0），与y 轴相交于点C ，抛物线的顶点为D.⑴ 求b 、c 的值及顶点D 的坐标；⑵ 如图1，点E 是线段BC 上的一点，且BC=3BE ，点F （0，m ）是y 轴正半轴上一点，连接BF 、EF ，EF 交线段OB 于点G ，OF ：OG=2：3，求△FEB 的面积；⑶ 如图2，P 为线段BC 上一动点，连接DP ，将△DBP 绕点D 顺时针旋转60°得△DB ´P ´，（点B 的对应点是B ´，点P 的对应点是P ´），DP ´交y 轴于点M ，N 为MP ´的中点，连接PP ´、NO ，延长NO 交BC 于点Q ，连接QP ´，若△PP ´Q 的面积是△BOC 面积的91，求线段BP 的长.36、如图①所示，抛物线c bx ax y ++=2过A 、D 、C 三点，其中D （0，32）、C （6，32），已知CB ⊥AB ，AD ⊥DB ，点P 是边BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）， 过点P 作直线PQ ∥BD ，交CD 边于点Q ，再把△PQC 沿着直线PQ 对折，点C 的对应点为R.⑴ 求抛物线的解析式及R 落在BD 上时CP 的长；⑵ 当点R 刚好落在线段AB 上时，如图②，若此时将△所得的点R 在线段AB 上移动，问在移动过程中是否存在某一时刻，使得△ADR 为等腰三角形？若存在，求出AR 的长度；若不存在，请说明理由；⑶ 当点R 落在BD 上时（如图③），点M 为BC 边上一动点，连接QM ，将△CQM 绕点Q 顺时针旋转60°，得到△RQH.延长HR 交直线CB 于点K.若△HMK 的面积等于23.求CM 的长.37、如图，二次函数322--=x x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，顶点为D.⑴ 点E （2213+，m ）是抛物线上的一点，求∠AOE 的度数； ⑵ 动点P 在线段OB 上以每秒1个单位的速度从O 点出发向B 点运动，同时动点Q 在线段BC 上以每秒2个单位的速度从C 点向B 点运动，设运动时间为t ，求△OPQ 面积的最大值和对应的时间t 的值；⑶ 当△OPQ 面积最大时，直线PQ 与抛物线在第四象限相交于点N ，在直线AN 上有一动点M ，M 点关于x 轴的对称点为M ₁，M 关于y 轴的对称点为M ₂，是否存在M 点使 △D M M 21为直角三角形？若存在，求出M 点的坐标，若不存在，请说明理由.38、如图，抛物线3332332-+=x x y 交x 轴于点A 、B ，交y 轴于点C. ⑴ 求抛物线的对称轴及△ABC 的面积；⑵ 如图1，已知点Q （0，3），点P 是直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PQ 交直线AC 于点K ，连接BQ 、BK.当点P 使得△BQK 周长最小时，请求出△BQK 周长的最小值和此时点P 的坐标；⑶ 如图2，线段AC 水平向右移动的线段FE （点A 的对应点是F ，点C 的对应点E ），将△ACF 沿CF 翻折得△CFA ´，连接A ´E ，是否存在点F ，使得△CEA ´是直角三角形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由39、已知，如图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为（4，0），点B 的坐标为（0，-4），C 为y 轴负半轴上一点，且OC=AB ，抛物线c bx x y ++=22的图象经过A 、C 两点. ⑴ 求此抛物线的解析式；⑵ 将∠OAB 的顶点A 沿AB 平移，在平移过程中，保持∠OAB 的大小不变，顶点A 记为A 1，一边AB 记为A 1B ₁，A 1与B 重合时停止平移.A 1B 1与y 轴交于点D.当△A 1OD 是以A 1D 为腰的等腰三角形时，求点A 1的坐标；⑶ 在⑵问的条件下，直线A 1B 1与x 轴交于点E ，P 为⑴中抛物线上一动点，直线PA 1交x 轴于点G ，在直线EB 1下方的抛物线上是否存在一点P ，使得△PDA 1与△GEA 1的面积之比为()221+：1.若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由.40、如图，在平面直角坐标系xoy 中，矩形ABCD 的边AB 在x 轴上，且AB=3，BC=23，直线323-=x y 经过点C ，交y 轴于点G.⑴ 求C 、D 的坐标；⑵ 已知抛物线顶点在323-=x y 上，且经过点C 、D ，若抛物线于y 轴交于点M ，连接MC ，设点Q 是线段下方此抛物线上一点，当点Q 运动到什么位置时，△MCQ 的面积最大？求出此时点Q 的坐标和面积的最大值.⑶ 将⑵中抛物线沿着直线323-=x y 平移，平移后的抛物线交y 轴于点F ，顶点为E （顶点在y 轴右侧），平移后是否存在这样的抛物线，使△EFG 为等腰三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.。

中考数学《二次函数》专项练习题及答案一、单选题1．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列结论：①abc＞0；②b+2a=0；③抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）；④a+c＞b；⑤3a+c＜0．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个2．对于抛物线y=−13(x−5)2+3，下列说法正确的是（）A．开口向下，顶点坐标（5，3）B．开口向上，顶点坐标（5，3）C．开口向下，顶点坐标（－5，3）D．开口向上，顶点坐标（－5，3）3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的？()A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒4．已知二次函数y=x2−4x+2，当自变量x取值在−2≤x≤5范围内时，下列说法正确的是（）A．有最大值14，最小值－2B．有最大值14，最小值7C．有最大值7，最小值－2D．有最大值14，最小值25．如图，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=1，则下列说法正确的有()①abc<0，②2a+b=0，③a−b+c>0，④若4a+2b+c>0．A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④6．在平面直角坐标系中，对于点 P(x ，y) 和 Q(x ，y′) ，给出如下定义：若 y′={y +1 (x ≥0)−y (x <0)，则称点 Q 为点 P 的“亲密点”.例如：点 (1，2) 的“亲密点”为点 (1，3) ，点 (−1，3) 的“亲密点”为点 (−1，−3) .若点 P 在函数 y =x 2−2x −3 的图象上.则其“亲密点” Q 的纵坐标 y′ 关于 x 的函数图象大致正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．对于二次函数 y =2(x −1)2−3 ，下列说法正确的是（ ）A ．图象开口向下B ．图象和y 轴交点的纵坐标为-3C ．x <1 时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴是直线 x =−18．抛物线 y =−3x 2+12x −3 的顶点坐标是（ ）A ．（2，9）B ．（2，-9）C ．（-2，9）D ．（-2，-9）9．如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（0，﹣2），与x 轴交点的横坐标分别为x 1，x 2，且﹣1＜x 1＜0，1＜x 2＜2，下列结论正确的是（ ）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．−b 2a>1D ．4ac ﹣b 2＜﹣8a10．已知抛物线y =ax 2+bx +c(a ≠0)交x 轴于点A(1，0)，B(3，0).P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上两个点.若|x 1−2|>|x 2−2|>1，则下列结论一定正确的是（ ） A ．y 1<y 2B ．y 1>y 2C ．|y 1|<|y 2|D ．|y 1|>|y 2|11．二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x−2)2−3D．y=(x+2)2+312．如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF△BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题13．二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2 √3个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴左侧的图象上，则点C的坐标为．14．将y=x2的向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得的解析式是．15．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元，则平均每次降价的百分率是.16．如果抛物线y=x2﹣6x+c的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于．17．不等式x2+ax+b≥0（a≠0）的解集为全体实数，假设f（x）=x2+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜c的解集为m＜x＜m+6，则实数c的值为．18．用16m长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，设围成长方形的生物园的长为x m，则围成长方形的生物的面积S（单位：m2）与x的函数表达式是．（不要求写自变量x的取值范围）三、综合题19．鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x元（x为偶数），每周销售为y个．（1）直接写出销售量y个与降价x元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？20．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：时间x（天）1≤x＜5050≤x≤90售价（元/件）x+4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=−12x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD.（1）求此抛物线的解析式.（2）求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积.22．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2﹣4x+2m﹣1与x轴交于点A，B.（点A在点B的左侧）（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求点A、点B的坐标.23．我市某电器商场代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台，经过市场销售后发现，在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低1元，就可多售出5台，若供货商规定这种空气净化器售价不低于330元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）若某月空气净化器售价降低30元，则该月可售出多少台？（2）试确定月销售量y（台）与售价x（元/台）之间的函数关系式，并求出售价x的范围．（3）当售价x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润w（元）最大，最大利润是多少？24．一家超市，经销一种地方特色产品，每千克成本为50元.这种产品在不同季节销量与单价满足一次函数变化关系.下表是其中不同4个月内一天的销量y（kg）与单价x（元/kg）的对应值.单价x（元/kg）55606570销量y（kg）70605040（2）平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是多少？（3）当销售单价为多少时，一天的销售利润最大？最大利润是多少？参考答案1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】B 4．【答案】A 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】B 12．【答案】D13．【答案】（1﹣ √7 ，﹣3） 14．【答案】y=（x ﹣3）2+5 15．【答案】10% 16．【答案】c=6或12 17．【答案】918．【答案】S =−x 2+8x19．【答案】（1）解：依题意有：y=10x+160；（2）解：依题意有：W=（80﹣50﹣x ）（10x+160）=﹣10（x ﹣7）2+5290，∵-10＜0且x 为偶数，故当x=6或x=8时，即故当销售单价定为74或72元时，每周销售利润最大，最大利润是5280元； （3）解：依题意有：﹣10（x ﹣7）2+5290≥5200，解得4≤x≤10，则200≤y≤260，200×50=10000（元）．答：他至少要准备10000元进货成本．20．【答案】（1）解：当1≤x ＜50时，y=（200-2x ）（x+40-30）=-2x 2+180x+2000当50≤x≤90时y=（200-2x ）（90-30）=-120x+12000综上所述：y= {−2x 2+180x +2000(1≤x <50)−120x +12000(50≤x ≤90)（2）解：当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45 当x=45时，y 最大=-2×452+180×45+2000=6050 当50≤x≤90时，y 随x 的增大而减小当x=50时，y最大=6000综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元（3）解：当1≤x＜50时，y=-2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤50，因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；当50≤x≤90时，y=-120x+12000≥4800，解得x≤60因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元；21．【答案】（1）解：由已知得：C(0, 4)，B(4, 4)把B与C坐标代入y=−12x2+bx+c得：{4b+c=12c=4解得：b=2则解析式为y=−12x2+2x+4；（2）解：∵y=−12x2+2x+4=−12(x−2)2+6∴抛物线顶点坐标为(2, 6)则S四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=12×4×4+12×4×2=8+4=12. 22．【答案】（1）解：根据题意得△=（-4）2-4（2m-1）＞0解得m＜5 2；（2）解：m的最大整数为2抛物线解析式为y=x2-4x+3当y=0时，x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3所以A（1，0），B（3，0）.23．【答案】（1）解：由题意得：200+30×5=350（台）答：该月可售出350台（2）解：由题意得：y=200+5(400−x)=−5x+2200由供货商对售价和销售量的规定得：{x≥330y≥450，即{x≥330−5x+2200≥450解得：330≤x≤350答：所求的函数关系式为y=−5x+2200，售价x的范围为330≤x≤350（3）解：由题意和（2）可得：w=(x−200)(−5x+2200)整理得：w=−5(x−320)2+72000由二次函数的性质可知：当330≤x≤350时，w随x的增大而减小则当x=330时，w取得最大值，最大值为w=−5×(330−320)2+72000=71500（元）答：当售价定为330元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获的利润最大，最大利润是71500元24．【答案】（1）解：设y＝kx＋b，由题意得：{55k+b＝70 60k+b＝60解得{k＝−2 b＝180∴y（kg）与x（元/kg）之间的函数关系式为y＝﹣2x＋180.（2）解：由题意得：（x﹣50）（﹣2x＋180）＝600整理，得x2﹣140x＋4800＝0解得x1＝60，x2＝80∵顾客利益也较大∴x＝60∴平均每天获得600元销售利润的季节，顾客利益也较大，销售单价是60元/千克.（3）解：一天的销售利润为：w＝（x﹣50）（﹣2x＋180）＝﹣2x2＋280x﹣9000＝﹣2（x﹣70）2＋800∴当x＝70时，w最大＝800.∴当销售单价为70元/kg时，一天的销售利润最大，最大利润是800元。

