2021届江苏省扬州市邗江区高二上学期数学期中考试题

江苏省邗江中学2021-2022高二数学上学期期中试题（新疆班，无答案）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}0,1,2,3A =，集合{}1,1B =-，则AB = （ ）A ．{}1B ． {}1,1-C ．{}1,0-D ． {}1,01-，2.︒330sin 的值是 （ ）A.21 B. 23C. 21- D.23-3．如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE ＝ （ ）A ．12AB AD -+ B ．12AB AD -C ．12AB AD + D ．12AB AD -5．要得到函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将sin 2y x =的图像 （ ） A ．向左平移π3个单位长度 B ．向左平移π6个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 6.三个数6log 66.06.06.06，，的大小关系为 ( ) A.6.06.0666log 6.0＜＜ B.6log 66.06.06.06＜＜ C.66.06.06.066log ＜＜ D.6.066.066.06log ＜＜7. 下列四式中不能化简为→AD 的是 （ ） A (→AB ＋→CD )＋→BCB (→AD ＋→MB )＋(→BC ＋→CM )C (→MB ＋→AD )－→BMD (→OC －→OA )＋→CD8. 函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是 （ ）A ．2x π=B ．6x π=C ．3x π=D ．6x π=-9. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 （ ）A ．y x =B ．tan y x =C ．1()2x y = D ． 3y x =10．设向量(,1),(1,3)a m b ==-，且()a a b ⊥+，则m = （ ）A ． 3B ．2-C ．21-或D ．31或11.若直线y x b =+是曲线ln y x x =的一条切线，则实数b = （ ）A.1B.eC.1eD.-1 12．已知函数2,1()25,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若存在两个不相等的实数12,x x ，使得12()()f x f x =，则a 的取值范围为 ( )A.2a <B.4a <C. 24a ≤<D.-12a > 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分）13．函数y =____________．14. 在△ABC 中，b ＝8，c ＝3，A ＝60°，则a =15. 设(2,3),(2,5),(1,4),AB BC CD AD ==--=-=16. 若直线1y x b e=+ 是曲线y = ln x 的一条切线，则实数b 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. （本小题满分10分）已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，c ＝(3，4) ．（1）求a · (b ＋c )； （2）若(a ＋λb )∥c ，求实数λ的值． 18. （本小题满分12分）已知集合{|11}A x a x a =-<<+，{|03}B x x =<<． ⑴若0=a ，求AB ；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围．19. （本小题满分12分）已知5cos()13αβ+=，4cos 5β=，,αβ均为锐角，求sin α的值20. （本小题满分12分） 已知函数()sin()(0,0)6f x A x A πωω=+>>的部分图象如图所示．(1)求,A ω的值； (2)求()f x 的单调增区间；（3）当x ∈[－π2，0] 时，求函数f (x ) 的值域．21.（本小题满分12分）甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为)(x G （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入⎩⎨⎧>≤≤+-=)5(11)50(2.44.0)(2x x x x x R ，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数)(x f y =的解析式（利润=销售收入—总成本）；(2)甲厂生产多少台新产品时，可使盈利最多？22．（本小题满分12分）设函数f(x)＝ln x－ax，a∈R．（1）当x＝1时，函数f(x)取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f(x)在区间[1，2]的最大值；（3）当a＝－1时，关于x的方程2mf(x)＝x2（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．。

江苏省邗江中学高二数学上学期期中试卷（新疆班，）新疆班高二数学期中试卷一．填空题：1. 已知集合 A{1，2，4 }， B { 2，3，4，5 }，则A ∩ B ．2．“1x >”是 “21x >”的 条件。

（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）3.若sin α＜0且tan α＞0，则α是第 象限角。

4. 已知函数2()21x f x a =-+是奇函数()a R ∈．则实数a 的值为5.若直线1y x b e =+ 是曲线yln x 的一条切线，则实数b 的值为． 6.已知幂函数()y f x =的图象通过点1(4,)2，则1()4f 的值为 ．7. 函数)12(log )(21-=x x f 的定义域是 . 8..若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则)(x f 的递减区间是9.函数[]2()42,1,4f x x x x =-+∈的值域为 .10.已知命题p ：x 2－x ＜0，命题q ：2x 2－a x ＜0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范畴 .11. 已知函数)(x f y =在其定义域R 上是增函数，且为奇函数，同时满足0)52()1(>-+-t f t f ，则实数t 的取值范畴为 .12. 已知,24,81cos sin παπαα<<=则sin α—cos α= 13. 已知函数220()10x x x f x x ⎧+<=⎨⎩，，，≥．若函数y x m =+的图象与函数()y f x =的图象有3个不同的公共点，则实数m 的取值范畴是 ．14．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范畴是__________．二．解答题：15．记函数2()lg(2)f x x x =--定义域为集合A ，()g x =的定义域为集合B .（1）求A B ；（2）若{|40},C x x p C A =+<⊆，求实数p 的取值范畴.16. 设命题:p 实数x 满足03422<+-a ax x ，其中0>a ，命题:q 实数x 满足2280x x +->(1)若1=a ，且q p ∧为真，求实数x 的取值范畴；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范畴．观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

江苏省邗江中学2021-2021学年度第一学期高二数学期中试卷命题人：说明：本试卷分第I 卷〔选择题〕和第II 卷〔非选择题〕两局部，全卷总分值150分，考试时间120分钟。

第I 卷〔选择题 共60分〕一、单项选择题：此题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．命题“，20x x -≤〞的否认是〔〕A.x ∀∈R ，20x x -<B.x ∃∈R ，20x x -≤C.x ∃∈R ，20x x -≥D.x ∃∈R ，20x x ->2．m ，n ∈R 那么“m ＞0且n ＞0〞是“曲线221x y m n+=为椭圆〞的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．在正项等比数列{}n a 中，假设657,3,a a a 依次成等差数列，那么{}n a 的公比为〔〕A ．2B ．12 C ．3 D ．134．等差数列{}n a 中，243,5a a ==，那么1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=〔 〕 A ．25B ．922 C ．910D ．10115. 设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．假设C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，那么双曲线C 的方程为〔〕A. 22144x y -=B. 2214y x -= C. 2214x y -= D. 221x y -=6．关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集为(,)a b ，那么32a b +的最小值是〔〕 A 322+．526+C ．562+．37.为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，方案以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为〔〕 A ．6 B ．12C ．18D ．248．正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．假设对于任意实数a ∈[﹣2，2]，且任意的*N n ∈，不等式12121-+<++at t n a n 恒成立，那么实数t 的取值范围为〔 〕A ．〔﹣∞，﹣2]∪[2，+∞〕B ．〔﹣∞，﹣2]∪[1，+∞〕C ．〔﹣∞，﹣1]∪[2，+∞〕D ．[﹣2，2]二、多项选择题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江区高二上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在等差数列{a n }中，若a 3+a 6+a 9=90，则S 11等于( )A. 270B. 300C. 330D. 360 2. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y ≥1x −y ≥−12x −y ≤2，若函数z =ax +by(a >0,b >0)的最大值为1，则1a +1b 的最小值为( )A. 7+4√3B. 7+2√3C. 8√3D. 4√3 3. 数列{a n }满足a 1=−3，a n+1=−a n +1a n −1，其前n 项积为T n ，则T 2014=( )A. 32B. −16C. 23D. −6 4. 已知log a x >log a y(0<a <1)，则下列不等式恒成立的是 ( )A. y 2<x 2B. tan x <tan yC. 1y <1xD. √y <√x 5. 设数列{a n }满足a 1=0，a n +a n+1=2，则a 2014的值为( )A. 2B. 1C. 0D. −2 6. 设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab =0”是“复数 a+b i 为纯虚数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 7. 若不等式5−x >7|x +1|和不等式ax 2+bx −2>0的解集相同，则a 、b 的值分别是( )A. a =−8，b =−10B. a =−1，b =9C. a =−4，b =−9D. a =−1，b =2 8. 若等差数列{a n }的前5项和S 5=25，则a 3等于( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x +λ)+λf(x)=0对任意的实数x 恒成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是( )A. 