数字逻辑电路 第2章 逻辑代数

0-1率A· 1=1
A B
冗余律： AB A C BC AB A C
证明： AB A C BC
AB A C ( A A) BC
AB A C ABC A BC
互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1
AB(1 C) A C(1 B)
1、并项法
利用公式Ａ＋Ａ＝1，将两项合并为一项，并消去一个变量。 运用分配律 变并 相 和 包 量成 同 反 含 Y1 ABC A BC BC ( A A ) BC BC 的一 时 变 同 若 因项 ， 量 一 两 BC BC B(C C ) B 子， 则 ， 个 个 。并 这 而 因 乘 运用分配律 消两其子积 去项他的项 Y2 ABC AB AC ABC A( B C ) 互可因原中 ABC ABC A( BC BC) A 为以子变分 反合都量别 运用摩根定律
（2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式 中的所有“·”换成“＋”，“＋”换成“·”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，那么 所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。这个规 则称为反演规则。例如：
Y AB CD E
Y A B C D E
A A B A 吸收率： A ( A B) A
A ( A B) A B A A B A B
证明： A A B ( A A)(A B)
分配率 A+BC=(A+B)(A+C)
1 ( A B)

互补率A+A=1

0000
ABC
0010
ABC
0100
ABC
0 1 1 1 ABC
1000
ABC
1 0 1 1 ABC
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 0 1 ABC
复合逻辑运算
与非逻辑运算
2.1.2 基本逻辑运算
Y AB
或非逻辑运算
Y AB
与或非逻辑运算 Y AB CD
异或逻辑运算 Y A B AB A B
同或逻辑运算 YA B+AB=A B
2-11
复合逻辑运算
2.1.2 基本逻辑运算
2-12
异或运算规则
Y= A B
不同出一 AB Y 00 0 01 1 10 1 11 0
2.1.2 基本逻辑运算
2-13
同或运算规则
Y= A ⊙B
相同出一 AB Y 00 1 01 0 10 0 11 1
2.1.2 基本逻辑运算
2-14
异或与同或逻辑的关系
2.1.2 基本逻辑运算
ABA B ABAB
A BAB A BA B
A BABAB ABA BA B
2-15
2.1.3 逻辑函数和真值表
2-20
2.1.3 逻辑函数和真值表
表达式是逻辑函数的又一种表示方法。 根据真值表可以方便地写出逻辑函数表达式。 其方法是：
选择真值表中所有函数值Y＝1所对应的 输入变量取值组合，用逻辑乘表示它们（逻 辑乘是这样确定的：当输入变量的取值为1时， 用原变量表示，当输入变量的取值为0时，用 反变量表示)，再将全部逻辑乘相加便可得到 逻辑函数的与－或表达式，也称为 “积之和” 表达式。
一个逻辑函数可以有多种表示方法。
2-16

A
灯
不通电
亮
通电
灭
10
3. 非运算
非逻辑举例状态表
A
灯
不通电
亮
通电
灭
非逻辑符号
1
A
L
非逻辑真值表
A
L
0
1
1
0
A
L
逻辑表达式
L=A
11
4. 几种常用复合逻辑运算
1)与非运算
两输入变量与非 逻辑真值表
A
B
L
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
与非逻辑表达式
与非逻辑符号
A&
B
L
A
B
L
L = A ·B
12
2)或非运算
分配律：A ( B + C ) = AB + AC A + BC = ( A + B )( A + C )
19
AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC
重叠律：
A+ A= A
A ·A = A
反演律： A + B = A ·B
吸收律 A A B＝A
AB = A + B
互补律： A A 1
A 1 1 A 0 0 A A 0
等幂律： A A A A A A
双重否定律： A A
分别令A=0及A=1代入 这些公式，即可证明 它们的正确性。
17
(3)基本定理
交换律：

德·摩根定理 (反演律)
( A B) A B ( A B) A B
还原律
( A) A
证明方法：推演 真值表
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9
公式
0A=0 1A = A AA=A A A′= 0 AB=BA A (B C) = (A B) C A (B +C) = A B + A C (A B) ′ = A′ + B′ (A ′) ′ = A
1 ABC
1 ABC
0
Y A'BC AB'C ABC'
从逻辑函数式列出真值表
将输入变量取值的所有组合状态逐一代入逻辑式, 求出函数值，列成表。
解： A B C Y
[例]：已知逻辑函数表达式：
000 1
001 1
Y A BC ABC
A 0 1 0 1
011 1
求它对应的真值表。
100 0
则得到的结果就是 Y 的反。
注意： Δ 遵守“括号、乘、加”的运算优先次序。 （即保持运算顺序与原式相同） Δ 不属于单个变量上的反号应保留不变。
若 Y A B (B C D)
则 Y A B (B C) D
若 Y (( AB C ) D) C 则 Y ((( A B) C) D) C
或非逻辑真值表
AB
Y
00
1
01
0
10
0
11
0
或非逻辑表达式：
Y (A B)
图形符号：
3.与或非(AND-NOR) 图形符号：
与或非逻辑真值表
与或非逻辑表达式：
Y ( AB CD)
4.异或(XOR)
两输入变量A、B不同时，输出Y为 1。