1．（本题12分）已知如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－1，0)、B(3，0)(1)求b、c的值MN (2)如图，点D与点C关于点O对称，过点B的直线交y轴于点N，交抛物线于另一点M．若∠DBM＝∠ACO，求NB 的值(3)如图，在(2)的条件下，点P是y轴上一点，连PM、PB分别交抛物线于点E、F，探究EF与MB的位置关系，并说明理由2．（本题12分）如图1，抛物线m1：y＝x2－3x－4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴相交于C点(1)如图1，求抛物线m1的顶点D的坐标(2)如图2，把抛物线m1以1个单位长度/秒的速度向左平移到抛物线m2，同时△ABC以2个单位长度/秒的速度向下平移得到△A1B1C1，设平移的时间为t秒①若抛物线m2与y轴相交于E点，是否存在这样的t，使得A1E⊥EB1，若存在，求出t值；若不存在，说明理由②当抛物线m2的顶点D1落在△A1B1C1之内时，求t的取值范围3．（本题12分）已知抛物线()1312:221--+--=m m x m x y C （1）证明：不论m 为何值，抛物线图象的顶点M 均在某一直线l 的图象上，求此直线l 的函数解析式；（2）当2=m 时，点P 为抛物线上一点，且︒=∠90MOP ，求点P 的坐标；（3）将（2）中的抛物线1C 沿x 轴翻折再向上平移1个单位向右平移n 个单位得抛物线2C ，设抛物线2C 的顶点为N ，抛物线2C 与x 轴相交于点B A ,（A 在B 的左边），且AM ∥BN ，求n 的值；4．（本题10分）如图，抛物线y ＝ax 2－3ax －2与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，连AC 、BC ，∠ABC ＝∠ACO(1)求抛物线的解析式(2)设P 为线段OB 上一点，过P 作PN ∥BC 交OC 于N ，设线PN 为y ＝kx ＋m ，将△PON 沿PN 折叠，得△PNM ，点M 恰好落在第四象限的抛物线上，求m 的值(3)CE 平分∠ACB 交抛物线的对称轴于E ，连AE ，在抛物线上是否存在点P ，使∠APC ＞∠AEC ，若存在，求出点P 的横坐标x p 的取值范围，若不存在，请说明理由5．（本题12分）如图，直线y＝kx＋b（b＜0）与抛物线y＝ax2相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，抛物线y＝ax2经过点(4，－2)(1)求出a的值(2)若x1·OB－y2·OA＝0，求b的值(3)将抛物线向右平移一个单位，再向上平移n的单位．若在第一象限的抛物线上存在这样的不同的两点M、N，使得M、N关于直线y＝x对称，求n的取值范围6．（本小题满分12分）212y x bx c=-++与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM．若y与x的部分对应值如下表所示：x…-103…y (03)20…（1）（3分）求此抛物线的解析式；（2）（4分）如图1，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积和周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）（5分）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，－1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F，则当E点位置变化时，直线EF 是否经过某个定点，如果是，请求出此定点的坐标，不是则说明理由．图1图27.（本题10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数m x y +=45（m 为常数）的图象与x 轴交于点A (－3，0)，与y 轴交于点C ，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）经过A 、C 两点，并与x 轴的正半轴交于点B(1)求m 的值及抛物线的函数表达式(2)是否存在抛物线上一动点Q ，使得△ACQ 是以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的横坐标；若存在，请说明理由(3)若P 是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP 周长最小，过点P 任意作一条与y 轴不平行的直线交抛物线于M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)两点，试问2121M M P M P M ∙是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由8．（本题12分）已知：抛物线y ＝x 2－2mx ＋m 2－2m 和直线y ＝－2x 相交于A 、B （A 在B 的左边），抛物线与x 轴相交于C 、D （C 在D 的左边）(1)当m ＝1时，求A 、B 两点坐标(2)设△BCD 的外接圆与y 轴于E 、F ，当CD ＝EF 时，求m 的值(3)当m 变化时，抛物线上是否一定存在点P ，使得△PAB 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，请求出△PAB 的面积；若不存在，请说明理由9．（本题10分）如图1，抛物线y＝－x2＋6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与抛物线的对称轴交于点Q(1)这条抛物线的对称轴是：直线__________，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是__________度(2)若S△POQ∶S△P AQ＝1∶2，求此时的点P坐标(3)如图2，点M(1，5)在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标10.(本题12分)已知抛物线()2211:1414C y x a x a a =--+---交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），顶点为C.（1）求证：不论a 为何实数值，顶点C 总在同一条直线上；（2）若90ACB ∠=，求此时抛物线1C 的解析式；（3）在（2）的条件下，将抛物线1C 沿y 轴负方向平移2个单位得到抛物线2C ，直线21y kx k =-+交抛物线2C 于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），交抛物线2C 的对称轴于点N ，(),3E M x ，若MN=ME ，求NF NE 的值。

2020年中考数学复习二次函数与一元二次方程专题练习一、单选题1．将二次函数24y x x a =-+的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，若得到的函数图象与直线2y =有两个交点，则a 的取值范围是（ ）A ．3a <B ．3a <C ．5a <D ．5a >2．二次函数y=﹣x 2+mx 的图象如图，对称轴为直线x=2，若关于x 的一元二次方程﹣x 2+mx ﹣t=0（t 为实数）在1＜x ＜5的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．t ＞﹣5B ．﹣5＜t ＜3C ．3＜t≤4D ．﹣5＜t≤43．已知抛物线y=x 2+2x+k+1与x 轴有两个不同的交点，则一次函数y=kx ﹣k 与反比例函数y=k x在同一坐标系内的大致图象是（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)经过点M (﹣1，2)和点N (1，﹣2)，则下列说法错误的是( ) A ．a +c ＝0B ．无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点，且函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2C ．当函数在x ＜110时，y 随x 的增大而减小 D ．当﹣1＜m ＜n ＜0时，m +n ＜2a 5．若二次函数22y ax ax c =-+的图象经过点（﹣1，0），则方程220ax ax c -+=的解为（ ） A ．13x =-，21x =- B ．11x =，23x = C ．11x =-，23x = D ．13x =-，21x =6．二次函数2(,,y ax bx c a b c =++为常数，且0a ≠)中的x 与y 的部分对应值如表：下列结论错误的是( )A ．0ac <B ．3是关于x 的方程()210ax b x c +-+=的一个根； C ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而减小； D ．当13x 时，()210.ax b x c +-+> 7．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 坐标为(3，0)，对称轴为直线x ＝1．下列结论正确的是( )A ．abc ＜0B ．b 2＜4acC ．a +b +c ＞0D ．当y ＜0时，﹣1＜x ＜3 8．对于二次函数,下列说法正确的是（ ）A ．当x>0，y 随x 的增大而增大B ．当x=2时，y 有最大值－3C ．图像的顶点坐标为（－2，－7）D ．图像与x 轴有两个交点 9．已知抛物线265y x x =-+与x 轴交于A ，B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC ，BC ，则cos CAB ∠的值为（ ）A ．12BC ．2D 10．如图是抛物线y 1＝ax 2+bx +c (a ≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A (1，3)，与x 轴的一个交点B (4，0)，直线y 2＝mx +n (m ≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a +b ＝0；②m +n ＝3；③抛物线与x 轴的另一个交点是(﹣1，0)；④方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；⑤当1≤x ≤4时，有y 2＜y 1，其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②⑤D ．②④⑤二、填空题 11．已知二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，一元二次方程22140x b x ++=的两实根为3x 、4x ，且23143x x x x -=-=，则二次函数的顶点坐标为____________． 12．已知二次函数y=x 2﹣4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数k 的取值范围是_____．13．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．14．已知：y 关于x 的函数22(21)1y k x k x =--+的图象与坐标轴只有两个不同的交点A 、B ，P 点坐标为(3,2)，则PAB △的面积为_____．15．对于实数a ，b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩；若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．16．已知二次函数24y x x k =-+的图像与x 轴交点的横坐标是1x 和2x ，且128x x -=，则k =________． 17．如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -，()3,B q 两点，则不等式2ax mx c n -+<的解集是_______．18．若抛物线y=x 2+bx-3的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程250x bx +-=的解为_______． 19．已知关于x 的一元二次方程x 2+bx ﹣c ＝0无实数解，则抛物线y ＝﹣x 2﹣bx +c 经过____象限．20．如图，抛物线2815y x x =-+与x 轴交于A B 、两点，对称轴与x 轴交于点C ，点()0,2D -，点()06，-E ，点P 是平面内一动点，且满足=90,∠︒DPE M 是线段PB 的中点，连结CM ．则线段CM 的最大值是________________．三、解答题21．已知点A （1，1）在抛物线y ＝x 2+（2m +1）x ﹣n ﹣1上（1）求m 、n 的关系式；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求出它的解析式．22．己知函数223y ax x =--（a 是常数）（1）当1a =时，该函数图像与直线1y x =-有几个公共点？请说明理由；（2）若函数图像与x 轴只有一公共点，求a 的值.23．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；（2）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集；（3）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．24．已知，如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C （0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．25．若一次函数y =mx +n 与反比例函数y =k x同时经过点P(x ，y)则称二次函数y =mx 2+nx -k 为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．（1）判断y =2x -1与y =3x是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； （2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m ，并且一次函数y=(1+n)x+2m+2与反比例函数y =2020x 存在“共享函数”y=(m+t)x 2+(10m−t)x−2020，求m 的值．（3）若一次函数y =x +m 和反比例函数y =213m x+在自变量x 的值满足m ≤x ≤m +6的情况下，其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．26．在二次函数的学习中，教材有如下内容：例1 函数图象求一元二次方程212202x x --=的近似解（精确到0.1）． 解：设有二次函数2122y x x =--，列表并作出它的图象（图1）．观察抛物线和x 轴交点的位置，估计出交点的横坐标分别约为0.8-和4.8，所以得出方程精确到0.1的近似解为10.8x ≈-，2 4.8x ≈，利用二次函数2y ax bx c =++的图象求出一元二次方程20ax bx c ++=的解的方法称为图象法，这种方法常用来求方程的近似解．小聪和小明通过例题的学习，体会到利用函数图象可以求出方程的近似解．于是他们尝试利用图象法探宄方程32210x x -+=的近似解，做法如下：小聪的做法：令函数3221y x x =-+，列表并画出函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解． 小明的做法：因为0x ≠，所以先将方程32210x x -+=的两边同时除以x ，变形得到方程212x x x -=-，再令函数212y x x =-和21y x=-，列表并画出这两个函数的图象，借助图象得到方程32210x x -+=的近似解．请你选择小聪或小明的做法，求出方程32210x x -+=的近似解（精确到0.1）．27．阅读材料：若抛物线1L 的顶点A 在抛物线2L 上，抛物线2L 的顶点B 也在抛物线1L 上（点A 与点B 不重合），我们称这样的两条抛物线1L 、2L 互为“友好”抛物线，如图1．解决问题：如图2，已知物线238:24L y x x =-+与y 轴交于点C ．（1）若点D 与点C 关于抛物线3L 的对称轴对称，求点D 的坐标；（2）求出以点D 为顶点的3L 的“友好”抛物线4L 的解析式；（3）直接写出3L 与4L 中y 同时随x 增大而增大的自变量x 的取值范围．28．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣2），点A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线x ＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且PE ＝14OD ，求△PBE 的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的上方，是否存在点M ，使△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．C2．D3．D4．C5．C6．C7．D8．B9．D10．B11．325,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 12．k ＜413．1a <或1a >14．1或1215．2.25或016．－1217．13x18．121,5x x =-=19．三、四．20．7221．（1）n ＝2m ；（2）y ＝x 2或y ＝x 2﹣4x +4． 22．（1）函数图像与直线有两个不同的公共点；（2）0a =或13a =-.23．（1）x 1＝1，x 2＝3；（2）1＜x ＜3；（3）k ＜2．24．（1）y=﹣x 2+4x+5；（2）15．25．（1）存在共享函数，共享点的坐标为(1,3)--，3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2m =；（3）2429y x x =+-或2(9155y x x =---26．选择小明的作法，10.6x ≈-，21.0x ≈，3 1.6x ≈ 27．（1）点D 坐标为(4，4)（2）抛物线4L 的解析式为22(4)4y x =--+（3）24x ≤≤28．（1）y ＝14x 2+12x ﹣2；（2）58；（3）M 坐标为（205+）或（﹣285，45）．。

1、（12分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是平行四边形，A 、B 两点的坐标分别是()3,0A ，()0,2B 。

若抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，且与x 轴的另一个交点为点D 。

（1）求抛物线的解析式； （2）若点P 是第二象限内抛物线上一点，直线OP 将四边形OBCD 的面积分成1:2两部分。

求出此时点P 的坐标；（3）设点Q 是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q 的坐标为何值时QD QC +最小？并求出最小值。

19．如图1，抛物线y=x 2-4x+c 交x 轴于点A 和B （-1，0）交y 轴于点C ，且抛物线的对称轴交x 轴于点D（1）求这个抛物线的解析式；（2）若点E 在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE 面积最大时，求点E 的坐标； （3）如图2，在抛物线上是否存在这样的点P ，使△PAB 中的内角中有一边与x 轴所夹锐角的正切值为21？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y=-21x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=21，OA=2，OD 平分∠BOC 交抛物线于点D （点D 在第一象限）．（1）求抛物线的解析式和点D 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在一点P ，使得△BPD 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点M 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点N ，使A 、D 、M 、N 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的M 点坐标；如果不存在，请说明理由．28. 如图①，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于O A 、两点直线3y x =-+与y 轴交于B 点，与该抛物线交于,A D 两点，已知点D 横坐标为-1. (1)求这条抛物线的解析式；(2)如图①，在线段OA 上有一动点H (不与O A 、重合)，过H 作x 轴的垂线分别交AB 于P 点，交抛物线于Q 点，若x 轴把POQ ∆分成两部分的面积之比为1：2，请求出H 点的坐标；(3)如图②，在抛物线上是否存在点C ，使ABC ∆为直角三角形？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.26．已知：二次函数y=ax 2﹣2x+c 的图象与x 于A 、B ，A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O （1）求这个二次函数的解析式； （2）直线交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β的值；（3）在（2）问的前提下，P 为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC ，在y 轴右侧的抛物线上是否存在点M ，使得△BDM 的面积等于PA 2？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．已知：如图14，抛物线2334y x =-+与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线34y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式．（2）求ABC △的面积．（3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积最大，最大面积是多少？26. 如图，直线434+-=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .