重庆市中考数学25题

重庆市2022年初中学业水平暨高中招生考试数学试卷（B 卷）（全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；参考公式：抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a=-． 一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂黑．1. 2-的相反数是（ ）A. 2-B. 2C. 12 D. 12- 2. 下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）A B.C. D.3. 如图，直线a b ∥，直线m 与a ，b 相交，若1115∠=︒，则2∠的度数为（ ）A. 115°B. 105°C. 75°D. 65° 4. 如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为.（ ）A. 3时B. 6时C. 9时D. 12时 5. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 是它们的位似中心，且位似比为1∶2，则ABC 与DEF 的周长之比是（ ）A. 1∶2B. 1∶4C. 1∶3D. 1∶9 6. 把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）A. 15B. 13C. 11D. 97. 4的值在（ ）A. 6到7之间B. 5到6之间C. 4到5之间D. 3到4之间8. 学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x ，根据题意，下列方程正确的是（ ）A. 2625(1)400x -=B. 2400(1)625x +=C. 2625400x =D. 2400625x =9. 如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ． E 、F 分别为AC 、BD 上一点，且OE OF =，连接AF ，BE ，EF ．若25AFE ∠=︒，则CBE ∠的度数为（ ）A. 50°B. 55°C. 65°D. 70° 10. 如图，AB 是O 的直径，C 为O 上一点，过点C 的切线与AB 的延长线交于点P，若AC PC ==，则PB 的长为（ ）B. 32C. D. 3 11. 关于x 的分式方程31133x a x x x-++=--的解为正数，且关于y 的不等式组92(2)213y y y a +≤+⎧⎪-⎨>⎪⎩的解集为5y ≥，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A. 13 B. 15 C. 18 D. 20 12. 对多项式x y z m n ----任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：()()x y z m n x y z m n ----=--++，()x y z m n x y z m n ----=--+-，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13. 0|2|(3-+=_________．14. 不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是________．15. 如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，以B 为圆心，BC 的长为半轻画弧，交AD 于点E ．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留π）16. 特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为_________．三、解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）17. 计算：（1）()()(2)x y x y y y +-+-；（2）2244124m m m m m -+⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭-+． 18. 我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a ，高为h 的三角形的面积公式为12S ah =．想法是：以BC 为边作矩形BCFE ，点A 在边FE 上，再过点A 作BC 的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A 作BC 的垂线AD 交BC 于点的D ．（只保留作图痕迹）在ADC 和CFA △中，∵AD BC ⊥，∴90ADC ∠=︒．∵90F ∠=︒，∴______①____．∵EF BC ∥，∴______②_____．又∵____③______．∴ADC CFA △≌△（AAS ）．同理可得：_____④______．11112222ABC ADC ABD ADCF AEBD BCFE S S S S S S ah =+=+== 矩形矩形矩形． 三、解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）19. 在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整理、描述和分析（阅读时长记为x ，67x ≤<，记为6；78x ≤<，记为7；89x ≤<，记为8；…以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，七年级抽取的学生课外阅读时长：6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11， 七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表年级七年级 八年级 平均数8.3 8.3 众数a 9 中位数 8 b8小时及以上所占百分比 75% c根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：=a ______________，b =______________，c =______________．（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上学生人数．（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积极性更高？请说明理由，（写出一条理由即可）20. 反比例函数4y x =的图象如图所示，一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与4y x =的图象交于(,4)A m ，(2,)B n -两点，（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中面出该函数的图象；（2）观察图象，直接写出不等式4kx b x+<解集； （3）一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点C ，连接OA ，求OAC 的面积． 21. 为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙的的施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？22. 湖中小岛上码头C 处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B 点处的快艇和湖岸A 处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C 接该游客，再沿CA 方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C 在A 的北偏东30°方向上，B 在A 的北偏东60°方向上，且B 在C 的正南方向900米处．（1）求湖岸A 与码头C 的距离（结果精确到11.732=）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计） 23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：∵247(247)2471319÷++=÷=，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214(214)2147304÷++=÷= ，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”，a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为()F A ，最小的两位数记为()G A ，若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．是（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，交AB 于点M ，求65PM AM +的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P '与点P 关于抛物线234y x bx c =-++的对称轴对称．将抛物线234y x bx c =-++向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P '、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．25. 在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC ==D 为BC 的中点，E ，F 分别为AC ，AD 上任意一点，连接EF ，将线段EF 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EG ，连接FG ，AG ．（1）如图1，点E 与点C 重合，且GF 的延长线过点B ，若点P 为FG 的中点，连接PD ，求PD 的长；（2）如图2，EF 的延长线交AB 于点M ，点N 在AC 上，AGN AEG ∠=∠且GN MF =，求证：AM AF +=；（3）如图3，F 为线段AD 上一动点，E 为AC 的中点，连接BE ，H 为直线BC 上一动点，连接EH ，将BEH △沿EH 翻折至ABC 所在平面内，得到B EH '△，连接B G '，直接写出线段B G '的长度的最小值。

中考题号复习：25题 新定义题型射影1. 如图所示，在平面内有一线段AB ，分别过A 点，B 点向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，我们把线段CD 称之为线段AB 在x 轴上的射影，线段CD 的长称之为线段AB 在x 轴上的射影长.（1）双曲线x y 4=上有两点A 、B ，A(m ，4)，B(n ，1)，求AB 在x 轴上 的射影长；（2）直线a x y +=21的图像上有两点A 、B ，AB 在x 轴上的射影长为4， 求AB 的长；（3）已知抛物线c bx ax y ++=2和直线bx y -=，其中c b a 、、满足 c b a >>，抛物线过点(1，0)，且与直线相交于A 、B 两点，求线段AB 在x 轴上的射影长CD 的取值范围.限变点若⎩⎨⎧<-≥=1,1,'a b a b b ，则点Q 为点P 的限变点，例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）.（1）①点（1,3）的限变点的坐标是 ；②在点A （-2，-1），B （-1，2）中有一个点是函数y=x2的图像上某一个点的有限变点，这个点是 ；（2）若点P 在函数y=-x+3（2,2->≤≤-k k x ）的图像上，其限变点Q 的坐标'b 的取值范围是25'≤≤-b ，求k 的取值范围；(3)若点P 在关于x 的二次函数t t tx x y ++-=222的图像上，其限变点Q 的纵坐标'b 的取值范围是，求令其中或n -m s ,m ,b ''=><≥n n m b s 关于t 的函数解析式及s 的取值范围.联姻函数3. 定义若存在实数对坐标（x ，y ）同时满足一次函数y=px+q 和反比例函数y=x k，则二次函数y=k qx px -+2为一次函数与反比例函数的“联姻”函数．（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数y=-x+3和反比例函数y=x 2是否存在“联姻”函数，若存在，写出它们的“联姻”函数和实数对坐标；（2）已知：整数m ，n ，t 满足条件t<n<8m,并且一次函数y=（1+n ）x+2m+2与反比例函数xy 2015=存在“联姻”函数2015)10()(2--++=x t m x t m y ,求m 的值； （3）若同时存在两组实数对坐标),(11y x 和),(22y x 使一次函数y=ax+2b 和反比例函数x c y =为“联姻”函数，其中a>b>c,a+b+c=0，设L=| x1－x2 |,求L 的取值范围．和谐点4. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标都相等，则称点P 为和谐点．例如点（1，1），（21-，21-）（2-，2-）……都是和谐点． （1）分别判断函数23+-=x y 的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；（2）若二次函数)0(242≠-+=a x ax y 的图象经过和谐点（2，2），且当m x ≤≤0时，函数（3）直线3:+=kx y l 经过和谐点P ，与x 轴交于点D ，与反比例函数x n y G =:的图象交于N M ,两点（点M 在点N 的左侧），若点P 的横坐标为23，且24＜DN DM +，求n 的取值范围．梦之点5. 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点称为“梦之点”．例如点)1,1(--，)0,0(，)2,2(，…都是“梦之点”．显然，这样的“梦之点”有无数个．（1）若点P （2，m ）是反比例函数n y x =（n 为常数，n ≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数31y kx s =+-（k ，s 是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，说明理由；（3）若二次函数21y ax bx =++（a ，b 是常数，a ＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”157值范围．定义域、值域、区间6. 定义：自变量为x 的某个函数记为)(x f ，当自变量x 取某个实数0x 时的函数值记为)(0x f ，自变量x 的取值范围称为函数的定义域，定义域内的自变量x 对应的所有函数值的集合称为函数的值域．若b a ,是任意两个不相等的实数，我们规定：满足不等式b x a ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，记为[]b a ,．(1)设反比例函数)0()(＞k xk x f =的定义域是[]6,3，值域为[]a ,2，求a k ,的值； (2)一次函数)0()(≠+=k b kx x f 的定义域是[]1,3-，值域为[]9,5，求函数的解析式；(3)是否存在这样的c b ,，使得二次函数c bx x x f ++=2)(的定义域是[]2,4-，值域为[]10,6，若存在，求出c b ,的值；若不存在，说明理由．相反点7. 已知y 是关于x 的函数，若其图象经过点),(t t P -，则称点P 为函数图象上的“相反点”．例如：直线32-=x y 上存在“相反点”)1,1(-P ．(1)在双曲线x y 1-=上是否存在“相反点”？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，说明理由；(2)若抛物线192)132(2122+---+-=a a x a x y 上有“相反点”，且与直线x y -=相交于点),(11y x A 和),(22y x B ，求2221x x +的最小值；(3)若函数2)1(412-++--+=k m x k n x y 的图象上存在唯一的一个“相反点”，且当21≤≤-n 时，m 的最小值为k ，求k 的值．美丽抛物线8. 已知如图，直线b x y l +=31:，经过点)41,0(M ，一组抛物线的顶点),1(11y B ，),2(22y B ，),3(33y B ……),(n n y n B (n 为正整数)依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：)0,(11x A ，)0,(22x A ，)0,(33x A ……)0,(11++n n x A ，设)10(1＜＜x d x =． (1)求b 的值；(2)设过211,,A B A 三点的二次函数的表达式为n m x a y ++=2)(，求此表达式(用含d 的代数式表示);(3)定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为“美丽抛物线”．探究：当)10(＜＜x d 的大小变化时，这组抛物线是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 值．特征数9. 定义：任何一个一次函数q px y +=，取出它的一次项系数p 和常数项q ，有序数组[]q p ,为其特征数．例如：52+=x y 的特征数是[]5,2，同理，[]c b a ,,为二次函数c bx ax y ++=2的特征数．(1)若特征数是[]1,2+m 的一次函数为正比例函数，求m 的值；(2)以y 轴为对称轴的二次函数c bx ax y ++=2的图象经过),2(m A 、)1,(n B 两点(其中0＞m ，0＜n )，连接AB OB OA ,,,得到OB OA ⊥，10=∆AOB S ，求二次函数c bx ax y ++=2的特征数．伴随函数10. 如果把y 是以x 为自变量的函数，记作为)(x f y =，给出如下定义：对自变量取值范围的任意实数t ，当自变量x 满足1+≤≤t x t 时，函数)(x f y =的最大值为t M ，最小值为t m ，t M -t m 是以t 为自变量的函数，记作t t m M t g -=)(，我们把函数t t m M t g -=)(称为函数)(x f y =的“伴随函数”．(1)函数53+-=x y 的“伴随函数”为)(t g = ；(2)已知函数)40(42≤≤-=x x x y ，求出函数y 的“伴随函数”的表达式；(3)当函数b x y +=的图象与)40(42≤≤-=x x x y 的“伴随函数”的图象恰好只有两个公共点，求b 的取值范围．。

