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3.样本k阶(原点)矩 Ak = 样本k阶中心矩
Bk =
1 n k ∑ X i 反映总体k阶矩E(Xk)的信息 n i =1 P E ( X k ) = k , k = 1, 2, L →
反映总体k
9
1 n P → ∑ ( X i X )k E {[ X E ( X )]k } = mk n i =1 k=1,2,…
1o
X ~ N ( ,
σ2 ) n
即
X ~ N (0,1) σ/ n
2o 3o
(n 1) S 2 ~ χ 2 ( n 1) σ2 X 与 S 2 相互独立 4o X ~ t ( n 1) S/ n
23
24
4
1o
X ~ N ( , X=
σ2 ) n
即
X ~ N ( 0, 1) σ/ n
4o
正态总体的抽样分布定理
例 设 X1,…,X10 是取自N(0,0.32)的样本,求
P{∑ X i > 1.44}
2 i =1 10
定理一,二,三
2 2 设 X 1 ,..., X n 是来总体 N ( , σ ) 的样本, X , S 分别为样
本均值和样本方差,则
例 设 X 1 , X 2 , L , X 15 是来自总体 N (0,1)的一个简单随 2 2 X 12 + X 2 + L + X 10 机样本, Y= 则 服从 分布. 2 2 2 2( X 11 + X 12 + L + X 15 )
4
个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)
每个可能的观察值
有限总体 无限总体 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度
总体对应一个r.v. X,笼统称总体X(或Y,Z大写表示) 总体对应一个r.v. X,笼统称总体X(或Y
从本质上讲,总体就是所研究的随机变量
16
( x e
x2 3 2
) |+∞ + ∞
1 2π
∫
∞
(3 x 2 )e
x2 2
dx = 0 + 3 E ( X i2 ) = 3
1 2
∴ D(Xi2)=2,D( χ 2 ) = nD( X i2 ) = 2n
15
(二)t 分布
构造:若 X~N(0, 1), Y~χ 2(n), 且 X 与 Y 独立,则 X ~ t ( n) Y /n 称为自由度为 n 的 t 分布. T=
称为自由度为 n 的χ2分布 注:若X 1 , X 2 ,L, X n来自正态总体 N ( ,σ 2 ) ,则
χ2 =
12
11
1 σ2
∑( X
i =1
n
i
)2 ~ χ 2 ( n )
2
1. χ2分布的密度函数f(y)曲线
n y 1 1 n/2 y2 e 2, y > 0 f ( y ) = 2 Γ( n / 2) 0, y≤0
阶中心矩E[(X-EX)k]的信息,
10
注3:E ( X ) = E ( X ), D( X ) = D( X ) , E ( S 2 ) = D( X )
n P Ak E ( X k ) = k , k = 1, 2,L →
例 :1) 设总体 X ～ π (λ ) ,样本 X 1 , X 2 ,L , X n , 则 E( X ) = ; D( X ) = .
E( X ) = E( X )
反映总体方差D(X)的信息
样本标准差
E ( S 2 ) = D( X )
S= S
2
反映总体标准差的信息
注1: 观察值用小写表示,记为 x , s 2 , s , a k , b k , x ( 1 ) , x ( n ) 注2:S 2 =
n 2 1 n 1 ∑ ( X i X )2 = n 1 (∑ X i2 n X ) n 1 i =1 i =1
2.h(t)基本性质(p171):
(1) 关于t=0(纵轴)对称. (2) 极限为N(0,1)的密度函数,即
lim h(t ) = (t ) =
n→ ∞
1 t2 e ,∞ < t < ∞ 2π
2
1. t(n)的概率密度为
h( t ) = Γ( n+1 ) t 2 n+1 2 (1 + ) 2 , ∞ < t < ∞ n n nπ Γ ( ) 2
18
17
3
3. t分布的分位点 P{T < tα ( n)} = α (0 < α < 1)
注: t1α ( n ) = tα (n ) 例 t (20) = 1.7247 0.95
t 0.5 ( n) = 0
(三)F 分布
α
tα (n)
t 0.05 (20) = 1.7247
2 2 构造: 若 U ~ χ ( n1 ), V ~ χ (n2 ),且U,V 独立,则
2
1 D( X ) = 2 n
σ2 ∑ D( X i ) = n i =1
n
X ~ N (0, 1) σ/ n
26
X ∴ σ/ n
25
(n 1) S σ 2 (n 1)
2
=
X ~ t ( n 1) S/ n
定理四 设 X 1 ,..., X n1 ~ N ( 1 ,σ 12 ) : X , S12
2) 若 T～t(n),则 T2～ F(1,n)
3. F 分布的分位点
P{ F > Fα ( n1 , n 2 )} = α ( 0 < α < 1) α
注:
21
F1α ( n1 , n2 ) =
1 Fα ( n2 , n1 )
Fα ( n1 , n 2 )
22
得证!