（1）求该二次函数的关系式；（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒23个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →A 的路线运动，当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒时，ODE ∆的面积为S .①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE ∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .26．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线1=x ，与y 轴负半轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，其中B 点的坐标为（3，0），C 点坐标为（0，-3）． ⑴求此抛物线的解析式；⑵若点G （2，-3）是该抛物线上一点，点E 是直线AG 下方的抛物线上一动点，当点E 运动到什么位置时，△AEG 的面积最大？求出此时E 点的坐标和△AEG 的最大面积.⑶若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点（其中点M 在点N 的右侧），在x 轴上是否存在点Q ，使△MNQ25．如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =+与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线为2y x bx c =-++，点E 为第二象限内抛物线上一动点，连接AE,BE.（1）求抛物线的解析式；（2）当ABE ∆面积最大时，求点E 的坐标，并求出此时ABE ∆的面积； （3）当EAB OAB ∠=∠时，求点E 的坐标.26．已知：矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点， AB=BM=10，MC=14，如图1，正方形EFGH 的顶点E 和点B 重合，点F 、G 、H 分别在边AB 、AM 、BC 上.如图2，P 为对角线AC 上一动点，正方形EFGH 从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿BC 向点C 匀速移动；同时，点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A 匀速移动.当点F 到达线段AC 上时，正方形EFGH 和点P 同时停止运动.设运动时间为t 秒，解答下列问题：（1）在整个运动过程中，当点F 落在线段AM 上和点G 落在线段AC 上时，分别求出对应t 的值； （2）在整个运动过程中，设正方形EFGH 与AMC ∆重叠部分面积为S,请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围；26．已知：如图，抛物线)0(22≠+-=a c ax ax y 与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、B ，点A 的坐标为（4，0）。

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数的存在性问题一．解答题（共20小题）1．如图，在▱OABC中，A、C两点的坐标分别为（4，0）、（﹣2，3），抛物线W经过O、A、C三点，点D是抛物线W的顶点．（1）求抛物线W的函数解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和▱OABC同时先向右平移4个单位长度，再向下平移m（0＜m＜3）个单位长度，得到抛物线W1和□O1A1B1C1，在向下平移过程中，O1C1与x轴交于点H，▱O1A1B1C1与▱OABC重叠部分的面积记为S，试探究：当m为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W1的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N是抛物线W1上的动点，是否存在这样的点M、N，使以D、F、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点A（1，0）、B（5，0）、C（0，4）三点．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA+PC的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由（请在图2中探索）3．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标；（3）如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式．（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图1，抛物线C：y＝ax2+bx经过点A（﹣4，0）、B（﹣1，3）两点，G是其顶点，将抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数解析式及顶点G的坐标；（2）如图2，直线l：y＝kx﹣经过点A，D是抛物线C上的一点，设D点的横坐标为m（m＜﹣2），连接DO并延长，交抛物线C′于点E，交直线l于点M，若DE＝2EM，求m的值；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG、AB，在直线DE下方的抛物线C上是否存在点P，使得∠DEP＝∠GAB？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．（1）求这个抛物线的函数表达式．（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP 面积的最大值．（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．8．如图，抛物线y＝ax2+2x+c经过A（﹣1，0），B两点，且与y轴交于点C（0，3），抛物线与直线y＝﹣x﹣1交于A，E两点．（1）求抛物线的解析式；（2）坐标轴上是否存在一点Q，使得△AQE是以AE为底边的等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．（3）P点在x轴上且位于点B的左侧，若以P，B，C为顶点的三角形与△ABE相似，求点P的坐标．9．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．求S关于t的函数表达式，并求出当t为何值时，△PBC的面积S有最大值；（3）如图2，设抛物线的对称轴为直线l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．综合与探究如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴相交于点．当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ABC的形状，并说明理由；（3）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，则t的值为，点P的坐标为；（4）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是以AC为直角边的直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点F的坐标．11．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（l）求抛物线的表达式；（2）如图l，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标；（3）如图2，在x轴上是否存在一点D使得△ACD为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B（3，0）．C（0，3），点M是抛物线的顶点．（1）求二次函数的关系式；（2）点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD＝m，△PCD的面积为S，①求S与m的函数关系式，写出自变量m的取值范围．②当S取得最值时，求点P的坐标；（3）在MB上是否存在点P，使△PCD为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．13．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，已知点P为抛物线第一象限上一动点，连接PB、PC、BC．（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；（2）当△PBC的面积最大时，求出点P的坐标；（3）如图②，当点P与抛物线顶点重合时，过点B的直线与抛物线交于点E，在直线BE上方的抛物线上是否存在一点M，使得∠BEM＝∠PBC？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，连接AC，BC．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）点M是线段BC上一点（不与B，C重合），过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，连接CN．若点M关于直线CN的对称点M'恰好在y轴上，求出点M的坐标；（3）在平面内是否存在一点P，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'（点A'，O'，C'分别是点A，O，C的对称点）恰好有两个顶点落在该抛物线上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．如果没有解题思路，可以这样考虑：变换后，A'O'与AO，O'C'与OC有什么样的位置关系？进而分析点O'，A'，C'的坐标关系！15．如图1，过原点的抛物线与x轴交于另一点A，抛物线顶点C的坐标为，其对称轴交x轴于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为抛物线上位于第一象限内且在对称轴右侧的一个动点，求使△ACD 面积最大时点D的坐标；（3）在对称轴上是否存在点P，使得点A关于直线OP的对称点A'满足以点O、A、C、A'为顶点的四边形为菱形．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．16．综合与探究如图，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l，顶点为D．（1）求抛物线的解析式及点D坐标；（2）在直线l上是否存在一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在x轴上取一动点P（m，0），﹣3＜m＜﹣1，过点P作x轴的垂线，分别交抛物线，AD，AC于点E，F，G．①判断线段FP与FG的数量关系，并说明理由②连接EA，ED，CD，当m为何值时，四边形AEDC的面积最大？最大值为多少？17．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A坐标（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）．（1）求实数a、b、k的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得△POB为等腰三角形？若存在请求出所有的P点的坐标，若不存在请说明理由．（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA＝MB＝MO，现要求在y轴上找出点Q使得△BQM的周长最小，请求出M的坐标和△BQM周长的最小值．18．如图，已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，过点A的直线y＝kx+k与该抛物线交于点C，点P是该抛物线上不与A，B重合的动点，过点P 作PD⊥x轴于D，交直线AC于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）若k＝﹣1，当PE＝2DE时，求点P坐标；（3）当（2）中直线PD为x＝1时，是否存在实数k，使△ADE与△PCE相似？若存在请求出k的值；若不存在，请说明你的理由．19．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣过点A（﹣，0）和点B（，2），连结AB交y轴于点C．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P在线段AB下方的抛物线上运动，连结AP，BP．设点P的横坐标为m，△ABP 的面积为s．①求s与m的函数关系式；②当s取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝s．若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+6与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线y ＝﹣2x2+bx+c过A，C两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式．（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点E，连接BE，与直线AC相交于点F，当EF ＝BF时，求sin∠EBA的值．（3）点N是抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，在抛物线上是否存在一点M，使以M，N，E，B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．详细答案一．解答题（共20小题）1．【解答】解：（1）设抛物线W的函数解析式为y＝ax2+bx，图象经过A（4，0），C（﹣2，3）∴抛物线W的函数解析式为，顶点D的坐标为（2，﹣1）；（2）根据题意，由O（0，0），C（﹣2，3），得O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）设直线O1C1的函数解析式为y＝kx+b把O1（4，﹣m），C1（2，3﹣m）代入y＝kx+b得：，直线O1C1与x轴交于点H∴过C1作C1E⊥HA于点E，∵0＜m＜3∴，∴，∵，抛物线开口向下，S有最大值，最大值为∴当时，；（3）当时，由D（2，﹣1）得F（6，）∴抛物线W1的函数解析式为，依题意设M（t，0），以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分情况讨论：①以DF为边时∵D（2，﹣1），F点D，F横坐标之差是4，纵坐标之差是，若点M、N的横纵坐标与之有相同规律，则以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，∵M（t，0），∴把分别代入得t1＝0，t2＝4，t3＝6，t4＝14∴M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）②以DF为对角线时，以点D，F，M，N为顶点不能构成平行四边形．综上所述：M1（0，0），M2（4，0），M3（6，0），M4（14，0）．2．【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入二次函数表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5），则5a＝4，解得：a＝，抛物线的表达式为：y＝（x2﹣6x+5）＝x2﹣x+4，函数的对称轴为：x＝3，顶点坐标为（3，﹣）；（2）连接B、C交对称轴于点P，此时PA+PC的值为最小，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4，当x＝3时，y＝，故点P（3，）；（3）存在，理由：四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形，＝OB×|y E|＝5×|y E|＝12，则S四边形OEBF点E在第四象限，故：则y E＝﹣，将该坐标代入二次函数表达式得：y＝（x2﹣6x+5）＝﹣，解得：x＝2或4，故点E的坐标为（2，﹣）或（4，﹣）．3．【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式y＝ax2+bx+c 得，解得，所以抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）如解（2）图1，过P点作PQ平行y轴，交AC于Q点，∵A（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC解析式为y＝x+3，设P点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3．），则Q点坐标为（x，x+3），∴PQ＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x．＝，∴S△P AC∴，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣2．当x＝﹣1时，P点坐标为（﹣1，4），当x＝﹣2时，P点坐标为（﹣2，3），综上所述：若△PAC面积为3，点P的坐标为（﹣1，4）或（﹣2，3），（3）如解（3）图1，过D点作DF垂直x轴于F点，过A点作AE垂直BC于E点，∵D为抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的顶点，∴D点坐标为（﹣1，4），又∵A（﹣3，0），∴直线AD为y＝2x+6，AF＝2，DF＝4，tan∠DAB＝2，∵B（1，0），C（0，3）∴tan∠ABC＝3，BC＝，sin∠ABC＝，直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∵AB＝4，∴AE＝AB•sin∠ABC＝＝，BE＝，∴CE＝，∴tan∠ACB＝，∴tan∠ACB＝tan∠DAB＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∴使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似，则有两种情况，如解（3）图2Ⅰ．当∠AOM＝∠CAB＝45°时，△ABC∽△OMA，即OM为y＝﹣x，设OM与AD的交点M（x，y）依题意得：，解得，即M点为（﹣2，2）．Ⅱ．若∠AOM＝∠CBA，即OM∥BC，∵直线BC解析式为y＝﹣3x+3．∴直线OM为y＝﹣3x，设直线OM与AD的交点M（x，y）．则依题意得：，解得，即M点为（，），综上所述：存在使得以M，A，O为顶点的三角形与△ABC相似的点M，其坐标为（﹣2，2）或（，），4．【解答】解：（1）由题可列方程组：，解得：∴抛物线解析式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）如图1，∠AOC＝90°，AC＝，AB＝4，设直线AC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣2x﹣2；当△AOC∽△AEB时＝（）2＝（）2＝，＝1，∴S△AEB＝，∵S△AOC∴AB×|y E|＝，AB＝4，则y E＝﹣，则点E（﹣，﹣）；由△AOC∽△AEB得：∴；（3）如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，则FG＝CF sin∠FCG＝CF，∴CF+BF＝GF+BF≥BE，当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，由（2）可知∠ABE＝∠ACO∴BE＝AB cos∠ABE＝AB cos∠ACO＝4×＝，|y|＝OB tan∠ABE＝OB tan∠ACO＝3×＝，∴当y＝﹣时，即点F（0，﹣），CF+BF有最小值为；（4）①当点Q为直角顶点时（如图3）：由（3）易得F（0，﹣），∵C（0，﹣2）∴H（0，2）设Q（1，m），过点Q作QM⊥y轴于点M．