重庆市中考数学专题
1、（一中2019级初三下入学考试）
《见微知著》读到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思维阀门发现新问题、新结论的重要方法。
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思维难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体带入；（4）整体求和等。 例如：11111,1=+++=b
a a
b 求证：
证明：111111=+++=+++=b b b b a ab ab 原式 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到一个蘑菇或者作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题：我们有更多的式子满足以上特征。
阅读材料二： 基本不等式()0,02 b a b a ab +≤
，当且仅当b a =时等号成立，它是解决最值问题的有力工具；
例如：在0 x 的条件下，当x 为何值时，x
x 1+有最小值，最小值是多少？ 解：∵0 x ，01 x ，∴x
x x x 121
⋅≥+，即2121=⋅≥+x x x x ，∴21≥+x x 当且仅当x x 1=，即1=x 时，x x 1+有最小值，最小值为2. 请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知1=ab ，求下列各式的值： ①
=+++221111b a ； ②=+++n n b a 1111 ；
（2）若1=abc ，解方程
.1151515=++++++++c ca cx b bc bx a ab ax
（3）若正数b a 、满足1=ab ，求b
a M 21111+++=
的最小值。
2、（巴蜀2019级初三下开学考试）
材料一：换元法是数学中的重要方法，利用换元法可以从形式上简化式子。在解某些特殊方程时，使用换元法常常可以达到转化与划归的目的。例如在求解一元四次方程,012,0122224=+-==+-t t t x x x 则原方程变为时，令解得,1=t ，从而解得原方程的解为.1±=x
材料二：杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。它呈现了某些特定系数在三角形中的一种有规律的几何排列。下图为杨辉三角形；
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………………………
………………………………
（1）利用换元法解方程：()()
313213222=-++-+x x x x
（2）在杨辉三角形中，按照由上至下、从左到右的顺序观察，设n a 是第n 行的第2个数（其中n ≥4），n b 是第n 行的第三个数，n c 是第（n-1）行的第3个数。请利用换元法因式分解：()14+⋅-n n n c a b
3、（一外2019级初三下开学考试）
我国著名的数学家秦九昭在《数书九章》提出了三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求他的面积用现代式子表示即为：
① ⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=222222241c b a b a S （其中a 、b 、c 为三角形的三边长，S 为面积。） 而另一个文明古国古希腊也有求三角形管面积的海伦公式： ()()()② c p b p a p p S ---=（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，2c b a p ++=
） （1）若已知三角形的三边长分别为5、7、8，请在上述两种公式中选择一种你喜欢的公式，计算该三角形的面积； （2）事实上，“三斜求积术”与海伦公式是等价的，可以由“三斜求积术”直接推导出海伦公式，其部分推导过程如下：
()[] =-+-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣
⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-2
222222222224161241c b a b a c b a b a
请将上述推导过程补充完整：
（3）如图，已知A 、B 是线段MN 上的两点，MN=4，MA=1，MB ＞1，以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设A B=x
，试利用海伦公式求△ABC 的最大面积？
