2019学年重庆一中高一下期末数学试卷【含答案及解析】

2019年重庆一中高2021级高一下期期末考试数学试题卷 2019.7数学试题共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求)1.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A.5B.7C.9D.112.某城市修建经济适用房.已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为()A.40B.36C.30D.203.已知向量a＝(1，2)，b＝(3，m)，m∈R，则“m＝6”是“a∥(a＋b)”的()A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m⊥α，n⊂α，则m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，则n∥αD.若m∥α，m⊥n，则n⊥α5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB⃑⃑⃑⃑⃑ =( )A.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ −14AC⃑⃑⃑⃑⃑ B.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ −34AC⃑⃑⃑⃑⃑ C.34AB⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC⃑⃑⃑⃑⃑ D.14AB⃑⃑⃑⃑⃑ +34AC⃑⃑⃑⃑⃑6.在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为32，则BC的长为()A.32 B.3 C.2 3 D.27.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是()A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1B. 结余最高的月份是7月份C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元（注：结余=收入-支出）8.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，则最小的一份为() A.53B.103C.56D.1169.若ab b a 24log )43(log =+ ,则b a +的最小值是（） A.326+B.327+C.346+D.347+10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB ＝2PN ，则三棱锥N －PAC 与三棱锥D －PAC 的体积比为( ) A.1∶2 B.1∶8 C.1∶3D.1∶611.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ） A ．10π B ．4π C. 16πD ．8π12.在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ∆⋅==⋅=，P 为线段AB 上的点，且,||||CA CBCP x y xy CA CB =⋅+⋅则的最大值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的 茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中 有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数 字记为x ，那么x 的值为________.14.在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝2－1，a 5＝2＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝___. 15.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， D 是AC 的中点，AA 1∶AB ＝2∶1，则异面 直线AB 1与BD 所成的角为________.16.(原创)在△ABC 中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点， 则BECF的取值范围为． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设))(1(log 131*+∈-=N n S b n n ，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .18.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1； (2)求证：C 1F ∥平面ABE ；19.(本小题满分12分)某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占%80．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组)25,15[，第2组)35,25[，第3组)45,35[，第4组)55,45[，第5组)65,55[，得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该 区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20.(本小题满分12分)如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC ＝CE ，点F 为CE 的中点.(1)若BE=BC=CD=2，求三棱锥BFC D -的体积；(2)点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM ⊥BE ？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.21.(本小题满分12分)在中，角所对的边分别为，，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．22.(原创)(本小题满分12分)已知数列,8,1},{21==a a a n 且)(244*12N n a a a n n n ∈--=++ (1)设n n n a a b 21-=+，证明数列}2{-n b 是等比数列，并求数列}{n a 的通项； (2)若n n a c 1=，并且数列}{n c 的前n 项和为n T ，不等式36445k T n ≤对任意正整数n 恒成立，求 正整数k 的最小值。