则Rt△QHM∽Rt△FQM∴QM2＝HM•FM，∴12＝（2﹣m）（m+），解得：m＝，则点Q（1，）或（1，）当点H为直角顶点时：点H（0，2），则点Q（1，2）；当点F为直角顶点时：同理可得：点Q（1，﹣）；综上，点Q的坐标为：（1，）或（1，）或Q（1，2）或Q（1，﹣）．5．【解答】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣1，3）代入y＝ax2+bx中，得解得∴抛物线C解析式为：y＝﹣x2﹣4x，配方，得：y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4，∴顶点为：G（﹣2，4）；（2）∵抛物线C绕点O旋转180°，得到新的抛物线C′．∴新抛物线C′的顶点为：G′（2，﹣4），二次项系数为：a′＝1∴新抛物线C′的解析式为：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x将A（﹣4，0）代入y＝kx﹣中，得0＝﹣4k﹣，解得k＝，∴直线l解析式为y＝x﹣，设D（m，﹣m2﹣4m），∵D、E关于原点O对称，∴OD＝OE∵DE＝2EM∴OM＝2OD，过点D作DF⊥x轴于F，过M作MR⊥x轴于R，∴∠OFD＝∠ORM，∵∠DOF＝∠MOR∴△ODF∽△OMR∴＝＝＝2∴OR＝2OF，RM＝2DF∴M（﹣2m，2m2+8m）∴2m2+8m＝•（﹣2m）﹣，解得：m1＝﹣3，m2＝，∵m＜﹣2∴m的值为：﹣3；（3）由（2）知：m＝﹣3，∴D（﹣3，3），E（3，﹣3），OE＝3，如图3，连接BG，在△ABG中，∵AB2＝（﹣1+4）2+（3﹣0）2＝18，BG2＝2，AG2＝20∴AB2+BG2＝AG2∴△ABG是直角三角形，∠ABG＝90°，∴tan∠GAB＝＝＝，∵∠DEP＝∠GAB∴tan∠DEP＝tan∠GAB＝，在x轴下方过点O作OH⊥OE，在OH上截取OH＝OE＝，过点E作ET⊥y轴于T，连接EH交抛物线C于点P，点P即为所求的点；∵E（3，﹣3），∴∠EOT＝45°∵∠EOH＝90°∴∠HOT＝45°∴H（﹣1，﹣1），设直线EH解析式为y＝px+q，则，解得∴直线EH解析式为y＝﹣x，解方程组，得，，∴点P的横坐标为：或．6．【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，则点C（0，2），函数的对称轴为：x＝﹣1；（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×y P+×OC×|x P|﹣×CO×OD 则S＝S四边形ADCP＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；（3）存在，理由：△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，N1的情况（△M1N1O）：设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），则点N1（，）；N2的情况（△M2N2O）：同理可得：点N2（，）；②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）；综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．7．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3∴A（0，3）∴直线AB解析式为y＝x+3∵点P在线段AB上方抛物线上∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）∴F（t，t+3）∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t＝S△P AF+S△PBF＝PF•OH+PF•BH＝PF•OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）∴S△P AB2+∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴对称轴为直线x＝﹣1∵PE∥x轴交抛物线于点E∴y E＝y P，即点E、P关于对称轴对称∴＝﹣1∴x E＝﹣2﹣x P＝﹣2﹣t∴PE＝|x E﹣x P|＝|﹣2﹣2t|∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°∴PD＝PE①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2∴P（﹣2，3）②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t∴﹣t2﹣3t＝2+2t解得：t1＝，t2＝（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．8．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）联立，解得，或，∴E（4，﹣5），如图1，当点Q在x轴上时，设Q（m，0），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即（m+1）2＝52+（m﹣4）2，解得，m＝4，∴Q1（4，0）；当点Q在y轴上时，设Q（0，n），∵AE为底边，∴QA＝QE，∴QA2＝QE2，即n2+12＝42+（n+5）2，解得，n＝﹣4，∴Q2（0，﹣4）；综上所述，Q1（4，0），Q2（0，﹣4）；（3）如图2，过点E作EH⊥x轴于点H，∵A（﹣1，0），E（4，﹣5），∴AH＝EH＝5，AE＝＝5，∠BAE＝45°，又OB＝OC＝3，∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝＝3，设P（t，0），则BP＝3﹣t，∵∠BAE＝∠ABC＝45°，∴只可能存在△PBC∽△BAE和△PBC∽△EAB两种情况，当△PBC∽△BAE时，，∴＝，∴t＝，∴P1（，0）；当△PBC∽△EAB时，，∴＝，∴t＝﹣，∴P2（﹣，0），综上所述，点P的坐标为（，0）或（﹣，0）．9．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得，，解得，，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图1，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，设直线BC的解析式为y＝mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，得，，解得，，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，∴S＝PF•OB＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，∵﹣＜0，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）如图2，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵x D﹣x C＝1，∴x P﹣x M＝1，∴x P＝2，∴P（2，3），在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴y C﹣y D＝3，∴y M﹣y P＝3，∴y M＝6，∴点M的坐标为（1，6）；当x P≠2时，不存在，理由如下，若四边形CDPM是平行四边形，则CE＝PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为1，∴点P的横坐标t＝1×2﹣0＝2，又∵x P≠2，∴不存在，综上所述，点M的坐标为（1，6）．10．【解答】解：（1）∵在抛物线y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣4和x＝2时，二次函数y＝ax2+bx+c 的函数值y相等，∴抛物线的对称轴为x＝＝﹣1，又∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，由对称性可知B（1，0），∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，）代入y＝a（x+3）（x﹣1），得，﹣3a＝，解得，a＝﹣，∴此抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣x+；（2）△ABC为直角三角形，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，），∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝OA+OB＝4，AC＝＝2，BC＝＝2，∵AC2+BC2＝16，AB2＝16，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形；（3）∵点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，∴BM＝BN＝t，由翻折知，△BMN≌△PMN，∴BM＝PM＝BN＝PN＝t，∴四边形PMBN是菱形，∴PN∥AB，∴△CPN∽△CAB，设PM与y轴交于H，∴＝＝，即＝＝，解得，t＝，CH＝，∴OH＝OC﹣CH＝﹣＝，∴y P＝，设直线AC的解析式为y＝kx+，将点A（﹣3，0）代入y＝kx+，得，k＝，∴直线AC的解析式为y＝x+，将y P＝代入y＝x+，∴x＝﹣1，∴P（﹣1，），故答案为：，（﹣1，）；（4）设直线BC的解析式为y＝kx+，将点B（1，0）代入y＝kx+，得，k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+，由（2）知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，如图2，当∠ACF＝90°时，点B，C，F在一条直线上，在y＝﹣x+中，当x＝﹣1时，y＝2，∴F1（﹣1，2）；当∠CAF＝90°时，AF∥BC，∴可设直线AF的解析式为y＝﹣x+n，将点A（﹣3，0）代入y＝﹣x+n，得，n＝﹣3，∴直线AF的解析式为y＝﹣x﹣3，在y＝﹣x﹣3中，当x＝﹣1时，y＝﹣2，∴F2（﹣1，﹣2）；∴点F的坐标为F1（﹣1，2），F2（﹣1，﹣2）．11．【解答】解：（1）将点A（1，0），B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，，解得，，∴抛物线表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点E作EF⊥x轴于点F，设E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），∴EF＝﹣a2﹣2a+3，BF＝a+3，OF＝﹣a，∴＝＝＝，最大，且最大值为；∴当时，S四边形BOCE当时，，此时，点E坐标为；（3）如图2，连接AC，①当CA＝CD时，此时CO为底边的垂直平分线，满足条件的点D1，与点A关于y轴对称，点D1坐标为（﹣1，0）；②当AD＝AC时，在Rt△ACO中，∵OA＝1，OC＝3，由勾股定理得，AC＝＝，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，交x轴于两点D2，D3，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为，；③当DA＝DC时，线段AC的垂直平分线与x轴的交点D4，即为满足条件的点，设垂直AC的垂直平分线交y轴于点P，过AC中点Q，∵∠AOC＝∠BOC＝∠PQC＝∠PQA＝90°，∠D4PO＝∠CPQ，∴∠ACO＝∠OD4P，∴△D4AQ∽△CAO，∴＝，即＝，∴D4A＝5，∴OD4＝D4A﹣OA＝4，∴点D4的坐标为（﹣4，0）；综上所述，存在符合条件的点D，其坐标为D1（﹣1，0）或或或D 4（﹣4，0）．12．【解答】解：（1）将点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得，解得，，∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），设直线BM的解析式为y＝kx+b，将点B（3，0），M（1，4）代入，得，解得，∴直线BM的解析式为y＝﹣2x+6，∵PD⊥x轴且OD＝m，∴P（m，﹣2m+6），＝PD•OD＝m（﹣2m+6）＝﹣m2+3m，∴S＝S△PCD即S＝﹣m2+3m，∵点P在线段BM上，且B（3，0），M（1，4），∴1≤m≤3；②∵S＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＞0，∴当m＝时，S取最大值，∴P（，3）；（3）存在，理由如下：如图2﹣1，当∠CPD＝90°时，∵∠COD＝∠ODP＝∠CPD＝90°，∴四边形CODP为矩形，∴PD＝CO＝3，将y＝3代入直线y＝﹣2x+6，得，x＝，∴P（，3）；如图2﹣2，当∠PCD＝90°时，∵OC＝3，OD＝m，∴CD2＝OC2+OD2＝9+m2，∵PD∥OC，∴∠PDC＝∠OCD，∴cos∠PDC＝cos∠OCD，∴＝，∴DC2＝PD•OC，∴9+m2＝3（﹣2m+6），解得，m1＝﹣3﹣3（舍去），m2＝﹣3+3，∴P（﹣3+3，12﹣6），当∠PDC＝90°时，∵PD⊥x轴，∴不存在，综上所述，点P的坐标为（，3）或（﹣3+3，12﹣6）．13．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（1，4）；（2）如图1，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（x，﹣x2+2x+3），则N（x，﹣x+3），∴PN＝﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x，＝×PN×OB＝（﹣x2+3x）×3＝﹣（x﹣）2+，∴S△PBC∴当x＝时，△PBC的面积最大，∴P（，）；（3）存在，如图2，过点P作PH⊥x轴于H，设直线与y轴交于点Q，则Q（0，﹣），在Rt△OBQ中，tan∠OBQ＝＝＝，在Rt△PHB中，tan∠BPH＝＝＝，∴∠OBQ＝∠BHP，∵∠BPH+∠PBH＝90°，∴∠OBQ+∠PBH＝90°，即∠PBE＝90°，将点B（3，0）代入直线，得3k﹣＝0，∴k＝，∴y＝x﹣，联立，解得，x1＝3，x2＝﹣，∴E（﹣，﹣），过点E作EF⊥BC于点F，则∠FEB+∠FBE＝90°，∵∠PBC+∠FBE＝90°，∴∠FEB＝∠PBC，则此时射线EF与抛物线的交点即为所求的点M，∵BC＝＝3，PC＝＝，PB＝＝2，∴BC2+PC2＝PB2，∴△PCB为直角三角形，且∠PCB＝90°，∴sin∠PBC＝＝＝，∴sin∠FEB＝＝，∵EB＝＝，∴FB＝，过点F作FD⊥x轴于点D，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∴∠DBF＝∠DFB＝45°，∴DB＝DF＝FB＝，∴F（，），设直线EF的解析式为y＝kx+b，将点E（﹣，﹣），F（，）代入y＝kx+b，得，解得，∴直线EF的解析式为y＝x﹣，联立，解得，x1＝，x2＝﹣，当x＝时，y＝，∴M（，）．14．【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+3中，当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝3；当x＝0时，y＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）（2）∵点M'与点M关于直线CN对称，且点M'在y轴上，∴∠M'CN＝∠MCN，∵MN∥y轴，∴∠M'CN＝∠CNM，∴∠MCN＝∠CNM，∴MN＝CM，∵点C的坐标为（0，3），∴可设直线BC的解析式为y＝kx+3，将点B（3，0）代入y＝kx+3，得，3k+3＝0，∴k＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设点M的横坐标为t，则M（t，﹣t+3），N（t，﹣t2+2t+3），∴MN＝（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，，∴，∵t≠0，∴，∴，（3）根据题意，A'O'平行于x轴，O'C'平行于y轴，A'O'＝1，O'C'＝3，点A'在点O'的右边，点C'在点O'的下方，设点O'的横坐标为m，则A'的横坐标为m+1，点C'的横坐标为m，①若A'、O'在抛物线上，则﹣m2+2m+3＝﹣（m+1）2+2（m+1）+3，∴，∴，则点P在OO'的中点处，∴；②若A'、C'在抛物线上，则﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝﹣m2+2m+3+3∴m＝﹣1，∴O'（﹣1，3），则点P在OO'的中点处，∴，综上所述，存在点或，使△AOC关于点P的对称△A'O'C'恰好有两个顶点落在该抛物线上．15．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（a≠0）∵顶点，∴，又∵图象过原点，∴，解出：，∴，即；（2）令y＝0，即，解得：x1＝0，x2＝4，∴A（4，0），设直线AC的解析式为y＝kx+b，将点A（4，0），代入，得，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4，过点D作DF∥y轴交AC于点F，设，则，∴，∴＝，有最大值，∴当m＝3时，S△ACD当m＝3时，，∴；（3）∵∠CBO＝∠CBA＝90°，OB＝AB＝2，，∴，∴OA＝OC＝AC＝4，∴△AOC为等边三角形，①如图3﹣1，当点P在C时，OA＝AC＝CA'＝OA'，∴四边形ACA'O是菱形，∴；②作点C关于x轴的对称点C'，当点A'与点C'重合时，OC＝AC＝AA'＝OA'，∴四边形OCAA'是菱形，∴点P是∠AOA'的角平分线与对称轴的交点，记为P2，∴，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，∵∠OBP2＝90°，OB＝2，∴OP2＝2BP2，设BP2＝x，∴OP2＝2x，又∵，∴（2x）2＝22+x2，解得或，∴；综上所述，点P的坐标为或．16．【解答】解：（1）由抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；由y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，得，点D坐标为（﹣1，4）；（2）在直线l上存在一点M，到点B的距离与到点C的距离之和最小，根据抛物线对称性MA＝MB，∴MB+MC＝MA+MC，∴使MB+MC的值最小的点M应为直线AC与对称轴l：x＝﹣1的交点，当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），设直线AC解析式为直线y＝kx+b，把A（﹣3，0）、C（0，3）分别代入y＝kx+b，得，，解得，，∴直线AC解析式为y＝x+3，把x＝﹣1代入y＝x+3得，y＝2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）①PF＝2FG，理由如下，设直线AD解析式为y＝k'x+b'，把A（﹣3，0）、D（﹣1，4）分别代入直线y＝k'x+b'，得，，解得，∴直线AD解析式为y＝2x+6，则点F的坐标为（m，2m+6），同理G的坐标为（m，m+3），则FG＝（2m+6）﹣（m+3）＝m+3，FP＝2m+6＝2（m+3），∴FP＝2FG；②根据题意得点E的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），设直线l与x轴交于点N，EF＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（2m+6）＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1＝S△AEF+S△EFD＝＝∴S△AED，的最大值为1，∴当m为﹣2时，S△AED如图，过点D作DH∥x轴，交y轴于点H，在△DHC中，∠DHC＝180°﹣∠AOB＝90°，，在Rt△AOC中，，在Rt△ADN中，，∵，∴DC2+AC2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴，∴，∴当m为﹣2时，四边形AEDC的面积最大，最大值为4．17．【解答】解：（1）将A（1，4）代入y＝，得，k＝4，∴双曲线解析式为y＝，设B（m，）（m＜0），连接AB，交x轴于点C，设直线AB的解析式为y＝kx+b，将点A（1，4），B（m，）代入，得，解得，，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+，当y＝0时，x＝m+1，∴C（m+1，0），OC＝﹣m﹣1，＝OC•（y A﹣y B）∴S△AOB＝（﹣m﹣1）（4﹣），∵△AOB的面积为3，∴（﹣m﹣1）（4﹣）＝3，整理，得2m2+3m﹣2＝0，解得，m1＝（舍去），m2＝﹣2，∴B（﹣2，﹣2），将A（1，4），B（﹣2，﹣2）代入y＝ax2+bx，得，，解得，，∴抛物线的解析式为y＝x2+3x，∴a＝1，b＝3，k＝4；（2）在抛物线y＝x2+3x中，对称轴为x＝﹣，设P（﹣，y），∵O（0，0），B（﹣2，﹣2），∴PO2＝+y2，OB2＝8，PB2＝+（y+2）2，。