函数f(x)=a(其中a 为常数)为回旋函数的充要条件是λ=−1B. 若函数f(x)=a x (a >1)为回旋函数，则λ>1C. 函数f(x)=cosπx 不是回旋函数D. 若f(x)是λ=2的回旋函数，则f(x)在[0,2020]上至少有1010个零点10. 若函数f(x −2)=2x 2−9x +13，则使函数f(x)是单调减函数的区间是( )A. (−∞,1]B. [14,+∞)C. (−∞,0]D. (−∞,14] 11. 黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工.在一个黄金矩形(宽长比约等于0.618)里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”.达⋅芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线.现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N ∗)，数列{a n }满足a 1=a 2=1，a n =a n−1+a n−2(n ≥3).再将扇形面积设为b n (n ∈N ∗)，则( )A. 4(b 2020−b 2019)=πa 2018⋅a 2021B. a 1+a 2+a 3+⋯+a 2019=a 2021−1C. a 12+a 22+a 32…+(a 2020)2=2a 2019⋅a 2021D. a 2019⋅a 2021−(a 2020)2+a 2018⋅a 2020−(a 2019)2=012. 下列说法中正确的是( )A. 数列{a n }成等差数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有2a n+1=a n +a n+2B. 数列{a n }成等比数列的充要条件是对于任意的正整数n ，都有a n+12=a n a n+2C. 若数列{a n }是等差数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等差数列D. 若数列{a n }是等比数列，则S n ，S 2n −S n ，S 3n −S 2n 也是等比数列三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“若a ⋅b 不为零，则a ，b 都不为零”的否命题是______．14. 在括号里填上和为1的两个正数，使的值最小，则这两个正数的积等于 ．15. 函数y =√−x 2+2x 的单调递减区间为______．16. 设f(x)=x(12)x +1x+1，0为坐标原点，A n 是函数图象上横坐标为n(n ∈N ∗)的点，向量OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，和i =(6,0)的夹角为θn ，则满足tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn <53的最大正整数是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）>0}．17.已知集合A={x|y=ln(x−2+a)}(a∈R)，B={x|x−3x+2(1)当a=1时，求A∩(∁R B)；(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数a的取值范围．18.已知函数f(x)=ax2+1是奇函数，且f(1)=3，f(2)=5，求a，b，c的值．bx+c=a4，a3=−2a4．19.已知在等比数列{a n}中，a2+38(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(n+1)|a n|，求数列{b n}的前n项和S n．<0，k≠0．20.已知关于x的不等式2kx2+kx−38(1)若k=1，求不等式的解集；8(2)若不等式的解集为R，求k的取值范围．⏜，其中C为半圆弧中点，渠21.如图是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面是所示的半圆弧ACB宽AB为2米．(1)当渠中水深CD为0.4米时(D为水面中点)，求水面的宽；(2)若把这条水渠改挖(不准填上)成横断面为等腰梯形的水渠，使渠的底面与水平地面平行，则改挖后的水渠底宽为多少米时(精确到0.01米)，所挖的土最少？22.定义运算“⊕”：对于任意x、y∈R，x⊕y=(1−b)x+by(b∈R+)(等式的右边是通常的加减乘运算)．若数列{a n}的前n项和为S n，且S n⊕a n=3n对任意n∈N∗都成立．(1)求a1的值，并推导出用a n−1表示a n的解析式；(n∈N∗)，证明数列{b n}是等差数列；(2)若b=3，令b n=a n3n(n∈N∗)，数列{c n}满足|c n|≤2(n∈N∗)，求正实数b的取值范围．(3)若b≠3，令c n=a n3n【答案与解析】1.答案：C解析：解：∵等差数列{a n }，∴a 3+a 9=2a 6，又a 3+a 6+a 9=90，∴a 6=30，又a 1+a 11=2a 6，则S 11=112(a 1+a 11=)=11a 6=330．故选：C ．由数列{a n }为等差数列，把已知等式左边的第一项和第三项结合，利用等差数列的性质化简，得到关于a 6的方程，求出方程的解得到a 6的值，然后利用等差数列的求和公式表示出S 11，并利用等差数列的性质化简后，将a 6的值代入即可求出值．此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键． 2.答案：A解析：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．由已知利用线性规划可得3a +4b =1，而1a +1b =(3a +4b)(1a +1b )展开后利用基本不等式即可求解． 解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，由直线ax +by =z(a >0,b >0)可得y =−a b x +z b ，则z b 表示直线在y 轴截距，截距越大z 越大， 由a >0，b >0，可得−a b <0，∴直线ax +by =z 过点B 时，目标函数有最大值，由{2x −y =2x −y =−1可得B(3,4)， 此时目标函数z =ax +by(a >0,b >0)取得最大值1，即3a +4b =1，而 1a +1b =(1a +1b )(3a +4b)=7+4b a +3a b ≥7+4√3，。

江苏省扬州中学2021-2021学年第一学期期中考试高二数学试卷（注：本试卷总分值160分，考试时刻120分钟，请将答案写在答题纸上） 一、填空题（本大题共14小题，每题5分，计70分） 1．抛物线x y 82=的核心坐标为 ▲ ．2．通过点（－2，3），且与直线250x y +-=垂直的直线方程为____▲_______． 3．以抛物线24y x =的核心为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_____▲_____．4.已知不管k 取任何实数，直线0)142()32()41(=-+--+k y k x k 必通过必然点，那么该定点坐标为 ▲ ．5.设直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为，那么a =_____▲______．6. 圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，假设放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，那么球的半径是 ▲ cm.7. 若是规定：z y y x ==,，那么 z x = 叫做 z y x ,, 关于相等关系具有传递性，那么空间三直线c b a ,,关于相交、垂直、平行、异面、共面这五种关系中具有传递性的是_____ ▲______. 8.双曲线)0(1222>=+-m m y m x 的一条渐近线方程为x y 2=，那么=m ▲ . 9．已知椭圆13422=+y x 上一点P 到左核心的距离为25,那么它到右准线的距离为 ▲ . 10． 设α和β为不重合的两个平面，给出以下命题：（1）假设α内的两条相交直线别离平行于β内的两条直线，那么α平行于β； （2）假设α外一条直线l 与α内的一条直线平行，那么l 和α平行；（3）设α和β相交于直线l ，假设α内有一条直线垂直于l ，那么α和β垂直； （4）直线l 与α垂直的等价条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号 ▲ （写出所有真命题的序号）． 11.椭圆)0(12222>>=+b a by a x ,21,F F 为椭圆的两个核心且21,F F 到直线1=+b ya x 的距离之和为b 3，那么离心率e = ▲ .12.假设点B A ,在曲线)0(222>=-x y x 上，那么→→•OB OA 的最小值为 ▲ .13.已知过点)2,(m P 作直线l 与圆O ：122=+y x 交于B A ,两点，且A 为线段PB 的中点,那么m 的取值范围为▲ .14．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率21=e ，A,B 是椭圆的左、右极点，P 是椭圆上不同于A,B 的一点，直线PA,PB 倾斜角别离为,αβ，那么cos()=cos +αβαβ-（）▲ .16．（本小题总分值14分）如图，在四棱锥P ‐ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．求证：（1）PB ∥平面AEC ；（2）平面PCD ⊥平面PAD ．17．（本小题总分值15分）如图，在四棱柱1ABCD A B -，且1AB BC CA AD CD =====． (1)求证：1BD AA ⊥;的值． (2)在棱BC 上取一点E ，使得AE ∥平面11D DCC ，求BEEC18. （本小题总分值15分）学校科技小组在运算机上模拟航天器变轨返回实验．设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为12510022=+yx ，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变成抛物线）后线的实线部返回的轨迹是以y 轴为对称轴、)764,0(M 为极点的抛物份，降落点为)0,8(D ．观测点)0,4(A ,)0,6(B 同时跟踪航天器． （1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？19. （本小题总分值16分）（1）求右核心坐标是)0,2(，且通过点)2,2(--的椭圆的标准方程.（2）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,设斜率为k 的直线l 交椭圆C 于B A ,两点，AB 的中点为M ，证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上.（3）利用（2）中所揭露的椭圆几何性质,用作图方式找出图中的定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.20. （本小题总分值16分）在直角坐标平面中，ABC ∆的两个极点为)1,0(),1,0(B A -，平面内两点M G ,同时知足：)1(G 为ABC ∆的重心；M )2(到ABC ∆三点C B A ,,的距离相等；)3(直线GM 的倾斜角为2π. （1）求证：极点C 在定椭圆E 上，并求椭圆E 的方程；（2）设N R Q P ,,,都在曲线E 上，点)0,2(F ，直线RN PQ 与都过点F 而且彼此垂直，求四边形PRQN 的面积S 的最大值和最小值.高二数学期中试卷答题纸 2021.11一、填空题：（本大题共14小题，每题5分，计70分） 成绩 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8．9． 10． 11． 12． 13． 14． 三、解答题（本大题共6小题，计90分） 15．解： 16．解：17．解：_____ 姓名_____________……………不……………要……………答……………题……………… PADE8.32； 9. 3 ； 10. （1）（2）； 11. 36；12. 2；13. ]5,5[-；14. 7115.解：由(2)(21)618m m m +-=+，得4m =或52m =-； 当m =4时，l 1：6x +7y -5=0，l 2：6x +7y =5,即l 1与l 2重合，故舍去。

