人教A版数学必修1：《3.2.1几类不同增长的函数模型》达标训练含解析

人教版A版高中数学必修一第3章 3.2.1几类不同增长的函数模型同步练习一、单选题1. ( 2分) 甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A. 甲比乙先出发B. 乙比甲跑的路程多C. 甲、乙两人的速度相同D. 甲比乙先到达终点【答案】D【考点】函数的表示方法【解析】【解答】由甲、乙两人的路程S 与时间t的函数关系图可知，甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点，故答案为：D．【分析】甲、乙两人所跑的总路程是相同的，但是乙用的时间更长，因此甲比乙先到达终点。

2. ( 2分)y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( )A. y1>y2>y3B. y2>y1>y3C. y1>y3>y2D. y2>y3>y1【答案】B【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点，幂函数的图像【解析】【解答】由题意可知，三个函数在区间（2，4）上都是单调递增，所以，，所以最小，由函数的图像可知，在区间（2，4）上，函数的图像恒在函数的图像上方。

所以，故答案为：B.【分析】在同一坐标系中，作出相应的图象，即可判断。

3. ( 2分) 有一组实验数据如下表所示：下列所给函数模型较适合的是( )A. y＝log a x(a>1)B. y＝ax＋b(a>1)C. y＝ax2＋b(a>0)D. y＝log a x＋b(a>1)【答案】C【考点】函数的图象与图象变化【解析】【解答】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故答案为：C.【分析】通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，结合四个图象，即可判断。

4. ( 2分) 若，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.【答案】A【考点】幂函数图象及其与指数的关系【解析】【解答】结合，及的图象易知，当时，. 故答案为：A【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性即可得出结论。

2014年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18.答案： A2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h解析： 设需经过x 次分裂，则4 096＝2x ，解得x ＝12，所以所需时间t ＝12×1560＝3(h)．故选C.答案： C3则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析： 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.答案： C4．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为____________． 解析： (1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0. 故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案： (1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？解析： 设工厂生产x 件产品时，依方案1的利润为y 1，依方案2的利润为y 2，则 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000.∵y 1<y 2，故应选择第1个方案处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000元，y 2＝108 000元．∵y 1>y 2，故应选择第2个方案处理污水．8．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问：怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则AF ＝(40－y ) cm.∵△AFE ∽△ACB ， ∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x 60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为 S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长为60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．解析： (1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0， ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t . (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)， 则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。