2019-2020学年重庆市高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．32．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．73．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．1004．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，665．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．406．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．2439．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．210．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为．16．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．21．在△ABC中，AC ＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD ＝，∠BDC ＝．（1）求AD；（2）求．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，则实数a＝（）A．﹣3B．﹣C．D．3【分析】由已知结合直线垂直的条件即可求解．解：因为直线ax﹣y+1＝0与3x+y+2＝0垂直，所以3a﹣1＝0即a＝．故选：C．2．已知向量，则＝（）A．4B．5C．6D．7【分析】求出向量的和，然后求解向量的模即可．解：向量，可得＝（3，4），则＝＝5．故选：B．3．某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5：3：2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色口罩的只数为（）A．300B．250C．200D．100【分析】用样本容量乘以白色口罩占的比例，即为所求．解：白色口罩占的比例为＝，故应抽取500×＝100只，故选：D．4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，则甲组数据的众数与乙组数据的中位数分别是（）A．52，65B．52，66C．73，65D．73，66【分析】根据众数与中位数的定义结合茎叶图中数据即可得出答案．解：甲组数据为：52，52，68，73，73，73，73，84；故甲里面的众数是73，乙组数据从小到大排列为：51，56，64，66，72，82；正中间两个为64，66；故乙组数据的中位数为65．故选：C．5．设等差数列{a n}前n项和为S n，若a2+a11＝4，则S12＝（）A．12B．24C．36D．40【分析】根据题意，由等差数列的性质可得a1+a12＝4，进而有等差数列的前n项和公式计算可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中a2+a11＝4，则a1+a12＝4，则有S12＝＝＝24；故选：B．6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a cos C＝c sin A，则C＝（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，结合sin A＞0，利用同角三角函数基本关系式可求tan C＝1，结合范围C∈（0，π），可求C的值．解：∵a cos C＝c sin A，∴由正弦定理可得：sin A cos C＝sin C sin A，∵A为三角形内角，sin A＞0，∴可得：cos C＝sin C，即tan C＝1，∵C∈（0，π），∴C＝．故选：A．7．从单词“book”的四个字母中任取2个，则取到的2个字母不相同的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．由此能求出取到的2个字母不相同的概率．解：从单词“book”的四个字母中任取2个，基本事件总数n＝，取到的2个字母不相同包含的基本事件个数m＝＝5．∴取到的2个字母不相同的概率p＝．故选：D．8．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（）A．2B．54C．162D．243【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，解可得q的值，结合等比数列的通项公式分析可得答案．解：根据题意，各项均为正数的等比数列{a n}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a2q3＝2a2q2+3a2q，变形可得q2＝2q+3，进而可得q＝3或﹣1，又由{a n}各项均为正数，则q＝3，则a6＝a2q4＝162；故选：C．9．已知变量x，y满足不等式组，则z＝x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．C．1D．2【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z经过点B时，直线y＝x﹣z 的截距最小，此时z最大，由，解得B（，），此时z max＝﹣2×＝﹣．故选：B．10．中国是发现、研究和运用勾股定理最古老的国家之一，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽，他创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，已知四个直角三角形的两条直角边的长度之比为，若向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出两个正方形的边长之间的关系即可求解结论．解：设小正方形的边长为1；则直角三角形另一直角边为2；故大正方形的边长为：＝；故向大正方形中随机投入一点，则该点落入小正方形的概率为：＝；故选：C．11．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+b2≥2c2，则角C的最大值为（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理表示出cos C，利用基本不等式变形，将已知等式代入求出cos C 的最小值，即可确定出C的最大值．解：∵a2+b2≥2c2，a2+b2≥2ab，∴cos C＝≥＝≥＝，∵C为三角形内角，C∈（0，π），且cos C在（0，π）上单调递减，故C，∴角C的最大值为，故选：B．12．已知P为△ABC所在平面内的一点，＝2，||＝4，若点Q在线段AP上运动，则的最小值为（）A．﹣9B．﹣12C．﹣3D．﹣4【分析】本题根据题意画出图形，结合图形表示出向量，，再根据已知条件可推导出得+2＝3，再代入进行转化计算，并将向量运算的最值问题转化二次函数的最值问题，进行计算即可得到正确选项．解：由题意，画图如下，根据题意及图，可知＝﹣，＝﹣，∵＝2，∴﹣＝2（﹣），整理，得+2＝3，则＝•3＝﹣3||•||＝﹣3||•（4﹣||）＝3（||2﹣4||），设||＝m，很明显m∈[0，4]，故＝3（||2﹣4||）＝3（m2﹣4m）＝3（m﹣2）2﹣12，根据二次函数的性质，可知：当m＝2时，取得最小值为﹣12．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则b ＝．【分析】由已知利用特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式可求sin B，sin A的值，进而由正弦定理可求得b的值．