2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1. 若a>b，c>d，则下列不等关系中不一定成立的是( )A.a−b>c−dB.a+c>b+dC.a−c>b−cD.a−c<a−d2. 不等式2x2+x−6<0的解集为( )A.(−32,2) B.(−2,32)C.(−∞−32)∪(2,+∞) D.⌀3. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，则a5=( )A.25B.30C.32D.644. 已知实数x，y满足x2+y2=1，则xy的最大值是( )A.1B.√32C.√22D.125. 条件p:x2−4x−5<0是条件q:|x+3|>2的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6. 若A(m+1, n−1, 3)，B(2m, n, m−2n)，C(m+3, n−3, 9)三点共线，则m+n的值为( )A.0B.−1C.1D.−27. 若方程5x2+(a−11)x+a−2=0的一个根在(0, 1)内，另个一根在(1, 2)内，则实数a的取值范围是( )A.(43, 2) B.(2, +∞) C.(43, 4) D.(2, 4)8. 若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2，则m的值为( )A.1B.4C.1或7D.4或69. 已知等比数列{a n}中，若a1+a2+a3=13，a1a2a3=27且q>1，则a6=( )A.−35B.35C.24或2−2D.−35或35二、多选题如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1=√6，AB=BC=2，AC=2√2，点M是棱AA1的中点，则下列说法正确的是( )A.异面直线BC与B1M所成的角为90∘B.在B1C上存在点D，使MD//平面ABCC.二面角B1−AC−B的大小为60∘D.B1M⊥CM已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线l:y=2√2x，设F1，F2是C的左、右焦点，点P在l上，且|OF1|=|OP|，O为坐标原点，则( )A.C的虚轴长为4√2B.∠F1PF2=90∘C.||PF1|−|PF2||=2D.△PF1F2的面积为6√2已知等差数列{a n}的前n项和为S n(n∈N∗)，公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是( )A.a1=22B.d=−2C.当n=10或n=11时，S n取得最大值D.当S n>0时，n的最大值为21三、填空题命题“∃x0∈R，x02−x0−1≤0”的否定为________.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n2a n+3，则a7=________.若双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围是________.已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|=32|BF|，则直线l的斜率k=________.四、解答题已知函数f(x)=x2−3x+m.(1)当m=−4时，解不等式f(x)≤0；(2)若m>0，f(x)<0的解集为(a,b)，求1a +4b的最小值．已知集合A={x|x2−4x−12≤0}，B={x|x2−2x+1−m2≤0,m>0}.(1)求集合A与B；(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)直线x−2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；(2)过点(√3,−√5)，且与椭圆y225+x29=1有相同焦点．已知数列{a n}满足a1+2a2+4a3+⋯+2n−1a n=n(n+1)2,n∈N∗.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n.如图①，在菱形ABCD中，∠A=60∘且AB=2，E为AD的中点．将△ABE沿BE折起使AD=√2，得到如图②所示的四棱锥A−BCDE．(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；(2)若P为AC的中点，求二面角P−BD−C的余弦值．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，右顶点A(2, 0)，上顶点为B，左右焦点分别为F1，F2，且∠F1BF2=60∘，过点A作斜率为k(k≠0)的直线l交椭圆于点D，交y轴于点E．(1)求椭圆C的方程；(2)设P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出点Q；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏扬州高二上数学期中试卷一、选择题1.【答案】A【考点】不等式性质的应用【解析】根据a>b，c>d即可判断选项B，C，D都成立，而选项A显然不一定成立，从而得出正确的选项．【解答】解：∵a>b，c>d，∴a+c>b+d，故选项B正确；a−c>b−c，故选项C正确；又−c<−d，∴a−c<a−d，故选项D正确.故选A.2.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法【解析】不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得−2<x<32；所以该不等式的解集为(−2,32) .故选：B．【解答】解：不等式2x2+x−6<0可化为(2x−3)(x+2)<0，解得：−2<x<32，所以该不等式的解集为(−2,32) .故选B.3.【答案】A【考点】数列递推式等差数列【解析】将a1=1代入式子a n+1=a n+6得出a2，以此类推可得出a5．【解答】解：∵ 数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+6，∴a2=a1+6=7，a3=a2+6=13，a4=a3+6=19，a5=a4+6=25.故选A.4.【答案】D【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】因为x2+y2=1，则x≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号，故选：D．【解答】解：因为x2+y2=1，所以xy≤x2+y22=12，当且仅当x=y=√22时取等号.故选D.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：条件p:x2−4x−5<0的解集为−1<x<5，条件q:|x+3|>2的解集为x<−5或x>−1，∴命题p⇒命题q，反之则不可以，故条件p是条件q的充分不必要条件.故选A．6.【答案】A【考点】平行向量的性质三点共线【解析】根据点A ，B ，C 的坐标，分别求出AB →，AC →的坐标，利用三点共线，可建立方程组，从而可求m +n 的值 【解答】解：∵ A(m +1, n −1, 3)，B (2m, n, m −2n)， C( m +3, n −3, 9)，∴ AB →=(m −1,1,m −2n −3)，AC →=(2,−2,6). ∵ A ，B ，C 三点共线， ∴ AB →//AC →， ∴m−12=1−2=m−2n−36解得：m =0，n =0，∴ m +n =0. 故选A . 7.【答案】 D【考点】由函数零点求参数取值范围问题 一元二次不等式与二次函数【解析】 此题暂无解析 【解答】解：令f(x)=5x 2+(a −11)x +a −2，则f(x)与x 的轴的两个交点分别在(0, 1)和(1, 2)内，∴ {f(0)=a −2>0，f(1)=5+(a −11)+a −2<0，f(2)=20+2(a −11)+a −2>0，解得2<a <4. 故选D . 8.【答案】 D【考点】椭圆的标准方程 【解析】①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9,b 2=m +4，得c =√5−π，∴ 焦距2c =2√5−π=2，解之得m =4， ②椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4,b 2=9，得c =√m −5，焦距2c =2√n −5=2，解之得m =6， 综上所述，得m =4或6 . 故选：D ． 【解答】解：①当椭圆焦点在x 轴上时，a 2=9，b 2=m +4，∴ c =√5−m ，∴ 焦距2c =2√5−m =2， 解得：m =4；②当椭圆焦点在y 轴上时，a 2=m +4，b 2=9， ∴ c =√m −5，∴ 焦距2c =2√m −5=2， 解得：m =6.综上所述，m =4或6 . 故选D . 9.【答案】 B【考点】等比数列的通项公式 【解析】【解答】解：由题意，设等比数列{a n }的公比为q ． ∵ a 1a 2a 3=27，即(a 2)3=27， 解得a 2=3.又a 1+a 2+a 3=13，即a2q +a 2+a 2q =13， ∴ 3q 2−10q +3=0， 解得q =3或q =13. 又由q >1， ∴ q =3，∴ a 6=a 2q 4=35. 故选B ． 二、多选题 【答案】 A,B,C【考点】二面角的平面角及求法空间中直线与平面之间的位置关系 异面直线及其所成的角【解析】选项A ，连接MC 1，易知BC//B 1C 1，故∠MB 1C 1即为所求．由勾股定理可知A 1B 1⊥B 1C 1，由三棱柱的性质可知BB 1⊥B 1C 1，再结合线面垂直的判定定理与性质定理即可证得可证得B 1C 1⊥MB,，即∠MB 1C 1=90∘； 选项B ，连接BC 1，交B 1C 于点D ，连接MD ，再取BC 的中点E ，连接DE 、AE ，易知四边形AMDE 为平行四边形，故MD//AE ，再由线面平行的判定定理即可得证；选项C ，取AC 的中点N ，连接BN 、B 1N, 则∠BNB 1即为所求，在Rt △BNB 中，由三角函数可求出tan ∠BMB 1的值，从而得解；选项D ，在△CMB 中，利用勾股定理分别算出CM 、MB 和B 1C 的长，判断其结果是否满足CM 2+MB 12≠B 1C 2即可．【解答】解：A，连接MC1，由三棱柱的性质可知，BC//B1C1，∴∠MB1C1即为异面直线BC与B1M所成的角．∵AB=BC=2，AC=2√2，∴∠ABC=∠A1B1C1=90∘，即A1B1⊥B1C1，由直三棱柱的性质可知，BB1⊥平面A1B1C1，∵B1C1⊂平面A1B1C1，∴BB1⊥B1C1．又A1B1∩BB1=B1，A1B1，BB1⊂平面ABB1A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MB1，即∠MB1C1=90∘，故选项A正确；B，连接BC1，交B1C于点D，连接MD，再取BC的中点E，连接DE，AE，则DE//AM，DE=AM，∴四边形AMDE为平行四边形，∴MD//AE.∵MD⊄平面ABC，AE⊂平面ABC，∴MD//平面ABC，故选项B正确；C，取AC的中点N，连接BN，B1N，∵BB1⊥平面ABC，∴∠BNB1即为二面角B1−AC−B的平面角．在Rt△BNB1中，BB1=√6，BN=√22AB=√2，∴tan∠BNB1=BB1BN=√3，∴∠BNB1=60∘，故选项C正确；D，在△CAM中，CM2=AC2+AM2=192，在△B1A1M中，MB12=A1B12+A1M2=112，在△B1BC中，B1C2=B1B2+BC2=10，显然CM2+MB12≠B1C2，∴B1M与CM不垂直，故选项D错误．故选ABC．【答案】A,B,D【考点】双曲线的渐近线双曲线的标准方程余弦定理【解析】利用双曲线渐近线求出b=2√2，得到双曲线方程，利用双曲线性质以及平面几何知识即可判断AB选项,利用余弦定理计算得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cosθ=2√3,|PF2|=2√6，结合三角形为直角三角形，即可判断CD是否正确.【解答】解：因为双曲线的一条渐近线为y=2√2x，所以ba=2√2.又a=1，所以b=2√2,所以虚轴长为4√2，故A选项正确；因为F1，F2为双曲线的左、右焦点，所以|OF1|=|OF2|=3.又因为|OF1|=|OP|，所以|OP|=12|F1F2|,所以∠F1PF2=90∘，故B选项正确；设渐近线的倾斜角为θ，所以tanθ=2√2，所以cosθ=13.