3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型5分钟训练 (预习类训练，可用于课前)1.某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品的数量分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=a ·b x +c （其中，a 、b 、c 为常数）.已知四月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由.思路解析：此题想判断哪个函数最好，可以先通过前三个月给出的条件，确定两种模拟函数中参量的值，再由4月份的产量判断谁更接近1.37万件，则哪个函数就更合理.求参数的方法可以采用待定系数法. 解：设x 表示月份，则⎪⎩⎪⎨⎧+∙==≠++==,)(,0)(221c b a x g y p qx px x f y x根据已知代入1、2、3月的产量，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,3.1,2.1,1,3.139,2.124,132c ab c ab c ab r q p r q p r q p 及确定函数表达式f （x ）=-0.05x 2+0.35x+0.7，g （x ）=-0.8×0.5x +1.4，利用计算器或计算机将x=4代入上述函数计算，得f （4）=1.3，g （4）=1.35. 所以选择y=-0.8×0.5x +1.4更合适. 2.试说明函数f(x)=(1+x)3在区间［0,0.1］上各点的函数值，可以近似地用一次函数g(x)=1+3x 在相应区间上各点的函数值来表示，其绝对误差小于0.1. 思路解析：要理解绝对误差的概念：差的绝对值. 解：|f(x)-g(x)|=|(1+x)3-(1+3x)| =|1+3x+3x 2+x 3-1-3x| =|3x 2+x 3|=x 2|x+3|. ∵x ∈［0,0.1］，∴|f(x)-g(x)|≤0.01×3.1<0.1.在区间［0,0.1］上，列出上述两个函数的近似值，如下表所示：的函数值，其误差小于0.1.10分钟训练 (强化类训练，可用于课中)1.商店某种货物的进价下降了8％，但销售价没变，于是这种货物的销售利润由原来的r ％增加到（r ＋10）％，那么r 的值等于( )A.12B.15C.25D.50 思路解析：销售利润=进价进价销售价-×100％.设销售价为y ，进价为x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⨯---=⨯-%).10(%100%)81(%)81(%,%100r x x y r xxy解之，得r=15.答案：B2.有一批材料可以建成200 m 的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如右图所示），则围成的矩形最大面积为_________m 2（围墙厚度不计）.思路解析：设矩形宽为x m ，则矩形长为（200-4x ） m ，则矩形面积为S=x （200-4x ）=-4（x-25）2+2 500（0＜x ＜50＝，∴x=25时，S 有最大值2 500 m 2. 答案：2 5003.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km ，火车出发10 min 开出13 km 后，以120 km/h 匀速行驶，试写出火车行驶路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的关系式，并求火车离开北京2 h 内行驶的路程.思路解析：这里不仅要明确匀速运动的路程=速度×时间，更要明确出发10 min 后作匀速运动，还要明确t 是匀速运动的时间，出发10 min 末，开始计时，即t=0，也即t=0时，s=13. 解：∵火车匀速运动的时间为(227-13)÷120=511 (h),∴0≤t ≤511. ∵火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t ，∴火车行驶的路程s 与t 的关系是s=120t （0≤t ≤511）.2 h 内火车行驶的路程s=13+120(2-61)=233(km). 4.某旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满.公司欲提高档次，并提高租金.如果每间客房每日增加2元，客房出租就会减少10间，若不考虑其他因素，公司将房间租金提高多少时，每天客房的租金总收入最高？ 思路解析：由题意可知每天客房总的房租y 元是x 个2元的函数，为帮助同学们理解这道应用题，我们先用列表法求解，然后再用函数求解. 解法一：由上表容易得到，当x=10，即每天租金为40元时，能租出客房200间，此时每天总租金最高，为8 000元，再提高租金，总收入就要小于8 000元.解法二：设客房租金每间提高x 个2元，则将有10x 间客房空出，客房租金总收入为y=(20+2x)(300-10x),x ∈N , 这个二次函数图象的对称轴为x=2301+-=10,20+2x=40. 当x=10时，y 有最大值为(20+20)(300-100)=8 000.答：将客房租金提高到40元/间时，客房租金总收入最高，每天为8 000元.快乐时光 狗 名妻子:“我想给小狗起个名字叫‘拜伦’,母亲说这样会侮辱了这位诗人;后来我想把你的名字改给它,母亲又说不好.” 丈夫:“你的母亲真好.”妻子:“她说这样会侮辱了小狗.” 30分钟训练 (巩固类训练，可用于课后)1.如右图所示，点Ｐ在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点Ｐ沿着A —B —C —M 运动时，以点Ｐ经过的路程x 为自变量，△APM 的面积函数的图象形状大致是( )思路解析：本题主要考查求分段函数的解析式，如题图所示，当0≤x ≤1时，y=21·x ·1=21x ； 当1＜x ≤2时，y=1-21（x-1）-41（2-x ）-41=-41x+43；当2＜x ≤2.5时，y=21（25-x ）×1=45-21x.故y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<+-≤<+-≤≤.5.22,4521,21,4341,10,21x x x x x x 图形为A.答案：A2.按复利计算利率的储蓄，银行整存一年，年息8％，零存每月利息2％，现把2万元存入银行3年半，取出后本利和应为人民币( ) A.2（1＋8％）3.5万元B.2（1＋8％）3（1＋2％）6万元C.2（1＋8％）3＋2×2％×5万元D.2（1＋8％）3＋2（1＋8）3（1＋2％）6万元思路解析：3年半本利和的计算问题，应转为3年按年息8％计算，而半年按6个月（月息2％）计算，又由于是复利问题，故只有选B. 答案：B3.将进货单价为8元的商品按10元一个销售，每天可卖出100个.若每个销售涨价一元，则日销售量减少10个.为获得最大利润，则此商品当日销售价应定为每个_________元. 思路解析：设每个涨价x 元，则实际销售价为（10+x ）元，销售的个数为（100-10x ），则利润为y=（10+x ）（100-10x ）-8（100-10x ）=-10（x-4）2+360（0≤x ≤10）. 因此x=4，即售价定为每个14元时，利润最大. 答案：144.在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的结果的误差，使得几次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量“最佳近似值”a 是这样一个量，与其他近似值比较，a 与各个数据的差的平方和最小，依此规定，以a 1，a 2，…，a n 推出的a=_________. 思路解析：设a 与各数据的差的平方和为y ，则y=（a-a 1）2+（a-a 2）2+…+（a-a n ）2=na 2-2a （a 1+a 2+…+a n ）+（a 12+a n 2+…+a n 2），因此a=na a a n+++ 21时，y 取得最小值.答案：na a a n+++ 215.某工厂生产某产品x 吨所需费用为P 元，而卖出x 吨的价格为每吨Q 元，已知P=1 000+5x+101x 2,Q=a+bx，若生产出的产品能全部卖掉，且当产量为150吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a 、b 的值.思路解析：利润=销售收入-生产费用(即成本). 解：设利润为y 元，则y=Qx-P=ax+bx 2-1 000-5x-101x 2=(b 1 -101)x 2+(a-5)x-1 000.依题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==---.15040,150)1011(25b a b a 化简得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+.40150,35300b a ba解得⎩⎨⎧-==.30,45b a6.国内投寄信函，邮资按下列规定计算：（1）信函质量不超过100克时，每20克付邮资80分，即信函质量不超过20克付邮资80分，信函质量超过20克但不超过40克，付邮资160分，依次类推； （2）信函质量超过100克但不超过200克时，每100克付邮资200分，即信函质量超过100克但不超过200克，付邮资（A+200）分，A 为质量为100克的信函的邮资，信函质量超过200克但不超过300克，付邮资（A+400）分，依次类推；设一封x 克(0<x ≤200)的信函应付邮资y 分，试写出y 与x 之间的函数关系式，并画出这个函数的图象.思路解析：投寄信函所付邮资是按信函质量分别为(0,20],(20,40],(40,60],…,(100,200], (200,300],…分段付费的，这是一个分段函数.解：这个函数的定义域为{x|0<x ≤200}，函数解析式为y=].200,100(],100,80(],80,60(],60,40(],40,20(],20,0(,600,400,320,240,160,80∈∈∈∈∈∈⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧x x x x x x它的图象是6条线段（不包括左端点），都平行于x 轴，如图所示.7.一家人（父亲、母亲、孩子）去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策.甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价，乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的32计算，这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？解：设两家旅行社的原价为a （a ＞0），家庭孩子个数为x （x ∈N *），甲、乙两家旅行社收费分别为f （x ）和g （x ），则f （x ）=a+（x+1）·2a=2a x+23a （x ∈N *），g （x ）=（x+2）·32a=32a x+34a （x x ∈N *），g （x ）≥f （x ），得2a x+23a ≤32a x+34a ，∴x ≥1. 因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社. 8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，t min 后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0＋（θ1-θ0）e -kt 确定，k 是常数.现有62℃的物体，放在15℃的空气中冷却，1 min 后物体的温度是52℃.求常数k 的值并计算开始冷却后多长时间物体的温度是42℃？（精确到小数点后一位有效数字） 解：由题意知52=15+（62-15）e -k ，e -k =4737=0.787 2. 两边取对数，得-klge=lg0.787 2， ∴k=elg 1039.0=2.303×0.103 9=0.239 3. 又θ-θ0=（θ1-θ0）e -kt ，则lg （θ-θ0）=lg （θ1-θ0）-ktlge ， 则t=ek lg )lg()lg(001θθθθ---=1039.0)lg()lg(001θθθθ---.将θ1=62，θ2=15代入上式得t=1039.0)15lg(6721.1--θ，若θ=42℃，则t ≈2.3 min.。

