空间直角坐标系讲义.

X的方程及空间直角坐标系(讲义) >知识点睛一、圆的方程1. 圆的标准方程： ______________________ ,圆心： ________, 半径：________.2. 圆的一般方程：圆心： 二、位置关系的判断(1) 点与圆由两点间的距离公式计算点到圆心的距离"，比较"，r 大小. ① 已知点Vo)与圆的标准方程(x-a}\(y'-b)-=r,则计算矿二 _________________ ，比较沪，尸大小. ② 已知点P(xo, yo)与圆的一般方程X- + y- +Dx + Ey + F = 0 ,则计算 _____________________ ,与0比较大小.(2) 直线与圆① 利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离"，比较 ",r 大小.② 联立直线与圆方程，得到一元二次方程，根△判断： 'A <O ,直线与圆相离.A = 0,直线与圆相切.△ >0,直线与圆相交(3)圆与圆利用两点间的距离公式求圆心距d,结合两圆半径和〃的关系 判断.三、常见思考角度1. 直线与圆位置关系常见考査角度(1)过定点求圆的切线方程① 判断该点与圆的位置关系(若点在圆内，则无切线). ② 根据切线的性质求切线方程.若点在圆上，则利用切线垂直于过切点的半径求切线方程： 若点在圆外，则分别讨论 ___________________ ,设点斜式 利用〃二r 建方程求解.[gl（2）直线与圆相交求弦长结合垂径定理和勾股定理，半径长厂圆心到直线的距离丛 弦长/满足关系式：厂2=〃2+（_厂22. 圆与圆位置关系常见考査角度（1） 两圆相交求公共弦所在直线方程设圆G ：x2+y2 + DrV + Ej + F| = 0,C2：x2+b+0x + E* + F2 = O,则公共弦所在直线的方程为 （0 — D? ）x + （E] — £*2） y + F[—尸2 = 0 -（2） 两圆相交求公共弦长求出公共弦所在直线方程及其中一圆圆心到公共弦的距离， 垂径定理、勾股定理结合求弦长.四、轨迹方程在平面直角坐标系中，点M 的轨迹方程是指点M 的坐标 （X, y ）满足的关系式.五、空间直角坐标系Ovvz （右手直角坐标系）如图1, 0点叫做坐标原点，牙轴、y 轴、2轴叫做坐标 轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.zn六、空间直角坐标系中点的坐标如图2,过点M 分别作垂直于X 轴，y 轴和Z 轴的平面，依 次交X 轴，y 轴和Z 轴于点P, e 和设点P, Q 和R 在牙 轴，y 轴和Z 轴上的坐标分别是X, y 和Z,那么点M 对应唯 —确定的有序实数组U ，y,刀.有序实数组馆）* 201做点M 在此空间直角坐标系中的坐标， 记作MS ，y, z ）.其中X 叫做点M 的 __________ , y 叫做点 M 的 __________ , Z 叫做点M 的 __________ .-1 -- B»1 "Z C'A' BC>1 \ >1 0 X七、空间两点间的距离公式如图3,设空间直角坐标系中点P 的坐标是（兀，y, Z ）,则 IOPI = ____________________ .如图4,设点£（易，y,, Z,）, RC E ，＞'2»空）是空间中任意两点, 则 IA A1= ___________________ .A/ P 、 Pl精讲精练写出下列圆的标准方程：(I)圆心在C(-3,4” 半径长为^/J•(2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5J)・2 . 下列方程：①W+y2-6x=0 ；②-2%+4 V-6=0 ；③W+y，二。

空间直角坐标系课件空间直角坐标系课件空间直角坐标系是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。

本文将通过介绍空间直角坐标系的定义、特点以及应用等方面，来探讨这一主题。

一、定义与特点空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴构成的，分别是x轴、y轴和z轴。

这三个轴构成了一个三维的坐标系，用来描述空间中的点的位置。

在空间直角坐标系中，每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x表示点在x 轴上的坐标，y表示点在y轴上的坐标，z表示点在z轴上的坐标。

空间直角坐标系具有以下特点：1. 三个坐标轴相互垂直：x轴与y轴、x轴与z轴、y轴与z轴两两垂直。

2. 坐标轴上的单位长度相等：在空间直角坐标系中，每个坐标轴上的单位长度相等，通常表示为1。

3. 坐标轴上的正方向：x轴正方向为从左向右，y轴正方向为从下向上，z轴正方向为从里向外。

二、应用领域空间直角坐标系在几何学、物理学等领域都有广泛的应用。

1. 几何学中的应用空间直角坐标系在几何学中被用来描述点、直线、平面等几何图形。

通过坐标系中的点的位置关系，可以计算两点之间的距离、直线的斜率、平面的方程等。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算向量的坐标。

2. 物理学中的应用在物理学中，空间直角坐标系常被用来描述物体的运动、力的作用等。

通过坐标系中的点的位置变化，可以计算物体的位移、速度、加速度等物理量。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算力的分解、合成等问题。