2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四个数中，最小的数是（）A．2-B．0C．3D．1 2 -2．下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．3．已知点()3,2-在反比例函数()0ky k x=≠的图象上，则k 的值为（ ）A ．3-B ．3C ． 6-D ．64．如图，AB CD ∥，165∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．105︒B ．115︒C ．125︒D ．135︒【答案】B【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据平行线的性质得3165∠=∠=︒，由邻补角性质得23180∠+∠=︒，然后求解即可，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．【详解】解：如图，∵AB CD ∥，∴3165∠=∠=︒，∵23180∠+∠=︒，∴2115∠=︒，故选：B ．5．若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（ ）A ．1:3B ．1:4C ．1:6D ．1:9【答案】D【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可．【详解】解：两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是1:9，故选：D ．6．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】B【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可．【详解】解：由图可得，第1种如图①有4个氢原子，即2214+⨯=第2种如图②有6个氢原子，即2226+⨯=第3种如图③有8个氢原子，即2238+⨯=⋯，∴第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：221022+⨯=；故选：B ．7．已知m =m 的范围是（ ）A ．23m <<B ．34m <<C ．45m <<D ．56m <<8．如图，在矩形ABCD 中，分别以点A 和C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．328π-B ．4π-C ．324π-D ．8π-根据题意可得2AC AD =∵矩形ABCD ，∴AD BC =在Rt ABC △中，AB =9．如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FGC E的值为（ ）AB C D 由旋转得,90EA EF AEF =∠=︒，∵四边形ABCD 是正方形，∴90D Ð=°，DC AB ∥，DA =∴D H ∠=∠，10．已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得04n ≤≤，再分类讨论得到答案即可．【详解】解：∵10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ，∴04n ≤≤，当4n =时，则2104345a a a a a +++++=，∴41a =，23100a a a a ====，满足条件的整式有4x ，当3n =时，则210335a a a a ++++=，∴()()3210,,,2,0,0,0a a a a =，()1,1,0,0，()1,0,1,0，()1,0,0,1，满足条件的整式有：32x ，32x x +，3x x +，31x +，当2n =时，则21025a a a +++=，∴()()210,,3,0,0a a a =，()2,1,0，()2,0,1，()1,2,0，()1,0,2，()1,1,1，满足条件的整式有：23x ，22x x +，221x +，22x x +，22x +，21x x ++；当1n =时，则1015a a ++=，∴()()10,4,0a a =，()3,1，()1,3，()2,2，满足条件的整式有：4x ，31x +，3x +，22x +；当0n =时，005a +=，满足条件的整式有：5；∴满足条件的单项式有：4x ，32x ，23x ，4x ，5，故①符合题意；不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；故②符合题意；满足条件的整式M 共有1464116++++=个．故③符合题意；故选D二、填空题11．计算：011(3)(2π--+＝ ．12．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．【答案】9【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．故答案为：9．13．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B 的概率为 ．由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点∴甲、乙两人同时选择景点B 的的概率为19，故答案为：19．14．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．【答案】10%【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x ，然后根据题意可列方程进行求解．【详解】解：设平均增长率为x ，由题意得：()240148.4x +=，解得：10.110%x ==，2 2.1x =-（不符合题意，舍去）；故答案为：10%．15．如图，在ABC 中，延长AC 至点D ，使CD CA =，过点D 作DE CB ∥，且DE DC =，连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠，1CF =，则BF = ．【答案】3【分析】先根据平行线分线段成比例证AF EF =，进而得22DE CD AC CF ====，4AD =，再证明CAB DEA ≌，得4BC AD ==，从而即可得解．16．若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y-=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为 ．17．如图，以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点D 、E 均在O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与O 交于点G ，连接DG ．若10,8AB DE ==，则AF = ．DG = ．∵以AB 为直径的O 与AC ∴AB AC ⊥，∴90CAB ∠=︒，∵四边形ACDE 为平行四边形，∴∥D E A C ，8AC DE ==，18．我们规定：若一个正整数A 能写成2m n -，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A 为“方减数”，并把A 分解成2m n -的过程，称为“方减分解”．例如：因为26022523=-，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是 ．把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即2A m n =-，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），则满足条件的正整数A 为 ．三、解答题19．计算：(1)()()22x x y x y -++；(2)22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+．20．为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b 众数a 79根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中=a ______，b =______，m =______；(2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？【答案】(1)86，87.5，40；(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；(3)该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．【分析】（1）根据表格及题意可直接进行求解；（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；（3）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解；本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键．【详解】（1）根据七年级学生竞赛成绩可知：86出现次数最多，则众数为86，八年级竞赛成绩中A 组：2010%2⨯=（人），B 组：2020%4⨯=（人），21．在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：(1)如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点．用尺规过点O作AC的垂线，分别交AB，CD于点E，F，连接AF，CE．（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：矩形ABCD，点E，F分别在AB，CD上，EF经过对角线AC的中点O，且⊥．求证：四边形AECF是菱形．EF AC证明：∵四边形ABCD是矩形，．∴AB CD∠=∠．∴①，OCF OAE∵点O是AC的中点，∴②．∴CFO AEO≅△△（AAS）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．【答案】(1)见解析(2)①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图：（1）根据垂线的尺规作图方法作图即可；（2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠，进而证明()AAS CFO AEO ≌，得到OF OE =，即可证明四边形AECF 是平行四边形．再由EF AC ⊥，即可证明四边形AECF 是菱形．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．猜想：过平行四边形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与平行四边形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形；证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD ．∴OFC OEA ∠=∠，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴OA OC =．∴()AAS CFO AEO ≌．∴OF OE =．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．故答案为：①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形．22．为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．(1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？(2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；(2)需要更新设备费用为1330万元23．如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 的长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．(1)请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；(3)结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）（3）解：由函数图象可知，当12y y >时x 的取值范围2.26x <≤．24．如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向的C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港． 1.41≈ 1.73≈，2.45≈）(1)求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．∴90AEB CEB ∠=∠=︒，由题意可知：45GAB ∠=︒，∴45BAE ∠=︒，∴cos 40cos AE AB BAE =∠=⨯∴tan 202tan CE BE EBC =∠=25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-，与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点（A 在B 的左侧），连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点，MN y ⊥轴，垂足为N ，点F 为线段BC 的中点，连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时，求AM MN NF ++的最小值；(3)将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D ，且与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QDK ACB ∠∠=时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．∴()4,0A -，设直线AC 的解析式为y =代入()4,0A -，得04m =-解得1m =，∴直线AC 的解析式为y =()当0y =时，046x =--，解得32x =-，∴3,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭∵()4,0A -，()0,4C ，∴OA OC =，∴45OAC OCA ∠=∠=︒，∵DR x ∥轴，26．在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG 的值．∵EFD BAC ∠∠=，BAC ∠∴60EFD ∠=︒∵1EFD BAD ∠=∠+∠=∠∴160α∠=︒-，∵,AB AC EFD BAC =∠=∠∴=45ABC ∠︒，由轴对称知EAB ∠=∠试题31设BAD BAE β∠=∠=，∴90DAC GAF ∠=∠=︒∴GAE EAF GAF ∠=∠-∠∵GE GA =，。

重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．1. 下列四个数中，最小的数是（ ）A. 2-B. 0C. 3D. 12-2. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ）A. B.C. D.3. 已知点()3,2-在反比例函数()0k y k x =≠的图象上，则k 的值为（ ）A. 3- B. 3 C. 6- D. 64. 如图，AB CD ∥，165∠=︒，则2∠的度数是（）A. 105︒B. 115︒C. 125︒D. 135︒5. 若两个相似三角形的相似比是1:3，则这两个相似三角形的面积比是（ ）A. 1:3B. 1:4C. 1:6D. 1:96. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ）A. 20B. 22C. 24D. 267. 已知m =，则实数m 的范围是（ ）A. 23m << B. 34m << C. 45m << D. 56m <<8. 如图，在矩形ABCD 中，分别以点A 和C 为圆心，AD 长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点．若4=AD ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 328π- B. 4πC. 324π-D. 8π9. 如图，在正方形ABCD 的边CD 上有一点E ，连接AE ，把AE 绕点E 逆时针旋转90︒，得到FE ，连接CF 并延长与AB 的延长线交于点G ．则FG C E的值为（ ）A.B.C.D. 10. 已知整式1110:n n n n M a x a x a x a --++++ ，其中10,,,n n a a - 为自然数，n a 为正整数，且1105n n n a a a a -+++++= ．下列说法：①满足条件的整式M 中有5个单项式；②不存在任何一个n ，使得满足条件的整式M 有且只有3个；③满足条件的整式M 共有16个．其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．11. 计算：011(3)()2π--+＝_____．12. 如果一个多边形的每一个外角都是40︒，那么这个多边形的边数为______．13. 重庆是一座魔幻都市，有着丰富旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A 、B 、C 三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B 的概率为_____．14. 随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是______．15. 如图，在ABC 中，延长AC 至点D ，使CD CA =，过点D 作DE CB ∥，且DE DC =，连接AE 交BC 于点F ．若CAB CFA ∠=∠，1CF =，则BF =______．16. 若关于x 的不等式组()411321x x x x a -⎧<+⎪⎨⎪+≥-+⎩至少有2个整数解，且关于y 的分式方程13211a y y -=---的解为非负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和为______．的17. 如图，以AB 为直径的O 与AC 相切于点A ，以AC 为边作平行四边形ACDE ，点D 、E 均在O 上，DE 与AB 交于点F ，连接CE ，与O 交于点G ，连接DG ．若10,8AB DE ==，则AF =______．DG =______．18. 我们规定：若一个正整数A 能写成2m n -，其中m 与n 都是两位数，且m 与n 的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A 为“方减数”，并把A 分解成2m n -的过程，称为“方减分解”．例如：因为26022523=-，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成26022523=-的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是______．把一个“方减数”A 进行“方减分解”，即2A m n =-，将m 放在n 的左边组成一个新的四位数B ，若B 除以19余数为1，且22m n k +=（k 为整数），则满足条件的正整数A 为______．三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．19. 计算：（1）()()22x x y x y -++；（2）22111a a a a -⎛⎫+÷ ⎪+⎝⎭．20. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．6070x <≤；B ．7080x <≤；C ．8090x <≤；D ．90100x <≤），下面给出了部分信息：七年级20名学生的竞赛成绩为：66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.八年级20名学生的竞赛成绩在C 组的数据是：81，82，84，87，88，89．七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8585中位数86b 众数a79根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中=a ______，b ______，m =______；（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀()90x >的学生人数是多少？21. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：（1）如图，在矩形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点．用尺规过点O 作AC 的垂线，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接AF ，CE ．（不写作法，保留作图痕迹）（2）已知：矩形ABCD ，点E ，F 分别在AB ，CD 上，EF 经过对角线AC 的中点O ，且EF AC ⊥．求证：四边形AECF 是菱形．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ．∴①，OCF OAE ∠=∠．∵点O 是AC 的中点，∴②．∴CFO AEO ≅△△（AAS ）．∴③．又∵OA OC =，∴四边形AECF 是平行四边形．∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形．进一步思考，如果四边形ABCD 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．22. 为促进新质生产力发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代．（1）为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得31条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？（2）经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？23. 如图，在ABC 中，6AB =，8BC =，点P 为AB 上一点，过点P 作PQ BC ∥交AC 于点Q ．设AP 长度为x ，点P ，Q 的距离为1y ，ABC 的周长与APQ △的周长之比为2y ．的的（1）请直接写出1y ，2y 分别关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数1y ，2y 的图象；请分别写出函数1y ，2y 的一条性质；（3）结合函数图象，直接写出12y y >时x 的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）24. 如图，甲、乙两艘货轮同时从A 港出发，分别向B ，D 两港运送物资，最后到达A 港正东方向C 港装运新的物资．甲货轮沿A 港的东南方向航行40海里后到达B 港，再沿北偏东60︒方向航行一定距离到达C 港．乙货轮沿A 港的北偏东60︒方向航行一定距离到达D 港，再沿南偏东30︒方向航行一定距离到达C 港．1.41≈1.73≈2.45≈）（1）求A ，C 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B 、D 两港的时间相同），哪艘货轮先到达C 港？请通过计算说明．25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =++≠经过点()1,6-，与y 轴交于点C ，与x 轴交于A B ，两点（A 在B 左侧），连接tan 4AC BC CBA ∠=，，．（1）求抛物线的表达式；（2）点P 是射线CA 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE x ⊥轴，垂足为E ，交AC 于点D ．点M 是线段DE 上一动点，MN y ⊥轴，垂足为N ，点F 为线段BC 的中点，连接AM NF ，．当线段PD 长度取得最大值时，求AM MN NF ++的最小值；（3）将该抛物线沿射线CA 方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段PD 长度取得最大值时的点D ，且的的与直线AC 相交于另一点K ．点Q 为新抛物线上的一个动点，当QDK ACB ∠∠=时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标．26. 在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．（1）如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；（2）如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG 的值．重庆市2024年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）（全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项；3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B 铅笔完成；4.考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，对称轴为2b x a =-．一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】B【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】D【9题答案】【答案】A【10题答案】【答案】D二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．【11题答案】【答案】3【12题答案】【答案】9【13题答案】【答案】19【14题答案】【答案】10%【15题答案】【答案】3【16题答案】【答案】16【17题答案】【答案】 ①. 8 ②. 【18题答案】【答案】 ①. 82 ②. 4564三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余每小题10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．【19题答案】【答案】（1）222x y +；（2）11a a +-．【20题答案】【答案】（1）86，87.5，40；第11页/共11页（2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；（3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人．【21题答案】【答案】（1）见解析 （2）①OFC OEA ∠=∠；②OA OC =；③OF OE =；④四边形AECF 是菱形【22题答案】【答案】（1）该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条；（2）需要更新设备费用为1330万元【23题答案】【答案】（1）()()124606063y x x y x x=<≤=<≤， （2）函数图象见解析，1y 随x 增大而增大，2y 随x 增大而减小（3）2.26x <≤【24题答案】【答案】（1）A ，C 两港之间的距离77.2海里；（2）甲货轮先到达C 港．【25题答案】【答案】（1）234y x x =--+；（2）AM MN NF ++2+； （3）符合条件的点Q 的坐标为()1,2--或1943,416⎛⎫-⎪⎝⎭．【26题答案】【答案】（1）60α︒+（2）CG = （3。

第二讲 平行四边形的存在性例1、（2022•重庆A ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++=221与直线AB 交于点A （0，4-），B （4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线AB 下方抛物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC+PD 的最大值及此时点P 的坐标；（3）在（2）中PC+PD 取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．练习1、（2022•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线c bx x y ++-=243与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ⊥x 轴于点Q ，交AB 于点M ，求PM+56AM 的最大值及此时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，点P′与点P 关于抛物线c bx x y ++-=243的对称轴对称．将抛物线c bx x y ++-=243向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P′、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．练习2、如图1，抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与x 轴交于A （4-，0），B （1，0）两点，交y 轴于点C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P 为直线AC 上方且抛物线对称轴左侧的抛物线上一点，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点P 作y 轴的平行线交AC 于点H ，求PD+PH 的最大值及此时点P 的坐标；（3）把抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 向右平移23个单位，再向上平移165个单位得新抛物线，在新抛物线对称轴上找一点M ，在新抛物线上找一点N ，直接写出所有使得以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形的点M 的坐标，并把求其中一个点M 的坐标的过程写出来．练习3、（选讲）在平面直角坐标系中，抛物线)0(32≠++=a bx ax y 与x 轴的交点为A(1-，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接AC ，BC ，P 是第一象限内抛物线上一动点，过点P 作PT ⊥x 轴交BC 于点T ，过点P 作PR//AC 与BC 交于点R ．求△PRT 的周长的最大值以及此时点P 的坐标；（3）如图2，将抛物线沿CA 方向平移，使得新抛物线'y 刚好经过点A ，设M 为新抛物线上一点，N 为原抛物线对称轴上一点，当点B ，C ，M ，N 组成的四边形为平行四边形时，直接写出点N 的纵坐标．自我巩固1、（2021•重庆B ）如图，在平面直角坐标系中，抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 与x 轴交于点A （1-，0），B （4，0），与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l 为该抛物线的对称轴，点D 与点C 关于直线l 对称，点P 为直线AD 下方抛物线上一动点，连接PA ，PD ，求⊥PAD 面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线)0(42≠-+=a bx ax y 沿射线AD 平移24个单位，得到新的抛物线1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，在1y 上确定一点G ，使得以点D ，E ，F ，G 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．。

24．（2012•重庆）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．五、解答题：（本大题2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡（卷）中对应的位置上．25．（2012•重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）26．（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC 交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．24．（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．25．解答：解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：y1=，将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，故y1=（1≤x≤6，且x取整数）；根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入得：，解得：，故y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）；（2）当1≤x≤6，且x取整数时：W=y1•x1+（12000﹣y1）•x2=•x+（12000﹣）•（x﹣x2），=﹣1000x2+10000x﹣3000，∵a=﹣1000＜0，x=﹣=5，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元），当7≤x≤12时，且x取整数时，W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000），=﹣x2+1900，∵a=﹣＜0，x=﹣=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元），∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元；（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5×[1+（a﹣30）%]×（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：t=，∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去），∴a≈57，答：a的值是57．26．解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，即，解得：x=2，即BE=2；（2）存在满足条件的t，理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，则BH=AD=2，DH=AB=3，由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，∵ME=2﹣t，∴FM=t，当0≤t≤时，S=S△FMN=×t×t=t2，②当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=，∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，∴t=，∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，∵GN=GB′﹣B′N=t﹣1，∴当2＜t≤时，S=S梯形GNMF﹣S△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+2t ﹣，④如图⑥，当＜t≤4时，∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B′C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL﹣S梯形B′EMN=﹣t+．综上所述：当0≤t≤时，S=t2，当＜t≤2时，S=﹣t2+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t2+2t﹣，当＜t≤4时，S=﹣t+．。