3.2.1几类不同增长的函数模型知识点一常见的增长模型1．线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．2．指数函数模型能利用指数函数(底数a>1)表达的函数模型叫指数函数模型．指数函数模型的特点是随自变量的增大，函数值的增长速度越来越快，常形象地称为指数爆炸．3．对数函数模型能用对数函数(底数a>1)表达的函数模型叫做对数函数模型，对数函数增长的特点是随自变量的增大，函数值增长速度越来越慢．4．幂函数模型幂函数y＝x n(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．函数模型的选取(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值越小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．知识点二指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)增长速度的比较1．在区间(0，＋∞)上，函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长速度不同，且不在同一个“档次”上．2．在区间(0，＋∞)上随着x的增大，y＝a x(a>1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．()(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x<x n<a x 成立．()所示，则可选择的模拟函数模型是()＝ax2＋bx＋c＝a ln x＋b由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型答案：B象上可观察出函数的增长变化情况．如图：类型二三类函数图象综合运用例2判断方程2x＝x2有几个实根．【解析】设y1＝x2，y2＝2x，作出这两个函数的图象，由图象知，方程一定有一个负根，当x>0时，开始y1＝x2在y2＝2x图象的下方，但此时由于y1＝x2比y2＝2x增长的速度快，所以存在x0当x>x0时，y1＝x2的图象就会在y2＝2x的上方，故此时产生一个实根x0，但最终还是y2＝2x比y1＝x2增长得快，故存在x1，当x>x1时，y2＝2x的图象又在y1＝x2的上方，故又产生一个实根x1，以后就永远是y2＝2x比y1＝x2增长得快了，故再没有实根了，故此方程有三个实根.(1)根据指数函数与幂函数增减得快慢以及图象的上下位置判断出是否有实根．(2)对于较复杂的方程根的个数问题，利用数形结合法较为方便，其解题步骤为：①先设出两个可画图象的函数；②画出两个函数的图象；③由图象观察，其交点横坐标的个数即为方程实数解的个数．方法归纳由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练2函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解析：(1)由题图知，C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x ∈(0，x 1)时，g (x )>f (x )；当x ∈(x 1，x 2)时，g (x )<f (x )；当x ∈(x 2，＋∞)时，g (x )>f (x )．f(x)＝lg x 图象是曲线．g(x)＝0.3x －1图象是直线．类型三 函数模型的选择问题例3 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份x ，产量为y 给出三种函数模型： y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？【解析】 由题意，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．(1)设模拟函数为y ＝ax ＋b 时，将B ，C 两点的坐标代入函数式，得⎩⎨⎧ 3a ＋b ＝1.3，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎨⎧ a ＝0.1，b ＝1.所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的．(2)设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1.2，9a ＋3b ＋c ＝1.3，方法归纳数学知识来源于客观实际，服务于实际问题．数学是人们认识世界、改造世界的工具，其中函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要不同的函数模型来描述．面临一个实际问题，选择合适的数学模型是一件非常重要的事情，根据三种不同的增长模型的特点，选择符合自己的模型，才能产生更大的经济效益．跟踪训练31626年，有人从印第安人手里以60荷兰基尔特(相当于24美元)的代价借用纽约的曼哈顿岛，并在借据上注明：归还此岛时，对方要还本付息，年利率是6%，但借据上没有注明利息是按单利计算还是按复利计算．事隔354年之后的1980年，双方当事人的后代到法院打官司说是利息支付不公，要求法院判明是非．法官请数学家作了计算，结果使法官大吃一惊．请问按两种方法计算出的本息和分别是多少？解析：若按单利算，本息和是24×6%×354＋24＝533.76(美元)．若按复利算，本息和是24(1＋6%)354≈2.2×1010(美元)．理解单利、复利的概念．利用公式来计算.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列函数中，随x的增大，增长速度最快的是()A．y＝1 B．y＝xC．y＝2x D．y＝log3x解析：结合函数y＝1，y＝x，y＝2x及y＝log3x的图象可知，随着x的增大，增长速度最快的是y＝2x.答案：C2．如图所示给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是())y＝a x与y＝log a x的单调性相同，由此可排除轴上的截距为a，则选项A中0<a<1，选项B 的图象不符，排除A，B，选D.的图象在函数g(x)＝2．据报道，青海湖水在最近50年内减少了2013年起，过①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变，________．c：y＝x d：c：y＝2－x d：c：y＝x d：c：y＝2－x d：．某医疗研究所开发一种新药，如果成人按规定的剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量y与时间。

