空间向量之建立空间直角坐标系的方法及技巧
、禾U用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系
例1已知直四棱柱ABC D A i B i CD中,AA= 2,底面ABCD是直角梯形,/ A为直角,AB//
CD AB= 4, AD= 2,DC= 1,求异面直线BC与DC所成角的余弦值.
解析:如图1, 以D为坐标原点,分别以DA DC DD所在直线为x、y、z轴建立空间直角
1 , 2)、B(2, 4, 0), ?- BC =(-2,3,2) , CD
=(0, -1,0).
坐标系,则C (0,
设BC i与CD所成的角为v
CD 3 '17
17
二、利用线面垂直关系构建直角坐标系
例2 如图2,在三棱柱ABC- ABC中,AB丄侧面BBCQ, E为棱CC上异于C C的一点,
EAL EB.已知AB = J2 , BB = 2, BC= 1, / BCC=上.求二面角A- EB—A的平面角的正切值.
3
解析:如图2,以B为原点,分别以BB、BA所在直线为y轴、z轴,过B点垂直于平面AB 的直线为x轴建立空间直角坐标系.
由于BC= 1, BB= 2, AB= -/2,/ BCG=—,
3
???在三棱柱ABC- ABC 中,有(0, 0, 0)、(0, 0,
C
1 第3 /
—,—,0 .
I2 2丿輛〕〔3设E — , a, 0 且一丄 3 , I2丿22 由EAL EB,得EAEB =0, CD BA 丄EB ,故二面角 A- EB —A i 的平面角日的大小为向量 BA 与 EA 的夹角. 訳=BA = (0,0八 2) , EA 二 三、利用面面垂直关系构建直角坐标系 例3 如图3,在四棱锥 V — ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD 丄底面ABCD AB 丄 VA 又ABL AD 从而AB 与平面VAD 内两条相交直线 VA AD 都垂直,二 (2)设E 为DV 的中点,则 J-1显1 I 2 2丿 即「2,一皿] X ,2—aJ < 2 丿 +a (a —2)=a 2—2a+3=0,「. 'a —丄 | 4 I 2丿 3 4 即-2或a =| (舍去).故 E 佇,,0 . ■ 3i 3 去(3,0,_Q ,时,2, -纠 辽 2丿 I 2 2丿 ,DV =(1,0, 3). 由已知有EA _ EB i , 故 COS V = 灵晁^,即ta —子 EA'B 1A 1 (1)证明 AE 丄平面VAD (2)求面 VAD 与面VDB^成的二面角的余弦值. 解析:(1) 取AD 的中点O 为原点,建立如图3所示的空间直角坐标系. 设 AD= 2,则 A (1,0,0)、D (— 1,0,0)、B ( 1,2,0)、 V (0,0,爲),二 AB =(0, 2, 0) , VA =( 1,0, — V 3 ). 由 ABVA = (0,2,0壯1,0, - . 3) = 0,得 AB 丄平面VAD 故所求二面角的余弦值为 —21 7 四、禾U 用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系 已知正四棱锥 V-ABCD 中, E 为VC 中点,正四棱锥底面边长为 2a ,高为h . 即 cos Z DEB =「6a 2 h :; 10a 1 2 +h 2 (2)因为E 是VC 的中点,又BE! VC c 2 , 2 3 2 a h a 0 ,? h -、2a . 2 2 2 1 1 ,即 cos Z DEB 二-一 ? EB[DV 」i,o,J 3)=o , ??? E 吐 DV 又 EAL DV 因此/ AEB 是所求二面角的平面角. (1) 求/ DEB 的余弦值; (2) 若BE! VC 求/ DEB 的余弦值. 解析: (1)如图4,以V 在平面AC 的射影 O 为坐标原点建立空间直角坐标系, 其中O x / BC O y // AB,则由 AB^ 2a , OV= h ,有 B (a , a , 0)、C (- a , a ,0)、D( - a , -a,0)、V (0, 0, h)、*222'丿 ?晁…3a , I 2 a h 2 2) 丨h a,_ ?- cos :. BE ,DE BE DE 2 2 ? 10a h =o ,即 _3a,-a h I 2 2,2 心,a ,-h )“ , 这时 cos ;: BE ,DE -6a 2 h 2 10a 2 h 2 E 八EB .'21 …cos EB _ 7 图4 所以 五、利用图形中的对称关系建立坐标系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线,但有一定对称关系(如正三棱柱、正四棱柱等) 自身对称性可建立空间直角坐标系. 例5已知两个正四棱锥 P — ABCDf Q-ABCD 勺高都为 2, AB= 4. (1) 证明:PQL 平面ABCD (2) 求异面直线 AQ 与 PB 所成的角; (3) 求点P 到平面QAD 勺距离. (2)由题设知,ABCDI 正方形,且ACL BD 由( 1),PQL 平面ABCD 故可分别以直线 CA, DB , QP 点评:禾U 用图形所具备的对称性,建立空间直角坐标系后,相关点与向量的坐标应容易得 出?第 (3)问也可用“等体积法”求距离. 3 3 ,利用 为x , y , z 轴建立空间直角坐标系(如图 1),易得 A5 =(—2J2Q ,- 2),PB =(0,2、2- 2), cos :: AQ ,PB = AQ PB 1 arccos —. 