3. 工程学中的应用在工程学中，空间直角坐标系被广泛应用于建筑、机械、电子等领域。

通过坐标系中的点的位置关系，可以计算建筑物的结构、机械零件的尺寸、电子元器件的布局等。

同时，空间直角坐标系还可以用来表示和计算工程中的力、力矩等问题。

三、坐标系的转换在实际应用中，有时需要将一个空间直角坐标系转换为另一个空间直角坐标系。

坐标系的转换可以通过旋转、平移等方式进行。

通过坐标系的转换，可以方便地进行坐标的变换和计算。

1.3空间向量及其运算的坐标表示1．3.1空间直角坐标系知识梳理知识点一空间直角坐标系1．空间直角坐标系及相关概念(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．知识点二空间一点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝x i ＋y j ＋z k .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．知识点三空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a .由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝x i ＋y j ＋z k .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，上式可简记作a ＝(x ，y ，z )．题型探究题型一、空间中点的位置及坐标特征1．若空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，则=a （）A ．1B ．0C ．±1D ．1-【答案】D【详解】因为空间一点()21,1,11M a a +-+在z 轴上，所以21010a a +=⎧⎨-=⎩，解得1a =-；故选：D2．在空间直角坐标系中，点()2,0,3P 位于（）A ．x 轴上B ．y 轴上C ．xOy 平面上D ．xOz 平面上【答案】D【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中,点()2,0,3P ，因为坐标中0y =，所以点()2,0,3P 位于xOz 平面上.故选：D.3．已知点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，则点A '的坐标为（）A ．(2,0,0)B ．(0,9,6)C ．(2,0,6)D ．(2,9,0)【答案】D【详解】因为点A '是点(2,9,6)A 在坐标平面Oxy 内的射影，所以A '的竖坐标为0，横、纵坐标与A 点的横、纵坐标相同，所以点A '的坐标为(2,9,0).故选：D4．已知点(),,P x y z ，若点P 在x 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为___________.若点P 在z 轴上，则点P 坐标为___________；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为___________.【答案】(),0,0x ()0,,y z ()0,0,z (),0,x z 【详解】若点P 在x 轴上，则点P 坐标为(),0,0x ；若点P 在yOz 平面内，则点P 坐标为()0,,y z ；若点P 在z 轴上，则点P 坐标为()0,0,z ；若点P 在xOz 平面内，则点P 坐标为(),0,x z .故答案为：(),0,0x ；()0,,y z ；()0,0,z ；(),0,x z .题型二、求空间图形上的点的坐标1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，1AD =，12AA =，先建立空间直角坐标系，再求长方体各顶点的坐标.【详解】以点D 为原点，分别以射线DA ､DC ､1DD 为x 轴､y 轴､z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ､()1,0,0A ､()1,3,0B ､()0,3,0C ､()10,0,2D ､()11,0,2A ､()11,3,2B ､()10,3,2C .2．如图所示，在空间直角坐标系中，2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且90BDC ∠=，30DCB ∠=，则点D 的坐标为（）．A ．13(0)22--，，B ．13(0)22-，，C ．13(0)22-，，D ．13(0)22，，【答案】B【详解】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BDC 中，90BDC ∠=，30DCB ∠=，2BC =，得||1BD =、3CD =，所以3sin 302DE CD =⋅=，所以11cos 60122OE OB BE OB BD =-=-⋅=-=，所以点D 的坐标为13(0)22-，，，故选：B ．3．如图，长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，点P 为体对角线BD '的中点，则P 点坐标为（）A ．()5,6,5B ．()6,6,5C ．()5,5,6D ．()6,5,5【答案】C【详解】长方体ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 是边长为10的正方形，高AA '为12，所以()0,0,12D '，()10,10,0B ，所以对角线BD '的中点P 点坐标为010010012,,222P +++⎛⎫⎪⎝⎭即()5,5,6，故选：C.4．在如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，则点1C 的坐标为________．【答案】()3,2,2【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，已知()10,2,2D ，()3,0,0B ，所以3AB =，2AD =，12AA =，所以点1C 的坐标为()3,2,2，故答案为：()3,2,2题型三、关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标1．如图，分别求点()2,3,4，()1,2,3-关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的概念，可得：点()2,3,4关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4---；点()1,2,3-关于坐标平面,,xOy xOz yOz 的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3----；点()2,3,4关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()2,3,4,2,3,4,2,3,4------；点()1,2,3-关于x 轴、y 轴和z 轴的对称点分别为()()()1,2,31,2,,,31,2,3-----；点()2,3,4关于原点O 的对称点分别为()2,3,4---；点()1,2,3-关于原点O 的对称点分别为()1,2,3--.2．已知点(3,2,1)P -，分别写出它关于zOx 平面、x 轴、原点的对称点的坐标．【详解】根据空间直角坐标系的定义，可得：点(3,2,1)P -关于平面zOx 的对称点为1(3,2,1)P ；点(3,2,1)P -关于x 轴的对称点为2(3,2,1)P -；点(3,2,1)P -关于原点的对称点为3(3,2,1)P --.3．（多选）下列各命题正确的是（）A ．点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3B ．点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．点()2,1,3-到平面yOz 的距离为1D ．设{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，若324m i j k =-+，则()3,2,4m =-【答案】ABD【详解】对于A ，点()1,2,3-关于平面xOz 的对称点为()1,2,3，所以A 正确，对于B ，点1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭关于y 的对称点为1,1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，点()2,1,3-到平面yOz 的距离为2，所以C 错误，对于D ，由于{},,i j k 是空间向量单位正交基底且以i ，j ，k 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立了一个空间直角坐标系，且324m i j k =-+，所以ۥ，所以D 正确，故选：ABD4．已知()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点是(),7,6A λ'-，则,,v λμ的值为（）A ．2,4,5v λμ=-=-=-B ．2,4,5v λμ==-=-C ．2,10,8v λμ=-==D ．2,10,7v λμ===【答案】D【详解】由题意得：()()27361v λμ⎧=⎪=--⎨⎪-=--+⎩，解得：2107v λμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D.题型四、求空间两点的中点坐标1．在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，则线段AB 的中点坐标是（）A ．