2022年重庆市中考数学试卷和答案解析（A卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．（4分）5的相反数是（）A．﹣5B．5C．﹣D．2．（4分）下列图形是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度数为（）A．40°B．50°C．130°D．150°4．（4分）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（）A．5m B．7m C．10m D．13m 5．（4分）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（）A．4B．6C．9D．166．（4分）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．417．（4分）估计×（2+）的值应在（）A．10和11之间B．9和10之间C．8和9之间D．7和8之间8．（4分）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．200（1+x）2＝242B．200（1﹣x）2＝242C．200（1+2x）＝242D．200（1﹣2x）＝2429．（4分）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（）A．45°B．60°C．67.5°D．77.5°10．（4分）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC ＝3，则AB的长度是（）A．3B．4C．3D．411．（4分）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程＝﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣26B．﹣24C．﹣15D．﹣13 12．（4分）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z ﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．其中正确的个数是（）A．0B．1C．2D．3二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．（4分）计算：|﹣4|+（3﹣π）0＝．14．（4分）有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的字母相同的概率是．15．（4分）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为．（结果不取近似值）16．（4分）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为．三、参考答案题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）参考答案时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将参考答案过程书写在答题卡中对应的位置上．17．（8分）计算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）（﹣1）÷．18．（8分）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD 中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴①∵AD∥BC，∴②又③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．四、参考答案题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）参考答案时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将参考答案过程书写在对应的位置上．19．（10分）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，参考答案下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B 型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．20．（10分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC 的面积．21．（10分）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．22．（10分）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（10分）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ25．（10分）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF 的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC 所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．参考答案与解析一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．1．【参考答案】解：5的相反数是﹣5，故选：A．【解析】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义与倒数的意义混淆．2．【参考答案】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【解析】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．【参考答案】解：∵AB∥CD，∴∠1+∠C＝180°，∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．故选：C．【解析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．4．【参考答案】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，故选：D．【解析】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞行的最高高度是解题的关键．5．【参考答案】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．∴C△ABC：C△DEF＝2：3，∵△ABC的周长为4，∴△DEF的周长是6，故选：B．【解析】本题考查位似变换，参考答案本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．6．【参考答案】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，…，第n个图案中有4n+1个正方形，∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，故选：C．【解析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n 个图形中有4n+1个正方形是解题的关键．7．【参考答案】解：原式＝+＝6+，∵9＜15＜16，∴3＜＜4，∴9＜6+＜10．故选：B．【解析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考查了算术平方根．8．【参考答案】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，故选：A．【解析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．9．【参考答案】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，在△DAF和△ABE中，，△DAF≌△ABE（SAS），∠ADF＝∠BAE，∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，∴∠ADF＝22.5°，∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，故选：C．【解析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，参考答案本题的关键是求出∠ADF的度数．10．【参考答案】解：如图，连接OB，∵AB是⊙O的切线，B为切点，∴OB⊥AB，∴AB2＝OA2﹣OB2，∵OB和OD是半径，∴∠D＝∠OBD，∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠D＝∠OBD，∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，∴OD：BD＝BD：AD，∴BD2＝OD•AD，即OA2﹣OB2＝OD•AD，设OD＝x，∵AC＝3，∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），∴OA＝6，OB＝3，∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，∴AB＝3，故选：C．【解析】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出△OBD∽△BAD是解题关键．11．【参考答案】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x≤﹣2，∴＞﹣2，∴a＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y是负整数且y≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D．【解析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键．12．【参考答案】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，故①正确；②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；故②正确；③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两种运算，∴2×2×2＝8种，所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．故选：D．【解析】本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键．二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．13．【参考答案】解：原式＝4+1＝5．故答案为：5．【解析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．14．【参考答案】解：根据题意列表如下：A B CA AA BA CAB AB BB CBC AC BC CC共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为＝，故答案为：．【解析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【参考答案】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，∴BO＝AB＝1，AO＝AB＝，∴AC＝2OA＝2，BD＝2BO＝2，∴S菱形ABCD＝AC•BD＝2，∴S阴影部分＝S菱形ABCD﹣2S扇形ADE＝2﹣＝，故答案为：．【解析】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性质是正确参考答案的前提．16．【参考答案】解：根据题意，如表格所设：香樟数量红枫数量总量甲4x5y﹣4x5y乙3x6y﹣3x6y丙9x7y﹣9x7y∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，∴，∴y＝2x，故数量可如下表：香樟数量红枫数量总量甲4x6x10x乙3x9x12x丙9x5x14x所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，设香樟的预算单价为a，红枫的预算单价为b，由题意得，[16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x •b，∴12a+25b＝16a+20b，∴4a＝5b，设a＝5k，b＝4k，∴＝，故答案为：．【解析】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．三、参考答案题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）参考答案时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将参考答案过程书写在答题卡中对应的位置上．17．【参考答案】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x＝2x2+4；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝．【解析】本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．18．【参考答案】解：根据题意作图如下：由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．【解析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．四、参考答案题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）参考答案时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将参考答案过程书写在对应的位置上．19．【参考答案】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，∴众数a＝95，10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，∴b＝90，故答案为：95，90，20；（2）该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%＝900（台）；（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．【解析】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．20．【参考答案】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），∴，n＝，解得m＝4，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝2x+2，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）由题意作图如下：由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，∴S△ABC＝＝12．【解析】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．21．【参考答案】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，依题意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，依题意得：﹣＝，解得：y＝15，经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲骑行的速度为18千米/时．【解析】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．22．【参考答案】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．【解析】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三角形三边的关系．23．【参考答案】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，∴2022 不是“勾股和数”，∵52+52＝50，∴5055 是“勾股和数”；（2）∵M为“勾股和数”，∴10a+b＝c2+d2，∴0＜c2+d2＜100，∵G（M）为整数，为整数，∴c+d＝9，∴P（M）＝＝为整数，∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，∴cd为3的倍数．∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．【解析】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．24．【参考答案】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c 得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：，解得，∴直线AB解析式为y＝x﹣4，设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PC+PD取最大值，此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，∴P（，﹣）；答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，∴，解得r＝，∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，∴N（，）；②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．【解析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度．25．【参考答案】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．（3）由（2）可知∠BFC＝120°，∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，此时tan∠APK＝＝，∴∠HPK＞45°，∵QK⊥PF，∴∠PKH＝∠QKH＝45°，如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，∵S△PHK＝•PK•HL＝•KH•PJ，∴PQ＝2PJ＝2×＝2+∴＝＝．【解析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，属于中考压轴题．。