解：∵，∴sin B＝，sin A＝＝，∴由正弦定理，可得：b＝＝＝．故答案为：．14．已知单位向量满足，则与的夹角的余弦值为．【分析】运用向量的模的平方的运算法则，结合向量，的数量积，求解向量的夹角公式即可．解：单位向量满足，可得|﹣2|2＝4，即，1﹣4×+4＝4，所以＝．故答案为：．15．已知x＞0，y＞0，且，则2x+y的最小值为9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞0，y＞0，且，则2x+y＝（2x+y）（）＝（10+）＝9，当且仅当且即x＝，y＝6时取等号，此时2x+y取得最大值9．故答案为：916．已知数列{a n}的通项公式为，将数列{a n}中的奇数项按原顺序依次排列得到新数列{b n}，则数列{b n}的前n项和为•4n﹣3n2．【分析】本题先根据题意计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用分组求和法可计算出数列{b n}的前n项和．解：由题意，可知b n＝a2n﹣1＝22n﹣1﹣3（2n﹣1）+1＝•4n﹣6n+4，故b1+b2+…+b n＝（•41﹣6×1+4）+（•42﹣6×2+4）+…+（•4n﹣6n+4）＝（41+42+…+4n）﹣6×（1+2+…+n）+4n＝•﹣6•+4n＝•4n﹣3n2+n﹣．故答案为：•4n﹣3n2+n﹣．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，点A（1，3），B（2，1），C（﹣1，0）．（1）求直线AB的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）先求AB的斜率，进而可求直线方程；（2）先求出点C到AB的距离，进而可求三角形的面积解：（1）由题意可知，直线AB的斜率k＝＝﹣2，故直线AB的方程为y﹣1＝﹣2（x﹣2）即y＝﹣2x+5，（2）点C到直线AB的方程d＝＝，|AB|＝＝，故△ABC的面积S＝＝．18．已知函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a+1，a∈R．（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤0的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，求a的取值范围．【分析】（1）由二次不等式的解法：因式分解法，可得所求解集；（2）由二次不等式恒成立，可得判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．解：（1）当a＝1时，不等式f（x）≤0即x2﹣3x+2≤0，即（x﹣1）（x﹣2）≤0，可得1≤x≤2，可得解集为[1，2]；（2）关于x的不等式f（x）≥0的解集为R，可得△＝（2a+1）2﹣4（a+1）＝4a2﹣3≤0，解得﹣≤a≤，则a的取值范围是[﹣，]．19．已知向量．（1）若，其中λ＜0，求的坐标；（2）若与的夹角为，求的值．【分析】本题第（1）题先根据已知条件代入可得向量关于λ的坐标，然后根据模的定义进行计算，即可得到λ的值，从而可得的坐标；第（2）题先计算出的模，然后根据向量的运算及向量的数量积对进行化简计算并代入数值即可计算出结果．解：（1）由题意，可知＝（λ，﹣2λ），则＝＝•|λ|＝2，故|λ|＝2，∵λ＜0，∴λ＝﹣2，∴＝（﹣2，4）．（2）由题意，可知||＝＝，则＝22﹣•﹣2＝2•||2﹣||•||•cos ＜，＞﹣||2＝2•（）2﹣•2•cos﹣（2）2＝10﹣10•（﹣）﹣20＝﹣5．20．自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产．某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图．已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等．（1）估计口罩生产车间工人生产速度的中位数；（2）为了解该车间工人的生产速度是否与他们的工作经验有关，现从车间所有工人中随机抽样调查了5名工人的生产速度以及他们的工龄（参加工作的年限），数据如表：工龄x（单位：年）68121014生产速度y（单位：4055606065件/小时）根据上述数据求每名工人的生产速度关于他的工龄x 的回归方程，并据此估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度．回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝，＝﹣．【分析】（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由已知列式求得首项与公差，再由中位数公式列式求解工人生产速度的中位数；（2）求出与的值，可得线性回归方程，取x＝18求得y值即可．解：（1）设前4组的频数分别为a1，a2，a3，a4，公差为d，由题意a2＝a1+d＝0.016×10＝0.16．①故a1+a2+a3+a4＝4a1+6d＝1﹣0.016×10＝0.84．②联立①②，解得a1＝0.06，d＝0.1．又a1+a2+a3＝0.48，∴中位数为50+＝；（2），＝．＝＝＝，．∴回归直线方程为．当x＝18时，．故估计该车间某位有18年工龄的工人的生产速度为78件/小时．21．在△ABC中，AC＝，CD平分∠ACB交AB于点D，已知CD＝，∠BDC＝．（1）求AD；（2）求．【分析】（1）设AD＝m，在△ADC中，由余弦定理可得AD的值；（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理即可求解．解：（1）设AD＝m，∠ADC＝π﹣∠BDC＝π﹣＝，所以，在△ADC中，由余弦定理可得：m2+CD2﹣2m•CD•cos＝AC2，即m2+2﹣2m•（﹣）＝10，解得m＝2，即AD＝2．（2）在△BDC，△ADC中，由正弦定理可得：＝＝＝＝＝．22．设等差数列{a n}的前n项和为S n，a8﹣2a3＝3，S3＝a7．（1）求a n及S n；（2）设，数列{b n}的前n项和为T n，是否存在正整数m，n（m＜n），使得成等比数列？若存在，求出所有满足条件的m，n；否则，请说明理由．【分析】本题第（1）题先设等差数列{a n}的公差为d，然后根据已知条件列出关于首项a1与公差d的方程组，解出a1与d的值，即可计算出a n及S n；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后根据通项公式的特点运用裂项相消法计算出前n项和T n的表达式，分别写出故T1，T m，T n的表达式，然后根据等比中项的性质列出关于m、n的关系式，再进一步转化成用m表示出n的表达式，根据m＜n且m∈N*，列出关于m的不等式并解出m的取值范围，再根据m的取值范围及m∈N*确定m的可能取值，并计算出对应的n的取值，最后根据n∈N*，即可确定满足条件的m，n的对应取值．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则，化简整理，得，解得，∴a n＝3+2（n﹣1）＝2n+1，n∈N*，S n＝3n+×2＝n2+2n．（2）由（1）知，＝＝（﹣），则T n＝b1+b2+…+b n＝（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣）＝，故T1＝×＝，T m＝，T n＝，∵成等比数列，∴T m2＝T1•T n，即＝•，化简，得3（2n+3）m2＝n（2m+3）2，整理，得n＝，∵m＜n且m∈N*，∴m＜，m∈N*，解得3＜m＜3（1+），∵6＜3（1+）＜7，且m∈N*，∴3＜m＜7，∴m可能取的值为4，5，6，当m＝4时，n＝＝，当m＝5时，n＝＝，当m＝6时，n＝＝36，∵n∈N*，∴满足条件的m，n只有一组，即为：．。