(1,1,0)B ．(4,2,2)C ．(2,2,0)D ．(2,1,1)【答案】D【详解】因为点(1,0,1)A -，(5,2,1)B ，所以线段AB 的中点坐标是150211,,222-+++⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1,1.故选：D2．在空间直角坐标系中，记点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点为N ，关于yOz 平面的对称点为P ，则线段NP 中点坐标为（）A ．(1,0,0)B ．(1,1,0)--C ．(1,0,1)D ．(0,0,0)【答案】D【详解】依题意，点(1,1,2)M -关于x 轴的对称点的坐标为(1,1,2)N ---，关于yOz 平面的对称点为(1,1,2)P ，所以线段NP 中点坐标为(0,0,0).故选：D3．已知三角形ABC 的三个顶点()()()2,0,00,3,00,0,4A B C ，，，则三角形的重心的坐标为___________.【答案】24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭【详解】设重心坐标为(),,x y z ，由重心坐标公式得200233x ++==，03000441,333y z ++++====.所以重心的坐标为24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为：24,1,33⎛⎫⎪⎝⎭.题型五、空间向量的坐标1．在空间直角坐标系中，已知点()4,3,5A -，()2,1,7B --，则AB =uu u r______．【答案】(6,4,12)--【详解】(24,1(3),75)(6,4,12)AB =------=--故答案为：(6,4,12)--2．如图，在直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别为A 1B 1，A 1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，1BA ，1A B uuu r的坐标．【答案】BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．【详解】由题意知CC 1⊥AC ，CC 1⊥BC ，AC ⊥BC ，以点C 为原点，分别以CA ，CB ，CC 1的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系C ­xyz ，如图所示．则B (0，1，0)，A (1，0，0)，A 1(1，0，2)，N (1，0，1)，∴BN ＝(1，－1，1)，1BA ＝(1，－1，2)，1A B uuu r＝(－1，1，－2)．跟踪训练1．设z 为任一实数，则点()2,2,z 表示的图形是（）A ．z 轴B ．与平面xOy 平行的一直线C ．平面xOyD ．与平面xOy 垂直的一直线【答案】D【详解】在空间直角坐标系中画出动点()2,2,z 表示的图形如图所示：故点()2,2,z 表示的图形为与平面xOy 垂直的一直线，故选：D.2．在空间直角坐标系O xyz -中，已知点M 是点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影，则的坐标是（）A ．()3,0,5B ．()0,4,5C ．()3,4,0D ．()0,0,5【答案】C【详解】点()3,4,5N 在坐标平面Oxy 内的射影为()3,4,0，故点M 的坐标是()3,4,0故选：C3．判断正误（1）空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是()0,,b c 的形式．()（2）空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(),0,a c 的形式．()（3）空间直角坐标系中，点()1,3,2关于yOz 平面的对称点为()1,3,2-．()【答案】⨯√√【详解】（1）⨯.空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(),0,0a 的形式.（2）√.在xOz 平面内的点，y 坐标必为0.（3）√.空间直角坐标系中，点(),,a b c 关于yOz 平面的对称点为(),,a b c -.4．（多选）在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是（）A ．x 轴上的点坐标可以表示为()0,,b cB ．y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0bC ．xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a cD ．yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 【答案】BCD【详解】x 轴上的点坐标可以表示为(),0,0a ，故A 不正确；y 轴上的点坐标可以表示为()0,,0b 正确；xOz 平面上的点坐标可以表示为(),0,a c 正确；yOz 平面上的点坐标可以表示为()0,,b c 正确．故选：BCD ．5．已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标．【详解】依题意得()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0A B C D ()()()()11110,0,2,2,0,2,2,2,2,0,2,2A B C D 6．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，15AA =，点N 为棱1CC 的中点，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴､y 轴､z 轴建立空间直角坐标系.求点A ，B ，C ，D ，1A ，1B ，1C ，1D ，及N 的坐标.【详解】由题意，知()0,0,0A .由于点B 在x 轴上，且4AB =，则它的横坐标为4，又它的纵坐标和竖坐标都为0，所以点B 的坐标为()4,0,0.同理可得()0,3,0D ，()10,0,5A .由于点C 在xOy 平面内，则它的竖坐标为0，点C 在x 轴､y 轴上的投影依次为点B ､点D ，又4OB =，3OD =，所以点C 的横坐标和纵坐标依次为4，3，即点C 的坐标为()4,3,0.同理可得()14,0,5B ，()10,3,5D .点1C 在x 轴､y 轴和z 轴上的投影依次为点B ､点D 和点1A ，所以点1C 的坐标为()4,3,5.又N 为1CC 的中点，所以点N 的坐标为443305,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即54,3,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.7．在空间直角坐标系中，分别求点(2,1,4)P -关于x 轴、xOy 平面、坐标原点对称的点的坐标．【详解】点(2,1,4)P -关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，关于xOy 平面对称的点的坐标为()2,1,4--，关于坐标原点对称的点的坐标为()2,1,4--.8．在空间直角坐标系下，点()3,6,2M -关于y 轴对称的点的坐标为（）A ．()3,6,2-B ．()3,6,2---C ．()3,6,2-D ．()3,6,2--【答案】C【详解】关于y 轴对称的点的y 坐标不变，,x z 坐标变为相反数，()3,6,2M ∴-关于y 轴对称的点为()3,6,2-.故选：C.9．空间直角坐标系中，已知点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，则点N 的坐标为（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1-C ．()1,1,1--D ．()1,1,1--【答案】A【详解】因为点()1,1,1M 关于x 轴的对称点为N ，所以()1,1,1N --.故选：A10．在空间直角坐标系下，点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A ．()2,6,1B ．()2,6,1-C ．()2,6,1---D ．()2,6,1--【答案】A【详解】点()2,6,1M -关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,6,1.故选：A.11．在空间直角坐标系Oxyz 中，点P （1，2，3）关于xOy 平面的对称点坐标是（）A ．(1,2,)3-B ．1,23(,)--C ．(1,2,3)-D ．(1,2,3)--【答案】A【详解】在空间直角坐标系O xyz -,关于xOy 平面的对称点只有竖坐标为原来的相反数，所以点P 关于平面xOy 对称点是()1,2,3-.故选：A12．在空间直角坐标系O-xyz 中，点(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为（）A ．(3,2,5)-B ．(3,2,5)--C ．(3,2,5)D ．(3,2,5)-【答案】C【详解】关于xoz 平面对称的点，y 坐标互为相反数，所以(3,2,5)A -关于xoz 平面对称的点的坐标为(3,2,5).故选：C13．（多选）在空间直角坐标系中，已知点(),,P x y z ，下列叙述正确的是（）A ．点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --B ．