3.2.1几类不同增长的函数模型一、选择题.1．某工厂10年来某种产品总产量C 与时间t （年）的函数关系如下图所示，下列四种说法，其中说法正确的是:①前五年中产量增长的速度越来越快 ②前五年中产量增长的速度越来越慢 ③第五年后，这种产品停止生产 ④第五年后，这种产品的产量保持不变A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④2．如下图△ABC 为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l ⊥AB ，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则y =f （x ）的图象大致为3．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间且有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为A ．3B ．4C ．6D ．124．已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x 年的剩留量为y ，则y 与x 的函数关系是A ．y ={0．9576}100xB ．y ={0．9576}100xC ．y =（1009576.0）x D ．y =1－（0．0424）100x 5．某人骑自行车沿直线匀速旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又沿原路返回b 千米（b <a ），再前进c 千米，则此人离起点的距离s 与时间t 的关系示意图是二、填空题.6．某工厂1992年底某种产品年产量为a ，若该产品的年平均增长率为x ，2000年底该厂这种产品的年产量为y ，那么y 与x 的函数关系式是______________________________．7．周长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（半径为r ），若矩形底边长为2x ，此框架围成的面积为y ，则y 与x 的函数解析式是_________________________________．8．某轮船在航行中每小时所耗去的燃料费与该船航行速度的立方成正比，且比例系数为a ，其余费用与船的航行速度无关，约为每小时b 元，若该船以速度v 千米/时航行，航行每千米耗去的总费用为 y （元），则y 与v 的函数解析式为________．9．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y =a ·（0．5）x +b ，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1．5万件．则此厂3月份该产品的产量为____________________．10．国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税，超过4000元的按全稿酬的11%纳税．某人出版了一本书，共纳税420元，这个人的稿费为__________元．三、解答题.11.一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2．4%，如果月末售出可获利120元，但要付保管费5元，问这种货是月初售出好，还是月末售出好？12.某种商品现在定价每年p 元，每月卖出n 件，因而现在每月售货总金额np 元，设定价上涨x 成，卖出数量减少y 成，售货总金额变成现在的z 倍．（1）用x 和y 表示z. （2）若y =32x ，求使售货总金额有所增加的x 值的范围． 13.茜种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税P 元，因此每年销售量将减少203P 万件。