由余弦定理得|PF1|=√OP2+OF12−2OP×OF1cos(π−θ)=2√6,同理|PF2|=2√3，所以||PF1|−|PF2||≠2，故C选项错误；因为△PF1F2为直角三角形,所以△PF 1F 2的面积为12×2√6×2√3=6√2，故D 选项正确.故选ABD . 【答案】 B,C【考点】 等比中项等差数列与等比数列的综合 二次函数的性质 等差数列的前n 项和【解析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ． 【解答】解：由公差d ≠0，S 6=90，可得6a 1+15d =90， 即2a 1+5d =30，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得a 72=a 3a 9， 即为(a 1+6d)2=(a 1+2d)(a 1+8d)， 化为a 1=−10d ，②由①②解得a 1=20，d =−2，故A 错误，B 正确； 由S n =20n +12n(n −1)⋅(−2)=21n −n 2=−(n −212)2+4414，由于n 为正整数，可得n =10或11时，S n 取得最大值110，故C 正确； 由S n >0，解得0<n <21，可得n 的最大值为20．故D 错误． 故选BC ． 三、填空题【答案】∀x ∈R ，x 2−x −1>0 【考点】 命题的否定 【解析】命题为特称命题，则命题的否定为∀x ∈R ,x 2−x −1>0，故答案为：∀x ∈R ,x 2−x −1>0 . 【解答】解：特称命题的否定为全称命题，则该命题的否定为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0. 故答案为：∀x ∈R ，x 2−x −1>0 . 【答案】 15【考点】 数列递推式 等差数列【解析】 由a n+1=3a n 2a n +3，得1a n+1=1a n+23，所以(1an)是等差数列， 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13,a n =32n+1，所以a 7=15.故答案为：15. 【解答】 解：由a n+1=3a n 2a n +3，得1an+1=1a n+23，∴ 数列{1a n}是公差为23的等差数列，∴ 1a n=1a 1+(n −1)×23=2n+13，∴ a n =32n+1， ∴ a 7=15 . 故答案为：15 .【答案】 (1,√10 ]【考点】双曲线的离心率 【解析】将双曲线的方程x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)与直线方程y =3x 联立方程组，得到：(b 2−9a 2)x 2=a 2⋅b 2，显然当b 2−9a 2≤0时方程无解，即两曲线无公共点，从而可求得离心率e 的取值范围． 【解答】解：由题意，联立{x 2a 2−y 2b 2=1，y =3x ，解得(b 2−9a 2)x 2=a 2b 2.∵ 双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)与直线y =3x 无公共点， ∴ b 2−9a 2≤0. 又c 2=b 2+a 2，∴ c 2−a 2−9a 2≤0，即c 2≤10a 2， 两端同除以a 2，得(ca )2≤10，即e 2≤10. 又e >1，∴ 1<e ≤√10． 故答案为：(1,√10 ]. 【答案】±2√6【考点】直线与抛物线结合的最值问题抛物线的定义直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解∶当直线的倾斜角为锐角时，如图，从点A，B分别作准线的垂线，设垂足分别为M，N，从点B作AM的垂线，设垂足为P．设|BF|=|BN|=a，则|AF|=|AM|=32a，则|AP|=12a，所以|PB|=√6a，由图可知直线的倾斜角等于∠BAP，故k=tan∠BAP=2√6．同理当直线的倾斜角为钝角时，可得k=−2√6 .故答案为：±2√6.四、解答题【答案】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba +4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a +4b≥13(5+4)=3．故1a +4b的最小值为3.【考点】基本不等式在最值问题中的应用一元二次不等式的解法函数的零点【解析】【解答】解：(1)当m=−4时，f(x)=x2−3x−4=(x−4)(x+1)≤0，解得−1≤x≤4．(2)∵当m>0时，f(x)<0的解集为(a,b)，∴f(b)=f(a)=0，则x2−3x+m=0的两个根是a和b，即a+b=3，ab=m>0，∴a，b均为正数，则13(a+b)(1a+4b)=13(1+4+ba+4ab) .又ba+4ab≥2√ba⋅4ab=4，当且仅当b=2a，即a=1，b=2时取等号，∴1a+4b≥13(5+4)=3．故1a+4b的最小值为3.【答案】解：(1)∵x2−4x−12≤0，整理，得(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x≤6，∴A=[−2,6] .∵x2−2x+1+m2≤0,m>0，整理，得[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得：1−m≤x≤1+m，∴B=[1−m,1+m] .(2)∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴B⫋A，∴{−2≤1−m，1+m≤6，m>0，且等号不能同时成立，解得：0<m≤3，∴m∈(0,3] .【考点】一元二次不等式的解法根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）x2−4x−12≤0，化为：(x+2)(x−6)≤0，解得：−2≤x<6 .∴A=[−2,6] .x2−2x+m2≤0,m>0，∴[x−(1−m)][x−(1+m)≤0，解得1−m≤x≤1+m . ∴B=[−m,1+m] .（2）∵ x∈A是x∈B的必要不充分条件，∴ B ⫋A∴ {−2≤1−m1+m <6m >0, 且等号不能同时成立．解得：0<m ≤3 . ∴ m ∈(0,3] .【解答】解：(1)∵ x 2−4x −12≤0， 整理，得(x +2)(x −6)≤0， 解得：−2≤x ≤6 ， ∴ A =[−2,6] .∵ x 2−2x +1+m 2≤0,m >0，整理，得[x −(1−m )][x −(1+m )]≤0， 解得：1−m ≤x ≤1+m ， ∴ B =[1−m,1+m] .(2)∵ x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件， ∴ B ⫋A ，∴ {−2≤1−m ，1+m ≤6，m >0， 且等号不能同时成立，解得：0<m ≤3 ， ∴ m ∈(0,3] .【答案】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 . (2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k+39+k=1，整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【考点】椭圆的定义和性质 椭圆的标准方程 【解析】【解答】解：(1)直线方程x −2y +2=0，当x =0时，解得y =1，即直线过(0,1)点. 当y =0时，解得x =−2，即直线过(−2,0)点. 当(−2,0)为焦点时，c =2，b =1， 所以a 2=c 2+b 2=5，所以椭圆的标准方程为x 25+y 2=1； 当(0,1)为焦点时，c =1，b =2， 所以a 2=c 2+b 2=5， 所以椭圆的标准方程为y 25+x 2=1 .(2)设与椭圆y 225+x 29=1有相同焦点的椭圆的方程为y 225+k +x 29+k =1(k >−9)，将点(√3,−√5)代入，得525+k +39+k =1， 整理，得k 2+26k +105=0，k >−9， 解得k =−5， 所以椭圆的方程为y 220+x 24=1 .【答案】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【考点】 数列的求和 数列递推式等比数列的前n 项和 【解析】 无 无【解答】解：(1)当n =1时，a 1=1，当n ≥2时，由a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−1a n =n (n+1)2①，可得a 1+2a 2+4a 3+⋯+2n−2a n−1=(n−1)n 2②，①−②，得2n−1a n =n ， 所以a n =n ⋅(12)n−1．因为a 1=1也满足a n =n ⋅(12)n−1，所以{a n }的通项公式为a n =n ⋅(12)n−1．(2)由题意得， S n =a 1+a 2+⋯+a n =1×(12)0+2×(12)1+⋯+n ×(12)n−1③，则12S n =1×(12)1+2×(12)2+⋯+n ×(12)n④， ③−④得：12S n =(12)0+(12)1+⋯+(12)n−1−n ×(12)n，即12S n =1−(12)n 1−12−n ×(12)n，所以S n =4−(n +2)⋅(12)n−1．【答案】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘，∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1. 在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED .∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD→=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)，由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×√7=√217，∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】(1)证明：在图①中，连接BD ，如图所示，∵ 四边形ABCD 为菱形，∠A =60∘， ∴ △ABD 是等边三角形. ∵ E 为AD 的中点， ∴ BE ⊥AE ，BE ⊥DE . 又AD =AB =2， ∴ AE =DE =1.在图②中，AD =√2， ∴ AE 2+ED 2=AD 2， ∴ AE ⊥ED . ∵ BC//DE ，∴ BC ⊥BE ，BC ⊥AE .又BE ∩AE =E ，AE ，BE ⊂平面ABE ， ∴ BC ⊥平面ABE . ∵ BC ⊂平面ABC ，∴ 平面ABE ⊥平面ABC ．(2)解：由(1)可知，AE ⊥DE ，AE ⊥BE . ∵ BE ∩DE =E ，BE ，DE ⊂平面BCDE ， ∴ AE ⊥平面BCDE .以E 为坐标原点，EB →，ED →，EA →的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E −xyz ，则E(0,0,0)，A(0,0,1)，B(√3,0,0)，C(√3,2,0)，D(0,1,0)， ∵ P 为AC 的中点，∴ P (√32,1,12)， ∴ PB →=(√32,−1,−12)，PD →=(−√32,0,−12). 设平面PBD 的一个法向量为m →=(x,y,z)， 由{m →⋅PB →=0,m →⋅PD →=0,得{√32x −y −12z =0,−√32x −12z =0.令z =√3，得m →=(−1,−√3,√3). 又平面BCD 的一个法向量为EA →=(0,0,1)，设二面角P −BD −C 的大小为θ，由题意知该二面角为锐角，则cos θ=|EA →⋅m →||EA →||m →|=√31×7=√217， ∴ 二面角P −BD −C 的余弦值为√217． 【答案】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=ba =√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)，令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， x A +x D =16k 23+4k 2，解得x D =8k 2−63+4k ，y D =k(8k 2−63+4k −2)=−12k3+4k ， 设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x 03+4k2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ． 