专题25 命题与证明一、单选题1．（2021·河南九年级）能说明命题“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题的反例为（ ）A ．2n =-B ．1n =-C ．0n =D ． 6.8n =【答案】D【分析】计算一元二次方程根的判别式即可【详解】依题意“关于x 的方程240x x n -+=一定有实根”是假命题则：2(4)40n ∆=--< 解得：4n >故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，命题与假命题的概念，熟悉概念是解题的关键．2．（2021·沙坪坝区·重庆八中）下列命题，真命题是（ ）A ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B ．有一个角为直角的四边形为矩形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．一组邻边相等的矩形是正方形【答案】D【分析】由题意根据平行四边形的判定定理、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，本选项说法是假命题；B 、有一个角为直角的平行四边形为矩形，本选项说法是假命题；C 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，本选项说法是假命题；D 、一组邻边相等的矩形是正方形，本选项说法是真命题；故选：D ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，注意掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．（2021·山西九年级）《几何原本》是欧几里得的一部不朽之作，本书以公理和原始概念为基础，推演出更多的结论，这种做法为人们提供了一种研究问题的方法．这种方法所体现的数学思想是（）A．数形结合思想B．分类讨论思想C．转化思想D．公理化思想【答案】D【分析】结合题意，根据公理化思想的性质分析，即可得到答案．【详解】根据题意，这种方法所体现的数学思想是：公理化思想故选：D．【点睛】本题考查了公理化思想的知识；解题的关键是熟练掌握公理化思想的性质，从而完成求解．4．（2021·湖南九年级）下列各命题是真命题的是（）A．矩形的对称轴是两条对角线所在的直线B．平行四边形一定是中心对称图形C．有一个内角为60 的平行四边形是菱形D．三角形的外角等于它的两个内角之和【答案】B【分析】根据矩形的性质、轴对称图形和中心对称图形的概念、三角形的外角性质判断即可．【详解】解：A、矩形的对称轴是任意一边的垂直平分线，两条对角线所在的直线不一定是矩形的对称轴，本选项是假命题；B、平行四边形一定是中心对称图形，本选项是真命题；C、有一个内角为60°的平行四边形不一定是菱形，本选项是假命题；D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，本选项是假命题；故选：B．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5．（2021·广西九年级）下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连结矩形四边中点得到的四边形是菱形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】①一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边形是平行四边形，故该命题正确；②对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误；③因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边相等，所以是菱形，故该命题正确；④等边三角形是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故该命题错误；故选B ．6．（2021·浙江）下列选项中，可以用来证明命题“若a ＞b ，则1a ＜1b ”是假命题的反例是（ ）A ．a ＝2，b ＝1B ．a ＝2，b ＝﹣1C ．a ＝﹣2，b ＝1D ．a ＝﹣2，b ＝﹣1 【答案】B【分析】把各选项提供的数据代入计算，进行比较即可求解．【详解】解：A.当 a ＝2，b ＝1时，111,12a b ==，则11a b ＜，无法说明原命题为假命题，不合题意； B. 当a ＝2，b ＝﹣1时，111,12a b ==-，则11a b＞，说明原命题为假命题，符合题意； C.当 a ＝﹣2，b ＝1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意．D.当 a ＝﹣2，b ＝﹣1时，a ＜b ，条件错误，无法说明原命题为假命题，不合题意． 故选：B【点睛】本题考查了命题真假的判断，要说明一个命题是真命题，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可．7．（2021·辽宁九年级）下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A ．若a b =，则a b =B ．同位角相等，两直线平行C ．对顶角相等D ．若0a >，0b >，则0a b +>【答案】B【分析】 分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A 、若a b =，则||||a b =的逆命题是若||||a b =，则a b =，逆命题是假命题，不符合题意；B 、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意；C 、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意；D 、若0a >，0b >，则0a b +>的逆命题是若0a b +>，则0a >，0b >，逆命题是假命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大．8．（2021·辽宁九年级）下列说法错误．．的是（ ） A ．“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．通过平移或旋转得到的图形与原图形全等C ．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件D ．函数1y x=-的图象经过点()1,1- 【答案】A【分析】根据平移、旋转的性质、对顶角的性质、反比例函数图象上点的坐标特征、随机事件的概念判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题，A 错误，符合题意； 通过平移或旋转得到的图形与原图形全等，B 正确，不符合题意；“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，C 正确，不符合题意；因为1x =时，11y x =-=-，所以函数1y x=-的图象经过点(1,1)-，D 正确，不符合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．9．（2021·湖南九年级）下列说法正确的是（ ）A ．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等B ．平分弦的直径垂直于这条弦C ．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形【答案】C【分析】根据全等三角形的判定、垂径定理、正方形的性质、平行四边形的判定定理判断即可．【详解】解：A 、有两条边和其夹角对应相等的两个三角形全等，原命题是假命题；B 、平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，原命题是假命题；C 、正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，是真命题；D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题；故选：C ．【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2021·重庆九年级）下列命题中，是真命题的是（ ）A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线互相垂直的平行四边形是矩形C ．菱形的对角线相等D ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形【答案】D【分析】由平行四边形的判定得出A 错误；由矩形的判定得出B 不正确；由菱形的定义得出C 正确；由菱形的判定得出D 正确；即可得出答案．【详解】解：A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴A 不正确；B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴B 不正确；C. 菱形的对角线互相垂直平分∴C 不正确；D. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形∴不正确;故选：D ．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题11．（2021·山西九年级）若举反例说明命题“若a b <，则ac bc <”是假命题时，令a 的值为5,b -的值为2-，则可给c 取一个具体的值为_______．【答案】1c =-（答案不唯一）【分析】“若a b <时，则ac bc <”是假命题，则a b <时，ac ≥bc ，即可．【详解】解：ac -bc ≥0,c （a -b ）≥0-3c ≥0c ≤0即可.故答案为：1c =-（答案不唯一）.【点睛】本题考查了命题，掌握真假命题是解题的关键．12．（2021·江苏无锡市·）请写出“两直线平行，同位角相等”的逆命题：_____________________________．【答案】如果同位角相等，那么两直线平行【分析】命题是由题设和结论两部分组成的，把原命题的题设作结论，原命题的结论作题设，这样就将原命题变成了它的逆命题．【详解】解：原命题是：两直线平行，同位角相等．改成如果…那么…的形式为：如果两直线平行，那么同位角相等．∴逆命题为：如果同位角相等，那么两直线平行，故答案为：如果同位角相等，那么两直线平行．【点睛】本题是一道命题与定理的概念试题，考查了命题的组成，原命题与逆命题的关系．13．（2021·安徽合肥·）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半逆命题________________【答案】如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的条件是直角三角形，结论是斜边上的中线等于斜边的一半，故其逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【详解】解：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．【点睛】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判定，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题结论，而第一个命题的结论是第二个命题条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题成为另一个命题的逆命题．14．（2021·安徽九年级）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．【答案】相等的角是对顶角【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．【详解】：“对顶角相等”的条件是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等，所以逆命题是：相等的角是对顶角．【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．15．（2021·江苏九年级）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形【分析】根据逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件写出即可.【详解】∵原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，∴命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“有两个角相等三角形是等腰三角形”．故答案为：有两个角相等的三角形是等腰三角形.【点睛】本题考查命题与逆命题，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．三、解答题16．（2021·贵州九年级）同学们，你们知道吗？三角形的内角和不一定是180°．德国数学家黎曼创立的黎曼几何中描述：在球面上选三个点连线构成一个三角形，这个三角形的内角和大于180°．黎曼几何开创了几何学的新领域，近代黎曼几何在广义相对论里有着重要的应用．同样，在俄国数学家罗巴切夫斯基发表的新几何（简称罗氏几何）中，描述了在双曲面里画出的三角形，它的内角和永远小于180°．罗氏几何在天体理论中有着广泛的应用．而我们所学习的欧氏几何中描述“在平面内，三角形的内角和等于180°”是源于古希腊数学家欧几里得编写的《原本》．欧几里得创造的公理化体系影响了世界2000多年，是整个人类文明史上的里程碑．请你证明：在平面内，三角形的内角和等于180°．要求画出图形．．．．，写出已知．．．．、求证和证明．．．．．． 【答案】见解析【分析】过点A 作//EF BC ，由两直线平行，内错角相等得到1B ∠=∠，2C ∠=∠，再根据平角的定义解题．【详解】已知：如图，ABC ．求证：180A B C ∠+∠+∠=︒．证明：过点A 作//EF BC ，∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，∵12180BAC ∠+∠+∠=︒，∴180B BAC C ∠+∠+∠=︒．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明，涉及平行线性质、平角定义等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．17．（2021·潍坊市寒亭区教学研究室九年级）如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票的数量分别为5张，4张，3张，2张．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小．（1）如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么他们4人是否都能购买到满足条件的票？如果能，请写出每人购买的座位号；如果不能，请说明理由．（2）若乙第一个购票，要使其他3人也能购买到满足条件的票，甲、丙、丁应该按怎样的顺序购票？写出所有符合要求的购票顺序．【答案】（1）甲：1，2，3，4，5；乙：6，8，10，12；丙：7，9，11；丁：13，15；（2）甲丙丁、甲丁丙、丙甲丁、丁甲丙，共4种情况【分析】（1）由所选的座位号之和最小和购票的先后顺序即可推理．（2）根据题意可确定乙的购票结果．再结合所选的座位号之和最小并利用分类讨论的思想确定甲、丙、丁的购票顺序即可得出结果．【详解】（1）由所选的座位号之和最小可知，甲先选：5，3，1，2，4；则乙选：6，8，10，12；丙选11，9，7；丁选15，13．（2）根据题意可确定乙选的座位号为3，1，2，4．①若甲在乙选完之后选，则甲选的座位号为13，11，9，7，5．Ⅰ若丙在甲选完之后选，则丙选的座位号为6，8，10．此时丁可选的座位号为12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丙、丁．Ⅱ若丁在甲选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时丙可选的座位号为10，12，14．即在乙选完之后的顺序为：甲、丁、丙．②若丙在乙选完之后选，则丙选的座位号为9，7，5．Ⅰ若甲在丙选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丁可选的座位号为13，11．即在乙选完之后的顺序为：丙、甲、丁．Ⅱ若丁在丙选完之后选，则丁选的座位号为6，8．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．③若丁在乙选完之后选，则丁选的座位号为7，5．Ⅰ若甲在丁选完之后选，则甲可选的座位号为6，8，10，12，14．此时丙可选的座位号为13，11，9．即在乙选完之后的顺序为：丁、甲、丙．Ⅱ若丙在丁选完之后选，则丙选的座位号为6，8，12．此时没有5个相邻的座位的票可供甲选择，此顺序不成立．综上可知，甲、丙、丁的购票顺序可以为：甲、丙、丁或甲、丁、丙或丙、甲、丁或丁、甲、丙．【点睛】本题考查推理与论证，理解题意并利用分类讨论的思想是解答本题的关键．18．（2021·河南九年级）阅读下列相关材料，并完成相应的任务．婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》，他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，也称“布拉美古塔定理”．定理的内容是：“若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线平分对边”．任务：（1）按图（1）写出了这个定理的已知和求证，并完成这个定理的证明过程；已知：__________________求证：_________________证明：（2）如图（2），在O 中，弦AB CD ⊥于M ，连接,,,,,AC CB BD DA E F 分别是,AC BC 上的点，EM BD ⊥于,G FM AD ⊥于H ，当M 是AB 中点时，直接写出四边形EMFC 是怎样的特殊四边形：__________．【答案】（1）见解析；（2）菱形【分析】（1）先写出已知、求证，先证明BMF MAF ∠=∠，再证明DE ME =，DE CE =即可证明 （2）先证明CE CF =，再证明AC BC =,由布拉美古塔定理证明ME EC CF FM ===即可证明 【详解】（1）已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 证明：,AC BD EF AB ⊥⊥9090BMF AMF MAF AMF ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，，BMF MAF ∴∠=∠，EDM MAF EMD BMF ∠=∠∠=∠，， EDM EMD ∴∠=∠， DE ME ∴=，同理可证ME CE =，DE CE ∴=， ∴点E 是DC 的中点故答案为：已知：如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥于点M ，过点M 作AB 的垂线分别交AB DC 、于点,F E ． 求证：点E 是DC 的中点 （2）四边形EMFC 是菱形理由：由布拉美古塔定理可知，,E F 分别是,AC BC 的中点， 11,22CE AC CF CB ∴== AB CD ⊥ 11,22ME AC MF CB ∴== AB CD M ⊥，是AB 中点AC BC ∴=ME EC CF FM ∴===∴四边形EMFC 是菱形 故答案为：四边形EMFC 是菱形 【点睛】本题考查菱形的判定、根据题意写已知求证、灵活进行角的和差关系的转换是解题的关键 19．（2020·江苏鼓楼区·）点E 、F 分别是菱形ABCD 边BC 、CD 上的点． （1）如图，若CE ＝CF ，求证AE ＝AF ；（2）判断命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”的真假．若真，请证明；若假，请在备用图上画出反例．【答案】（1）见解析；（2）假命题，见解析 【分析】（1）连接AC ，利用菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可； （2）举出反例解答即可． 【详解】解：（1）连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ACE ＝∠ACF ， 在△ACE 与△ACF 中CE CF ACE ACF AC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACE ≌△ACF （SAS ）， ∴AE ＝AF ，（2）当AE ＝AF ＝AF'时，CE ≠CF'，如备用图，∴命题“若AE ＝AF ，则CE ＝CF ”是假命题． 【点睛】此题考查命题与定理，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答．20．（2020·丰台·北京十八中）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．【答案】（1）5；（2）3；（3）A【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论;(2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论．(3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论．【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为5;（2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意,当甲选错了第2题,那么其余四道全对,针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第3题时,那么其余四道都对,针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确,针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意,当甲选错第5题,那么其余四道都对,针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的,针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分,针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分,故答案为3;（3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等,故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）.【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 21．（2020·浙江台州·九年级期末）定义：连结菱形的一边中点与对边的两端点的线段把它分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，那么称这样的菱形为自相似菱形．(1)判断下列命题是真命题，还是假命题？①正方形是自相似菱形；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形．③如图1，若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点，则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ．(2)如图2，菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点． ①求AE ，DE 的长；②AC ，BD 交于点O ，求tan ∠DBC 的值．【答案】(1)见解析；(2)①DEtan ∠DBC． 【分析】（1）①证明△ABE ≌△DCE （SAS ），得出△ABE ∽△DCE 即可； ②连接AC ，由自相似菱形的定义即可得出结论； ③由自相似菱形的性质即可得出结论； （2）①由（1）③得△ABE ∽△DEA ，得出AB BE AEDE AE AD==，求出AE ＝，DE ＝②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，则四边形DMEN 是矩形，得出DN ＝EM ，DM ＝EN ，∠M ＝∠N ＝90°，设AM ＝x ，则EN ＝DM ＝x +4，由勾股定理得出方程，解方程求出AM ＝1，EN ＝DM ＝5，由勾股定理得出DN ＝EM，求出BN ＝7，再由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：(1)①正方形是自相似菱形，是真命题；理由如下： 如图3所示：∵四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 的中点， ∴AB =CD ，BE =CE ，∠ABE =∠DCE =90°， 在△ABE 和△DCE 中 AB CD ABE DCE BE CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠， ∴△ABE ≌△DCE (SAS )， ∴△ABE ∽△DCE ， ∴正方形是自相似菱形，故答案为：真命题；②有一个内角为60°的菱形是自相似菱形，是假命题；理由如下：如图4所示：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD，AD∥BC，AB∥CD，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∠DCE=120°，∵点E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴∠AEB=∠DAE=90°，∴只能△AEB与△DAE相似，∵AB∥CD，∴只能∠B=∠AED，若∠AED=∠B=60°，则∠CED=180°﹣90°﹣60°=30°，∴∠CDE=180°﹣120°﹣30°=30°，∴∠CED=∠CDE，∴CD=CE，不成立，∴有一个内角为60°的菱形不是自相似菱形，故答案为：假命题；③若菱形ABCD是自相似菱形，∠ABC=α(0°＜α＜90°)，E为BC中点，则在△ABE，△AED，△EDC中，相似的三角形只有△ABE与△AED，是真命题；理由如下：∵∠ABC=α(0°＜α＜90°)，∴∠C ＞90°，且∠ABC +∠C =180°，△ABE 与△EDC 不能相似， 同理△AED 与△EDC 也不能相似， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB =∠DAE ，当∠AED =∠B 时，△ABE ∽△DEA ，∴若菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC =α(0°＜α＜90°)，E 为BC 中点， 则在△ABE ，△AED ，△EDC 中，相似的三角形只有△ABE 与△AED ， 故答案为：真命题；(2)①∵菱形ABCD 是自相似菱形，∠ABC 是锐角，边长为4，E 为BC 中点， ∴BE =2，AB =AD =4， 由(1)③得：△ABE ∽△DEA ， ∴AB BE AEDE AE AD== ∴AE 2=BE •AD =2×4=8，∴AE DE =AB AE BE ⋅，故答案为：AE DE②过E 作EM ⊥AD 于M ，过D 作DN ⊥BC 于N ，如图2所示：则四边形DMEN 是矩形， ∴DN =EM ，DM =EN ，∠M =∠N =90°， 设AM =x ，则EN =DM =x +4，由勾股定理得：EM 2=DE 2﹣DM 2=AE 2﹣AM 2，即2﹣(x +4)22﹣x 2， 解得：x =1， ∴AM =1，EN =DM =5，∴DN =EM = 在Rt △BDN 中， ∵BN =BE +EN =2+5=7，∴tan ∠DBC =DN BN =【点睛】本题考查了自相似菱形的定义和判定，菱形的性质应用，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的定义，掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．22．（2020·渠县崇德实验学校九年级）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：）则丁同学的得分是；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）【答案】（1）3；（2）CACCC【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．【详解】解：（1）当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，当甲选错了第2题，那么其余四道全对，针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，当甲选错第3题时，那么其余四道都对，。