3 (3)由(2)知,点 D(0,— 2矩0) AD =(—2逅,—2J2,0)PQ 所求异面直线所成的角是 = (0,0, 4). 设n = (x , y , z )是平面QAD 的一个法向量,则 0 [nLAD = 0, 得、,2x ? z = 0,取 1,得 x y =0, n = (1, -1, - .2) ?点P 到平面QAD 勺距离d - PQL n n| =2】2 . 2.3.1 空间直角坐标系 一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义:从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。 2、右手直角坐标系及其画法: (1)定义:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方 向,若中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。教材上所指的都是右手直角坐标系。 (2)画法: 将空间直角坐标系画在纸上时,x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°,而z 轴垂直于y 轴,y 轴和z 轴的长度单位相同,x 轴上的单位长度为y 轴(或z 轴)的长度的一半,这样,三条轴上的单位长度在直观上大体相等。 3、空间中点的坐标表示:点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ,我们把有序实数组(x , y ,z )叫做点A 的坐标,记为A (x ,y ,z )。 二、题型解析: 题型1、在空间直角坐标系下作点。 例1、在空间直角坐标系中,作出M(4,2,5). 解:法一:依据平移的方法,为了作出M(4,2,5), 可以按如下步骤进行:(1)在x 轴上取横坐 标为4的点1M ;(2)将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位,得到 点2M ;(3)将2M 沿与z 轴平行的方向向上 移动5个单位,就可以得到点M (如图)。 法二:以O 为一个顶点,构造三条棱长分别为4,2,5的长方体,使此长方体在点O 处的三 条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上,则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。 法三:在x 轴上找到横坐标为4的点,过此点作与x 垂直的平面α;在y 轴上找到纵坐标为2 的点,过此点作与y 垂直的平面β;在z 轴上找到竖坐标为5的点,过此点作与z 垂直的平面γ;则平面αβγ,,交于一点,此交点即为所求的点M 的位置。 【技巧总结】:(1)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0,则此点是坐标轴上的点,可 直接在坐标轴上作出此点; (2)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0,则此点不在坐标轴上,但在某一坐 标平面内,可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。 (3)若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0,则需要按照一定的步骤作出该点,一般有三 种方法:①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ;再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左(00y <)或向右(00y >)平移0||y 个单位,得到点2M ;再将2M 沿与z 轴平 空间立体几何建立直角坐标系 1.[2015·浙江]如图,在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠BAC =90°,AB = AC =2,A 1A =4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是 B 1C 1的中点。 (1)证明:A 1D ⊥平面A 1BC ; (2)求二面角A 1-BD -B 1的平面角的余弦值。 解析:(1)证明:设E 为BC 的中点,连接A 1E ,AE ,DE ,由题意得A 1E ⊥平面ABC ,所以A 1E ⊥AE 。 因为AB =AC ,所以AE ⊥BC 。 故AE ⊥平面A 1BC 。 由D ,E 分别为B 1C 1,BC 的中点,得DE ∥B 1B 且DE =B 1B ,从而DE ∥A 1A 且DE =A 1A ,所以A 1AED 为平行四边形。 故A 1D ∥AE 。 又因为AE ⊥平面A 1BC ,所以A 1D ⊥平面A 1BC 。 (2)方法一:作A 1F ⊥BD 且A 1F ∩BD =F ,连接B 1F 。 由AE =EB =2,∠A 1EA =∠A 1EB =90°, 得A 1B =A 1A =4。 由A 1D =B 1D ,A 1B =B 1B ,得△A 1DB 与△B 1DB 全等。 由A 1F ⊥BD ,得B 1F ⊥BD ,因此∠A 1FB 1为二面角A 1-BD -B 1的平面角。 由A 1D =2,A 1B =4,∠DA 1B =90°,得 BD =32,A 1F =B 1F =43 , 由余弦定理得cos ∠A 1FB 1=-1 8。 