1、（12分）如图, 已知抛物线c bx x y ++=221与y 轴相交于C ，与x 轴相交于A 、B ，点A 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，-1）.（1）求抛物线的解析式；（2）点E 是线段AC 上一动点，过点E 作DE ⊥x 轴于点D ，连结DC ，当△DCE 的面积最大时，求点D 的坐标；（3）在直线BC 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由.解：（1）∵二次函数c bx x y ++=221的图像经过点A （2，0）C(0,－1) ∴⎩⎨⎧-==++1022c c b 解得： b =－21 c =－1-------------------2分 ∴二次函数的解析式为121212--=x x y --------3分 （2）设点D 的坐标为（m ，0） （0＜m ＜2）∴ OD =m ∴AD =2-m由△AD E ∽△AOC 得，OC DE AO AD = --------------4分 ∴122DE m =- ∴DE =22m ------------------------------------5分 ∴△CDE 的面积=21×22m -×m =242m m +-=41)1(412+--m 当m =1时，△CDE 的面积最大∴点D 的坐标为（1，0）--------------------------8分（3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为121212--=x x y 设y=0则1212102--=x x 解得：x 1=2 x 2=－1 ∴点B 的坐标为（－1，0） C （0，－1）备用图题图26设直线BC 的解析式为：y =kx ＋b∴ ⎩⎨⎧-==+-10b b k 解得：k =-1 b =-1 ∴直线BC 的解析式为: y =－x －1在Rt △AOC 中，∠AOC=900 OA=2 OC=1由勾股定理得：AC=5∵点B(－1,0) 点C （0，－1）∴OB=OC ∠BCO=450①当以点C 为顶点且PC=AC=5时，设P(k , －k －1)过点P 作PH ⊥y 轴于H∴∠HCP=∠BCO=450CH=PH=∣k ∣ 在Rt △PCH 中k 2+k 2=()25 解得k 1=210， k 2=－210 ∴P 1（210，－1210-） P 2（－210，1210-）---10分 ②以A 为顶点，即AC=AP=5设P(k , －k －1)过点P 作PG ⊥x 轴于GAG=∣2－k ∣ GP=∣－k －1∣在Rt △APG 中 AG 2＋PG 2=AP 2（2－k )2+(－k －1)2=5解得：k 1=1,k 2=0(舍)∴P 3(1, －2) ----------------------------------11分③以P 为顶点，PC=AP 设P(k , －k －1)过点P 作PQ ⊥y 轴于点QPL ⊥x 轴于点L∴L(k ,0)∴△QPC 为等腰直角三角形PQ=CQ=k由勾股定理知CP=PA=2k∴AL=∣k -2∣, PL=｜－k －1｜在Rt △PLA 中 (2k)2=(k －2)2＋(k ＋1)2解得：k =25∴P 4(25,－27) ------------------------12分2、（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++交x 轴于A (1,0)、B (3,0)两点，交y 轴于点C ，其顶点为D ．（1）求b 、c 的值并写出抛物线的对称轴；（2）连接BC ，过点O 作直线OE ⊥BC 交抛物线的对称轴于点E ．求证：四边形ODBE 是等腰梯形；（3）抛物线上是否存在点Q ，使得△OBQ 的面积等于四边形ODBE 的面积的31？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（1）求出：4-=b ，3=c ，抛物线的对称轴为：x=2(2) 抛物线的解析式为342+-=x x y ，易得C 点坐标为（0，3），D 点坐标为（2，-1）设抛物线的对称轴DE 交x 轴于点F ，易得F 点坐标为（2，0），连接OD ，DB ，BE∵∆OBC 是等腰直角三角形，∆DFB 也是等腰直角三角形，E 点坐标为（2，2），∴∠BOE= ∠OBD= 45 ∴OE ∥BD∴四边形ODBE 是梯形 ………………5分在ODF Rt ∆和EBF Rt ∆中，OD=5122222=+=+DF OF ，BE=5122222=+=+FB EF∴OD= BE∴四边形ODBE 是等腰梯形 ………………7分(3) 存在， ………………8分由题意得：29332121=⨯⨯=⋅=DE OB S ODBE 四边形 ………………9分 设点Q 坐标为（x ，y ），由题意得：y y OB S OBQ 2321=⋅=三角形=23293131=⨯=ODBE S 四边形 ∴1±=y当y=1时，即1342=+-x x ，∴ 221+=x ， 222-=x ，∴Q 点坐标为（2+2，1）或(2-2，1) ………………11分当y=-1时，即1342-=+-x x ， ∴x=2，∴Q 点坐标为（2，-1）综上所述，抛物线上存在三点Q 1（2+2，1），Q 2 (2-2，1) ，Q 3（2，-1）使得OBQ S 三角形=ODBE S 四边形31． ………………12分3、（11分）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，， 309333a a ∴=+∴=- ························· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ ·············· 3分 （2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，° ·············· 4分OM AD ∥EF Q 1 Q 3Q 2 M C D P①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ············· 5分②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ·························· 6分 ③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E，则2PE = ···················· 8分116(62)222BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-⨯=2322t ⎫-+⎪⎝⎭··························· 9分 当32t =时，BCPQ S·················· 10分 ∴此时33393324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，PQ ∴=== ·············· 11分4．（本小题满分13分）如图，抛物线经过(40)(10)(02)A B C -，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，是否存在P 点，使得以A ，P ，M 为顶点的三角形与OAC △相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得DCA △的面积最大，求出点D 的坐标．解：（1）该抛物线过点(02)C -，，∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-． 将(40)A ，，(10)B ，代入，得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩，解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-． ··············· （3分） （2）存在． ······························ （4分） 如图，设P 点的横坐标为m ，则P 点的纵坐标为215222m m -+-， 当14m <<时， 4AM m =-，215222PM m m =-+-． 又90COA PMA ∠=∠=°，∴①当21AM AO PM OC ==时， APM ACO △∽△， 即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭． 解得1224m m ==，（舍去），(21)P ∴，． ················ （6分） ②当12AM OC PM OA ==时，APM CAO △∽△，即2152(4)222m m m -=-+-． 解得14m =，25m =（均不合题意，舍去）∴当14m <<时，(21)P ，． ······················ （7分）类似地可求出当4m >时，(52)P -，． ·················· （8分）当1m <时，(314)P --，．综上所述，符合条件的点P 为(21)，或(52)-，或(314)--，． ········ （9分）（3）如图，设D 点的横坐标为(04)t t <<，则D 点的纵坐标为215222t t -+-． 过D 作y 轴的平行线交AC 于E ． 由题意可求得直线AC 的解析式为122y x =-． ············· （10分） E ∴点的坐标为122t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．2215112222222DE t t t t t ⎛⎫∴=-+---=-+ ⎪⎝⎭． ············ （11分）22211244(2)422DAC S t t t t t ⎛⎫∴=⨯-+⨯=-+=--+ ⎪⎝⎭△．∴当2t =时，DAC △面积最大．(21)D ∴，．5.如图，二次函数的图象经过点D(0，397)，且顶点C 的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+PD 最小，求出点P 的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q ，使△QAB 与△ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C 的横坐标为4，且过点(0，397)∴y=a(x-4)2+k k a +=16397 ………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x 轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=93，k=3－∴二次函数的解析式为：y=93(x-4)2－3⑵∵点A 、B 关于直线x=4对称 ∴PA=PB∴PA+PD=PB+PD ≥DB∴当点P 在线段DB 上时PA+PD 取得最小值 ∴DB 与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x 轴交于点M∵PM ∥OD ，∴∠BPM=∠BDO ，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM ∽△BDO∴BO BM DO PM = ∴3373397=⨯=PM ∴点P 的坐标为(4，33)⑶由⑴知点C(4，3-)，又∵AM=3，∴在Rt △AMC 中，cot ∠ACM=33，∴∠ACM=60o，∵AC=BC ，∴∠ACB=120o①当点Q 在x 轴上方时，过Q 作QN ⊥x 轴于N 如果AB=BQ ，由△ABC ∽△ABQ 有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，如果AB=AQ ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q 在x 轴下方时，△QAB 就是△ACB ， 此时点Q 的坐标是(4，3-)，经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q ，使△QAB ∽△ABC点Q 的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，3-)．6、(12分) 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的顶点为D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设该抛物线的解析式为c bx ax y ++=2，由抛物线与y 轴交于点C （0，－3）,可知3-=c .即抛物线的解析式为32-+=bx ax y ． ………………………1分把A （－1，0）、B （3，0）代入, 得30,9330.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2,1-==b a .∴ 抛物线的解析式为y = x 2－2x －3． ……………………………………………3分 ∴ 顶点D 的坐标为()4,1-. ……………………………………………………4分 说明：只要学生求对2,1-==b a ，不写“抛物线的解析式为y = x 2－2x －3”不扣分. （2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形. ……………………………5分 理由如下：过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F.在Rt △BOC 中，OB=3，OC=3，∴ 182=BC . …………………………6分 在Rt △CDF 中，DF=1，CF=OF-OC=4-3=1，∴ 22=CD . …………………………7分在Rt △BDE 中，DE=4，BE=OB-OE=3-1=2，∴ 202=BD . …………………………8分 ∴ 222BD CD BC =+， 故△BCD 为直角三角形. …………………………9分 （3）连接AC ，可知Rt △COA ∽ Rt △BCD ，得符合条件的点为O （0，0）． ………10分过A 作AP 1⊥AC 交y 轴正半轴于P 1，可知Rt △CAP 1 ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ，求得符合条件的点为)31,0(1P ． …………………………………………11分 过C 作CP 2⊥AC 交x 轴正半轴于P 2，可知Rt △P 2CA ∽ Rt △COA ∽ Rt △BCD ， 求得符合条件的点为P 2（9，0）． …………………………………………12分 ∴符合条件的点有三个：O （0，0），)31,0(1P ，P 2（9，0）.7、如图，抛物线21y ax bx =++与x 轴交于两点A （－1，0），B （1，0），与y 轴交于点C ． (1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥CA 与抛物线交于点D ，求四边形ACBD 的面积；(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN ⊥x 轴于点N ，使以A 、M 、N 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）解：（1）把A (1,0)- B (1,0)代入21y ax bx =++得：1010a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：10a b =-⎧⎨=⎩ 21y x ∴=-+………………………………………………………………………3分（2）令0x =，得1y = ∴()0,1C ……………………………………………4分∵OA=OB=OC=1 ∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=∠ABC =45 ∵BD ∥CA ， ∴∠AB D=∠BA C 45=︒过点D 作DE ⊥x 轴于E ，则∆BDE 为等腰直角三角形 令OE k = ()0k >，则1DE k =+ ∴(),1D k k --- ∵点D 在抛物线21y x ∴=-+上 ∴ ()211k k --=--+解得12k =，21k =-（不合题意，舍去） ()2,3D -- ∴DE=3(说明：先求出直线BD 的解析式，再用两个解析式联立求解得到点D 的坐标也可)∴四边形ACBD 的面积S =12AB •OC +12AB •DE 112123422=⨯⨯+⨯⨯=………………………………7分 （说明：也可直接求直角梯形ACBD 的面积为4）(3)存在这样的点M ……………………………………………………………………8分∵∠ABC=∠ABD=45 ∴∠DBC=90 ∵MN ⊥x 轴于点N ， ∴∠ANM=∠DBC =90 在Rt △BOC 中，OB=OC=1 有2 在Rt △DBE 中，BE=DE=3 有BD=32设M 点的横坐标为m ，则M ()2,1m m -+ ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD=∵21,1AN m MN m =--=-即 2232=解得：1m =-（舍去） 22m =- 则()2,3M --(ⅱ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC=2322=解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）…………10分② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆AMN ∽∆DCB 时，有AN MNBD BC= ∵21,1AN m MN m =+=-∴ 2322=解得11m =-（舍去） 243m =∴47,39M ⎛⎫-⎪⎝⎭ (ⅱ) 当∆A MN ∽∆CDB 时，有AN MNBC BD=即 211232m m +-=解得：11m =-（舍去） 24m = ∴()4,15M -∴M 点的坐标为()()472,3,,,4,1539⎛⎫---- ⎪⎝⎭…………………………12分8、在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。