课后训练基础巩固1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )A ．一次函数B ．幂函数C ．指数型函数D ．对数型函数2．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( )A ．y ＝50B ．y ＝1 000xC ．y ＝2x －1D ．1ln 1000y x = 3．某电脑公司六年来电脑总产量y (台)与生产时间x (年)的函数关系如图．有下列说法：①前三年产量增长速度越来越快；②前三年产量增长速度越来越慢；③后三年这种产品停止生产；④后三年产量保持不变．其中说法正确的是( )A ．②③B ．②④C ．①③D ．①④4A ．y ＝2x －1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2x －1D ．y ＝1.5x 2－2.5x ＋25．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )A ．14 400亩B ．172 800亩C ．17 280亩D ．20 736亩6．某种动物繁殖数量y (只)与时间x (年)的关系式为y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．500只D ．600只7．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x ＞1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x ，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x8．若a ＞1，n ＞0，那么当x 足够大时，a x ，x n ，log a x 的大小关系是__________． 能力提升9( )A ．s －1＝2t －3B ．23log 2s t =C．2s＝t2－1 D．s＝2t－210．下图所示的为某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系y＝a t的图象．有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时浮萍面积就会超过30 m2；③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积相等；⑤若浮萍蔓延到2 m2，3 m2，6 m2所经过的时间分别为t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中正确的叙述是()A．①②④B．①②③④C．①②⑤D．②③④⑤11．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致为()12．某地一年内的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃，令C(t)表示时间段[0，t]内的平均气温，C(t)与t之间的函数关系用下列图象表示，则正确的应该是()13．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按2.15元/km收费；超过8 km时，超过部分按2.85元/km收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车最多行驶了__________km．14．(压轴题)电信局为了配合客户的不同需要，设有A，B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(分钟)之间的关系如图所示(实线部分)(注：图中MN∥CD)．试问：(1)若通话时间为2小时，按方案A，B各付话费多少元？(2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？错题记录参考答案1．D点拨：初期利润增长迅速，后来增长越来越慢．可用对数型函数模型来反映调整后利润与时间的关系．2．C点拨：指数函数增长速度最快，故选C．3．B点拨：由图象可知说法②④正确．4．D点拨：画散点图或代入数值，选择拟合效果最好的函数，故选D．5．C点拨：y＝10 000×(1＋20%)3＝17 280．6．A点拨：由题意，得a log22＝100，即a＝100，故y＝100log2(x＋1)．将x＝7代入得y＝100log28＝300．7．D点拨：当x足够大时，跑在最前面的人具有的函数关系为指数型函数．8．a x＞x n＞log a x9．C点拨：结合实验数据及每个函数的特征可得．10．C点拨：该函数为y＝2x．将题目中所给数据代入验证即可获得答案为C．11．D点拨：设林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．因为函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．12．A点拨：由题图知，当t＝6时，C(t)＝0，排除C；当t＝12时，C(t)＝10，排除D；在大于6的某一段时间平均气温大于10 ℃，所以排除B．故选A．13．9点拨：设出租车行驶的路程为x km，付费为y元．由题意得，9038 2.15(3)1388 2.155 2.85(8)18xy x xx x<≤⎧⎪=+⨯-+<≤⎨⎪+⨯+⨯-+>⎩，，，，，，令y＝22.6，解得x＝9．14．解：由图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD．设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为f A(x)，f B(x)，则f A(x)＝98,060,380,60; 10xx x≤≤⎧⎪⎨+>⎪⎩f B(x)＝168,0500, 318,500. 10xx x≤≤⎧⎪⎨+>⎪⎩(1)通话2小时，两种方案的话费分别为116元、168元．(2)因为f B(n＋1)－f B(n)＝310(n＋1)＋18－310n－18＝310＝0.3(元)(n＞500)，所以方案B从500分钟以后，每分钟收费0.3元．(3)由图知，当0≤x≤60时，有f A(x)＜f B(x)．当x＞500时，f A(x)＞f B(x)，当60＜x≤500时，由f A(x)＞f B(x)，得x＞8803，因此当通话时间大于8803分钟时，方案B比方案A优惠．。