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）由右顶点的坐标可得a 的值，再由上顶点与左右焦点所成的角可得b ，c 的关系，又由a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）法一）设直线AD 的方程，由题意可得E 的坐标，将直线AD 的方程代入椭圆的方程可得D 的坐标，进而求出AD 的中点P 的坐标，求出向量OP →，假设存在Q 的坐标，求出向量EQ →，由OP →⋅EQ →=0，可得4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，所以x 0=32，y 0＝0；法二）设A ，B ，P 的坐标，将A ，B 的坐标代入椭圆的方程，两式相减可得OP 的斜率，假设存在Q 的坐标使OP ⊥EQ ，可得斜率之积为−1恒成立，求出Q 的坐标． 【解答】解：(1)由题意得：a =2，∵ 在Rt △OBF 2中，∠F 1BF 2=60∘，∴ ∠OBF 2=30∘，|OB|=b ，|OF 2|=c ， ∴ |BF 2|=a ， ∴ cos 30∘=b a=√32， 解得b =√3， ∴ 椭圆方程为x 24+y 23=1．(2)设直线AD ：y =k(x −2)(k ≠0)， 令x =0，则y =−2k ， ∴ E(0, −2k).联立直线AD 与椭圆方程{y =k(x −2)，x 24+y 23=1，整理得(3+4k 2)x 2−16k 2x +16k 2−12=0，x A +x D =16k 23+4k 2， 解得x D =8k 2−63+4k2，y D =k(8k 2−63+4k 2−2)=−12k 3+4k 2，设P(x P , y P )，∵ P 为AD 的中点，∴ x P =12(8k 2−63+4k 2+2)=8k 23+4k 2，y P =12(−12k3+4k 2)=−6k3+4k 2， ∴ OP →=(8k 23+4k 2,−6k3+4k 2).设存在Q(x 0, y 0)使得OP ⊥EQ ，则EQ →=(x 0,y 0+2k)，OP →⋅EQ →=0， ∴ 8k 2x3+4k 2−6ky 0+12k 23+4k 2=0，即4k 2(2x 0−3)−6ky 03+4k 2=0对任意的k ≠0都成立，∴ {2x 0−3=0，y 0=0，解得{x 0=32，y 0=0，∴ 存在Q(32,0)使得OP ⊥EQ ．。

2020-2021学年江苏省扬州市邗江中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是（ ） A ．x R ∀∈，20x x -< B ．x R ∃∈，20x x -≤ C ．x R ∃∈，20x x -≥ D ．x R ∃∈，20x x ->【答案】D【分析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“x R ∀∈，20x x -≤”的否定是：x R ∃∈，20x x ->． 故选：D ．【点睛】本题考查特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．2．已知,m n ∈R 则“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由椭圆标准方程的形式，利用定义法(推出关系)判断充要条件，即可知正确选项.【详解】方程221x y m n+=表示椭圆，知0,0m n >>且m n ≠，所以“0m >且0n >”是“曲线221x y m n+=为椭圆”的必要不充分条件.故选：B.3．在正项等比数列{}n a 中，若657,3,a a a 依次成等差数列，则{}n a 的公比为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．13【答案】A【分析】由等差中项的性质可得5676a a a =+，又{}n a 为等比数列，所以4561116a q a q a q =+，化简整理可求出q 的值．【详解】由题意知56723a a a =⨯+，又{}n a 为正项等比数列，所以4561116a q a q a q =+，且0q >，所以260q q +-=，所以2q 或3q =-（舍），故选A【点睛】本题考查等差数列与等比数列的综合应用，熟练掌握等差中项的性质，及等比数列的通项公式是解题的关键，属基础题． 4．已知等差数列{}n a 中，243,5a a ==，则1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．25B ．922C ．910D ．1011【答案】B【分析】若{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-则有1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=110111()d a a -，而又有243,5a a ==可得d 、1a 、10a ，代入即可求值【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由111111()n n n n a a d a a ++=-知： 1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=122334910111111111(...)d a a a a a a a a -+-+-++-=110111()d a a - 又∵243,5a a ==，可知：1d =，且1102,11a a ==∴1223910111a a a a a a ++⋅⋅⋅+=922故选：B【点睛】本题考查了等差数列，利用裂项法展开目标代数式并化简，结合等差数列的通项公式可求基本量d 、1a ，再将所求量代入化简后的目标代数式中求值5．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -=B ．2214y x -=C ．2214x y -=D ．221x y -=【答案】D【分析】由抛物线的焦点()1,0可求得直线l 的方程为1yx b+=，即得直线的斜率为b -，再根据双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，可得b b a -=-，1bb a-⨯=-即可求出,a b ，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为()1,0，所以直线l 的方程为1yx b+=，即直线的斜率为b -，又双曲线的渐近线的方程为b y x a =±，所以b b a -=-，1bb a-⨯=-，因为0,0a b >>，解得1,1a b ==．故选：D ．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．6．已知区间(,)a b 是关于x 的一元二次不等式2210mx x -+<的解集，则32a b +的最小值是（ ）A ．B ．5+C ．52+D ．3【答案】C【分析】由题知2a b m +=，1ab m =，0m >，则可得12a bab+=，则()32322a b a b a b ab +⎛⎫+=+⋅ ⎪⎝⎭，利用基本不等式“1”的妙用来求出最小值.【详解】由题知a b ，是关于x 的一元二次方程221=0mx x -+的两个不同的实数根， 则有2a b m +=，1ab m =，0m >，所以12a bab+=，且a b ，是两个不同的正数，则有()13213232=5+5222a b a b a b a b ab b a ⎛+⎛⎫⎛⎫+=+⋅+≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝ (15225=+=当且仅当32=a b b a 时，等号成立，故32a b +的最小值是52+【点睛】本题主要考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了基本不等式“1”的妙用求最值，考查了转化与化归的思想，考查了学生的运算求解能力.7．为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M ，N 两点为平行四边形AMBN 一组相对的顶点，当平行四边形AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积最大为（ ）A ．6B ．12C ．18D ．24【答案】D【分析】由题意可得出10MB BN +=，在三角形MBN 中，使用余弦定理可得cos B 的关系式，再利用基本不等式可求出cos B 的最小值，从而可求出sin B 的最大值，进而求解．【详解】设AM x =，AN y =，则由已知可得10x y +=， 在MBN △中，6MN =， 由余弦定理可得：222226()363232327cos 1111222525()2x y x y B x y xy xy xy +-+-==-=--=-=+， 当且仅当x y =时等号成立， 此时5x y ==，7cos 25min B =， 所以2724sin 1()2525max B =-， 所以四边形AMBN 的最大面积为12425524225⨯⨯⨯⨯=， 此时四边形AMBN 是边长为5的菱形， 故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形中的余弦定理以及基本不等式的简单应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．8．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＞1，且6S n ＝a n 2+3a n +2．若对于任意实数a ∈[﹣2，2]．不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）【答案】A【分析】根据a n 与S n 的关系，由6S n ＝a n 2+3a n +2，得6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2，两式相减整理得a n ﹣a n ﹣1＝3，由等差数列的定义求得a n 的通项公式，然后将不等式()2*1211+<+-∈+n a t at n N n 恒成立，转化为2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立求解.【详解】由6S n ＝a n 2+3a n +2，当n ＝1时，6a 1＝a 12+3a 1+2．解得a 1＝2， 当n ≥2时，6S n ﹣1＝a n ﹣12+3a n ﹣1+2， 两式相减得6a n ＝a n 2+3a n ﹣（a n ﹣12+3a n ﹣1）， 整理得（a n +a n ﹣1）（a n ﹣a n ﹣1﹣3）＝0， 由a n ＞0，所以a n +a n ﹣1＞0，所以a n ﹣a n ﹣1＝3， 所以数列{a n }是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以a n +1＝2+3（n +1﹣1）＝3n +2， 所以11n a n ++＝321++n n ＝3﹣11n +＜3， 因此原不等式转化为2t 2+at ﹣1≥3，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 即为：2t 2+at ﹣4≥0，对于任意的a ∈[﹣2，2]，n ∈N 恒成立， 设f （a ）＝2t 2+at ﹣4，a ∈[﹣2，2]， 则f （2）≥0且f （﹣2）≥0，即有222020t t t t ⎧+-⎨--⎩，解得t ≥2或t ≤﹣2，则实数t 的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） 故选：A ．【点睛】本题主要考查数列与不等式的，a n 与S n 的关系，等差数列的定义，方程的根的分布问题，还考查了转化化归思想和运算求解的能力，属于中档题．二、多选题9．若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则实数m 的值可以是（ ） A ．-3 B ．-2C ．-1D ．0【答案】ABC【分析】先解2，再由必要不充分条件可得，从而得解.【详解】由21x >可得1x >或1x <-，若“21x >”是“x m <”的必要不充分条件，则1m ≤-， 故选：ABC.10．