第二章___需求分析

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可以解得：x1 w 2 p1 x2 w 2 p2
则：
( p1 , p2 , w) ( w 2 p1 )0.5 (w 2 p2 )0.5
w 2 2 0.5 0.5 0.5 2 p1 p2 2(0.25) 1
当政府征收0.5元所得税时，消费者收入w会从2元下降到1.5元， 消费者的间接效用也会从2下降到1.5。 如果政府对商品1开征0.25元的消费税，则商品1的价格会从 0.25元上涨到0.5元。从而消费者的间接效用为：
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第一节
一、瓦尔拉斯需求函数
需求函数
1.基本概念。我们称效用最大消费束 x * 与价格 p ( p1 , , p n ) 和财富水平 w 的关系为瓦尔拉斯需求函数。 2.瓦尔拉斯需求函数的推导。由其定义知，可用效用函数的最 优解直接推导出瓦尔拉斯需求函数。
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3.瓦尔拉斯需求函数的性质。 瓦尔拉斯需求函数 x * ( p, w) 具有以 下三个性质： （1）在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。即对于任给 p ，
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（二）间接效用函数的性质 假定 u () 是连续效用函数，代表定义在消费集 X R n 上局部非饱 和偏好关系 ,则间接效用函数 v( p, w) 是： 1、零齐次的，价格和财富同比例变动不影响效用； 2、在 w 上是严格递增的，并且对于任意 n ,它在 Pn 上都是非递 增的，即价格上升降低效用，财富上升增加效用； 3、拟凸的，就是说对于任意 v ,集合｛ (p, w) : (p, w) ν ｝是 凸集； 4、在 p 和 w上是连续的。
内涵：当价格上升时，若 E>-1 则支出增加；若 E=-1 则支出不变； 19 若 E<-1 则支出下降。
4、 需求交叉价格弹性。 需求交叉价格弹性定义为商 品 2 的需求量变动比率与商品 1 的价格变动比率之比， 即：
d ln x2 dx2 x2 dx2 p1 E21 （2.27） d ln p1 dp1 p1 dp1 x2
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（三）间接效用函数的应用 若效用函数为 u(x1, x2 ) x1x2 ，求当p1=0.25元,p2=1元,w=2元时 的间接效用函数。并分析当政府征收0.5元所得税（直接税）时以 及征收0.25元消费税（间接税）时的消费者效应变化情况。 解：该问题的最大化问题为：
0.5 0.5 max x1 x2 s.t. p1 x1 p2 x2 w
( p1 , p2 , w)
2 1.41 1.5 2(0.5) 0.5 1
上述结果表明：开征消费税对于消费者的间接效用的负面作用 大于开征所得税的负面作用。这是因为开征消费税既降低了消费者 的实际购买能力，又提高了商品的价格；而开征所得税只会降低消 费者的实际购买能力，所以他的负面影响较小。
w 和满足 a 0 ,有 x(ap, aw) x( p, w)
（ 2 ）瓦尔拉斯定律：任给 x x( p, w) 有 p x w ，即由瓦尔拉 斯需求函数决定的消费束都是位于预算集上界最优的解。 （3）凸性和唯一性。如果 u () 是拟凹的，则 x( p, w) 是一个凸集， 若 u () 是严格拟凹的， 则 x( p, w) 只包含单一的元素， 即需求是价格和 收入的单值函数。
v( p, w) L ( x * , * ) * w w
v( p, w) L( x* , * ) p p
x x ( p , w)
（2.13） （2.14）
x x ( p等式说如果间接效用函数已 11 知，且连续可导，那么就可求解出马歇尔需求曲线。
0.5 0.5 其拉格朗日函数为：L x1 x2 (w p1 x1 p2 x2 )
求关于x1、x2和λ的偏导，可得：
0.5 0.5 L x1 0.5 x1 x2 p1 0 0 .5 0 .5 L x2 0.5 x1 x2 p 2 0
L w p1 x1 p2 x2 0
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二、古诺合并条件 需求弹性与需求交叉弹性的关系
a1 E11 a2 E21 a1
被称为古诺合并条件。其中：
（2.28）
a1 ( p1 x1 ) w0 为第一种商品支出占总支出的比重， a2 ( p2 x2 ) w0为第二种商品支出占总支出的比重。
意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求 交叉价格弹性。
e( p, u) L(x*, *) * xi h( p, u) 由包络定理得： pi pi
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2.另一种定义希克斯需求函数的方式是从财富补偿思路出发的。 将购买的商品数量作为这些条件下的价格的函数，称为补偿需求函 数。其利用固定消费者效用水平约束下，消费者支出最小化而得到。 这种定义意味着其满足补偿需求法则。即对于那些伴随希克斯财富补 偿的价格变化，需求和价格将成相反方向的变化，即存在
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第四节 替代效应与收入效应