2020年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共24小题，共96.0分）1.如图，直线a//b，∠1=50°，则∠2的度数为()A. 40°B. 50°C. 55°D. 60°2.5月22日晚，中国自贡第26届国际恐龙灯会开启网络直播，有着近千年历史的自贡灯会进入“云游”时代，70余万人通过“云观灯”感受了“天下第一灯”的璀璨．人数700000用科学记数法表示为()A. 70×104B. 0.7×107C. 7×105D. 7×1063.如图所示的几何体的左视图是()A.B.C.D.4.关于x的一元二次方程ax2−2x+2=0有两个相等实数根，则a的值为()A. 12B. −12C. 1D. −15.在平面直角坐标系中，将点(2,1)向下平移3个单位长度，所得点的坐标是()A. (−1,1)B. (5,1)C. (2,4)D. (2,−2)6.下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是()A. B.C. D.7.对于一组数据3，7，5，3，2，下列说法正确的是()A. 中位数是5B. 众数是7C. 平均数是4D. 方差是38.如果一个角的度数比它补角的2倍多30°，那么这个角的度数是()A. 50°B. 70°C. 130°D. 160°9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数是()A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°10.函数y=k与y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数xy=kx−b的大致图象为()A.B.C.D.11.某工程队承接了80万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了35%，结果提前40天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是()A. 80(1+35%)x −80x=40 B. 80(1+35%)x−80x=40C. 80x −80(1+35%)x=40 D. 80x−80(1+35%)x=4012.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2，AB=√6，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，F是AB的中点，连结DF、EF.若∠EFD=90°，则AE长为()A. 2B. √5C. 3√22D. 3√3213.下列各数中，最小的数是()A. −3B. 0C. 1D. 214.下列图形是轴对称图形的是()A. B. C. D.15.在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”.其中数据26000用科学记数法表示为()A. 26×103B. 2.6×103C. 2.6×104D. 0.26×10516.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有①个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()A. 10B. 15C. 18D. 2117.如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B=20°，则∠AOB的度数为()A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°18.下列计算中，正确的是()A. √2+√3=√5B. 2+√2=2√2C. √2×√3=√6D. 2√3−2=√319.解一元一次方程12(x+1)=1−13x时，去分母正确的是()A. 3(x+1)=1−2xB. 2(x+1)=1−3xC. 2(x+1)=6−3xD. 3(x+1)=6−2x20.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1,2)，B(1,1)，C(3,1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，则线段DF的长度为()A. √5B. 2C. 4D. 2√521.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比)i=1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53)()A. 76.9mB. 82.1mC. 94.8mD. 112.6m22.若关于x的一元一次不等式组{3x−12≤x+3,x≤a的解集为x≤a；且关于y的分式方程y−a y−2+3y−4y−2=1有正整数解，则所有满足条件的整数a的值之积是()A. 7B. −14C. 28D. −5623.如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F.若DG=GE，AF=3，BF=2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为()A. √55B. 2√55C. 4√55D. 4√3324.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC的中点与坐标原点重合，点E是x轴上一点，连接AE.若AD平分∠OAE，反比例函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过AE上的两点A，F，且AF=EF，△ABE的面积为18，则k的值为()A. 6B. 12C. 18D. 24二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）25.分解因式：3a2−6ab+3b2=______．26.与√14−2最接近的自然数是______．27.某中学新建食堂正式投入使用，为提高服务质量，食堂管理人员对学生进行了“最受欢迎菜品”的调查统计．以下是打乱了的调查统计顺序，请按正确顺序重新排序(只填番号)：______．①绘制扇形图；②收集最受学生欢迎菜品的数据；③利用扇形图分析出最受学生欢迎的菜品；④整理所收集的数据．28.如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC//AB.BC长6米，坡角β为45°，AD的坡角α为30°，则AD长为______米(结果保留根号)．29.如图，矩形ABCD中，E是AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE翻折，恰好使点A落在BC边的中点F处，在DF上取点O，以O为圆心，OF长为半径作半圆与CD相切于点G.若AD=4，则图中阴影部分的面积为______．30.如图，直线y=−√3x+b与y轴交于点A，与双曲线y=k在第三象限交于B、C两x点，且AB⋅AC=16.下列等边三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k=______，前25个等边三角形的周长之和为______．31.计算：(π−1)0+|−2|=______．32.一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是______．33.现有四张正面分别标有数字−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为m，n.则点P(m,n)在第二象限的概率为______．34.如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为______.(结果保留π)35.A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/ℎ的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(ℎ)之间的函数关系如图中的折线CD−DE−EF所示．其中点C的坐标是(0,240)，点D的坐标是(2.4,0)，则点E的坐标是______．36.火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊(简称摆摊)三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为3：5：2.随着促进消费政策的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额，则摆摊的营业额将达到7会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的25，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为8：5，则7月份外卖还月份总营业额的720需增加的营业额与7月份总营业额之比是______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）)−1．37.计算：|−2|−(√5+π)0+(−16四、解答题（本大题共15小题，共148.0分）38.先化简，再求值：x+1x2−4⋅(1x+1+1)，其中x是不等式组{x+1≥05−2x>3的整数解．39.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE=DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE=BF．40.某校为了响应市政府号召，在“创文创卫”活动周中，设置了“A：文明礼仪，B：环境保护，C：卫生保洁，D：垃圾分类”四个主题，每个学生选一个主题参与．为了解活动开展情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如图条形统计图和扇形统计图．(1)本次调查的学生人数是______人，m=______；(2)请补全条形统计图；(3)学校要求每位同学从星期一至星期五选择两天参加活动．如果小张同学随机选择连续两天，其中有一天是星期一的概率是______；小李同学星期五要参加市演讲比赛，他在其余四天中随机选择两天，其中有一天是星期三的概率是______．41.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．新冠疫情期间，为了减少库存，甲、乙两家商场打折促销．甲商场所有商品按9折出售，乙商场对一次购物中超过100元后的价格部分打8折．(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示实际购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；(2)新冠疫情期间如何选择这两家商场去购物更省钱？42.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式|x−2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为|x+1|=|x−(−1)|，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与−1所对应的点之间的距离．(ⅰ)发现问题：代数式|x+1|+|x−2|的最小值是多少？(ⅰ)探究问题：如图，点A、B、P分别表示数−1、2、x，AB=3．∵|x+1|+|x−2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA+PB=3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+ PB>3．∴|x+1|+|x−2|的最小值是3．请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：解决问题：(1)|x−4|+|x+2|的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：|x+3|+|x−1|>4；(3)当a为何值时，代数式|x+a|+|x−3|的最小值是2．43.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，点P为⊙O外一点，且PA=PC=√2AB，连接PO交AC于点D，延长PO交⊙O于点F．(1)证明：AF⏜=CF⏜；(2)若tan∠ABC=2√2，证明：PA是⊙O的切线；(3)在(2)条件下，连接PB交⊙O于点E，连接DE，若BC=2，求DE的长．44.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−3,0)、B(1,0)，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D.点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；OQ的最小值．②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+1445. 计算：(1)(x +y)2+x(x −2y)；(2)(1−m m+3)÷m 2−9m 2+6m+9．46. 为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩(满分10分，6分及6分以上为合格)进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：根据以上信息，解答下列问题：(1)直接写出上述表中的a ，b ，c 的值；(2)根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由(写出一条理由即可)；(3)该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？47.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.AC平分∠DAE．(1)若∠AOE=50°，求∠ACB的度数；(2)求证：AE=CF．48.在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y=6x性质及其应用的部分过程，请x2+1按要求完成下列各小题．(1)请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；x…−5−4−3−2−1012345…y=6xx2+1…−1513−2417______ −125−303125______24171513…(2)根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x=1时，函数取得最大值3；当x=−1时，函数取得最小值−3．③当x<−1或x>1时，y随x的增大而减小；当−1<x<1时，y随x的增大而增大．(3)已知函数y=2x−1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式6xx2+1>2x−1的解集(保留1位小数，误差不超过0.2)．49.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数--“差一数”．定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．例如：14÷5=2…4，14÷3=4…2，所以14是“差一数”；19÷5=3…4，但19÷3=6…1，所以19不是“差一数”．(1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；(2)求大于300且小于400的所有“差一数”．50.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为优选品种，提高产量，某农业科技小组对A，B两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年A，B两个品种各种植了10亩．收获后A，B两个品种的售价均为2.4元/kg，且B的平均亩产量比A 的平均亩产量高100kg，A，B两个品种全部售出后总收入为21600元．(1)请求出A，B两个品种去年平均亩产量分别是多少？(2)今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在A，B种植亩数不变的情况下，预计A，B两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a%和2a%.由于B品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨a%，而A品种的售价不a%.求a的值．变．A，B两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加20951.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A(−3,−4)，B(0,−1)．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；(3)将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y=a1x2+b1x+c1(a1≠0)，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．52.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE.点F是DE的中点，连接CF．(1)求证：CF=√2AD；2(2)如图2所示，在点D运动的过程中，当BD=2CD时，分别延长CF，BA，相交于点G，猜想AG与BC存在的数量关系，并证明你猜想的结论；(3)在点D运动的过程中，在线段AD上存在一点P，使PA+PB+PC的值最小．当PA+PB+PC的值取得最小值时，AP的长为m，请直接用含m的式子表示CE的长．答案和解析1.【答案】B【知识点】平行线的性质【解析】解：如图所示：∵a//b，∴∠3=∠1=50°，∴∠2=∠3=50°；故选：B．由平行线的性质和对顶角相等即可得出答案．本题考查了平行线的性质和对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2.【答案】C【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：700000用科学记数法表示为7×105，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】B【知识点】简单组合体的三视图【解析】解：该几何体从左边看有两列，左边一列底层是一个正方形，右边一列是三个正方形．故选：B．根据左视图即从左边观察所得图形．本题主要考查简单组合体的三视图，解题的关键是掌握三视图的定义．4.【答案】A【知识点】根的判别式【解析】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2−2x +2=0有两个相等实数根， ∴{a ≠0△=(−2)2−4×a ×2=0， ∴a =12． 故选：A ．根据一元二次方程的定义及根的判别式△=0，即可得出关于a 的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出a 的值．本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键． 5.【答案】D【知识点】平移中的坐标变化【解析】【分析】此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律，可以直接算出平移后点的坐标．【解答】解：将点(2,1)向下平移3个单位长度所得点的坐标为(2,1−3)，即(2,−2)； 故选D ．6.【答案】A【知识点】中心对称图形、轴对称图形【解析】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； B 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；C 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；D 、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A ．根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．7.【答案】C【知识点】算术平均数、中位数、方差、众数【解析】解：A、把这组数据从小到大排列为：2，3，3，5，7，最中间的数是3，则中位数是3，故本选项错误；B、3出现了2次，出现的次数最多，则众数是3，故本选项错误；C、平均数是：(3+7+5+3+2)÷5=4，故本选项正确；[2×(3−4)2+(7−4)2+(5−4)2+(2−4)2]=3.2，故本选项错误；D、方差是：15故选：C．根据平均数、众数、中位数及方差的定义和公式分别对每一项进行分析，再进行判断即可．此题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数[(x1−x−)2+(x2−x−)2+⋯+(x n−x−)2].为x−，则方差S2=1n8.【答案】C【知识点】余角和补角【解析】解：设这个角是x°，根据题意，得x=2(180−x)+30，解得：x=130．即这个角的度数为130°．故选：C．若两个角的和等于180°，则这两个角互补．结合已知条件列方程求解．此题考查了补角的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．9.【答案】D【知识点】三角形内角和定理、等腰三角形的性质【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，∴∠B=40°，∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=12(180°−40°)=70°，∴∠ACD=90°−70°=20°，故选：D．根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，正确的理解题意是解题的关键．10.【答案】D【知识点】一次函数图象与系数的关系、二次函数图象与系数的关系、反比例函数的图象【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象，反比例函数图象以及二次函数图象与系数的关系的知识，解题的关键是了解三种函数的图象的性质，难度不大．首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可．【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k>0，根据二次函数的图象可知a<0，b<0，∴函数y=kx−b的大致图象经过一、二、三象限，故选D．11.【答案】A【知识点】由实际问题抽象出分式方程【解析】解：设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米，依题意，得：80x1+35%−80x=40，即80(1+35%)x −80x=40．故选：A．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则原计划每天绿化的面积为x1+35%万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合实际比原计划提前40天完成了这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．12.【答案】B【知识点】勾股定理、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质【解析】解：如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ//BC，∴∠Q=∠BEF，∵AF=FB，∠AFQ=∠BFE，∴△QFA≌△EFB(AAS)，∴AQ=BE=x，∵∠EFD=90°，∴DF⊥QE，∴DQ=DE=x+2，∵AE⊥BC，BC//AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB=∠EAD=90°，∵AE2=DE2−AD2=AB2−BE2，∴(x+2)2−4=6−x2，整理得：2x2+4x−6=0，解得x=1或x=−3(舍弃)，∴BE=1，∴AE=√AB2−BE2=√6−1=√5，故选：B．如图，延长EF交DA的延长线于Q，连接DE，设BE=x.首先证明DQ=DE=x+2，利用勾股定理构建方程即可解决问题．本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，属于中考选择题中的压轴题．13.【答案】A【知识点】有理数大小比较【解析】解：∵−3<0<1<2，∴这四个数中最小的数是−3．故选：A．根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，可得答案．本题考查了有理数比较大小，正数大于0，0大于负数，正数大于负数．14.【答案】A【知识点】轴对称图形【解析】解：B、C、D都不是轴对称图形，A是轴对称图形，故选：A．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念，找出图形的对称轴．15.【答案】C【知识点】科学记数法-绝对值较大的数【解析】解：26000=2.6×104，故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．16.【答案】B【知识点】列代数式、图形规律问题【解析】解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3=1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6=1+2+3，…∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5=15，故选：B．根据题意，即可得解．本题考查图形规律问题，属于基础题．17.【答案】D【知识点】切线的性质【解析】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠A=90°，∵∠B=20°，∴∠AOB=90°−20°=70°，故选：D．根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．18.【答案】C【知识点】二次根式的混合运算【解析】解：A．√2与√3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B.2与√2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；C.√2×√3=√2×3=√6，此选项计算正确；D.2√3与−2不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；故选：C．根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．19.【答案】D【知识点】一元一次方程的解法【解析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x+1)=6−2x，故选：D．20.【答案】D【知识点】两点间的距离公式*、坐标与图形性质、位似图形及相关概念【解析】【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．把A、C的横纵坐标都乘以2得到D、F的坐标，然后利用两点间的距离公式计算线段DF的长．【解答】解：∵以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2：1，而A(1,2)，C(3,1)，∴D(2,4)，F(6,2)，∴DF=√(2−6)2+(4−2)2=2√5．故选：D．21.【答案】B【知识点】解直角三角形的应用【解析】解：如图，由题意得，∠ADF=28°，CD=45，BC=60，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i=1：0.75，∴DEEC =10.75=43，设DE=4x，则EC=3x，由勾股定理可得CD=5x，又CD=45，即5x=45，∴EC =3x =27，DE =4x =36=FB ，∴BE =BC +EC =60+27=87=DF ，在Rt △ADF 中，AF =tan28°×DF ≈0.53×87≈46.11，∴AB =AF +FB =46.11+36≈82.1，故选：B ．构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出DE 、EC 、BE 、DF 、AF ，进而求出AB ．本题考查直角三角形的边角关系，掌握坡比的意义和直角三角形的边角关系是正确计算的前提．22.【答案】A【知识点】一元一次不等式组的解法、分式方程的一般解法、分式方程的解【解析】解：不等式组整理得：{x ≤7x ≤a， 由解集为x ≤a ，得到a ≤7，分式方程去分母得：y −a +3y −4=y −2，即3y −2=a ，解得：y =a+23，由y 为正整数解，且y ≠2得到a =1，7，1×7=7，故选Ａ．不等式组整理后，根据已知解集确定出a 的范围，分式方程去分母转化为整数方程，由分式方程有正整数解，确定出a 的值即可．此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23.【答案】B【知识点】翻折变换(折叠问题)、勾股定理、三角形的面积【解析】本题考查翻折变换，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．首先求出△ABD的面积．根据三角形的面积公式求出DF，设点F到BD的距离为h，根据12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，求出BD即可解决问题．【解答】解：∵DG=GE，∴S△ADG=S△AEG=2，∴S△ADE=4，由翻折可知，△ADB≌△ADE，BE⊥AD，∴S△ABD=S△ADE=4，∠BFD=90°，∴12⋅(AF+DF)⋅BF=4，∴12⋅(3+DF)⋅2=4，∴DF=1，∴DB=√BF2+DF2=√12+22=√5，设点F到BD的距离为h，则有12⋅BD⋅ℎ=12⋅BF⋅DF，∴ℎ=2√55，故选：B．24.【答案】B【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、反比例函数系数k的几何意义、三角形的面积、平行线的判定与性质【解析】【分析】本题考查反比例函数的性质，矩形的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD//AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M.证明BD//AE，推出S△ABE=S△AOE=18，推出S△EOF=12S△AOE=9，可得S△FME=13S△EOF=3，由此即可解决问题．【解答】解：如图，连接BD，OF，过点A作AN⊥OE于N，过点F作FM⊥OE于M．∵AN//FM，AF=FE，∴MN=ME，∴FM=12AN，∵A，F在反比例函数的图象上，∴S△AON=S△FOM=k2，∴12⋅ON⋅AN=12⋅OM⋅FM，∴ON=12OM，∴ON=MN=EM，∴ME=13OE，∴S△FME=13S△FOE，∵AD平分∠OAE，∴∠OAD=∠EAD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA=∠DAE，∴AE//BD，∴S△ABE=S△AOE，∴S△AOE=18，∵AF=EF，∴S△EOF=12S△AOE=9，∴S△FME=13S△EOF=3，∴S△FOM=S△FOE−S△FME=9−3=6=k2，。