点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --C ．点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---D ．点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -【答案】ABC【详解】由点(),,P x y z ，对于A ，点P 关于x 轴对称的点()1,,P x y z --，故A 正确；对于B ，点P 关于y 轴对称的点()2,,P x y z --，故B 正确；对于C ，点P 关于原点对称的点()3,,P x y z ---，故C 正确；对于D ，点P 关于yOz 平面对称的点()4,,P x y z -，故D 错误．故选：ABC.14．空间直角坐标系中的两点()()1,2,3,1,0,1P Q -，则线段PQ 的中点M 的坐标为（）A ．()0,2,4B ．()0,1,2C ．()2,2,2D ．()2,2,2---【答案】B【详解】设M 的坐标为(,,)x y z ，则1(1)022*******x y z +-⎧==⎪⎪+⎪==⎨⎪+⎪==⎪⎩即M 的坐标为(0,1,2)，故选：B.15．已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是______.【答案】31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】已知()4,1,3A 、()2,4,3B --，则线段AB 中点的坐标是31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：31,,32⎛⎫- ⎪⎝⎭.16．如图PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，,M N 分别是,AB PC 的中点，并且1==PA AB ．试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．【答案】11(0,,)22MN =【详解】因为1==PA AB ，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 是两两垂直的单位向量．设123e e AB AD AP e ===，，，以123{e e }e ，，为单位正交基底建立空间直角坐标系A xyz -，连接AC ．如图所示，因为1111()2222MN MA AP PN AB AP PC AB AP PA AC ++=-++=-+=++23111111()e 222222AB AP PA AB AD AD AP e =-++++=+=+所以11(0)22MN =，，．17．如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则AB 的坐标为____，1DC 的坐标为____，1B D 的坐标为_______．【答案】(1,0,0)(1,0,1)(1,1,1)--【详解】如题图示，11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(1,1,1)A B D B C ，∴(1,0,0)(0,0,0)(1,0,0)AB =-=，1(1,1,1)(0,1,0)(1,0,1)DC =-=，1(0,1,0)(1,0,1)(1,1,1)B D =-=--.故答案为：(1,0,0)，(1,0,1)，(1,1,1)--.18．（多选）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 的边长为2，三棱柱的高为111,,BC B C 的中点分别为1,D D ，以D 为原点，分别以1,,DC DA DD 的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（）A ．()10,3,1A B ．()11,0,1CC ．()10,3,1AD =-D ．()13,3,1B A =-【答案】ABC【详解】在等边ABC 中，2,1AB BD ==，所以3AD =，则()()()1110,3,0,0,3,1,1,0,1,)(0,0,1A A C D ，()11,0,1B -，则()()110,3,1,1,3,1AD B A =-=-.故选：ABC高分突破1．点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为（）A ．()1,2,3B ．()1,2,3---C ．()1,2,0D ．()0,0,3-【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，可得点()1,2,3P -在坐标平面Oxy 内的射影的坐标为()1,2,0．故选：C.2．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AD =，4DC =，12DD =，以DA ，DC ，1DD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则点1B 的空间直角坐标为（）A ．()4,3,2B ．()2,4,3C ．()3,4,2D ．()3,2,4【答案】C【详解】横坐标为点1B 到坐标面yDz 的距离，纵坐标为点1B 到坐标面xDz 的距离，竖坐标为点1B 到坐标面xDy 的距离，因为3AD =，4DC =，12DD =，所以点1B 的空间直角坐标为()3,4,2.故选：C.3．已知空间向量(1,2,3)a =-，则向量a 在坐标平面xOz 上的投影向量是（）A ．(0,1,2)-B ．(1,2,0)-C ．(0,2,3)D ．(1,0,3)-【答案】D【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)A =-在坐标平面xOz 上的投影坐标，纵坐标为0，横坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面xOz 上的投影向量是：(1,0,3)-，故选：D.4．在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于z 轴对称C ．关于xOz 平面对称D ．关于yOz 平面对称【答案】C【详解】在空间直角坐标系中，点()2,1,2M -和点()2,1,2N --两点x 坐标，z 坐标相同，y 坐标相反，所以()2,1,2M -和点()2,1,2N --关于xOz 平面对称，故选：C.5．若点()(),,0P x y z xyz ≠关于xOy 的对称点为A ，关于z 轴的对称点为B ，则A ､B 两点的对称是（）A ．关于xOy 平面对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于坐标原点对称【答案】D【详解】点(),,P x y z 关于xOy 的对称点为(),,A x y z -，关于z 轴的对称点为(),,B x y z --，显然,A B 两点关于坐标原点对称.故选：D .6．笛卡尔是世界著名的数学家，他因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父.据说在他生病卧床时，还在反复思考一个问题：通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来呢？突然，他看见屋顶角上有一只蜘蛛正在拉丝织网，受其启发建立了笛卡尔坐标系的雏形.在如图所示的空间直角坐标系中，单位正方体顶点A 关于x 轴对称的点的坐标是（）A ．()1,1,1--B ．()1,1,1C ．()1,1,1-D ．()1,1,1---【答案】B【详解】由图可知，点(1,1,1)A --，所以点A 关于x 轴对称的点的坐标为(1,1,1).故选：B.7．在空间直角坐标系O xyz -，点()1,2,5A -关于平面yoz 对称的点B 为（）A ．()1,2,5--B ．()1,2,5--C ．()1,2,5---D ．()1,2,5-【答案】B【详解】关于平面yoz 对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相同，故选：B8．向量(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，其中C 为线段AB 的中点，则点C 的坐标为（）A ．(0,2,6)B ．(2,2,6)--C ．(0,1,3)D ．(1,1,3)--【答案】C【详解】∵(1,2,0),(1,0,6)OA OB ==-，∴由中点坐标公式可得，线段AB 的中点C 的坐标为()0,1,3.故选：C .9．在空间直角坐标系中，点(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-关于点M 对称，则点M 的坐标为（）A ．(4,2,2)B ．(2,1,2)-C ．(2,1,1)D ．(4,1,2)-【答案】C【详解】因为(1,4,3)P -与点Q (3,2,5)-，M 为PQ 的中点，所以由中点公式可知M 的坐标为()2,1,1．故选：C10．已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-【答案】A【详解】依题意，点(1,2,3)M -关于x 轴对称点1(1,2,3)M -，关于z 轴对称点2(1,2,3)M -，所以12(2,0,6)M M =-.故选：A11．（多选）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，则（）A ．点1C 的坐标为（2，0，2）B ．()12,2,2C A =--C ．1BD 的中点坐标为（1，1，1）D ．