市场价格变化既会对消费需求量产生影响，又会对消费者的 福利产生影响，我们称前者为价格变动的配置效应，包括替代效 应和收入效应；后者为福利效应。本节是对价格变动的配置效应 即替代效应与收入效应进行的分析（价格变动的福利效应将在下 一章介绍），其中替代效应是指剔除价格下降后所产生的实际购 买力上升的效应之后，由于相对价格变化而引起的商品i对商品j 的替代；收入效应是指由于商品i的价格变得便宜,使消费者的实 际购买力提高而导致的对商品j的消费量的变化。 对价格变动的配置效应进行分析须借助于斯拉茨基方程。
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三、希克斯需求函数的价格弹性和交叉价格弹性
a111 a 2 21 0
（2.29）
p1 dx1 p1 dx 2 其中， 11 ， 21 为补偿需求函数的 x 2 dp1 x1 dp1
需求价格弹性和需求交叉价格弹性。
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四、需求的收入弹性 需求的收入弹性是指在价格不变的条件下，财富变动对需 求量的变动率的影响。其表达式为：
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一、斯拉茨基方程 1、斯拉茨基方程的基本形式 令x(p,w)为瓦尔拉斯需求，u*为消费者在价格p与收入w的前提 下达到的效应水平，则
x j ( p, w) pi TE xi ( p, w) （2.41） pi w IE SE h j ( p, u ) x j ( p, w)
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三、罗伊等式： 罗伊等式是用于反映瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数之间关 系的恒等式：
x j ( p, w) v( p, w) v( p, w) / p j w
j 1,2,, n
这 个 结 论 可 由 包 络 定 理 证 明 。 由 于 v( p, w) 定 为 max u ( x) ， s.t. px w 问题最优解，所以 v( p, w) 关于 p 和 w 的偏导数，按包络定 理只要对其极大化的 max u ( x) 求关于 p 和 w 的导数即可。 表达为： L ( x, ) u ( x ) ( w p x )
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效用最大化问题可以从另一个角度考虑：消费者为达到一个 效用水平 u ，如何选择商品 x ，使之所需要的财富支出最小，就
x * 为价格向量 p 对应的预算线中位置最低点。
是所谓支出最小化问题（EMP） 。图 2—3 可表示 n 2 时 EMP 问题，
图2—3
最小支出化问题
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2. 支出函数示例。 3. 支出函数的性质。支出函数 e( p, u) 具有以下四个性质，其都与 商品价格的变化有关。 （ 1）对 p 是一次齐次的； （ 2）对 p 是非递减的； （ 3）是关于 p 的凹函数； （ 4）当 p 0 时，为连续函数。 性质证明见教材。
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二、间接效用函数 （一）概念 u u ( x i ) 表明效用是消费量的函数，我们称 u 为直接效用函数。 若 v( p, w) u[ x * ( p, w)] ，我们则称 v( p, w) 为间接效用函数。此时的效用 是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。间 接效用函数以价格和收入两个变量描述消费最优状态，使得直接效用 函数独立于市场的情况得到改进，这样一来可以通过控制价格和收入 来分析消费者行为。
( p1 p 0 ) [h( p 1 , u) h( p 0 , u )] 0 的关系。显然对于任意 p 0 ，消费束
h( p, u ) 在最小支出问题中是最优解。希克斯需求函数具有对价格 p 的
零齐次的性质。
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三、对偶原理 对偶性是指一些成对问题或概念 ,是目标和约束条件的表达正好 1. x( p, w) h[ p, v( p, w)] 2. h( p, u ) x[ p, e( p, u )] 3. e[ p, v( p, w)] w 4. v[ p, e( p, u )] u 可由图 2— 5 说明。 （2.21） （2.22） （2.23） （2.24）
ln x1 w x( p1 , p2 , w) 1 ln w x1 w
（2.30）
若 1 0 ，则商品为正常品，若 1 0 ，则商品为吉芬商 品。
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五、恩格尔合并条件
a11 a 2 2 1
（2.31）
表明收入弹性以商品支出比率加权之和等于 1。对于希克斯需求 函数，因为收入不是这些函数的自变量，所以不存在收入弹性。
相反。 需求分析中还存在下列四个重要的恒等关系， 被称之为对偶性。
上述四个关系式中， h( p, u ) x[ p, e( p, u )] 最重要。上述四个关系，
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第三节
需求弹性
一、需求价格弹性 1.定义：对消费束 x 的需求弹性定义为
d ln x dx x dx p E d ln p dp p dp x
第二章 需求分析
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 需求函数 支出函数与对偶性原理 需求弹性 替代效应与收入效应 将上述讨论推广到n个变量