重庆中考数学25题专题复习二次函数综合题等腰直角三角形基础类1.如图，抛物线y=x2+2x-3的图象与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求△ABC的面积；（2）P是对称轴左侧抛物线上一动点，以AP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M正好落在对称轴上，画出图形并求出P点坐标；（3）若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m，求m的值．2.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A（4，0），B（2，2）．连接OB，AB．（1）求该抛物线的解析式；（2）求证：△OAB是等腰直角三角形；（3）将△OAB绕点O按顺时针方向旋转135°得到△OA′B′，写出△OA′B′的边A′B′的中点P的坐标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．3.如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A、B、C，已知点A的坐标为（-3，0），点B坐标为（1，0），点C在y轴的正半轴，且∠CAB=30°．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若直线L：y=√3x+m从点C开始沿y轴向下平移，分别交x轴、y轴于点D、E．当m＞0时，在线段AC上是否存在点P，使得点P、D、E构成等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．4.如图，已知与抛物线C1过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．（1）求抛物线C1的解析式．（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点P，D为第四象限内的一点，若△CPD为等腰直角三角形，求出D点坐标．（3）在（2）的前提下将抛物线C1沿x轴上方且平行于x轴的某条直线翻着得抛物线C2，能否存在C2使其过点D，若能，求出满足条件的C2的解析式；若不能，请说出理由．5.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B（A在B的左侧），抛物线的对称轴为直线x=1，AB=4．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线上有两点M（x1，y1）和N（x2，y2），若x1＜1，x2＞1，x1+x2＞2，试判断y1与y2的大小，并说明理由；（3）平移该抛物线，使平移后的抛物线经过点O，且与x轴交于点D，记平移后的抛物线顶点为点P①若△ODP是等腰直角三角形，求点P的坐标；②在①的条件下，直线x=m（0＜m＜3）分别交线段BP、BC于点E、F，且△BEF的面积：△BPC的面积=2：3，直接写出m的值．6.如图,将抛物线y=x2向右平移a个单位长度后,顶点为A,与y轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形.(1)求a的值.(2)图中的抛物线上是否存在点C,使△ABC为等腰直角三角形?若存在,直接写出点C的坐标,并求S△ABC;若不存在,请说明理由.7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（-4，5）两点，连接OB．（1）求抛物线的解析式；（2）C为直线AB上方抛物线上一点，连接AC，BC，当△ABC的面积是△ABO面积的6倍时，求点C的坐标；（3）P在抛物线上，Q在直线AB上，当△APQ为等腰直角三角形时，直接写出点Q的坐标．8.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3分别交x轴，y轴于点A，B，抛物线y=x2+bx+c过A，B两点，直线y=kx（k＞0）交直线AB于点P，点Q为直线AB，OP下方抛物线上一动点．（1）求该抛物线的解析式；（2）当k=1时，求△OPQ面积的最大值；（3）是否存在这样的k和点Q，使得△OPQ是以OP为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求出相应的点Q坐标和k的值；若不存在，请说明理由．9. 如图①，已知抛物线y =38x 2-34x -3与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ．顶点为D ．（1）求出点A ，B ，D 的坐标；（2）如图①，若线段OB 在x 轴上移动，点O ，B 移动后的对应点为O ′，B ′．首尾顺次连接点O ′、B ′、D 、C 构成四边形O ′B ′DC ，当四边形O ′B ′DC 的周长有最小值时，在第四象限的抛物线上找一点P ，使得△PO ′C 的面积最大，求出此时点P 的坐标；（3）如图②，若点M 是抛物线上一点，点N 在y 轴上，连接CM 、MN ．是否存在一点N ，使△CMN 为等腰直角三角形，若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．10.如图，抛物线y=ax2+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的表达式；（2）直接写出点C的坐标，并求出△ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P 的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时称这样的N点位“美丽点”，问共有多少个“美丽点”？请直接写出当N为“美丽点”时，△CMN的面积．11.在平面直角坐标系中，直线y=1x-2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数2y=1x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．2（1）直接写出：b的值为______；c的值为______；点A的坐标为______；（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标______．12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与x轴相交于A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．13. 如图，已知抛物线y =−x 2−3x +m 经过点C (－2，6)，与x 轴相交于A 、B 两点(A在B 的左侧)，与y 轴交于点D ．(1)求点A 的坐标；(2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE 、AC ，求证：△AEC 是等腰直角三角形;(3)连接AD 交BC 于点F ，试问当−4<x <1时，在抛物线上是否存在一点P 使得以A 、B 、P 为顶点的三角形与△ABF 相似？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14. 已知抛物线C 1：y =-12x 2+mx +m +12．（1）①无论m 取何值，抛物线经过定点P ______ ；②随着m 的取值变化，顶点M （x ，y ）随之变化，y 是x 的函数，则其函数C 2关系式为______ ；（2）如图1，若该抛物线C 1与x 轴仅有一个公共点，请在图1中画出顶点M 满足的函数C 2的大致图象，平行于y 轴的直线l 分别交C 1、C 2于点A 、B ，若△PAB 为等腰直角三角形，判断直线l 满足的条件，并说明理由；（3）如图2，抛物线C 1的顶点M 在第二象限，交x 轴于另一点C ，抛物线上点M 与点P 之间一点D 的横坐标为-2，连接PD 、CD 、CM 、DM ，若S △PCD =S △MCD ，求二次函数的解析式．15.如图，抛物线y=ax2+bx经过A（4，0），B（1，3）两点，点B、C关于抛物线的对称轴l对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，是否存在这样的点M、N，使得以点M为直角顶点的△CNM是等腰直角三角形？若存在，请求出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA＋PC的最小值为________．第10页，共1页。

重庆中考复习25题专题训练一．解答题（共30小题）1．（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2013•新疆）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．3．（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．4．（2013•梧州）如图，抛物线y=a（x﹣h）2+k经过点A（0，1），且顶点坐标为B（1，2），它的对称轴与x轴交于点C．（1）求此抛物线的解析式．（2）在第一象限内的抛物线上求点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形，请求出此时点P的坐标．（3）上述点是否是第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点？若是，请说明理由；若不是，请求出第一象限内此抛物线上与AC距离最远的点的坐标．5．（2013•威海）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为．6．（2013•铜仁地区）如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C 是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．7．（2013•泰安）如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．。

2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是．练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，AF的最小值是．练习：如图：△ABC是等边三角形，AB＝12，E是AC中点，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值为．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF ，连接BE ，则BDE ∆面积的最大值为 .练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD ，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE ，连接BE ，则S △BDE 的最大值为 ．例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，BC ＝2，点D 为线段BC 上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．2020重庆中考数学专题复习----如何用二次函数求几何最值问题二（含答案解析）例1、（2018秋•双流区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，BC＝9，点P是线段AC上的一个动点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值是3．解：如图，过点D作DE⊥AC于E，∵将线段BP绕点P逆时针旋转90°得到线段PD，∴DP＝BP，∠DPB＝90°，∴∠DPE+∠BPC＝90°，且∠BPC+∠PBC＝90°，∴∠DPE＝∠PBC，且DP＝BP，∠DEP＝∠C＝90°，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴DE＝CP，EP＝BC＝9，∵AE+PC＝AC﹣EP＝6，∴AE+DE＝6，设AE＝x，DE=6﹣x，∵AD2＝AE2+DE2，∴AD2＝x 2+（6﹣x）2=2（x﹣3）2+18，当x＝3时，AD有最小值为3，练习：（2013秋•周口校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，则线段AD的最小值等于．解：过D作DE⊥AC于E，∵∠C＝∠DPB＝90°，∴∠DEP＝∠C＝90°，∠EDP+∠DPE＝90°，∠DPE+∠BPC＝90°，∴∠EDP＝∠BPC，在△DEP和△PCB中，，∴△DEP≌△PCB（AAS），∴PE＝BC＝3，DE＝CP，设PC＝x，则AD2＝x2+（2﹣x）2＝2（x﹣1）2+2，∴AD2的最小值是2，∴AD的最小值是，例2、（2017春•江汉区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4，E是AC的中点，D是直线BC上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，当点D 运动时，AF 的最小值是 +1 ．解：作DM ⊥AC 于M ，FN ⊥AC 于N ，如图，设DM ＝x ，在Rt △CDM 中，CM ＝DM ＝x ，而EM +x ＝2，∴EM ＝﹣x +2，∵线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得到线段EF ，∴ED ＝EF ，∠DEF ＝90°，易得△EDM ≌△FEN ，当D 在BC 上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝﹣x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（﹣x +2）2+（2+x ）2＝（x +）2+4+2，此时AF 2没有最小值，当D 在BC 的延长线上时，∴DM ＝EN ＝x ，EM ＝NF ＝x +2，在Rt △AFN 中，AF 2＝（x +2）2+（2﹣x ）2＝（x ﹣）2+4+2， 当x ＝时，AF 2有最小值4+2，∴AF 的最小值为＝+1．练习：如图：△ABC 是等边三角形，AB ＝12，E 是AC 中点，D 是直线BC 上一动点，线段ED 绕点E 逆时针旋转90°，得线段EF ，当点D 运动时，则线段AF 的最小值为 3+3．例3、（2019•无锡八中定时练习六）如图,在△ABC 中，5,45AB AC BC ===，D 为边AB 上一动点面积的最大值为.(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则BDE解：过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4，∴BM＝CM＝2，易证△AMB∽△CGB，∴，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．练习：（2019秋•青山区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D为边AB上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则S△BDE的最大值为．解：作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，∴∠EDN+∠DEN＝90°，∵∠EDC＝90°，∴∠EDN+∠CDM＝90°，∴∠DEN＝∠CDM，在△EDN和△DCM中∴△EDN≌△DCM（AAS），∴EN＝DM，∵∠BAC＝120°，∴∠MAC＝60°，∴∠ACM＝30°，∴AM＝AC＝6＝3，∴BM＝AB+AM＝6+3＝9，设BD＝x，则EN＝DM＝9﹣x，∴S△BDE＝＝（9﹣x）＝﹣（x﹣4.5）2+，∴当BD＝4，5时，S△BDE有最大值为.例4、（2013春•建湖县期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，点D为线段BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF交DE于点P，连接AP，则△ACP的面积的最大值为．解：如图，过点A作AG⊥BC于G，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，BC＝2，∴AG＝BG＝BC＝×2＝1，设BD＝x，则DG＝|x﹣1|，在Rt△ADG中，AD＝＝＝，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，在正方形ADEF中，∠DAF＝90°，AD＝AF，∵∠BAD+∠CAD＝∠BAC＝90°，∠CAF+∠CAD＝∠DAF＝90°，∴∠BAD＝∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴S△APC＝S△ACF﹣S△APF＝S△ABD﹣S△APF，＝x•1﹣AF•AD，＝x﹣AD2，＝x﹣（x2﹣2x+2），＝﹣（x2﹣3x+2），＝﹣（x﹣）2+，∵﹣＜0，∴当x＝时，S有最大值，即BD＝时，△ACP的面积有最大值为．练习：（2018秋•西安期末）如图，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE面积的最大值为．解：作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．。