【创新设计】2022届高考数学 3-2-1几类不同增长的函数模型错误!1．当越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是．A．＝100 B．＝og100C．＝100D．＝100解析由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当越来越大时，函数＝100增长速度最快．答案 D2．1＝2，2＝2，3＝og2，当2＜＜4时，有．A．1＞2＞3B．2＞1＞3C．1＞3＞2D．2＞3＞1解析在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象图略，在区间2,4内，从上到下图象依次对应的函数为2＝2，1＝2，3＝og2，故2＞1＞3答案 B3．某种动物繁殖数量只与时间年的关系为＝a og2＋1，设这种动物第一年有100只，到第7年它们发展到．A．300只 B．400只C．500只 D．600只解析由＝1时，＝100，得a＝100把＝7代入，得＝100og28＝300答案 A4．已知某工厂生产某种产品的月产量与月份满足关系＝a·＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、万件．则此厂3月份该产品产量为________．解析由错误!得错误!∴＝－2×＋2，所以3月份产量为＝－2×＋2＝万件．答案万件5．假设某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a错误!，那么广告效应D ＝a错误!－A，当A＝________时，取得最大广告效应，此时收入R＝________解析D＝a错误!－A＝－错误!－错误!2＋错误!，∴当错误!＝错误!，即A＝错误!时，D最大．此时R＝a错误!＝错误!答案错误!错误!6．有一种树木栽植五年后可成材．在栽植后五年内，年增加20%，如果不砍伐，从第六年到第十年，年增长10%，现有两种砍伐方案：甲方案：栽植五年后不砍伐，等到十年后砍伐．乙方案：栽植五年后砍伐重栽，再过五年再砍伐一次．请计算后回答：十年内哪一个方案可以得到较多的木材解设树林最初栽植量为a，甲方案在10年后树木产量为a1＋20%51＋10%5＝a×5≈4a1＝乙方案在10年后树木产量为a1＋20%5＝2a·≈4.98a2＝2a－4.98a＜0，1－2＝4因此，乙方案能获得更多的木材不考虑最初的树苗成本，只按成材的树木计算．错误!7．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是．A．增加% B．减少%C．减少% D．不增不减解析设该商品原价为a，四年后价格为a1＋21－2＝ 6a，所以1－ 6a＝ 4a＝%a，即比原来减少了%答案 B8．如图，△ABC为等腰直角三角形，直线与AB相交且⊥AB，直线截这个三角形所得的位于直线在右方的图形面积为，点A到直线的距离为，则＝f的图象大致为四个选项中的．解析设AB＝a，则＝错误!a2－错误!2＝－错误!2＋错误!a2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在轴上方，故选C答案 C9．以下是三个变量1、2、3随变量变化的函数值表：12345678…1248163264128256…21491625364964…30123…其中关于呈指数函数变化的函数是________．解析从题表格可以看出，三个变量1、2、3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量1的增长速度最快，画出它们的图象图略，可知变量1呈指数函数变化，故填1答案110．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是________．解析设这一年中月平均增长率为,1月份的产量为M，则M1＋11＝a·M，∴＝错误!－1答案错误!－111．北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少一元则增加销售400枚，而每增加一元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为元．1写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润元与每枚纪念章的销售价格的函数关系式并写出这个函数的定义域．2当每枚纪念章销售价格为多少元时，该特许专营店一年内利润元最大，并求出这个最大值．解1依题意，＝错误!∴＝错误!此函数的定义域为7,40．2＝错误!若7＜≤20，则当＝16时，ma＝32 400元．若20＜＜40，则当＝错误!时，ma＝27 225元．综上可得当每枚纪念章销售价格为16元时，该特许专营店获得的利润最大，为32 400元．12．创新拓展已知桶1与桶2通过水管相连如图所示，开始时桶1中有a L水，t min后剩余的水符合指数衰减函数1＝ae－n t，那么桶2中的水就是2＝a－a e－n t，假定5 min后，桶1中的水与桶2中的水相等，那么再过多长时间桶1中的水只有错误! L解由题意，得a e－5n＝a－a·e－5n，即e－5n＝错误!①设再过t min后桶1中的水有错误!则ae－nt＋5＝错误!，e－nt＋5＝错误!②将①式平方得e－10n＝错误!③比较②、③得－nt＋5＝－10n，∴t＝5 即再过5 min后桶1中的水只有错误! L。

一．选择题1．如图，阴影部分的面积S 是h (0≤h ≤H )的函数，则该函数的图像是图中的( )A ．B ．C ．D ．【答案】C点睛：观察函数的单调性和变化趋势来解决问题，本题观察阴影部分的变化情况，首先可知是减函数，再根据等长递减观察，可知递减的趋势是由快变慢的，故得到图象为C 选项。

2．若－1<x <0，则不等式中成立的是( ) A ． 5－x <5x <0.5x B ． 5x <0.5x <5－x C ． 5x <5－x <0.5x D ． 0.5x <5－x <5x 【答案】B【解析】画出1235,5,0.5x x x y y y -===的图象如下，50.55x x x -<<，故选B 。

3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ． f (x )>g (x )>h (x )B ． g (x )>f (x )>h (x )C ． g (x )>h (x )>f (x )D ． f (x )>h (x )>g (x ) 【答案】B【解析】由函数性质可知，在()4,+∞区间，指数函数()2xg x =增长最快，对数函数()2log h x x =增长最慢，所以()()()g x f x h x >>，故选B 。