P{F > F1α (n1 , n2 )} = 1 α 1 P{ > Fα ( n2 , n1 )} = α F 1 1 } = 1α P{ < F F1α (n1 , n2 ) 1 1 }=α P{ > F F1α ( n1 , n2 )
2 2 Y1 , ..., Yn2 ~ N ( 2 , σ 2 ) : Y , S 2 且两样本独立,则 iid
iid
例 在总体 X ~ N (80, 202 ) 中抽取容量为100的样本, 求样本均值与总体均值差的绝对值大于3的概率.
1o
2 S12 S 2 ~ F ( n1 1, n2 1) 2 2 σ1 σ 2
第6章 数理统计的基本概念
概率论:从已知分布出发,研究r.v. X 的性质,规 律,数字特征等等——演绎 数理统计:X 的分布不知道或不完全知道,观察它 的取值(采集数据),通过分析数据来推断 X 服 从什么分布或确定未知参数——归纳 收集,整理数据 统计推断
2
数理统计的基本概念
总体与样本 常用统计量 统计抽样分布
∫
+∞
∞
x4
1 2π
e
dx =
1 2π
+∞
∫
+∞ ∞
( x 3 )de
x2 2 2 2 例 χ 0.1 (20) = 12.443 χ 0.75 (25) = 29.339 2 2 当n>45, 有近似公式 χ α ( n) ≈ ( uα + 2n 1) 2 例 χ 0.95 (50) ≈ 0.5(1.645 + 99 ) 2 = 67.2206
数理统计
1
§6.2 总体与样本
1.总体:研究对象的全体(如:一批灯泡的寿命) 试验的全部可能的观察值
——通常指研究对象的某项数量指标
2.样本
(1)简单随机抽样 ①随机性:每个个体被抽到的机会均等 ②独立性:每次抽取后不改变总体的成分 (2)对总体作n次"简单随机抽样",得到n个个体: X1,X2,…,Xn,称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本. ①同分布性 Xi 与总体X 同分布 ②独立性 X1 ,…,Xn 相互独立 (3)把(X1,…,Xn)的观察值 (x1,…,xn)为称为样本观察值(或样本值)
y>0
当n>45, 有近似公式 tα ( n) ≈ uα
19 20
2. F 分布的性质
1) 若 F～F(n1,n2),则
1 ~ F ( n2 , n1 ) F
注: F1α (n1 , n2 ) =
1 Fα (n2 , n1 ) 1 ~ F (n2 , n1 ) F
证明: 设 F ~ F(n1,n2), 则
统计量的分布称为抽样分布.数理统计 中常用到如下三个分布: χ2分布, t 分布 和 F分布
(一)χ2分布
构造:设 X 1 , L , X n ~ N ( 0 ,1 ) ,则
iid 2 2 χ 2 = X 12 + X 2 + ... + X n ~ χ 2 ( n )
2)设总体 X～U(1,5),样本 X 1 , X 2 ,L , X 10 , 则 E( X ) = , D( X ) = .
3
来自总体X的样本X1, … ,Xn可记为
X 1 , L , X n ~ X 或 f ( x ), F ( x ), ...
iid
3. 总体,样本,样本观察值的关系
总体 理论分布
显然,样本联合分布函数或概率密度为
F * ( x1 , x2 , L , xn ) = ∏ F ( xi )
n i =1 n
证:χ2 = X 12 + X 22 + L + X n 2 , X1,X2,…,Xn为N(0,1)的样本, ∴E(Xi2)=D(Xi)+[E(Xi)]2=1,于是