中考数学二次函数专题训练50题含答案一、单选题1．二次函数y ＝﹣2x 2﹣1图象的顶点坐标为（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（﹣2，1）2．下列函数图象不属于中心对称图形的是（ ） A ．20222023yxB ．220222023yx x C ．2023y =- D ．2022xy =-3．下列关系式中，属于二次函数的是（ ）A ．22y x =-B ．y =C ．31y x =-D ．1y x=4．若抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，则a 的取值范围是（ ） A ．2a <B ．2a >C ．a<0D ．0a >5．已知点1(4)y -，、2(1)y -，、353y ⎛⎫⎪⎝⎭，都在函数245y x x =--+的图象上，则123y y y 、、的大小关系为( )A ．123y y y >>B ．321y y y >>C ．213y y y >>D ．312y y y >> 6．在平面直角坐标系中，将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ） A ．221y x x =-+ B ．221y x x =--- C ．221y x x =-+-D ．221y x x =-++7．已知二次函数2y ax bx c =++的图象经过原点和第一、二、三象限，则（ ） A ．0,0,0a b c >>> B ．0,0,0a b c <<= C ．0,0,0a b c <D ．0,0,0a b c >>=8．二次函数241y mx x =-+有最小值3-，则m 等于（ ） A ．1B ．1-C ．1±D ．12±9．已知点 A （−1，a ），B （1，b ），C （2，c ）是抛物线 y = -2x + 2x 上的三点，则 a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a>c>bB ．b>a>cC ．b>c>aD ．c>a>b10．如图1，在矩形ABCD 中，动点E 从A 出发，沿AB →BC 方向运动，当点E 到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是25，则矩形ABCD的面积是（）A．235B．5C．6D．25411．如图，已知直线x=﹣1是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，则①abc、①a﹣b+c、①a+b+c、①2a﹣b、①3a﹣b，其中是负数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个12．用配方法将二次函数y=x2﹣8x﹣9化为y=a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y=（x﹣4）2+7B．y=（x+4）2+7C．y=（x﹣4）2﹣25D．y=（x+4）2﹣2513．若二次函数y=（x﹣k）2+m，当x≤2时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k=2B．k＞2C．k≥2D．k≤214．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2＋bx＋3＝0的根是（）A．0或4B．1或3C．-1或1D．无实根15．二次函数图像如图所示，下列结论：①0abc >，①20a b +=，①，①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个16．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc ＜0，①3a ﹣b ＝0，①a ＋b ＋c ＝0，①9a ﹣3b ＋c ＜0，①b 2﹣4ac ＞0.其中正确的有（ ）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①17．将抛物线y=2x2向右平移1个单位后，得到的抛物线的表达式是（ ） A ．y=2（x+1）2B ．y=2（x ﹣1）2C ．y=2x2﹣1D ．y=2x2+118．如图为二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，在下列说法中：①ac <0；①2a ﹣b=0；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；①方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，x 2=3；①30a c +=；①对于任意实数m ，2am bm a b +≥+总是成立的．正确的说法有（ ）A ．2B ．3C ．4D ．519．如图是二次函数21y ax bx c =++，反比例函数2my x=在同一直角坐标系的图象，若y 1与y 2交于点A (4，yA )，则下列命题中，假命题是( )A ．当x ＞4时，12y y ＞B ．当1x <-时，12y y ＞C ．当12y y ＜时，0＜x ＜4D ．当12y y ＞时，x ＜020．如图是二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）图象的一部分，对称轴为x =12， 且经过点（2，0），下列结论正确的是（ ）A ．abc ＞0B ．2-4ac<0bC ．a+b=1D ．当x ＞2或x ＜-1时，y ＜0二、填空题21．写出一个函数的表达式，使它满足：①图象经过点(1，1)；①在第一象限内函数y 随自变量x 的增大而减少，则这个函数的表达式为__________． 22．抛物线()269y x =-++的顶点坐标是______． 23．抛物线244y x x =+-的对称轴是直线______． 24．抛物线y ＝－（x －1）2－2的顶点坐标是________．25．二次函数210y ax bx a =+≠-（）的图象经过点（1，1），则代数式1a b --的值为______． 26．将抛物线2yx 向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是______；27．若抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4），则这条抛物线的对称轴是直线____________．28．抛物线 245y x x =-+，当34x -≤≤时，y 的取值范围是___________ 29．已知二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点，则m 的取值范围是______．30．如图，抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，过点B ，C 作一条直线l ． （1）ABC ∠的度数是______；（2）点P 在线段OB 上，且点P 的坐标为()2,0，过点P 作PM x ⊥轴，交直线l 于点N ，交抛物线于点M ，则线段MN 的长为______．31．如图，一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．若P （37，m ）在第13段抛物线C 13上，则m ＝_____．32．二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度后得到的图象的解析式为_____．33．如图，直角梯形OABC 的直角顶点是坐标原点，边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴的正半轴上．OA ①BC ，D 是BC 上一点，BD =14OA AB =3，①OAB =45°，E ，F 分别是线段OA ，AB 上的两个动点，且始终保持①DEF =45°．设OE =x ，AF =y ，则y 与x 的函数关系式为_____．34．已知某抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：那么该抛物线的顶点坐标是_____．35．已知点A(－3，m)在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点的坐标为________．36．若二次函数()22212y x m x m m =-+-+-的图象关于y 轴对称，则m 的值为：________．此函数图象的顶点和它与x 轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.37．二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，且a≠0）中的x 与y 的部分对应值如表下列结论：①ac ＜0； ①当x ＞1时，y 的值随x 值的增大而减小； ①当2x =时，5y =； ①3是方程ax 2+（b ﹣1）x+c=0的一个根. 其中正确的结论是_________（填正确结论的序号）.38．如图所示，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的部分图象，下列结论中：0abc >①； 40a c +>②；③若t 为任意实数，则有2a bt at b -≥+； ④若函数图象经过点()2,1，则311222a b c ++=；⑤当函数图象经过()2,1时，方程210ax bx c ++-=的两根为1x ，212()x x x <，则1228x x -=-．其中正确的结论有______．39．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的动点，且AE ＝BF ＝CG ＝DH ．则四边形EFGH 面积的最小值为___．40．如图，已知二次函数2y x 2x 3=-++的图象与y 轴交于点A ，MN 是该抛物线的对称轴，点P 在射线MN 上，连结PA ，过点A 作AB AP ⊥交x 轴于点B ，过A 作AC MN ⊥于点C ，连结PB ，在点P 的运动过程中，抛物线上存在点Q ，使QAC PBA ∠∠=，则点Q 的横坐标为______．三、解答题41．已知抛物线y =x 2+（b -2）x +c 经过点M （-1，-2b ）． （1）求b +c 的值．（2）若b =4，求这条抛物线的顶点坐标．42．某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种水果每次降价的百分率；（2）从第一次降价的第1天算起，第x 天（x 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x （天）的利润为y （元），求y 与x （1≤x ≤14）之间的函数关系式，并求出第几天时销售利润最大？43．我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“D 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“D 点”根据该约定，完成下列各题．(1)在下列关于x 的函数中，是“D 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“D 函数”的打“×”，my x=（0m ≠）（_______）；31y x =-（_______）；2y x =（_______）．(2)若点A （1，m ）与点B （n ，4-）是关于x 的“D 函数”2y ax bx c =++（0a ≠）的一对“D 点”，且该函数的对称轴始终位于直线1x =的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围；(3)若关于x 的“D 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=；①()()2230c b a c b a +-++<；求该“D 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．44．（1）近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线A 为全程25km 的普通道路，路线B 包含快速通道，全程30km ，走路线B 比走路线A 平均速度提高50%，时间节省6min ，求走路线B 的平均速度；（2）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60m 的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（或坡比）i ＝1：0.75，山坡坡底C 点到坡顶D 点的距离CD ＝50m ，在坡顶D 点处测得居民楼楼顶A 点的仰角为28°，居民楼AB 与山坡CD 的剖面在同一平面内，求居民楼AB 的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣32t2，求在飞机着陆滑行中最后4s滑行的距离．45．已知二次函数222y x x k=-+++与x轴的公共点有两个．求：()1求k的取值范围；()2当1k=时，求抛物线与x轴的公共点A和B的坐标及顶点C的坐标；()3观察图象，当x取何值时0y>？46．如图，抛物线245y x x=-++与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．(1)求出A、B、C三点的坐标；(2)将抛物线245y x x=-++图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y t=恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．①在图像M上找一点P，使得PAB的面积为3，求出点P的坐标；①当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．47．如图，在△ABC 中，AB=4，D 是AB 上的一点（不与点A、B 重合），DE①BC，交AC 于点E.设△ABC 的面积为S，△DEC 的面积为S'.（1）当D是AB中点时，求SS'的值；（2）设AD=x，SS'=y，求y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据y的范围，求S-4S′的最小值．48．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣38x2+34x+3与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．（1）求直线BC的解析式；（2）过P作PM①x轴，交BC于M，当PM﹣CM的值最大时，求P的坐标和PM﹣CM的最大值；（3）如图2，将该抛物线向右平移1个单位，得到新的抛物线y1，过点P作直线BC 的垂线，垂足为E，作y1对称轴的垂线，垂足为F，连接EF，请直接写出当PEF是以PF为腰的等腰三角形时，点P的横坐标．49．如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B．求：（1）点A 、B 的坐标；（2）抛物线的函数表达式；（3）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+BM 的最小值及点M 的坐标； （4）在抛物线对称轴上是否存在点P ，使得以A 、B 、P 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图所示，抛物线2y ax bx c =++的图象过(03)A ，，()10B -，，0(3)C ，三点，顶点为P ．(1)求抛物线的解析式；(2)设点G 在y 轴上，且OGB OAB ACB ∠+∠=∠，求AG 的长；(3)若//AD x 轴且D 在抛物线上，过D 作DE BC ⊥于E ，M 在直线DE 上运动，点N 在x 轴上运动，是否存在这样的点M 、N 使以A 、M 、N 为顶点的三角形与APD △相似若存在，请求出点M 、N 的坐标．参考答案：1．B【分析】根据二次函数的解析式特点可知其图象关于y 轴对称，可得出其顶点坐标．【详解】解：①221y x =-- ,①其图象关于y 轴对称，①其顶点在y 轴上，当0x =时，1y =-，所以顶点坐标为（0，﹣1），故选择：B.【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数y=ax 2+c 的图象关于y 轴对称是解题的关键．2．B【分析】分别根据一次函数图象，二次函数图象，常数函数的图象的对称性分析判断即可得解．【详解】解：A ．直线20222023y x 是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．抛物线220222023y x x 是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．直线2023y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．直线2022x y =-是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，常数函数的图象，熟记各图形以及其对称性是解题的关键．3．A【分析】根据二次函数的定义进行解答即可．【详解】22y x =-符合二次函数的定义，故A 符合题意；y B 不符合题意； 31y x =-是一次函数，故C 不符合题意；1y x=中含自变量的代数式不是整式，不符合二次函数的定义，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式()20y ax bx c a =++≠是解题的关键．4．B【分析】根据抛物线的开口向上，可得20a ->，进而即可求得a 的取值范围．【详解】解：①抛物线2(2)(2)=-≠y a x a 开口向上，①20a ->即2a >故选B【点睛】本题考查了二次函数2y ax =图象的性质，掌握0a >时，抛物线的开口向上是解题的关键．5．C【分析】根据函数解析式求出对称轴，在根据函数的性质求解即可；【详解】解：①245y x x =--+，①函数图像的对称轴是直线422x -=-=--，图象的开口向下， ①当<2x -时，y 随x 的增大而增大， 点353y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，关于对称轴的对称点是⎛⎫- ⎪⎝⎭317,3y ， ①17413-<-<-， ①213y y y >>；故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．6．D【分析】先求出抛物线的顶点坐标，再根据旋转求出旋转后的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出抛物线的解析式即可．【详解】解：①()222112y x x x =+-=+-，①抛物线的顶点坐标为()1,2--，①将抛物线221y x x =+-，绕原点旋转180︒后顶点坐标变为()1,2，1a =-，①旋转后的函数关系式为()221221y x x x =--+=-++．故选：D ．【点睛】本题主要考查了求抛物线的解析式，关于原点对称的两个点的坐标特点，解题的关键是求出旋转后抛物线的顶点坐标和a 的值．7．D【详解】试题分析：由题意得，二次函数经过原点可知，,又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，综合可知，故选D.考点：二次函数的对称轴及开口方向综合问题.8．A【分析】根据二次函数的最值公式列式计算即可得解．【详解】①二次函数241y mx x =-+有最小值3-， ①41634m m-=-， 解得1m =．故选A ．9．C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：①抛物线y =-x 2+2x =-（x -1）2+1，①抛物线y =-x 2+2x 的开口向下，对称轴为直线x =1，而A （-1，a ）离直线x =1的距离最远，B （1，b ）在直线x =1上，①b ＞c ＞a ，故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．10．B【分析】易证△CFE ∽△BEA ，可得CF CE BE AB=，根据二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，列出方程式即可解题．【详解】若点E 在BC 上时，如图∵∠EFC +∠AEB ＝90°，∠FEC +∠EFC ＝90°，∴∠CFE ＝∠AEB ，∵在△CFE 和△BEA 中，90CFE AEB C B ︒∠=∠⎧⎨∠=∠=⎩， ∴△CFE ∽△BEA ，由二次函数图象对称性可得E 在BC 中点时，CF 有最大值，此时CF CE BE AB=，BE ＝CE ＝x ﹣52，即525522x y x -=-， ∴225()52y x =-， 当y ＝25时，代入方程式解得：x 1＝32（舍去），x 2＝72， ∴BE ＝CE ＝1，∴BC ＝2，AB ＝52， ∴矩形ABCD 的面积为2×52＝5； 故选B ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E 为BC 中点是解题的关键．11．B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴，与y 轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.【详解】由抛物线的开口向下可得:a ＜0,根据抛物线的对称轴在y 轴左边可得:a ,b 同号，所以b ＜0,根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c ＞ 0,直线x ＝－1是抛物线y ＝ ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴，所以－b 2a＝－1,可得b ＝2a ,由图知，当x ＝－3时y ＜0,即9a －3b ＋c ＜ 0,所以9a －6a ＋c ＝3a ＋c ＜0,因此①abc ＞0;①a －b ＋c ＝a －2a ＋c ＝c －a ＞ 0;①a ＋b ＋c ＝ a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜ 0;①2a －b ＝2a － 2a ＝ 0;①3a －b ＝3a － 2a ＝ a ＜0所以①①小于0,故负数有2个，故答案选B.【点睛】本题主要考查了结合图形判断抛物线方程的系数，解本题的要点在于熟知抛物线的基本性质.12．