4．三个变量，，随着变量的变化情况如下表：则关于A ． ，，B ． ，，C ．，，D ．，，【答案】C考点：指对幂函数模型增长的比较. 学@#科网5．某工厂第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则（ ） （A ）2b a x +≥（B ）2b a x +> （C ）2b a x +≤ （D ）2ba x +< 【答案】C【解析】2)211()1)(1()1(22ba xb a b a x +≤⇒+++≤++=+ 6．三个变量y 1，y 2，y 3随着变量x 的变化情况如下表：A ． y 1，y 2，y 3B ． y 2，y 1，y 3C ． y 3，y 2，y 1D ． y 1，y 3，y 2 【答案】C【解析】从题表格可以看出，三个变量123y y y 、、都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量2y 的增长速度最快，呈指数函数变化，变量3y 的增长速度最慢，对数型函数变化， 故选C 二．填空题7．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元． 【答案】3008．某电脑公司2015年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%.该公司预计2017年经营总收入要达到 1 690万元，且计划从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，2016年预计经营总收入为________万元． 【答案】1300【解析】因为从2015年到2017年，每年经营总收入的年增长率相同，所以可设年增长率为x ，则有()24001311690,1010400x x ⨯+=+=，因此2016年预计经营总收入为400131300010400⨯=（万元），故答案为1300. 9．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(f(3))的值等于________．【答案】2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f(f(3))＝f(1)＝2. 三．解答题10．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．” 你觉得哪个公司捐款最多？【答案】丙公司捐款最多．【解析】【分析】列出表格，计算甲乙丙三个公司捐款总和，得出结论【详解】三个公司在10天内捐款情况如下表所示：1.2由上表可以看出，丙公司捐款最多为102.3万元，即丙公司捐款最多．【点睛】本题主要考察常函数，一次函数，和指数函数三种函数模型的增长速度，即指数函数>一次函数>常函数11．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数y＝log a(t－5)＋83(a＞0且a≠1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求p＝f(t)的函数关系式；(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2) 见解析.【解析】【详解】。