重庆中考数学第25题专题专训2501．材料1：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也成立．材料2：两位数m和三位数n，它们各个数位上的数字都不为0，将数m 任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数n任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为F（m，n），例如：F（12，345）=13+14=15+23+24+25=114；F（11，369）=13+16+19+13+16+19=96．（1）填空：F（16，123）= ；（2）求证：当n能被3整除时，F（m，n）一定能被6整除；（3）若一个两位数s=21x+y，一个三位数t=121x+y+199（其中1≤x≤4，1≤y≤5，且x、y均为整数），交换三位数t的百位数字和个位数字得到新数t′，当t′与s的个位数字的3倍的和能被11整除时，称这样的两个数s和t为“珊瑚数对”，求所有“珊瑚数对”中F（s，t）的最大值．2502．任意一个正整数n，都可以表示为：n=a×b×c（a≤b≤c，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b﹣（a+c）|最小，我们就称a ×b×c是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n）=，例如：6=1×1×6=1×2×3，因为|2×1﹣（1+6）|=5，|2×2﹣（1+3）|=0，5＞0，所以1×2×3是6的阶梯三分法，即F（6）==2．（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方数m，总有F（m）=2．（2）t是一个两位正整数，t=10x+y（1≤x≤9，0≤y≤9，且x≥y，x+y≤10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值．2503．对于一个各个数位上的数字均不为零的三位正整数n，如果它的百位数字、十位数字、个位数字是由依次增加相同的非零数字组成，则称这个三位数为“递增数”，记为D（n），把这个“递增数”的百位数字与个位数字交换位置后，得到321，即E（123）=321，规定F（n）=，如F（123）==1．（1）计算：F（159），F（246）；（2）若D（s）是百位数字为1的数，D（t）是个位数字为9的数，且满足F （s）+F（t）=5，记k=，求k的最大值．2504．有一个n位自然数能被x整除，依次轮换个位数字得到的新数能被x+1整除，再依次轮换个位数字得到的新数能被x 0+2整除，按此规律轮换后，能被x+3整除，…，能被x0+n﹣1整除，则称这个n位数是x的一个“轮换数”．例如：60能被5整除，06能被6整除，则称两位数60是5的一个“轮换数”；再如：324能被2整除，243能被3整除，432能被4整除，则称三位数324是2的一个“轮换数”．（1）若一个两位自然数的个位数字是十位数字的2倍，求证这个两位自然数一定是“轮换数”．（2）若三位自然数是3的一个“轮换数”，其中a=2，求这个三位自然数．2505．已知，我们把任意形如：的五位自然数（其中c=a+b，1≤a≤9，1≤b≤9）称之为喜马拉雅数，例如：在32523自然数中，3=2=5，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数整除n的最大的喜马拉雅数记为F（n），能被自然数n整除的最小的喜马拉雅数记为I（n）．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除；（2）求F（3）+I（8）的值．2506．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F（n）．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F（123）=6．（1）计算：F（243），F（617）；（2）若s，t都是“相异数”，其中s=100x+32，t=150+y（1≤x≤9，1≤y ≤9，x，y都是正整数），规定：k=，当F（s）+F（t）=18时，求k的最大值．2507．先阅读下列材料，然后解后面的问题．材料：一个三位自然数（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c），若满足a+c=b，则称这个三位数为“欢喜数”，并规定F（）=ac．如374，因为它的百位上数字3与个位数字4之和等于十位上的数字7，所以374是“欢喜数”，∴F（374）=3×4=12．（1）对于“欢喜数”，若满足b能被9整除，求证：“欢喜数”能被99整除；（2）已知有两个十位数字相同的“欢喜数”m，n（m＞n），若F（m）﹣F（n）=3，求m﹣n的值．2507．当一个多位数的位数为偶数时，在其中间插入一位数k，（0≤k≤9，且k 为整数）得到一个新数，我们把这个新数称为原数的关联数．如：435729 中间插入数字6可得435729的一个关联数4356729，其中435729=729+435 ×1000，4356729=729+6×1000+435×10000．请阅读以上材料，解决下列问题．（1）现有一个4位数2316，中间插入数字m（0≤m≤9，且m为3的倍数），得其关联数，求证：所得的2316的关联数与原数10倍的差一定能被3整除；（2）一个三位关联数是原来两位数的9倍，请找出满足这样的三位关联数．2509．根据阅读材料，解决问题．数n是一个三位数，各数位上的数字互不相同，且都不为零，从它各数位上的数字中任选两个构成一个两位数，这样就可以得到六个不同的两位数，我们把这六个不同的两位数叫做数n的“生成数”．数n的所有“生成数”之和与22的商记为G（n），例如n=123，它的六个“生成数”是12，13，21，23，31，32，这六个“生成数”的和12+13+21+23+31+32=132，132÷22=6，所以G（123）=6．（1）计算：G（125），G（746）；（2）数s，t是两个三位数，它们都有“生成数”，a，1，4分别是s的百位、十位、个位上的数字，x，y，6分别是t的百位、十位、个位上的数字，规定：k=，若G（s）•G（t）=84，求k的最小值．2510．一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”；（2）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“和平数”为一组“相关和平数”．例如：1423与4132为一组“相关和平数”求证：任意的一组“相关和平数”之和是1111的倍数．2511．对任意一个正整数m，如果m=n（n+1），其中n是正整数，则称m为“优数”，n为m的最优拆分点，例如：72=8×（8+1），则72是一个“优数”，8为72的最优拆分点．（1）请写出一个“优数”，它的最优拆分点是；（2）求证：若“优数”m是5的倍数，则m一定是10的倍数；（3）把“优数”p的2倍与“优数”q的3倍的差记为D（p，q），例如：20=4×5，6=2×3，则D（20，6）=2×20﹣3×6=22．若“优数”p的最优拆分点为t+4，“优数”q的最优拆分点为t，当D（p，q）=76时，求t的值并判断它是否为“优数”．2512．一个整数能表示成a 2+b 2（a 、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．如2是“丰利数”，因为2=12+12，再如，M=x 2+2xy+2y 2=（x+y ）2+y 2 （x+y ，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）请你写一个最小的三位“丰利数”是 ，并判断20 “丰数”．（填是或不是）；（2）已知S=x 2+y 2+2x ﹣6y+k （x 、y 是整数，k 是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个k 值（10≤k ＜200），并说明理由．2513．我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ），在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝 对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：()qpF n =，例如12 可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所以3×4 是12的最佳分解，所以F （12）=．（1）如果一个正整数m 是另外一个正整数n 的平方，我们称正整数m 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F （m ）=1； （2）如果一个两位正整数t ，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差为36，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”； （3）在（2）所得“吉祥数”中，求F （t ）的最大值．2514．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等．若将M的十位数字与百位数字交换位置，得到一个新的三位数，我们称这个三位数为M的“友谊数”，如：168的“友谊数”为“618”；若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如：123的“团结数”为12+13+21+23+31+32=132．（1）求证：M与其“友谊数”的差能被15整除；（2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a、个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值．2515．若一个两位正整数m的个位数为8，则称m为“好数”．（1）求证：对任意“好数”m，m2﹣64一定为20的倍数；（2）若m=p2﹣q2，且p，q为正整数，则称数对（p，q）为“友好数对”，规定：H（m）=，例如68=182﹣162，称数对（18，16）为“友好数对”，则H（68）==，求小于50的“好数”中，所有“友好数对”的H（m）的最大值．2515．任意一个正整数都可以进行这样的分解：n=p ×q （p 、q 是正整数，且p≤q ），正整数的所有这种分解中，如果p 、q 两因数之差的绝对值最小， 我们就称p ×q 是正整数的最佳分解．并规定：()qpF n =．例如24可以 分解成1×24，2×12，3×8或4×6，因为24﹣1＞12﹣2＞8﹣3＞6﹣4， 所以4×6是24的最佳分解，所以F （24）=． （1）求F （18）的值；（2）如果一个两位正整数，t=10x+y （1≤x ≤y ≤9，x 、y 为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得 的差记为m ，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数加上原来的 两位正整数所得的和记为n ，若mn 为4752，那么我们称这个数为“最 美数”，求所有“最美数”；（3）在（2）所得“最美数”中，求F （t ）的最大值．2517．阅读下列材料，解决问题材料一：如果一个正整数的个位数字等于除个位数字之外的其他各位数字之和，则称这个数为“刀塔数”，比如：因1+2=3，所以123是“刀塔数”，同理，55，1315也是“刀塔数”．材料二：形如的三位数叫“王者数”，其中x﹣2，x，x+2分别是这个数的百位数字，十位数字，个位数字．例如：135，468均为“王者数”问题：（1）已知a既是“刀塔数”又是“王者数”，若数b（b＞0）使10a+b 为一个“刀塔数”，求b的最小值；（2）已知一个五位“刀塔数”与一个“王者数”的和能被3整除，且c﹣a+d﹣b=4，证明．2518．一个形如的五位自然数，（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该位数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且a≠0，b≠0），若有a=e，b=d 且c=a+b，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”，同时规定，若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差是693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”，如在对称数43734中432﹣342=693，则43734是一个“智慧对称数”．（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”．例如：12321与21312为一组“相关对称数”．求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；（2）求出所有的“智慧对称数”中最大的“智慧对称数”．2519．我们知道：一个整数的个位数是偶数，则它一定能被2整除；一个整数的各位数字之和能被3整除，则它一定能被3整除．若一个整数既能被2 整除又能被3整除，那么这个整数一定能被6整除．数字6象征顺利、吉祥，我们规定，能被6整除的四位正整数（千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d）是“吉祥数”．请解答下面几个问题：（1）已知是“吉祥数”，则x= ．（2）若正整数是“吉祥数”，试说明：d+4（a+b+c）能被2整除．（3）小明完成第（2）问后认为：四位正整数是“吉祥数”，那么d+4（a+b+c）也能被6整除．你认为他说得对吗？请说明理由．2520．阅读理解：有一个n位自然数（n，n1，n2，n3，…nn是正整数，n≥2，1≤n1，n2，n3，…nn＜9），若交换不同数位上的数字得到一新数则叫这个n位自然数的一个“轮换数”，如：，均是的一个“轮换数”；36是63的一个“轮换数”，243是324的一个“轮换数”．（1）写出213的所有轮换数．（2）证明：任何一个3位自然数与它所有轮换数的和是111的倍数．（3）试求：4213与它所有轮换数的和．2521．对任意一个正整数m，如果m=k（k+1），其中k是正整数，则称m为“矩数”，k 为m的最佳拆分点．例如，56=7×（7+1），则56是一个“矩数”，7为56的最佳拆分点．（1）求证：若“矩数”m是3的倍数，则m一定是6的倍数；（2）把“矩数”p与“矩数”q的差记为 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，则 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，当 D（p，q）=30时，求的最大值．2522．人和人之间讲友情，有趣的是，数与数之间也有相类似的关系．若两个不同的自然数的所有真因数（即除了自身以外的正约数）之和相等，我们称这两个数为“亲和数”．例如：18的约数有1、2、3、6、9、18，它的真因数之和1+2+3+6+9=21；51的约数有1、3、17、51，它的真因数之和1+3+17=21，所以18和51为“亲和数”．数还可以与动物形象地联系起来，我们称一个两头（首位与末位）都是1的数为“两头蛇数”．（1）6的“亲和数”为25 ；将一个四位的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数，求满足条件的“两头蛇数”．（2）已知两个“亲和数”的真因数之和都等于15，且这两个“亲和数”中较大的数能将一个正中间数位（百位）上的数为4的五位“两头蛇数”整除，若这个五位“两头蛇数”的千位上的数字小于十位上的数字，求满足条件的“两头蛇数”．2523．一个形如的五位自然数（其中c表示该数万位和个位上的数字，b 表示千位和十位上的数字，a表示百位上的数字．且c≠0），若有a+c=b，则把该自然数叫做“M数”，例如在自然数25352中，3+2=5，则25352 是一个“M数”，同时规定：与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最大“M数”记为P＜＞，与各数位数字之和的差能被自然数n整除的最小“M数”记为Q＜＞．（1）求证：若4c+3a能被9整除，则任意一个“M数”都能被9整数；（2）若“M数”与它各数位数字之和的差能被7整除，请求出P＜＞和Q＜＞．2524．阅读下列材料，解决后面两个问题：一个能被17整除的自然数我们称为“灵动数”．“灵动数”的特征是：若把一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整倍数（包括0），则原数能被17整除．如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾、倍大、相减、验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282能不能被17整除． 167528﹣2×5=167518，16751﹣8 ×5=16711，1671﹣1×5=1666，166﹣6×5=136，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…6×5=30，现在个位×5=30＞剩下的13，就用大数减去小数，30﹣13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除．（1）请用上述方法判断7242和2098754 是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为，其中个位上的数字为n，十位上的数字为m，0≤m≤9，0≤n≤9且m，n为整数．若这个数能被51整除，请求出这个数．2525.若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是谋略数，如22，797，12321都是谋略数．最小的谋略数是11，没有最大的谋略数，因为数位是无穷的．有一种产生谋略数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个谋略数．如：16的逆序数为61，16+61=77，77是一个谋略数；37的逆序数为73，37+73=110，110的逆序数为11，110+11=121，121是谋略数．（1）请你根据以上材料，直接写出57 产生的第一个谋略数；（2）若将任意一个四位谋略数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除；（3）若将一个三位谋略数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位谋略数共有多少个？2526.如果一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“智慧数”．例：16=52﹣32，16就是一个“智慧数”，小明和小王对自然数中的”智慧数”进行了如下探索：小明的方法是一个一个找出来的：0=02﹣02，1=12﹣02，3=22﹣12，4=22﹣02，5=32﹣22，7=42﹣32，8=32﹣12，9=52﹣42，11=62﹣52，…小王认为小明的方法太麻烦，他想到：设k是自然数，由于（k+1）2﹣k2= （k+1+k）（k+1﹣k）=2k+1．所以，自然数中所有奇数都是“智慧数”．问题：（1）根据上述方法，自然数中第10个“智慧数”是；（2）他们发现0，4，8是“智慧数”，由此猜测4k（k为正整数）都是“智慧数”，请你参考小王的办法证明4k（k为正整数）都是“智慧数”．2527.一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”．例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”．（1）请判断：2561 （填“是”或“不是”）“和平数”．（2）直接写出：最小的“和平数”是，最大的“和平数”是；（3）如果一个“和平数”的个位上的数字是千位上的数字的两倍，且百位上的数字与十位上的数字之和是14的倍数，求满足条件的所有“和平数”．2528.阅读下列材料，回答问题．正整数m（m≥2）可分解成两个正整数的和，即m=s+t（s、t是正整数，且s≤t），在m的所有这些加和中，若s、t 两加数之差的绝对值最小，称s+r为m的最美加和，并规定F（m）=7s﹣6t，如7=1+6=2+5=3+4，因为6﹣1＞5﹣2＞4﹣3，所以3+4为7的最美加和，所以F（7）=7×3﹣6×4=﹣3．（1）F（8）= ，F（9）= ：（2）对任意的正整数n（n≥2），用含n的代数式分别表示出n为奇数，偶数时的F（n）：（3）若一个三位正整数q是7的倍数，且满足各位数字之和为7，称这个数q为“潜力数“，求所有“潜力数”中F（q）的最大值．2529．阅读理解：把两个相同的数连接在一起就得到一个新数，我们把它称为“连接数”，例如：234234，3939…等，都是连接数，其中，234234称为六位连接数，3939称为四位连接数．（1）请写出一个六位连接数，它（填“能”或“不能”）被13整除．（2）是否任意六位连接数，都能被13整除，请说明理由．（3）若一个四位连接数记为M，它的各位数字之和的3倍记为N，M﹣N的结果能被13整除，这样的四位连接数有几个？2530、一个三位正整数N，各个数位上的数字互不相同都不为0，若从它的百位、十位、个位上的数字任意选择两个数字组成两位数．所有这些两位数的和等于这个三位数本身．则称这样的三位数N为“友好数”．例如：132．选择百位数字1和十位数字3所组成的两位数为：13和31．选择百位数字1和个位数字2所组成的两位数为：12和21．选择十位数字3和个位数字2所组成的两位数为：32和23．因为13+31+12+21+32+23=132，所以132是“友好数”．一个三位正整数，若它的十位数字等于百位数字与个位数字的和．则称这样的三位数为“和平数“，（1）判断123是不是“友好数“？请说明理由．（2）一个三位数，如果百位上的数字为x，十位上的数字为y，个位上的数字为z，则把这个三位数记作，三位数可用多项式表示为100x+10y+z，比如三位数523可用多项式表示为：5×100+2×10+3．证明：当一个“和平数”是“友好数”时，则z=2x．2531．材料一：一个大于1的正整数，若被N除余1，被（N﹣1）除余1，被（N ﹣2）除余1…，被3除余1，被2除余1，那么称这个正整数为“明N礼”数（N取最大），例如：73（被5除余3）被4除余1，被3除余1，被2 除余1，那么73为“明四礼”数．材料二：设N，（N﹣1），（N﹣2），…3，2的最小公倍数为k，那么“明N 礼”数可以表示为kn+1，（n为正整数），例如：6，5，4，3，2的最小公倍数为60，那么“明六礼”数可以表示为60n+1．（n为正整数）（1）17 “明三礼”数（填“是”或“不是”）；721是“明礼”数；（2）求出最小的三位“明三礼”数；（3）一个“明三礼”数与“明四礼”数的和为32，求出这两个数．2532．对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出三个“极数”；并猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（2）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=，求满足D（m）是完全平方数的所有m．2533．对于任意一个自然数N，将其各个数位上的数字相加得到一个数，我们把这一过程称为一次操作，把这个得到的数进行同样的操作，不断进行下去，最终会得到一个一位数K，我们把K称为N的“中子数”，并记f（x）=K，例如，163→1+6+3=10→1+0=1，∴f（163）=1（1）计算：f（2018888）= ；（2）易知：任意两个自然数M和N，如果各个数位上的数字之和相等，则f（M）=f（N），此时我们称M、N是“特别有缘数”，例如163和28即为“特别有缘数”，若已知一个三位数和一个两位数是“特别有缘数”，请证明它们的差一定能被9整除；（3）有一个三位自然数L=，已知f（L）=6，而且x、y、z都是偶数，我们规定i=y2+xz，请求出i取最大值时的自然数L．2534．我们知道，任意一个大于1的正整数n都可以进行这样的分解：n=x+y（x、y是正整数，且x≤y），在n的所有这种分解中，如果x、y两数的乘积最大，我们就称x+y是n的最佳分解，并规定在最佳分解时：F（n）=xy．例如6可以分解成1+5，2+4或3+3，因为1×5＜2×4＜3×3，所以3+3是6的最佳分解，所以F（6）=3×3=9．（1）计算：F（8）．（2）设两位正整数t=l0a+b（1≤a≤9，0≤b≤9，a、b为整数），数t′十位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之和，数t′个位上的数等于数t十位上的数与t个位上的数之差，若t′﹣t=9，且F（t）能被2整除，求两位正整数t．2535、定义：如果M个不同的正整数，对其中的任意两个数，这两个数的积能被这两个数的和整除，则称这组数为M个数的祖冲之数组．如（3，6）为两个数的祖冲之数组，因为3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）为三个数的祖冲之数组，因为（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除…（1）我们发现，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是两个数的祖冲之数组；由此猜测n和n（n﹣1）（n≥2，n为整数）组成的数组是两个数的祖冲之数组，请证明这一猜想．（2）若（4a，5a，6a）是三个数的祖冲之数组，求满足条件的所有三位正整数a．2535．在一个m （m ≥3，m 为整数）位的正整数中，若从左到右第n （n ≤m ，n为正整数）位上的数字与从右到左第n 位上的数字之和都等于同一个常数 k （k 为正整数），则称这样的数为“对称等和数”．例如在正整数3186 中，因为3+6=1+8=9，所以3186是“对称等和数”，其中k=9．再如在正 整数53697中，因为5+7=3+9=6+6=12，所以53697是“对称等和数”， 其中k=12．（1）已知在一个能被11整除的四位“对称等和数”中k=4．设这个四位“对称等和数”的千位上的数字为s （1≤s ≤9，s 为整数），百位上的数字 为t （0≤t ≤9，t 为整数），是整数，求这个四位“对称等和数”；（2）已知数A ，数B ，数C 都是三位“对称等和数”．A=（1≤a ≤9，a 为整数），设数B 十位上的数字为x （0≤x ≤9，x 为整数），数C 十位上 的数字为y （0≤y ≤9，y 为整数），若A+B+C=1800，求证：y=﹣x+15．2537．任意一个正整数m 都可以表示为：m=a 2×b(a 、b 均为正整数) ,在m 所有表示的结果中，当b a -最小时，规定Q(m)=ab 2，例如：108=12×108=22×27=32×12=62×3，因为1081-＞272-＞123-＞36-，所以Q(m)= 3=1.2538.一个正偶数去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数为“魅力数”，把这个商叫做的魅力系数，记这个商为．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记．（1）计算：；（2）若都是“魅力数”，其中,是整数，规定：．当时，求的值2539.一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同均不为0，那么称为“启航数”，将的两位数位上的数字对调得到一个新数′，把′放在后面组成第一个四位数，把放在′的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如时，（1）计算若为“启航数”，是一个完全平方数，求的值；（2）为“启航数”，其中，且为整数.并规定：，若能被7整除，且，求的最大值.2540.对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“陌生数”，将一个“陌生数”的三个数位上的数字交换顺序，可以得到个不相同的新的“陌生数”，把这个“陌生数”，的和与111的商记为，例如，可以得到，，，，这个新三位数，这个三位数的和为123+132+213+231+312+321=1332，¸，所以（）.（1）计算：，；（2）若，都是“陌生数”，其中，（，，，都是正整数），规定：，当除以余时，求的最大值.。