2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．102．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．203．（5分）已知向量(1,2)a =r ，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r) A ．3144AB AC -u u ur u u u rB ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u ur u u u rD ．1344AB AC +u u ur u u u r6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．27．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A ．收入最高值与收入最低值的比是3:1B ．结余最高的月份是7月C ．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D ．前6个月的平均收入为40万元8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( )A ．53B ．103C ．56D ．1169．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:311．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 ．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =-，521a =+，则2326372a a a a a ++等于 ．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2:1AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 ．16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2nn S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a 的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；20．（12分）如图所示，平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC CE =，点F 为CE 的中点．（1）若2BE BC CD ===，求三棱锥D BFC -的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(3n a b =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =3a b -的取值范围．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…2018-2019学年重庆一中高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，每小题只有一项符合题目要求） 1．（5分）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5(S = ) A ．5B ．7C ．9D ．10【解答】解：由等差数列{}n a 的性质，及1353a a a ++=， 333a ∴=， 31a ∴=，15535()552a a S a +∴===． 故选：A ．2．（5分）某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A ．40B ．36C ．30D ．20【解答】解：每个个体被抽到的概率等于9013602701809=++，甲社区有360户低收入家庭，故应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为1270309⨯=，故选：C ．3．（5分）已知向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，m R ∈，则“6m =”是“//()a a b +r r r ”的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q 向量(1,2)a =r，(3,)b m =r ，∴(4,2)a b m +=+rr，若“//()a a b +r r r ”则2240m +-⨯=，解得：6m =，故“6m =”是“//()a a b +rr r ”的充分必要条件，故选：A ．4．（5分）已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是( ) A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αD ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥【解答】解：A ．若//m α，//n α，则m ，n 相交或平行或异面，故A 错；B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥，故B 正确；C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，故C 错；D ．若//m α，m n ⊥，则//n α或n α⊂或n α⊥，故D 错．故选：B ．5．（5分）在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则(EB =u u u r )A ．3144AB AC -u u ur u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u r C ．3144AB AC +u u ur u u u r D ．1344AB AC +u u ur u u u r 【解答】解：在ABC ∆中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，12EB AB AE AB AD =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r11()22AB AB AC =-⨯+u u u r u u u r u u u r3144AB AC =-u u ur u u u r ， 故选：A ．6．（5分）在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，则BC 的长为( )A B C ．D ．