点1B 关于y 轴的对称点为（－2，2，－2）【答案】BCD【详解】根据题意可知点1C 的坐标为(0,2,2)，故A 错误；由空间直角坐标系可知：1(2,0,0),(2,2,2)A C A =--,故B 正确；由空间直角坐标系可知：1(2,2,0),(0,0,2)B D ,故1BD 的中点坐标为（1，1，1），故C 正确；点1B 坐标为(2,2,2)，关于于y 轴的对称点为（－2，2，－2），故D 正确，故选：BCD12．（多选）已知四边形ABCD 的顶点分别是()312A -，，，()121B -，，，()113C --，，，()353D -，，，那么以下说法中正确的是（）A ．()233AB =--，，B ．A 点关于 x 轴的对称点为()312-，，C ．AC 的中点坐标为()201--，，D ．D 点关于xOy 面的对称点为()353--，，【答案】ABD【详解】由于四边形ABCD 的顶点分别是(3A ，1-，2)，(1B ，2，1)-，(1C -，1，3)-，(3D ，5-，3)，对于A :(2,3,3)AB =--，故A 正确；对于B ：点A 关于x 轴对称的点的坐标为(3，1，2)-，故B 正确；对于C :AC 的中点坐标为(1，0，1)2-，故C 错误；对于D ：点D 关于xOy 面的对称点为(3，5-，3)-，故D 正确；故选：ABD ．13．点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是______.【答案】a【详解】由已知可得点(),,P a b c 到坐标平面yOz 的距离是a .故答案为：a .14．在空间直角坐标系中，点P 的坐标为()2,4,3-，过P 作xOz 平面的垂线，垂足为Q ，则Q 点的坐标为______．【答案】()2,0,3Q 【详解】由于垂足Q 在xOz 平面内，可设(),0,x z ，因为PQ ⊥平面xOz ，所以,P Q 两点的横坐标和竖坐标相等，故()2,0,3Q ，故答案为：()2,0,3Q .15．在空间直角坐标系中，点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是______，点M 关于原点对称的点的坐标是______．【答案】()1,0,2--()1,4,2-【详解】点()1,4,2M --在xOz 平面上的射影的坐标是()1,0,2--，点()1,4,2M --关于原点对称的点的坐标是()1,4,2-，故答案为：()1,0,2--，()1,4,2-16．若点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为(),5,6A λ'-，则λ=___________，μ=___________，=v ___________.【答案】287【详解】点()2,3,1A v μ--+关于x 轴的对称点为()2,3,1v μ--，又其坐标为(),5,6λ-，故可得2,8,7v λμ===.故答案为：2；8；7.17．在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z ，下列叙述中，正确的序号是_______.①点P 关于x 轴的对称点是1(,,)P x y z -②点P 关于yOz 平面的对称点是2(,,)P x y z --③点P 关于y 轴的对称点是3(,,)P x y z -④点P 关于原点的对称点是4(,,)P x y z ---【答案】④【详解】①点P 关于x 轴的对称点的坐标是(x ，y -，)z -，故①错误；②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是(x -，y ，)z ，则②错误；③点P 关于y 轴的对称点的坐标是(x -，y ，)z -，则③错误；④点P 关于原点的对称点的坐标是(x -，y -，)z -，故④正确，故正确的序号是④.故答案为：④.18．已知()3,1,2a =-，a 的起点坐标是()2,0,5-，则a 的终点坐标为______．【答案】()5,1,3--【详解】设a 的终点坐标为(),,x y z ，由题可得：()()2,,53,1,2x y z -+=-，故可得5,1,3x y z ==-=-，即a 的终点坐标为()5,1,3--.故答案为：()5,1,3--.19．已知(357)A -，，、(243)B -，，，设点A 、B 在yOz 平面上的射影分别为1A 、1B ，则向量11A B 的坐标为________．【答案】(0110)-，，【详解】点(357)A -，，、(243)B -，，在yOz 平面上的射影分别为1(057)A -，，、1(043)B ，，，∴向量11A B 的坐标为(0110)-，，．故答案为：(0110)-，，.20．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，1AB =，2AC =，先建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点D 在线段PC 上靠近点P 的三等分点，求点D 的坐标.【详解】(1)因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AC ⊥，PA AB ⊥，又因为AB AC ⊥，所以建立以点A 为原点，以射线AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴的空间直角坐标系，如图所示：因为3PA =，1AB =，2AC =，所以()0,0,0A 、()1,0,0B 、()0,2,0C 、()0,0,3P ；(2)若D 点在线段PC 上靠近P 点的三等分点，所以2CD DP =，设点D 的坐标为(),,x y z ，则020*******,1230232,12x y z +⋅⎧==⎪+⎪+⋅⎪==⎨+⎪+⋅⎪==⎪+⎩所以20,,23D ⎛⎫⎪⎝⎭.21．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB 4=，3AD =，15AA =，N 为棱1CC 的中点，分别以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z轴，建立空间直角坐标系．（1）求点1111,,,,,,,A B C D A B C D 的坐标；（2）求点N 的坐标．【详解】（1）D 为坐标原点，则()0,0,0D ，点A 在x 轴的正半轴上，且3AD =，()3,0,0A ∴，同理可得：()0,4,0C ，()10,0,5D ．点B 在坐标平面xOy 内，BC CD ⊥，BA AD ⊥，()3,4,0B ∴，同理可得：()13,0,5A ，()10,4,5C ，与B 的坐标相比，点1B 的坐标中只有z 坐标不同，115BB AA ==，()13,4,5B ∴．综上所述：()3,0,0A ，()3,4,0B ，()0,4,0C ，()0,0,0D ，()13,0,5A ，()13,4,5B ，()10,4,5C ，()10,0,5D .（2）由（1）知：()0,4,0C ，()10,4,5C ，则1CC 的中点N 为004405,,222+++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即50,4,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭.22．如图，正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点，写出正六边形EFGHIJ 各顶点的坐标．【答案】0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.【详解】因为正方体OABC D A B C ''''-的棱长为a ，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别是棱C D ''，D A ''，A A '，AB ，BC ，CC '的中点所以0,,2a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a F a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,0,2a G a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a H a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,,02a I a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,,2a J a ⎛⎫ ⎪⎝⎭23．已知三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，若3PA =，2AB =，2AC =，建立空间直角坐标系.(1)求各顶点的坐标；(2)若点Q 是PC 的中点，求点Q 坐标；(3)若点M 在线段PC 上移动，写出点M 坐标.【详解】(1)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB AC ⊥，则射线,,AB AC AP 两两垂直，以点A 为原点，射线,,AB AC AP 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，所以(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,3)P .(2)由（1）知，点Q 是PC 中点，则3(0,1,)2Q .(3)由（1）知，点M 在线段PC 上移动，则点M 的横坐标为0，设其纵坐标为t (02)t ≤≤，其竖坐标z ，当M 与A 不重合时，23,3322z t z t -==-，当M 与A 重合时，z =3满足上式，因此332z t =-，所以点3(0,,3)(02)2M t t t -≤≤.。