已知关于x 的不等式230ax bx ++>，关于此不等式的解集有下列结论，其中正确的是（ ）A ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}3x x > B ．不等式230ax bx ++>的解集可以是R C ．不等式230ax bx ++>的解集可以是∅D ．不等式230ax bx ++>的解集可以是{}13x x -<< 【答案】BD【分析】选项A 先假设结论成立，再得到不等式为30x -+>并求解，最后与解集产生矛盾判断选项A 错误；选项B 当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，判断选项B 正确；选项C 当0x =时不等式成立，判断选项C 错误；选项D 先假设结论成立，再求解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，判断选项D 正确； 【详解】解：选项A ：假设结论成立，则0330a b =⎧⎨+=⎩，解得01a b =⎧⎨=-⎩，则不等式为30x -+>，解得3x <，与解集是{}3x x >矛盾，故选项A 错误；选项B ：当1a =，0b =时，不等式230x +>恒成立，则解集是R ，故选项B 正确； 选项C ：当0x =时，不等式2330ax bx ++=>，则解集不可能为∅，故选项C 错误；选项D ：假设结论成立，则0309330a ab a b <⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，符合题意，故选项D 正确； 故选：BD【点睛】本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题.11．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-，则下列结论正确的是（ ）C ．数列{}n a 中10511a =D ．数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---【答案】BCD【分析】由已知可得11222n n n n S n S nS n S n ++++==++，结合等比数列的定义可判断B ；可得2n n S n =-，结合n a 和n S 的关系可求出{}n a 的通项公式，即可判断A ；由{}n a 的通项公式，可判断C ；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前n 项和公式即可判断D . 【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++．又112S +=，所以数列{}n S n +是首项为2，公比为2的等比数列，故B 正确；所以2n n S n +=，则2nn S n =-．当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，故A 错误；由当2n ≥时，121n n a -=-可得91021511a =-=，故C 正确；因为1222n n S n +=-，所以2311222...2221222...22n n S S S n ++++=-⨯+-⨯++-()()()23122412122 (2)212 (22412)2n n n n n n n n n ++--⎡⎤=+++-+++=-+=---⎢⎥-⎣⎦所以数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---，故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】关键点点睛：在数列中，根据所给递推关系，得到等差等比数列是重难点，本题由121n n S S n +=+-可有目的性的构造为1122n n S S n n +++=+，进而得到11222n n n n S n S nS n S n++++==++，说明数列{}n S n +是等比数列，这是解决本题的关键所在，考查了推理运算能力，属于中档题,12．已知抛物线2:4C y x =，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于()11,A x y ，A ．AB 的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切C ．12x x 为定值D ．若()1,0M -，则AMF BMF ∠=∠【答案】BCD【分析】根据抛物线和过焦点的直线位置关系，结合抛物线的定义和性质，结合韦达定理，逐个判断即可得解.【详解】抛物线2:4C y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为1x =-，过焦点的弦中通径最短，所以AB 最小值为24p =，故A 不正确；如图，设线段AB 中点为D ，过点A ，B ，D 作准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，1D ，由抛物线定义可知1AA AF =，1BB BF =， 所以()1111122DD AA BB AB =+=， 所以以线段AB 为直径的圆与直线1x =-相切，故B 正确； 设AB 所在直线的方程为1x ny =+，由214x ny y x=+⎧⎨=⎩，消去x ，得2440y ny --=， 所以124y y =-，()21212116y y x x ==，故C 正确；又124y y n +=，()()()()1221121212111111AM BM y x y x y yk k x x x x ++++=+=++++ ()()()()()()()122112121212222201111y ny y ny ny y y y x x x x +++++===++++，故D 正确．故选：BCD.【点睛】本题考查了抛物线的定义和通径的概念，以及直线和抛物线的位置关系，考查了利用韦达定理搭桥，建立各个量之间的联系，考查了转化思想和数形结合思想，计算三、填空题13．已知命题[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题，则实数a 的取值范围是______． 【答案】6a ≥或1a ≤-【分析】命题p 是真命题等价于[]1,1m ∈-时255a a m --≥恒成立，转化为2551a a --≥，即可解出答案．【详解】因为[]:1,1p m ∀∈-，2532a a m --≥+，且p 是真命题， 所以255a a m --≥恒成立， 所以只需2551a a --≥， 解得6a ≥或1a ≤- 故答案为：6a ≥或1a ≤-14．《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱?”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中,乙所得为_______钱. 【答案】76【解析】由题意,设这五人所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d ++--， 则22a d a d a a d a d +++=+-+-，且55a =，所以11,6a d ==， 所以乙所得为76a d +=钱. 15．已知1F ，2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M ，N ，设四边形12F NF M 的周长为p ，面积为S ，且满足232S p =，则该双曲线的离心率为______.【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出M 点坐标为()11,M x y ，然后通过圆与双曲线的对称性得出1212F F MF F NSS，再根据“点()11,M x y 即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出21b y c，然后根据图像以及232S p =可得22S b 和8p b ，接下来利用双曲线定义得出12MF b a 以及22MF b a ，最后根据2221212MF MF F F 并通过化简求值即可得出结果．【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设()11,M x y ， 由圆与双曲线的对称性可知，点M 与点N 关于原点对称，所以1212F F MF F NS S，因为圆是以12F F 为直径，所以圆的半径为c ，因为点()11,M x y 在圆上，也在双曲线上，所以有221122222111x y a bx y c ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩， 联立化简可得222222211bc y a y a b ，整理得2222222211b c a b b y a y ，4221bc y ，21b y c，所以1221222F F MS S c y b ，因为232S p =，所以2264p b ，8p b ，因为1212122p MF MF NF NF MF MF ，所以124MF MF b ，因为122MF MF a ，联立121242MF MF bMF MF a +=⎧⎨-=⎩可得12MF b a ，22MF b a ，因为12F F 为圆的直径，所以2221212MF MF F F ,即222224b ab ac ，222824b a c ，22242b a c ，2222442c a ac ，2223ca ，2232c a，所以离心率6c e a．线以及圆的定义的灵活应用，考查化归与转化思想以及方程思想，考查了学生的计算能力，体现了综合性，是难题．16．设二次函数()2f x ax bx c =++（a ，b ，c 为常数）．若不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则2223b a c+的最大值为______． 【答案】23【分析】由不等式恒成立可得0a >且2244b ac a -≤，取1x =可得0c a -≥，令t c a =-，则可得2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，再利用基本不等式即可求解. 【详解】()2f x ax bx c =++，则()2f x ax b ≥+为()220ax b a x c b +-+-≥，()f x 是二次函数，0a ∴≠，要使不等式()2f x ax b ≥+的解集为R ，则应满足()()2240a b a a c b >⎧⎪⎨∆=---≤⎪⎩， 可得0a >且2244b ac a -≤，当1x =时，可得()20a b a c b +-+-≥，即0c a -≥，令t c a =-，则()()222222222243334443b a c a c a a c a ac a tt c a a a ≤++=+--=++224442442632at a t a at t t a ==≤==++++， 当且仅当4a tt a=，即,3b c a =±=时等号成立， 故2223b a c+的最大值为23. 故答案为：23. 【点睛】关键点睛：本题考查一元二次不等式恒成立和基本不等式的综合应用，解题的关键是根据不等式恒成立得出0a >，2244b ac a -≤，0c a -≥，继而将不等式转化为2222224334ac b a c a ca ≤-++442a t t a=++，方可利用基本不等式求解.四、解答题17．已知2:560p x x -+<，22:320q x mx m -+<，其中0m >． （1）若2m =，且p 和q 均为真命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）{}|23x x <<（2）3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭【分析】（1）根据p 和q 为真命题，解不等式2560x x -+<，2680x x -+<，求交集得到x 的取值范围；（2）根据p 是q 的充分不必要条件，得到关于m 的不等式组，解得m 的取值范围. 【详解】（1）因为p 为真命题， 所以2560x x -+<， 解得：23x <<， 当2m =时，q 为真命题， 所以2680x x -+<， 解得24x <<所以p 和q 均为真命题时，23x << 即实数x 的取值范围为{}|23x x <<. （2）由（1）得p ：23x <<， 由22320x mx m -+< 解得2m x m <<（0m >） 所以q ：2m x m <<， 因为p 是q 的充分不必要条件， 所以223m m ≤⎧⎨≥⎩且等号不能同时成立.解得：322m ≤≤， 所以实数m 的取值范围3|22m m ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭.【点睛】关键点点睛：涉及数集的充分必要条件时，可转化为判断子集，真子集关系，根据充分条件、必要条件的定义，即可求解，考查了运算能力，属于中档题. 18．已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =．（1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【答案】（1）23n n b =⨯；（2）1233n n S n +=--．【分析】（1）先根据题意得16b =，218b =，进而得数列{}n b 的公比为3q =，再根据等比数列通项公式求解即可；（2）结合（1）得()2321nn a n =⨯--，再根据分组求和的方法分别求和即可得答案.【详解】解：（1）因为，21n n b a n =+-，且15a =，215a =， 所以1116b a =+=，22318b a =+=， 设数列{}n b 的公比为q ，则2211318316b a q b a +====+， 所以16323n n n b -=⨯=⨯．（2）由（1）知，2123nn a n +-=⨯，则()2321nn a n =⨯--，()()223331321n n S n =⨯++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+- ()()12313121233132n n n n n +-+-=⨯-=---．【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，分组求和法，考查运算能力，是中档题. 19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元()0m ≥满足41kx m =-+(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按816xx+元来计算）． （1）求k 的值；（2）将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （3）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【答案】（1）2k =；（2）()163601y m m m =--≥+；（3）投入3万元时，厂家的利润最大为29万元.【分析】（1）根据题意0m =时，2x =可得解； （2）由（1）求出241x m =-+，进一步求出销售价格8161.5x x+⨯，由利润=销售额-固定成本-再投入成本-促销费，即可求解. （2）由（1）()()161636371011y m m m m m ⎡⎤=--=-++≥⎢⎥++⎣⎦，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）由题意知，当0m =时，2x =（万件）， 则24k =-，解得2k =， （2）由（1）可得241x m =-+. 所以每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯（元）， ∴2020年的利润()816161.58163601x y x x m m m x m +=⨯---=--≥+.（3）当0m ≥时，10m +>，16(128116)m m ∴++≥=+，当且仅当3m =时等号成立. 83729y ∴≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =万元时，max 29y =（万元）. 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 20．已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点()0,1F .（1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作直线交抛物线于A 、B 两点.若直线OA 、OB 分别交直线l ：2y x =-于M 、N 两点，求MN 的最小值.【答案】（1）24x y =；（282【分析】(1)由抛物线的几何性质及题设条件焦点()0,1F ，可直接求得p ，确定出抛物线的开口方向，写出物线C 的标准方程.(2)由题意，可()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，再结合弦长公式求出12x x -，分别求出M x 和N x 即可表示出MN ，最后利用换元法和二次函数，即可求得MN 最小值. 【详解】（）由题意可设抛物线C 的方程为()220x py p =>，则12p=，解得2p =， 故抛物线C 的方程为24x y =；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ，整理得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-， 从而有12x x -==，由112y y x x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得点M 的横坐标为1121111122844M x x x x x y x x ===---， 同理可得点N 的横坐标为284N x x =-，所以284M N MN x x =-=--43k ==-，令43k t -=，0t ≠，则34t k +=， 当0t >时，N M => 当0t <时，5M N ==≥，综上所述，当253t =-，即43k =-时，MN 【点睛】本题考查抛物线的标准方程以及直线与抛物线的位置关系，还涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式，同时考查解析几何的基本思想法和运算求解能力.21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，n ∈+N ，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设()3n n c n b =-，数列()3n n c n b =-的前n 项和为n T ，求证：8n T <； （3）设数列{}n d 满足()1141n nn nd a λ-=+-⋅⋅（n ∈+N ），若数列{}n d 是递增数列，求实数λ的取值范围.【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析；（3）84λ-<<.【分析】（1）利用1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为1，公比为12的对比数列，即可求出{}n a 的通项公式，再利用累加法可求出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法可求出n T ，即可证明；（3）{}n d 是递增数列等价于1n n d d +>恒成立，分离参数即可求出λ的取值范围. 【详解】（1）1n =时，1112S a a =-=，解得11a =，2n ≥时，()1122n n n n n a S S a a --=-=---，整理得112n n a a -=， {}n a ∴是首项为1，公比为12的对比数列， 1111122n n n a --⎛⎫⎛⎫∴=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∵1n n n b b a +=+，∴1112n n n b b -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则211b b -=，3212b b -=，24312b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，……，2112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭（2n =，3，…）.将这1n -个等式相加，得123221111111121212222212n n n n b b ---⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+++++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，又∵11b =，∴2132n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）证明：∵()11322n n n c n b n -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴022111111223122222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.① 而∴2311111112231222222n n n T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++-⨯+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦②①－②得012111111122222222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦11181842448481222212nn nn n nn T n n ⎛⎫- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯⨯=--⨯⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∴8n T <；（3）由（1）知()()111141412n n nn n n nd a λλ---=+-⋅⋅=+-⋅⋅， 由数列{}n d 是递增数列，∴对n N +∀∈，1n n d d +>恒成立， 即()()()11111412412341320nn nn n n n n n n n d d λλλ-+--+-=+-⋅⋅---⋅⋅=⋅+-⋅⋅⋅>对n N +∀∈恒成立，即()112n n λ+-⋅⋅>-对n N +∀∈恒成立， 当n 为奇数时，即12n λ+<恒成立，∴4λ<， 当n 为偶数时，即12n λ+>-恒成立，∴8λ>-， 综上实数λ的取值范围为84λ-<<.【点睛】本题考查n a 和n S 的关系，考查累加法求数列通项，考查错位相减法求数列的前n 项和，考查数列不等式的恒成立问题，属于中档题.22．如图，已知椭圆C ：()222210,0x y a b a b+=>>的离心率为12，长轴长为4，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，过右焦点F 且斜率为()0k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）记AFM∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，若1232S S =，求k 的值； （Ⅲ）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM 、BN 、FE 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求()213k k k ⋅-的值.【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）52k =；（Ⅲ）34 【分析】（Ⅰ）根据长轴长、离心率和椭圆,,a b c 关系可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）由面积比可得到2NF FM →→=，由此利用()11,M x y 表示出()22,N x y ，根据两点在椭圆上，代入整理求得()11,M x y ，进而得到所求斜率； （Ⅲ）利用点差法可求得34OD k k =-，求得E 点坐标后可得到31k k=-；将直线方程与椭圆方程联立后可求得,M N 坐标，由三点共线可整理得到213k k =，进而得到11114k k k +=；将上述三个关系式代入()213k k k ⋅-整理可得最终结果. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为()20c c >， 椭圆长轴长为4，即24a =，2a ∴=，又12c e a ==，1c ∴=，2223b a c ∴=-=，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y ，()22,N x y .1232S S =，12132122AF y BF y ⨯⨯∴=⨯⨯，又3AF =，1BF =，1212y y ∴=， 2NF FM →→∴=，代入坐标可得：()21211212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩，即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩， 又点M 、N 在椭圆C 上，()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨--⎪+=⎪⎩，解得：11748x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线l的斜率087214k -==-； （Ⅲ）点()11,M x y ，()22,N x y 在椭圆C 上，22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22222121043x x y y --+=，即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-， 34OD k k ∴⋅=-，即34OD k k =-，∴直线OD 的方程为34y x k =-， 令4x =得：3E y k =-，即34,E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，33141k k k-∴==--， 又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理得：()2222111431616120k x k x k +++-=，211211612243k x k -∴-⋅=+，解得：211216843k x k -=+，()11112112243k y k x k ∴=+=+， ∴点M 的坐标为21122116812,4343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，同理可得：点N 的坐标为22222228612,4343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 又点M 、N 、F 三点共线，12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++∴==----++，整理得：()()12124330k k k k +-=， 由题意知：10k >，20k >，213k k ∴=，由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得：21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=. ()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫∴⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积问题的求解、椭圆中的定值问题；求解定值问题的关键是能够利用一个变量表示出所求的式子，进而通过化简、消元得到定值.。

江苏省扬州市邗江区2021-2022高二数学上学期期中试题一、选择题（本题共12小题,每小题5分,共60分.） 1、设n S 是等差数列{}na的前项和，若1353a a a ++=，则5S =（）A ．5B ．7C ．9D ．112、若0a b <<，则下列不等式中正确的是 （）A ．11<a bB ．11a b a >- C ．a b > D ．22<a b 3、等比数列{}n a 中，12a =,2q =,126n S =,则n =（） A ．9 B ．8 C ． 7 D ． 6 4、不等式 的解集为（） A.B.C.D.5、“410k <<”是“方程221410x y k k+=--表示焦点在x 轴上的椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6、不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集是11(,)23-，则a ＋b 的值是（） A ．5 B ．－5 C ．－7 D ．77、椭圆22116x y m+=的焦距是27m 的值为（）A ．9B ．23C ．9或23D ．16-或168、已知n S 是数列{}n a 的前项和，若*24()n n S a n N =-∈，则n a =（）A ．+12nB ．2nC ．12n -D ．22n -9、已知0,0x y >>，若2282y x m m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．42m m ≥≤-或 B ．24m m ≥≤-或 C ．24m -<< D ．42m -<<10、已知椭圆()222:124x y C a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（）A.13 B ．12 C D 11、已知数列{}n a 满足133,a =12n n a a n +-=，则na n的最小值为（）A. B ．212 C ．535 D ．11212、已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，115a =，且满足112325n na a n n +=+--，已知*,n m N ∈，n m >，则n m S S -的最小值为（）A ．494-B ．498- C ．14- D ．28- 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13、命题“1>∃x ，使得22≥x ”的否定是▲ .14、如果椭圆22114436x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于10，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是 ▲ .15、已知数列1231,,,,9a a a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则212a b b =+▲.16、已知,,4,a b R a b ∈+=则221111a b +++的最大值为 ▲ . 三、解答题（本题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分10分） （1）m 为何实数时，关于x 的方程()2240x m x m +-+=有两个不等实根？（2）设实数x 满足1x >-，求11y x x =++的最小值，并求对应的x 的值。

2020-2021学年高二年级第一学期期中考试 数 学 （本卷满分：150分 考试时间：120分钟）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1、已知等差数列{}n a 中，15,652==a a ,若n n a b 2=，则数列{}n b 的前5项和等于 （ ）A.186B. 90C.45D.302、下列函数的最小值为2的是( )A. 1y x x=+ B. 1sin (0)sin 2πy x x x =+<< C. 2222y x x =+++ D. 1tan (0)tan 2πy x x x =+<< 3、南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3,4,6,9,13,18,24,则该数列的第19项为 （ ）A. 174B. 184C. 188D. 1604、在如图所示的锐角三角形空地中， 欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)， 则其边长x (单位m )的取值范围是 （ ）A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]5、记n S 为数列}{n a 的前n 项和，且12+-=n n a S ，则6S 的值为 （ ）A ．665729B ．486665C ．665243D ．6596、已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x ≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能的是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．2-7、已知d c b a ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ）A ．若d c b a >>,，则bd ac >B ．若0,0>->ad bc ab ，则0>-bd a c C ．若d c b a >>,则c b d a +>+ D ．若0,>>>d c b a 则cb d a > 8、已知数列{}n a 是等差数列,下列结论中正确的是 （ ）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则213a a a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）9、下列命题中，既是存在性命题又是真命题的有（ ）A.至少有一个实数x ，使x 3+1=0B.所有正方形都是矩形C.,x R ∃∈使2104x x -+≤ D.,x R ∃∈使2220x x ++= 10、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分如右图所示，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1。

2020-2021学年江苏省扬州中学高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题“，”的否定是( )A. ，B. ，C. ，D.，2.抛物线的准线方程为( )A.B. C.D.3.已知等比数列满足，，则( )A. 64B. 81C. 128D. 2434.在长方体中，，，，则直线与平面所成角的余弦值为( )A. B.C.D.5.设为等差数列的前n 项和，若，则( )A. 56 B. 66C. 77D. 786.在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，D 为的中点，则与DA 所成角的大小为( )A.B.C.D.7.过抛物线的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，线段AB 的中点M 在直线上，O 为坐标原点，则的面积为( )A. B.C.D. 98.已知是R 上的奇函数，，，则数列的通项公式为( )A.B.C.D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知命题p：，，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的( )A. B. C. D.10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线，则( )A. 实轴长为2B. 渐近线方程为C. 离心率为2D. 一条渐近线与准线的交点到另一条渐近线的距离为311.设d，分别为等差数列的公差与前n项和，若，则下列论断中正确的有( )A. 当时，取最大值B. 当时，C. 当时，D. 当时，12.正方体中，E是棱的中点，F在侧面上运动，且满足平面以下命题正确的有( )A. 侧面上存在点F，使得B. 直线与直线BC所成角可能为C.平面与平面所成锐二面角的正切值为D. 设正方体棱长为1，则过点E、F、A的平面截正方体所得的截面面积最大为三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知命题“，”是假命题，则实数m的取值范围是__________.14.四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形，则二面角的平面角为________________ .15.无穷数列满足：只要，必有，则称为“和谐递进数列”．若为“和谐递进数列”，且，，，则__________；__________.16.已知，是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为______.四、解答题（本大题共6小题，共70分。