2【解答】解：Q 在ABC ∆中，60A =︒，2AB =，且ABC ∆，∴1sin 2AB AC A =g g ，即122AC ⨯⨯=， 解得：1AC =，由余弦定理得：2222cos 1423BC AC AB AC AB A =+-=+-=g g ，则BC = 故选：B ．7．（5分）某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是( )（注：结余=收入-支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3:1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3:1，故A 正确，由图可知，结余最高为7月份，为802060-=，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为1(406030305060)456+++++=万元，故D错误，故选：D．8．（5分）《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为()A．53B．103C．56D．116【解答】解：设五个人所分得的面包为2a d-，a d-，a，a d+，2a d+，（其中0)d>；则，(2)()()(2)5100a d a d a a d a d a-+-+++++==，20a∴=；由1(2)27a a d a d a d a d++++=-+-，得337(23)a d a d+=-；2411d a∴=，55/6d∴=；所以，最小的1分为110522063a d-=-=．故选：A ．9．（5分）若42log (34)log a b ab +=，则a b +的最小值是( ) A ．623+B ．723+C ．643+D ．743+【解答】解：340a b +>Q ，0ab >， 0a ∴>．0b >42log (34)log a b ab +=Q ， 44log (34)log ()a b ab ∴+=34a b ab ∴+=，4a ≠，0a >．0b >∴304ab a =>-， 4a ∴>，则33(4)121212123(4)72(4)743744444a a ab a a a a a a a a a a -++=+=+=++=-++-+=+-----g …，当且仅当423a =+取等号． 故选：D ．10．（5分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，2NB PN =，则三棱锥N PAC -与三棱锥D PAC -的体积比为( )A ．1:2B ．1:8C ．1:6D ．1:3【解答】解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，ABC ACD S S ∆∆∴=． D PAC P ACD P ABC V V V ---∴==． 2NB PN =Q ，23NB PB ∴=，23N ABC P ABCV V --∴=，13N PAC P ABC N ABC P ABC V V V V ----∴=-=．∴13N ABC D PAC V V --=． 故选：D ．11．（5分）已知四棱锥P 一ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为( ) A ．10πB ．4πC ．16πD ．8π【解答】解：取AD 的中点E ，Q 平面PAD ⊥平面ABC ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆ 为等腰直角三角形，∴四棱锥P ABCD -的外接球的球心为正方形ABCD 的中心O ，设半径为R ，则OE AD ⊥Q ，1PE = 112R ∴=+=，∴四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为8π．故选：D ．12．（5分）在ABC ∆中，已知9AB AC =u u u r u u u r g ，sin cos sin B A C =g ，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的点，且||||CA CBCP x y CA CB =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，则xy 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【解答】解：ABC ∆中设AB c =，BC a =，AC b =sin cos sin B A C =Q g ，sin()sin cos A C C A +=，即sin cos sin cos sin cos A C C A C A += sin cos 0A C ∴=sin 0cos 0A C ≠∴=Q 90C =︒Q 9AB AC =u u u r u u u rg ，6ABC S ∆=cos 9bc A ∴=，1sin 62bc A =4tan 3A ∴=，根据直角三角形可得4sin 5A =，3cos 5A =，15bc =5c ∴=，3b =，4a =以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得(0C ，0)(3A ，0)(0B ，4)P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得(1)(3CP CA CB λλλ=+-=u u u r u u u r u u u r ，44)(01)λλ-剟 设1||CAe CA =u u u r u r u u ur ，2||CB e CB =u u u ru u r u u u r 则12||||1e e ==u r u u r ， 1(1,0)e =u r ，2(0,1)e =u u r，∴(||||CA CBCP x y x CA CB =+=u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r g ，0)(0+，)(y x =，)y 可得3x λ=，44y λ=-则4312x y +=， 1243212x y xy =+…，3xy „故所求的xy 最大值为：3． 故选：C ．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（文科）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末尾数记为x ，那么x 的值为 2 ．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，1170(12451011)1757x +⨯++++++=，即1(33)57x ⨯+=， 即3335x +=， 解得2x =． 故答案为：2．14．（5分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中，321a =，521a ，则2326372a a a a a ++等于 8 ．【解答】解：在各项均为正数的等比数列{}n a 中， 321a Q ，521a =，2326372a a a a a ∴++2233552a a a a =++235()a a =+2(2121)= 8=．故答案为：8．15．