一、空间直角坐标系定义以空间中两两__________且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标__________，x 轴、y 轴、z 轴叫做__________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、__________平面．画法 在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝__________，∠yOz ＝90°．图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向__________轴的正方向，食指指向__________轴的正方向，如果中指指向__________轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的__________，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R ．设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组（x ，y ，z ）是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作__________，其中x 叫做点M 的__________，y 叫做点M 的__________，z 叫做点M 的__________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置 点的坐标形式 原点 （0，0，0） x 轴上 （a ，0，0） y 轴上 （0，b ，0） z 轴上 （0，0，c ） xOy 平面上 （a ，b ，0） yOz 平面上 （0，b ，c ） xOz 平面上（a ，0，c ）3．空间直角坐标系中的对称点设点P （a ，b ，c ）为空间直角坐标系中的点，则对称轴（或中心或平面） 点P 的对称点坐标 原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴（－a ，b ，－c ）z 轴),(,a b c -- xOy 平面(,,)a b c -yOz 平面(),,a b c - xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点，且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ，N ，那么M ，N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y ．在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-．在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-．在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-， 根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________． 因此，空间中点P 1（x 1，y 1，z 1）、P 2（x 2，y 2，z 2）之间的距离是12||PP =____________________________． 特别地，点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离为|OP |＝222x y z ++．空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算． 空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22．K 知识参考答案：三、222121212()()()x x y y z z-+-+-222121212()()()x x y y z z-+-+-K—重点1．会建立空间直角坐标系（右手直角坐标系），会表示空间中的任意点；2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标；3．记住空间两点间的距离公式，并能应用两点间的距离公式解决一些简单的问题．K—难点对空间直角坐标系的理解，空间两点间距离公式的推导．K—易错易混淆平面与空间直角坐标系．1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P的坐标的步骤是：①过P作PC⊥z轴于点C；②过P作PM⊥平面xOy于点M，过M作MA⊥x轴于点A，过M作MB⊥y轴于点B；③设P（x，y，z），则|x|＝|OA|，|y|＝|OB|，|z|＝|OC|．当点A、B、C分别在x、y、z轴的正半轴上时，则x、y、z的符号为正；当点A、B、C分别在x、y、z轴的负半轴上时，则x、y、z的符号为负；当点A、B、C与原点重合时，则x、y、z的值均为0．空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的．【例1】如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1上的点，|CF|＝|AB|＝2|CE|，|AB|∶|AD|∶|AA1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E，F点的坐标．【解析】以A为坐标原点，射线AB，AD，AA1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．【名师点睛】空间中点P坐标的确定方法（1）由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y，P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．（2）若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．【例2】如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，|AD|=3，|DC|=4，|DD1|=2，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1，E，F的坐标．【例3】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1． 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12． 所以1(1,1,)2E ．F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1．所以11(,,1)22F ．方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点． 故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22．2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决．如关于横轴（x 轴）的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． 【例4】设点是直角坐标系中一点，则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为．【例5】空间直角坐标系中，点关于点的对称点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】C【名师点睛】（1）求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． （2）空间直角坐标系中，任一点P (x ，y ，z )的几种特殊对称点的坐标如下： ①关于原点对称的点的坐标是P 1（－x ，－y ，－z ）； ②关于x 轴（横轴）对称的点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ）； ③关于y 轴（纵轴）对称的点的坐标是P 3（－x ，y ，－z ）； ④关于z 轴（竖轴）对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，z ）； ⑤关于xOy 坐标平面对称的点的坐标是P 5（x ，y ，－z ）； ⑥关于yOz 坐标平面对称的点的坐标是P 6（－x ，y ，z ）； ⑦关于xOz 坐标平面对称的点的坐标是P 7（x ，－y ，z ）．（3）点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++． 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用，可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度．【例6】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求： （1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件．【例7】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．当2|C 1Q|=|QC|时，求|PQ|．【例8】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，|AP|=|AB|=2，|BC|=2，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．求证：PC ⊥BF ，PC ⊥EF ．【解析】如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．∵|AP|=|AB|=2，|BC|=2，四边形ABCD 是矩形，∴A （0，0，0），B （2，0，0），C （2，2，0），D （0，2，0），P （0，0，2），∴|PB|==2，∴|PB|=|BC|，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥BF ．∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点，∴PC ⊥EF ．【例9】如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 为BD ′的中点，点N 在A ′C ′上，且|A ′N |＝3|NC ′|，试求|MN |的长．因为|A ′N |＝3|NC ′|，所以N 为A ′C ′的四等分点，从而N 为O ′C ′的中点，故N ⎝⎛⎭⎫a 4，34a ，a . 根据空间两点间的距离公式，可得|MN |＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－3a 42＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＝64a .【名师点睛】求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定． 4．混淆平面与空间直角坐标系【例10】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标．【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3，故AB 的垂直平分线的斜率为13-，则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3．【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误．由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线．以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解． 【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ， 则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-， 解得32z =，所以点C 的坐标为3(0,0,)2． 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用，如平面直角坐标系中的中点公式，可类比到三维空间中，而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用．1．在空间直角坐标系中，点P （1，2，3）关于x 轴对称的点的坐标为 A ．（－1，2，3） B ．（1，－2，－3） C ．（－1，－2，3）D ．（－1，2，－3）2．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面对称的点的坐标为 A ．（－3，4，5） B ．（－3，－4，5） C ．（3，－4，－5）D ．（－3，4，－5）3．如图，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，棱长为2，E 是B 1B 上的点，且|EB |＝2|EB 1|，则点E 的坐标为A ．（2，2，1）B ．（2，2，23）C ．（2，2，13）D ．（2，2，43）4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若D （0，0，0）、A （4，0，0）、B （4，2，0）、A 1（4，0，3），则对角线AC 1的长为A．9 B．29C．5 D．2 65．已知点A（1，a，－5），B（2a，－7，－2）（a∈R）则|AB|的最小值是A．3 3 B．3 6C．2 3 D．2 66．点（2，0，3）在空间直角坐标系中的A．y轴上B．xOy面上C．xOz面上D．第一象限内7．在空间直角坐标系中，已知点P（1，2，3），过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为A．（0，2，0）B．（0，2，3）C．（1，0，3）D．（1，0，0）8．如图所示，在长方体ABCO－A1B1C1O1中，OA＝1，OC＝2，OO1＝3，A1C1与B1O1交于P，分别写出A，B，C，O，A1，B1，C1，O1，P的坐标．9．（1）已知A（1，2，－1），B（2，0，2），①在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|；②在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求M点轨迹．（2）在xOy平面内的直线x＋y＝1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小．10．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是A．62B． 3C．32D．6311．已知A点坐标为（1，1，1），B（3，3，3），点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为A．（6，0，0）B．（6，0，1）C．（0，0，6）D．（0，6，0）12．已知M（5，3，－2），N（1，－1，0），则点M关于点N的对称点P的坐标为________．13．在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A的坐标为（3，－1，2），其中心M的坐标为（0，1，2），则该正方体的棱长等于________．14．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，并且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动．若|CM|＝|BN|＝a（0<a<2）．（1）求MN的长度；（2）当a为何值时，MN的长度最短？15．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M在线段BC1上，且|BM|＝2|MC1|，N是线段D1M的中点，求点M，N的坐标．16．如图所示，V-ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．17．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系Oxyz．（1）若点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|，试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P′的坐标；（2）在线段C1D上找一点M，使点M到点P的距离最小，求出点M的坐标．18．如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．19．（2017•上海）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标是__________．1 2 3 4 5 6 7 10 11 BADBBCBAA1．【答案】B【解析】关于x 轴对称，横坐标不变．故选B ． 2．【答案】A【解析】关于yOz 平面对称，y ，z 不变．故选A ． 3．【答案】D4．【答案】B【解析】由已知求得C 1（0，2，3），∴|AC 1|＝29．故选B ． 5．【答案】B【解析】|AB |2＝（2a －1）2＋（－7－a ）2＋（－2＋5）2＝5a 2＋10a ＋59＝5（a ＋1）2＋54．∴a ＝－1时，|AB |2的最小值为54．∴|AB |min ＝54＝36．故选B ． 6．【答案】C【解析】因为该点的y 坐标为0，根据坐标平面上点的特点可知该点在xOz 面上．故选C ． 7．【答案】B【解析】平面yOz 内点的横坐标为0．故选B ． 8．【答案】详见解析．9．【答案】（1）①P （1，0，0）；②M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线，其方程为x ＋3z －1＝0； （2）M （1，0，0）．【解析】（1）①设P （a ，0，0），则由已知得222(1)(2)1a -+-+2(2)4a -+，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1， 所以P 点坐标为（1，0，0）． ②设M （x ，0，z ），222(1)(2)(1)x z -+-++22(2)(2)x z -+- 整理得2x ＋6z －2＝0，即x ＋3z －1＝0． 故M 点的轨迹是xOz 平面内的一条直线． （2）由已知，可设M （x ，1－x ，0），则|MN |＝222(6)(15)(01)x x -+--+-22(1)51x -+ 所以当x ＝1时，|MN |min ＝51，此时点M （1，0，0）． 10．【答案】A【解析】设P （x ，y ，z ），由题意可知222222111x y y z x z ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，∴x 2＋y 2＋z 2＝32．∴222x y z ++＝62．故选A ． 11．【答案】A【解析】设P （x ，0，0），|PA |2(1)11x -++，|PB |2(3)99x -++，由|PA |＝|PB |，得x ＝6．故选A ．12．【答案】（－3，－5，2）13．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由|AM |＝9＋4＋0＝13可知，正方体的体对角线长为3a ＝213，故a ＝2133＝2393．14．【答案】（1221a a -+2）当a ＝22时，MN 的长度最短．【解析】因为平面ABCD ⊥平面ABEF ，且交线为AB ，BE ⊥AB ， 所以BE ⊥平面ABCD ，所以BA ，BC ，BE 两两垂直．取B 为坐标原点，过BA ，BE ，BC 的直线分别为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系． 因为|BC |＝1，|CM |＝a ，点M 在坐标平面xBz 内且在正方形ABCD 的对角线上， 所以点M （22a ，0，1－22a ）． 因为点N 在坐标平面xBy 内且在正方形ABEF 的对角线上，|BN |＝a ， 所以点N （22a ，22a ，0）． （1）由空间两点间的距离公式， 得|MN |2222222()(0)(10)2222a a a a -+-+-- 221a a -+MN 221a a -+ （2）由（1），得|MN |＝221a a -+221()22a -+ 当a ＝22（满足0<a <2221()22a -+取得最小值， 即MN 的长度最短，最短为22． 15．【答案】M ⎝⎛⎭⎫13，1，23；N ⎝⎛⎭⎫16，12，56．16．【答案】V （0，0，3），A （－1，－1，0），B （1，－1，0），C （1，1，0），D （－1，1，0）．【解析】∵底面是边长为2的正方形，∴|CE |＝|CF |＝1． ∵O 点是坐标原点，∴C （1，1，0），同样的方法可以确定B （1，－1，0），A （－1，－1，0），D （－1，1，0）． ∵V 在z 轴上，∴V （0，0，3）．17．【答案】（1）P ′⎝⎛⎭⎫－23，23，－13；（2）当m ＝12时，|MP |取得最小值22，此时点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 【解析】（1）由题意知P 的坐标为⎝⎛⎭⎫23，23，13， P 关于y 轴的对称点P ′的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，23，－13． （2）设线段C 1D 上一点M 的坐标为（0，m ，m ）， 则有|MP |＝⎝⎛⎭⎫－232＋⎝⎛⎭⎫m －232＋⎝⎛⎭⎫m －132＝2m 2－2m ＋1＝2⎝⎛⎭⎫m －122＋12． 当m ＝12时，|MP |取得最小值22，所以点M 为⎝⎛⎭⎫0，12，12． 18．【答案】详见解析．19．【答案】（﹣4，3，2）【解析】如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为（4，3，2），∴A （4，0，0），C 1（0，3，2），∴1AC （﹣4，3，2）．故答案为：（﹣4，3，2）．。