3.2函数模型及其应用3．2.1几类不同增长的函数模型知识点一：线型增长模型1．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是A．310元B．300元C．290元D．280元2．从山顶到山下的招待所的距离为20千米．某人从山顶以4千米/时的速度到山下的招待所，他与招待所的距离s(千米)与时间t(小时)的函数关系用图象表示为3．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：表表根据以上提供的信息，市场供需平衡点(即供给量和需求量相等时的单价)应在区间A．(2.3,2.4) B．(2.4,2.6) C．(2.6,2.8) D．(2.8,2.9) 知识点二：指数型增长模型4．一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖，每三分钟分裂一次，假设将一个这种细胞放在一个盛有营养液的容器中，恰好一小时这种细胞充满容器，假设开始将两个细胞放入容器，同样充满容器时间是A ．27分钟B ．30分钟C ．45分钟D ．57分钟 5．据报载，青海湖水在近50年内减少了10%，按此速度，设2000年湖水量为m ，从2000年起经过x 年后湖水量y 与x 的关系是A ．y ＝0.950x m B ．y ＝(1－0.150x )·mC ．y ＝0.950x ·mD ．y ＝(1－0.150x )m6．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(已知lg2≈0.301 0)A ．6次B ．7次C ．8次D ．9次7．1999年10月12日“世界60亿人口日”提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口增长的紧迫任务摆在了我们的面前．世界人口在过去40年内翻了一番，则每年人口平均增长率是__________．(lg2＝0.301 0) 知识点三：三种函数模型的比较8．若x ∈(0,1)，则下列结论正确的是A ．2x＞x 12＞lgx B ．2x＞lgx ＞x 12C ．x 12＞2x＞lgx D ．lgx ＞x 12＞2x9．在y ＝2x ，y ＝log 2x ，y ＝x 这三个函数中，当0＜x 1＜x 2＜1时，使f(x 1＋x 22)＞f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 10．当x →＋∞时，下列函数中，增长速度最快的应该是 A ．y ＝2x B ．y ＝100x 2C ．y ＝100xD ．y ＝1100e x能力点一：根据函数的特点选择函数模型 11在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是 A ．v ＝log 2t B ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －212．某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 公顷关于年数x 的函数关系式较为近似的是A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x) C ．y ＝2x10D ．y ＝0.2＋log 16x能力点二：根据函数图象分析函数模型13．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min 收费0.2元；超过3 min 以后，每增加1 min 收费0.1元，不足1 min 按1 min 计费，则通话收费S(元)与通话时间t(min)的函数图象可表示为图…14．我国进入WTO 时，根据达成的协议，若干年内某产品关税与市场供应量P 的关系近似满足P(x)＝22(1kt)(x b)－－ (其中t 为关税的税率，且t ∈[0，12)，x 为市场价格，b 、k 为正常数)，当t ＝18时的市场供应量曲线如图所示．(1)根据图象求b 、k 的值；(2)记市场需求量为Q ，它近似满足Q(x)＝2112x，当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．能力点三：运用不等式法分析函数模型15．一家人(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社同时发出邀请，且有各自的优惠政策．甲旅行社承诺，如果父亲买一张全票，则其家庭成员均可享受半价；乙旅行社承诺，家庭旅行算团体票，按原价的23计算．这两家旅行社的原价是一样的，若家庭中孩子数不同，试分别列出两家旅行社优惠政策实施后的以孩子个数为变量的收费表达式，比较选择哪家更优惠？16．某种商品进价为每个80元，零售价为每个100元，为了促销采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品价值为1元时，销售量增加10%，且在一定范围内，礼品价值为(n ＋1)元时，比礼品价值为n 元(n ∈N *)时的销售量增加10%.(1)写出礼品价值为n 元时，利润y n (元)与n(元)的函数关系式； (2)请你设计礼品的价值，以使商店获得最大利润．17．如图所示，某池塘中浮萍蔓延的面积y(m 2)与时间t(月)的关系y ＝a t ，有以下叙述：①这个指数函数的底数为2；②第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2；③浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过1.5个月；④浮萍每月增加的面积都相等；⑤若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别为t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3.其中正确的序号是__________．答案与解析基础巩固 1．B2．C s ＝20－4t ，t ∈[0,5]．3．D 根据题目中给出的表格，我们可以对应着作出数据的散点图，可很容易地发现适合用一次函数分别作供应量和需求量的近似模拟函数，则供给量函数为y ＝20x ＋10，需求量函数为y ＝－15x ＋110，由20x ＋10＝－15x ＋110，得x ＝207≈2.86，故选D.4．D 设需要经过x 分钟，由2×23x ＝220，得x ＝57(分钟)． 5．A 设湖水每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150.∴x 年后湖水量y ＝m·(q%)x ＝m·0.950x.6．C 因每次抽出后剩余量构成指数函数y ＝0.4n ，由题意0.4n ＜0.1%，由计算器可算得n ＝8.故选C.7．1.7% 设每年人口平均增长率为x.由题意可知30(1＋x)40＝60， ∴(1＋x)40＝2.两边取对数，得40lg(1＋x)＝lg2，lg(1＋x)＝lg240≈0.007 5，∴1＋x ＝1.017，x ＝1.7%.8．A ∵x ∈(0,1)，∴分别由指数函数、对数函数、幂函数的单调性知2x＞1,0＜x 12＜1，lgx ＜0，故2x＞x 12＞lgx.9．B 作出图象，图象分三种：直线型，例如一次函数的图象；向上弯曲型，例如指数函数f(x)＝2x 的图象；向下弯曲型，例如对数函数f(x)＝lgx 的图象，可知只有y ＝2x 符合要求．10．D ∵2＜e ，∴y ＝1100e x增长速度最快．能力提升 11．C12．C 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A.故选C. 13．B 0＜t ≤3时，S ＝0.2； 3＜t ≤4时，S ＝0.3；…；故选B.14．解：(1)由图象知221581782122kb k b (-)(-)(-)(-)⎧=⎪⎨⎪=⎩⇒⎩⎨⎧(1－k8)(5－b )2＝0(1－k8)(7－b )2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，k ＝6. (2)P ＝Q 时，22(16t)(x 5)－－＝2112x -，即(1－6t)(x －5)2＝11－x 2，2(1－6t)＝22－x (x －5)2＝17(x －5)2－1(x －5). 令m ＝1x －5，∵x ≥9，∴m ∈(0，14]．故2(1－6t)＝17m 2－m.当m ＝14时，2(1－6t)取最大值1316，故t ≥19192，即税率的最小值为19192.15．解：设两家旅行社的原价为a(a ＞0)，家庭孩子个数为x(x ∈N *)，甲、乙两家旅行社收费分别为f(x)和g(x)，则f(x)＝a ＋(x ＋1)·a 2＝a 2x ＋32a(x ∈N *)，g(x)＝(x ＋2)·2a 3＝2a 3x ＋4a3(x ∈N *)，由f(x)≤g(x)，得a 2x ＋3a 2≤2a 3x ＋4a3，∴x ≥1.因此，当家庭只有1个孩子时，两家随便选择，当孩子数多于1个时，应选择甲旅行社． 16．解：(1)设未赠礼品时的销售量为m 件，则当礼品价值为n 元时，销售量为m(1＋10%)n ；利润y n ＝(100－80－n)·m·(1＋10%)n＝(20－n)·m·1.1n (0＜n ＜20，n ∈N *)．(2)令y n ＋1－y n ≥0，即(19－n)·m·1.1n ＋1－(20－n)·m·1.1n ≥0， 解得n ≤9，所以y 1＜y 2＜y 3＜…＜y 9＝y 10；令y n ＋1－y n ＋2≥0，即(19－n)·m·1.1n ＋1－(18－n)·m·1.1n ＋2≥0， 解得n ≥8.所以y 9＝y 10＞y 11＞y 12＞y 13＞…＞y 19.所以礼品价值为9元或10元时，商店获得最大利润．拓展探究17．①②⑤ ①显然正确；当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，故②正确；当t ＝2时，y ＝4，当t ＝3.5时，y ＝11.31＜12，故经过3.5个月并不能使浮萍的面积达到12 m 2，故③不正确；由图象可知，经过第一个月时，面积增加2－1＝1(m 2)，再经过一个月时，面积为4－2＝2(m 2)，故④不正确；当浮萍面积为2 m 2时，t 1＝1，当浮萍面积为3 m 2时，t 2＝log 23，当面积为6 m 3时，t 3＝log 26，而1＋log 23＝log 26，故⑤正确．。