（5分）如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 是AC 的中点，1:2AA AB =，则异面直线1AB 与BD 所成的角为 60︒ ．【解答】解：取11A C 的中点1D ，连接11B D ，D Q 是AC 的中点，11//B D BD ∴，11AB D ∴∠即为异面直线1AB 与BD 所成的角．连接1AD ，设AB a =，则12AA a =，13AB a ∴=，113B D ，2213242a AD a a =+=． 22211393144cos 23232a a a AB D a a+-∴∠==⨯⨯， 1160AB D ∴∠=︒．故答案为：60︒16．（5分）在ABC ∆中，若3cos 3cos 2a B b A b +=，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BE CF 的取值范围为 1(4，7)8． 【解答】解：设AB c =，AC b =，BC a =， 由题意得，3cos 3cos 2a B b A b +=，则由正弦定理可得：3sin cos 3sin cos 2sin A B B A B +=，即3sin()3sin 2sin A B C B +==，由正弦定理得，32c b =，即32b c =，Q 点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，∴由中线长定理得，222221112()2224BE a c b a c =+-=- 222221172()2222CF a b c a c =+-+∴BE CF ==a b c <+Q 且a c b +>，∴1522c a c <<，则1522a c <<， ∴2125()44a c <<， 2742()162a c ∴<+<，则1748， 则BF CF 的取值范围是1(4，7)8． 故答案为：1(4，7)8．三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且11()2n n S a n N ++=∈（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设113log (1)()n bn S n N ++=-∈，令12231111n n n T b b b b b b +=++⋯+，求n T ． 【解答】解：（Ⅰ）当1n =时，11a S =，由111111122S a a a +=+=，得：123a =．当2n …时，11111,122n n n n S a S a --=-=-．则111()2n n n n S S a a ---=-，即11()2n n n a a a -=-，所以11(2)3n n a a n -=…．Q 1203a =≠，∴113n n a a -=．故数列{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列．故11*1211()2()()333n n n n a a q n N --===∈g g ．（Ⅱ）Q 112n n S a +=，∴112n n S a -=．∴1111331(1)()13n n n b log Slog n ++=-==+．∴11111(1)(2)12n n b b n n n n +==-++++． 所以，1223111111111111()()()233412222(2)n n n nT b b b b b b n n n n +=++⋯+=-+-+⋯+-=-=++++． 18．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB BC ⊥，E 、F 分别为11A C 和BC 的中点．（1）求证：平面ABE ⊥平面11B BCC ； （2）求证：1//C F 平面ABE ．【解答】证明：（1）1BB ⊥Q 平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 1AB BB ∴⊥又AB BC ⊥，1BB BC B =I ，AB ∴⊥平面11B BCC而AB ⊂平面ABE ，∴平面ABE ⊥平面11B BCC（2）取AC 的中点G ，连结1C G 、FG ，F Q 为BC 的中点，//FG AB ∴又E 为11A C 的中点1//C E AG ∴，且1C E AG =∴四边形1AEC G 为平行四边形，1//AE C G ∴∴平面1//C GF 平面EAB ，而1C F ⊂平面1C GF ，1//C F∴平面EAB．19．（12分）某网站推出了关于扫黑除恶情况的调查，调查数据表明，扫黑除恶仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注扫黑除恶的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25)，第2组[25，35)，第3组[35，45)，第4组[45，55)，第5组[55，65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，解得0.035a=．（2）平均数为；200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁，设中位数为x，则100.010100.015(35)0.0350.5x⨯+⨯+-⨯=，解得42.1x=岁．20．（12分）如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC CE=，点F为CE的中点．（1）若2BE BC CD===，求三棱锥D BFC-的体积；（2）点M 为CD 上任意一点，在线段AE 上是否存在点P ，使得PM BE ⊥？若存在，确定点P 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，DC BC ⊥，DC ∴⊥平面BCE ，2BE BC CD ===Q ，∴1113(13)2332D BFC BFC V S DC -==⨯⨯⨯⨯=g ； （2）当P 为AE 中点时，有PM BE ⊥．证明如下：取BE 中点H ，连接DP ，PH ，CH ，P Q 为AE 的中点，H 为BE 的中点，//PH AB ∴，又//AB CD ，//PH CD ∴，则P ，H ，C ，D 四点共面． Q 平面ABCD ⊥平面BCE ，平面ABCD ⋂平面BCE BC =， CD ⊂平面ABCD ，CD BC ⊥，CD ∴⊥平面BCE ，又BE ⊂平面BCE ，CD BE ∴⊥，BC CE =Q ，H 为BE 的中点，CH BE ∴⊥，又CD CH C =I ，BE ∴⊥平面DPHC ，又PM ⊂平面DPHC ，BE PM ∴⊥，即PM BE ⊥．21．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =r ，)b c +，且m n ⊥r r ．（1）求角C 的值；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =b -的取值范围．