《空间直角坐标系》知识讲解1 空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i jk 表示；（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底{,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -，点O 叫原点，向量 ,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面； 2．空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使O A x i y j z k =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．3．空间向量的直角坐标运算律： （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=．（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则212121(,,)AB x x y y z z =---． 4模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则222123||a a a a a a =⋅=++，yk i ABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxzyk i A(x,y,z)O jxzyk iABB(x2,y2,z2)A(x1,y1,z1)O jxz222123||b b b b b b =⋅=++．5．夹角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a ba b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++．6．两点间的距离公式： 若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-，或222,212121()()()A B d x x y y z z =-+-+-．例1 已知(3,3,1)A ，(1,0,5)B ，求：（1）线段AB 的中点坐标和长度；（2）到,A B 两点的距离相等的点(,,)P x y z 的坐标,,x y z 满足的条件例2．如图正方体1111ABCD A B C D -中， （1）若E 1∈A 1B 1，F 1∈C 1D 1，且11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦 （2）若P 为DD 1的中点，O 1，O 2，O 3分别是面ABCD ，B 1B 1C 1C 1，AB 1C 1D ，ABCD 的中心. 求证:B 1O 3⊥PA;并求PO 3与O 1O 2所成的角.(3)若E,F 分别是BB 1、CD 的中点，判断点A 、D 、C 1、E 四点是否共面？。