C【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案．【详解】y =x 2-8x -9=x 2-8x +16-25=（x -4）2-25．故选C ．【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方是解题关键．13．C【详解】试题分析：根据二次函数的增减性可得：当x≤k 时，y 随x 的增大而减小，则k≥2．考点：二次函数的性质14．B【分析】将（0，2）（3，-1）（4，2）代入到二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，分别求出a 、b 的值，即可求出方程的解.【详解】由题意得：29311642c a b c a b c =⎧⎪++=-⎨⎪++=⎩解得：142a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩①方程230ax bx ++=为2430x x -+=(1)(3)0x x --=解得：121,3x x ==故选B【点睛】本题考查二次函数抛物线与坐标轴的交点以及待定系数法函数解析式和一元二次方程求解，熟练掌握相关知识点是解题关键.15．C【详解】试题分析： ①抛物线开口向上，①0a >，①抛物线对称轴为直线2b x a =-=1，①0b <，①抛物线与y 轴交点在x 轴下方，①0c <，①0abc >，所以①正确； ①2b x a=-=1，即2b a =-，①20a b +=，所以①正确； ①抛物线与x 轴的一个交点为（﹣2，0），而抛物线对称轴为直线x=1，①抛物线与x 轴的另一个交点为（4，0），①当3x =时，0y <，①，所以①错误． ①抛物线与x 轴的两个交点为（﹣2，0），（4，0），①方程20ax bx c ++=的解是-2和4，①①正确；由图像可知：不等式20ax bx c ++>的解集是24-<<x ，①①正确．①正确的答案为：①①①①．故选C ．考点：二次函数图象与系数的关系．16．B【分析】根据二次函数的图像和性质逐一进行判断即可【详解】解：①抛物线开口朝下，①a ＜0，①对称轴x =3-22b a=- ①b =3a ＜0，①3a ﹣b ＝0，故①正确；①抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方，①c ＞0，①abc ＞0，故①错误；①抛物线的对称轴x =3-2，与x 轴的一个交点为（-4，0）， ①抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），①a +b +c =0，故①正确；根据图象知道当x =-3时，y =9a -3b +c ＞0，故①错误；根据图象知道抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac ＞0，故①正确．①正确答案为：①①①．故选：B【点睛】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．17．B【分析】可根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．【详解】二次函数y=2x 2的图象向右平移1个单位，得：y=2（x-1）2，故选B ．【点睛】本题考查了函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．18．D【分析】根据二次函数系数与图像性质，二次函数与方程，二次函数与不等式之间的关系判断每一个结论，从而得出答案．【详解】①由图像可知，抛物线的开口向上，①a ＞0，①抛物线与y 轴的交点为在y 轴的负半轴上，①c ＜0，①ac ＜0，故此选项正确；①由图像可知，对称轴为x=1， ①12b x a=-=， ①-b=2a ，①2a+b=0，故此选项错误；①当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故此选项正确；①由图像可知，方程ax 2+bx+c=0的根是x 1=﹣1，且对称轴为x=1， ①1212x x +=， ①2122(1)3x x =-=--=，故此选项正确；①由①可知，12133c x x a==-⨯=-， 3c a ∴=-，30a c ∴+=，故此选项正确；①由图像可知，抛物线的顶点坐标为(1,)a b c ++，∴当x=1时，二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值a+b+c ，∴2ax bx c a b c ++≥++，当x=m 时，则有2am bm c a b c ++≥++，∴2am bm a b +≥+，故此选项正确；①正确的说法有①①①①①共5个．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、方程、不等式之间的知识点，要掌握如何利用图像上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x=1，x=-1时对应的y 值是解题的关键．19．D【分析】结合图形、利用数形结合思想解答．【详解】由函数图象可知，当x ＞4时，y 1＞y 2，A 是真命题；当x ＜-1时，y 1＞y 2，C 是真命题；当y 1＜y 2时，0＜x ＜4，C 是真命题；y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞4，D 是假命题；故选D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．20．D【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号；根据对称轴求出b=-a ；把x=2代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关. ．【详解】：①二次函数的图象开口向下，①a<0，①二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点，①c>0，①对称轴是直线x=12，①−2b a =12， ①b=−a>0，①abc<0.故A 错误；①抛物线与x 轴有两个交点，①b 2-4ac>0, 故B 错误①b=−a ，①a+b=0，故C 错误；故答案选D【点睛】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系.21．1y x= 【分析】根据反比例函数、一次函数以及二次函数的性质作答． 【详解】解：该题答案不唯一，可以为1y x=等． 故答案为：1y x =． 【点睛】本题考查的是反比例函数、一次函数以及二次函数的性质，熟知函数的增减性是解答此题的关键．22．()6,9-【分析】直接根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【详解】解：()269y x =-++的顶点为()6,9-， 故答案为：()6,9-．【点睛】本题考查了抛物线顶点式解析式的顶点坐标，解题关键是理解抛物线()()20y a x h k a =-+≠的顶点坐标为()h k ，． 23．2x =-【分析】将题目的解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，本题得以解决．【详解】解：①抛物线2244(2)8y x x x =+-=+-，①该抛物线的对称轴是直线2x =-，故答案为：2x =-．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．24．(1，－2)【分析】对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，． 【详解】由y ＝－（x －1）2－2，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为()12-，故答案为：()12-，． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；对于二次函数的顶点式()2y a x h k =-+,顶点坐标为()h k ，，掌握顶点式是解题的关键．25．-1【详解】①二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象经过点(1，1)，①a+b−1=1，①a+b=2，①1−a−b=1−(a+b)=1−2=−1.故答案为-1.26．()22y x =+或244y x x =++【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．【详解】解：①抛物线2y x 向左平移2个单位，①平移后抛物线的解析式为()22y x =+故答案为：()22y x =+【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键． 27．x =3【分析】因为点（1，4），（5，4）的纵坐标都为4，所以可判定是一对对称点，把两点的横坐标代入公式x =122x x +求解即可．【详解】解：抛物线2y ax bx c =++与直线4y =的公共点的坐标是（1，4），（5，4）， ①两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x =1532+=，即x =3． 故答案为：3．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的平行线交点问题．掌握抛物线的性质，会利用关于对称轴对称的两点坐标求对称轴是解题关键．28．126y ≤≤【分析】先化为顶点式，然后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：①2245(2)1y x x x =-+=-+，①抛物线开口向上，对称轴为直线=2x ，函数有最小值1，当3x =-时，26y =，当=4x 时， 5.y =，①当34x -≤≤时，y 的取值范围是126y ≤≤；故答案为：126y ≤≤．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．29．14m >-且0m ≠ 【分析】根据题意可得0m ≠，且判别式0∆>，求解不等式即可．【详解】解：①二次函数21y mx x =+-的图象与x 轴有两个交点①0m ≠，且判别式240b ac ∆=->①14(1)0m ∆=-⨯⨯->，0m ≠ 解得14m >-且0m ≠ 故答案为：14m >-且0m ≠ 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与x 轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键．30． 45°； 2【分析】（1）分别求出A,B,C 的坐标，得到OB OC =，故可求解；（2）先求出直线l 的解析式，再得到M,N 的坐标即可求解．【详解】（1）当0y =时，2230x x --=，解得11x =-，23x =，①点A 在点B 的左侧， ①点A 坐标为()1,0-，点B 坐标为()3,0．当0x =时，=3y -，①点C 坐标为()0,3-，①OB OC =，①=45ABC ∠︒．（2）设直线l 的函数表达式为y kx b =+，根据题意得303k b b +=⎧⎨=-⎩，解得13k b =⎧⎨=-⎩， ①直线l 的函数表达式为3y x =-；当2x =时，31=-=-y x ，①点N 的坐标为2,1；当2x =时，22232433=--=--=-y x x ，①点M 的坐标为()2,3-；①()132=---=MN ．故答案为：45°；2．【点睛】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是求出各点坐标． 31．m=2【分析】根据图像的旋转变化规律及二次函数的平移规律得出平移后的解析式，进而即可求值．【详解】①一段抛物线：y ＝﹣x （x ﹣3）（0≤x≤3），①点O （0,0），A 1（3,0）①将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；如此进行下去，直至得C 13．①C 13的解析式与x 轴的坐标为（36,0）、（39,0）①C 13的解析式为：y ＝﹣（x －36）（x －39）当x ＝37时，m=y ＝﹣1×（﹣2）＝2故答案为：2【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，解题的关键是得出二次函数平移后的解析式．32．y ＝2（x+2）2﹣5【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．【详解】由“左加右减”的原则可知，将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2，即y ＝2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y ＝2（x+2）2向下平移5个单位长度所得抛物线的解析式为：y ＝2（x+2）2﹣5，即y ＝2（x+2）2﹣5．故答案为：y ＝2（x+2）2﹣5．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．33．213y x x =【分析】首先过B 作x 轴的垂线，设垂足为M ，由已知易求得OA Rt①ABM 中，已知①OAB 的度数及AB 的长，即可求出AM 、BM 的长，进而可得到BC 、CD 的长，再连接OD ，证①ODE ①①AEF ，通过得到的比例线段，即可得出y 与x 的函数关系式．【详解】解：过B 作BM ①x 轴于M ．在Rt①ABM 中，①AB =3，①BAM =45°，①AM =BM =2， ①BD =14OA ，OA ∴=，①BC =OA﹣AM =，CD =BC ﹣BD ，①D ，3OD ∴== ． 连接OD ，则点D 在①COA 的平分线上，所以①DOE =①COD =45°．又①在梯形DOAB 中，①BAO =45°，①由三角形外角定理得：①ODE =①DEA ﹣45°，又①AEF =①DEA ﹣45°，①①ODE=①AEF ，①①ODE ①①AEF ，OE OD AF AE∴= 即x y =①y 与x 的解析式为：213y x =-．故答案为：213y x =-．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．34．（1，﹣4）【分析】根据二次函数的对称性求得对称轴，进而根据表格的数据即可得到抛物线的顶点坐标．【详解】①抛物线过点（0，﹣3）和（2，﹣3），①抛物线的对称轴方程为直线x＝022+＝1，①当x＝1时，y＝﹣4，①抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；故答案为（1，﹣4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．35．(－1，7)【详解】先根据抛物线上点的特点求出点A的坐标，再利用抛物线的对称性即可得出答案.解：把点A(－3，m)代y＝x2＋4x＋10得，m＝(-3)2＋4×(-3)＋10=7,①点A(－3，7),①对称轴42 22ba-=-=-，①点A(－3，7)关于对称轴x＝2的对称点坐标为（－1，7）.故答案为（－1，7）.36．11【分析】由图象关于y轴对称可知对称轴为x=0，由此可求解m的值；代入m值后，分别求解抛物线与x 轴的两个交点以及与y 轴的交点，利用三角形面积公式计算三角形面积.【详解】①图象关于y 轴对称，①对称轴为x=0， ①()211022m b m a --=-=-=- 解得m=1，代入原方程得：21y x =-+当y=0时，210x -+=，x=±1，当x=0时，y=1，则S △=2112⨯=. 【点睛】本题考查了二次函数对称轴及其与x 、y 轴的交点.37．①①①．【详解】试题解析：①x =-1时y =-1，x =0时，y =3，x =1时，y =5，①1{35a b c c a b c -+-++＝＝＝，解得1{33a b c -＝＝＝，①y =-x 2+3x +3，①ac =-1×3=-3＜0，故①正确；对称轴为直线x =-33212=⨯-（）， 所以，当x ＞32时，y 的值随x 值的增大而减小，故①错误； 当x =2时，y =-4+4+3=3；故①正确.方程为-x 2+2x +3=0，整理得，x 2-2x -3=0，解得x 1=-1，x 2=3，所以，3是方程ax 2+（b -1）x +c =0的一个根，正确，故①正确.综上所述，结论正确的是①①①．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的增减性，二次函数与不等式，根据表中数据求出二次函数解析式是解题的关键．38．①①①【分析】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及二次函数与一元二次方程的关系综合进行判断即可．【详解】解：由抛物线开口向上，因此0a >， 对称轴是直线12b x a=-=-，因此a 、b 同号，所以0b >， 抛物线与y 轴的交点在负半轴，因此0c <． ，所以0abc <，故①不正确； 由对称轴12b x a=-=-可得2b a =， 由图象可知，当1x =时，0y a b c =++>，即20a a c ++>，30a c ∴+>，又0a >，40a c ∴+>，因此①正确；当=1x -时，y a b c =-+最小值，∴当()1x t t =≠-时，2a b c at bt c -+<++，即2a bt at b -<+，x t ∴=（t 为任意实数）时，有2a bt at b -≤+，因此①不正确；函数图象经过点()2,1，即421a b c ++=，而2b a =，231a b c ∴++=，311222a b c ∴++=， 因此①正确；当函数图象经过()2,1时，方程21ax bx c ++=的两根为1x ，212()x x x <，而对称轴为=1x -， 14x ∴=-，22x =，122448x x ∴-=--=-，因此①正确；综上所述，正确的结论有：①①①，故答案为：①①①．【点睛】本查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标与系数a 、b 、c 的关系以及二次函数与一元二次方程的根的关系是正确判断的前提． 39．8【分析】由已知可证明①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），再证明四边形EFGH 是正方形，设AE ＝x ，则AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，在Rt①EAH 中，由勾股定理得EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，所以S 四边形EFGH ＝EH 2＝2（x ﹣2）2+8，可知当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，【详解】解：设AE ＝x ，则AE ＝BF ＝CG ＝DH ＝x ，①正方形ABCD ，边长为4，①AH ＝DG ＝BE ＝CF ＝4﹣x ，①A =①B =①C =①D =90°①①AHE ①①BEF ①①CFG ①①DGH （SAS ），①①AEH +①BEF ＝90°，①EFB +①GFC ＝90°，①FGC +①HGD ＝90°，①①HEF ＝①EFG ＝①FGH ＝90°，①EF ＝EH ＝HG ＝FG ，①四边形EFGH 是正方形，在Rt ①EAH 中，EH 2＝AE 2+AH 2，即EH 2＝x 2+（4﹣x ）2，①S 四边形EFGH ＝EH 2＝2x 2﹣8x +16＝2（x ﹣2）2+8，当x ＝2时，S 四边形EFGH 有最小值8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.40．53【分析】通过作辅助线，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，先证明AOB 与ACP 相似，得到ABP AOC ∠∠=，再证QDA 与CAO 相似，设出点Q 的坐标，通过相似比即可求出点Q 坐标．【详解】如图，连接CO ，过点Q 作AC 的垂线交AC 延长线于点D ，。