一．解答题（共23小题）已知：△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ=90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC=1+，PA=，则：①线段PB=，PC=；②猜想：PA2，PB2，PQ2三者之间的数量关系为；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足=，求的值．（提示：请利用备用图进行探求）2如图1，在△ABC和△EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．（1）试说明CF=CH；（2）如图2，△ABC不动，将△EDC从△ABC的位置绕点C顺时针旋转，当旋转角∠BCD为多少度时，四边形ACDM是平行四边形，请说明理由；（3）当AC=时，在（2）的条件下，求四边形ACDM的面积．3．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，有一度数为60°的∠MAN绕点A旋转．（1）如图①，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD于点E，F，则线段CE，DF的大小关系如何？请证明你的结论；（2）如图②，若∠MAN的两边AM，AN分别交BC，CD的延长线于点E，F，则线段CE，DF还有（1）中的结论吗？请说明你的理由．4．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．5．如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．（1）如图1，过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；（2）如图2，E是直线BC上一点，且CE=BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．6．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF=DE；（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．7．如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC（点C、F不重合），并说明理由．8．（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°，延长CD到点G，使DG=BE，连结EF，AG．求证：EF=FG．（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN的长．9．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．10．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．11．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．12．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB=MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．13．已知△ABC中，AB=AC．（1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE；（2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长；（3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明．14感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为．15．（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD．求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．16．已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，D为边BC上任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且E，F 分别在边AB，AC上．（1）如图a，当△ABC是等边三角形时，证明：AE+AF=BC．（2）如图b，若△ABC中，∠BAC=120°，探究线段AE，AF，AB之间的数量关系，并对你的猜想加以证明．（3）如图c，若△ABC中，AB=10，BC=16，EF=6，利用你对（1），（2）两题的解题思路计算出线段CD （BD＞CD）的长．17数学课上，李老师出示了如下框中的题目．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与的DB大小关系．请你直接写出结论：AE DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．18．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．（1）如图1，当点D在边BC上时，①求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB+∠DAC是否成立？请写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D在边CB的延长线上时，且点A、F分别在直线BC的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC之间存在的等量关系．19．如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）20如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形；（3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．21．如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b，且2a＞b，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）在图（1）中，D是BC边上的中点，计算DE+DF和BG的长（用a，b表示），并判断DE+DF与BG 的关系．（2）在图（2）中，D是线段BC上的任意一点，DE+DF与BG的关系是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，请说明理由．（3）在图（3）中，D是线段BC延长线上的点，探究DE、DF与BG的关系．（不要求证明）22．如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由．23．△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE．（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时．①求证：△AEB≌△ADC；②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由；（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立；（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由．。

2019重庆中考数学第25题专题训练25．已知，我们把任意形如：t abcba =的五位自然数（其中c a b =+，19a ≤≤，08b ≤≤）称之为喜马拉雅数，例如：在自然数32523中，325+=，所以32523就是一个喜马拉雅数．并规定：能被自然数n 整除的最大的喜马拉雅数记为()F n ，能被自然数n 整除的最小的喜马拉雅数记为()I n ．（1）求证：任意一个喜马拉雅数都能被3整除； （2）求()3+(8)F I 的值．解析：（1）各数位数字之和2222()3()a b c b a a b c a b a b a b ++++=++=+++=+ ∵a b 、是整数 ∴a b +是整数 ∴任意一个喜马拉雅数都能被3整除（2）(3)90909F =, ()101011110321263139888ab a b ba a b a b a b +++==+- ∵喜马拉雅数能被8整除∴32a b +能被8整除19,08,1933227a b a b a b ≤≤≤≤≤+≤∴≤+≤，，328,1624a b ∴+=或可得：(8)21312I = ∴(3)(8)9090921312112221F I +=+=25．一个正偶数k 去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2倍与新数之和与19的商是一个整数，则称正偶数k 为“魅力数”，把这个商叫做k 的魅力系数，记这个商为()F k ．如：722去掉个位数字是72，2的2倍与72的和是76，76÷19=4，4是整数，所以722是“魅力数”，722的魅力系数是4，记(722)4F =．(1)计算：(304)(2052)F F +；(2)若m 、n 都是“魅力数”，其中3030101m a =+，40010n b c =++(09,09,09a b c ≤≤≤≤≤≤，a 、b 、c 是整数)，规定：(,)a c G m n b-=．当()()24F m F n +=时，求(,)G m n 的值．.解：（1）189962808062)8062(=-=F ……（1分） 设abcd n = ∴99)10101000(101001000)(b a d c d c b a n F +++-+++=d c b a --+=1010 ∵d c b a 、、、是整数, ∴d c b a --+1010也为整数,即：结论成立.……（4分）（2）设“平衡数”mnpq N = 由题可得：12,-=+=+n p q p n m∴q p n m N +++=101001000p n m 91011001++= 91191001-+=n m （5分）∵N 能被11整除∴119910911191191001-++=-+n n m n m ∴1199-n 为整数 又∵90≤≤n 且n 为整数 ∴1=n∴112=-=n p ……（7分）∴1101001+=m N∵N 能被3整除∴3223633*********+++=+a m m ∴322+a 为整数 又∵91≤≤a ∴852或或=a∴N=2112或5115或8118……（9分）∵63)8118(,36)5115(,9)2112(===F F F∴9)(的最小值为N F ……（10分）25．阅读下列材料，解决问题：一个能被17整除的自然数我们称“灵动数”，“灵动数”的特征是；若把一个整数的个位数字截去，在从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍大，相减，验差”的过程，直到能清楚判断为止．例如：判断1675282是不是“灵动数”，判断过程：16752825167518-⨯=，167518516711-⨯=，1671151666-⨯=，16665136-⨯=，到这里如果你仍然观察不出来，就继续…65=30⨯，现在个位5=30>⨯剩下的13，就用大数减去小数，301317-=，17是17的1倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“灵动数”．（1）请用上述方法判断7242和2098754是否是“灵动数”，并说明理由；（2）已知一个四位整数可表示为27mn ，其中个位上的数字为n ，十位上的数字为m ，且m 、n 为整数，若这个数能被51整除，请求出这个数．解：（1）5154-71,71452-724=⨯=⨯51是17的3倍，7242∴是“灵动数”；1827-5927956-209,209650-20962096055-20985,20985554-209875=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯18不能被17整除，2098754∴不是“灵动数”.（2）由题可知：2700+10m+n=5153+10m+n-3能被51整除10m+n-3能被51整除96310390,90≤-+≤-∴≤≤≤≤n m n m 10m+n-3=0或51，即10m+n=3或54⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴4530n m n m 或 ∴这个数为2703或275425、一个多位自然数分解为末三位与末三位以前的数，让末三位数减去末三位以前的数，所得的差能被13整除，则原多位数一定能被13整除．（1）判断266357 （能/不能）被13整除，证明任意一个多位自然数都满足上述规律；（2）一个自然数t 可以表示为22q p t -=的形式，（其中q p >且为正整数），这样的数叫做“佛系数”，在t 的所有表示结果中，当q p -最小时，称22q p -是t 的“佛系分解”，并规定qp q p t F -+=2)(．例如：22227-92-632==，267-9-<，则79729)32(-⨯+=F 223=． 已知一个五位自然数，末三位数4210800++=y m ，末三位以前的数为y x n ++=）（110（其中81≤≤x ，91≤≤y 且为整数），n 为“佛系数”，交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除，求)(n F 的最大值．解析：（1）能；…………………………………（1分）设末三位数为B ，末三位以前的数为A ，则这个数为1000A+B.)1377(13131001)131000100013,13+=+=++=+∴+=∴=-A k A k A A B A k A B k k A B （是整数是整数是整数1377,+∴A k A所以：任意一个多位自然数都满足上述规律…………………………………（4分）（2）当51≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、8、（4+y ）、2； 1345336813472991013)1(10824100+-+++-=++-=-+-++∴y x y x y x y x y ）（ 13453+-∴y x 是整数 93,85,32,243,5,2,48,7,2,113,0,13453234531851,81=∴⎩⎨⎧==∴-=+-∴≤+-≤-∴≤≤≤≤n y x y x y x y x …………………………………（6分）当96≤≤y 时，这个五位数万位、千位、百位、各位数字为（1+x ）、y 、9、（6-y ）、2；1324340-813518-991013)1(10926-100+-++-=+-=-+-+∴y x y x y x y x y ）（ 13243+-∴y x 是整数 ⎩⎨⎧==∴---=+-∴-≤+-≤-∴≤≤≤≤6,85,413,26,3924342434096,81y x y x y x y x66,58=∴n …………………………………（7分）由))((22q p q p q p n -+=-=,）（）（q p q p -+,奇偶性相同139)93(127)85(223)32(,217)24(====F F F F ，， 139127223217<<< )(n F ∴最大值是139.…………………………………（10分）25．一个数的后三位数加上前边的数之和能被37整除，那么这个数就能够被37整除，如果前边的数超过三位，那么三个数字为一组，相加能够被37整除，这个数就能被37整除．例如：6549 ，549+6=555，555÷37=15，所以6549能被37整除；12360146， 146+360+12=518，518÷37=14，所以12360146能被37整除．（1）判断：333444 （能、不能）被37整除；证明：若四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数）能被37整除，求证：将abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位数的11倍也能被37整除．（2）一个四位数abcd （其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 为整数），其个位数字与千位数字的和等于十位数字与百位数字的和，此四位数能被37整除，且百位数字加上个位数字再与十位数字的差是一个完全平方数，求此四位数．25．（1） 能 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分证明：由题可知，k a d c b 3710100=+++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 为整数∴a c b k d ---=1010037）（）（c b a k cb a k ac b k c b a dc b a 330311371111110111407101003711101001110100+++-=+++-=----++=-++．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分∴abcd 的个位截去，再用余下的数减去个位的11倍也能被37整除（2）由题可知，c b d a +=+，k a d c b 3710100=+++2m c d b =-+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分其中91≤≤a ，91≤≤b ，9c 1≤≤，9d 1≤≤，a 、b 、c 、d 、k 、m 为整数∴kc b b k c b kc b c b 37111011137111013710100=+-=+=+++1371110k c b =+- （1k 为整数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∵89111079≤+-≤-c b∴7437037741110、、、、--=+-c b ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 ∴⎩⎨⎧==3711c b 或⎩⎨⎧==7422c b当⎩⎨⎧==3711c b 时，满足条件2m c d b =-+的5=d ，此时5=a 当⎩⎨⎧==7422c b 时，满足条件2m c d b =-+的⎪⎩⎪⎨⎧===743321d d d ，此时对应的⎪⎩⎪⎨⎧===478321a a a 综上所述，此四位数为5735、8473、7474、4477．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分25.一个两位正整数n ，如果n 满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n 为“启航数”，将n 的两个数位上的数字对调得到一个新数'n 。