4.3 空间直角坐标系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P134～P137，回答下列问题．(1)平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？提示：三条交于一点且两两互相垂直的数轴．(2)建立了空间直角坐标系以后，空间中任意一点M对应的三个有序实数如何找到呢？提示：如图所示，设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴，y轴和z轴于点P、Q和R.设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．(3)设点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)在xOy平面上的射影分别为M、N.①M、N的坐标是什么？点M、N之间的距离如何？②若直线P1P2是xOy平面的一条斜线，点P1，P2间的距离如何？提示：①M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝x1－x22＋y1－y22.②如图，在Rt△P1HP2中，|P1H|＝|MN|＝x1－x22＋y1－y22，根据勾股定理，得|P1P2|＝|P1H|2＋|HP2|2＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.2．归纳总结，核心必记(1)空间直角坐标系及相关概念①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．(3)空间一点的坐标空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．(4)空间两点间的距离公式①点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离，|OP|＝x2＋y2＋z2.②任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离，|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22＋z1－z22.[问题思考](1)给定的空间直角坐标系下，空间任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？提示：是．给定空间直角坐标系下，空间给定一点其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，给定一个有序实数组(x，y，z)，空间也有唯一的点与之对应．(2)空间两点间的距离公式对在坐标平面内的点适用吗？提示：适用．空间两点间的距离公式适用于空间任意两点，对同在某一坐标平面内的两点也适用．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)怎样建立空间直角坐标系？如何确定空间一点的坐标？；(2)空间两点间的距离公式是什么？怎样用？.(1)如图数轴上A点、B点．(2)如图在平面直角坐标系中，P、Q点的位置．(3)下图是一个房间的示意图，我们如何表示板凳和气球的位置？[思考1] 上述(1)中如何确定A、B两点的位置？提示：利用A、B两点的坐标2和－2.[思考2] 上述(2)中如何确定P、Q两点的位置？提示：利用P、Q两点的坐标(a，b)和(m，n)．[思考3] 对于上述(3)中，空间中如何表示板凳和气球的位置？提示：可借助于平面坐标系的思想建立空间直角坐标系，如图示．讲一讲1．建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标．(链接教材P135—例1)[尝试解答] 以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，如图．由题意知，AO＝32×2＝3，从而可知各顶点的坐标分别为A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,3)，B1(0,1,3)，C1(0，－1,3)．空间中点P坐标的确定方法(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点P x、P y、P z，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．练一练1．如图所示，V­ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如图所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标．解：∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)，A(－1，－1,0)，D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．讲一讲2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．[尝试解答] (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．(1)求空间对称点的规律方法空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．(2)空间直角坐标系中，任一点P(x，y，z)的几种特殊对称点的坐标如下：①关于原点对称的点的坐标是P1(－x，－y，－z)；②关于x轴(横轴)对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)；③关于y轴(纵轴)对称的点的坐标是P3(－x，y，－z)；④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(－x，－y，z)；⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，－z)；⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(－x，y，z)；⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，－y，z)．练一练2.保持本解中的点P不变，(1)求点P关于y轴的对称点的坐标；(2)求点P关于yOz平面的对称点的坐标；(3)求点P关于点N(－5,4,3)的对称点的坐标．解：(1)由于点P关于y轴对称后，它在y轴的分量不变，在x轴、z轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P1(2,1，－4)．(2)由于点P关于yOz平面对称后，它在y轴、z轴的分量不变，在x轴的分量变为原来的相反数，故对称点的坐标为P2(2,1,4)．(3)设所求对称点为P3(x，y，z)，则点N为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得－5＝－2＋x2，4＝1＋y2，3＝4＋z2，即x＝2×(－5)－(－2)＝－8，y＝2×4－1＝7，z＝2×3－4＝2，故P3(－8,7,2).(1)已知数轴上A点的坐标2，B点的坐标－2.(2)已知平面直角坐标系中P(a，b)，Q(m，n)．[思考1] 如何求数轴上两点间的距离？提示：|AB|＝|x1－x2|＝|x2－x1|.[思考2] 如何求平面直角坐标系中P、Q两点间距离？提示：d＝|PQ|＝a－m2＋b－n2.[思考3] 若在空间中已知P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，如何求|P1P2|?提示：与平面直角坐标系中两点的距离求法类似．讲一讲3．已知点A(－4，－1，－9)，B(－10,1，－6)，C(－2，－4，－3)，试判断△ABC的形状．[尝试解答]|AB|＝－4＋2＋－1－2＋－9＋2＝49＝7，|BC|＝－10＋2＋＋2＋－6＋2＝98＝72，|AC|＝－4＋2＋－1＋2＋－9＋2＝49＝7，则|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，所以△ABC为等腰直角三角形．求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标．确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定．练一练3．已知两点P(1,0,1)与Q(4,3，－1)．(1)求P、Q之间的距离；(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.解：(1)|PQ|＝－2＋－2＋＋2＝22.(2)设M(0,0，z)，由|MP|＝|MQ|，得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.∴M(0,0，－6)．——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————1．本节课的重点是了解右手直角坐标系及有关概念，掌握空间直角坐标系中任意一点的坐标的含义，会建立空间直角坐标系，并能求出点的坐标，理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的建立及求相关点的坐标、空间两点间距离公式及其简单运用．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)空间直角坐标系中点的坐标的确定方法，见讲1.(2)求空间中对称点坐标的规律，见讲2.(3)空间两点间距离公式的应用，见讲3.3．本节课的易错点是空间中点的坐标的确定，如讲1.课下能力提升(二十六) [学业水平达标练]题组1 空间直角坐标系的建立及坐标表示 1．点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( ) A ．y 轴上 B ．xOy 平面上 C ．xOz 平面上 D ．第一象限内解析：选C 点(2,0,3)的纵坐标为0，所以该点在xOz 平面上．2．在空间直角坐标系中，点P (4,3，－1)关于xOz 平面的对称点的坐标是( ) A ．(4，－3，－1) B ．(4,3，－1) C ．(3，－4,1) D ．(－4，－3,1)解析：选A 过点P 向xOz 平面作垂线，垂足为N ，则N 就是点P 与它关于xOz 平面的对称点P ′连线的中点，又N (4,0，－1)，所以对称点为P ′(4，－3，－1)．3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________． 解析：设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴中点坐标为(4,0，－1)． 答案：(4,0，－1)4．点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (x ，y ，z )，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：点P (1,2，－1)在xOz 平面内的射影为B (1,0，－1)，∴x ＝1，y ＝0，z ＝－1，∴x ＋y ＋z ＝1＋0－1＝0.答案：05．如图，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，CC 1上的点，|CF |＝|AB |＝2|CE |，|AB |∶|AD |∶|AA 1|＝1∶2∶4.试建立适当的坐标系，写出E ，F 点的坐标．解：以A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA 1的方向分别为正方向建立空间直角坐标系，如图所示．分别设|AB |＝1，|AD |＝2，|AA 1|＝4，则|CF |＝|AB |＝1，|CE |＝12|AB |＝12，所以|BE |＝|BC |－|CE |＝2－12＝32.所以点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，0，点F 的坐标为(1,2,1)．6．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，32.题组2 空间两点间的距离7．(2016·长春高一检测)已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D 由题意得x －2＋－2＋－2＝26，解得x ＝－2或x ＝6.8．在空间直角坐标系中，正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标为(3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为________．解析：由A (3，－1,2)，中心M (0,1,2)， 所以C 1(－3,3,2)．正方体体对角线长为|AC 1|＝[3－－2＋－1－2＋－2＝213，所以正方体的棱长为2133＝2393.答案：2393[能力提升综合练]1．在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)、A (4,0,0)、B (4,2,0)、A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5 D ．2 6解析：选B 由已知求得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝29.2．点A (1,2，－1)，点C 与点A 关于面xOy 对称，点B 与点A 关于x 轴对称，则|BC |的值为( )A ．2 5B ．4C ．2 2D ．27解析：选B 点A 关于面xOy 对称的点C 的坐标是(1,2,1)，点A 关于x 轴对称的点B 的坐标是(1，－2,1)，故|BC |＝－2＋＋2＋－2＝4.3．△ABC 在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC 边上的中线的长是( )A. 2 B ．2 C. 3 D ．3解析：选C BC 的中点坐标为M (1,1,0)，又A (0,0,1)， ∴|AM |＝12＋12＋－2＝ 3.4．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A.62B. 3C.32 D.63解析：选A 设P (x ，y ，z )，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y 2＋z 2＝1，x 2＋z 2＝1，∴x 2＋y 2＋z 2＝32，∴x 2＋y 2＋z 2＝62.5．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(a ，－1，c －2)，则点P (a ，b ，c )到坐标原点O 的距离|PO |＝________.解析：点(－1，b,2)关于y 轴的对称点是(1，b ，－2)，所以点(a ，－1，c －2)与点(1，b ，－2)重合，所以a ＝1，b ＝－1，c ＝0，所以|PO |＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 26．在棱长为1的正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G ⎝⎛⎭⎪⎫0，34，0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.所以|EF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫78－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－02＝418. 答案：4187．如图所示，在长方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)，A 1(0,0,2)． ∵N 为CD 1的中点，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)． 由两点间距离公式， 得|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＋－2＝212. 8．如图所示，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别是棱AB ，B 1C 1的中点，F 是AC 的中点，求DE ，EF 的长度．解：以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． ∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)， 由中点坐标公式可得，D (1,1,0)，E (0，1,2)，F (1,0,0)， ∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5，|EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.11。