【解答】解：（1）Q (sin ,sin sin )m A B C =-r，(n a =-r ，)b c +，且m n ⊥r r，sin ()(sin sin )()0A a B C b c ∴+-+=，利用正弦定理化简得：()()()0a a b c b c ++-=，即222a b c +-=，222cos 22a b c C ab +-∴==， (0,)C π∈Q ，6C π∴=；（2）由（1）得56A B π+=，即56B A π=-， 又ABC ∆为锐角三角形， ∴506202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，解得：32A ππ<<，1c =Q ，∴由正弦定理得：12sin sin sin sin 6a b c A B C π====， 2sin a A ∴=，2sin b B =，∴2sin 2sin()2sin cos 2cos sin cos 2sin()6666b A B A A A A A A A A ππππ-=-=-+=---=-， Q32A ππ<<，∴663A πππ<-<，∴1sin()26A π<-<12sin()6A π<-<b -的取值范围为．22．（12分）已知数列{}n a ，11a =，28a =，且*21442()n n n a a a n N ++=--∈ （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{2}n b -是等比数列，并求数列{}n a 的通项； （2）若1n n c a =，并且数列{}n c 的前n 项和为n T ，不等式45364n kT „对任意正整数n 恒成立，求正整数k 的最小值．（注：当4n …时，则122)n n -…【解答】解：（1）证明：121111222244222222n n n n n n n n n n b a a a a b a a a a ++++++-----===-----， 而124b -={2}n b ∴-是以4为首项2为公比的等比数列，112222n n n n b b ++-==+即11222n n n a a ++-=+，1111222n n n n n a a ++-=+累加法可求出111()222n n n a n -=+- ∴1(21)22n n a n -=+-；（2）111(21)22n n n c a n -==+-， 123111,,826c c c ===1458.09364k T k ⇒剠，2459.1364k T k ⇒剠，3459.41364kT k ⇒剠由条件知当4n …时，122n n -…， 即121111111()(21)22422(22)(21)(21)(21)22121n n c n n n n n n n n n -==<=-+-+-+-+--+„ ∴123451121111899189945()()9.910427217282(21)728364n n n kT c c c c c c c k n n -=+++++⋯++<+-=-<⇒++剠而*k N ∈综上所述k 的最小值为10．。

2019-2020学年重庆一中高一(下)期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1.已知A 、B 两地的距离为10km ，B 、C 两地的距离为20km ，现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为( )A. 10kmB. √3kmC. 10√5kmD. 10√7km2.已知命题p ：0<m <4是函数f(x)=mx 2−mx +1恒大于0的充分不必要条件；命题q ：f(x)=2x 2是幂函数．则下列命题是真命题的是( )A. p ∧qB. ￢p ∨qC. ￢p ∧￢qD. p ∧￢q3.如图，根据2013−2017年某市财政总收入(单位：亿元)统计图所提供的信息，下列判断正确的是A. 2013−2017年财政总收入呈逐年增长B. 预计2018年的财政总收入约为253.43亿元C. 2014−2015年与2016−2017年的财政总收入下降率相同D. 2013−2014年的财政总收入增长率约为6.3%4.垂直于直线y =x +1且与圆x 2+y 2=4相切于第三象限的直线方程是( )A. x +y +2√2=0B. x +y +2=0C. x +y −2=0D. x +y −2√2=05.已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 12B. 712C. 76D. 5126.已知A(3,5)、B(4,7)、C(−1,b)三点在同一直线上，则b 的值为( )A. b=−2B. b=2C. b=−3D. b=37.已知等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2−8x+9=0的两个根，则a5等于()A. −3B. 4C. −4D. 38.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：0≤x≤1时，f(x)=−x3+3x，且f(x−1)=f(x+1)，若方程f(x)=log a(|x|+1)+1(a>0,a≠1)恰好有12个实数根，则实数a的取值范围是()A. (5,6)B. (6,8)C. (7,8)D. (10,12)9.在△ABC中，BC=7，AB=5，∠A=120°，则△ABC的面积等于()A. 5√3B. 10√3C. 15√34D. 15√3210.若点到点及的距离之和最小，则m的值为()A. 2B.C. 1D.11.已知数列{a n}的前项和为S n，点(n,S n)在函数f(x)=∫(x12t+1)dt的图象上，则数列{a n}的通项公式为()A. a n=2nB. a n=n2+n+2C. a n={0,n=12n−1,n≥2D. a n={0,n=12n,n≥212.、为基底向量，已知向量，，，若A、B、D三点共线，则k的值是()A. 3B.C.D. 2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知圆的圆心为M，设A为圆上任意一点，且点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹方程为；14.在集合A={0,2，3}中随机取一个元素m，在集合B={1,2，3}中随机取一个元素n，得到点P(m,n)，则点P落在圆x2+y2=9内部的概率为______ ．15.如图，P是边长为2√2的正方形ABCD的边上任意一点，P点横坐标为x，P到正方形ABCD中心O的距离为f(x)，关于函数f(x)，有如下结论：①f(x)是奇函数；②f(x)是偶函数；③f(x)在[0,2]上是减函数；④f(x)的最大值为2；⑤f(x)的最小值为√2其中正确的是______.(只填序号)16.15.已知实数a≠0，函数f(x)=若f(1−a)=f(1+a)，则a的值为_______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=x与圆心在第二象限的圆C相切于原点O，且圆C与圆C′：x2+y2−2x−2y−6=0的面积相等．(Ⅰ)求圆C的标准方程；(Ⅱ)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使点Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18.