2018重庆中考数学第25题专题训练五（含答案）1、（巴南区2016-2017学年初一下期末）2、如果任意一个多位数满足其所有的偶数位上的数字之和与所有的奇数位上的数字之和相等，我们就把这样的多位数统称为“奇偶均分数”.例如：对于多位数352，奇数位上的数字是3、2，偶数位上的数字是5，显然3+2=5，所以352是“奇偶均分数”。

（1）三位数中，最大的“奇偶均分数”是.求证：任意一个三位“奇偶均分数”都能被11整除；（2）对于任意一个四位“奇偶均分数”而言，如果前两位数字之和恰好等于后两位数字之和，我们就把这样的四位“奇偶均分数”称为“完美奇偶均分数”。

是否存在这样的“完美奇偶均分数”，其本身以及各个数位上的数字之和均能被7整除，如果存在，请求出它的值；如果不存在，请说明理由。

4、（1）一个两位数，其中a表示十位上的数字，b表示个位上的数字（a≠b，ab≠0），把十位、个位上的数字互换位置得到一个新两位数．则这两个两位数的和一定能被整除，这两个两位数的差一定能被整除．（2）将一个正整数从个位到最高位的数字依次重新书写成一个新数，恰好与原数相同，我们把这样的正整数称为“对称数”，如：5，33，565，2552，12421分别是一位、两位、三位、四位、五位“对称数”．①请你写出2个四位“对称数”，猜想任意一个四位“对称数”，能否被11整除，并用字母式子说明理由；②已知一个能被11整除的三位“对称数”，设其个位上的数字为x（1≤x≤4），十位上的数字为y，求y 与x的数量关系，并写出所有能被11整除的三位“对称数”．2018重庆中考数学第25题专题训练五答案解析1、解析：（1）3773、2332.（2）由已知得四位回文数为abba ， =100111011(9110)abba a b a b +=+，∴四位回文数abba 能被11整除。

（3）四位回文数为xyx ，2911111xyx x y x y -=++，728x y -≤-≤，20x y ∴-=2、解析：设完美奇偶均分数为abcd ，则a c b d a b c d +=+⎧⎨+=+⎩,a d b c ∴==∴这个完美奇偶均分数为abba ， 由已知得：51431577abba b a b =++，57b 是整数，0b ∴=或7b ∴=， 又2()a b b a a b +++=+能被7整除，22()36a b ≤+≤， 7,14,21,28,35.a b ∴+= 7707a a b b ==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩或 ，∴这个完美奇偶均分数为：7007,7777。

2023年重庆市中考数学试卷（A卷）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 8的相反数是( )A. ―8B. 8C. ―18D. 182.四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( )A.B.C.D.3. 反比例函数y=―4x的图象一定经过的点是( )A. (1,4)B. (―1,―4)C. (―2,2)D. (2,2)4. 若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是( )A. 1：2B. 1：4C. 1：8D. 1：165.如图，AB//CD，AD⊥AC，若∠1=55°，则∠2的度数为( )A. 35°B. 45°C. 50°D. 55°6. 估计2(8+10)的值应在( )A. 7和8之间B. 8和9之间C. 9和10之间D. 10和11之间7. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( )A. 39B. 44C. 49D. 548. 如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A=30°，AB=23，BC=3，则OC的长度是( )A. 3B. 23C. 13D. 69. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF=45°.若∠BAE=α，则∠FEC一定等于( )A. 2αB. 90°―2αC. 45°―αD. 90°―α10. 在多项式x―y―z―m―n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”.例如：x―y―|z―m|―n=x―y―z+m―n，|x―y|―z―|m―n|=x―y―z―m+n，….下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11. 计算：2―1+30=______ ．12.如图，正五边形ABCDE 中，连接AC ，那么∠BAC 的度数为______ ．13. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是______ ．14. 某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个，设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为______ ．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，点D 为BC 上一点，连接AD.过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F.若BE =4，CF =1，则EF 的长度为______ ．16.如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB =4，AD =3，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)17. 若关于x ≤4a ≥2至少有2个整数解，且关于y 的分式方程a ―1y ―2+42―y =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a 的值之和是______ ．18. 如果一个四位自然数―abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足―ab――bc=―cd，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129，∵41―12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53―32=21≠24，∴5324不是“递减数”.若一个“递减数”为―a312，则这个数为______ ；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数―abc与后三个数字组成的三位数―bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是______ ．三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。

GF EDCBA M 证明题1.如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E ．在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC ． 〔1〕求证：BE=CF ；〔2〕在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN ．2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD ⊥AB 交BE 的延长线于点D ，CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF ＝∠CBG 。

求证：〔1〕AF ＝CG ；〔2〕CF ＝2DE3.如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AB 、CD 上的点，AE=CF ，连接EF ，BF ，EF 与对角线AC 交于O 点，且BE=BF ，∠BEF=2∠BAC 。

〔1〕求证：OE=OF ；〔2〕假设BC=23，求AB 的长。

4.，如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，垂足为E ，CE=CD ，点F 为CE 的中点，点G 为CD 上的一点，连接DF 、EG 、AG ，∠1=∠2．〔1〕假设CF=2，AE=3，求BE 的长； 〔2〕求证：∠CEG=∠AGE ．5.如图1，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，点E 角平分线上一点，过点E 作AE 的垂线，过点A 作AB 的线段，两垂线交于点D ，连接DB ，点F 是BD 的中点，DH ⊥AC ，垂足为H ，连接EF ，HF 。

〔1〕如图1，假设点H 是AC 的中点，AC=23，求AB ，BD 的长。

〔2〕如图1，求证：HF=EF 。

〔3〕如图2，连接CF ，CE ，猜测：△CEF 是否是等边三角形？假设是，请证明；假设不是，请说明理由。

6.如图1，△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AC 边上，连结BE ． 〔1〕假设AF 是△ABE 的中线，且AF ＝5，AE ＝6，连结DF ，求DF 的长； 〔2〕假设AF 是△ABE 的高，延长AF 交BC 于点G ．①如图2，假设点E 是AC 边的中点，连结EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ；②如图3，假设点E 是AC 边上的动点，连结DF ．当点E 在AC 边上(不含端点)运动时，∠DFG 的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG 的度数；如果要变，请说明理由．7.在△ABC 中，AB=AC ，∠A=60°，点D 是线段BC 的中点，∠EDF=120°，DE 与线段AB 相交于点E ，DF 与线段AC 〔或AC 的延长线〕相交于点F.〔1〕如图1，假设DF ⊥AC ，垂足为F ，AB=4，求BE 的长；〔2〕如图2，将〔1〕中的∠EDF 绕点D 顺时针旋转一定的角度，DF 扔与线段AC 相交于点F.求证：1CF 2BE AB +=； 〔3〕如图3，将〔2〕中的∠EDF 继续绕点D 顺时针旋转一定的角度，使DF 与线段AC 的延长线交与点F ，作DN ⊥AC 于点N ，假设DN=FN ，求证：3()BE CF BE CF +=-.ABF DCE 25题图1 BAF DCEG25题图2 ABF DCEG25题图38.在四边形ABCD中，180ABC ADC∠+∠=︒，AB=BC.〔1〕如图1，假设90BAD∠=︒，AD=2，求CD的长度；〔2〕如图2，点P、Q分别在线段AD、DC上，满足PQ=AP+CQ，求证：1902PBQ ADC∠=︒-∠；〔3〕如图3，假设点Q运动到DC的延长线上，点P也运动到DA的延长线上时，仍然满足PQ=AP+CQ，那么〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给出证明过程，假设不成立，请写出PBQ∠与ADC∠的数量关系，并给出证明过程.9.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．〔1〕如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；〔2〕如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；〔3〕如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，〔2〕中的结论是否成立？假设成立，请给予证明；假设不成立，请说明理由．10.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在AB的延长线上，EF∥AD，EF=BE，点P是DE的中点，连接FP并延长交AD于点G．〔1〕过D作DH⊥AB,垂足为H，假设DH=BE=14AB,求DG的长；〔2〕连接CP，求证：CP⊥FP；〔3〕如图2，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，假设点E在CB的延长线上运动，点F在AB的延长线上运动，且BE=BF，连接DE,点P为DE的中点，连接FP、CP，那么第〔2〕问的结论成立吗？假设成立，求出PFCP的值；假设不成立，请说明理由．图1DABCADBCPQ图2ADBCPQ图3G11.如图1，ABC ∆中，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，连接DE . 〔1〕假设AB BC =，1DE =，3BE =，求ABC ∆的周长；〔2〕如图2，假设AB BC =，AD BD =，ADB ∠的角平分线DF 交BE 于点F ，求证：2BF DE =；〔3〕如图3，假设AB BC ≠，AD BD =，将ADC ∆沿着AC 翻折得到AGC ∆，连接DG 、EG ，请猜测线段AE 、BE 、DG 之间的数量关系，并证明你的结论。

重庆市中考数学第25题专题复习训练(含答案）1.已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE的中点，连接DF、CF。

DE ,求CF；（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC中点，2（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转45°时，线段DF、CF有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕A点顺时针旋转任意角度时，线段DF、CF又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；2. 如图所示，△ABC，△ADE为等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°．F为线段BD的中点．（1）如图1，点E在AB上，点D与C重合，EF=2，求AB的长.（2）如图2，当D、A、C在一条直线上时．线段EF与FC有何数量关系和位置关系？证明你的结论；（3）如图③，连接EF、FC，线段EF与FC又有何数量关系和位置关系？证明你的结论；．3.如图1，△ACB、△AED都为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，点D在AB上，连CE，M、N分别为BD、CE的中点．（1）求证：MN⊥CE；（2）如图2将△AED绕A点逆时针旋转30°，CE与MN有何数量关系和位置关系？证明你的结论．4. 已知，如图1，等腰直角△ABC中，E为斜边AB上一点，过E点作E F⊥AB交BC于点F，连接AF，G为AF 的中点，连接EG，CG。

（1）如果BE=2，∠BAF=30°，求EG，CG的长；（2）将图1中△BEF绕点B逆时针旋转45°，得如图2所示，取AF的中点G，连接EG，CG。

延长CG至M，使GM=GC，连接EM=EC，求证：△EMC是等腰直角三角形；（3）将图1中△BEF绕点B旋转任意角度，得如图3所示，取AF的中点G，再连接EG，CG，问线段EG和GC有怎样的数量关系和位置关系？并证明你的结论。

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等腰三角形、等边三角形一、选择题1.(山东临沂，12，3分)如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC，连接AD，BD.则下列结论：①AC=AD；②BD⊥AC；③四边形ACED是菱形。

其中正确的个数是（）(A)0 （B）1 （C）2 (D)3【答案】D【逐步提示】本题考查等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，先由等边三角形的性质得出∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，从而得出△ACD是等边三角形，得出①正确；再判断四边形ABCD是菱形，得出②正确；然后根据①结论得出四边形ACED是菱形,得出③正确．【详细解答】解：∵△ABC、△EDC是等边三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=CD，∴∠ACD=180°－∠ACB－∠DCE=60°,∴△ACD是等边三角形,∴AD=AC，故①正确；由①可得AD=BC=AB=CD，∴四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC，故②正确;由①可得AD=AC=CE=DE,故四边形ACED是菱形，即③正确．综上可得①②③正确，共3个．故选D．【解后反思】解答本题需掌握以下知识：（1）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°；（2)等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形;有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;(3）菱形的判定:①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形；（4)菱形的性质：①菱形是四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直且平分；③菱形的每一条对角线平分一组对角．【关键词】 等边三角形的判定;等边三角形的性质；菱形的判定；菱形的性质2。

重庆中考25题解题技巧
重庆中考数学25题是压轴题，难度较大，但只要掌握了解题技巧，就能更
好地应对。

首先，要认真审题，理解题意。

压轴题往往涉及多个知识点，综合性较强，需要仔细阅读题目，理解题目的要求和考察的知识点。

其次，要善于挖掘题目中的隐含条件，这些条件往往是解题的关键。

例如，在几何题目中，常常会涉及到角度、长度等未直接给出的量，可以通过已知条件推导出来。

第三，要掌握一些常用的数学方法和技巧，如代数运算、数形结合、分类讨论等。

这些方法和技巧可以帮助你更好地解题，提高解题效率。

第四，要注意解题的规范性。

在解题过程中，要注意步骤的完整性和规范性，避免因为步骤不完整或不规范而被扣分。

最后，要多练习。

只有通过不断的练习，才能更好地掌握解题技巧，提高解题能力。

总之，重庆中考数学25题虽然难度较大，但只要认真审题、挖掘隐含条件、掌握常用数学方法和技巧、注意解题规范性、多练习，就能更好地应对。