方法二:以CB 的中点E 为原点,分别以射线EA ,EB 为x ,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系E -xyz ,如图所示。 空间直角坐标系 【学习目标】 通过具体情境,感受建立空间直角坐标系的必要性,了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标,探索并得出空间两点间的距离公式. 【要点梳理】 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴,这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ,点O 叫做坐标原点,x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面,分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面. 2.右手直角坐标系 在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系. 3.空间点的坐标 空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ,y ,z)来表示,有序数组(x ,y ,z)叫做点A 的坐标,记作A(x ,y ,z),其中x 叫做点A 的横坐标,y 叫做点A 的纵坐标,z 叫做点A 的竖坐标. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中点的坐标的求法 通过该点,作两条轴所确定平面的平行平面,此平面交另一轴于一点,交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标. 特殊点的坐标:原点()0,0,0;,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ;坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z . 2.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中,点(),,P x y z ,则有 点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---; 点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --; 点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --; 点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --; 点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -; 点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -; 点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -. 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则此两点间的距离 ||d AB == 特别地,点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA = 2.空间线段中点坐标 空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ,则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++?? ???. 【典型例题】 类型一:空间坐标系 例1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点,棱长为1,建立空间直角坐标系,求点E 、F 的坐标。 【答案】11,0,2E ? ? ???,11,,122F ?? ??? 【解析】 法一:如图,以A 为坐标原点,以AB ,AD ,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空 建立空间直角坐标系,解立体几何高考题 立体几何重点、热点: 求线段的长度、求点到平面的距离、求直线与平面所成的夹角、求两异面直线的夹角、求二面角、证明平行关系和垂直关系等. 常用公式: 1 、求线段的长度: 222z y x AB ++==()()()2 12212212z z y y x x -+-+-= 2、求P 点到平面α的距离: PN = ,(N 为垂足,M 为斜足,为平面α的法向量) 3、求直线l 与平面α所成的角:|||||sin |n PM ?= θ,(l PM ?,α∈M ,为α的法向量) 4、求两异面直线AB 与CD 的夹角:cos = θ 5、求二面角的平面角θ:|||||cos |21n n ?= θ,( 1n ,2n 为二面角的两个面的法向量) 6、求二面角的平面角θ:S S 射影 = θ cos ,(射影面积法) 7、求法向量:①找;②求:设, 为平面α内的任意两个向量,)1,,(y x =为α的法向量, 则由方程组?????=?=?0 n b n a ,可求得法向量.空间直角坐标系整理
空间立体几何建立直角坐标系
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