某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某实验基地为了研究海水浓度x(%)对亩产量y(吨)的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表：海水浓度x(%)34567亩产量y(吨)0.570.530.440.360.30残差e î−0.050m n0.04绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量y(吨)与海水浓度x(%)之间的相关关系，用最小二乘法计算得y与x之间的线性回归方程为ŷ=−0.09x+â．(1)求â,m,n的值；(2)统计学中常用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越大，回归效果越好，如假设R 2=0.85，就说明预报变量y 的差异有85%是解释变量x 引起的.请计算相关指数R 2(精确到0.01)，并指出亩产量的变化多大程度上是由浇灌海水浓度引起的？(附：残差e i ̂=y i −y i ̂，相关指数R 2=1−i i 2n i=1∑(y −y )2n ，其中∑(y i −y )25i=1=0.051)19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且(2a +c)cosB =−bcosC(1)求角B 的大小；(2)若b =7，a +c =8且a >c ，求a ，c 的值．20. 已知圆M 与直线3x −√7y +4=0相切于点(1,√7)，圆心M 在x 轴上．(1)求圆M 的标准方程；(2)过点M 且不与x 轴重合的直线与圆M 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，直线OA ，OB 分别与直线x =8相交于C ，D 两点，记△OAB ，△OCD 的面积为S 1，S 2，求S 1S 2的最大值．21. 已知等差数列的公差d =1， 前n 项和为(1)求数项的通项公式(2)设数列的前n 项和为B n ，求B n (13分)22. 已知三点A(3,0)，B(0,3)，C(cosα,sinα)，α∈(0,π).若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =25，求(1)cosα+sinα的值；)的值．(2)sin(α+π6【答案与解析】1.答案：D解析：解：∵AB =10km ，BC =20km ，∠ABC =120°，∴由余弦定理得：AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC =100+400+200=700， 则AC =10√7km ． 故选：D ．利用余弦定理列出关系式，把AB ，BC ，以及cos∠ABC 代入求出AC 的长即可． 此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．2.答案：D解析：解：函数f(x)=mx 2−mx +1恒大于0⇔m =0，或{m >0m 2−4m <0⇔0≤m <4， 故0<m <4是函数f(x)=mx 2−mx +1恒大于0的充分不必要条件； 即命题p 是真命题， f(x)=2x 2不是幂函数． 故命题q 为假命题，故p ∧q ，￢p ∨q ，￢p ∧￢q 为假命题， p ∧￢q 是真命题， 故选：D ．先判断命题p ，q 的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，函数恒成立，幂函数等知识点，难度中档．3.答案：D解析：解：根据题意和折线统计图可知，从2013−2014财政收入增长了，2014−2015财政收入下降了，故选项A 错误；由折线统计图无法估计2018年的财政收入，故选项B 错误；∵2013−2014年的下降率是：(230.68−229.01)÷230.68≈0.72%，2014−2015年的下降率是：(243.12−238.86)÷243.12≈1.75%，故选项C 错误；2013−2014年的财政总收入增长率是：(230.68−217)÷217≈6.3%，故选项D 正确；故选D ．本题考查折线统计图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.根据题意和折线统计图可以判断选项中的说法是否正确．4.答案：A解析：解：设所求的直线为l ，∵直线l 垂直于直线y =x +1，可得直线的斜率为k =−1， ∴设直线l 方程为y =−x +b ，即x +y −b =0， 又直线l 与圆x 2+y 2=4相切， ∴圆心O(0,0)到直线l 的距离d =2=2，解得b =±2√2当b =−2√2时，可得切点坐标(−√2,−√2)，切点在第三象限； 当b =2√2时，可得切点坐标(√2,√2)，切点在第一象限； ∵直线l 与圆x 2+y 2=4的切点在第三象限， ∴取b =−2√2，此时的直线方程为x +y +2√2=0． 故选：A ．根据两直线垂直求出所求切线的斜率，由此设出切线方程，利用圆心到直线的距离d =r ，即可求出切线的方程，再验证是否满足条件即可．本题考查了直线与圆的位置关系应用问题，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题的关键．5.答案：B解析：解：由题意可得AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λ−1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(λ−1)×3×2×cos(120°)−9λ+4=−12λ+7=0， ∴λ=712，故选：B ．利用向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求得实数λ的值． 本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力，属于基础题．6.答案：C解析：解：∵A(3,5)、B(4,7)、C(−1,b)三点在同一直线上， ∴k AB =k AC ． ∴7−54−3=b−5−1−3，解得b=−3．故选：C．由于A(3,5)、B(4,7)、C(−1,b)三点在同一直线上，可得k AB=k AC.解出即可．本题考查了三点共线与斜率的关系，属于基础题．7.答案：B解析：本题考查数列的性质，是基础题．利用韦达定理和等差数列的性质能求出a5．解：∵等差数列{a n}中，a3，a7是方程x2−8x+9=0的两个根，∴a3+a7=2a5=8，解得a5=4．故选：B．8.答案：B解析：【试题解析】本题考查了方程根与函数图象的关系，属于中档题．作出f(x)与y=log a(|x|+1)+1的函数图象，根据函数图象的交点个数列出不等式组得出a的范围．解：∵f(x−1)=f(x+1)，∴f(x)的周期为2，作出y=f(x)与y=log a(|x|+1)+1的函数图象如图所示：由图象可知f(x)与y=log a(|x|+1)+1都是偶函数，∴两函数在(0,+∞)有6个不同交点，∴{log a6+1<2log a8+1>2a>1，解得6<a<8．故选：B．9.答案：C解析：解：据题设条件由余弦定理得|BC|2=|AB|2+|AC|2−2|AB||AC|cosA即49=25+|AC|2−2×5×|AC|×(−12)，即|AC|2+5×|AC|−24=0解得|AC|=3故△ABC的面积S=12×5×3×sin120°=15√34．故选：C．用余弦定理求出边AC的值，再用面积公式求面积即可．考查用余弦定理建立方程求值及用三角形的面积公式求三角形的面积，训练公式的熟练使用．10.答案：B解析：试题分析：点关于轴的对称点为。